Wiskunde D Module Aandelen & Opties

Wiskunde D Module Aandelen & Opties

Wiskunde D Module Aandelen & Opties Hoofdstuk 1 : Beleggen in Aandelen Nico Alink & Michel Vellekoop

In dit eerste hoofdstuk besteden we aandacht aan een eerste kennismaking met het fenomeen ’aandelen’ en natuurlijk aan de wiskunde die je kunt gebruiken om daar aan te rekenen. Je zult al snel zien dat in de beurswereld de wiskunde een zeer grote rol speelt. Daarom herhalen we een aantal wiskundige begrippen en de notatie, voornamelijk uit de statistiek. Voorkennis en vaardigheden daarbij zijn begrippen uit de statistiek zoals gemiddelde, standaardafwijking en de normale verdeling, tweedegraadsfuncties, en het gebruik van de Grafische Rekenmachine. Beleggen is heel oud. In de 16e eeuw was er al sprake van en de 20-er jaren van de vorige eeuw zijn bekend geworden vanwege een grote beurskrach. Toen daalde de beurswaarde van een groot aantal bedrijven in korte tijd tot een dramatisch dieptepunt. Maar vanaf de 50-er jaren kwam er weer meer interesse voor beleggen. En tegenwoordig is het ondenkbaar dat er niet meer gehandeld zou worden in aandelen, opties, obligaties en wat er allemaal nog meer aan financiële producten wordt aangeboden. Met name aan het einde van de vorige eeuw konden de financiële markten rekenen op een grote belangstelling van beleggers. Naast de zogenoemde institutionele beleggers als pensioenfondsen, banken en verzekeringsmaatschappijen was ook de kleine belegger goed vertegenwoordigd. Rond de eeuwwisseling werd de financiële wereld geconfronteerd met een reeks van schandalen - denk maar aan Baringsbank, Enron, Ahold en Parmalat - en tevens was er sprake van een economische teruggang. Dat had tot gevolg dat vooral de kleine belegger zich terugtrok van de beurs. Maar de laatste jaren neemt het aantal particuliere beleggers weer toe. Mensen die wat geld over hebben, beleggen in aandelen en fondsen, en de echte waaghalzen kunnen terecht op de optiemarkt. Tot een paar jaar geleden leverde de handel op de beursvloer in Nederland hectische taferelen op: handelaren die elkaar op luide toon prijzen van allerlei financiële producten toeschreeuwden. Maar sinds enige tijd ziet het er op de beurs nogal saai uit: de handelaren zitten achter rijen beeldschermen en reageren op de cijfers die daarop

Hoofdstuk 1, p. 1


te zien zijn. Daar komt een hoop wiskunde bij kijken, dat zal je niet verbazen. Je maakt hier kennis met een aantal aspecten van aandelen en opties. Je gaat er zelf aan rekenen en je zult zien dat de wat ingewikkelde producten (zoals opties) met behulp van de wiskunde die je nu al kent, heel goed te begrijpen zijn. Zo nu en dan halen we die ’oude’ wiskunde van stal en breiden die uit met nieuwe theorie die we hier goed kunnen gebruiken. Veel mensen denken dat je met wiskundige modellen voor aandelen kunt voorspellen welke aandelen beter gaan presteren dan andere. Jammer genoeg is daar niets van waar en die gedachte is dus absolute lariekoek. Voorspellen welk aandeel in het komend jaar het sterkst zal stijgen komt neer op het voorspellen van de toekomst en zelfs wiskundigen kunnen dat niet. Aan het eind van elk jaar voorspellen enkele beursanalisten, die je toch deskundig mag noemen, welke aandelen het komend jaar het goed zullen gaan doen. Vaak blijkt, achteraf natuurlijk, dat ze er flink naast zitten. Ook analisten die de bedrijven achter de aandelen bestuderen, blijken bijzonder slecht in staat om veel zinnigs te zeggen over de toekomstige aandelenprijzen, zo toont wetenschappelijk onderzoek aan. Je moet er niet op rekenen dat je na afloop van deze module met meer succes kunt beleggen. Je hebt dan wel meer inzicht gekregen in de manier waarop de beurs werkt en je kunt beter risico’s inschatten. Zo kun je proberen om aandelen op een slimme manier te combineren zodat je meer of juist minder risico loopt, en daarbij kan de wiskunde goede diensten bewijzen. Wat de toekomstige prijs van een aandeel is, weten we dus niet, maar het feit dat iets in de toekomst onzeker is, vormt voor wiskundigen geen probleem: we laten er gewoon de kansrekening op los. Laten we eerst eens naar één aandeel kijken. We definiëren het rendement op een aandeel, dat we vaak noteren met r, als volgt: het procentuele verschil in de koers over een bepaalde periode, bijvoorbeeld een jaar. Wanneer één aandeel vandaag 16.00 euro waard is en over een jaar 18.00 euro, dan is de groeifactor 1.125 en dus het rendement 0.125 ofwel 12.5%. Wanneer de waarde van het aandeel in het komend jaar zakt naar 12.00 euro, dan is het rendement −25%. In de 90-er jaren van de vorige eeuw kwamen jaarlijkse rendementen van meer dan 10% regelmatig voor. Momenteel zijn dat soort resultaten vrijwel niet meer denkbaar.

Opdracht 1. Hieronder staan van enkele aandelen hun koerswaarden op 31 december 2003 en op 31 december 2004. Bereken telkens het éénjaarsrendement. Aandeel Philips ING Kon. Olie Unilever

koerswaarde 31-12-’03 24.23 20.05 37.99 54.20

koerswaarde 31-12-’04 20.06 22.08 44.55 50.00

Hoofdstuk 1, p. 2


Opdracht 2. a. Veronderstel dat een aandeel in 2021 een rendement van 8% heeft behaald en in 2022 een rendement van 4.3%. Wat is dan het tweejaarsrendement van dat aandeel over de periode 2021-2022? b. Veronderstel dat een aandeel een éénjaarsrendement van 7.2% heeft behaald. Wat is dan het eenmansrendement, wanneer we er van uit gaan dat elke maand hetzelfde rendement wordt behaald? c. Veronderstel dat een aandeel in 2021 een rendement van −10% heeft behaald. Welk rendement moet dat aandeel in 2022 behalen om op een tweejaarsrendement van 0% uit te komen?

Wiskundigen gaan er vaak van uit dat het rendement van een aandeel normaal verdeeld is. Dat is voor ons wel prettig, want daar kunnen we goed mee rekenen. Daarom besteden we nu eerst wat aandacht aan de normale verdeling en nog wat andere zaken uit de statistiek.

Oud Amerikaans aandeel

Herhaling: Wat moet je van Statistiek weten? De Griekse hoofdletter sigma, Σ, betekent in de wiskunde dat je de som van een aantal getallen moet uitrekenen. Dat laten we zien aan de hand van een klein voorbeeld.

Hoofdstuk 1, p. 3


Voorbeeld. Stel dat de cijfers van een wiskunde-proefwerk in een klasje met 10 leerlingen er als volgt uitzien: index i proefwerkcijfer xi

1 3

2 5

3 5

4 6

5 6

6 7

7 8

8 8

9 8

10 9

Voor de eerste waarneming in deze tabel geldt dus x1 = 3, voor de tweede waarneming geldt x2 = 5 en voor de laatste waarneming geldt x10 = 9. Om nu de som van alle P3 onvoldoende uit te rekenen, moet je i=1 xi uitrekenen. Daar komt natuurlijk 13 uit. P10 Om de som van alle voldoende uit te rekenen, moet je i=4 xi uitrekenen, met als uitkomst 52. Het gemiddelde van een aantal waarnemingen x1 , · · · , xn is: n

x ¯=

1X 1 · (x1 + x2 + · · · + xn ) = xi n n i=1

en deze wordt vaak aangegeven met de letter µ ofP met µx . Het gemiddelde van de 10 1 1 cijfers in het hierboven gegeven voorbeeld is dus 10 i=1 xi = 6 2 . De standaardafwijking of standaarddeviatie van een aantal waarnemingen x1 , · · · , xn is: v n uP u (xi − x ¯)2 t i=1 SD(x) = n en deze wordt vaak aangegeven met de letter σ of σx . In de statistiek werken we vaak liever met de variantie van een aantal waarnemingen x1 , · · · , xn : V ar(x) = σx2 , dus V ar(x) =

n 1 X · (xi − x ¯)2 n i=1

In woorden: de variantie is gelijk aan het gemiddelde van de kwadratische afwijkingen. Een andere formule voor de variantie is: V ar(x) =

n 1 1 X 2 · (x21 + x22 + · · · + x2n ) − x ¯2 = · x −x ¯2 . n n i=1 i

In woorden: de variantie is gelijk aan het gemiddelde van de kwadraten min het kwadraat van het gemiddelde. Merk op dat je het gemiddelde en de standaardafwijking van een reeks waarnemingen vrij snel kunt uitrekenen met behulp van je GR, de grafische rekenmachine. De variantie is dan nog een ijskoud kunstje. Dat gaan we hier even herhalen.

