Zomercursus Wiskunde
Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie September 2011
Module 7 ¨ rdinaten Poolcoo (versie 22 augustus 2011)
Module 7: Poolco¨ ordinaten
Inhoudsopgave 1 Poolco¨ ordinaten
1
2 Poolvergelijkingen
3
2.1
Cartesiaanse co¨ordinaten versus poolco¨ordinaten . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Poolvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 Transformatie formules
5
3.1
Van poolco¨ordinaten naar cartesiaanse co¨ordinaten . . . . . . . . . . .
5
3.2
Van cartesiaanse co¨ordinaten naar poolco¨ordinaten . . . . . . . . . . .
5
4 Extra Oefening
7
5 Oplossingen
7
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7-1 Module 7: Poolco¨ ordinaten
1
Poolcoo ¨rdinaten ...
Y .............. y.
p •
... ..... ..... ..... ..... . . . . .... ..... ..... ..... ..... . . . . ..... ..... ..... ..... ............... . . . . ... ... ... ..... ..... ... ....
r
1 o
θ
x
1
X .......................
fig. 1
In fig.1 worden er op twee verschillende manieren co¨ordinaten gegeven aan het punt p. Een eerste manier zijn de gebruikelijke cartesiaanse co¨ordinaten (x, y). De getallen x en y zijn hier afstanden (met een teken), respectievelijk op de X-as en de Y -as. Het andere koppel co¨ordinaten (r, θ) zijn ook twee getallen die het punt p eenduidig bepalen. Met eenduidig bedoelen we dat je slechts 1 punt kan aanduiden op de figuur als de co¨ordinaten gegeven zijn.
• r is de afstand van de oorsprong o tot p. r is dus een positief re¨eel getal.
• θ is het maatgetal van de geori¨enteerde hoek tussen de positieve X-as en het lijnstuk op, uitgedrukt in radialen.
(r, θ) wordt een koppel poolco¨ordinaten van p genoemd.
Oefening 1 Geef een koppel poolco¨ordinaten voor de punten a, b, c en d uit de onderstaande figuur. Teken op onderstaande figuur de punten p1 tot en met p9 .
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7-2 Module 7: Poolco¨ ordinaten
..................................................................... .......... ............. .... .. .......... ... ...... .. .............. . . .. ............... . ... . . . . ... ... .. ........ ....... . ... .................................................................................... .... ........... . . .. ........... . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ...... ...... ... .. ........... ...... ... ................. ..... ..... .. .................. .. ....... . . . . . . . . . . . . . . . ... ............................................................ .. . ........ .......... ... ...... .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... ..... ...... ...... ........ ......... ... ... . . ......... . . .... . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... ... ........... .. . . ............. .......... ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ... . ......... ...... .... ......... ......... ..... ........ ........... ...... ...................................................................... ..... ..... ... .................. . ......... . ... .......... ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . ... ... ........ .. ....... ....... ....... . ............... . ........ .. . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . ... ... ....... ............. .. ......... .... ....... ........ .... ... ...................................... .... ... ... ................. .......... .... ........ ... ... ................ . . . ....... . . . . . . . . ............... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ........... .. .............. ..... . ....... ...... ...... . ......... ... ........ ....... .... . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ... ..... .... . ........... ..... .......... ... ... . ... ............ ...... ........ . . . ....... ... ............ .... ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . ........ .. . . ... ......... ... ........ .... .. .. ............................... ..... ............... ......... ..... .. .... ... ... ... . ............. ..... .... ..... ... ................. . .......... ..... .................. ........ ................................ . ........... .... . . . . . . . . ........ . ...... ... ....................... . . .. ... .................... ............. . ....... .............. ....................... ..... .... . . . ... . . . . . . .... ...................... .... . ... ............ ... ........... .. ............ ....... ...... ...... .... ... .. ........ ... ... .... ............. ........ ............... ..... . ... . . . ... . . ... . . .. . ... .............. ... ..... ....... . ... .................. ... ... .. ............... ............. ........ ................... ... ..................... ... ........ .... ..... ... ............ ..... ... ... ........ . . . . ........ ..... ...... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ................. . .... . ........... .... . . ... ... .. ................... .. ............ .............. ................. ........... ... .......... ......... .... . . ... . ... . ... ................................. . . . . ... ............................... ........... ............. ... ........... ........ . . . . . ...................... . . . . . . . . ... . . . . . . . ... . ... . . . . . . . . . . . . ..... ..... . ...... ... ... ... . . .... ............ ................. .... ........................................... ... ... ... .... ........................................ ............ .................. .... ... ... ..... ... ......................... . ... . ................. . . . . ... ... ... ... . . .... ... ... ... ... ... ... .... .. ... .... .... .... ... .... .... ..... . . . .. . .. .. .. .. ... .. ... ... .. ... ... ... ... ... . . . . . .. . . . . . ............... ... . . . . . . . . ... . . . .. . . . ... . ... . ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . ................... . ......... ...... . . .. . ... ..................................... .......... ................ . ... ... . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ......... . ......... .......... ............ .......... . . ................................ . ... .......... . ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . ..... ... .. ......... ... ...... ... .................................. . ....... ... ................................. ... ... ............. ................ ..................... ... ..................... ............... ............. ..... .......... ... ... ............ ...... ........... ... ............... ... .. .. .......... ... ............ ....... .............. ... ... ... . . . .. ..... .... ... .. ........ ... ....................... ... ... ... . ................ ........... .... ........ ...... .. .. ........... ... ... ................ .......................... ..... .... ........................ ..... ...... ........................ ............... ... ... ...................... ... . ........... .. .......... ..... ... . ... .. ... .......... ...... ... .. ... ... ...... ......... . . ... . ... ................ . . . . . ....... . .... . .. ....... .... ....... . ... .............. ..... ........... ... .... ...... . . ... .............. ... ... ......... ......... ....... .................................. ................................... ........ ......... ......... ..... .................. .. ..... ... ... ........ .. . . . ........ .. ... ... ........ .. ......... .. ... ... ............... .. .. ... ...... .. ... .. .... ...... ..... . .......... ... .. .. ... ........... ... .............. ..... ................. ... ........ ............. ....... ................ .... .... .. . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . .......... .......... ..... ... ... ...... ... ............. .... . ........ .... . .............. ... . . ... .......... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................... ... ...... ... ......... . ...... . ..... ... ....... ... ... .. .... ..... ..... ..... ... ... .. ... ... .......... ......... ........ ................ ... ..... ........ ............... ... ... ... ................. .. .. .......... ... ... ....... ... ...... ... . ... ....... ......... .... ....... ... .... ...................... ..... ......... ... ......... ........ .... .................. ..... .......... ..... . . .......................................................... . . ..... ........ ........... ...... . ........ . . ..... .... ...... .. ..... ... ... ......... . ..... .. ........ ... .. ................ .... .......... .. ..... ... .... ... ..... ... .................... ... .......... ..... .... ..... .. ................... ... .......... ........ ......... . ... .. ..... ........ ............ ..... ....... .......... .. ............................................................... ..... ........ . . . . . . . . . . ... ... ...... ... ......... .... ... .. ...... ... ................... ... ... . ..... ..... .. ...... .... . ... ............ ............ .................... ... ......... .................................................................... .... .... ....... ... ... ... . ..... . . ........ ... . . . . . . ... .. .......... ........... .. ........... ... .. ........... ................. ..................................................................
b•
c•
o•
• 1
• a
................
¯ X
•d
a b c d
(. . . , . . .) (. . . , . . .) (. . . , . . .) (. . . , . . .)
