1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0

Test M1-ZS12-2  M1-ZS12-2/1  Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2x63

x  2 ,

která je kolmá na přímku p : 2 x  y  3  0. Řešení. Zřejmě D f  R. Přímka p má směrnici 2, tečna na ní kolmá má proto směrnici 1 2. Protože směrnice tečny ke grafu v bodě x0 , f x0 je rovna derivaci f ' x0 , tečna v tomto bodě je kolmá k přímce p právě když x0 je řešením rovnice 3 x

f ' x  1 2 tj. 2 



x  2

2

1 2

.

Tato rovnice je postupně ekvivalentní rovnicím 3 x 2



x  2

3 2

, x 

 x  2 , 2 x   x  2, 2 x   x  2  0.

Rovnice w2  w  2  0 má kořeny 2 a 1. Tedy x0  2, x0  ln 2. Hledaná tečna má proto rovnici y  2 ln 2 

1 2

x  ln 2 , tj. x  2 y  3 ln 2  0

1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

2 | M1-12-2 (1-4).nb

 Příklad 2 Vypočtěte integrál x

5 x  2 sin

2

 1  x.

Řešení. Integrál vypočteme metodou per partes:

5 x  2 sin

x 2

 1 x 

 2 5 x  2 cos 2 5 x  2 cos

x 2 x 2

x

u  5 x  2 v'  sin u'  5

2

1

v  2 cos

 1  10

x

cos

 1  20 sin

x 2

x 2



1

 1 x 

2

 1  C.

Výsledek platí na celé množině R.  Příklad 3 Vypočtěte integrál sin 2 ln x  cos 3 ln x 

1

ln x

x

 x.

Řešení. Integrál vypočteme substitucí ln x  t: sin 2 ln x  cos 3 ln x  

sin 2 t  cos 3 t  

1 2

ln x

t t  

cos 2 ln x 

1 3

1 2

1 x

ln x  t

x 

x

cos 2 t 

sin 3 ln x 

1

2 3

1 3

 x  t

sin 3 t 

2 3

 t3 2  C 

ln3 2 x  C

Výsledek platí na intervalu 1,  .  Příklad 4a Napište, v jakém tvaru je třeba hledat rozklad racionální funkce Rx 

x4  2 x3  x2  2 x  1 x3

3

x2  1 x2  3 x  9

2

.

na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího pravidla.

M1-12-2 (1-4).nb | 3

Řešení. Rozklad je třeba hledat ve tvaru A1 x3

3



A2 x3

2



A3



x3

B

C



x1

D2 x  E2 x2  3 x  9

x1



D1 x  E1 x2  3 x  9

2



.

Pomocí zakrývacího pravidla lze přímo vypočítat koeficienty A1 , B a C.  Příklad 4b Vypočtěte integrál 9x5 x2 x2  4 x  5

 x.

Řešení. Nejprve najdeme rozklad integrandu na jednoduché zlomky: 9x5 x2 x2  4 x  5



A x2

B



x



CxD x2  4 x  5

,

9 x  5  A x2  4 x  5  B x3  4 x2  5 x  C x  D x2 , x0 : x1 : x2 : x3 :

55A 94A5B 0 A4B D 0BC

A1 B1 .  D  5 C  1

Tedy 9x5 x2 x2  4 x  5 

1 x



 ln x  1 x

 ln

x 

1 x2



1

2x4

2

x2  4 x  5

x 

1 2

1 x



x 

x5 x2  4 x  5

x 

3 x2

2

1

x 

ln x2  4 x  5  3 arctg x  2  C.

Výsledek platí na intervalech , 0 a 0,  .