Hoofdstuk 1, p. 4


Opdracht 3. a. Eerst heel eenvoudig. Gegeven zijn de waarnemingen 2, 5, 7 en 8. Bereken de variantie op twee manieren, door van elk van de hier genoemde formules gebruik te maken. Controleer daarna je antwoord door je GR te laten rekenen. b. Iets lastiger, want meer rekenwerk. Bereken de variantie van de waarnemingen 1, 2, 3, ... ,20. Kies zelf een handige methode. c. Vaak heb je te maken met een frequentieverdeling en dat betekent dat je op een overzichtelijke manier veel getallen bij elkaar hebt. Het rekenwerk volgens de formules hierboven wordt wel lastiger, maar je GR kan het met evenveel gemak aan. Bereken het gemiddelde, de standaardafwijking en de variantie van de volgende frequentietabel: waarneming x frequentie f

3.0 2

4.2 5

5.8 7

6.2 6

7.5 9

8.3 4

9.7 2

P Opdracht 4. We gaan wat oefenen met het -teken. Dat kan het gemakkelijkst met enkeleP voorbeelden. De som P1001 +2 2 + 3 + 4 + ... + 100 kunnen we veel korter 100 schrijven: k. En zo is k=1 k=1 k een korte schrijfwijze voor de som 1 + 4 + 9 + ... + 100. De uitkomst van de eerste som is 5050 en die van de tweede som is 385. Reken maar na! Bereken nu zelf a.

20 X

2k,

k=1

b.

12 X

j3,

j=5

c.

20 X

1 n.

n=10 1 De oneindig lange rij getallen 12 , 41 , 18 , 16 , , ... krijg je door steeds te ver1 menigvuldigen met 2 . De som van deze oneindig lange rij is gelijk aan 1. Dat kunnen we aannemelijk maken door bijvoorbeeld te kijken naar de som van de eerste 10 getallen in deze rij.

d. Bereken dus

10 X

( 12 )k . Je moet dicht bij 1 uitkomen.

k=1

Hoofdstuk 1, p. 5


Opdracht 5. Gegeven zijn de volgende twee frequentieverdelingen A en B.

A B

waarneming xi frequentie fi frequentie fi

0 3 0

1 7 3

2 8 10

3 12 22

4 14 14

5 11 9

6 6 4

7 2 2

8 1 0

a. Bereken van beide verdelingen het gemiddelde. Wanneer je het goed hebt uitgerekend, krijg je bij de vorige vraag twee keer hetzelfde antwoord. Toch zijn de beide frequentieverdelingen verschillend. Bij verdeling A zijn de waarnemingen meer gespreid ten opzichte van het gemiddelde dan bij B. Dat kun je ook goed zien wanneer je van beide verdelingen een frequentiehistogram maakt. Dit betekent dat de spreiding (de standaardafwijking) van A groter is dan van B. b. Teken voor beide verdelingen het frequentiehistogram. c. Bereken van beide verdelingen de standaardafwijking.

De standaardafwijking, en dus ook de variantie, is een maat om aan te geven hoe groot de kans is dat extreme waarnemingen (waarnemingen die ver van het gemiddelde liggen) optreden. We komen daar nog op terug, maar hier alvast een voorbeeld. Gegeven is de volgende frequentieverdeling: waarneming x frequentie f

1 3

2 5

3 8

4 22

5 47

6 32

7 16

8 7

9 2

Opdracht 6. Bereken hoeveel procent van de waarnemingen méér dan de standaardafwijking verschilt van het gemiddelde.

Opdracht 7. Bewijs de volgende formules: 1. k · x = k · x ¯ of anders geschreven: µk·x = k · µx 2. V ar(k · x) = k 2 · V ar(x) of anders geschreven: σk·x = |k| · σx

Hoofdstuk 1, p. 6


Opdracht 8. Onderaan pagina 4 staan twee formules voor de variantie genoemd. Laat zien (niet met een getallenvoorbeeld!) dat beide formules uiteraard hetzelfde voorstellen.

Herhaling: De Normale Verdeling Sommige frequentieverdelingen zijn normaal verdeeld. Daarmee bedoelen we dat het bijbehorend frequentiehistogram (let wel: relatieve frequenties) goed benaderd kan worden door de beroemde normaalkromme. Die heb je vast wel vaker gezien en heeft altijd de vorm zoals hiernaast. Voorbeelden van dergelijke frequentieverdelingen zijn o.a. de lengte van mensen, gewichten van pakken koffie, etc. Elke normale verdeling wordt gekenmerkt door de bijbehorende waarde van het gemiddelde µ en de standaardafwijking σ. Uiteraard is de oppervlakte onder deze grafiek gelijk aan 1. En verder gelden de zeer bekende en veel gebruikte vuistregels: • Vuistregel 1: Ongeveer 68% van de waarnemingen ligt tussen µ − σ en µ + σ. • Vuistregel 2: Ongeveer 95% van de waarnemingen ligt tussen µ − 2σ en µ + 2σ. Berekeningen, waarbij de normale verdeling aan de orde komt, worden vaak geschreven m.b.v. kansen, zoals: P (X < p) of P (p < X < q). En in een tekening komt die eerste kans overeen met een oppervlakte zoals je hieronder ziet. Dergelijke kansen kun je eenvoudig berekenen door gebruik te maken van je GR. Het is handig, eigenlijk wel noodzakelijk, dat je die vaardigheid paraat hebt. Een belangrijke normale verdeling is de standaardnormale verdeling. Die geven we altijd aan met de letter Z. Kenmerkend voor de standaardnormale verdeling is dat µZ = 0 en σZ = 1. Wanneer je van bijvoorbeeld een aantal mensen meet hoe lang ze zijn, weet je van tevoren niet welke uitkomsten je krijgt. Dat hangt af van die mensen en dus van het toeval. We zeggen dat er sprake is van een stochast of stochastische variabele of een toevalsvariabele. Dergelijke variabelen geven we vaak aan met hoofdletters X en Y . Zo spreken we dus bijvoorbeeld over X = het maandelijkse rendement van het aandeel ING of Y = gewicht van een pak koffie of K = de waarde van de AEX-index op 1 september 2021. Merk op dat (lang) niet elke stochastische variabele normaal verdeeld is! In heel veel problemen is sprake van de som of het verschil van stochasten. Daarom is het noodzakelijk daarvoor enkele formules bij de hand te hebben. Wanneer X en Y stochasten zijn met gemiddelde µX resp. µY en standaardafwijking σX resp. σY

Hoofdstuk 1, p. 7


dan geldt: 2 2 µX+Y = µX + µY en σX+Y = σX + σY2 2 2 µX−Y = µX − µY en σX−Y = σX + σY2

Daarbij veronderstellen we dat X en Y onafhankelijk zijn. Kortweg gezegd betekent dat dat de uitkomsten van de ene stochast niet van invloed zijn op die van de andere. Ook geldt dat X + Y en X − Y normaal verdeeld zijn, wanneer X en Y zelf normaal verdeeld zijn.