p1 p2
(2, π6 ) ) (2, 7π 6
p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9
(2, 13π ) 6 (3, 27π) (1, 1) (2, − 11π ) 6 (0, 0) (0, 1) (0, 10π)
In deze oefening stelde je vast dat ´e´en punt verschillende koppels poolco¨ordinaten kan hebben. Dit is niet het geval bij cartesiaanse co¨ordinaten. Bv. elk koppel van de vorm (2, π6 + 2kπ) met k ∈ Z is een stel poolco¨ordinaten van het punt p1 . Meer algemeen zijn de koppels (r, θ + 2kπ) met k ∈ Z verschillende stellen poolco¨ordinaten van hetzelfde punt. Voor de oorsprong o is er nog meer vrijheid. Elk koppel (0, θ) met θ ∈ R is een stel poolco¨ordinaten van o. Dus als een koppel poolco¨ordinaten gegeven is kan je juist ´e´en punt tekenen met die co¨ordinaten, maar als een punt in het vlak gegeven is, kan je verschillende koppels poolco¨ordinaten geven voor dat punt. Indien θ ∈ [0, 2π[ en r ∈ R+ 0 , noemt men (r, θ) de poolco¨ordinaten van een punt p. Oefening 2 Geef alle koppels poolco¨ordinaten van het punt met gegeven poolco¨ordinaten (2, 12). Oefening 3 Geef van de volgende punten gegeven in poolco¨ordinaten het stel poolco¨ordinaten met θ ∈ [0, 2π[ : Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7-3 Module 7: Poolco¨ ordinaten
1. p(5, 7π ) 2 ) 2. q(3, 15π 4
2 2.1
Poolvergelijkingen Cartesiaanse co¨ ordinaten versus poolco¨ ordinaten
Oefening 4 Teken in onderstaand cartesiaans assenstelsel de punten (x, y) waarvoor x2 + y 2 = 4. Geef de vergelijkingen van deze figuur in poolco¨ordinaten. ... ......
Y .........
1 o
1
X .......................
Het nut van poolco¨ordinaten is onder andere dat sommige vergelijkingen eenvoudiger worden in poolco¨ordinaten dan in cartesiaanse co¨ordinaten. Een duidelijk voorbeeld hiervan is een cirkel met centrum in de oorsprong. Dit is een tweedegraadsvergelijking in cartesiaanse co¨ordinaten en een eerstegraadsvergelijking in poolco¨ordinaten. Omgekeerd zijn er ook vergelijkingen die eenvoudiger zijn in cartesiaanse co¨ordinaten. Bv. de rechte x = 2, een rechte die niet door de oorsprong gaat. We zullen later zien wat de vergelijking hiervan is in poolco¨ordinaten.
2.2
Poolvergelijking
Oefening 5 In de figuur hieronder zijn de punten getekend die voldoen aan de 1ste graadsvergelijking 2r = θ met r ≥ 0. Deze kromme noemt men een Archimedische spiraal. Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7-4 Module 7: Poolco¨ ordinaten
Het punt met poolco¨ordinaten (5, 10) voldoet aan de vergelijking. Duid het aan op de figuur. Voldoet het koppel (5, 10 − 2π) aan de vergelijking ? Ligt het punt met poolco¨ordinaten (5, 10 − 2π) op de kromme ?
Een vergelijking van een kromme in poolco¨ordinaten wordt een poolvergelijking van die kromme genoemd. Een punt p behoort tot een kromme met gegeven poolvergelijking als en slechts als een stel poolco¨ordinaten van p voldoet aan de poolvergelijking. Deze zijn niet noodzakelijk de poolco¨ordinaten van het punt p. Merk op dat θ steeds uitgedrukt wordt in radialen! Oefening 6 Maak een tabel om bij enkele waarden van θ de bijhorende waarde van r te berekenen en maak een schets van de volgende krommen :
1. r =
1 θ
voor θ > 0
2. r = | cos 2θ| 3. r =
θ sin θ
(hyperbolische spiraal)
(rozet)
voor 0 < θ < π
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7-5 Module 7: Poolco¨ ordinaten
3
Transformatie formules
3.1
Van poolco¨ ordinaten naar cartesiaanse co¨ ordinaten
Veronderstel dat p een punt is met poolco¨ordinaten (r, θ) (zie fig. 1). De cartesiaanse co¨ordinaten (x, y) worden dan gegeven door x = r cos θ y = r sin θ Merk op dat een ander stel poolco¨ordinaten van p hetzelfde koppel (x, y) oplevert. We kunnen dus besluiten dat indien een stel poolco¨ordinaten (r, θ) van een punt p gegeven is, dan worden de cartesiaanse co¨ordinaten gegeven door x = r cos θ (1) y = r sin θ Oefening 7 Geef de cartesiaanse co¨ordinaten van de volgende punten met gegeven poolco¨ordinaten: 1. p(2, 17π ) 6 2. q(5, 5π ) 4
3.2
Van cartesiaanse co¨ ordinaten naar poolco¨ ordinaten
Stel nu dat de cartesiaanse co¨ordinaten (x, y) van een punt p gegeven zijn. We zoeken nu een stel poolco¨ordinaten (r, θ). p 2 2 2 x2 + y 2 . Uit (1) leiden we af dat x + y = r , dus r = p Substitueren we r = x2 + y 2 in (1), dan krijgen we : cos θ = √ x2 2 sin θ = √
x +y y
x2 +y 2
Dit stelsel bepaalt ondubbelzinnig de hoek θ.
