Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie September 2008

Algebra¨ısch rekenen (versie 27 juni 2008)

Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen. Het eerste deel behandelt het uitwerken van haakjes en het buiten haken brengen van factoren. Hier wordt ook ontbinden in factoren in het algemeen besproken. In het tweede deel wordt het rekenen met breuken herhaald. In het laatste deel tenslotte worden de rekenregels voor machten met reële exponenten terug ingeoefend. Dit pakket biedt eenvoudige oefeningen aan waarin heel duidelijk bepaalde rekenregels dienen toegepast te worden. Het is natuurlijk de bedoeling dat deze rekenregels ook in een andere context niet vergeten worden! Deze module is bedoeld als zelfstudie en kan ook gebruikt worden als leidraad bij het studeren tijdens het academiejaar.

1 1.1

Rekenen met haakjes Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren

In dit deel herhalen we eerst de belangrijkste rekenregels voor het uitwerken van haakjes en het ontbinden in factoren. De daarop volgende voorbeeldoefeningen geven de kans om deze rekenregels nog eens in te oefenen.

2

Algebra¨ısch rekenen

Rekenregels

ontbinden in factoren2

uitwerken van haakjes

Zij a, b, c, d ∈ R. Er geldt: (1) c(a + b) = (a + b)c = ac + bc (2) (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

distributiviteit van · t.o.v. +

(3) (4) (5)

minteken voor de haken binnenbrengen

(6)

−(a + b) = −a − b −(a − b) = −a + b −(−a + b) = a − b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 3

(7)

3

2

kwadraat van een tweeterm 2

3

(8)

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b n X n n−k k n a b (a + b) = k k=0

(9)

ab + ac = a(b + c) = (b + c)a

afzonderen van een gemeenschappelijke factor

(10)

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

merkwaardig product: verschil van twee kwadraten

(11)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )

merkwaardig product: som van twee derdemachten

(12)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

merkwaardig product: verschil van twee derdemachten

an − b n = + ban−2 + b2 an−3 + · · · + bn−2 a + bn−1 )

merkwaardig product: verschil van twee ne machten

(13) (14)

(a − b)(a

n−1

an + b n = (a + b)(an−1 − ban−2 + b2 an−3 − · · · − bn−2 a + bn−1 )

1

derdemacht van een tweeterm Binomium Van Newton1

merkwaardig product: som van twee ne machten

Zie pakket Sommatieteken en faculteit. Rekenregels (6),(7) en (8) zijn, wanneer men ze in de omgekeerde richting toepast, tevens rekenregels voor het ontbinden in factoren. 2

Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

3

1. Rekenen met haakjes

Voorbeeldoefeningen 1. Werk de haakjes uit en vereenvoudig. (x, y, p, q ∈ R) (a) 1 − (x − y − 1) = 1 − x + y + 1 = −x + y + 2

(b) 1 − (p − q) + p = 1 − p + q + p = q + 1 (c) p − (p + q) + 2q = p − p − q + 2q = q

2. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haakjes. (a, b, c, d, x, y, p, q, r ∈ R) (a) 18x + 24y + 30p = 6 · 3x + 6 · 4y + 6 · 5p = 6 (3x + 4y + 5p) √ √ √ (b) 20ab3 + 30bc + 25b2 c3 d = 5b · 4ab2 + 5b · 6c + 5b · 5bc3 d = 5b 4ab2 + 6c + 5bc3 d (c) −9x2 y − 3xy = −3xy · 3x − 3xy · 1 = −3xy (3x + 1) p2 q 3 p2 q pq pq 2 pq pq pq pq 2 (d) − + pq = · − ·p+ ·2= −p+2 8 2 2 4 2 2 2 4 2 p2 q 3 p2 q pq 2 p p pq of − + pq = pq · − pq · + pq · 1 = pq − +1 8 2 8 2 8 2

3. Vul aan door de voorgestelde factor buiten haken te brengen. (p, r, s ∈ R) 2 2 p+1 p+1 3 + (p + 1) = (. . .) (a) 2 2 Oplossing:

p+1 2

2

3

+ (p + 1)

=

=

= = = =

(b) (3p + 2)

4r 4r − 4r(p − 1) = (. . .) 3 3


p+1 2

2

p+1 2

2

p+1 2 p+1 2 p+1 2 p+1 2

·1+

2 2

p+1 2

2 3

1+

(p + 1) p+1 2 2

2 2

!

