13. Násobné integrály 13.1. Oblasti v R2 . Načrtněte množinu Ω ⊂ R2 a najděte meze inteRR grálů f (x, y)dxdy, kde Ω je dána: Ω
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 3} vnitřek trojúhelníka tvořeného body [0, 0], [1, 0] a [0, 2]. vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, −3]. plocha mezi křivkami x2 a 1 − x2 . Ω = {(x, y) : 1 − x ≤ y ≤ ex , x ≤ 1} Ω = {(x, y) : x2 + y 2 − 2x − 4y − 4 ≤ 0} Ω = {(x, y) : x2 + 4y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0} Ω = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0} Ω = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 2x, x ≥ 1}
3 3 13.2. RRR Oblasti v R . Popište množinu Ω ⊂ R a najděte meze integrálu f (x, y, z)dxdydz, kde Ω je: Ω
(1) (2) (3) (4) (5)
Ω = {(x, y, z) : 1 ≤ x ≤ 3, −1 ≤ y ≤ 4, −2 ≤ z ≤ 1}, těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y Ω = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x, y, z ≥ 0}, 2 2 2 Ω = {(x, y, z) : x 2 + y 2 ≤ z2 , −1 ≤2z ≤ 1}, 64 Ω = (x, y, z) : x + y + z < 1, x + y 2 < 100 ,
13.3. Dvojné integrály v polárních souřadnicích. Pro následující RR oblasti Ω, převeďte integrál f (x, y)dxdy do polárních souřadnic: Ω
(1) (2) (3) (4) (5)
2
2
Ω = {(x, y) : x + y ≤ 9}, Ω = {(x, y) : 1 ≤ (x − 1)2 + (y + 2)2 ≤ 4}, Ω = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 2, x ≤ 0, y ≤ 0}, Ω = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 4x}, Ω je trojúhelník určený body [0, 0], [1, 0] a [1, 1].
13.4. Trojné integrály v cylindrických a sférických souřadnicích. Převeďte následující trojné integrály do cylindrických či sférických souřadnic: (1) Z1
√
Z1−x2 Z2 f (x, y, z)dzdydx.
√
−1 − 1−x2 −2
(2) √
Z1 Z1−x2
√
1−x2 −y 2
Z f (x, y, z)dzdydx,
0
0
(3) Z2
Z0
0 √
4−x Z 2 −z2
f (x, y, z)dydzdx, √
√ 0 − 4−x2 − 4−x2 −z 2
(4) Z1
√
Z1−x2
√
1−x2 −y 2
Z f (x, y, z)dzdydx.
√ √ 0 − 1−x2 − 1−x2 −y 2
13.5. Výpočet násobných integrálů. Vypočtěte následující integrály: RR (1) x + 2y dxdy, Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}, Ω RR (2) xy dxdy, Ω = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, Ω RR y dxdy, Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}, (3) 1+x2 Ω RR (4) x − y dxdy, Ω je určená křivkami y = x2 , y = 0, x = 1, Ω p RR (5) x2 + y 2 dxdy, Ω {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 4}, Ω RR 1 (6) dxdy, Ω {(x, y) : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ e2 }, x2 +y 2 Ω RRR (7) xy 2 z 3 dxdydz, Ω = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 0} Ω RRR p (8) z x2 + y 2 dxdydz, Ω = {(x, y, z) : 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2} Ω RRR √ 1 dxdydz, Ω = {(x, y, z) : 0 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 1} (9) x2 +y 2 Ω RRR 2 2 (10) x +y dxdydz, Ω = {(x, y, z) : a2 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ b2 , z ≥ 0} Ω
13.6. Nulovost násobných integrálů. Pro jaká n ∈ N budou následující integrály nulové: RR (1) x dxdy, Ω = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ n, −1 ≤ y ≤ 1}, Ω RR n 2 (2) x y dxdy, Ω = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}, Ω RR (3) xn ydxdy, Ω = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}, Ω
13.7. Obsahy. Najděte obsah následujících útvarů: (1) mezikruží s poloměry kružnic a < b. 2 2 (2) elipsy xa2 + yb2 = 1. (3) kruhová výseč, určená úhly α, β a poloměrem r. (4) plocha určená křivkami y = x a y = xn , x ≥ 0 13.8. Objemy těles. Vypočtěte objem následujících těles: (1) pětistěn určený plochami x = 0, y = 0, z = 0, z = 1 + x + y a x + y = 1, (2) ”tlustostěnná koule”- ”fotbalový míč”Ω = {(x, y, z) : a2 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ b2 }, (3) ”tlustostěnný válec”- ”prstýnek”Ω = {(x, y, z) : a2 ≤ x2 + y 2 ≤ b2 , 0 ≤ z ≤ c}, (4) ”válec s kulovými čepičkami”Ω = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 + z 2 ≤ 4}, 13.9. Násobné integrály integrate x^2+x*y^3 dx integrate x*y^2 dx dy, integrate x*y^2 dy dx, integrate x*y^2*z^3 dx
a WA. Zkuste si např. dy, x=0..1, y=0..1 x=0..y, y=0..1 y=-x-5..3+2x, x=-1..2 dy dz , x=0..1, y=-1..2, z=2..3
Výsledky 13.1. (1) Ω je obdélník. Z2 Z3
ZZ
f (x, y)dydx,
f (x, y)dxdy = Ω
0 −1
ZZ
Z3 Z2
nebo f (x, y)dxdy.