Voorbeeld 3.1 √ √ Geef een koppel poolco¨ordinaten van het punt p met als cartesische co¨ordinaten (− 2, 6): √ √ √ r = 2+6= 8=2 2 Uit cos θ = √ − 12 volgt θ = 2π of θ = 4π . 3 3 3 π 2π Uit sin θ = 2 volgt θ = 3 of θ = 3 . √ ) Antwoord : (2 2, 2π 3 Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7-6 Module 7: Poolco¨ ordinaten
Oefening 8 Geef een koppel poolco¨ordinaten van de volgende punten met gegeven cartesische co¨ordinaten: 1. p(−1, −1) 2. q( 12 ,
√
3 ) 2
Oefening 9 Stel met behulp van de transformatieformules een poolvergelijking op voor de rechte met vergelijking x = 2. Oefening 10 Geef de cartesiaanse vergelijking van de kromme met poolvergelijking 1. r = 2 2. r =
1 cos θ
We geven nog een andere omschrijving van hoe we θ kunnen vinden, gegeven de cartesiaanse co¨ordinaten x en y. Hiervoor herhalen we eerst de definitie van de functie boogtangens. De tangensfunctie op R heeft geen inverse functie. Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel hoeken θ waarden waarvoor tan θ = 1. Om een inverse functie van de tangensfunctie te kunnen defini¨eren zullen we het definitiegebied beperken tot ] − π2 , π2 [. tangensfunctie op R
bgtan
tan
atan
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4 −4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
−4 −4
−3
−2
−1
0 x
1
2
3
4
We noteren de inverse functie van de tangensfunctie beperkt tot ] − π2 , π2 [ met bgtan of arctan. Het bereik van deze functie is bijgevolg ] − π2 , π2 [. Voor θ ∈] − π2 , π2 [ geldt dan: y = tan θ ⇔ θ = arctan y. Bijvoorbeeld tan π4 = 1 en arctan 1 = π4
Oefening 11 Bereken arctan(tan π4 ) Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7-7 Module 7: Poolco¨ ordinaten
Vermits arctan niet de inverse is van de tangensfunctie op R geldt niet altijd dat arctan(tan θ) = θ. Dit geldt enkel voor hoeken θ in het 1ste en het 4de kwadrant. Voor hoeken in het 2de en 3de kwadrant kunnen we schrijven dat θ = arctan(tan θ) + π. Keren we nu terug naar het zoeken van θ gegeven x en y. θ vinden we door het stelsel cos θ = √ x2 2 sin θ = √
x +y y
x2 +y 2
op te lossen. Dus als x 6= 0 is tan θ = xy . Als x > 0 dan ligt θ in het 1ste of het 4de kwadrant, als x < 0 dan ligt θ in het 2de of het 3de kwadrant. We kunnen dus besluiten dat θ = arctan xy x>0 y = arctan x + π x < 0 = π2 x = 0, y > 0 = − π2 x = 0, y < 0 Voorbeeld 3.2 √ √ We nemen weer het punt p met als cartesische co¨ordinaten (− 2, 6) en zoeken de poolco¨ √ van dit √ punt: √ ordinaten r = 2+6= 8=2 2 √ √ x < 0 dus θ = arctan xy + π = arctan −√62 + π = arctan(− 3) + π = − π3 + π = 2π 3 √ 2π Antwoord : (2 2, 3 )
4
Extra Oefening
Oefening 12 Stel de poolvergelijking op van een cirkel met straal a en centrum (0, a).
5
Oplossingen
2 (2, 12 + 2kπ) 3
) (a) p(5, 3π 2
) (b) q(3, 7π 4 √ 7 (a) p(− 3, 1) √
√
(b) q(− 5 2 2 , − 5 2 2 ) √ 8 (a) r = 2 en θ =
5π 4
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
7-8 Module 7: Poolco¨ ordinaten
(b) r = 1 en θ = 10
π 3
(a) x2 + y 2 = 4
(b) x = 1 12 r = 2a sin θ
Zomercursus Wiskunde Groep Wetenschap & Technologie