Opdracht 9. Tijdens een bepaalde periode in het verleden was het rendement van de AEX-index gemiddeld 26% per jaar met een standaardafwijking van 21% per jaar. Neem eens aan dat het éénjaarsrendement van de AEX normaal verdeeld is met dit gemiddelde en deze standaardafwijking, wat is dan de kans dat je tijdens een jaar verlies maakt op een investering in de AEX?

Opdracht 10. Aan het begin van deze herhaling werden de twee vuistregels genoemd voor elke normale verdeling. Bepaal de genoemde percentages in 2 decimalen nauwkeurig.

Opdracht 11. De inhoud van flessen wijn van Chateau Migraine is normaal verdeeld met µ = 762 cl en σ = 10 cl. Op het etiket staat dat zo’n fles (minstens) 750 cl wijn bevat. Iemand koopt één fles, gelukkig niet meer, van dit bocht. a. Bereken de kans dat deze fles inderdaad minstens 750 cl wijn bevat. b. Bereken de kans dat er in die fles méér dan 752 cl maar minder dan 768 cl wijn zit.

De Optimale Beleggingsportefeuille: Een Voorbeeld We gaan eens wat rekenen met aandelen en doen dat eerst aan de hand van een voorbeeld. Veronderstel dat we een bedrag gedurende een maand beleggen in twee aandelen: de helft in aandelen Heineken en de andere helft in aandelen Ahold. We gaan er van uit dat het eenmaandsrendement op aandelen Heineken rH normaal verdeeld is met gemiddelde 1.7% en standaardafwijking 7.8% en dat het eenmaandsrendement op

Hoofdstuk 1, p. 8


aandelen Ahold rA ook normaal verdeeld is met gemiddelde 1.9% en standaardafwijking 7.4%. Verder nemen we aan dat de rendementen op de aandelen Heineken en Ahold onafhankelijk zijn. Dat is niet helemaal zo, maar wel een goede benadering. Dan zal het eenmaandsrendement van onze totale belegging voor de helft worden bepaald door het rendement op aandelen Heineken en voor de helft door het rendement op aandelen Ahold. Met andere woorden: voor het eenmaandsrendement van onze belegging r¯ geldt: r¯ =

1 ¯H 2r

+ 12 r¯A =

1 2

· 0.017 +

1 2

· 0.019 = 0.018.

Voor de standaardafwijking van het rendement van onze belegging geldt iets dergelijks. Om die te berekenen, maken we gebruik van de formules op pagina 6 en pagina 8: 2 2 + ( 12 )2 σA = 0.00289 σ 2 = ( 21 )2 σH

(zelf even narekenen!). Dan is de standaardafwijking van het eenmaandsrendement van onze belegging gelijk aan ongeveer 0.0538 dus 5.38%. Dat is minder dan de standaardafwijking die hoort bij elk van beide aandelen apart. We merken op dat de standaardafwijking aangeeft hoeveel spreiding en dus hoeveel risico er is. Een belegger wil altijd graag een hoog gemiddelde van zijn rendement (vanzelfsprekend, wie wil dat niet?) maar een lage standaardafwijking (want dat betekent minder spreiding en dus minder risico. We merken ook op dat een grotere spreiding niet alleen een grotere kans op verlies, maar ook een grotere kans op winst betekent, terwijl je bij het woord risico misschien alleen aan verliezen zou denken. In de financiële wereld is het echter gebruikelijk om alle onzekerheid (positief of negatief) die door de standaardafwijking gemeten wordt, met risico aan te duiden. We hebben nu dus een beleggingsportefeuille samengesteld met een kleiner risico, namelijk σ = 5.38%. Het te verwachten eenmaandsrendement is 1.8%, toch wel redelijk in vergelijking met de eenmaandsrendementen van de twee aandelen zelf. Maar misschien kunnen we ons geld beter verdelen over de twee genoemde aandelen, dus zoeken naar een nog kleinere standaardafwijking. Om dat na te gaan veronderstellen we dat we een gedeelte van ons geld (en dat gedeelte noemen we α met 0 < α < 1) investeren in aandelen Heineken en de rest van ons geld in aandelen Ahold (dat gedeelte is dus 1 − α). Voor het rendement van onze portefeuille gelden dan de volgende formules: r¯ = α¯ rH + (1 − α)¯ rA ,

2 2 σ 2 = α 2 σH + (1 − α)2 σA .

Hoofdstuk 1, p. 9


Opdracht 12. a. Laat zien dat r¯ = 0.019 − 0.002α en σ 2 = 0.01156α2 − 0.010952α + 0.005476. b. Maak nu een assenstelsel met op de x-as de waarde van σ (let op: niet van de variantie σ 2 !) en op de y-as de waarde van r¯ en teken daarin de waarden van de punten (σ, r¯) voor alle waarden van α met 0 ≤ α ≤ 1. Gebruik daarbij indien nodig je GR. c. Zoek de waarde van α waarvoor het risico minimaal is. Hoeveel procent van je geld stop je in Heineken en hoeveel procent in Ahold voor die optimale portefeuille? Welk gemiddeld rendement hoort er bij die minst risicovolle portefeuille? En welke standaardafwijking? Laat zien dat die standaardafwijking kleiner is dan de afzonderlijke standaardafwijkingen voor Heineken en Ahold. Wat betekent dat in termen van risico?

Opdracht 13. Iemand investeert 12000 euro in aandelen KPN en Getronics. Het eenmaandsrendement rK op aandelen KPN is normaal verdeeld met gemiddelde 1.03% en standaardafwijking 2.68%. Het eenmaandsrendement rG op aandelen Getronics is normaal verdeeld met gemiddelde 0.82% en standaardafwijking 2.76%. Ook nu weer nemen we aan dat de beide rendementen onafhankelijk zijn. Bereken hoeveel euro hij moet investeren in aandelen KPN en hoeveel in aandelen Getronics, om te bereiken dat het risico minimaal is.

Hoofdstuk 1, p. 10


Afsluitende opdrachten De waarde van de AEX-index wordt bepaald door de fondsen die in de AEX zijn opgenomen. Die fondsen leveren niet allemaal dezelfde bijdrage voor de waarde van de AEX-index. Op 4 mei 2004 zag de samenstelling van de AEX-index er als volgt uit: Fonds

Symbool

ABN AMRO Aegon Kon. Ahold Akzo Nobel ASML Holding Burhmann DSM Fortis Getronics Heineken Hagemeyer IHC Caland

AAB AGN AH AKZ ASL BHR DSM FOR GTN HEI HGM IHC

Gewicht 198.00 205.00 210.00 38.00 68.00 18.00 13.00 175.00 69.00 33.75 67.00 4.50

Fonds

Symbool

ING Groep Kon. KPN Van der Moolen Kon. Numico Kon. Philips Royal Dutch Reed Elsevier TPG Unilever VNU Versatel Wolters Kluwer

ING KPN MOO NUM PHI RD REN TPG UN VNU VRS WKL

Gewicht 181.00 339.00 5.00 23.00 148.00 90.00 95.00 49.00 61.00 34.00 60.00 39.00

De waarde van de AEX-index wordt berekend op de volgende wijze: 1. Vermenigvuldig de laatste vastgestelde prijs voor ieder individueel aandeel met het bijbehorende gewicht. 2. Tel de getallen bij elkaar op. 3. Deel de som van 2) door 100. Op een zeker moment waren de prijzen van de individuele aandelen als volgt: Fonds

Prijs

Fonds

Prijs

Fonds

Prijs

AAB AGN AH AKZ ASL BHR DSM FOR

18.48 9.30 5.54 31.12 11.54 6.72 45.26 19.84

GTN HEI HGM IHC ING KPN MOO NUM

1.59 23.80 1.53 46.03 20.70 6.53 4.54 26.80

PHI RD REN TPG UN VNU VRS WKL

19.40 14.25 10.08 19.72 47.31 22.70 2.00 14.44

We gaan nu met deze gegevens aan de AEX rekenen.

