Zomercursus Wiskunde. Module 5

Zomercursus Wiskunde

Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie September 2011

Module 5 Groeimodellen ¨ Exponentiele en logaritmische functies (versie 22 augustus 2011)

Module 5: Groeimodellen Exponenti¨ ele en logaritmische functies

Inhoudsopgave 1 Groeimodellen

1

1.1

Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Lineaire groei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3

Exponentiële groei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Groei met procentuele toename of afname . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Oefeningen op exponenti¨ ele groeifuncties

8

3 Machten met re¨ ele exponenten: rekenregels

9

4 Exponenti¨ ele functie

11

5 Logaritmische functie

12

5.1

Inleidende voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5.2

Definitie en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5.3

Bijzondere logaritmen log10 = log en loge = ln . . . . . . . . . . . . . .

16

5.4

Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

5.5

Overgang naar andere grondtallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

5.6

Voorbeeldoefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

6 Oefeningen op rekenregels

20

7 Oefeningen op exponenti¨ ele groeifuncties, tweede deel

23

8 Oplossingen van Oefeningen

26

Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

5-1 Module 5: Groeimodellen Exponenti¨ ele en logaritmische functies

Inleiding In deze module worden de exponentiële en logaritmische functies besproken. De exponentiële functies illustreren we eerst door het functievoorschrift te zoeken van enkele voorbeelden van exponentiële groei : bacteriegroei, daling in prijswaarde van handboeken wiskunde en vispopulaties in een vijver. Vervolgens bespreken we de omgekeerde bewerking, nl. de logaritme-bewerking. Verder worden ook de rekenregels voor deze beide bewerkingen herhaald en ingeoefend. De exponentiële en logaritmische functies worden niet alleen veel gebruikt in de wiskunde maar hebben ook vele toepassingen in andere wetenschapsdomeinen zoals de fysica, de chemie en de biologie. Enkele voorbeelden worden behandeld in de oefeningen van deze module. De oefeningen die verwijzen naar de cursus chemie zijn ook zinvol voor studenten die dit vak niet zullen volgen.

1 1.1

Groeimodellen Inleiding

Wetenschappers bestuderen verschillende grootheden en stellen daarbij vast dat deze veranderen in de tijd. Die verandering kan zeer wisselvallig zijn, maar als de verandering aan bepaalde wetmatigheden voldoet kunnen we proberen dit in wiskundige formules te vertalen. In deze module bekijken we grootheden zoals bevolkingsaantallen, consumptieprijzen, radioactiviteit, enz. Een groeimodel beschrijft hoe zo’n grootheden groeien in functie van de tijd. Het “groeien”mag niet te letterlijk worden genomen want het kan ook “krimpen”of “afnemen”betekenen, we spreken dan van negatieve groei of verval. We behandelen hier twee groeimodellen. Het eenvoudigste model, dat in de natuur slechts zelden voorkomt is het lineaire groeimodel. Hierbij is op elk moment van het proces de aangroei constant bij gelijke tijdstoename. Een vaker voorkomend model is dit waar de grootheid bij gelijke tijdstoename telkens met een constante factor(groeifactor) wordt vermenigvuldigd en dit onafhankelijk van wanneer we naar het groeiproces kijken. Dit model heet het exponentieel groeimodel.

1.2

Lineaire groei

Voorbeeld 1 Een zandhoop in een groeve groeit aan doordat er, aan de top van de hoop, zand wordt aangevoerd via een lopende band. De aanvoer van de band verloopt aan een constant debiet van 3/5 ton per kwartier. Stel dat om 8 uur ’s morgens een zandhoop van 2 ton zand wordt aangevuld volgens dit proces, dan kunnen we berekenen om hoe laat de zandhoop 10 ton zand zal bevatten. Om deze gegevens wiskundig te vertalen maken we volgende afspraken. We meten Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


de tijd t in eenheden van één kwartier en onderstellen dat t = 0 overeenkomt met 8 uur ’s morgens. De hoeveelheid zand op de hoop op het ogenblik t geven we aan met f (t), deze hoeveelheid meten we in ton. Zo komen we tot volgend schema: +1

+1

t

0

1

f (t)

2

2+ +

2 3 5

3

2+2

3 5

3 5

2+3 +

···

4 3 5

2+4

3 5

···

n 2+n

3 5

3 5

We stellen vast dat voor elk natuurlijk getal n geldt f (n) =

3 n + 2. 5

Omdat de tijd niet in sprongen van een kwartier verloopt, maar alle tussenwaarden aanneemt, kunnen we vermoeden dat ook voor elke reëel getal t zal gelden f (t) =

3 t + 2. 5

Opdrachten 1.1 1. Beschrijf de grafiek van de functie met dit voorschrift en geef de betekenis van 3 de grootheden 2 en in de grafiek aan. 5 2. Kan je de uitdrukking “lineaire groei”verklaren. 3. Bereken hoe laat de zandhoop 10 ton zal bevatten.