4(p + 1)3 1+ (p + 1)2

(1 + 4(p + 1)) (1 + 4p + 4) (4p + 5) .

(p + 1)3 p+1 2

2

4


Oplossing: (3p + 2)

(c)

4r 4r 4r 4r(p − 1) − 4r(p − 1) = (3p + 2) − 4r 3 3 3 3 4r 4r(p − 1) · 3 4r (3p + 2) − = 3 3 4r 4r = (3p + 2 − (p − 1) · 3) 3 4r (3p + 2 − 3p + 3) = 3 4r · 5. = 3

xs xs2 xs + + 3x3 s3 = (. . .) 8 4 8

Oplossing: 2

xs 3x3 s3 xs xs xs4 xs xs2 + + + 3x3 s3 = ·1+ xs 8 4 8 8 xs 8 8 8 2 3 3 xs 8xs 24x s = 1+ + 8 4xs xs xs = (1 + 2s + 24x2 s2 ). 8 ֒→ Maak nu Oefening 1 van Paragraaf 4. 4. Ontbind volgende uitdrukkingen in factoren. (a) 81x2 y 2 − 25 = (9xy)2 − 52 = (9xy + 5)(9xy − 5) kwadraten)

(verschil van twee

(b) 9r2 − 24r + 16 = (3r)2 − (2 · 3r · 4) + 42 = (3r − 4)2 (kwadraat van een verschil) Opmerking: als je hiermee vlot kan rekenen hoef je niet telkens alle tussenstappen op te schrijven. ֒→ Maak nu Oefening 2 van Paragraaf 4.

1.2

De Euclidische deling

Het quotiënt van de ‘klassieke’ deling van 19 door 3 is gelijk aan 19/3 = 6, 333 . . . 3 . . . Bij de Euclidische deling of deling met rest van 19 door 3 is het quotiënt 6 en de rest Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

5


19 − 6 · 3 = 1. Het resultaat van de Euclidische deling van 19 door 3 wordt geschreven als 19 = 6 · 3 + 1. Hierbij is 19 het deeltal, 3 de deler, 6 het quotiënt en 1 de rest. Dit was een eenvoudige Euclidische deling in N. Hoe berekenen we nu het quotiënt en de rest bij een Euclidische deling van veeltermen? Als je bijvoorbeeld de veelterm 2x3 + x2 − 5x + 2 (deeltal) wil delen door de veelterm x − 3 (deler), ga je als volgt te werk: 1. Deel 2x3 door x. Dit geeft 2x2 . 2. Vermenigvuldig 2x2 met de deler en trek dit product af van het deeltal. Er blijft 7x2 − 5x + 2 over. 3. Deel 7x2 door x. Dit geeft 7x.

2x3 + x2 − 5x + 2 x − 3 2x3 − 6x2 2x2 + 7x + 16 2 7x − 5x + 2 7x2 − 21x 16x + 2 16x − 48

4. Vermenigvuldig 7x met de deler en trek dit product af van 7x2 − 5x + 2. Er blijft 16x + 2 over. 5. Deel 16x door x. Dit geeft 16. 6. Vermenigvuldig 16 met de deler en trek dit product af van 16x + 2. Dit geeft de uiteindelijke rest 50.


50

We besluiten: 2x3 +x2 −5x+2 = (2x2 +7x+16)(x−3)+50.

6


In het algemeen kunnen we schrijven:

Na een Euclidische deling is D(x) = Q(x) · d(x) + R(x) waarbij D(x) het deeltal is, d(x) 6= 0 de deler, Q(x) het quotiënt en R(x) de rest van de Euclidische deling. Hierbij is gr(R(x))< gr(d(x)). Als R(x) = 0 zegt met dat de deling opgaat en dat d(x) een deler is van D(x). Om deze deling stap voor stap uit te voeren, gebruiken we het volgende algoritme: 1. Rangschik deeltal D(x) en deler d(x) naar dalende machten van x en vul de ontbrekende machten in het deeltal aan met coefficiënten nul. Plaats deeltal en deler in een deelschema. 2. Deel de term met de hoogste macht van het deeltal door de term met de hoogste macht van de deler. Zo bekom je de eerste term van het quotiënt Q(x). 3. Vermenigvuldig deze eerste term van Q(x) met de deler en trek dit product af van het deeltal. Zo bekom je de gedeelde rest. 4. Deel de term van de hoogste macht van de gedeelde rest door de hoogste term van de deler. Dit geeft de tweede term van Q(x). 5. Herhaal deze werkwijze tot de graad van de gedeelde rest kleiner is dan de graad van de deler.

