Zomercursus Wiskunde Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie September 2008
Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)
2
Rechten en vlakken
Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale ruimte. We volgen daarbij de aanpak van de analytische meetkunde, waarbij punten in de ruimte worden voorgesteld door co¨ordinaten t.o.v. een assenstelsel. We hebben het verband tussen punten in de ruimte en co¨ordinaten t.o.v. een assenstelsel reeds besproken in de module over lineaire algebra. We hebben gezien hoe punten in de ruimte kunnen geassocieerd worden met vectoren, en dat rechten en vlakken door de oorsprong van het assenstelsel overeenkomen met deelruimten van een driedimensionale vectorruimte. Alhoewel de theorie van rechten en vlakken op veel verschillende manieren kan opgebouwd worden, volgen we hier een manier die zoveel mogelijk voortbouwt op wat we gezien hebben in de module over lineaire algebra.
1
Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong
In de module over lineaire algebra hebben we gezien dat vectoren (a, b, c) ∈ R3 kunnen voorgesteld worden als punten in een driedimensionale ruimte waarin een assenstelsel werd gekozen. In plaats van gewoon een punt aan te duiden wordt de vector ook voorgesteld door een pijl van de oorsprong van het assenstelsel (d.i. het punt (0, 0, 0)) naar dit punt. We werken in deze module altijd met een orthonormaal assenstelsel, (d.w.z. met onderling loodrechte assen en gelijke meeteenheden op alle assen). Op de volgende figuur wordt de vector (of het punt) (4, 5, 3) voorgesteld. z 3
(4, 5, 3) y
o 5
x
4
De veelvouden van een vector vormen een rechte door de oorsprong. De volgende figuur toont (een stuk van) de rechte die bestaat uit de veelvouden van (4, 5, 3). Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
1. Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong
3
z 3
(4, 5, 3) y
o 5 4 x
De veelvouden van een punt (a, b, c) zijn vectoren k(a, b, c) (of (ka, kb, kc)) met k een willekeurig re¨eel getal. De vergelijking (x, y, z) = k(a, b, c) met k ∈ R of
x = ka y = kb z = kc
met k ∈ R
wordt de parametervergelijking (eigenlijk een parametervergelijking) van de rechte door de oorsprong en (a, b, c) genoemd. Dit is een beschrijving die aangeeft hoe alle punten van de rechte kunnen gevonden worden door willekeurige waarden voor k te kiezen. De veranderlijke k wordt de parameter van de vergelijking genoemd. Merk op dat de parameterverglijking niet uniek is. Zo beschrijven (x, y, z) = k(4, 5, 3) met k ∈ R en (x, y, z) = k(8, 10, 6) met k ∈ R dezelfde rechte. Wel is het zo dat bijvoorbeeld het punt (12, 15, 9) in de eerste beschrijving gevonden wordt door k = 3 te kiezen en in de tweede beschrijving door k = 3/2 te kiezen. Als we alle re¨ele waarden van k beschouwen leveren beide beschrijvingen precies dezelfde rechte. In de plaats van veelvouden van een vector (a, b, c) kunnen we ook lineaire combinaties van twee vectoren (a, b, c) en (d, e, f ) beschouwen. Een lineaire combinatie van (a, b, c) en (d, e, f ) is een som van een veelvoud van (a, b, c) en een veelvoud van (d, e, f ). Deze lineaire combinaties hebben de vorm k(a, b, c) + l(d, e, f ) (of (ka + ld, kb + le, kc + lf )) met k en l willekeurige re¨ele getallen. Al deze vectoren samen vormen een vlak door p = (a, b, c), q = (d, e, f ) en de oorsprong, zoals weergegeven op de volgende figuur. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
4
Rechten en vlakken
z kp + lq
lq q
kp
p y
o
x
Merk op dat we geen oneindig vlak kunnen tekenen. Het getekende parallellogram is een eindig stuk van het oneindige vlak door o, p en q. De parametervergelijking van dit vlak wordt gegeven door (x, y, z) = k(a, b, c) + l(d, e, f ) met k, l ∈ R of x = ka + ld y = kb + le z = kc + lf
met k, l ∈ R