Samenvattend Bij lineaire groei ontstaat de volgende waarde uit de vorige door optelling met een getal (dit getal kan negatief zijn bij afname). Dit getal is constant als de tijdsintervallen even groot zijn. Alle punten van de grafiek liggen op een rechte. Het functievoorschrift is van de vorm f (t) = at + b R

+a +1 b

1

R

b : beginwaarde a : helling van de grafiek, groeisnelheid = de toename per tijdseenheid Bij gelijke tijdsintervallen zijn ook de toenamen gelijk. t

gelijke tijdsintervallen

f (t)

+u

+au

+u

+au


gelijke toenamen


1.3

Exponenti¨ ele groei

Voorbeeld 2 Een grote populatie bacterieën ontwikkelen zich in een kweekschaal. Stel dat het aantal bacteriën in het schaaltje elke 25 minuten verdubbelt en stel dat er in de beginsituatie 4 duizend bacteriën aanwezig zijn. Hoe verloopt de groei van deze populatie bacteriën? Om deze gegevens wiskundig te vertalen maken we volgende afspraken. We meten de tijd t in eenheden van 25 minuten en onderstellen dat t = 0 bij het begin van onze observaties. De hoeveelheid bacteriën op het ogenblik t geven we aan met f (t), we meten ze in duizendtallen. Zo komen we tot volgend schema: +1

+1

t

0

1

2

3

4

···

n

f (t)

4

4·2

4 · 22

4 · 23

4 · 24

···

4 · 2n

·2

·2

We stellen vast dat voor elk natuurlijk getal n geldt f (n) = 4 · 2n . Hierin is 4 = f (0) de beginwaarde en 2n is het voorschrift van een functie waar de veranderlijke n in de exponent staat, we spreken van een exponentiële functie. Het groeiproces heet exponentiële groei. Omdat niet alle bacteriën gelijktijdig splitsen, is het aan te nemen dat de groei niet enkel gebeurt op de tijdstippen 0, 1, 2, 3 · · · maar dat we ook tussen die tijdsintervallen andere aantallen zullen opmeten. We kunnen bijvoorbeeld op zoek gaan naar het aantal bacteriën na 5 minuten (1/5 van de splitsingstijd) of na 50 minuten (het dubbele van de splitsingstijd). Met welke factor groeit de populatie na die tijdseenheden?



Opdrachten 1.2 1. Vul volgende schema’s aan: +1 +

t

0

f (t)

4

1 5

+

1 5

1 5

+

1 5

2 5

+

1 5

+

1 5

4 5

3 5

1 4·2

·

·

·

·

·

·2 2. De groeifactor per 1/5 van een tijdseenheid is: 3. Vul volgende schema’s aan: +2 +1

+1

t

0

1

2

f (t)

4

4·2

4 · 22

·2

·2 ·

4. De groeifactor per 2 tijdseenheden is: 5. Zoek de groeifactor na 1 uur d.i. 12/5 tijdseenheden, maak een schema. Besluitend kunnen we zeggen dat voor elk rationaal getal q de groeifunctie wordt gegeven door f (q) = 4 · 2q . Men kan ook aantonen dat ook reële machten kunnen gedefinieerd worden (zie verder) zodat exponentiële groei beschreven wordt met een reëel functievoorschrift f (t) = 4 · 2t Opdrachten 1.3 Maak de grafiek van deze functie. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

t ∈ R.


Voorbeeld 3 Elk schooljaar daalt de prijswaarde van een handboek wiskunde. Concreet verkoopt een leerling zijn handboek aan een leerling van een lager jaar voor een prijs die 2/3 bedraagt van de prijs die hijzelf een jaar voordien voor het boek heeft betaald. Met andere woorden, de prijs daalt per jaar met 1/3. Stel dat het handboek wiskunde nieuw aangekocht werd voor 16 euro in de boekhandel.

Opdrachten 1.4 1. Bepaal de groeifactor per jaar en stel de formule op die de prijs van het handboek weergeeft in functie van de tijd.

2. Aan welke prijs wordt het handboek verkocht na 5 jaar.

3. Maak een grafiek van deze functie voor de 5 eerst jaren.

Opdrachten 1.5 1. Maak de grafiek van een groeifunctie waarbij de groeifactor 1 zou zijn. Zo’n groei wordt niet exponentieel genoemd, begrijp je waarom? Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


Bij exponenti¨ ele groei ontstaat de volgende waarde uit de vorige door vermenigvuldiging met een getal. Dit getal is constant als de tijdsintervallen even groot zijn. Dit getal heet een groeifactor. Het functievoorschrift voor exponenti¨ ele groei is van de vorm f (t) = b · g t met b : beginwaarde (op t = 0), g : groeifactor over een tijdseenheid, g > 0 en g 6= 1. g n : groeifactor over een n tijdseenheden, n ∈ N. g 1/n : groeifactor over een n-de van een tijdseenheden, n ∈ N0 . Als g > 1 dan hebben we een stijgende groeifunctie. Als g < 1 dan hebben we een dalende groeifunctie, we spreken ook van verval. t

+u gelijke tijdsintervallen

1.4

+u

f (t)

×g u ×g u

gelijke groeifactoren

Groei met procentuele toename of afname

Voorbeeld 4 Stel dat in een vijver het aantal vissen elk jaar met 30% toeneemt. Vertoont dit proces nu een linaire groei of een exponentiële groei? Vermits er een vaste toename is per tijdsinterval, zouden we kunnen denken dat dit proces dan beschreven kan worden met een lineaire groei. Maar klopt dit? Neen, de vaste toename is een procentuele toename, dit betekent dat als we de tijd t in jaren uitdrukken en f (t) de hoeveelheid vissen op het ogenblik t voorstelt, we Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


voor elk tijdstip t hebben dat: f (t + 1) = f (t) + (30 % van f (t)) = f (t) +

30 30 f (t) = (1 + )f (t). 100 100

We vinden dat dit proces een exponentieel proces is en dat de groeifactor per jaar 30 (1 + ) bedraagt. 100 Algemeen geldt:

