Zomercursus Wiskunde Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie September 2008
Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 1 juli 2008)
1 1.1
Rationale functies Inleiding
Functies als f1 : x 7→
5x , x−5
f3 : x 7→
3x2 + 7x 4
f2 : x 7→
x2 − 3x + 1 2x − 1
en f4 : x 7→
x4
1 −1
waarbij f (x) een quoti¨ent is van twee veeltermen noemen we rationale functies. De functies f5 : x 7→
√
x−1 , x−1
zijn geen rationale functies omdat
f6 : x 7→ √
sin x x
en
f7 : x 7→
2x x+1
x − 1, sin x en 2x geen veeltermen zijn. 2
Opmerking 1: De rationale functie f3 : x 7→ 3x 4+7x kan ook geschreven worden als een veeltermfunctie f3 : x 7→ 34 x2 + 74 x. Veeltermfuncties zijn dus bijzondere gevallen van rationale functies. Opmerking 2: Rationale functies zijn niet gedefinieerd in de eventuele nulpunten van de noemer, ze hebben daar dus geen functiewaarde.
2
Limieten en asymptoten van rationale functies
1.2
De functie f : x 7→
1 x
E´en van de eenvoudigste rationale functies is f : x 7→ x1 . We bestuderen deze functie van naderbij: - In 0 is er geen functiewaarde omdat de noemer dan nul wordt. Het domein van de functie is dus R0 en de grafiek heeft geen snijpunt met de Y-as. - Er is ook geen snijpunt met de X-as. Dit komt omdat functie heeft dus geen nulpunten.
1 x
6= 0 voor elke x. De
- Het tekenverloop is : x f(x)
0 |
–
+
- Nadert x langs rechts naar 0, d.w.z. langs waarden die groter zijn dan 0, dan worden de functiewaarden onbegrensd groot in de positieve zin. We zeggen dat f (x) naar plus oneindig nadert als x langs rechts naar 0 nadert. x
1 2
1 3
...
→0
f(x)
2
3
...
→ +∞
Notatie :
1 x
>
1 = +∞ x→0 x >
→ +∞ als x → 0 of : lim >
Analoog zien we dat
1 x
→ −∞ als x → 0 of lim <
1
x→0 x <
= −∞.
1 niet bestaat omdat de linker- en rechterlimiet verschillend zijn. x→0 x
Merk op dat lim
De rechte x = 0 (de Y-as) noemen we een verticale asymptoot van (de grafiek van) f . - Als we kijken naar de functiewaarden voor zeer grote waarden van x, in positieve en negatieve zin, dan zien we dat 1 x
→0
als
x → +∞
of
1 =0 x→+∞ x
1 x
→0
als
x → −∞
of
1 =0 x→−∞ x
lim
lim
De rechte y = 0 (de X-as) noemen we een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f . Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
2. Limieten
2
3
Limieten
We gaan hier niet in op de exacte definitie van limiet, maar beperken ons tot het berekenen van limieten. Het berekenen van de limiet van een rationale functie in een punt c ∈ R dat geen nulpunt van de noemer is levert weinig problemen. De limiet is dan immers gelijk aan de functiewaarde. We geven enkele voorbeelden: • lim (2x3 − 5x2 ) = 2.23 − 5.22 = −4 x→2
3.32 − 6.3 + 1 10 3x2 − 6x + 1 = = x→3 2x2 + 11x − 8 2.32 + 11.3 − 8 43
• lim
Het berekenen van de limiet van een rationale functie in een punt c ∈ R dat wel een nulpunt van de noemer is wordt behandeld in paragraaf 2.3. Voor het zoeken van horizontale en schuine asymptoten is het ook nodig de limiet van een functie te bepalen voor x → +∞ of x → −∞. Hierover gaat paragraaf 2.2. Voor we deze gevallen behandelen kijken we eerst naar de rekenregels van limieten, in paragraaf 2.1. Maar eerst nog een grafische oefening:
Oefening Welke limieten hebben de volgende functies in −∞ en +∞ als de pijlen op de grafiek aangeven hoe de functies verder verlopen ? Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
4
Limieten en asymptoten van rationale functies
2.1
Rekenregels voor limieten voor x → c met c ∈ R of c = ±∞
Deze rekenregels gelden voor willekeurige functies f en g maar in de voorbeelden en oefeningen gebruiken we steeds rationale functies. Deze rekenregels gelden voor x → c met c ∈ R of c = ±∞. - Als limf (x) = a ∈ R en limg(x) = b ∈ R dan is : x→c