Merk op dat de parametervergelijking opnieuw niet uniek is. De rol van (a, b, c) en (d, e, f ) kan ook gespeeld worden door twee andere vectoren van het vlak, die lineair onafhankelijk zijn (zie de module over lineaire algebra). Omdat het gaat over twee vectoren, betekent lineaire onafhankelijkheid hier gewoon dat het gaat om van nul verschillende vectoren die geen veelvoud zijn van elkaar. Beschouw bijvoorbeeld het vlak door de oorsprong met parametervergelijking (x, y, z) = k(1, 0, 1) + l(0, 1, 1) met k, l ∈ R. Dit vlak bevat ook de punten (1, 2, 3) (kies k = 1 en l = 2) en (1, −1, 0) (kies k = 2 en l = 1). De vergelijking (x, y, z) = k(1, 2, 3) + l(1, −1, 0) met k, l ∈ R beschrijft precies hetzelfde vlak. Neem bijvoorbeeld het punt (2, 1, 3) in dit vlak. In de eerste beschrijving wordt dit bekomen door k = 2 en l = 1 te kiezen en in de tweede beschrijving door k = 1 en l = 1 te kiezen. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
2. Cartesiaanse vergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong
2
5
Cartesiaanse vergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong
Er is nog een andere manier om rechten en vlakken door de oosprong te beschrijven. In de module over lineaire algebra hebben we immers gezien dat de oplossingenverzameling van lineaire stelsels de vorm aannemen van de hierboven beschreven parametervergelijkingen. Zo wordt bijvoorbeeld de oplossingenverzameling van het stelsel x +z = 0 y +z = 0 beschreven door
of
x = −k y = −k z =k
met k, l ∈ R
(x, y, z) = k(−1, −1, 1) met k ∈ R. Dit is een rechte door de oorsprong. Ter herinnering: Als we het stelsel oplossen met de methode van Gauss vinden we dat er twee hoofdonbekenden en ´e´en nevenonbekende zijn. Bij het neerschrijven van de oplossing kunnen we daarom ´e´en onbekende vrij kiezen. Deze komt overeen met de vrij te kiezen parameter k. Als we een “stelsel” van slechts ´e´en vergelijking met rechter lid 0 neerschrijven (en niet alle co¨effici¨enten gelijk aan 0), zijn er twee nevenonbekenden en kunnen we twee onbekenden vrij kiezen. Zo word de oplossingenverzameling van x+y+z =0 beschreven door
of
x = −k − l y =k z =l
met k, l ∈ R,
(x, y, z) = k(−1, 1, 0) + l(−1, 0, 1) met k, l ∈ R. De beschrijvingen van rechten en vlakken door de oorsprong met behulp van lineaire vergelijkingen worden cartesiaanse vergelijkingen van rechten en vlakken genoemd. In het algemeen geldt dat een vlak kan beschreven worden door een vergelijking van de vorm px + qy + rz = 0, waarbij p, q en r niet tegelijk 0 zijn. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
6
Rechten en vlakken
Een rechte wordt beschreven door een stelsel van de vorm px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0 De vergelijkingen px+qy +rz = 0 en sx+ty +uz = 0 moeten lineair onafhankelijk zijn. Dit betekent dat de vectoren (p, q, r) en (s, t, u) lineair onafhankelijk moeten zijn. Of ook (omdat het om twee vergelijkingen gaat), dat (p, q, r) en (s, t, u) moeten verschillen van (0, 0, 0) en geen veelvoud mogen zijn van elkaar. Dat voor een rechte twee vergelijkingen nodig zijn mag niet verrassen. We kunnen beide vergelijkingen (omdat (p, q, r) 6= (0, 0, 0) en (s, t, u) 6= (0, 0, 0)) interpreteren als een vergelijking van een vlak. Een punt ligt op de rechte als het op beide vlakken ligt. De rechte vormt dus de snijlijn van de twee vlakken. Dat (p, q, r) en (s, t, u) geen veelvoud van elkaar mogen zijn betekent dat het moet gaan om twee verschillende vlakken. Daar waar een parametervergelijking een snelle manier biedt om punten van een rechte of een vlak te produceren (door een willekeurige waarde voor de parameter(s) in te vullen), biedt een cartesiaanse vergelijking een snelle manier om van een willekeurig punt (x, y, z) in de ruimte te testen of het op het vlak of de rechte gelegen is. Om bijvoorbeeld te testen of het punt (1, 2, 3) op de rechte met vegelijking 2x −y =0 x +y +z = 0 ligt, berekenen we
2·1−2 = 0 1 + 2 + 3 = 6 6= 0
Het punt voldoet slechts aan ´e´en van beide vergelijkingen en ligt dus niet op de rechte.