Als de groei aangegeven wordt door middel van een procentuele toename, dus als er een toename is van p % in een tijdseenheid, dan is de groei exponentieel met p groeifactor a = 1 + voor die tijdseenheid. Hieruit volgt dat : 100 toename p > 0 ⇔ a > 1 (stijgende groei) afname p < 0 ⇔ a < 1 (dalende groei). Opdrachten 1.6 Stel dat a de groeifactor is per tijdseenheid. 1. Stel dat daar een procentuele groei van p % per tijdseenheid mee overeenkomt. Geef dan de formule die p uitdrukt in functie van a. 2. Stel dat daar een procentuele groei van q % per n tijdseenheden (n ∈ N) mee overeenkomt. Geef dan de formule die q uitdrukt in functie van a.

2

Oefeningen op exponenti¨ ele groeifuncties

Opmerking: Deze reeks oefeningen maakt geen gebruik van logaritmen, dit gebeurt wel in deel 7 Oefening 2.1 Stel dat je in januari een kapitaal van 20 000 euro op een spaarrekening met samengestelde intrest zet, de rente bedraagt van 0, 12% per maand. Dit betekent dat elke maand de intrest wordt toegevoegd aan het kapitaal. Zo vergroot het kapitaal maandelijks. 1. Hoeveel geld staat er in juni op je rekening? 2. Hoeveel bedraagt de rentevoet per jaar? 3. Hoeveel staat er op je spaarrekening na 10 jaar? Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


Oefening 2.2 Men maakt een studie over de bevolking van de stad Oostende. Het stadsbestuur neemt aan dat de bevolking exponentieel groeit. De tellingen zijn begonnen in 1995, maar deze resultaten zijn verloren gegaan. In 1997 waren er ongeveer 68 000 inwoners; in 2001 is dit gegroeid tot 73 000. Hoeveel mensen waren er, op basis van de gegevens, vermoedelijk in 1995? Oefening 2.3 Enkele jaren geleden werd, n.a.v. een economische missie, geleid door onze kroonprins Filip in China, in het VRT-journaal beweerd dat de economie van China jaarlijks met 14 % groeit, en dat dit betekent dat de Chinese economie dus binnen 7 jaar verdubbeld zal zijn. 1. Welke simple berekening werd wellicht gemaakt om van de 14 % jaarlijkse groei tot een verdubbeling na 7 jaar te komen? Hoe ziet de groeifunctie er in werkelijkheid uit? Wat zal de procentuele groei werkelijk zijn 7 jaar na het bezoek van onze kroonprins? Dit in de veronderstelling dat de groei aan hetzelfde tempo blijft toenemen, 2. Bereken de groeifactor na 4, 5, 6 en 7 jaar. Tussen welke van deze waarden treedt de verdubbeling werkelijk op. Oefening 2.4 Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn en positief. Als de concentratie van stof A met p % toeneemt, dan zal de concentratie van stof B afnemen met 100 p 3. % 1. p % 100 + p p p 2. % 4. % 1+p 100 + p Toelatingsexamen arts-tandarts 1999

3

Machten met re¨ ele exponenten: rekenregels

In het functievoorschrift van expontentiële groei f (x) = b · ax

kan x zowel rationale als irrationale waarden aannemen. Ter herinnering: als a > 0 an = a · a · a · · · a 1 a−n = n a√ n/m a = m an

(n keer)


met n een natuurlijk getal. met n een natuurlijk getal. met n en m 6= 0 natuurlijke getallen.

5 - 10 Module 5: Groeimodellen Exponenti¨ ele en logaritmische functies

√

2

Maar wat betekent bijvoorbeeld 5 ? √ We nemen opeenvolgende decimale benaderingen xn van 2 = 1, 414213562 en berekenen met een rekenmachine telkens 5xn 5xn

xn 1, 4 1, 41 1, 414 1, 414 2 .. .

9, 518 269 6 · · · 9, 672 699 7 · · · 9, 735 171 0 · · · 9, 738 305 1 · · · .. .

1, 414 213 562

9, 738 517 7 · · ·

√ Omdat de getallen xn steeds betere benaderingen zijn van 2, en de getallen 5xn steeds dichter bij elkaar komen kunnen we vermoeden dat het steeds betere benaderingen zijn √ 2 voor een reëel getal dat we 5 noemen. Bovenstaande kan veralgemeend worden zodat we aannemen dat voor a > 0 en x een willekeurig reëel getal, het getal ax bestaat en een reëel getal is, verder kan aangetoond worden dat machten met reële exponenten aan dezelfde rekenregels voldoen als deze met rationale exponenten. Stel a, b strikt positieve reële getallen met a, b 6= 1 en r, s willekeurige reële getallen. Dan geldt: a0 = 1 1 ar ar as = ar+s a−r =

ar = ar−s as (ab)s = as bs a s as = s b b r s (a ) = ars



4

Exponenti¨ ele functie

Definitie 4.1 Zij a een strikt positief reëel getal en a 6= 1, dan definiëren we de exponenti¨ ele functie expa met grondtal a door het functievoorschrift: expa (x) = ax

met x ∈ R.