Hoofdstuk 1, p. 11


Afsluitende Opdracht 1.1

Opdracht 14. a. Bereken de waarde van de AEX-index, die hier bij hoort. b. Er zijn enkele ’zwaargewichten’ onder de zogenoemde hoofdfondsen, bijvoorbeeld KPN, AAB en AGN. Daarentegen behoren IHC en MOO tot de kleintjes. Bereken van deze vijf genoemde fondsen met hoeveel procent zij bijdragen aan de berekening van de AEX-index. c. Veronderstel dat alle fondsen met hetzelfde bedrag stijgen, met 0.40 euro. Bereken hoeveel de AEX-index dan toeneemt.


Opdracht 15. Regelmatig verandert de samenstelling van de AEX. Onderzoek hoe op dit moment de AEX is samengesteld en welk gewicht elk fonds heeft. Onderzoek ook op welke manier deze gewichten tot stand komen. Onderzoek op welke manier wordt bepaald welke fondsen uit de AEX worden gezet en welke andere fondsen er in komen.


Opdracht 16. In dit hoofdstuk is sprake van het gemiddelde en de standaardafwijking van de AEX-index. Probeer eens antwoord te geven op de vraag hoe je deze twee waarden zou kunnen berekenen.

Hoofdstuk 1, p. 12


Wiskunde D Module Aandelen & Opties Hoofdstuk 2 : Opties Nico Alink & Michel Vellekoop

In dit hoofdstuk besteden we aandacht aan een van de meest voorkomende belegginsproducten: de optie. Om het rekenwerk te vereenvoudigen maken we ook kennis met het computerprogramma Excel. We maken daar gebruik van enkele specifieke opties. Voorkennis en vaardigheden voor dit hoofdstuk zijn grafieken van lineaire functies, en het manipuleren van allerlei formules. Opties zijn een zeer gewild product in de financiële wereld. Je kunt er hoge rendementen mee behalen maar de kans dat je er flink de mist mee in gaat, moet je niet onderschatten. Handelen in opties is dus een risicovolle bezigheid. Maar wat is een optie eigenlijk? De betekenis van een optie in de financiële wereld is ongeveer dezelfde als de betekenis van het woord in ons dagelijks spraakgebruik. Een optie geeft je het recht om iets te doen in de toekomst, zonder dat dit recht meteen een verplichting inhoudt. Wanneer je bijvoorbeeld een optie op een huis neemt, dan betekent dit dat je het huis mag kopen gedurende een bepaalde periode maar dat je er eventueel ook nog van mag afzien. In de praktijk gebeurt dat heel vaak om een potentiële koper van een huis de gelegenheid te geven de financiering voor de aankoop van het huis te regelen. Een optie geeft je dus de mogelijkheid om iets te doen in de toekomst als dat gunstig voor je is en om het niet te doen wanneer het niet gunstig voor je is. Dat aspect maakt opties interessant en populair, ogenschijnlijk heb je immers nog wat te kiezen.

Hoofdstuk 2, p. 1


Optiecontracten Een financiële optie geeft het recht om iets te kopen of te verkopen in de toekomst tegen een prijs die vandaag, dus op het moment waarop de optie wordt gekocht, al vaststaat. Daar horen een paar begrippen bij: • De onderliggende waarde van de optie is hetgeen je mag kopen of verkopen. Bij de optie op een huis is de onderliggende waarde natuurlijk het huis zelf. Op de Amsterdamse optiebeurs zijn de onderliggende waarden aandelen, een index van aandelen (zoals de AEX-index, wat gewoon een ’mandje’ van verschillende Nederlandse aandelen is), obligaties, goud, zilver of dollars. • De strike of uitoefenprijs van een optie is de van tevoren vastgestelde prijs waarvoor je de onderliggende waarde mag kopen of verkopen. • Een calloptie is een optie waarbij je het recht hebt de onderliggende waarde te kopen. • Een putoptie is een optie waarbij je het recht hebt de onderliggende waarde te verkopen. • De expiratiedatum is het tijdstip (in de toekomst) waarop je de optie mag uitoefenen. Het recht om straks iets te kopen of verkopen tegen een prijs die nu al vast ligt (zonder dat het ook een plicht inhoudt) is zo prettig omdat je er alleen gebruik van maakt wanneer het je goed uitkomt. Wanneer je verlies zou maken, gebruik je het recht niet en wanneer je winst kunt maken, gebruik je het recht wel. Je kunt met zo’n optie dus niet verliezen, maar er wel mee winnen. Daarom kun je een call- of putoptie niet gratis krijgen, want een manier om gratis winst te maken zonder dat daar een mogelijk verlies tegenover staat zou betekenen dat er een stormloop op de beurs zou komen naar deze contracten, die dan immers als een soort ’geldmachine’ zouden werken. Je moet dus voor een optie een prijs betalen en dat geld ben je meteen kwijt. Nog een paar begrippen: • Een contract is een overeenkomst zoals een optie, waarin de kenmerken nauwkeurig zijn vastgelegd. • De premie van een optie is de prijs die je moet betalen om het bijbehorende recht te krijgen. Een (standaard)optie heeft dus als kenmerken: 1. De aanduiding of het een calloptie danwel een putoptie betreft;

Hoofdstuk 2, p. 2


2. De onderliggende waarde; 3. De expiratiedatum; 4. De uitoefenprijs van de optie. We geven twee voorbeelden. Stel dat het vandaag 1 januari 2020 is en dat de huidige prijs van het aandeel KPN gelijk is aan 20.00 euro en van het aandeel ING 47.50 euro. Dan zouden we vandaag de volgende contracten tegen kunnen komen.

Dit contract geeft de houder het recht maar niet de plicht om op 1 januari 2021 een aandeel KPN te kopen voor een prijs van 19.00 euro.

Contract: Call KPN jan 2021 Strike 19

Dit contract geeft de houder het recht maar niet de plicht om op 1 januari 2021 een aandeel ING te verkopen voor een prijs van 45.00 euro.

Contract: Put ING jan 2021 Strike 45 Laten we eerst eens naar het eerste contract kijken waarmee we een aandeel KPN over een jaar mogen kopen voor een prijs van 19 euro. Als we dat recht vandaag zouden hebben waren we daar erg gelukkig mee! Immers, we zouden dan iets voor 19 euro mogen kopen (namelijk een aandeel KPN) dat we onmiddellijk voor 20 euro kunnen verkopen op de aandelenmarkt (want dat is de huidige waarde van het aandeel). Dat betekent dus dat we met dit contract een euro winst zouden kunnen maken, als het recht vandaag zou gelden en niet over een jaar. Een optie die, bij gelijkblijvende koers, geld op lijkt te leveren noemen we in-the-money, en een optie die bij gelijkblijvende koers geen geld oplevert, noemen we out-of-the-money.

Hoofdstuk 2, p. 3


Opdracht 1. a. Laat zien dat de ING put die we zojuist beschreven hebben op het moment out-of-the-money is. b. Laat vervolgens zien dat een call meer waard wordt als de prijs van de onderliggende waarde stijgt, en laat zien dat de prijs van een put meer waard wordt als de prijs van de onderliggende waarde daalt. c. Leg vervolgens uit waarom een putoptie wel een ’verzekering op aandelen’ wordt genoemd en waarom personeelsopties altijd uit calls en nooit uit puts bestaan.

Investeren in Opties

In werkelijkheid weten we natuurlijk niet wat er tussen 1 januari 2020 (vandaag) en 1 januari 2021 met het aandeel KPN gaat gebeuren. Wanneer de koers een jaar lang op 20 euro blijft of hoger wordt, dan maken we op 1 januari 2021, als de optie expireert en we van ons recht gebruik kunnen maken, een winst van 1 euro of meer. Maar wanneer de koers van KPN tussen 19 en 20 euro eindigt op 1 januari 2021, dan maken we minder dan 1 euro winst (bijvoorbeeld 0.25 euro wanneer de waarde 19.25 euro wordt). En wat gebeurt er nu wanneer de waarde van het aandeel KPN volgend jaar onder 19 euro zakt? Je zou misschien denken dat we dan een verlies maken omdat we iets voor 19 euro kopen dat op dat moment minder dan 19 euro waard is. Maar nu komt de aantrekkelijkheid van een optie om de hoek kijken. Wanneer het aandeel KPN op 1 januari 2021 minder dan 19 euro zal zijn, dan gebruiken we het

Hoofdstuk 2, p. 4


kooprecht van de optie gewoon niet! Immers, het was een recht en geen plicht om een aandeel KPN te kopen. We kunnen dus op het moment van uitoefening winst maken of quitte spelen maar nooit verlies maken, want dan gooien we het optiecontract gewoon weg zonder het te gebruiken. In werkelijkheid zullen we vandaag ook wat moeten betalen om zo’n optie in handen te krijgen en als de optie dan een jaar later waardeloos expireert, hebben we op dat moment weliswaar geen verlies, maar de prijs die we er voor betaald hebben, zijn we mooi kwijt. Een voorbeeld: het is vandaag 1 januari 2020 en de koers van het aandeel ABN AMRO bedraagt 47.50 euro. Er is sprake van de volgende optie: Call ABN AMRO jan 2021 Strike 50. De premie van deze optie is 3.34 euro.