Voorbeeldoefeningen Bereken het quotiënt en de rest door het uitvoeren van een Euclidische deling.

1. Deel 2x3 − 8 door x + 2. 2. Deel −x3 + 9x + 2 door x + 4. 3. Deel 4x4 + x3 + 2x + 1 door 2x2 + 1. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

7


Oplossingen: 2)

1) 2x3 + 0x2 + 0x − 8 x + 2 2x3 + 4x2 2x2 − 5x + 8 − 4x2 + 0x − 8 − 4x2 − 8x

− x3 + 0x2 + 9x + 2 x + 4 − x3 − 4x2 −x2 + 4x − 7 4x2 + 9x + 2 4x2 + 16x

8x − 8 8x + 16

− 7x + 2 − 7x − 28

− 24

30

We besluiten:

We besluiten:

2x3 − 8 = (2x2 − 5x + 8)(x + 2) − 24.

−x3 + 9x + 2 = (−x2 + 4x − 7)(x + 4) + 30.

3) 4x4 + x3 + 0x2 + 2x + 1 2x2 + 1 4x4 + 2x2 1 2x2 + x − 1 2 x3 − 2x2 + 2x + 1 1 x3 + x 2 3 − 2x2 + x + 1 2 − 2x2 −1

We besluiten: 4x4 + x3 + 2x + 1 3 1 2 2 x+2 . = 2x + x − 1 (2x + 1) + 2 2

3 x+2 2

֒→ Maak nu Oefening 3 van Paragraaf 4.

1.3

Deling door x − a

Indien de deler d(x) van de vorm x − a is (met a ∈ R), dan kunnen we in plaats van een deelschema ook het rekenschema van Horner gebruiken om de Euclidische deling uit te voeren. Alvorens we dit rekenschema bespreken, onderzoeken we eerst welke voorwaarden noodzakelijk zijn opdat x − a een deler is van een bepaalde veelterm A(x). Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

8


Bij de Euclidische deling van een veelterm door x − a (met a ∈ R) is de rest van de deling gelijk aan de getalwaarde van het deeltal voor x = a. Bewijs: Uit de definitie van Euclidische deling volgt dat A(x) = Q(x)(x − a) + R met Q(x) het quotiënt en R ∈ R de rest. Hieruit volgt dat A(a) = Q(a)(a − a) + R = R. De veelterm A(x) is deelbaar door x − a (met a ∈ R) als en slechts als de getalwaarde voor x = a gelijk is aan nul. D.i. x − a | A(x)

⇔

A(a) = 0.

Bewijs: Uit de definitie van deelbaarheid volgt dat x − a | A(x) als en slechts als er een reële veelterm Q(x) bestaat zodat A(x) = Q(x)(x − a). Hieruit volgt dat A(a) = Q(a)(a − a) = 0. Hoe bepalen nu we de delers van de vorm x − a? Voorbeeld Bepaal de delers van de vorm x − a van de veelterm A(x) = x4 − 10x2 + 9. Volgens het criterium van deelbaarheid geldt x − a | A(x)

⇔

A(a) = 0.

Hieruit volgt dat • • • • • •

(x − 1) | A(x) (x + 1) | A(x) (x − 3) | A(x) (x + 3) | A(x) (x − 9) ∤ A(x) (x + 9) ∤ A(x)

omdat omdat omdat omdat omdat omdat

A( 1) A(−1) A( 3) A(−3) A( 9) A(−9)

= = = = 6 = 6 =

0 0 0 0 0 0.

Hierbij valt op dat 1, −1, 3 en −3 delers zijn van 9. Dit is niet toevallig, zoals blijkt uit volgend resultaat: Als x − a een deler is van een veelterm A(x) dan is a een deler van de constante term van deze veelterm A(x). Gaan we terug naar voorgaand voorbeeld, dan zien we dat x + 3 een deler is van de veelterm A(x) = x4 − 10x2 + 9. We kunnen het quotiënt van deze deling bepalen met behulp van de Euclidische deling, zoals uitgelegd in Paragraaf 1.2. Een alternatieve en snellere manier om het quotiënt te bepalen, maakt gebruik van het rekenschema van Horner. Omdat we de deling door x − a bespreken is a in dit geval gelijk aan −3. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

9


1

-3

a

1

0

3) .(-

-3 -3

-10

3) .(-

9 -1

0

3) .(-

3 3

Coëfficiënten van het deeltal

9

3) .(-

-9

+

0

Coëfficiënten van het quotiënt en de rest

rest Figuur 1: Het rekenschema van Horner

Het quotiënt is dus x3 − 3x2 − x + 3 en de rest is 0.