We onderscheiden twee grote klassen van grafieken naargelang het grondtal a > 1 of 0 < a < 1. y a>1

0
y=ax 1

0

x

Figuur 1: Exponentiële functie met grondtal a > 1, en 0 < a < 1.

Eigenschappen 4.2 Geval 1: a > 1

Geval 2: 0 < a < 1

• expa x is gedefinieerd als x ∈ R

• expa x is gedefinieerd als x ∈ R

• voor elke x ∈ R : ax > 0

• voor elke x ∈ R : ax > 0

• lim ax = +∞

• lim ax = 0

• lim ax = 0

• lim ax = +∞

• expa is strikt stijgend, de functie is orde bewarend. x < z ⇐⇒ ax < az

• expa is strikt dalend, de functie is orde-omkerend x > z ⇐⇒ ax < az

• ax = az ⇐⇒ x = z

• ax = az ⇐⇒ x = z

x→+∞

x→−∞


x→+∞

x→−∞


Kiezen we voor het grondtal de specifieke waarde e = 2, 7182818 · · · , dan verkrijgen we de functie ex met als voorschrift: f (x) = ex = exp x. In de notatie wordt het grondtal e niet vermeld. Deze functie wordt in vele tekstboeken als DE exponenti¨ ele functie gedefinieerd. We vermelden, zonder in detail te gaan, dat de afgeleide van een exponentiële functie expa evenredig is met deze functie zelf en dat de afgeleide van de exponentiële functie exp de exponentiële functie exp zelf is. Opdrachten 4.3 Bedenk hoe de grafieken van volgende functies eruit zien en trek de gepaste conclusies voor hun limieten. Zij k > 0, dan is • lim ekx = x→+∞

• lim ekx = x→−∞

• lim e−kx = x→+∞

• lim e−kx = x→−∞

Opmerking 4.4 We zullen later aantonen dat elke exponentiële functie met grondtal a kan geschreven worden met behulp van de exponentiële functie in die zin dat er steeds een gepaste k > 0 bestaat zodat ax = e±kx , maar daartoe hebben we logaritmische functies nodig. Dit verklaart dat we exponentiële functies met willekeurig grondtal kunnen herleiden tot een exponentiële functie met grondtal e. Daarenboven is heeft de functie met voorschrift f (x) = ex de eigenschap dat ze gelijk is aan haar afgeleide. Wat wiskundig gezien een niet te versmaden eigenschap is.

5 5.1

Logaritmische functie Inleidende voorbeelden

Als we terugkijken naar voorbeeld 2 over de bacteriegroei waar het aantal bacteriën in het schaaltje elke 25 minuten verdubbelt en er in de beginsituatie 4 duizend bacteriën Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


aanwezig zijn. We kunnen een bijkomende vraag stellen: na hoeveel uur zullen er honderdduizend bacteriën in het schaaltje aanwezig zijn? We hebben gezien dat een beginhoeveelheid van 4 duizend bacteriën (we meten het aantal bacteriën in duizendtallen) met een groeifactor 2 na x periodes van 25 minuten aangegroeid zal zijn tot een hoeveelheid van 4 · 2x duizend bacteriën. Dus na x aantal periodes van 25 minuten zijn er f (x) = 4 · 2x duizend bacteriën.

Voor deze opgave is de eindhoeveelheid bacteriën gekend, nl. 100 duizend. We moeten nu het aantal periodes van 25 minuten zoeken nodig om deze 100 duizend bacteriën te ontwikkelen. Dus we kennen f (x) = 4 · 2x en we moeten x = aantal periodes van 25 minuten, zoeken. Zo bekomen we een vergelijking met één onbekende: 100 = 4 · 2x 100 = 2x 4 Om deze vergelijking op te lossen, moeten we in plaats van 2 tot een zekere macht te verheffen, de omgekeerde bewerking uitvoeren: 100 = 25 te bekomen? Tot welke macht moeten we 2 verheffen om 4 Dit getal noemen we de logaritme van 25 met grondtal 2 en noteren dit als: log2 25. We stellen vast dat log2 25 = x ⇔ 2x = 25 Later, bij de rekenregels van logaritme, zullen we leren hoe log2 25 met een rekenmachine kan berekend worden. Een eenvoudiger voorbeeld krijg je als je zoekt naar log2 32 = ? Stel dat log2 32 = x dan moet 2x = 32 = 25 zodat we uit eigenschap 4.2 kunnen besluiten dat x = 5 of nog log2 32 = 5.

5.2

Definitie en eigenschappen

Omdat ax > 0 voor elke x ∈ R is het duidelijk dat men enkel logaritmes kan berekenen van strikt positieve getallen. We komen tot volgende definitie



Definitie 5.1 (logaritme) Zij a > 0 en a 6= 1 en x > 0 dan definieert men loga x = y ⇔ x = ay . De logaritme met grondtal a van x is de exponent (macht) waartoe men a moet verheffen om x als uitkomst te krijgen. Opmerking: De notatie loga (x) heeft dezelfde betekenis als a log(x). Deze laatste notatie wordt vaak in het secundair onderwijs gebruikt. Internationaal wordt de eerste notatie gebruikt. De functie loga is de inverse functie1 van expa , d.w.z. het zijn functies die elkaars werking opheffen. De logaritmische functie voldoet bijgevolg aan volgende eigenschappen voor inverse functies.