3
Omzetten van cartesiaanse vorm in parametervorm
Uit de bovenstaande theorie is onmiddellijk duidelijk hoe we een cartesiaanse vergelijking van een vlak of rechte moeten omzetten in een parametervergelijking. Het volstaat het gegeven stelsel vergelijkingen op te lossen en de oplossingenverzameling in de vorm van een parametervergelijking weer te geven. Merk op dat we ons voorlopig nog steeds toeleggen op rechten en vlakken door de oorsprong. Omdat we in deze module nog herhaaldelijk stelsels van ´e´en of twee homogene vergelijkingen (d.w.z. met rechterlid 0) in drie onbekenden zullen moeten oplossen, gaan we hier even dieper op in. Eerder dan de methode van Gauss te gebruiken voor het oplossen van stelsels, zullen we in de context van rechten en vlakken vaak gebruik maken van directe formules voor dergelijke eenvoudige stelsels. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
3. Omzetten van cartesiaanse vorm in parametervorm
7
Indien p 6= 0 kunnen we op zicht twee lineair onafhankelijke oplossingen neerschrijven van de vergelijking px + qy + rz = 0, namelijk (q, −p, 0) en (r, 0, −p). Dit zijn dus twee punten van het vlak met vergelijking px + qy + rz = 0. Omdat p 6= 0 zijn (q, −p, 0) en (r, 0, −p) bovendien geen veelvoud van mekaar. Voor de parametervergelijking vinden we dan (x, y, z) = k(q, −p, 0) + l(r, 0, −p) met k, l ∈ R. Indien p = 0, is q 6= 0 of r 6= 0 en kunnen we analoog te werk gaan. Bijvoorbeeld als q 6= 0 schrijven we (x, y, z) = k(−q, p, 0) + l(0, r, −q) met k, l ∈ R. We herinneren er nog even aan dat parametervergelijkingen niet uniek zijn en dat andere vormen mogelijk zijn. Ook voor een homogeen stelsel van twee lineair onafhankelijke vergelijkingen in drie onbekenden, bestaan formules voor de oplossing: Het stelsel
px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0
met (p, q, r) en (s, t, u) verschillend van (0, 0, 0) en geen veelvoud van elkaar, heeft als oplossingen (x, y, z) = k(qu − rt, rs − pu, pt − qs) met k ∈ R. Dit is meteen ook de parametervergelijking van de rechte die bovenstaand stelsel als cartesiaanse vergelijking heeft. De vector (qu − rt, rs − pu, pt − qs) wordt ook het vectorieel product van de vectoren (p, q, r) en (s, t, u) genoemd en genoteerd als (p, q, r) × (s, t, u) of als (p, q, r) ∧ (s, t, u). Je kan gemakkelijk nagaan dat deze vector inderdaad aan beide vergelijkingen voldoet: p(qu − rt) + q(rs − pu) + r(pt − qs) = ... = 0 s(qu − rt) + t(rs − pu) + u(pt − qs) = ... = 0 Voor de rechte met cartesiaanse vergelijking x +2y +z = 0 −2x +z = 0 vinden we (1, 2, 1) × (−2, 0, 1) = (2, −3, 4). Dit is een punt van de rechte en we vinden (x, y, z) = k(2, −3, 4) met k ∈ R. als parametervergelijking. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
8
Rechten en vlakken
Wanneer (p, q, r) en (s, t, u) lineair afhankelijk zijn is het vectorieel product (0, 0, 0). Let wel op dat je in dit geval niet mag besluiten dat de oplossing van het stelsel alleen uit de nulvector bestaat. Het stelsel vormt in dat geval ook niet de vergelijking van een rechte. Vectori¨ele producten worden meestal in verband gebracht met loodrechte stand van vectoren. Daar gaan we in de paragrafen 4 en 5 op in. Het vectorieel product kan ook uitgedrukt worden met q r r p , (p, q, r) × (s, t, u) = t u u s
determinanten: p q , s t .
Met een beetje misbruik van notatie (met vectoren op de eerste rij waar normaal getallen staan), wordt het vectorieel product ook kort genoteerd in de volgende vorm die gemakkelijk te onthouden is: ex ey ez (a, b, c) × (d, e, f ) = a b c d e f
waarbij ex = (1, 0, 0), ey = (0, 1, 0) en ez = (0, 0, 1). Uitwerken van deze 3 × 3 determinant levert opnieuw dezelfde formule. Voor iets meer hierover verwijzen we naar de module over lineaire algebra.
