ALJABAR MATRIKS Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier 2x + 3y + 3z =0 x + y + 3z =0 – x + 2y – z = 0
Maka koefisien tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb :
2 3 2 1 1 3 1 2 1
Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS, dan secara umum dapat dituliskan sbb : a11 a 21 a31 . . . a i1 a m1
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
aij a2 j a3 j
. . .
. . .
. . .
ai 2 am2
ai 3 a m3
aij a mj
a1n a 2 n a3n . . . ain a mn
m, n adalah bilangan bulat ≥ 1. aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n) m banyak baris orde matriks mxn n banyaknya kolom Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)
Macam matriks • Matriks bujur sangkar, bila m = n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 mxn Elemen-elemen a11, a22, .........., ann
disebut “elemen-elemen diagonal utama”
Macam matriks •
Matriks baris, bila m = 1
1 •
2 3 4 5
[ A ]mx1
Matriks kolom, bila n = 1 1 2 3 4 5
[ A ]1x n
Macam matriks • Matriks nol, bila aij = 0 : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR •
Matriks Diagonal, Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali elemen-elemen diagonal utamanya.
1 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4
aij = 0 aii ≠ 0
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR • Matriks Satuan (unit matriks). Jika elemen-elemen diagonal sama dengan 1 dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol. 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
= [I]
Disebut juga matriks identitas = [ I ]
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR • Matriks simetris, jika aij = aji
1 2 3 2 0 7 3 7 5 • Matriks skew-simetris, jika aij = - aji 1 2 3 2 0 7 3 7 5
OPERASI MATRIKS • Kesamaan matriks Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila
aij = bij [ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.
OPERASI MATRIKS •
Penjumlahan matriks Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan menjadi matriks [C]
[C] = [A] + [B] cij = aij + bij Sifat-sifat penjumlahan Matriks [A]+[B]=[B]+[A] → Komutatif [ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif
EXAMPLE :
[A] =
1 2 3 4 5 6
[C] =
1 0 2 3 3 2 4 1 5 2 6 3
[C] =
1 5 5 5 7 9
[B] =
0 3 2 1 2 3
OPERASI MATRIKS • Perkalian dengan skalar : Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar k menghasilkan suatu matriks
[D] = k [A]
dij = k . aij Sifat-sifat perkalian skalar matriks: k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k
EXAMPLE :
1 2 3 [A]= 4 5 6
[D]=
2 4 6 8 10 12
; k = -2
OPERASI MATRIKS • Perkalian matriks Matriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan matriks baru
[E]mxn = [A]mxp [B]pxn p
eij aik bkj k 1
dimana : i = 1, 2, … m ;
j = 1, 2, … n
;
k = 1, 2, … p
EXAMPLE : [A] =
2 1 5 1 3 2 2 x3
;
2 x3 1(1) 5 x 2 [E] = 1x3 3(1) 2 x 2
15 15 [E] = 4 12 2x2
3 4 [B] = 1 2 2 1 3 x 2 2 x 4 1x 2 5 x1 1x 4 3x 2 2 x1
Sifat-sifat perkalian matriks : • [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]
; sifat distributif
• ( [A] + [B] ) + [C] = [A] [B] + [A] [C]
; sifat distributif
• [A] ( [B] [C] )
; sifat assosiatif
= ( [A] [B] ) [C]
• [A] [B] ≠ [B] [A] • [A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]
TRANSPOSE MATRIKS Jika matriks [A] dengan orde m x n Transpose matriks [A]
=
T [A]
adalah matriks berorde n x m dengan baris dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan baris matrix [A]T EXAMPLE :
1 2 3 [A] = 4 5 6 2 x3
1 4 [A]T =2 5 3 6 3 x 2
Sifat-sifat dari transpose matriks
• ( [A]T )T = [A] • ( k [A] )T = k [A]T
• ( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T • ( [A] [B] )T = [B]T [A]T
DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR [A]2x2 =
a11 a12 a 21 a 22
Det. [A] = A a11 a22 a1 2 a21
[B]3x3
b11 b12 b21 b22 b31 b32
b13 b23 b33
B b11 b22 .b33 b23b32 b12 b21.b33 b23.b31 b13 b21.b32 b22 .b31
Co-factor bij = ( –1) i+j Minor bij
Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) → cara sama n
A aik cik ai1ci1 ai 2 ci 2 ....... ain cin k 1
dimana cik = co-factor aik
INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR • Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matriks tersebut. • Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].
• Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR • Bila [A] tidak punya inverse disebut matriks SINGULAR.
• Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1
EXAMPLE : [A] =
6 2 3 1 1 0 1 0 1
[A] [A]-1
1 = 0 0
0 1 0
; [A]-1 =
0 0 1
1 1 1
2 3 2
3 3 4
=[I]
Catatan : Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan, metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.
Metode Gauss-Jordan Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn Langkah-langkah yang dilakukan : 1) Ambil matriks satuan [I]nxn 2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A] menjadi matriks satuan 3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ], sehingga setelah proses selesai matriks [ I ] telah berubah menjadi matriks [A]-1
EXAMPLE : 1 3 3 [A] = 1 4 3 1 3 4
[A]-1
LANGKAH KE-1
1 1 1
LANGKAH KE-2
1 3 3 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 3 4 0 0 1
LANGKAH KE-3
3 4 3
31 30 40
0 1 0
0 0 1
1 3 3 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1
7 3 3 = 1 1 0 1 0 1
LANGKAH KE-4
1 0 3 4 3 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1
LANGKAH KE-5
1 0 0 7 3 3 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1
LANGKAH KE-n
Selesai …?????
MATRIKS ORTHOGONAL Suatu matriks bujur sangkar [A] disebut matriks orthogonal bila [A]-1 = [A]T [A] [A]T = [A] [A]-1 = [ I ]
EXAMPLE :
[A] = [A]-1 =
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
[A]T
cos = sin
sin cos
Karena [A]-1 = [A]T → matriks [A] disebut matriks orthogonal
[T] =
[T]T =
cos sin 0 cos sin 0
sin cos 0 sin cos 0
0 0 1
[T]-1 =
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
0 0 1
Karena [T]-1 = [T]T → matriks [T] disebut matriks orthogonal
TEORI DEKOMPOSISI MATRIKS Bila [A] = sebuah matrix bujur sangkar maka matriks tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk : [A] = [L] [U] a11 a 21 a31 . . a n1
a12 a 22 a32 . . an2
a13 a 23 a33 . . a n3
...... ...... ...... ...... ...... ......
a1n a 2 n a3n . . a nn
=
nxn
l11 0 0 l l 21 22 0 l31 l32 l33 . . . . . . l n1 l n 2 l n3
[L] = lower triangle matriks [U] = upper triangle matriks
.... 0 .... 0 .... 0 .... . .... . .... l nn
nxn
u11 u i 2 u13 0 u u 22 23 0 0 u 33 . . . . . . 0 0 0
.... .... .... .... .... ....