Eigenschappen 5.2 Als de functies f en f −1 inverse functies zijn dan geldt 1. f (x) = y ⇐⇒ x = f −1 (y) 2. f −1 (f (x)) = x 3. f (f −1 (y)) = y

Eigenschap 1. is de definitie van de logaritme: loga x = y ⇔ x = expa y = ay Opdrachten 5.3 Eigenschap 2. en 3. vind je als je volgende vragen beantwoordt: 1. loga (expa (x)) = loga ax =? in woorden: tot welke exponent moet je a verheffen om ax te bekomen? 2. expa (loga (y)) = aloga y =? in woorden: als je a verheft tot die exponent waartoe je a moet verheffen om y te bekomen, dan bekom je · · · . We komen tot volgende handige identiteiten. 1

zie module Grafieken van functies en krommen



Eigenschappen 5.4 Zij x, y reële getallen en y > 0 dan geldt 1. loga ax = x 2. aloga y = y Dat de logaritmische functies de inverse functie is van de exponentiële heeft als leuk gevolg dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn t.o.v. de rechte y = x. Net als bij de exponentiële functie bekomen we twee soorten grafieken naargelang a > 1 of 0 < a < 1.

8 6 4 2

–1

1 –2

2

3

4

x

–4 –6 –8

Figuur 2: f (x) = loga x, donkere lijn: a > 1, lichte lijn: 0 < a < 1.



Eigenschappen 5.5 Geval 2: 0 < a < 1

Geval 1: a > 1 • loga x is gedefinieerd als x > 0

• loga x is gedefinieerd als x > 0

• voor elke x < 1 : loga x < 0

• voor elke x < 1 : loga x > 0

• voor elke x > 1 : loga x > 0

• voor elke x > 1 : loga x < 0

• lim loga x = +∞

• lim loga x = −∞

x→+∞

•

5.3

lim loga x = −∞

x→0

x→+∞

•

lim loga x = +∞

x→0

• loga is strikt stijgend, de functie is orde bewarend. x < z ⇐⇒ loga x < loga z

• expa is strikt dalend, de functie is orde-omkerend x < z ⇐⇒ loga x > loga z

• loga x = loga z ⇐⇒ x = z

• loga x = loga z ⇐⇒ x = z

Bijzondere logaritmen log10 = log en loge = ln

Met het tiendelig talstelsel zijn de machten van 10 vrij bijzonder, de logaritme met grondtal 10 kreeg dan ook een aparte naam de tiendelige of Briggse logaritme. We noteren log10 x als log x, de functiewaarden kan je uitrekenen met je rekenmachine via de toets log . De logaritme van een getal x geeft de grootte-orde van x aan. Als we 10 als grondtal kiezen is dit duidelijk : log 1 log 10 log 100 log 1000

=0 =1 =2 =3

log 0, 1 = −1 log 0, 01 = −2 log 0, 001 = −3

De inverse van de exponentiële functie exp krijgt ook een bijzondere naam en notatie. Indien het grondtal het getal e is spreken we van de natuurlijke of Neperiaanse logaritme, we noteren loge x als ln x. De Neperiaanse logaritmen kunnen eveneens met de rekenmachine berekend worden via de toets ln . Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


5.4

Rekenregels

Alle rekenregels voor exponenten leiden tot hun equivalent voor logaritmen. We plaatsen ze hier naast elkaar. Het is eenvoudig na te gaan dat elke bewering in de linkerkolom een bewijs is van de regel in de rechterkolom. Zij a, x, y strikt positieve reële getallen met a 6= 1 en r, s reële getallen dan geldt a0 = 1

loga 1 = 0

1

a =a

loga a = 1

1 ar ar as = ar+s

1 = − loga x x loga (xy) = loga x + loga y x loga = loga x − loga y y

a−r =

loga

ar = ar−s s a s r (a ) = asr

loga xr = r loga x

We kunnen nu de bewering van Opmerking 4.4 aantonen: Gebruiken we de eerste identiteit uit Eigenschap 5.4 voor de exponentiële functie x = eln x . Vervangen we hierin x door ax en passen we de laatste rekenregel van de logaritme toe dan bekomen we ax = eln a = ex ln a x

Hierin is ln a een positief of negatief getal naargelang a > 1 of a < 1. Alle groeifunctie kunnen dus met de exponentële functie worden beschreven omdat :

als a > 1 als 0 < a < 1

dan is ax = ekx dan is a

x

−kx

=e

met k = ln a > 0 met k = − ln a = ln(1/a) > 0

Net als we bij exponentiële functies kunnen overgaan naar andere grondtallen geldt dit dan ook voor logaritmische functies. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


5.5

Overgang naar andere grondtallen

Eigenschappen 5.6

V oor alle grondtallen a, b en voor alle x > 0 : loga x = V oor alle grondtallen a, b : loga b =

logb x logb a

1 logb a

V oor alle grondtallen a en voor alle x > 0 : loga x =

log x log a

V oor alle grondtallen a en voor alle x > 0 : loga x =

ln x ln a

De laatste twee eigenschappen geven aan hoe je met een rekenmachine een logaritme met willekeurig grondtal a kan berekenen via de log - of de ln -toets.