4
Loodrichtingen
De cartesiaanse vergelijkingen van rechten en vlakken door de oorsprong zijn stelsels van ´e´en of twee homogene vergelijkingen in drie onbekenden. In de module over lineaire algebra, zagen we hoe homogene vergelijkingen kunnen ge¨ınterpreteerd worden in termen van loodrechte stand. De vergelijking px + qy + rz = 0 kan ook geschreven worden als (p, q, r) · (x, y, z) = 0, waarbij ’·’ het inwendig product noteert. De vergelijking eist dus dat het inwendig product van (x, y, z) met (p, q, r) gelijk is aan 0, en dus dat (x, y, z) loodrecht staat op (p, q, r) (zie module over lineaire algebra). Het vlak beschreven door de vergelijking px + qy + rz = 0, bestaat dus uit alle vectoren die loodrecht staan op (p, q, r). Omgekeerd vormen de veelvouden van (p, q, r) alle vectoren die loodrecht staan op het vlak. De vector (p, q, r), of ´e´en van zijn veelvouden, geeft de loodrichting op het vlak aan. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
9
5. Omzetten van parametervorm in cartesiaanse vorm
De rechte beschreven door
px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0
(met (p, q, r) en (s, t, u) lineair onafhankelijk), bestaat uit alle vectoren die loodrecht staan op (p, q, r) en op (s, t, u). Omgekeerd vormen (p, q, r) en (s, t, u) en al hun lineaire combinaties de verzameling van vectoren die loodrecht staan op de gegeven rechte. De vectoren (p, q, r) en (s, t, u) geven een lineair onafhankelijk stel loodrichtingen op de rechte aan. De volgende figuur toont de rechte door de oorsprong en (4, 5, 3) en twee lineair onafhankelijke loodrichtingen (1, 1, −3) en (−2, 1, 1). z 3
(4, 5, 3) y
o 5 4
(−1, 2, −2)
x (1, 1, −3)
5
Omzetten van parametervorm in cartesiaanse vorm
We zagen reeds hoe een cartesiaanse vergelijking van een vlak of een rechte door de oorsprong kan worden omgezet in een parametervergelijking. We moesten daartoe homogene stelsels van ´e´en of twee vergelijkingen in drie veranderlijken oplossen en zagen daartoe enkele formules in paragraaf 3. Het hierboven beschreven beeld van de loodrichtingen geeft een eenvoudig visualiseerbare manier aan om het omgekeerde probleem aan te pakken. En dezelfde formules voor het oplossen van stelsels zullen opnieuw hun nut bewijzen. Om voor de rechte met parametervergelijking (x, y, z) = k(a, b, c) met k ∈ R een cartesiaanse vergelijking te vinden, zoeken we een vergelijking van de vorm px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0 Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
10
Rechten en vlakken
met de veelvouden van (a, b, c) als oplossing. In de vorige paragraaf zagen we dat dit betekent dat (p, q, r) en (s, t, u) twee richtingen aangeven die loodrecht staan op (a, b, c) en lineair onafhankelijk zijn van mekaar. De vectoren (p, q, r) en (s, t, u) moeten dus twee lineair onafhankelijke oplossingen van het stelsel ax + by + cz = 0 zijn. Volgens de theorie van paragraaf 3 kunnen we hiervoor de vectoren (b, −a, 0) en (c, 0, −a) nemen, indien a 6= 0 (of een analoge oplossing indien b 6= 0 of c 6= 0). Dit geeft (voor a 6= 0) de vergelijking bx −ay =0 cx −az = 0 We herinneren er nog eens aan dat deze cartesiaanse vergelijking niet uniek is. Andere vergelijkingen zijn mogelijk. Om voor het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = k(a, b, c) + l(d, e, f ) met k, l ∈ R een cartesiaanse vergelijking px + qy + rz = 0 te vinden, moeten we volgens de theorie van paragraaf 3 een vector (p, q, r) vinden die loodrecht staat op (a, b, c) en (d, e, f ). D.w.z. een vector die oplossing is van ax +by +cz = 0 dx +ey +f z = 0 Deze wordt gegeven door het vectorieel product (a, b, c) × (d, e, f ) = (bf − ce, cd − af, ae − bd). De cartesiaanse vergelijking van het vlak wordt dus (bf − ce)x + (cd − af )y + (ae − bd)z = 0. Bijvoorbeeld, voor het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = k(1, 2, 1) + l(−2, 0, 1) met k, l ∈ R vinden we, met (1, 2, 1) × (−2, 0, 1) = (2, −3, 4), 2x − 3y + 4z = 0 als cartesiaanse vergelijking. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
6. Algemene rechten en vlakken
11
We vatten de laatste drie paragrafen nog eens samen op een voorbeeld: De vector (4, 5, 3) staat loodrecht op de vectoren (1, 1, −3) en (−2, 1, 1) (zie ook de figuur hierboven). De rechte door de oorsprong en (4, 5, 3) heeft als parametervergelijking (x, y, z) = k(4, 5, 3) met k ∈ R en als cartesiaanse vergelijking
x +y −3z = 0 −2x +y +z = 0
Het vlak door de oorsprong en door (1, 1, −3) en (−2, 1, 1) heeft als parametervergelijking (x, y, z) = k(1, 1, −3) + l(−2, 1, 1) met k, l ∈ R en als cartesiaanse vergelijking 4x + 5y + 3z = 0. We benadrukken nog eens dat dit niet de enig mogelijke vergelijkingen zijn. De vectoren (1, 1, −3) en (−2, 1, 1) zijn oplossingen van het stelsel 4x + 5y + 3z = 0 Elk stel van twee oplossingen van dit stelsel, die van (0, 0, 0) verschillen en geen veelvoud zijn van elkaar, kan de rol van (1, 1, −3) en (−2, 1, 1) hierboven spelen. De vector (4, 5, 3) is een oplossing van het stelsel x +y −3z = 0 −2x +y +z = 0 De oplossingen van dit stelsel zijn de veelvouden van (1, 1, −3) × (−2, 1, 1) = (4, 5, 3). Elke van (0, 0, 0) verschillende oplossing kan de rol van (4, 5, 3) hierboven spelen.