x→c
lim[f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) = a + b
x→c
x→c
x→c
lim[f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x) = a − b
x→c
x→c
x→c
lim[f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x) = a · b
x→c
x→c
limf (x) f (x) a = x→c = x→c g(x) limg(x) b lim
x→c
x→c
als
b 6= 0
- Als limf (x) = limg(x) = +∞ dan is : x→c
x→c
lim[f (x) + g(x)] = +∞
x→c
lim[f (x) · g(x)] = +∞
x→c
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
5
2. Limieten
Deze laatste twee regels kunnen we ook symbolisch schrijven als : (+∞) + (+∞) = +∞ (+∞) · (+∞) = +∞ - Met dezelfde symbolische schrijfwijze gelden ook de volgende regels: (−∞) + (−∞) = −∞ (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞ (−∞) · (−∞) = +∞ a + (+∞) = (+∞) + a = +∞ voor elke a + (−∞) = (−∞) + a = −∞ voor elke a · (+∞) = (+∞) · a = +∞ als a > 0 a · (+∞) = (+∞) · a = −∞ als a < 0 a · (−∞) = (−∞) · a = −∞ als a > 0 a · (−∞) = (−∞) · a = +∞ als a < 0 a a = =0 +∞ −∞
a∈R a∈R
Voor volgende uitdrukkingen kan er echter geen regel geformuleerd worden, men noemt dit onbepaalde vormen : (+∞) + (−∞) (−∞) + (+∞) 0 · (+∞) en 0 · (−∞) en ∞ 0 en 0 ∞
(+∞) · 0 (−∞) · 0
De reden hiervoor is dat in die gevallen, afhankelijk van welke functies f en g precies zijn, verschillende waarden voor de limiet kunnen voorkomen. Voor de onbepaalde vorm 0 · (+∞) geven we enkele voorbeelden: x2 = lim x = 0 x→0 x x→0 > > lim
x = lim 1 = 1 x→0 x→0 x > > lim
1 x = lim = +∞ 2 x→0 x x→0 x > > lim
1 = 0 · (+∞) x→0 x >
lim x2 · lim
en
x→0 >
en
1 = 0 · (+∞) x→0 x >
lim x · lim
x→0 >
en
1 x = lim = bestaat niet 2 x→0 x x→0 x lim
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
1 = 0 · (+∞) x→0 x2 >
lim x · lim
x→0 >
en
1 = 0 · (+∞) x→0 x2
lim x · lim
x→0
6
Limieten en asymptoten van rationale functies
Dus als limf (x) = 0 en limg(x) = +∞ dan kunnen we x→c
x→c
niet schrijven dat
lim[f (x) · g(x)] = lim f (x) · lim g(x)
x→c
x→c
x→c
Samenvattend kunnen we zeggen dat de limiet van een som de som is van de limieten, de limiet van een product is het product van de limieten en de limiet van een quoti¨ent is het quoti¨ent van de limieten, tenzij je daardoor een onbepaalde vorm krijgt.
2.2
Limiet in c = ±∞
Hoe kunnen we volgende limiet uitrekenen? lim (3x2 − 4x + 2)
x→+∞
We kunnen
niet schrijven dat lim (3x2 − 4x + 2) = lim 3x2 − lim 4x + lim 2.
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
want dan krijgen we de onbepaalde vorm (+∞) − (+∞). Om deze limiet uit te rekenen gaan we volgende regel gebruiken: (+∞) · a = +∞
als
a>0
We schrijven deze eerst terug volledig en nemen c = +∞, dan krijgen we: Als lim f (x) = +∞ en lim g(x) = a met a > 0 dan is x→+∞
x→+∞
lim [f (x) · g(x)] = +∞
x→+∞
We beginnen de berekening met: lim (3x2 − 4x + 2) = lim [x2 (3 −
x→+∞
x→+∞
4 2 + 2 )] x x
We weten dat lim x2 = +∞
x→+∞
2 4 + 2) = 3 x→+∞ x x dus als we de limiet van dit product van functies schrijven als het product van de limieten krijgen we geen onbepaalde vorm: 4 2 lim (3x2 − 4x + 2) = lim [x2 (3 − + 2 )] x→+∞ x→+∞ x x 2 4 = lim x2 · lim (3 − + 2 ) x→+∞ x→+∞ x x = (+∞) · 3 = +∞ lim (3 −
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7
2. Limieten
- Nog enkele voorbeelden van gelijkheden die we zo onbepaalde vormen krijgen:
niet mogen schrijven omdat we
1 x3 = lim · lim x3 x→±∞ x x→±∞ x→±∞ x lim
−x 1 = lim · lim −x x→±∞ x x→±∞ x x→±∞ lim
We kunnen deze limieten wel gemakkelijk uitrekenen: x3 = lim x2 = +∞ x→±∞ x x→±∞ lim
lim
x→±∞
−x = lim −1 = −1 x→±∞ x
Oefeningen I Juist of fout ? lim (3x2 − 4x + 2) = lim 3x2 − lim 4x + lim 2.