5.6

Voorbeeldoefeningen

1. Bereken met je rekenmachine. (a) log2 10 = (b) log4 3 =

1 log 10 = ≈ 3, 32 log 2 log 2

log 3 ≈ 0, 79 log 4

2. Reken uit zonder rekenmachine. (a) log2 8 = log2 23 = 3 (b) log4 16 = log4 42 = 2 (c) log 0, 001 = log 10−3 = −3 1 = log9 1 − log9 81 = 0 − log9 92 = −2 (d) log9 81 (e) log2 41 000 000 = 1 000 000 log2 4 = 1 000 000 log2 22 = 1 000 000 · 2 = 2 000 000 √ √ 1 7 1 (f) log2 8 2 = log2 8 + log2 2 = log2 23 + log2 2 2 = 3 + = 2 2 Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


25 √ 3 5

2

25 = 2 log5 √ 3 5 √ 3 = 2 log5 25 − log5 5 1 2 3 = 2 log5 5 − log5 5 1 = 2 2− 3 5 =2 3 10 = 3 3. Schrijf van log a en log b. r in functie a 1/2 1 a 1 1 a = log = log = log a − log b log b b 2 b 2 2 (g) log5

4. Los op naar x. (a) log3 (x − 5) + log1/3 12 = log3 x Deze vergelijking is enkel geldig als x > 0 en x > 5. Dus de bestaansvoorwaarde is x > 5. Proberen we eerst log1/3 12 ook te schrijven als een logaritme met grondtal 3. Dit wordt log1/3 12 =

log3 12 log3 12 = = − log3 12. Zo verkrijgen we log3 (1/3) log3 3−1 log3 (x − 5) − log3 12 = x−5 = log3 12 x−5 log3 − log3 x = 12 x−5 = log3 12x x−5 = 12x x−5= −11x =

log3 x log3 x 0 0 1

12x 5 −5 x= 11 Nu moet x > 5, dus moeten we deze negatieve oplossing verwerpen. De oplossingenverzameling is dus leeg.



(b) 23x−5 = 5x Nemen we van beide leden de ln: (3x − 5) ln 2 = x ln 5 x(3 ln 2 − ln 5) = 5 ln 2 5 ln 2 x= 3 ln 2 − ln 5 5 ln 2 = 3 ln 25 5 ln 2 = ln 8/5 = 7, 37

6

Oefeningen op rekenregels

Oefening 6.1 Bereken zonder rekenmachine. 1. log2 64 2. log5 125 3. log2

1 32

√ 4. log6 (36 6) 5. log 0, 00001 √ 4 6. log4 log4 4

Oefening 6.2 Bereken met rekenmachine. 1. log2 7 2. log0,3 4 Oefening 6.3 Schrijf in functie van log a, log b en log c. 1. log

a b4



r a 2. log c3 b a4 bc 3. log √ bc2 Oefening 6.4 Schrijf elke uitdrukking in functie van log x, log(x − 5) en log(x + 1). 1. log

x(x + 1) x−5

√ 2. log (x + 1)2 x − 5 s x−5 3. log 3 x (x + 1) 4. log

1 (x + 1)2

Oefening 6.5 Schrijf elke uitdrukking als één enkele logaritme. 1. log(x + 1) − log x2 +

1 log(x − 3) 2

2. 3 − log x 3. 5 log(x − 1) −

1 log(x + 3) 2

Oefening 6.6 Schrijf onderstaande uitdrukking in functie van log(k − 1), log k en log(k + 1). 1 log 1 − 2 k Oefening 6.7 Stel dat y impliciet gegeven is als functie van t door volgende formule, 1 kt = [ln(y − 2) − ln(y − 5)]. 3 Hierin is k een strikt positieve parameter. 5 − 2e−3kt . Toon aan dat y = 1 − e−3kt Bereken lim y t→+∞



Oefening 6.8 Toon aan dat: 1. log

c b a a − log = − log + log b d d c

2. − log

1 1 b + log = − log a b a

opmerking: de rekenregels gebruiken zoals in deze oefening, moet je ook vlot kunnen wanneer hier grootheden uit de chemie of fysica staan in plaats van a, b, c en d. Oefening 6.9 Een oefening uit de cursus chemie van 1ste bachelor. Je hoeft de betekenis van de gebruikte symbolen niet te kennen om de oefening te kunnen oplossen. 1. Gegeven ∆G0 = −n.F.∆E 0 en ∆G0 = −R.T. ln(Kev ). Toon aan dat Kev

n.F.∆E 0 = 10 2, 303.R.T .

2. Gegeven 0, 89 = 1, 5 −

0, 059 log10 2

1 10−14 10−14 Ka

.

Toon aan dat Ka = 4, 7.10−8 . Oefening 6.10 Een oefening uit de cursus chemie van 1ste bachelor. Je hoeft de betekenis van de gebruikte symbolen niet te kennen om de oefening te kunnen oplossen. 1. Schets de grafiek van de functie ln C(t) met C(t) = C0 e−kt . E − 1 2. Schets de grafiek van ln k in functie van met k = Ae RT . T Oefening 6.11 Los op naar x. 1. log x + log(x + 1) = log 2 1 + log81 (3x − 13)2 2 log2 3 √ 1 log2 6 6 = log2 2x (deze opgave is iets moeilijker) + log2 3. logx log12 6 3

2. log3 (x − 3) =



Oefening 6.12 De vergelijking 4x − 5 · 2x = 24 werd opgelost naar x. Toch klopt de oplossing voor x niet als we deze terug invullen in de vergelijking. Zoek de fout in de berekening. 22x − 5 · 2x = log2 22x − log2 (5 · 2x ) = 2x − log2 5 − log2 2x = 2x − log2 5 − x = x= x= x=