4 | M1-12-2 (1-4).nb

 M1-ZS12-2/2  Příklad 1 Najděte normálu grafu funkce f x 2x

x2  5 x  7 ,

která je rovnoběžná s přímkou q : 2 x  3 y  1  0. Řešení. Diskriminant rovnice x2  5 x  7  0 je záporný, proto D f  R. Normála n ke grafu je rovnoběžná s přímkou p právě tehdy, když k ní příslušná tečna t je na přímku p kolmá. Protože p má směrnici 2 3, tečna t je na přímku p kolmá právě když má směrnici k  3 2. Protože směrnice tečny ke grafu v bodě x0 , f x0 je rovna derivaci f ' x0 , tečna v tomto bodě má směrnici k  3 2 právě když x0 je řešením rovnice 2x5

f ' x  3 2 tj. 2 



x2  5 x  7

2

3 2

2x5

neboli 2

x2  5 x  7

1  . 2

Tato rovnice je v oboru 2 x  5  0 postupně ekvivalentní rovnicím 2x5

x2  5 x  7 , 4 x2  20 x  25  x2  5 x  7,

3 x2  15 x  18  0, x2  5 x  6  0 . Poslední rovnice má kořeny x1  3, x2  2. Podmínku 2 x  5  0 ale splňuje pouze x2 . Proto x0  2 a hledaná normála má rovnici y5

2 3

x  2 , tj. 2 x  3 y  19  0.

6.0

5.5

5.0

4.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

M1-12-2 (1-4).nb | 5

 Příklad 2 Vypočtěte integrál x 2 3 x2  2  x. Řešení. Integrál vypočteme metodou per partes: x 2



u  3 x2  2 v'  x 2 u'  6 x v  2 x

3 x  2 x  2

 2 3 x2  2 x 2 

12 x x 2  x 



u  12 x v'  x 2 u'  12 v  2 x

 2 3 x2  2 x 2  24 x x  24



x 2  x 

 2 3 x2  2 x 2  24 x x 2  48 x 2  C   2 x 2 3 x2  12 x  22  C. Výsledek platí na celé množině R.  Příklad 3 Vypočtěte integrál 2

sin x 

1 sin x



1 1  sin2 x

cos x  x.

Řešení. Integrál vypočteme substitucí cos x  t: 2

sin x 

1 sin x 



4 3



1 1

sin2

2

t 

t3 2  ln t arctg t  C 

4 3

cos x  x  x 1 t



1 1  t2

sin x  t  cos x  x   t

t 

sin3 2 x  ln sin x arctg sin x  C.

Výsledek platí na intervalech 2 k ,   2 k  , kde k  Z.  Příklad 4a Napište, v jakém tvaru je třeba hledat rozklad racionální funkce Rx 

2 x3  x2  x x1

2

x2  9

2

x2  5 x  8

2

.

na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího pravidla.

6 | M1-12-2 (1-4).nb

Řešení. Rozklad je třeba hledat ve tvaru A1 x1

2



A2 x1

B1



x3

2



B2 x3

C1



x3

D2 x  E2 x2  5 x  8

2



C2 x3

D1 x  E1



x2  5 x  8

2



.

Pomocí zakrývacího pravidla lze přímo vypočítat koeficienty A1 , B1 a C1 .  Příklad 4b Vypočtěte integrál 12 x  13

 x.

x  2 x2  8 x  17

Řešení. Nejprve najdeme rozklad integrandu na jednoduché zlomky: 12 x  13 x  2 x2  8 x  17



A x2



BxC x2  8 x  17

.

(*)

Nejprve najdeme zakrývací metodou koeficient A: A

12 x  13 x2  8 x  17

 x2

24  13 4  16  17

1

Potom obě strany rovnice (*) vynásobíme proměnnou x a přejdeme k limitě pro x  . Nakonec do rovnice (*) dosadíme x  0. Postupně dostaneme 0  A  B, B  1, 13 1 C    , 13  17  2 C, C  2. 34 2 17 Tedy 12 x  13 x  2 x2  8 x  17  ln x  2 

x 

1 x2

1

2x8

2

x2  8 x  17

 ln x  2 

1 2



x 

x2 x2  8 x  17 6 x4

2

1

x 

x 

ln x2  8 x  17  6 arctg x  4  C.

Výsledek platí na intervalech , 2 a 2,  .