Hernemen we het voorbeeld uit Paragraaf 1.2, nl. de deling van 2x3 + x2 − 5x + 2 door x − 3. Daar hebben we deze deling uitgevoerd m.b.v. een deelschema. We maken nu deze deling opnieuw d.m.v. het rekenschema van Horner.

2

3

1

.3

2

6

-5

.3

7

21 16

2

.3

48 50

+

Figuur 2: Het rekenschema van Horner

Merk op dat de rest 50 ook de getalwaarde van het deeltal voorstelt voor x = 3, d.i.

2 · 33 + 32 − 5 · 3 + 2 = 50. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

10


Besluit

Om de eventuele delers van de vorm x − a (a ∈ R) van een veelterm te vinden en het bijhorende quotiënt te zoeken, ga je als volgt te werk: • Bepaal de delers van de constante term van de veelterm. • Bepaal de getalwaarde van de veelterm voor deze delers. • Als deze getalwaarde 0 is, dan heeft de deling door x − a (met a deler van de constante term) rest 0. • Bepaal dan het quotiënt van de deling door een Euclidische deling uit te voeren of door het rekenschema van Horner toe te passen. ֒→ Maak nu Oefening 4 van Paragraaf 4.

2

Rekenen met breuken

In dit deel geven we heel bondig de rekenregels voor het werken met breuken. Deze zijn heel eenvoudig, de bedoeling is echter dat je deze rekenregels kan toepassen in moeilijkere berekeningen zoals de daaropvolgende voorbeeldoefeningen. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

11

2. Rekenen met breuken

2.1

Rekenregels

Zij a, b, c, d ∈ R. Er geldt: a+b a b = + c c c

indien c 6= 0

breuken splitsen

a c ad + cb + = b d bd

indien b, d 6= 0

breuken optellen

indien a, c 6= 0

breuken vereenvoudigen

b ab = ac c a b

a c bc ac a = b b c a b c d

2.2

=

=

ad bc

indien b, c 6= 0 indien b, c 6= 0

rekenregels voor meerdere breukstrepen

indien b, c, d 6= 0

Voorbeeldoefeningen

1. Numerieke voorbeelden 120 + 74 120 74 = + = 60 + 37 = 97 2 2 2 1 5 1·6+5·8 46 • Breuken optellen: + = = 8 6 48 48 25 · 5 5 125 = = • Breuk vereenvoudigen: 50 25 · 2 2 80 80 80 = =4 • Rekenen met meerdere breukstrepen: 2 = 10 2 · 10 20

• Breuk splitsen:

2. Symbolisch rekenen (x, y, p, q ∈ R)

• Rekenen met meerdere breukstrepen: x+y (x + y)y Stel x, y 6= 0, dan is x = x y • Rekenen met meerdere breukstrepen: x+y x+y Stel x, y 6= 0, dan is x = y xy • Breuk vereenvoudigen — verschil van twee kwadraten: (p + q)(p − q) p2 − q 2 = =p+q Stel p − q 6= 0, dan is p−q p−q Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

12


• Breuk vereenvoudigen, rekenen met meerdere breukstrepen — factor afzonderen: p(1+q) p+qp 1+q (1 + q)q 1+q pq 2 pq 2 q2 Stel p, q 6= 0, dan is p2 = p2 = p2 = = 2 2 q p qp2 q

q

q

• Breuken splitsen, rekenen met meerdere breukstrepen: −1 −1 −1x −1 −1 = =x Stel x 6= 0, dan is x+1 = 1 = −1 = 1 −1 1− x 1−1− x 1− 1+ x x

֒→ Los nu Oefening 5 van Paragraaf 4 op.