6
Algemene rechten en vlakken
Hierboven hebben we alleen rechten en vlakken door de oorsprong van een gegeven assenstelsel beschouwd. In termen van lineaire algebra zijn deze rechten en vlakken ´e´en- en tweedimensionale deelruimten van R3 . Rechten en vlakken die niet door de oorsprong gaan zijn geen deelruimten. Toch vraagt het niet veel werk om de hierboven beschreven theorie uit te breiden tot algemene rechten en vlakken die niet noodzakelijk door de oorsprong gaan. We kunnen een willekeurige rechte of vlak immers bekomen door een rechte of vlak door de oorsprong te verschuiven. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
12
Rechten en vlakken
Voor parametervergelijkingen betekent dit het volgende. We zagen hierboven dat een parametervergelijking van de veelvouden van (a, b, c) gegeven wordt door (x, y, z) = k(a, b, c) met k ∈ R. Als we willekeurige waarden voor k nemen vinden we alle punten van de rechte. Als we nu bij al die punten een vaste vector (g, h, i) optellen verschuiven we de gehele rechte volgens de vector (g, h, i). De volgende figuur toont een voorbeeld met (a, b, c) = (4, 5, 3) en (g, h, i) = (0, 0, −2). z 3
(4, 5, 3) y
o (4, 5, 1)
5
4 x
(0, 0, −2)
We bekomen een rechte die evenwijdig is aan de oorspronkelijke rechte en door het punt (g, h, i) gaat. De parametervergelijking van deze rechte is (x, y, z) = (g, h, i) + k(a, b, c) met k ∈ R. We zeggen dat (g, h, i) een punt van de rechte is en (a, b, c) een richting. Voor een vlak kunnen we iets analoogs doen: Beschouw eerst een vlak door de oorsprong (x, y, z) = k(a, b, c) + l(d, e, f ) met k, l ∈ R. Als we dit vlak verschuiven volgens de vector (g, h, i) vinden we (x, y, z) = (g, h, i) + k(a, b, c) + l(d, e, f ) met k, l ∈ R. We noemen (g, h, i) een punt van het vlak en (a, b, c) en (d, e, f ) richtingen. Voor de cartesiaanse vergelijkingen van algemene rechten en vlakken doen we weer een beroep op de lineaire algebra. We zagen hierboven dat rechten en vlakken door de oorsprong bekomen worden als de oplossingenverzameling van een homogeen stelsel van ´e´en of twee vergelijkingen in drie onbekenden. Dit zijn de cartesiaanse vergelijkingen. We herinneren eraan dat homogeen betekent dat alle rechter leden van de vergelijkingen Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
6. Algemene rechten en vlakken
13
0 zijn. In de module over lineaire algebra hebben we gezien dat als we de rechter leden veranderen we een oplossingenverzameling vinden die bekomen wordt door de oorspronkelijke oplossingenverzameling te verschuiven. Dit is precies wat we zoeken. Als px + qy + rz = 0 sx + ty + uz = 0 de vergelijking is van een rechte door de oorsprong, dan is px + qy + rz = v sx + ty + uz = w de vergelijking van een rechte die daar evenwijdig aan is. Als we bijvoorbeeld willen dat deze rechte door het punt (g, h, i) gaat, dan bepalen we v en w zodat (g, h, i) aan de vergelijking voldoet. D.w.z. v = pg + qh + ri en w = sg + th + ui. De rechte evenwijdig aan x +2y +z = 0 −2x +z = 0 door het punt (1, 2, 3) is
x +2y +z = 8 −2x +z = 1
Deze vergelijking wordt ook soms genoteerd als (x − 1) +2(y − 2) +(z − 3) = 0 −2(x − 1) +(z − 3) = 0 Merk op dat de rechterleden 0 zijn maar dat dit geen homogeen stelsel is omdat het linker lid constante termen bevat. Op analoge manier vinden we vertrekkend van een vlak door de oorsprong met vergelijking ax + by + cz = 0, de vergelijking van het evenwijdige vlak door het punt (g, h, i) als ax + by + cz = ag + bh + ci of als a(x − g) + b(y − h) + c(z − i) = 0. Het omzetten van een cartesiaanse vergelijking van een algemene rechte of vlak in een parametervergelijking komt net zoals bij rechten en vlakken door de oorsprong neer op het oplossen van een stelsel. Deze keer gaat het echter niet om een homogeen stelsel. We kunnen hierbij gebruik maken van de methode van Gauss (zie module over lineaire algebra). Voor het omzetten van een parametervergelijking in een cartesiaanse vergelijking kunnen we een methode volgen die nauw aansluit bij die van paragraaf 5 over rechten Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