Opdracht 2. Twee bekende Nederlandse entertainers, Frans en Marianne (die verder anoniem wensen te blijven) willen allebei vandaag elk 570 euro beleggen voor 1 jaar, dus van 1 januari 2020 tot 1 januari 2021. Frans belegt zijn 570 euro helemaal in aandelen ABN AMRO. Marianne belegt haar 570 euro helemaal in genoemde callopties ABN AMRO. a. Bereken hoeveel aandelen Frans kan kopen en hoeveel callopties Marianne kan kopen. b. Veronderstel dat op 1 januari 2021 de koers van het aandeel ABN AMRO gelijk is aan 55.32 euro. Bereken hoeveel geld Frans ontvangt wanneer hij al zijn aandelen dan verkoopt. Bereken ook hoeveel procent winst hij in dat geval heeft gemaakt. Voer dezelfde berekeningen uit voor de situatie waarin Marianne zit en vergelijk de resultaten van Frans en Marianne met elkaar. c. Maak dezelfde berekeningen als bij b. in het geval dat de koers van het aandeel ABN AMRO op 1 januari 2021 gelijk is aan 49.22 euro.

Opdracht 3. Het is vandaag 1 januari 2020 en de koers van het aandeel Ahold bedraagt 8.34 euro. Er is sprake van de volgende optie: Call Ahold jan 2021 Strike 9.10. De premie voor deze optie is 1.03 euro. Frans belegt zijn 570 euro helemaal in aandelen Ahold en Marianne belegt haar 570 helemaal in callopties Ahold. Voer dezelfde berekeningen uit als in opdracht 2b in het geval dat: a. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel Ahold gestegen is naar 10.52 euro. b. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel Ahold gestegen is naar 8.72 euro.

Hoofdstuk 2, p. 5


Opdracht 4. Het is vandaag 1 januari 2020 en de koers van het aandeel Aegon bedraagt 14.20 euro. Er is sprake van de volgende optie: Put Aegon jan 2021 Strike 13.50. De premie van deze optie is 0.90 euro. Frans belegt zijn 570 euro helemaal in aandelen Aegon en Marianne belegt haar 570 helemaal in putopties Aegon. Voer dezelfde berekeningen uit als in opdracht 2b in het geval dat: a. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel Aegon gestegen is naar 14.68 euro. b. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel Aegon gedaald is naar 12.08 euro.

Opdracht 5. Het is vandaag 1 januari 2020 en de koers van het aandeel Heineken bedraagt 28.32 euro. Er is sprake van de volgende optie: Put Heineken jan 2021 Strike 26.50. De premie van deze optie is 2.34 euro. Frans belegt zijn 570 euro helemaal in aandelen Heineken en Marianne belegt haar 570 helemaal in putopties Heineken. Voer dezelfde berekeningen uit als in opdracht 2b in het geval dat: a. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel gedaald is naar 23.38 euro. b. op 1 januari 2021 de koers van het aandeel gedaald is naar 26.58 euro.

Aan bovenstaande opgaven kun je zien dat beleggen in opties een veel groter risico in zich draagt dan beleggen in aandelen. Dat betekent dat je een veel grotere winst met opties op aandelen kunt maken wanneer de prijs van die aandelen stijgt dan mogelijk zou zijn met de aandelen zelf. Aan de andere kant, wanneer aandelen iets in waarde zakken, behouden ze toch een flink stuk van hun waarde, terwijl opties van het ene op het andere moment volkomen waardeloos kunnen worden. Veel mensen denken daarom dat opties vooral verhandeld worden om speculanten een mogelijkheid te geven enorme risico’s te nemen. Maar dat is niet helemaal terecht. We hebben al eerder gezien dat putopties juist als een soort verzekering (een bescherming dus) kunnen werken. Immers, wanneer je veel aandelen in je bezit hebt, en dat is bijvoorbeeld het geval bij pensioenfondsen, dan kun je door wat putopties aan je aandelenportefeuille toe te voegen juist risico’s vermijden. Want wanneer je aandelen minder waard worden door dalende aandeelkoersen, worden je putopties juist meer waard. Daardoor daalt je portefeuille in totaal minder in waarde dan wanneer je geen opties zou gebruiken. Door een putoptie te kopen neem je dus een klein verliesje (de prijs van de putoptie, een soort verzekeringspremie) op de koop toe om je te beschermen tegen al te grote verliezen. Dit alles betekent niet dat er niet af en toe dingen dramatisch fout gaan door de grote risico’s die opties met zich meebrengen, maar dat komt dan meestal omdat mensen bewust willen speculeren of omdat mensen binnen een bank zich niet aan de regels houden.

Hoofdstuk 2, p. 6


De Uitbetaling van Optiecontracten De uitbetaling U van een optie hangt dus af van de strike K van de optie en de waarde S van het onderliggende aandeel op de expiratiedatum. Het is niet zo moeilijk daar een formule voor op te stellen en het ligt voor de hand dat deze formule voor een calloptie anders is dan voor een putoptie. Er gelden de volgende formules: Ucall

0 S−K

als als

K>S K≤S

K −S 0

als als

K>S K≤S

=

en Uput

=

Met een klein beetje kunst- en vliegwerk kunnen we in beide gevallen de twee formules herleiden tot één formule1 : Ucall Uput

= max(S − K, 0) = max(K − S, 0)

Opdracht 6. Ga na dat de laatste twee uitdrukkingen voor Ucall en Uput overeenkomen met de eerstgenoemde formules.

Nu we hebben gezien dat we de uitbetaling U van een optie gemakkelijk in een formule kunnen beschrijven, moet het ook niet moeilijk zijn daarvan een grafiek te tekenen. We laten dat zien aan de hand van de gegevens van opdracht 2. Zoals je weet was daar sprake van: Call ABN AMRO jan 2021 Strike 50. De premie van deze optie is 3.34 euro. Dan is Ucall

= max(S − 50, 0)

en voor de winst W op deze optie geldt: Wcall

=

max(S − 50, 0) − 3.34

1 met

max bedoelen we het maximum van de twee waarden; zo is bijvoorbeeld max(−3, 5) = 5 en max(2, 2) = 2

Hoofdstuk 2, p. 7


Hiernaast zie je de grafieken van Ucall en Wcall . Je kunt nagaan dat de optie pas echt winst oplevert wanneer de onderliggende waarde groter is dan 53.34 euro. Dat zal je niet verbazen.

Opdracht 7. Teken, net zoals hierboven is gedaan, de grafieken van de uitbetaling U en de winst W voor de opties uit de opdrachten 3, 4 en 5.

Het is gebruikelijk te investeren in combinaties van opties om daarmee te proberen de kans op winst te vergroten en risico’s te beperken. We geven hiervan een paar voorbeelden. In onze voorbeelden gaan we telkens uit van hetzelfde aandeel en dezelfde expiratiedatum; die laten we hier verder weg. We nemen de volgende opties. A. Calloptie met strike 9.00 euro; de premie is 0.45 euro. B. Calloptie met strike 10.00 euro; de premie is 0.30 euro.