M1-12-2 (1-4).nb | 7

 M1-ZS12-2/3  Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 3

4 x  2  2 x  6,

která je kolmá na přímku p : 2 x  y  1  0. Řešení. Zřejmě D f  R. Přímka p má směrnici 2, tečna na ní kolmá má proto směrnici 1 2. Protože směrnice tečny ke grafu v bodě x0 , f x0 je rovna derivaci f ' x0 , tečna v tomto bodě je kolmá k přímce p právě když x0 je řešením rovnice 12 x

f ' x  1 2 tj.

4 x

2

2

2

1 2

neboli

4 x 4 x

 1.

2

Tato rovnice je postupně ekvivalentní rovnicím 4 x 

4 x  2 , 16 2 x  4 x  2,

8 2 x  2 x  1  0.

Rovnice 8 w2  2 w  1  0 má kořeny 1 2 a 1 4. Tedy x0  , x0  ln 2. Hledaná 1 2

tečna má proto rovnici y  2 ln 2 

1 2

x  ln 2 , tj. x  2 y  3 ln 2  0.

1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

8 | M1-12-2 (1-4).nb

 Příklad 2 Vypočtěte integrál 3  5 x cos

5x 3

 1  x.

Řešení. Integrál vypočteme metodou per partes: 3  5 x cos



3

3

3 5

u  3  5 x v'  cos

 1 x 

3  5 x sin

5 

5x

5x

3  5 x sin

u'  5

1 3

3 5x

1 

3

v sin

9 5

cos

5x

3

sin

5

5x 3 5x

1

3

1



 1 x 

3 5x

 1  C.

3

Výsledek platí na celé množině R.  Příklad 3 Vypočtěte integrál 4 2 tg x  sin 2 tg x  3 tg2 x cos2 x

 x.

Řešení. Integrál vypočteme substitucí tg x  t: 4 2 tg x  sin 2 tg x  tg2 x cos2 x 

x 

4 2 t  sin 2 t  3 t2  t  2 2 t   2 2 tg x 

1 2

tg x  t 1 cos2 x

1 2

 x  t



cos 2 t  t3  C 

cos 2 tg x  tg3 x  C

Výsledek platí na intervalech  2  k ,  2  k  , kde k  Z.  Příklad 4a Napište, v jakém tvaru je třeba hledat rozklad racionální funkce Rx 

x3  2 x2  x  2 x1

3

x2  4 x2  2 x  5

2

.

na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího

M1-12-2 (1-4).nb | 9

na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího pravidla. A1 x1

3



A2 x1

2

A3





x1

B



x2

D2 x  E2 x2  2 x  5

C x2



D1 x  E1 x2  2 x  5

2



.

Pomocí zakrývacího pravidla lze přímo vypočítat koeficienty A1 , B a C.  Příklad 4b Vypočtěte integrál 10  4 x

 x.

x2 x2  6 x  10

Řešení. Nejprve najdeme rozklad integrandu na jednoduché zlomky: 10  4 x x2 x2  6 x  10



A x2

B



x



CxD x2  6 x  10

,

10  4 x  A x2  6 x  10  B x3  6 x2  10 x  C x  D x2 , x0 : 10  10 A x1 : 4  6 A  10 B x2 : 0 A6B D x3 : 0BC

A1 B  1 .  D5 C1

Tedy 10  4 x x2 x2  6 x  10 

1 x



 ln 1 x

x 

x 

1 x2



1

2x6

2

x2  6 x  10

 ln x 

1 2

1 x



x5 x2  6 x  10

x 

x 

2 x3

2

1

x 

ln x2  6 x  10  2 arctg x  3  C.

Výsledek platí na intervalech , 0 a 0,  .