14
Rechten en vlakken
en vlakken door de oorsprong. We bepalen dan eerst de cartesiaanse vergelijking van het evenwijdige vlak of de evenwijdige rechte door de oorsprong volgens de formules van paragraaf 5. Om het juiste vlak te bekomen moeten we enkel nog verschuiven. Daartoe hebben we een punt van het vlak nodig. Maar aangezien we beschikken over een parametervergelijking kunnen we eenvoudig een punt aflezen, door bijvoorbeeld k (en l) gelijk aan 0 tekiezen. Bijvoorbeeld voor het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(1, 2, 1) + l(−2, 0, 1) met k, l ∈ R bepalen we eerst het overeenkomstige vlak door de oorsprong: (x, y, z) = k(1, 2, 1) + l(−2, 0, 1) met k, l ∈ R. Voor dit vlak vinden we, met (1, 2, 1) × (−2, 0, 1) = (2, −3, 4), 2x − 3y + 4z = 0 als cartesiaanse vergelijking. Het vlak dat we willen beschrijven is evenwijdig met dit vlak en gaat door (1, 1, 1) en heeft dus de cartesiaanse vergelijking 2x − 3y + 4z = 3. De methodes hierboven om vergelijkingen van rechten en vlakken af te leiden zijn vooral geschikt indien de rechte bepaald is door een punt en een richting of het vlak door een punt en twee richtingen. Ze kunnen ook gemakkelijk aangepast worden wanneer loodrichtingen gegeven zijn op basis van de theorie van paragrafen 4 en 5. Zo wordt de cartesiaanse vergelijking van het vlak met loodrichting (1, 2, 3) en door het punt (4, 5, 6) gegeven door (x − 4) + 2(y − 5) + 3(x − 6) = 0. Vaak zijn geen richtingen gegeven maar enkel punten, bijvoorbeeld twee punten voor een rechte of drie punten voor een vlak. Maar elk stel van twee punten kan gemakkelijk omgezet worden in een richting door het verschil van de twee punten te berekenen. Zo kan de rechte door de punten (1, 2, 3) en (4, 5, 6) eenvoudig gevonden worden als de rechte door het punt (1, 2, 3) en met richting (4, 5, 6) − (1, 2, 3) = (3, 3, 3). Een parametervergelijking is dan (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(3, 3, 3) met k ∈ R. In de oefeningen worden verschillende variaties besproken.
7
Doorsneden van rechten en vlakken
In deze paragraaf berekenen we doorsneden van rechten en/of vlakken. We bespreken niet alle gevallen rechte/rechte, rechte/vlak, vlak/vlak, gegeven door parameterof cartesiaanse vergelijkingen, en snijdend, kruisend, omvattend, evenwijdig,... maar geven op basis van enkele voorbeelden de belangrijkste principes aan. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7. Doorsneden van rechten en vlakken
7.1
15
Twee cartesiaanse vergelijkingen
Als we twee cartesiaanse vergelijkingen gegeven hebben is de situatie het eenvoudigste. Cartesiaanse vergelijkingen bieden een manier om te testen of een willekeurig punt op een rechte of vlak gelegen is. Als we moeten testen of een punt op de doorsnede van twee rechten gelegen is, d.w.z. op de ene ´en op de andere, dan moeten we gewoon de vergelijkingen van beide rechten samenvoegen. Voor twee rechten vinden we zo een stelsel van 4 vergelijkingen. Bijvoorbeeld voor de rechten x +2y +z = 4 −2x +z = −1 en
x +y =2 x −z = 0
wordt de doorsnede bepaald door het stelsel x +2y +z = 4 −2x +z = −1 x +y =2 x −z = 0
De rest van het verhaal is lineaire algebra. Een stelsel van 4 vergelijkingen in 3 onbekenden kan strijdig zijn. We besluiten dan dat de rechten geen punten gemeen hebben. Het kan dan gaan om evenwijdige of kruisende rechten. (Het onderscheid tussen deze twee gevallen kan gemaakt worden door de richting van beide rechten te vergelijken). Er kan ook een unieke oplossing zijn. De doorsnede bevat ´e´en punt en we spreken van snijdende rechten. Dit is het geval voor het voorbeeld hierboven. Het snijpunt is (1, 1, 1). Het kan ook zijn dat beide rechten samenvallen. In dat geval vinden we heel de rechte terug als doorsnede. Voor de doorsnede van een vlak en een rechte bekomen we een stelsel van drie vergelijkingen. Voor de doorsnede van twee vlakken bekomen we een stelsel van twee vergelijkingen (dat voor twee snijdende vlakken onmiddellijk de cartesiaanse vergelijking van de snijlijn levert). Werk zelf uit.
