Zomercursus Wiskunde
Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie
September 2008
¨ rdinaten Poolcoo (versie 27 juni 2008)
1
Inleiding ...
Y .............. y.
p •
... ..... ..... ..... . . . . ..... .... ..... ..... ..... . . . . .... ..... ..... ..... .......... . . . . .. .... ..... ..... ... ..... ..... ... .....
r
1 o
θ
x
1
X ........................
fig. 1
In fig.1 worden er op twee verschillende manieren co¨ordinaten gegeven aan het punt p. Een eerste manier zijn de gebruikelijke cartesiaanse co¨ordinaten (x, y). De getallen x en y zijn hier afstanden (met een teken), respectievelijk op de X-as en de Y -as. Het andere koppel co¨ordinaten (r, θ) zijn ook twee getallen die het punt p eenduidig bepalen. r is de afstand van de oorsprong o tot p en θ is het maatgetal van de geori¨enteerde hoek tussen de X-as en het lijnstuk op, uitgedrukt in radialen. (r, θ) wordt een koppel poolco¨ordinaten van p genoemd.
2
2
Poolco¨ ordinaten
Poolstelsel ...
Y .............. y.
p •
r
e2 o e1
p •
. ..... ..... ..... .... . . . . ..... ..... ..... ..... ..... . . . .... ..... ..... ..... ............. . . . . . .. ...... ... ..... .. ... .... .. .... ..... .
x
X .......................
e
o e1
θ
¯ X .......................
fig. 2
De cartesiaanse co¨ordinaten van het punt p zijn bepaald ten opzichte van twee onderling loodrechte assen, die snijden in de oorsprong o, met eenheidspunt e1 op de X-as en eenheidspunt e2 op de Y -as. Om het punt p poolco¨ordinaten te kunnen geven hebben ¯ met de oorsprong o als eindpunt en een we enkel de oorsprong o, een halve rechte X ¯ nodig. Als we een cirkel trekken met straal 1 en o als centrum eenheidspunt e1 op X dan snijdt die de rechte op in een punt e. Dit snijpunt e is het eenheidspunt op de ¯ de poolas. (o, X) ¯ noemt men een rechte op. Het punt o noemt men de pool en X poolstelsel.
3
Poolco¨ ordinaten
¯ ligt een punt p vast door het geven van een Ten opzichte van een poolstelsel (o, X) koppel getallen (r, θ). ¯ en het lijnstuk op. We spreken af Het getal θ stelt de geori¨enteerde hoek voor tussen X dat θ het maatgetal van deze hoek is uitgedrukt in radialen. Eenvoudigheidshalve zullen we vaak gewoon over de hoek θ spreken, terwijl we eigenlijk het maatgetal bedoelen. Het getal r is de afstand tussen o en p. r is dus een positief re¨eel getal.
taak 1 Geef een koppel poolco¨ordinaten voor de punten a, b, c en d uit de onderstaande figuur. Teken op onderstaande figuur de punten p1 tot en met p9 .
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
3
3. Poolco¨ ordinaten
............................................................ .................. ........... .. ........... ... .. ............ ................... ... ... ........ .... . ....... . .. .. . . . . . ... .. .................................................................. .... . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ........... ......... ... . .... .... . . . . . . . .. ........... . . . . . . . . . . ... ... .......... ... . . ............. ..... ..... .... . . . . . . . . . ... ....... ... ......................... . . . ......... ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ .. .. .......... ....... ........ .. ....................... ..... ......... .......... ..... ... ..... ......... .. ............ . ......... ...... . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . ... ....... ....... ... .......... ... ....... . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . ..... .. . ..... ...... .... ........................................... .. .. .......... ....... ..... .......... ..... ... .......... ........ .......... .... ............................ ......... .. ................... ...... ......... . ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ........ ... ... ... . ........ .. ....... . .. .. ........ ....... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... .... .. ... . ... ..... ..... ..... ....... .... . . . .. ................ ......... ....... ... ............. .............................................................. ... ....... .... ..... ... ........... . . ...... . . . . . . . . . . . . . ... .. ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. ........... ..... ................. ........ ................. .... .... .. ... ................ ....... ................. ...... ................ . . . ... .... . ... .... ......... ......... ... ... .. .. ... . ....... . . . .. ............ . .. . . . . . . . . . . . . . .. ... .......... .... ....... .............. ..... ..................................................... .... ............... ........ .... ............ .. .... . . . . ... ....... ... ... ............ ........ .... ......... ... ... ......... ........ . ... ............ ..... . .. .. .................. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ........ . . . ... ... .... ................ ......... ..... ................ . ... ............... ... ................ .... ......... ................. ..... .... .... . . . . . .... . . . .......... .. ........ ... ......... .... ... .. ..................... .. ... .... ........... ........... ......... . ... . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . ........... .......... .... ....... ...... ... . ............ .. ... ........ .... ............ .............. ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . ... . . ... . ...... ..... ....... ... .......... ... ... ... .. ........ ..... ... ... . .. ................ . . . . . . . . . . . . . . ... . . ......................... . . . . . . . . .... ....... ... ............ ... ... ... .................................. .. .. ................. .................. . . . . . . . . . . . ... .............................. .... ... . . . . . . . ... ... ...................... ... ......................... .......... ......... ........ ................. . ................... ... . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . ... . . . . . ... . . ... ... . .. . .... ...... ....... .................... .. ..... ... ... ...... ... ... .......................................... ................... ....... ............. . . .. ... .... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... .. ...... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .... .... . ..... ... ..... ..... ..... ..... . . . . . . .. . . . . ... . . . . .. ... .......... . . ... . ... . ... ... . . . . . . . ... ... . . .. ............................... ... . ... . ... ............................ .... ... . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... ........... ........ ....... .. ......... ............ .. ............................. ... . . . . ... . ... ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ .................. ...... ... . . ........ ... ... .................. .............. ...................... .. .............................. .... ... ... ............................................. ... ........ ............ .......................... . .... ... ......... .......... ..... ....... ... ... ... ... ....... ...... .......... ... ..................... ... ...... .... .. . . . .. ... .. ..................... .. ... ................ ......... ................... ... . . .. .. . . ... ..... ... .............. .. ....... ..... ... ........................................... ........ ............... ................ . .......... ....................... ... ... . . . ... . . .......... ... ... .. .... ..... ..... ..... . ........ .. ... ........ ... ....... ............ ... .. ... . ... ................. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .......... ....... ........ ........ ........ ... ... .... ................. .............. ... ... . . ... ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ...... ... ......... .. . .. ... . ... . ......... ... ......... ......... ........ .................................. ................................... ........ ........ ......... ..... ................ .. .... . ... ... ... ........ ......... ..... .. ...... .. ... ................ .. .. . ........ ... ... ..... .............. ... .. ... ................. .... .... ...... ... .. .. ....... ... ... .. ...... ... . ... ..... ... ....... ... ......... ......... ........ ................. .... .... ... ..... ......... .......... ..... ... ..................... . . ... ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ... .... .... . . ..... ...... . ...... ... ........... .. ... ............ ..... .... ................ ... ................................................ .... ... ................. ......... .. ... ..... ........ ......... ..... ... ... . ... ... ...... ..... ....... ................ ... .. ... ... ........ .......... ..... .. ............... ......... .. ... ... .. ..... .. ... ............. ..... ... .................. . ... ....................... .... ........... .. ...................... ...... ................ . . . . . . . . ..... .. ....................................... ... ...... ... .......... ..... ...... ..... ..... .. . . . . .. . . . . . . ........ . . . ..... .... . . . . . ..... .. ... ... .......... . .. ... ..... .. .. .................. . ... ..... ... ... .................. ......... ..... ... ........... ..... . ... .. ........... ..... ........ ........... .... ... ............ ........ ........ .. ......................................................................... .... ......... ......... ......... . .. ... ....... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . ... ... .......... ... .. ...... .... .................... ... ... ........... ... ...... ...... ... .. ..... . ............ .... .. ................................ ....... .......................................... ... .. . ....... ....... .. ... ... .............. ........ .... . . .......... ... ....... ............ ... . ................ ..................... ..............................................
b•
c•
o•
• 1
• a
................
¯ X
•d
a b c d
(. . . , . . .) (. . . , . . .) (. . . , . . .) (. . . , . . .)