24 log2 24 log2 24 log2 24 log2 24 + log2 5 log2 (24 · 5) log2 120

Oefening 6.13 Los volgende vergelijkingen op naar x. Geef de exacte waarde (eventueel een formule, je hoeft dus geen rekenmachine te gebruiken). 1. 15 · 3x+1 − 243 · 5x−2 = 0 2. 32x−3 − 10 · 3x−2 + 3 = 0 (de oplossingmethode is niet analoog aan het voorbeeld) Oefening 6.14 Welke x ∈ R voldoen aan volgende ongelijkheid. 1. ln(x + 5) > 7 2. log(x2 − 3) > 2 3. log0,5 (x − 1) < 1

7

Oefeningen op exponenti¨ ele groeifuncties, tweede deel

Oefening 7.1 Het CO2 dat in de atmosfeer voorkomt, bevat het stabiele 12 C en de radioactieve isotoop 14 C die een halveringstijd van 5730 jaar heeft. Wetenschappers nemen aan dat de verhouding van de hoeveelheden 14 C en 12 C in de CO2 van de atmosfeer nagenoeg constant is. Noem die verhouding R0 . Levende planten absorberen CO2 uit de lucht en daarom is de verhouding tussen 14 C en 12 C in een levende plant hetzelfde als in de lucht, nl. R0 . Wanneer een plant afsterft, stopt de absorptie van CO2 . Het stabiele 12 C blijft in de plant, terwijl het radioactieve 14 C exponentieel vervalt. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


1. Vind het functievoorschrift voor de grootheid R(t) die de verhouding is van de hoeveelheid 14 C t.o.v. 12 C in de plantenresten t jaar na het afsterven van de plant. 2. Een archeoloog vindt een fossiel waarvan de verhouding van de hoeveelheid t.o.v. 12 C 1/5 is van die in de atmosfeer. Hoe oud is dat fossiel?

14

C

Oefening 7.2 In 1896 ontdekte Henri Becquerel toevallig dat Uranium spontaan straling uitzendt. Dit fenomeen werd radio-aktiviteit genoemd. De meest belangrijke daaropvolgende onderzoeken gebeurden door Marie en Pierre Curie2 . Zij ontdekten de elementen polonium en radium. Onderzoek heeft uitgewezen dat radio-aktiviteit het resultaat is van het verval van onstabiele kernen. Stel N het aantal aanwezige radio-aktieve kernen op een bepaald moment. Men kan dan aantonen dat het verval van een radio-aktieve stof gebeurt volgens het model: N (t) = N0 e−λt

(1)

met λ ∈ R+ en N0 het aantal kernen op tijdstip t = 0. Zo zien we dat het aantal radio-aktieve kernen exponentieel afneemt in de tijd. De grafiek van deze exponentieel dalende functie wordt weergegeven in fig. 3. Een veel gebruikte parameter is de

N N0

N0/2 N=N0e-lt T1/2

t

Figuur 3: Grafiek van het exponentieel verval van radio-aktiviteit. halfwaardetijd T1/2 (of halveringstijd). Deze is gedefinieerd als de tijd nodig voor het verval van de helft van een gegeven hoeveelheid radio-aktieve kernen (zie figuur 3). Bereken deze halfwaardetijd. Toon aan dat T1/2 onafhankelijk is van de beginwaarde N0 en constant is tijdens het hele proces. 2

De Poolse Marie Curie (1867-1934) won in 1903 samen met haar man Pierre Curie en Henri Becquerel de Nobelprijs in de fysica voor hun studie over radio-aktieve elementen. Ze stierf aan leukemie door een jarenlange blootstelling aan radio-aktieve straling.



Oefening 7.3 Jodium 131 heeft een halveringstijd van 8 dagen d.w.z. dat de hoeveelheid radioactieve massa jodium 131 na 8 dagen slechts de helft van de oorspronkelijke hoeveelheid bedraagt. 1. Bepaal de groeifactor per dag en geef het voorschrift dat deze groeifunctie beschrijft. De beginwaarde van de radioactieve massa noteren we met b0 . 2. Wanneer is de hoeveelheid jodium 131 gedaald tot 1/20 van de oorspronkelijke hoeveelheid? Oefening 7.4 Een geluid, geproduceerd met een intensiteit van I watt/m2 , levert volgend geluidsniveau dB-niveau = 10 log10 (1012 I) dB. 1. Toon aan dat als je de intensiteit van je stereo verdubbelt, het geluidsniveau slechts met ongeveer 3 dB verhoogt. 2. Met welke factor moet je de intensiteit vermenigvuldigen opdat het geluidsniveau met 10 dB vermeerdert. Oefening 7.5 Je maakt een avontuurlijke reis door Afrika, in een zone met hoog risico voor malariabesmetting en slikt daarom regelmatig pilletjes met antistoffen. Op een dag word je echter bestolen; niet alleen ben je al je geld kwijt, maar bovendien ook je hele voorraad pilletjes. Toevallig had je nog één dosis (500 mg) antistoffen in je broekzak zitten. Je hebt op dat ogenblik, als gevolg van wekenlange inname, 1000 mg antistoffen in je bloed. Laten we veronderstellen dat je pas gevaar loopt besmet te raken wanneer de hoeveelheid antistoffen in het bloed kleiner wordt dan 750 mg. Voorlopig is er dus niets aan de hand. Je lichaam verwijdert deze vreemde stoffen echter geleidelijk — met een halveringstijd van 3 weken — dus vroeg of laat onstaat er een reële kans op besmetting. Beschouw de volgende twee mogelijkheden: 1. Je neemt onmiddellijk die laatste dosis in. De totale hoeveelheid antistoffen komt daarmee op . . . mg, waarmee je dus nog gedurende . . . dagen boven de kritische drempel van 750 mg kan blijven. 2. Je stelt de inname van die laatste dosis nog even uit: je wacht namelijk tot je de kritische waarde een eerste maal bereikt, dit is na ongeveer . . . dagen, en slikt pas dan je laatste pilletje. Zo kan je opnieuw een tijdje verder, nl. nog . . . dagen, vooraleer je antistof-peil onherroepelijk onder de 750 mg duikt. Wat is het verstandigst, onmiddellijke of uitgestelde inname? Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