7.2
Een cartesiaanse en een parametervergelijking
Indien een cartesiaanse vergelijking van een rechte of vlak en een parametervergelijking van een andere rechte of vlak gegeven is, gaan we als volgt te werk. Parametervergelijkingen bieden een manier om willekeurige punten van een rechte of vlak te vinden door willekeurige waarden voor de parameters te kiezen. Cartesiaanse vergelijkingen bieden een manier om te testen of een gegeven punt op een rechte of vlak gelegen is. Om de doorsnede te bepalen, nemen we daarom een willekeurig punt van de verzameling die beschreven is door een parametervergelijking, en testen of dat punt ook in de Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
16
Rechten en vlakken
andere verzameling ligt, die gegeven wordt door een cartesiaanse vergelijking. Voor de doorsnede van het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(1, 1, 1) + l(1, 0, 1) met k, l ∈ R en de rechte met cartesiaanse vergelijking x +2y +z = 10 −2x +z = 0 gaan we dus na of het punt (1 + k + l, 2 + k, 3 + k + l) dat op de rechte ligt, ook in het vlak ligt, of (1 + k + l) +2(2 + k) +(3 + k + l) = 10 −2(1 + k + l) +(3 + k + l) = 0 Na wat herschrijven komt dit neer op 4k +2l = 2 −k −l = −1 Dit stelsel heeft als unieke oplossing (k, l) = (0, 1). Het willekeurig punt (1 + k + l, 2 + k, 3 + k + l) van de rechte ligt dus enkel in het vlak als k = 0 en l = 1. Het gaat dan om het punt (2, 2, 4).
7.3
Twee parametervergelijkingen
Indien de gegeven verzamelingen beschreven worden door twee parametervergelijkingen is het vaak het eenvoudigste om minstens ´e´en van beide eerst om te zetten in een cartesiaanse vergelijking. We beschouwen toch een eenvoudig voorbeeld van twee snijdende rechten. Om het snijpunt van de rechte met parametervergelijking (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(1, 0, 1) met k ∈ R en de rechte met parametervergelijking (x, y, z) = (2, 2, 1) + k(−2, 0, 1) met k ∈ R te bepalen, gaan we op zoek naar een punt van de vorm (1 + k, 2, 3 + k) dat ook te schrijven is in de vorm (2 − 2k ′ , 2, 1 + k ′ ). We lossen daartoe het stelsel 1 + k = 2 − 2k ′ 2 =2 3 + k = 1 + k′ op. We vinden als unieke oplossing k = −1 en k ′ = 1. Dit komt overeen met het punt (0, 2, 2). Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
17
9. Oefeningen
8
Nog enkele formules
De theorie van rechten en vlakken kan op veel verschillende manieren belicht worden. We kozen hier voor een aanpak die zo dicht mogelijk aansluit bij de theorie van stelsels lineaire vergelijkingen. Toch zijn er nog enkele formules die we je niet willen onthouden. Voor de cartesiaanse vergelijking van een rechte met een gegeven richting (a, b, c) en een punt (g, h, i) kan onmiddellijk de volgende formule neergeschreven worden: (x − g)/a = (y − h)/b = (z − i)/c. Deze formule kan ge¨ınterpreteerd worden als de voorwaarde dat de verschilvector tussen een punt (x, y, z) en een gegeven punt (g, h, i) een veelvoud moet zijn van de richting (a, b, c) opdat (x, y, z) op de rechte zou liggen. De formule is uiteraard alleen geldig in de gegeven vorm wanneer a, b en c verschillen van 0. De formule kan ook ge¨ınterpreteerd worden als twee vergelijkingen, bijvoorbeeld (x−g)/a = (z−i)/c en (y−h)/a = (z−i)/c. Na wat herschrijven vind je dezelfde vergelijkingen terug als hierboven. Voor de cartesiaanse vergelijking van een vlak met gegeven richtingen (a, b, c) en (d, e, f ) en een punt (g, h, i) kan een formule met een determinant neergeschreven worden: x−g y−h z−i a b c d e f
= 0.
Deze formule kan ge¨ınterpreteerd worden als de voorwaarde dat de verschilvector tussen een punt (x, y, z) en een gegeven punt (g, h, i) een lineaire combinatie moet zijn van de richtingen (a, b, c) en (d, e, f ) opdat (x, y, z) in het vlak zou liggen. De formule kan alleen gebruikt worden indien (a, b, c) en (d, e, f ) lineair onafhankelijk zijn. Door de determinant uit te werken vind je dezelfde formules als hierboven.