f (x, y)dxdy = −1 0
Ω
(2) Ω je trojúhelník ZZ
Z1 2−2x Z f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx, 0
Ω
0
nebo y
1− 2 Z2 Z
ZZ f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy. 0
Ω
0
(3) Ω je čtyřúhelník Z2 Z2x
ZZ f (x, y)dxdy = Ω
0 −x
Z3 8−2x Z Z4 8−2x Z f (x, y)dydx+ f (x, y)dydx+ f (x, y)dydx, 2
−x
3 3x−12
nebo y+12
y
4− 2 Z4 Z
Z0 Z3
ZZ f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy + −3 −y
Ω
f (x, y)dxdy. 0
y 2
(4) Ω je ”oko”mezi křivkami x2 a 1 − x2 : √ 2
ZZ
Z2 1−x Z 2 f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx,
Ω
−
√ 2 2
x2
nebo 1
√
√
Z2 Z y
ZZ
Z1 Z1−y f (x, y)dxdy +
f (x, y)dxdy = √ 0 − y
Ω
f (x, y)dxdy. 1 2
√ − 1−y
(5) Ω je oblast omezená křivkami y = ex , y = 1 − x a x = 1: Z1 Zex
ZZ f (x, y)dxdy =
f (x, y)dydx, 0 1−x
Ω
nebo Z1 Z1
ZZ
f (x, y)dxdy +
f (x, y)dxdy = Ω
Ze Z1
0 1−y
f (x, y)dxdy. 1 ln y
(6) Ω je kružnice se středem v bodě [1, 2] a poloměrem r = 3.
Z4
ZZ
√ 9−(x−1)2 Z f (x, y)dydx, √ 2
2+
f (x, y)dxdy =
−2 2−
Ω
9−(x−1)
nebo Z5
ZZ f (x, y)dxdy =
−1 1−
Ω
√ 9−(y−2)2 Z f (x, y)dxdy. √ 2
1+
9−(y−2)
(7) Pravá horní čtvrtka elipsy se středem v počátku a poloosami a = 2 a b = 1: √
4−x2
Z2 Z2
ZZ f (x, y)dxdy =
f (x, y)dydx,
Ω
0
ZZ
Z1
0
nebo
f (x, y)dxdy = Ω
0
2
√ 2 Z1−y f (x, y)dxdy. 0
(8) Horní polovina mezikruží s poloměry r1 = 1 a r2 = 2: √
√
ZZ
√
Z1 Z4−x2 Z−1 Z4−x2 Z2 Z4−x2 f (x, y)dydx+ f (x, y)dydx, f (x, y)dxdy = f (x, y)dydx+ −2
Ω
−1
0
√
1−x2
1
0
nebo Z1
ZZ f (x, y)dxdy =
0
Ω
√ √ √ 2 − 1−y 2 4−y 2 2 Z Z Z Z4−y f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy. + √ √ √ 1 −
4−y 2
1−y 2
−
(9) Pravý půlkruh z kruhu o středu v bodě [1, 0] a poloměru r = 1: Z2
ZZ
√
2x−x Z 2
f (x, y)dxdy = Ω
f (x, y)dydx, √ 1 − 2x−x2
4−y 2
nebo √ 2 Z 1−y f (x, y)dxdy.
