Universiti PerTanian Malaysi 43400 UPM Serdang, Selang
Masalah
umm
mengguna!en
,
ytd'-
* r
f k . y . y ,y
.... .yId-,)
1
kaedah ekstrapolasi. Rumus bagi
dan beberapa keputusan berangka diberikan
Untuk
menyelesaikan
peringkat
tinggi,
sistem
selahnya
persamaan
pem
persamaan
:ers
sistem PPB peringkat pertama. kaedah-kaedah lain-lain terhadap
kemudian dise
s e p e r t i Runge-Kutta.
multi-langk
iagi. Cara ini amatlah memuaskan h kaedah
bagi
penyelesaian
PPB
per
t e r u s tidak diberi perhatian yanq sewajarnya.
Usaha awai t e r h a d a p penyelidikan secara t e r u
Collatz [I]. Fehlberg [21. Krogh I41 dan Suiei 161,
Suleiman
teiah
menciiti
kaedah
penyelesaian PPB peringkat kedua secara terus
2. Kaedah Bagi PPB p e r i n g k a t d
Teori asas bagi penggunaan kaedah ekstrap peringkat pertama. = flx,yI.
Y ttiah
oleh
dikaji
kcmbangan
h
2
Gragg
wjud
bagi
131. Beliau
y(a1
te
kaedah t i t i k
ditakrifkan s e p e r t i berikut.
h l = H/NI ,
N, g c n a p .
y,=y(x
nilaihampiran
0
) .
Kaedah t i t i k t e n g a h t e r u b a h s u a i bagi
direrbltkan
oleh
Suleiman 161, bagi
ditakrifkan s e p c r t i bcrikut.
pc
Bagi pcngiraan Y Ix.hl, rumus (11 digunakan de dengm y
.
Rumus (I1 d m (21 diterbitkan dengan menggu 1
Taylor. Dengan cara yang sama baieh diterbitk peringkat yang lebih tinggi.
Perhatikm pengembangan Taylor bagi ym+, disekitar l x .y 1. m
m
5
,,, Kernbangan Taylor untuk Y,+>
,,, E
Ym*~
f
m*2
=
,,, + 2hyr1+ 2
Ym
,
3 P 3
Bagi masalah
= fm
3 ,
I
= rlx,y.y ,y
y
Dengan menggunean kombinasi line(2.3)
-
12.61,
boieh
dihapuskan
s
peringkat h yang optimum.
Umpamanya kombinasi linear Ym.3-
Ym+,
menghapuskan sebutan
+ Ym.l
hingga
-Y
ke p
kombinasi linear,
Ym+3
-
3Ym+2
+
3Ym+1
-
menghapuskan sebutan hingga ke pering
menghapuskan sebutan hingga ke pering
rumus berikut
,
h , = H/N,
,
yo = y l x O )
N
gcnap,
I
n i i a i hampiran y d i
,, Y , = Y,
+
h l y 0' + lh:/2)yo
y2 = y o
+
2h,yO' + 2h, yo
2
= 3Ym.2
Ym.3
-
Sementara
1
y (x.h)
)
"
+ 14/3 3
3Y,*,
+
I = -y
4 N
+
-1
diberikan
Ym
,
h , fm.Z
.
I
I
Z Y ~ +,
?li,
aleh
( 2 ) dengan y digantikan oieh y
+
. ..N1-2
m = 0.1,. y l x + H.h
+ lh:
rumus
titi
,, dan y ( x . h
d
,, 11) dengan menggantikan y dengan y Pengembangan Taylor bagi y ""I= Ym4
f
m+2
-
m.2
""'=
di s e k i t
+ hym'"' + l h 2 / 2 ) y r '
,,
.y
yUv1= flx.y,y .y
y ( a ) = q,
fm.2
(1")
Ym
, Bagi masalah
.
y la1 = qo
,
.
y
+ (
,,, ,,
l a ) = qo
.
,,
y
,=
.
y(xo!
n i l a i hampiran y di
,, = Yo
+
h,Yo'
Y, = y o
+
( Z h l ) y o 3 + 12h:lyo
Y,
+ (h:/Zly,
+ (h:/6
,,
dengan
y ( x , h ) diberikan oleh
+
(8
r u m u s (31
,,, r u m u s (21, y
( x . h l diberikan aleh r u m u s (
t e r s e b u t digantikan masing-masing dengan y
Begituiah s e t e r u s n y a jika kita mernpunyai m d.
Y y(a) =
no ,
, ,, (d. ,...,Y , ,, ,, no Y ( a ) = no
ldl
Y (a1 =
= ~(x.Y.Y.Y
.
dengan penyeiesaiannya Aiberikan oieh rumus
d - 1
y,-,=
+
yo
[d J
=
Ymrd
-
h l J y J j !
