V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 3y − 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R2 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 2x + y, ∂x
∂f = 2y + x − 3. ∂y
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 2x + y = 0,
x + 2y = 3,
která má řešení x = −1, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f ∂f ∂2f = 2, = 1, = 2. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Z podmínek pro typ kvadratické formy d2 f vyplývá, že v bodě a = (−2, 1) je ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, tudíž má funkce f v bodě a = (−2, 1) lokální minimum a f (−2, 1) = −2. 2. f (x, y) = 6xy − x3 − 8y 3 + 125. Definičním oborem funkce je množina Df = R2 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 6y − 3x2 , ∂x
∂f = 6x − 24y 2 . ∂y
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 3x2 − 6y = 0
6x − 24y 2 = 0,
která má dvě řešení x1 = 0, y1 = 0 a x2 = 1, y2 = 12 . Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f = −6x, ∂x2
∂f = 6, ∂x∂y
∂2f = −48y. ∂y 2
Z podmínek pro typ kvadratické formy d2 f vyplývá, že v bodě a1 = (0, 0) je ∆1 = 0, ∆2 = −36 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a1 = (0, 0) lokální extrém. V bodě a2 = (1, 21 ) je ∆1 = −6 < 0, ∆2 = 108 > 0 má tedy funkce f v tomto bodě lokální maximum a f (1, 12 ) = 126. 3. f (x, y) = x2 − 2y 2 − 4x + 8y − 6. Definičním oborem funkce je množina Df = R2 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 2x − 4, ∂x 21
∂f = −4y + 8. ∂y
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 2x − 4 = 0
− 4y + 8 = 0,
která má řešení x = 2, y = 2. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f ∂f ∂2f = 2, = 0, = −4. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Z podmínek pro určení typu kvadratické formy d2 f vyplývá, že v bodě a = (2, 2) je ∆1 = 2 > 0, ∆2 = −8 < 0, tudíž nemá funkce f v bodě a = (2, 2) lokální extrém. 4. f (x, y) = 3lnx + xy 2 − y 3 . Definičním oborem funkce je množina Df = {(x, y); x > 0} a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f 3 = + y2, ∂x x
∂f = 2xy − 3y 2 . ∂y
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 3 + y2 = 0 y(2x − 3y) = 0, x √ √ která má řešení x = − 32 3 2, y = − 3 2. Tento bod není v definičním oboru. Funkce nemá žádný stacionární bod, tudíž nemá lokální extrémy. Příklad 2: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + 2z − xy + xz. Definičním oborem funkce je množina Df = R3 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 2x − y + z, ∂x
∂f = 2y − x, ∂y
∂f = 2 + x. ∂z
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 2x − y + z = 0
2y − x = 0
2 + x = 0,
která má řešení x = −2, y = −1, z = 3. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f ∂2f ∂2f = 2, = 2, = 0, ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂f = −1, ∂x∂y
∂f = 1, ∂x∂z
∂f = 0. ∂y∂z
Z podmínek kritéria pro určení typu kvadratické formy d2 f vyplývá, že v bodě a = (−2, −1, 3) je ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, ∆3 = −2 < 0 tudíž funkce f nemá lokální extrém. 22
2. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + xz − z + x − 2y + 5. Definičním oborem funkce je množina Df = R3 a funkce f má spojité parciální derivace všech řádů ve všech bodech této množiny a je ∂f = 2x + z + 1, ∂x
∂f = 2y − 2, ∂y
∂f = 2z + x − 1. ∂z
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic x + 2z − 1 = 0
2x + z + 1 = 0
2y − 2 = 0,
která má řešení x = −1, y = 1, z = 1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f ∂2f ∂2f = 2, = 2, = 2, ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂f = 0, ∂x∂y