1+
Z1
ZZ f (x, y)dxdy =
−1
Ω
1
13.2. (1) Kvádr Z3 Z4 Z1
ZZZ f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dzdydx. 1 −1 −2
Ω
(2) Čtyřstěn procházející body [0, 0, 0], [1, 0, 0], [1, 0, 1] a [1, 1, 1]. Z1 Zx Zx
ZZZ
f (x, y, z)dzdydx.
f (x, y, z)dxdydz = 0
Ω
0
y
(3) ”Kladná”osminka koule √
Z1 Z1−x2
ZZZ
√
1−x2 −y 2
Z
f (x, y, z)dxdydz = Ω
f (x, y, z)dzdydx. 0
0
0
(4) ”Přesýpací hodiny-oříznutý kužel, √ √ 2 − x2 +y 2 1−x 1 Z ZZZ Z Z Z1 f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz + √ √ 2 −1 −1 Ω − 1−x
f (x, y, z)dz dydx.
x2 +y 2
(5) Válec s kulovou úsečí na každém konci, √ 64 2 √ 4 −x 1−x2 −y 2 100 5 ZZZ Z Z Z f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dzdydx. √ √ 4 Ω 64 2 −5 −
13.3.
100
−x −
1−x2 −y 2
(1) kruh Z3 Z2π
ZZ f (x, y)dxdy =
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr 0
Ω
0
(2) mezikruží se středem v bodě [1, −2] a poloměry r1 = 1, r2 = 2. Z2 Z2π
ZZ
f (2 + r cos ϕ, −2 + r sin ϕ)rdϕdr
f (x, y)dxdy = 1
Ω
0
(3) čtvrtkruh ve 3.kvadrantu: √
3
Z 2Z2 π
ZZ f (x, y)dxdy =
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr 0
Ω
π
(4) kruh se středem v [2, 0] a poloměrem r = 2 Z2 Z2π
ZZ f (x, y)dxdy =
f (2 + r cos ϕ, r sin ϕ)rdϕdr, 0
Ω
0
nebo polární souřadnice se středem v počátku π
ZZ Ω
Z2 4Zcos ϕ f (x, y)dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ, − π2
0
(5) Ze vztahu 1 = x = r cos ϕ dostáváme r = 1
π
cos ϕ Z4 Z
ZZ f (x, y)dxdy = Ω
1 . cos ϕ
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ, 0
0
13.4. (1) Válec Z1
√
Z1−x2 Z2
Z1 Z2π Z2 f (x, y, z)dzdydx =
√
−1 − 1−x2 −2
f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdzdϕdr. 0
0 −2
(2) Osmina koule v prvním oktantu √ √ π π 2 1−x2 −y 2 1 1−x Z Z Z Z1 Z2 Z2 f (x, y, z)dzdydx = f (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)r2 cos θdθdϕdr. 0
0
0
0
0
0
(3) Čtvrtina koule ve dvou oktantech, kde x ≥ 0 a z ≤ 0 Z2
Z0
√
π
4−x Z 2 −z2
Z2 Z2 Z0 f (x, y, z)dydzdx =
√ √ 0 − 4−x2 − 4−x2 −z 2
f (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)r2 cos θdθdϕdr
0 − π2 − π2
(zcela korektně bychom měli uvažovat ϕ ∈ 0, π2 ∪ 3π , 2π , 2 výsledek s rozdělenými integrály by byl ale stejný) (4) Polovina koule, kde x ≥ 0. √ √ π 1−x2 −y 2 Z1 Zπ Z2 Z1 Z1−x2 Z f (x, y, z)dzdydx = f (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ)r2 cos θdθdϕd √ √ 2 0 0 −π 0 − 1−x −
1−x2 −y 2
13.5. (1) 5, (b2 −a2 )(d2 −c2 ) , (2) 4 (3) π2 , 3 (4) 20 , 16π (5) 3 (polární s.), (6) 2π (polární s.). 1 (7) − 12 , (8) 4π (cylindrické s.), 3 2 (9) π (sférické s.), 4 (10) 15 π(b5 − a5 ) (sférické s.). 13.6. (1) n = 2, (2) n lichá, (3) pro všechna n.
2
13.7. (1) π (b2 − a2 ), (2) πab (eliptické polární souřadnice. Nebo obyčejné porární + substituce x = a sin t u jednoduchého integrálu), 2 (3) r |β−α| , 2 1 (4) 21 − n+1 . 13.8. (1) (2) (3) (4)
5 , 6 4 π 3
(b3 − a3 ) (sférické s.), πc (b2 − √ a2 ) (cylindrické s.), 4 π 8 − 27 (cylindrické s.). 3