0
(-1 ] [ J * "
C I Y m * d - J + h;ffm+*/
111
+
([(d-
d
1
m = 0.1.2.. y(x
+
I,
I H , h I = -y 1
4
. N -(d-11 L
I
1 N
1
-If
.
T Y ~ I+ Z Y ~+,,
jika d genap. Jika d ganjil maka Y,+~
dalam
dengan.
dengan
*C = n!/((n-rl!r!l
Rumus (51 ini memberikan r a l a t pangkasan sete berikut
menunjukkan
pekali-pekali
binomial
paling sesuai sekali.
bagaimana dalam
rumus
kombina di atas
memberikan r a i a t pangkasan setempat 0lh linear yang optimum .bagi rn,d.j
E
I.
Bukti.
Misalkan wujud kombinasi linear lain ya katakan ianya
d
1-0 dan d Ji
dengan k
o
. J
E R
dm k
.
dinyatakan sebagai
J
k
Perhatikan
bahawa
d
J
= C + k
J
kombinasi
adalah sama kecuali
1'
linear
b
d
pekali bagi h , .
tumpukan kepada d genap sahaja kerana untuk d gdnjil.
~-
didapati
sebutan
p e m a l ~ dan
pekali-pekali
bagi kombinasi l i n e a r 15.51 a d a l a h s i f a r ,
i
d
I - 1 1 ' 1 ~ +~ kJ1ym ~ = 0 J =0 d
l - l ~ ' l d - j lJ ~+ ~ k~l l y m = 0 ,=o 1
d-'
,, - l J d - j 2 1 d
J=O
*-'1
I
1=o
I
*-I
J
Diketahui bermaksud
I
+ kllym
= 0
- 1 1 ~ ! d - j ~ "+ ~k ~l y m( I
I - I I - I * ~ +~ k J l y A d ) J
=o
bahawa pemalar
kornbinasi dan
linear
pekali-pekali
d~~~
15.11 bagi
Persamaan 161 d m 171 m c n u n j u k k a n kom
0lhdr1l, jika s i s t e m persamaan berikut dipe d
I-llJkJym J
= O
i o
d-1
r:
1-llJld-j1klym' J10
,,
d-I
2!r
= 0
1 - 1 1 ~ 1 d - j ) ~ k ~ =y ~0
J -0 d-1
-
d-1
!
1-0
l
J
-
(d-11
Id-11
kJym
I - ~ ' [ d - j ~ y~ t(*' = J m
o
=
Sistem persamaan
di a t a s adalah sistem persa
(d+ll anu dan (d+L1 persamaan,
oleh itu ia h
penyelesaian s a h a j a iaitu penyelesaian remeh. k
0
= k = k = 1
2
...=
k = 0 d
Misalkan w j u d kombinasi linear lain katalah
yang memberikan r a l a t 01hd"l s a t u sistem persamaan dan
Idril
persamaan.
penyelesaian rcmeh
*
dengan i
>
seperti dalam (91 yan yang. mana
.
ini
d
c = c = c = ...= cd = 0
L
2
yang memberikan r a l a t
linear yang pekali-pekalinya dalam (51.
ju
.
Oleh it" telah terbukti bahawa hanya satu
PPB peringkat
I.
kom
01
mempunyai kemb
menggantikan y dengan y
Id-11
.
3. Algoritrna d a n k c p u t u s a n b e r a n g k a
Kacdah ekstrapolasi dan kaedah yang d
telah digunakan untuk menyelesaikan PPB
, , yCL"'=f l x . ~ ., y~ Dalam menyelesaikan masalah dl atas x
m-1
...)
ke x
m
menggunakan panjang langka
dengan a = x
, hampiran
Y_.
dengan
a
<
x
<
1
x
,,
ym. ym
101
2
...<
1.J.O
1.1.1
dan *
supaya
Akhir
x
sekali
"
= b.
ym
ya
,,,
"'
da
niiai
ham
IJl a ,,o,o
,.IJ
101
diekrtrapolasikan diperoiehi.
0
al.~.~'
diambil scbagai nilai hampirkl yang tcr 3,s
ym
.
Di
titik
xm, panjang
langkah !
# ,
penyelesaian hampiran tagi y, y .y
,y
diperlukan.
Berikut
iaiah
azoritma
asas
keempat. Panjang langkah awal
bagi
Ho dip
d m Gordon 171 , dengan mengandaikan
Langkah 5
:
Dengan
N = J
Niiaikan i = 1.2
zl*'
a"'
1,J,O
dan h = H/N J
.
a
101 1.1.1
.
1
a
(01
LJ,Z
.
.....s .