Figuur 1: Winst W als functie van uiteindelijke aandeelprijs S. Voorbeeld 1. Koop 1 optie A en 1 optie B. De winst W ziet er dan als volgt uit: W = max(S − 9, 0) + max(S − 10, 0) − 0.75. Dit kunnen we als volgt uitwerken: Als S ≤ 9 dan is W = 0 − 0.75 = −0.75. Als 9 ≤ S ≤ 10 dan is W = S − 9 + 0 − 0.75 = S − 9.75. Als S ≥ 10 dan is W = S − 9 + S − 10 − 0.75 = 2S − 19.75, en de grafiek van W , als functie van S (de waarde van het aandeel op de expiratiedatum) ziet er dan uit zoals weergegeven in Figuur 1. In de beurshandel is het ook mogeljk om opties te verkopen die je niet in je bezit hebt. We praten dan over de aanschaf van een negatief aantal opties en zeggen dat er sprake is van een short position. Wanneer je deze mogelijkheden gebruikt bij het combineren

Hoofdstuk 2, p. 8


van een investering in opties, krijg je interessante grafieken voor de uitbetaling als functie van de uiteindelijke aandeelprijs. Voorbeeld 2. Koop 2 opties B en verkoop 1 optie A. De winst W ziet er dan als volgt uit: W = 2 max(S − 10, 0) − max(S − 9, 0) − 0.15. (Reken die 0.15 even zelf na!) Dit kunnen we als volgt uitwerken: Als S ≤ 9 dan is W = 2 ∗ 0 − 0.15 = −0.15. Als 9 ≤ S ≤ 10 dan is W = 2 ∗ 0 − (S − 9) − 0.15 = 8.85 − S. Als S ≥ 10 dan is W = 2(S − 10) − (S − 9) − 0.15 = S − 11.15, en de grafiek van W , als functie van S (de waarde van het aandeel op de expiratiedatum) ziet er dan uit zoals weergegeven in Figuur 2.

Figuur 2: Winst W als functie van uiteindelijke aandeelprijs S. Het komt natuurlijk ook wel voor dat iemand zowel callopties als putopties heeft. Dan zien de grafieken van de uitbetaling en winst er nog interessanter uit.

Opdracht 8. Teken de grafieken van de uitbetaling U en de winst W voor de volgende situaties: a. Call GM jan 2021 Strike 8 samen met Put GM jan 2021 Strike 6. De premie van de call is 0.40 euro en van de put 0.30. b. Neem 2 callopties en 1 putoptie, zoals genoemd in vraag a. c. Geef voor beide vragen a. en b. aan hoe groot het verlies maximaal is, en druk dit verlies ook uit in procenten van de investering.

In afsluitende opdracht 2.3 zie je nog hele andere voorbeelden van combinaties van koop en verkoop van call opties en put opties. We kunnen dus de conclusie trekken dat het heel goed mogelijk is om combinaties van aandelen, opties, e.d. te maken, waarin negatieve aantallen voorkomen, bijvoorbeeld 5 callopties plus -3 putopties. Het is goed om je dat te realiseren, want dat betekent dat we ’negatieve uitkomsten’ toestaan.

Hoofdstuk 2, p. 9


Rekenen met Excel Het programma Excel, dat standaard op iedere computer met een Windows-versie is ge¨ınstalleerd, is een vreselijk handig hulpmiddel bij wat ingewikkelder rekenwerk. Omdat we dat in de financiële wiskunde goed kunnen gebruiken, besteden we er hier aandacht aan. Wanneer je Excel geopend hebt, vind je onder de knop Extra onder andere de volgende twee opties: Doelzoeken en Oplosser, of bij de Engelse versie: Goalseek en Solver. De optie Doelzoeken (Goalseek) is standaard ge¨ınstalleerd, maar dat geldt niet altijd voor de optie Oplosser (Solver). Mocht dat niet het geval zijn, dan is het meestal een kleine moeite dat voor elkaar te krijgen. Ga in Excel naar Extra, Invoegtoepassingen, Invoegtoepassing Oplosser (of Tools, Add-ins, Solver) en klik op OK. Als het goed is, wijst alles zich vanzelf. We gaan er hier dus van uit dat beide opties aanwezig zijn en we gebruiken hier steeds de Nederlandse benaming. Zoals je wel weet is Excel een spreadsheetprogramma, waarmee je snel kunt rekenen. Door het veranderen van de waarde van één of meerdere cellen kun je met Excel snel nagaan wat daarvan de invloed is op het resultaat in andere cellen. In een aantal gevallen wil je de waarde van een aantal cellen zodanig veranderen dat je in een andere cel een waarde krijgt die je graag wilt hebben. Het zoeken van geschikte waarden is een hele klus en Excel neemt dat werk graag van je over. We zullen dat hier demonstreren aan de hand van een paar voorbeelden. We beginnen met Doelzoeken. Die optie heb je niet vaak nodig, maar het is toch aardig om te weten hoe dat werkt. Voorbeeld 1. We willen graag weten hoe groot je x moet kiezen om te bereiken dat x2 + 6x = 28. Open Excel en vul bij cel B2 in: =A2^2+6*A2. Sluit af met Enter. Het = teken geeft aan dat je een formule gebruikt. En je herkent hier natuurlijk de formule uit dit voorbeeld. Telkens wanneer je in cel A2 een getal invult, krijg je in cel B2 het resultaat van de bijbehorende formule. Neem nu Extra, Doelzoeken en kies bij Cel instellen voor cel B2. Kies bij Op waarde voor 28 natuurlijk. En kies bij Door wijzigen van cel natuurlijk voor A2. Klik op OK en het programma geeft aan dat er een oplossing is gevonden nl. 3.082754. Merk op dat er nog een oplossing is en dat Excel zich daar niet druk over maakt. Dit is een beetje flauw voorbeeld, maar je kunt je wel voorstellen dat een doelcel meerdere variabelen bevat, dus verwijzingen naar meerdere andere cellen. In dat geval kun je met deze optie vrij snel een bepaalde waarde van de doelcel vinden door één van de cellen waarnaar wordt verwezen, te wijzigen.

Hoofdstuk 2, p. 10


Voorbeeld 2. We willen van formule x2 +6x weten wat het minimum is. Ga nu naar Extra, Oplosser en kies bij Cel bepalen voor B2 en daaronder de optie Min en Door verandering cel : A2. Daarna kun je kiezen voor een aantal beperkingen, maar die zijn er hier niet. Het aanklikken van Oplossen geeft meteen de oplossing. Voorbeeld 3. We willen weten wat het maximum is van x2 + 4xy onder de voorwaarde dat x + y = 10 en dat x en y beide niet negatief zijn. Vul bij C2 in: =A2^2+4*A2*B2. Omdat we bij Doelzoeken en Oplosser altijd moeten verwijzen naar één cel, vertalen we de voorwaarde in een getal in één cel D2, die de waarde 10 moet krijgen. Vul dus bij D2 in: =A2+B2. Kies bij Oplosser voor: Cel bepalen: C2 optie: Max Door verandering cel: klik cellen A2 en B2 tegelijk aan door slepen. Vul bij Restricties in: D2 = 10 ; A2 >= 0; B2 >= 0 ( >= betekent natuurlijk ≥) Oplossen levert op: A2 = 6.6667 en B2 = 3.3333 en C2 = 133.3334. Voorbeeld 4. Bij opdracht 12 van hoofdstuk 1 moest je eigenlijk 0.006084 x2 + 0.005476 y 2 minimaliseren onder de voorwaarde dat x + y = 1 . Omdat x en y een hoeveelheid geld voorstellen, geldt natuurlijk x ≥ 0 en y ≥ 0. Vul bij cel C2 in: =0.006084*A2^2+0.005476*B2^2 in en bij cel D2: =A2+B2. Ga daarna te werk als in het vorige voorbeeld. Opdracht 9. a. Bereken het minimum van 2x3 − xy 2 + y onder de voorwaarden dat x + y = 100 en x ≥ 0 en y ≥ 0. b. Bereken het maximum van xy − 3xz + 2xyz onder de voorwaarden dat x + y + z = 10 en x ≥ 0, y ≥ 0 en z ≥ 0. c. Reken nog eens opdracht 13 van hoofdstuk 1 na door gebruik te maken van de Oplosser.