10 | M1-12-2 (1-4).nb

 M1-ZS12-2/4  Příklad 1 Najděte normálu grafu funkce f x  3 x  ln 3 x2  9 x  2  1, která je rovnoběžná s přímkou q : 2 x  3 y  1  0. Řešení. Rovnice 3 x2  9 x  2  0 má kořeny 9 

105

6 a proto

D f  x : 3 x2  9 x  2  0  , 9 

105

6, 9 

105

6  , 0.208

3.208, 

Normála n ke grafu je rovnoběžná s přímkou p právě tehdy, když k ní příslušná tečna t je na přímku p kolmá. Protože p má směrnici 2 3, tečna t je na přímku p kolmá právě když má směrnici k  3 2. Protože směrnice tečny ke grafu v bodě x0 , f x0 je rovna derivaci f ' x0 , tečna v tomto bodě má směrnici k  3 2 právě když x0 vyhovuje rovnici f ' x  3 2 tj. 3 

6x9 3 x2  9 x  2

 3 2.

Tato rovnice je v oboru 3 x2  9 x  2  0 postupně ekvivalentní rovnicím 6x9

3  , 2 3 x2  9 x  2

2x3

1   , 4 x  6  3 x2  9 x  2, 2 3 x2  9 x  2 2 3 x  5 x  8  0.

Poslední rovnice má kořeny x1  8 3, x2  1. Podmínku 3 x2  9 x  2  0 ale splňuje pouze x2  1. Hledaná normála má proto rovnici y  2  ln 10  2 x  1

3.

0.6

0.4

0.2

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

M1-12-2 (1-4).nb | 11

 Příklad 2 Vypočtěte integrál 3x

x2  2 x ln

 x.

2

Řešení. Integrál vypočteme metodou per partes: x  2 x ln 2



x3 3

x

2

ln

3x 2

u  ln

3x

x 

2 x2



3

u' 

v'  x2  2 x

2

1

v

x

x3

 x x 

3x

3

x

2

ln

x3 3



 x2

3x 2



x3 9



x2 2

 C.

Výsledek platí na intervalu 0,  .  Příklad 3 Vypočtěte integrál 3

3 x2  x  3 sin 3 x3  2 

1

 x.

1  x3

Řešení. Integrál vypočteme substitucí x3  t: 3

3 x2  x  3 sin 3 x3  2  

x3  t 3 x2  x   t



1 1  x3

x 

t  3 sin 3 t  2 

1 1t

t 

3

 t  cos 3 t  2  ln 1  t C   x  cos 3 x3  2  ln 1  x3 C. Výsledek platí na intervalech , 1 , 1,  .  Příklad 4a Napište, v jakém tvaru je třeba hledat rozklad racionální funkce Rx 

2 x4  x3  2 x2  12 x  1 x4

2

x2  25

2

x2  x  3

2

.

na jednoduché zlomky, a uveďte, které z koeficientů lze určit přímo pomocí zakrývacího pravidla. Řešení. Rozklad je třeba hledat ve tvaru

12 | M1-12-2 (1-4).nb

A1 x4

2



A2 x4

B1



x5

2



B2 x5

C1



x5

D2 x  E2 x2  x  3

2



C2 x5



D1 x  E x2  x  3

2



.

Pomocí zakrývacího pravidla lze přímo vypočítat koeficienty A1 , B1 a C1 .  Příklad 4b Vypočtěte integrál 37x x  1 x2  4 x  5

 x.

Řešení. Nejprve najdeme rozklad integrandu na jednoduché zlomky: 37x x  1 x2  4 x  5



A x1



BxC x2  4 x  5

.

(*)

Nejprve najdeme zakrývací metodou koeficient A: A

37x x2  4 x  5

 x  1

37 145

 1.

Potom obě strany rovnice (*) vynásobíme proměnnou x a přejdeme k limitě pro x  . Nakonec do rovnice (*) dosadíme x  0. Postupně dostaneme 0  A  B, B  1, 3 C  1  , 3  5  C, C  2. 5 5 Tedy 37x x  1 x2  4 x  5  ln x  1 

x 

1

2x4

2

x2  4 x  5

 ln x  1 

1 2

1 x1 x 



x2 x2  4 x  5 4 x2

2

1

x  x 

ln x2  4 x  5  4 arctg x  2  C.

Výsledek platí na intervalech , 1 a 1,  .