Langkah 6 : lika j = 0 , letakkan j = i ,perg
Langkah 7 : Ekstrapoiasikan sehingga mendap
i = 1.2.....s
,
Langkah 8
:
Jika j s 2 pergi ke langkah 5
Langkah 9
:
Letaan
I
a (I'
1
a
'"
Jika Langkah 10
:
-
i.0.I
1.0.3
e
Jika j
I
c, a
= m&s
[I
0 1
a ,,o,o
.
-
a
11-11
L.O.1
-
a
5
toleran perei ke langk
3
p, j = j+l, pergi ke ia
11-" 1,0.3
11,
Langkah 11 : Letakkan H = W 2 pergi ke lang
,
Langkah 12 : Letakkan y,lxl = a:!:,,
,, ,
a 8
y,
(XI
yl'(xl
=
1x1 = a'I' ,,O,J
y,
Langkah 13 : Letakkan Hi = ( Toi/c,l "'I Langkah 14 : Piiih H = mi" H,
.
.
Sebagai perbandingan, masalah yang sa yang
sama
dengan
ylx.hl,
y 1x.
mempunyai kembangan h sahaja. y(x1 = y(x.h) + C,h + C hZ + C
3
2
dengan K,(h) = OlhN*').
Masalah bcrikut diseiesaikan dan kep lampiran.
Masalah 1 ,,(
IV)=
yl0) = 0 ,
,, y
10)
-
0
Masalah 2 Y ( ' " l _ _Y
~ ( 0= ) 1,
,,
y 10) = 1
dan Gordon 171. Kcsimpulannya, jika toleransi
seorang
pada r a l a t pangkasan setempat
1 1 0 ~ ' dan
0 ( 1 0 - ~ * ~ 1adalah
rnerupakan
terkandung dalam batasan toleransi yang dikehen
Perhatikan juga keputusan dua belas masalah y Shampine dan Gordon I71 menggunakan kod mere sistem persamaan pembezaan biasa. Kod dalam kaedah multilangkah cekap.
Oleh i t u jika
berubah peringkdt
dan p
searang pengguna meme
dan mendapat kaedah yang memberikan
penye
sejagat 1 0 - ~ - tetapi ~ mngan bilangan langkah yang banyak,
d
m kebanyakan ahli analisis b
bahawa penyelesaian tersebut kurang cekap berb
~ a e d a h lain yang memberikan penyelesaian den dalam
batasan
toleransi
~ 1 1 0 ~ ~ atau "l
0110
langkah dan penilaian fungsi yang sedikit. Kaed pulangan yang
lebih
baik
kerana
ia menjima
tambahan pula pengguna tidak memerlukan keji yang diperlukan.
Bagi toleransi lo-',
10"
dan 10.'
walau
d a r l kaedah Al, tetapi r a l a t sejagat bag
batasan toleransi yang dikehendaki denga
dan jumlah penilaian fungsi yang kurang
kaedah AZ. Perbezaan jumlah p a i l a i m fu bagi toleransi 10.'
dan
gang telah dibincan&an. A2
bagi
toleransi
lo-'.
Berdasarkan
kaedah A1 diang
tersebut.
Dengan itu pada keseiuruhannya bolehlah
A1 adaiah lebih baik kalau tiddrpun seku
dengan kaedah A2. Namum dcmikian sebeiu
muktamat dapat dibuat adalah w a j a r dibuk
h2 bagi PPB peringkat ke d. Kajian scla ke alas PPB peringkat yang lebih tinggi la
131
Gragg. W.B.. (19651. On Extrapolation Algo
Initial Value Problem. SIAM J. Numerical A [41
F.T. (19691. A variable step varia
Krogh, method
for
the
numerical
soiution of
o
equation. Information Processing 68. North Company, Amsterdam 149-199.. 151
Mohamed b. 119871
.
Suleiman.
A Runge-Kutta
Jalil
b.
Abd.
Gha
method f o r solving
directly. Pertanika IO(201. 209-217.
I61
Mohamed
b.
persamaan Kcbangsaan L71
Suleiman pembezaan
119861. biasa
Kaedah
p
peringkat
Matematik ke 2. 336-350.
Shampine. L.F., and Gordon M.K. (19751. Co ordinary differential
equations, Freeman
.
KSTEP KFN KFA EMAX
-
Bilangan langkah. Bilangan penilaian fungsi.
Bilangan langkah yang gagal Ralat maksirnum adalah
I
penyelesaian
yixn tepat
hampiran. Kaedah
A1
:
P e n y e l e d a n yang mengandaikan ke
A2
:
Penyelesaian yang mempunyai kemb
Jadual 1 : Keputusan berangka log to1 10
-2
Kaedah
KSTEP
A1 A2
13 13
KFN 403 403