3

De machtsverheffing: definitie en rekenregels

3.1

Machtsverheffing met een re¨ eel grondtal en een gehele exponent

Definitie 3.1 (Machtsverheffing met re¨ eel grondtal en gehele exponent) n Zij a ∈ R en n ∈ N. De macht a (spreek uit: a tot de macht n of a tot de n-de) met grondtal a en exponent n wordt als volgt gedefinieerd:   1 als n = 0 def an = a · a · · · a als n ∈ N0 .  | {z } n factoren

Zij a ∈ R0 en n ∈ N. De macht a−n met grondtal a en exponent −n wordt als volgt gedefinieerd: def 1 a−n = n . a

Bijzondere gevallen 3.2 • a0 = 1 voor alle a ∈ R, i.h.b. geldt (per afspraak) dat • 00 = 1. • a1 = a voor alle a ∈ R • a−1 =

1 voor alle a ∈ R0 a

• 0n = 0 voor alle n ∈ N0 , nochtans hebben we dat • 00 = 1. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie

3. De machtsverheffing: definitie en rekenregels

• 0z is niet gedefinieerd voor z ∈ Z− 0. • 1z = 1 voor alle z ∈ Z. Rekenregels 3.3 Zij x, y ∈ R en m, n ∈ N. Er geldt: xm xn = xm+n xm = xm−n xn (xy)n = xn y n n xn x = n y y

als xn 6= 0

als y 6= 0

(xm )n = xmn

Zij x, y ∈ R0 en m, n ∈ Z. Er geldt: xm xn = xm+n xm = xm−n n x (xy)n = xn y n n xn x = n y y (xm )n = xmn


13

14


3.2

Machtsverheffing met een strikt positief re¨ eel grondtal en een re¨ ele exponent

Definitie 3.4 (Machtsverheffing met grondtal in R+ 0 en exponent in Q) 1 1 + Zij a ∈ R0 en n ∈ N0 . De macht a n met grondtal a en exponent wordt n gedefinieerd als het uniek strikt positief reëel getal waarvan de n-de macht gelijk is aan a: ( 1 a n > 0 en n 1 a n = a. 1

De macht a n wordt ook wel genoteerd met

√ n

a.

m m n met grondtal a en exponent wordt Zij a ∈ R+ 0 , m ∈ Z en n ∈ N0 . De macht a n als volgt gedefinieerd: 1 m m def . a n = an

Bijzondere√gevallen 3.5 1 • a n = n a voor alle a ∈ R+ 0 en alle n ∈ N0 , i.h.b. hebben we 1

√

a voor alle a ∈ R+ 0. r 1 1 n 1 −n = voor alle a ∈ R+ • a = √ 0 en alle n ∈ N0 n a a √ m √ m • a n = n a = n am voor alle a ∈ R+ 0 , alle m ∈ Z en alle n ∈ N0 • a2 =

• 1q = 1 voor alle q ∈ Q.

Machtsverheffing met een strikt positief re¨ eel grondtal en een re¨ ele exponent We wensen tenslotte ook ar te definiëren met a ∈ R+ 0 en r ∈ R. Dit is niet evident en we zullen de definitie hier ook niet in detail geven. Hiervoor verwijzen we naar de cursus wiskunde uit het eerste jaar waar dit zeker nog aan bod komt. Wel schets ik hier kort één mogelijke manier om zin te geven aan de uitdrukking ar met a ∈ R+ 0 en r ∈ R.

q Neem dus a ∈ R+ 0 en r ∈ R. We weten reeds dat a goed gedefinieerd is voor elk rationaal getal q. Ook weet je wellicht nog dat je elke reëel getal r ‘oneindig goed’ kan benaderen d.m.v. rationale getallen. Concreet wil dit zeggen dat gegeven een reëel getal r er een oneindige rij q1 , q2 , q3 , . . . bestaat van rationale getallen die r met steeds hogere


3. De machtsverheffing: definitie en rekenregels

15

nauwkeurigheid benaderen, zodat uiteindelijk elke gewenste nauwkeurigheid vanaf een bepaald getal in de rij bereikt wordt. Men zegt in dit geval dat de rij q1 , q2 , q3 , . . . naar r convergeert en men noteert dit met ‘qn → r als n → ∞’ of met limn→∞ qn = r.