En dan nog iets over het slepen over cellen. Daarmee kun je niet alleen een grote hoeveelheid cellen tegelijk selecteren, maar je kunt ook meerdere cellen van eenzelfde formule voorzien. We laten dat aan de hand van twee voorbeelden zien. Bij de afsluitende opdrachten kun je er veel profijt van hebben. Voorbeeld 5. We gaan twee kolommen cellen maken als volgt: De eerste kolom cellen bevat achtereenvolgens de getallen 1, 2, 3, ... , 100. De tweede kolom bevat achtereenvolgens de kwadraten van deze getallen. Ga nu als volgt te werk: Zet in cel A1 het getal 1 en in cel A2 het getal 2. Selecteer, m.b.v. slepen, beide cellen en zet daarna de cursor rechts onderaan cel A2. Daar moet dan een +-teken komen te staan. Sleep daarna met de muis naar beneden tot en met cel A100 en laat de muis los. Je ziet nu dat de getallen 1 t/m 100 in kolom A zijn gezet. Vul nu in: B2=A2^2. Selecteer B2 en zet

Hoofdstuk 2, p. 11


de cursor weer rechts onderaan deze cel. Het +-teken verschijnt weer; sleep daarna met de muis naar beneden tot en met cel B100 en je bent klaar. Klaarblijkelijk wordt door deze procedure bij het invullen van de cellen in kolom B steeds de waarde van de volgende cel uit kolom A genomen en daarna gekwadrateerd. Het kan ook zijn dat je de uitkomsten ook nog een vaste waarde mee wilt geven, die afkomstig uit één cel. Daarover gaat het volgende voorbeeld. Voorbeeld 6. We gebruiken weer de getallen 1 t/m 100 uit kolom A. Laat kolom B maar staan, die heb je nu niet nodig. Zet in cel C1 het getal 1 en vul in cel D1 in: D1=A1/(A1+$C$1) en sleep met de muis van D1 tot en met D100. Met het schrijven van dollartekens geef je aan dat deze cel niet verandert met het slepen over de cellen D1 tot en met D100. Klik maar eens op bijvoorbeeld cel D23. Je ziet dat daar in de formule nog steeds naar cel C1 wordt verwezen, terwijl tegelijkertijd de verwijzing naar cel A1 is veranderd in de verwijzing naar cel A23. We spreken van een absolute verwijzing naar cel C1. Daarentegen is de verwijzing naar cel A1 relatief. Sleep nu van cel D1 tot en met cel D100. Laat Excel daarna in D101 de som van de getallen in D1 tot en met D100 berekenen. In D101 staat dus nu de uitkomst van 100 X

n n + 1 n=1 Wanneer je nu in cel C1 bijvoorbeeld het getal 5 invult, levert D101 je de uitkomst van 100 X

n n + 5 n=1 Zo simpel werkt dat dus! Opdracht 10. Bereken tot op 4 decimalen nauwkeurig a. 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 900 b. 1 + c.

1 2

+

1 2

+

1 3

+

1 4

2 3

+

3 4

+ ... +

+ ... +

1 100

99 100

Opdracht 11. Bereken tot op 4 decimalen nauwkeurig a.

50 X

(2n + 1), dit is dus hetzelfde als 1 + 3 + 5 + ... + 101

n=0

b.

100 X √

n

n=0

Hoofdstuk 2, p. 12


Opdracht 12. a. Maak opdracht 4d. uit hoofdstuk 1 nog eens over, maar nu met Excel. b. Benader het getal e (dwz e tot de macht 1 dus e1 ) door de volgende som per benadering uit te rekenen. ∞ X

1 n!

n=0

c. Bereken 15 X

16 −1 n 5 ( 25 )

n=0

4 −1 n − 239 ( 57121 ) 2n + 1

Dit is een benadering van π die 23 decimalen nauwkeurig is!

Opdracht 13. Gebruik Doelzoeker om te berekenen voor welke p geldt 100 X

n = 50 n+p n=1

Hoofdstuk 2, p. 13


Afsluitende opdrachten Afsluitende Opdracht 2.1

Opdracht 14. Bereken voor de opdrachten 2 t/m 5 bij welke aandeelkoers op 1 januari 2021 Frans en Marianne een even groot rendement behalen op hun investering.

Krant op de dag van de 1929 Wall Street Crash

Hoofdstuk 2, p. 14



Opdracht 15. Gebruik het internet om maandelijkse rendementen te downloaden van de AEX index in de periode juni 1996 tot juni 2002 (Ga bijvoorbeeld naar finance.yahoo/com, zoek op ’AEX’, ga naar ’Historical Prices’, selecteer de juiste periode en ’monthly data’ en gebruik dan de ’Close’ prijs data). We willen nu Excel gaan gebruiken om een portfolio te construeren (bestaande uit aandelen die in de AEX zitten) die een zo laag mogelijke variantie, dus een zo klein mogelijke standaardafwijking heeft. Dan investeer je met het minste risico! a. Gebruik Excel om het gemiddelde en de standaardafwijking voor elk AEX fonds te bepalen op 2 manieren: 1. met behulp van de formules uit het eerste hoofdstuk. 2. met behulp van de standaard Excel functies MEAN (of AVERAGE) en STD (of STDEVP). b. Plot in Excel alle aandelen in een (¯ r, σ)-diagram. Wat valt je op aan het punt dat de AEX representeert? Om een portfolio te maken met een zo laag mogelijke variantie moet je elk aandeel een gewicht geven (let op: alleen aandelen, niet de AEX index zelf). c. Maak een rij met mogelijke gewichten (zet die allemaal op 1/23 om mee te beginnen, dan weegt elk aandeel even zwaar) en een kolom waarin je voor elke datum alle gewichten met de bijbehorende rendementen vermenigvuldigt. Als je twee rijen met elkaar wilt vermenigvuldigen en de resultaten wilt optellen, hoef je dat niet stap voor stap in Excel te programmeren: gebruik het handige commando SUMPRODUCT (zie Excel help). Je krijgt nu een kolom met portfolio rendementen. Bepaal daarvan het gemiddelde en de standaardafwijking. d. Gebruik de Solver om de portfolio te maken met minimale standaardafwijking. Bedenk daarbij dat de gewichten wel tot 100% op moeten tellen en dat ze niet negatief mogen zijn, dus dat moet je de Solver meegeven! Geef de optimale portfolio, en teken hem ook in je (¯ r, σ)-diagram. De portfolio die je bij e. gevonden hebt, heeft een slechter gemiddeld rendement dan de AEX. e. Bepaal nu eens de portfolio die een zo klein mogelijk standaardafwijking heeft in zijn rendement, maar wel hetzelfde gemiddelde rendement als de AEX. Wat gebeurt er met de minimale standaardafwijking t.o.v. het antwoord van e.? Kun je dat verklaren? f. Bepaal de beste (minimale) standaardafwijking als je een rendement eist van 0%, van 1%, van 2%, van 3%, van 4%, van 5% en van 6% en teken al die portfolios in je (¯ r, σ)-diagram. Wat valt je op?

Hoofdstuk 2, p. 15



Opdracht 16. Teken de grafiek van de uitbetaling U voor de volgende situaties: a. Koop 1 putoptie met strike 80 en verkoop 1 putoptie met strike 120. b. Koop 1 calloptie met strike 80 en 1 calloptie met strike 120, verkoop 2 callopties met strike 100. c. Koop 1 putoptie met strike 80 en verkoop 1 calloptie met strike 120. Je ziet dat we hier de premie voor de opties niet hebben genoemd, we vragen dan ook niet naar de uiteindelijke winst op de genoemde transacties.

Hoofdstuk 2, p. 16


Wiskunde D Module Aandelen & Opties Hoofdstuk 3: Het Prijzen van Opties Nico Alink & Michel Vellekoop

In hoofdstuk 2 hebben we gerekend met opties. Daarbij speelde de prijs die de koper voor een optie moet betalen een rol. In dit hoofdstuk zullen we zien hoe je de prijs van een optie kunt bepalen. We maken daarvoor gebruik van een eenvoudig model. In de beurspraktijk ziet het er veel ingewikkelder uit. Voorkennis en vaardigheden zijn de basisbegrippen uit de kansrekening waaronder toevalsvariabele, verwachtingswaarde, standaardafwijking en onafhankelijkheid van gebeurtenissen. Daarnaast maken we veel gebruik van het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen. We beginnen met een herhaling en uitbreiding van het laatste en daarna herhalen we in het kort de noodzakelijke onderdelen van de kansrekening.