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x→−∞
II Bereken met behulp van voorgaande rekenregels (a) lim (2x3 − 5x2 ) x→±∞
3x2 − 6x + 1 x→±∞ 2x2 + 11x − 8
(b) lim
Door het toepassen van de rekenregels zie je dat de limiet voor x → ±∞ gelijk is aan de limiet van de hoogstegraadsterm voor een veeltermfunctie, en gelijk is aan het quoti¨ent van de hoogstegraadstermen in teller en noemer voor een rationale functie. III Bereken nu (a) lim (−4x5 + 7x4 − 11) x→±∞
−x2 + 3x − 2 x→±∞ 3x − 7
(b) lim
2x2 − 3 x→±∞ x3 − x + 2
(c) lim
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
8
Limieten en asymptoten van rationale functies
x3 − 1 x→±∞ x − 1
(d) lim
x6 + 5x2 + 1 x→±∞ x4 − x6
(e) lim
2.3
Limiet in een nulpunt van de noemer
1 Als f (a) = 0 voor a ∈ R, dan zal f (x) oneindig groot worden in positieve of negatieve 1 . zin als x naar a nadert. We noemen a dan een pool van de functie f (x) Als f (a) = 0 dan geldt:
• Als f (x) > 0 in een omgeving van a dan is lim
1
x→a f (x)
= +∞.
1 = −∞. x→a f (x)
• Als f (x) < 0 in een omgeving van a dan is lim
• Als f (x) > 0 voor x > a en f (x) < 0 voor x < a 1 1 = +∞ en lim = −∞ dan is lim x→a f (x) x→a f (x) < > • Als f (x) < 0 voor x > a en f (x) > 0 voor x < a 1 1 dan is lim = −∞ en lim = +∞ x→a f (x) x→a f (x) > < 1 niet. x→a f (x)
Opmerking : Als de linker- en rechterlimiet verschillen bestaat lim
Oefeningen Bereken : 1 x→1 (x − 1)2
(a) lim
x2 + x − 1 x→1 x−1 >
(b) lim
x2 + x − 1 (c) lim x→1 x−1 < Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
9
2. Limieten
x−3 x→1 x2 − 1 >
(d) lim
x−3 x→1 x2 − 1 <
(e) lim
x (Dit is geen rationale functie) x→π sin x <
(f) lim
In de vorige oefeningen (behalve in de laatste) werd telkens gevraagd om de (linker of rechter) limiet in 1 te berekenen, en 1 was een nulpunt van de noemer maar geen nulpunt van de teller. Om de limiet te berekenen in een nulpunt van teller en noemer moet je eerst teller en noemer ontbinden in factoren en dan vereenvoudigen. We illustreren dit met een voorbeeld: x2 − 4 (x − 2)(x + 2) = lim = lim (x + 2) = 4 x→2 x − 2 x→2 x→2 x−2 lim
Dus als a een nulpunt van de noemer is en we kunnen door ontbinden in factoren en vereenvoudigen de factor x − a wegdelen in de noemer, dan is de limiet voor x → a 2 −4 eindig. Teken de grafiek van f : x → xx−2 om dit te verduidelijken!
Oefening Bereken : x3 − 1 x→1 x − 1 <
(a) lim
x3 − 3x + 2 x→1 (x − 1)3 <
(b) lim
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
10
3 3.1
Limieten en asymptoten van rationale functies
Asymptoten Voorbeeld
We gaan na hoe we een schets kunnen maken voor de grafiek van f : x 7→
3x − 5 . x
(a) Wat is het domein van f ? (b) Zoek de nulpunten van f . (c) Om het tekenverloop van een rationale functie te vinden, bepaal je eerst het tekenverloop van de teller en noemer afzonderlijk. 0
x
5 3
3x-5
x
f (x) =
3x − 5 x
3x − 5 3x − 5 en lim . x→−∞ x→+∞ x x Voor x → +∞ en x → −∞ zal de grafiek steeds meer naderen tot de rechte met als vergelijking y = 3. De rechte y = 3 noemen we een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f .