∂f = 1, ∂x∂z
∂f = 0. ∂y∂z
Z podmínek kritéria pro určení typu kvadratické formy d2 f vyplývá, že v bodě a = (−1, 1, 1) je ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 4 > 0, ∆3 = 6 > 0 tudíž má funkce f v bodě a = (−1, 1, 1) lokální minimum. y2 z2 2 + + . 4x y z Funkce f je definována pro {(x, y, z); x 6= 0, y 6= 0, z 6= 0}, což je otevřená množina a má ve všech bodech definičního oboru spojité parciální derivace všech řádů a je
3. f (x, y, z) = x +
∂f y2 = 1 − 2, ∂x 4x
∂f 2y z 2 = − , ∂y 4x y 2
∂f 2z 2 = − 2. ∂z y z
Stacionární body získáme ze soustavy rovnic 4x2 − y 2 = 0
2y 3 − 4xz 2 = 0
2z 3 − 2y = 0,
která má řešení x1 = 21 , y1 = 1, z1 = 1 a x2 = − 21 , y2 = −1, z2 = −1. Vypočteme parciální derivace 2. řádu a dostaneme, že ∂2f y2 = , ∂x2 2x3
∂2f 1 2z 2 = + , ∂y 2 2x y3
∂f −y = 2, ∂x∂y 2x
∂f = 0, ∂x∂z
∂2f 2 4 = + 3, 2 ∂z y z ∂f 2z = − 2. ∂y∂z y
Z podmínek kritéria pro určení typu kvadratické formy d2 f vyplývá, že v bodě a1 = ( 12 , 1, 1) je ∆1 = 4 > 0, ∆2 = 8 > 0, ∆3 = 32 > 0 tudíž má funkce f v bodě a1 = ( 12 , 1, 1) lokální minimum. Pro kvadratickou formu d2 f v bodě a2 = (− 12 , −1, −1) dostaneme ∆1 = −4 < 0, ∆2 = 8 > 0, ∆3 = −32 < 0, tudíž má funkce f v bodě a2 = (− 12 , −1, −1) lokální maximum.
23
Neřešené příklady Úloha 1: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f (x, y) = x2 + y 2 − xy − x − y + 3. [Df = R2 ,
∂f ∂x
∂f ∂y
= 2x − y − 1,
= 2y − x − 1.]
[stacionární bod a = (1, 1), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 2. f (x, y) = x2 + y 2 + xy − 6x − 9y. [Df = R2 ,
∂f ∂x
∂f ∂y
= 2x + y − 6,
= x + 2y − 9.]
[stacionární bod a = (1, 4), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 3. f (x, y) = 6xy + x − 3y − 2x2 − 5y 2 + 7. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 6y + 1 − 4x,
∂f ∂y
= 6x − 3 − 10y.]
[stacionární bod a = (−2, − 32 ), ∆1 = −4 < 0, ∆2 = 4 > 0, lokální maximum.)] 4. f (x, y) = x2 − y 2 + 2x + 6y + 5. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 2x + 2,
∂f ∂y
= −2y + 6.]
[stacionární bod a = (−1, 3), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = −4 < 0, není lokální extrém.)] 5. f (x, y) = 3x + 6y − x2 − xy + y 2 . [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 3 − 2x − y,
∂f ∂y
= 6 − x + 2y.]
[stacionární bod a = ( 12 , − 95 ), ∆1 = −2 < 0, ∆2 = −5 < 0, není lokální extrém.)] 5 x
6. f (x, y) = e 2 (x + y 2 ). [Df = R2 ,
∂f ∂x
x
= e 2 ( x2 +
y2 2
∂f ∂y
+ 1),
x
= 2ye 2 .]
[stacionární bod a = (−2, 0), ∆1 = 12 e−1 > 0, ∆2 = e−2 > 0, lokální minimum.)] 7. f (x, y) =
1 x
+
1 y
− xy. [Df = {(x, y); x 6= 0, y 6= 0},
∂f ∂x
= − x12 − y,
∂f ∂y
= − y12 − x.]
[stacionární bod a = (−1, −1), ∆1 = −2 < 0, ∆2 = 3 > 0, lokální maximum.)] 8. f (x, y) = 2x3 y − x2 y 2 + 32x + 5. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 6x2 y − 2xy 2 + 32,
∂f ∂y
= 2x3 − 2x2 y.]
[stacionární bod a = (−2, −2), ∆1 = 40 > 0, ∆2 = −384 < 0, není lokální extrém.)] 9. f (x, y) = 2x3 + 2xy 2 − 24x + 5. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 6x2 + 2y 2 − 24,
∂f ∂y
= 4xy.]
[stacionární bod a1 = (2, 0), ∆1 = 24 > 0, ∆2 = 192 > 0, lokální minimum.)] [stacionární bod a2 = (−2, 0), ∆1 = −24 < 0, ∆2 = 192 > 0, lokální maximum.)] √ [stacionární bod a = (0, 2 3), ∆1 = 0, ∆2 = −192 < 0, není lokální extrém.)] √ [stacionární bod a = (0, −2 3), ∆1 = 0, ∆2 = −192 < 0, není lokální extrém.)] 24
√ 10. f (x, y) = 3x2 − 2x y + y − 8x + 12. √ = 6x − 2 y − 8,
∂f ∂x
[Df = {(x, y); y ≥ 0},
[stacionární bod a = (2, 4), ∆1 = 6 > 0, ∆2 =
1 2
∂f ∂y
= − √xy + 1.]