Stel nu dat q1 , q2 , q3 , . . . zo’n rij is die naar r convergeert. We kunnen dan voor elke qn in die rij de macht aqn beschouwen. Op die manier bekomen we een nieuwe rij aq1 , aq2 , aq3 , . . . Nu blijkt dat ook deze rij steeds zal convergeren naar een zeker reëel getal s en dat deze limiet niet afhangt van de keuze van de rij q1 , q2 , q3 , . . . die we gebruikt hebben om r te benaderen. Dit laat ons dan toe om de macht ar te definiëren als dat getal s dat je op die manier bekomt en dat enkel afhangt van a en r. Zelfs voor machten met reële exponenten (en dus i.h.b. voor machten met rationale exponenten) blijven de gebruikelijke rekenregels (zoals we die reeds zagen voor machten met gehele exponenten) gelden. We sommen ze hieronder nog eens op, (natuurlijk) zonder bewijs. Rekenregels 3.6 Zij x, y ∈ R+ 0 en r, s ∈ R. Er geldt: xr xs = xr+s xr = xr−s s x (xy)r = xr y r r x xr = r y y (xr )s = xrs

3.3

Voorbeeldoefeningen

1. Numerieke voorbeelden 2 !−3 −6 1 1 • = 26 = 64 = 2 2 1 2 1 2 1 9 1 2 2 • 1 = 2 = 41 = · 9 = 1 4 4 3 9 3

√ 1 2 22 4 2− 32 • √ = 1 = = 22 = 2 1 = 2 8 82 (23 ) 2 √ √ √ √ 1 1 4 1 3 3 • 8 · 64 = 8 3 · 82 = 8 3 · 8 = 8 3 +1 = 8 3 = 84 2


16


2. Stel x, y ∈ R0 dan geldt: √ 4 −1 3 1 x3 • = x 4 −1 = x 4 = √ 4 x x 1 2 √ √ 2 √ 2 1 13 2 • x3 · 4 x = x6 · 4 x = x6 · x 4 = x6 · x 4 = x6+ 2 = x 2 = x13 !4 p 4 2 2y 2 x x4 y 2 1 2 2 (x y) • y · = y · 4 4 = y2 · 4 4 = y2 · 2 = 1 xy xy xy y p p p √ √ • 48x9 y 4 = (16 · 3)(x8 · x)y 4 = 16 · 3 · (x4 )2 · x · (y 2 )2 = 4x4 y 2 3x = 4x4 y 2 3x ֒→ Los nu oefening 6 van paragraaf 4 op.

4

Oefeningen 1. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haken of vul aan. Stel u, s, t ∈ R • 24st + 12t − 60ut = st2 s2 t2 • + + s2 t = 8 12 2s + 3 2s + 3 • + (2s + 3)2 = · [. . .] 2 2 5s 5s (u − 1) − 5s(3u + 1) = · [. . .] • 8 8 2. Ontbind in factoren. • x3 − 1 =

• 25x2 y 4 − 64 =

• 4x2 + 24xy + 36y 2 =

3. Zoek het quotiënt en de rest van volgende delingen met behulp van een Euclidische deling. • 2x4 − 1 door x − 1.

• 4x3 + 4x2 − 5x − 3 door 2x2 − x − 1. • 5x3 + 125 door x + 5.

• 3x3 + 8x2 − x + 1 door 3x + 2.


17

4. Oefeningen

4. Bepaal voor onderstaande veeltermen een deler van de vorm x − a en bereken het quotiënt met behulp van het rekenschema van Horner. • x4 − 2x3 + 1

• x3 − 9x2 − 5x + 6 • 2x4 − 1

5. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel a, b, c ∈ R0 . • • •

a − b a − 2b − = c 2c a−b b

=

1−

a b

1−

a+b b

=

a2 b

6. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel x, y ∈ R en a, b ∈ R0 . •

√

a

a5

=

• x6 y 8 4

• ab

−1/2 √

= !3

a2 b 4 ab

=

7. Vul aan. • • • • • •

4x2 − 3x = 4x · [. . .] 5 (p + 1)3 (p + 1)2 (p + 1)2 (p + 1)2 + + = · [. . .] 2 6 2 m2 m ... (m + n) · − = 2 2 (m + n) 2 2(m + n) √ √ √ √ √ 2 + 8 + 18 + 50 = . . . · 2 ... 4 8+q − = 2 2 q 2q 2q 4 3 ... −8 + + = 2 2x x − 1 (x − 1) 2x(x − 1)2


18


8. Werk uit en vereenvoudig zo goed mogelijk. p 3 • x6 y 2 = p (x + y)4 y 3 = • y √ • 64x5 = !−2 y −4 y 6 p • = y y4 9p2 − 16 −p= • 9(3p + 4) − 1 •

1

m+2 2 m−1 − 2m+1

=


Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Recommend Documents