p1 p2
(2, π6 ) ) (2, 7π 6
p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9
) (2, 13π 6 (3, 27π) (1, 1) ) (2, − 11π 6 (0, 0) (0, 1) (0, 10π)
Commentaar In deze taak stelde je vast dat ´e´en punt verschillende koppels poolco¨ordinaten kan hebben. Dit is niet het geval bij cartesiaanse co¨ordinaten. Bv. elk koppel van de vorm (2, π6 + 2kπ) met k ∈ Z is een stel poolco¨ordinaten van het punt p1 . Meer algemeen zijn de koppels (r, θ + 2kπ) met k ∈ Z verschillende stellen poolco¨ordinaten van hetzelfde punt. Voor de pool o is er nog meer vrijheid. Elk koppel (0, θ) met θ ∈ R is een stel poolco¨ordinaten van de pool o. Dus als een koppel poolco¨ordinaten gegeven is kan je juist ´e´en punt tekenen met die co¨ordinaten, maar als een punt in het vlak gegeven is, kan je verschillende koppels poolco¨ordinaten geven voor dat punt. Indien θ ∈ [0, 2π[ en r ∈ R+ 0 , noemt men (r, θ) ¯ de poolco¨ordinaten van een punt p ten opzichte van een gegeven poolstelsel (0, X).
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
4
4
Poolco¨ ordinaten
Poolvergelijkingen
taak 2 Teken in onderstaand cartesiaans assenstelsel de punten (x, y) waarvoor y = x en x2 + y 2 = 4. Geef de vergelijkingen van deze figuren in poolco¨ordinaten.
... .......
Y ..........
1 o
4.1
1
X .......................
Cartesiaanse co¨ ordinaten versus poolco¨ ordinaten
Het nut van poolco¨ordinaten is onder andere dat sommige vergelijkingen eenvoudiger worden in poolco¨ordinaten dan in cartesiaanse co¨ordinaten. Een duidelijk voorbeeld hiervan is een cirkel met centrum in de oorsprong. Dit is een tweedegraadsvergelijking in cartesiaanse co¨ordinaten en een eerstegraadsvergelijking in poolco¨ordinaten. Omgekeerd zijn er ook vergelijkingen die eenvoudiger zijn in cartesiaanse co¨ordinaten. Bv. de rechte x = 2, een rechte die niet door de oorsprong gaat. We zullen later zien wat de vergelijking hiervan is in poolco¨ordinaten.
taak 3 In de figuur hieronder zijn de punten getekend die voldoen aan de 1ste graadsvergelijking 2r = θ met r ≥ 0. Deze kromme noemt men een Archimedische spiraal. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
5. Transformatie formules
5
Het punt met poolco¨ordinaten (5, 10) voldoet aan de vergelijking. Duid het aan op de figuur. Voldoet het koppel (5, 10 − 2π) aan de vergelijking ? Ligt het punt met poolco¨ordinaten (5, 10 − 2π) op de kromme ?
4.2
Poolvergelijking
Een vergelijking van een kromme ten opzichte van een poolstelsel wordt een poolvergelijking van die kromme genoemd. Een punt p behoort tot een kromme met gegeven poolvergelijking als en slechts als een stel poolco¨ordinaten van p voldoet aan de poolvergelijking. Deze zijn niet noodzakelijk de poolco¨ordinaten van het punt p. Merk op dat θ steeds uitgedrukt wordt in radialen!
5 5.1
Transformatie formules Geassocieerd assenstelsel
Als een cartesiaans assenstelsel gegeven is kunnen we hieraan een poolstelsel associ¨eren door de positieve X-as als poolas te nemen. Het punt e1 nemen we gewoon over. Omgekeerd, als een poolstelsel gegeven is associ¨eren we hiermee een cartesiaans assen¯ te verlengen tot de rechte X en het punt e2 met poolco¨ordinaten stelsel door de poolas X π (1, 2 ) te nemen. De rechte door 0 en e2 is dan de Y -as.