Oefening 7.6 De atmosferische druk (uitgedrukt in mm kwik) daalt exponentieel snel met stijgende hoogte x (in meter). De druk op zeeniveau is 760 mm kwik en op een hoogte van 1000 m is de druk 672, 71 mm kwik. Vind de waarde van de druk op 3000 m hoogte. (werkwijze : Gebruik het exponentiële model f (x) = beax , bepaal de parameters b en a met behulp van de beginvoorwaarden en bepaal zo het gevraagde.) Oefening 7.7 Een epidemie verspreidt zich zo dat t weken na het uitbreken ervan, het aantal besmette mensen gegeven wordt door een functie van de vorm f (t) =

B 1 + Ce−kt

waarbij B het aantal mensen is dat vatbaar is voor de ziekte en C, k strikt positieve, nader te bepalen parameters. 1 Bepaal de parameters C en k als je weet dat van de vatbare personen besmet waren 5 B personen besmet zijn na 4 weken. op het ogenblik t = 0 en dat 2 4 Wanneer zal van de vatbare personen besmet zijn? 5 Oefening 7.8 Een kapitaal van 800 000 euro staat uit tegen een samengestelde intrest van 1, 5% per jaar. 1. Hoe lang (in jaren en maanden) duurt het tot het kapitaal is aangegroeid tot 1 miljoen euro? 2. Na hoeveel jaar is het ingezet kapitaal verdubbeld?

8

Oplossingen van Oefeningen

2.1

1. 20 144, 43

2. 100 · ((1.0012)12 − 1) % ≈ 1, 45 % 3. 23 095, 68 2.2 65 630 inwoners in 1995. 2.3

1. VRT journalist denkt dat de procentuele groei na 7 jaar 7 · 14 % = 98 % ≈ 100 % bedraagt. De groeifunctie is f (t) = f (0) · (1, 14)t Na 7 jaar is de procentuele groei 150 %.



2. (1, 14)4 ≈ 1, 69 (1, 14)5 ≈ 1, 92 (1, 14)6 ≈ 2, 19 (1, 14)7 ≈ 2, 50 De verdubbeling gebeurt tussen het 5-de en het 6-de jaar. 2.4

100 p % 100 + p

6.1

1. 6

2. 3 3. -5 4.

5 2

5. -5 6. -1 6.2

1. 2, 807 354 922

2. −1, 151 433 285 6.3

1. log a − 4 log b

2. 3 log c + 12 log a − 21 log b 3. 4 log a + 12 log b 6.4

1. log x + log(x + 1) − log(x − 5)

2. 2 log(x + 1) + 12 log(x − 5) 3.

1 2

log(x − 5) − 32 log x − 21 log(x + 1)

4. −2 log(x + 1) 1

6.5

(x + 1)(x − 3) 2 1. log x2

2. log

103 x

3. log

(x − 1)5 1

(x + 3) 2



6.6 log(k − 1) + log(k + 1) − 2 log k 6.7 lim y = 5 t→+∞

6.10 Dit zijn beide rechten. Duid het snijpunt met de verticale as aan en de richtingscoëfficiënt. 6.11 1. x = 1 2. x = 5 en x = 7 3. x = 6.13

1 en x = 4 8

1. x = 3

2. x = 3 en x = 1 1. x > e7 − 5 √ √ 2. x < − 103 of x > 103

6.14

3. x > 1, 5

7.1

(ln 2) t t − 1 1. R(t) = R0 ( ) 5730 = R0 e 5730 2

2. 13 304, 6jaar 1 ln 2 . In de formule komen N0 en t niet meer voor. =− 2 = λ λ ln

7.2 T1/2 7.3

t ln 2 − − t 1. f (t) = b0 2 8 = b0 e 8 waarbij t gemeten wordt in dagen. 2. Na 34, 5 dagen. 7.4

1. 10 log(2I1012 ) dB = 10 log 2 dB+10 log(I1012 ) dB = 3 dB+10 log(I1012 ) dB

2. I moet met een factor 10 vermenigvuldigd worden. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie


7.5

1. Directe inname beschermt 21 dagen.

2. Uitgestelde inname beschermt 24,2 dagen. 7.6

1. b = 760, a = −1, 22 · 10−4

2. 527, 06 mm kwik 7.7 2. 7.8

1. C = 4 en k =

ln 4 4

4 van de vatbare personen is besmet na 8 weken. 5 1. 14 jaar en 11 maanden.

2. 46 jaar en 6 maanden.


Zomercursus Wiskunde. Module 5

Recommend Documents