u1n u 2 n u 3 n. . . u nn
nxn
EXAMPLE : 36 27 63 20 25 39 12 14 33
=
[A]
=
9 0 0 5 2 0 3 1 7
4 3 7 0 5 2 0 0 8
[L]
[U]
Aplikasi pada solusi persamaan linier simultan : [A] {X} = [B] [L] [U] {X} = [B]
→
misal
[U] {X} = {Y}
[L] {Y} = [B]
{X} = [U]-1 {Y}
{Y} = [L]-1 [B] dapat diperoleh tanpa inverse matriks
Sehingga : {X} = [U]-1 [L]-1 [B]
dapat diperoleh tanpa inverse matriks
SOLUSI PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Persamaan Linier Simultan dengan n buah bilangan tak diketahui dapat dituliskan sbb : a11 a21 . . . a n1
x1 x1
x1
a12 a 22 . . . an 2
x2 x2
x2
.......... a1n .......... a 2 n .......... . .......... . .......... . .......... a nn
a11 a 21 a 21 a 22 . . . . a n1 a n 2
xn xn
xn
.... a1n x1 .... a 2 n x 2 .... . . .... . x n 1 .... a nn x n
b1 b2 . . . bn
b1 b 2 = . b n 1 bn
Secara matriks ditulis, [A] {X} = [B]
EXAMPLE : 4x + 3y + z = 13 x + 2y + 3z = 14 3x + 2y + 5z = 22
4 3 1 1 2 3 3 2 5
x 13 y = 14 z 22
[A] {X} = [B] { X } = [A]-1[B]
4 3 1 x 1 2 3 y = z 3 2 5
1
13 14 = …..?????? 22
PARTISI MATRIKS Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya. Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa
A
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a14 a23 a24
a15 a25
a33
a35
a34
a16 A11 A12 A13 a26 = A A A 21 22 23 a36
dimana ; a11 A11 a 21
a12 a13 a14 A12 a a a 23 24 22
a15 a16 A13 a a 26 25
A21 a31
A22 a32
A23 a35
a33
a34
a36
EXAMPLE : 5 A 4 10
A B
3 6 3
1 2 4 3 x 3
A11 A21
A12 A22 2 x 2
A11 B1
5 4
3 6
A12 B2
1 2
A21 B1 10
1 5 11 37 2 4 16 44 3 2 3 2 6 4
3
A22 B2 4 3 14 sehingga ; [ A] [B] 22 28
39 48 70
5 B1 4 B2 2 x1 2 3X 2
A B A12 B2 11 1 A21B1 A22 B2
B1 B2 2 x1
A A 11 12 A21 A22 2 x 2
1 B 2 3
1 2
5 16 4
2 12
8
32
BEBERAPA RUMUS KHUSUS [ A ] = Matriks bujur sangkar dan simetris ; orde n x n : aij [ B ] = Matriks empat persegi panjang ; orde n x m : bij { X } = Vektor kolom ; orde n x 1 : xi { Y } = Vektor kolom ; orde m x 1 ; yi Bila ;
Maka ;
atau sebaliknya ;
1
2
T 1 xn
{X }
[ A] nxn
x1 x2 .... {X } .... xn AX {X }
n
1
2
n
a i 1
j 1
ij
xi y j
[ A] n xn { X }n x1 ;
1
T { X } [ A]{ X } 2
EXAMPLE : x1 X x2 x 3
1 2 3 A 2 4 5 3 5 6
1
2
{ X }T [ A]{ X }
Ф = ½ ( x1 x2 x3 ) Ф
1
x 4x 2
2
1
1
2
x1
x2
x1 2 x 2 2 x1 4 x2 3x1 5 x2
1 2 3 x1 x3 2 4 5 x 2 3 5 6 x3 3 x3 5 x3 6 x3
6x3 4x1 x2 6x1 x3 10x2 x3 2 2
2
1 22 x1 4 x2 6 x2 x1 2 x2 3x3 x1
1 28 x2 4 x1 10 x3 2 x1 4 x2 5 x3 x2
1 212 x3 6 x1 10 x2 3x1 5 x2 6 x3 x3
x 1 1 2 3 x1 x 2 4 5 2 x 2 3 5 6 x 3 x 3
A{ X } { X }
Bila ;
T
{X }
1xn
[B] Y nxm
mx1
Bnxm Y mx1 Maka ; X EXAMPLE : 1 2 3 4 B 3x 4 5 6 7 8 { X }3x1 = 9 10 11 12
X T B Y x1
x2
x1 x2 x 3
y1 y { Y }4x1 = 2 y3 y 4
y1 1 2 3 4 y2 x3 5 6 7 8 y 9 10 11 12 3 y4
x1 x 2
x3
y1 2 y 2 3 y3 4 y 4 5 y 6 y 7 y 8 y 2 3 4 1 9 y1 10 y 2 11y3 12 y 4
y1 2 y2 3 y3 4 y4 x1 5 y1 6 y2 7 y3 8 y 4 x2 9 y1 10 y 2 11y3 12 y 4
y1 2 y 2 3 y3 4 y 4 x1
5 y1 6 y2 7 y3 8 y4 x2 9 y1 10 y2 11y3 12 y4 x3
x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x2 9 10 11 12 x 3
y1 y 2 y3 y 4
B Y X
x3