9
Oefeningen
Oefening 9.1 Bepaal een parametervergelijking van de volgende verzamelingen: a) De rechte door (0, 0, 0) en (1, 2, 4). b) De rechte door (0, 0, 0) en (1, 0, −1). c) Het vlak door (0, 0, 0), (1, 2, 3) en (1, −1, 2) d) Het vlak door (0, 0, 0), (0, 0, 1) en (0, −1, 0). Oefening 9.2 Bepaal een parametervergelijking voor de verzamelingen met de volgende cartesiaanse vergelijkingen: Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
18
a) b) c) d)
Rechten en vlakken
x + 2y − 4z = 0 y− 3z = 0 3x −2z x +y −z x +2y +3z 2x +4y −z
=0 =0 =0 =0
Oefening 9.3 Bepaal cartesiaanse vergelijkingen van de rechten en vlakken uit oefening 9.1. Oefening 9.4 Bepaal een cartesiaanse vergelijking voor de verzamelingen met de volgende parametervergelijkingen en maak een vergelijking met oefening 9.2. a) (x, y, z) = k(1, 2, −4) met k ∈ R b) (x, y, z) = k(0, 1, −3) met k ∈ R c) (x, y, z) = k(3, 0, −2) + l(1, 1, −1) met k, l ∈ R d) (x, y, z) = k(1, 2, 3) + l(2, 4, −1) met k, l ∈ R Oefening 9.5 Bepaal een parametervergelijking van a) De rechte door (1, −1, 1) met richting (2, −1, 3). b) Het vlak door (1, 0, 2) met richtingen (2, 3, 1) en (1, 2, 2). Oefening 9.6 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van a) Het vlak door (1, 3, −1), evenwijdig aan het vlak met vergelijking 2x − y + 3z = 0. b) De rechte door (1, 2, 0), evenwijdig met de rechte met vergelijking 2x −y =0 4x +z = 0 Oefening 9.7 Bepaal een parametervergelijking van de verzamelingen met de volgende cartesiaanse vergelijkingen: a) 2x-y+3z=3 x −y =0 b) x +y +z = 4 Oefening 9.8 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van de verzamelingen met de volgende parametervergelijkingen. Vertrek van oefening 9.3. a) De rechte door (1, −2, 1) met richting (1, 2, 4). b) Het vlak door (1, 0, 2) met richtingen (1, 2, 3) en (1, −1, 2). Oefening 9.9 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van a) Het vlak door (1, 0, 3), (1, 2, 1) en (0, 1, 3). b) De rechte door (1, 2, −2) en (2, −1, −4). Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
10. Oplossingen van de oefeningen
19
Oefening 9.10 Bepaal de doorsnede van volgende verzamelingen: a) De rechte met vergelijking 2x −y =4 4x −z = 3 en de rechte met vergelijking 2x +y −z = −1 y = −2 b) De rechte met vergelijking (x, y, z) = (1, 0, 1) + k(−1, 2, −2) met k ∈ R en het vlak met vergelijking x − y − z = 1. c) De rechte met vergelijking (x, y, z) = (1, 0, 1) + k(−1, 2, −2) met k ∈ R en het vlak met vergelijking y + z = 2. d) Het vlak met vergelijking (x, y, z) = (2, 2, 2) + k(1, 2, −1) + l(0, 0, 1) en het vlak met vergelijking 2x − y + z = 2. (Geef de parametervergelijking).
10
Oplossingen van de oefeningen
Opmerking: Omdat vergelijkingen van rechten en vlakken niet uniek zijn gaat het meestal niet om de enige oplossing maar om een mogelijke oplossing.
9.1 a)
b)
c)
d)
(x, y, z) = k(1, 2, 4) met k ∈ R, of x =k y = 2k met k ∈ R. z = 4k (x, y, z) = k(1, 0, −1) met k ∈ R, of x =k y =0 met k ∈ R. z = −k (x, y, z) = k(1, 2, 3) + l(1, −1, 2) met k, l ∈ R, of x =k+l y = 2k − l met k, l ∈ R. z = 3k + 2l (x, y, z) = k(0, 0, 1) + l(0, −1, 0) met k, l ∈ R, of x =0 y = −l met k, l ∈ R. z =k
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
20
Rechten en vlakken
9.2 a) b) c) d)
(x, y, z) = k(2, −1, 0) + l(4, 0, 1) met k, l ∈ R (x, y, z) = k(1, 0, 0) + l(0, 3, 1) met k, l ∈ R (x, y, z) = k(2, 1, 3) met k ∈ R (x, y, z) = k(2, −1, 0) met k ∈ R
9.3 a)
b) c) d) 9.4 a) b) c) d)
2x −y =0 −z = 0 4x y =0 x +z = 0 7x + y - 3z=0 x=0
2x −y =0 +z = 0 4x x =0 3y +z = 0 2x + y + 3z = 0 2x − y = 0
9.5 a) b)
(x, y, z) = (1, −1, 1) + k(2, −1, 3) met k ∈ R (x, y, z) = (1, 0, 2) + k(2, 3, 1) + l(1, 2, 2) met k, l ∈ R
9.6 a)
2x − y + 3z = −4 2x −y =0 4x +z = 4
b) 9.7 a) b)
(x, y, z) = (0, 0, 1) + k(1, 2, 0) + l(3, 0, −2) met k, l ∈ R (x, y, z) = (2, 2, 0) + k(1, 1, −2) met k ∈ R
9.8 a)
b) 9.9 a) b) 9.10 a) b) c) d)
2x −y =4 4x −z = 3 7x + y - 3z=1
x+y+z=4 3x +y =5 2x +z = 0 Het punt (1, −2, 1) Het punt (2, −2, 3) De doorsnede is ledig. De rechte met vergelijking (x, y, z) = (2, 2, 0) + k(1, 2, 0) met k ∈ R
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