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
6
5.2
Poolco¨ ordinaten
Van poolco¨ ordinaten naar cartesiaanse co¨ ordinaten
Veronderstel dat p een punt is met poolco¨ordinaten (r, θ) (zie fig. 1). De cartesiaanse co¨ordinaten (x, y) worden dan gegeven door x = r cos θ y = r sin θ Merk op dat een ander stel poolco¨ordinaten van p hetzelfde koppel (x, y) oplevert. We kunnen dus besluiten dat indien een stel poolco¨ordinaten (r, θ) van een punt p gegeven is ten opzichte van een poolstelsel, dan worden de cartesiaanse co¨ordinaten ten opzichte van het geassocieerde cartesiaanse assenstelsel gegeven door x = r cos θ (1) y = r sin θ
5.3
Van cartesiaanse co¨ ordinaten naar poolco¨ ordinaten
Stel nu dat de cartesiaanse co¨ordinaten (x, y) van een punt p gegeven zijn ten opzichte van een cartesiaans assenstelsel. We zoeken nu een stel poolco¨ordinaten (r, θ) ten opzichte van het geassocieerde poolstelsel. p Uit (??) leiden we afp dat x2 + y 2 = r2 , dus r = x2 + y 2 . Substitueren we r = x2 + y 2 in (1), dan krijgen we : cos θ = √ x2 2 sin θ = √
x +y y
x2 +y 2
Dit stelsel bepaalt ondubbelzinnig de hoek θ. Voorbeeld
√ √ Geef√de poolco¨ √ordinaten √ van het punt p met als cartesische co¨ordinaten (− 2, 6): r = 2+6= 8=2 2 of θ = 4π . Uit cos θ = √ − 12 volgt θ = 2π 3 3 . Uit sin θ = 23 volgt θ = π3 of θ = 2π 3 √ 2π Antwoord : (2 2, 3 ) taak 4 Stel met behulp van de transformatieformules een poolvergelijking op voor de rechte met vergelijking x = 2. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7
5. Transformatie formules
We geven nog een andere omschrijving van hoe we θ kunnen vinden, gegeven de cartesiaanse co¨ordinaten x en y. Hiervoor herhalen we eerst de definitie van de functie boogtangens. De tangensfunctie heeft geen inverse functie. Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel x waarden waarvoor tan x = 1. Om een inverse functie van de tangensfunctie te kunnen defini¨eren zullen we het definitiegebied beperken tot ] − π2 , π2 [. tangensfunctie op R
bgtan
tan
atan
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4 −4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
−4 −4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
We noteren de inverse functie van de tangensfunctie beperkt tot ] − π2 , π2 [ met bgtan of arctan. Het bereik van deze functie is bijgevolg ] − π2 , π2 [. Voor θ ∈] − π2 , π2 [ geldt dan: y = tan θ ⇔ θ = arctan y. Bijvoorbeeld tan π4 = 1 en arctan 1 = π4 taak 5 : Bereken arctan(tan π4 ) Vermits arctan niet de inverse is van de tangensfunctie op R geldt niet altijd dat arctan(tan θ) = θ. Dit geldt enkel voor hoeken θ in het 1ste en het 4de kwadrant. Voor hoeken in het 2de en 3de kwadrant kunnen we schrijven dat θ = arctan(tan θ) + π. Keren we nu terug naar het zoeken van θ gegeven x en y. θ vinden we door het stelsel cos θ = √ x2 2 sin θ = √
x +y y
x2 +y 2
op te lossen. Dus als x 6= 0 is tan θ = xy . Als x > 0 dan ligt θ in het 1ste of het 4de kwadrant, als x < 0 dan ligt θ in het 2de of het 3de kwadrant. We kunnen dus besluiten dat θ = arctan xy x>0 y = arctan x + π x < 0 = π2 x = 0, y > 0 x = 0, y < 0 = − π2
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
8
Poolco¨ ordinaten
Voorbeeld
√ √ We nemen weer het punt p met als cartesische co¨ordinaten (− 2, 6) en zoeken de poolco¨ √ van dit √ punt: √ ordinaten r = 2+6= 8=2 2 √ √ x < 0 dus θ = arctan xy + π = arctan −√62 + π = arctan(− 3) + π = − π3 + π = 2π 3 √ 2π Antwoord : (2 2, 3 )
6
Oefeningen 1. Geef alle koppels poolco¨ordinaten van het punt met gegeven poolco¨ordinaten (2, 12). 2. Geef van de volgende punten gegeven in poolco¨ordinaten het stel poolco¨ordinaten met θ ∈ [0, 2π[ : ) (a) p(5, 7π 2 15π (b) q(3, 4 ) 3. Maak een tabel om bij enkele waarden van θ de bijhorende waarde van r te berekenen en maak een schets van de volgende krommen : (a) r = 1θ voor θ > 0 (hyperbolische spiraal) (b) r = | cos 2θ| (rozet) (c) r = sinθ θ voor 0 < θ < π 4. Geef de cartesiaanse co¨ordinaten van de volgende punten met gegeven poolco¨ordinaten : ) (a) p(2, 17π 6 5π (b) q(5, 4 ) 5. Geef een koppel poolco¨ordinaten van de volgende punten met gegeven cartesische co¨ordinaten: (a) p(−1, −1)
(b) q( 21 ,
√
3 ) 2
6. Geef de cartesiaanse vergelijking van de kromme met poolvergelijking (a) r = 2 (b) r = cos1 θ 7. Stel de poolvergelijking op van een cirkel met straal a en centrum (0, a).
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