> 0, lokální minimum.)]
11. f (x, y) = x3 + 8y 3 − 6xy + 5. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 3x2 − 6y,
∂f ∂y
= 24y 2 − 6x.]
[stacionární bod a = (0, 0), ∆1 = 0, ∆2 = −36 < 0, není lokální extrém.)] [stacionární bod a = (1, 12 ), ∆1 = 6 > 0, ∆2 = 108 > 0, lokální minimum.)] 12. f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 6x − 9y. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 2x + y − 6,
∂f ∂y
= x + 2y − 9.]
[stacionární bod a = (1, 4), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 3 > 0, lokální minimum.)] 13. f (x, y) = 2xy − 2x − 4y. [Df = R2 ,
∂f ∂x
= 2y − 2,
∂f ∂y
= 2x − 4.]
[stacionární bod a = (2, 1), ∆1 = 0, ∆2 = −4 < 0, není lokální extrém.)] √ 14. f (x, y) = x y − x2 − y + 6x + 3. √ [Df = {(x, y); y ≥ 0}, ∂f = y − 2x + 6, ∂f = 2√x y − 1.] ∂x ∂y [stacionární bod a = (4, 4), ∆1 = −2 < 0, ∆2 =
3 16
> 0, lokální maximum.)]
15. f (x, y) = x3 + y 3 − 18xy + 15. [ Df = R2
∂f ∂x
= 3x2 − 18y,
∂f ∂y
= 3y 2 − 18x.]
[stacionární bod a1 = (0, 0) ∆1 = 0, ∆2 = −324 < 0, není lokální extrém;] [stacionární bod a2 = (6, 6) ∆1 = 36 > 0, ∆2 = 972 > 0, lokální minimum ] 16. f (x, y) = ln(x3 ) + 2lny + ln(12 − x − y). [ Df = {(x, y); x > 0, y > 0, x + y < 12},
∂f ∂x
=
3 x
−
[stacionární bod a = (6, 4) ∆1 = − 31 < 0, ∆2 =
1 , 12−x−y 1 16
∂f ∂y
=
2 y
−
1 .] 12−x−y
> 0, lokální maximum ]
Úloha 2: Určete lokální extrémy dané funkce. 1. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y − 6z. [Df = R3 ,
∂f ∂x
= 2x + 2,
∂f ∂y
= 2y + 4,
∂f ∂z
= 2z − 6.]
[stacionární bod a = (−1, −2, 3), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 4 > 0, ∆3 = 8 > 0, lokální minimum.]
25
2. f (x, y, z) = x3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z. [Df = R3 ,
∂f ∂x
= 3x2 + 12y,
∂f ∂y
= 2y + 12x,
∂f ∂z
= 2z + 2.]
[stacionární bod a1 = (0, 0, −1), ∆1 = 0, ∆2 = −144 < 0, ∆3 = −288 < 0, není lokální extrém.] [stacionární bod a2 = (24, −144, −1), ∆1 = 144 > 0, ∆2 = 144 > 0, ∆3 = 288 > 0, lokální minimum.] 3. f (x, y, z) = 2xy − x2 − y + ey + z − 5arctgz. [Df = R3 ,
∂f ∂x
= 2y − 2x,
∂f ∂y
= 2x − 1 + ey ,
∂f ∂z
=1−
5 .] 1+z 2
[stacionární bod a1 = (0, 0, 2), ∆1 = −2 < 0, ∆2 = −6 < 0, ∆3 = − 24 < 0, není 5 lokální extrém.] [stacionární bod a2 = (0, 0, −2), ∆1 = −2 < 0, ∆2 = −6 < 0, ∆3 = lokální extrém.]
24 5
< 0, není
4. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 3yz + xz − 8x − 3z. [Df = R3 ,
∂f ∂x
= 2x + 2y + z − 8,
∂f ∂y
= 2y + 2x − 3z,
∂f ∂z
= 2z − 3y + x − 3.]
[stacionární bod a = (2, 1, 2), ∆1 = 2 > 0, ∆2 = 0, ∆3 = −32 < 0, není lokální extrém.]
26