(d) Bereken lim
(e) Omdat 0 een nulpunt is van de noemer en niet van de teller zal groot worden als x naar 0 nadert. Uit het tekenverloop weten we dat 3x − 5 = +∞ x→0 x < lim
en
3x−5 x
oneindig
3x − 5 = −∞. x→0 x > lim
De rechte x = 0 noemen we een verticale asymptoot van (de grafiek van) f . Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
11
3. Asymptoten
3.2
Verticale asymptoten
Definitie: De rechte met vergelijking x = a is een verticale asymptoot van (de grafiek van) f ⇔ lim f (x) = +∞
x→a <
of
lim f (x) = −∞
x→a <
Ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoot
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
of lim f (x) = +∞ x→a >
of
lim f (x) = −∞
x→a >
12
Limieten en asymptoten van rationale functies
Oefeningen Ga na waar de volgende functies een verticale asymptoot hebben. Schets ook de ligging van de grafiek t.o.v. de asymptoot. 2x + 1 x−1 x−3 f : x→ 2 x −9
f : x→
3.3
Horizontale asymptoten
Definitie De rechte met vergelijking y = a is een horizontale asymptoot van (de grafiek van) f ⇔ lim f (x) = a x→+∞
of
lim f (x) = a
x→−∞
Oefeningen Ga na of de volgende functies een horizontale asymptoot hebben : 1 −1 2x − 5 f : x→ 4x + 1 x2 − 1 f : x→ x−2
f : x→
x2
Kan je hieruit een besluit trekken over het bestaan van een horizontale asymptoot bij een rationale functie als je kijkt naar de graad van teller en noemer?
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
13
3. Asymptoten
3.4
Schuine asymptoten
x2 − 1 We gaan het gedrag onderzoeken van de functie f : x → voor zeer grote waarden x−2 van x. x2 − 1 x2 − 1 lim = +∞ en lim = −∞ x→+∞ x − 2 x→−∞ x − 2 Als we de euclidische deling uitvoeren krijgen we :
Dus
x2 −1 x−2
deeltal rest 3 x2 − 1 = = quoti¨ent + =x+2+ . x−2 deler deler x−2 − (x + 2) =
3 . x−2
x2 − 1 3 = 0, is ook lim [ − (x + 2)] = 0. x→±∞ x − 2 x→±∞ x − 2
Vermits lim
2
−1 Grafisch betekent dit dat voor x → +∞ en x → −∞ de grafiek van f : x → xx−2 steeds meer nadert tot de rechte met als vergelijking y = x + 2. De rechte y = x + 2 noemen we een schuine asymptoot van (de grafiek van) f .
Definitie : De rechte met vergelijking y = ax + b (a 6= 0) is een schuine asymptoot van (de grafiek van) f ⇔ lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→+∞
of
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→−∞
Voor een willekeurige functie f kunnen we de parameters a en b bepalen door de volgende limieten uit te rekenen: f (x) x→±∞ x
a = lim
en b = lim (f (x) − ax) .
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
x→±∞
14
Limieten en asymptoten van rationale functies
Indien deze limieten niet bestaan of geen re¨ele getallen zijn heeft f geen schuine asymptoot. Voor rationale functies kunnen we op een eenvoudigere wijze de schuine asymptoot vinden als deze bestaat, door de euclidische deling uit te voeren, zoals in bovenstaand voorbeeld.
Oefeningen (a) Laat zien dat lim (f (x) − (ax + b)) = 0 niet hetzelfde is als lim f (x) = x→+∞
x→+∞
lim (ax + b).
x→+∞
(b) Ga na of de volgende functies een schuine asymptoot hebben. 6x2 − x + 7 f :x → 3x + 1 x4 f :x → 2 x −1 Kan je hieruit een besluit trekken over het bestaan van een schuine asymptoot bij een rationale functie als je kijkt naar de graad van teller en noemer?
3.5
Samenvatting
Is f (x) =
am xm +...+a1 x+a0 (m, n bn xn +...+b1 x+b0
dan geldt :
∈ N0 ; am 6= 0, bn 6= 0)
- Is m < n, dan is de X-as een horizontale asymptoot van de grafiek van f . - Is m = n, dan is de rechte met vergelijking y = van de grafiek van f .
am bn
een horizontale asymptoot
- Is m = n + 1, dan heeft de grafiek van f een schuine asymptoot. - Is m > n + 1, dan heeft de grafiek van f geen horizontale en geen schuine asymptoot. - Is a een nulpunt van de noemer van f en kunnen we door ontbinden in factoren en vereenvoudigen de factor x − a niet volledig wegdelen in de noemer, dan is de (linker-, rechter-) limiet voor x → a oneindig. De grafiek heeft een verticale asymptoot met vergelijking x = a. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
15
3. Asymptoten
- Is a een nulpunt van de noemer van f en kunnen we door ontbinden in factoren en vereenvoudigen de factor x−a volledig wegdelen in de noemer, dan is de limiet voor x → a eindig. De grafiek van de functie vertoont een opening voor x = a. - Is a geen nulpunt van de noemer van f , dan is de limiet voor x → a gelijk aan de functiewaarde.
Oefeningen Geef de asymptoten van de volgende functies : x3 x2 − 9 x f2 :x → x+1 3x − 5 f3 :x → x+2 x2 f4 :x → x+1 f1 :x →
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