Stelsels vergelijkingen oplossen Eerst ter herinnering. We nemen even twee eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden, bijvoorbeeld: x + 7y = 12 3x + 5y = 14 Zoals je weet stellen beide vergelijkingen meetkundig een rechte lijn voor en betekent het oplossen van dit stelsel niets anders dan het zoeken van (de coördinaten van) het snijpunt van beide lijnen. Daarvoor hebben we verschillende methoden tot onze beschikking. We zetten ze even op een rij. • Algebra¨ısch, dus kort gezegd: met pen en papier en je blote verstand. En dat kan op verschillende manieren. Dat heb je ongetwijfeld al in een eerder leerjaar op het vwo geleerd. • Met de GR. Een beetje afhankelijk van het type rekenmachine. Maar sommige beschikken over een optie in de trant van Equations - Simultaneous of iets dergelijks. Een beetje GR gaat tot het oplossen van zes vergelijkingen met zes onbekenden.

Hoofdstuk 3, p. 1


• Met Excel. Dat gaan we hier nog even behandelen aan de hand van bovenvermeld stelsel. Neem een (leeg) Excel-blad en vul in bij C2:=A2+7*B2 en bij D2:=3*A2+5*B2. Ga naar Oplosser en vul in bij Cel bepalen: C2 en bij Gelijk aan: Waarde 12. Vul bij Door verandering cel: in A2;B2 (dat doe je weer met slepen). Vul bij Restricties in: D2=14. Oplossen geeft het antwoord: A2=2.375 en B2=1.375.

Verloop van de AEX op één dag. De laatste methode heeft als voordeel dat cellen C2 en D2 niet per se als formule een eerstegraadsverband hoeven te hebben. Je begrijpt wel dat je met weinig extra moeite een stelsel van drie of vier of nog meer vergelijkingen met even zoveel variabelen kunt oplossen met Excel, terwijl het met pen en papier al gauw erg veel werk wordt. Even oefenen. Opdracht 1. Los de volgende stelsels vergelijkingen op. Kies zelf een geschikte methode. Rond, indien nodig, af op twee decimalen. 3x − 2y = 16 4x + 4y = 14.3 1.05p + 10q = 23 a. b. c. 3x + 5y = 23 7x − 6y = 23.9 p + 23.5q = 18.7

En dan kan het meteen ook wel met wat grotere problemen. Opdracht 2. Los de volgende stelsels vergelijkingen op. Kies methode. Rond, indien nodig, af op twee decimalen.   x+y+z = 1   3x − 2y + 5z 2x + 3y + 2z = 2 −4x + y + 7z a. b.   3x + y + 5z = 6 y−z

zelf een geschikte = 12 = −6 = 2

De vergelijkingen in opgave 2 stellen meetkundig gezien vlakken voor. Vanuit die invalshoek betekent het oplossen van zo’n stelsel niets anders dan het vinden van

Hoofdstuk 3, p. 2


het snijpunt van drie vlakken. Je kunt gemakkelijk inzien dat in het algemeen zo’n stelsel inderdaad één oplossing heeft. Twee van de drie vlakken leveren een snijlijn en het overgebleven vlak snijden met deze snijlijn levert dan het gevraagde snijpunt. In bijzondere situaties gaat deze redenering niet op, bijvoorbeeld wanneer enkele vlakken evenwijdig zijn of wanneer alle drie vlakken door dezelfde (snij)lijn gaan. Op dergelijke uitzonderingen gaan we hier niet verder in. Zo gauw er sprake is van meer dan drie variabelen, kunnen we er geen visuele, meetkundige voorstelling bij maken.

Opdracht 3. Los de volgende stelsels vergelijkingen op. Kies zelf een methode. Rond, indien nodig, af op twee decimalen.   2a + 3b − 4c − d = 18 0.5p + 1.3q + 0.34r + 1.1s       −a + b + 5c + 3d = 21 0.98p + r + 1.18s a. b. 2a − 3c = 14 1.4q + 0.68r + 1.04s       2b − 4c + 7d = 11 p+q+r+s

geschikte = 48 = 60 = 104 = 100

Kansrekening Banken en andere optiehandelaren verkopen enorme hoeveelheden opties. Dat gaat in zulke grote aantallen dat je op de Amsterdamse optiebeurs niet eens losse opties kunt kopen; ze worden standaard per honderd stuks verhandeld!

AEX optiekoersen op 2 februari 2005 In hoofdstuk 2 heb je gezien dat je met het handelen in opties enorme risico’s kunt lopen. De waarde van de opties van de gokzieke Marianne slingerde enorm heen en weer en dat zou kunnen betekenen dat mensen die opties verkopen ook met enorme risico’s geconfronteerd worden. Het lijkt er dus op dat banken en optiehandelaren dus ook grote risico’s lopen. In de praktijk is dat niet het geval. Banken die opties

Hoofdstuk 3, p. 3


verkopen, zorgen er voor dat zij vrijwel geen enkel risico hoeven te lopen. Dat lijkt op zijn minst wat raadselachtig en misschien ook wel wat oneerlijk: als de koper van een optie risico loopt dan moet dat ook voor de verkoper gelden, want de winst van de een is het verlies van de ander en omgekeerd, nietwaar? In werkelijkheid is het niet oneerlijk maar juist erg belangrijk dat banken geen risico lopen, want ook jij zou mooi staan te kijken wanneer het saldo op je spaarrekening plotseling verdwenen is omdat jouw bank toevallig ook een afdeling opties heeft die net een megadeal rondom opties met Marianne compleet fout heeft zien gaan. Banken zijn nou juist per definitie instellingen die zelf geen risico’s lopen maar hun klanten helpen risico’s te nemen of af te dekken zonder daarmee zelf een risicopositie te krijgen. Hoe doen ze dat? Door handig gebruik te maken van een beetje kansrekening. De kansrekening is al heel oud. De allereerste tekst waarin geprobeerd wordt om systematisch eigenschappen af te leiden voor de kansrekening is ”Liber de Ludo Aleae”(Boek over dobbelspelen), geschreven rond 1525 door Cardano, een arts die dol was op gokken. Ook de beroemde Galileo schreef over kansrekening met de bedoeling het toe te passen op gokspelen: zijn ”Sopral el Scoperte dei Dadi”(ongeveer een eeuw later geschreven) schreef hij in opdracht voor zijn beschermheer Cosimo II, de hertog van Toscane, die wel eens wilde weten wat zijn hofwiskundige (want dat was Galileo onder andere) kon vertellen over een wetenschappelijke aanpak van het gokken. Galileo laat in zijn essay doorschemeren dat hij het niet zo’n interessant onderwerp vond en het feit dat hij het een Italiaanse titel meegaf, in plaats van het in de wetenschap meer gebruikelijke Latijn, suggereert ook al dat hij het voornamelijk zag als een ’klusje’ om zijn heer ter wille te zijn. Maar de werkelijk grote sprong voorwaarts in de kansrekening zou gemaakt worden door een aantal Franse wetenschappers, die voor het eerst probeerden om op een systematische manier na te denken over kansen. Een van de belangrijkste was Blaise Pascal, een geniaal wiskundige, die erg ge¨ıntrigeerd werd door een oud vraagstuk: ”Twee spelers gooien een zuivere munt net zolang tot er zesmaal ’kop’ gevallen is (dan wint speler A) of tot er zesmaal ’munt’ gevallen is (dan wint speler B). Maar nadat er 5 maal kop en 3 maal munt gevallen is moeten ze het spel plotseling stoppen. Hoe moet de pot nu eerlijk verdeeld worden?” Dit probleem bestond al een tijdje en niemand had er een goede oplossing voor bedacht. Pascal hoorde over het probleem tijdens een ontmoeting met de Chevalier de Méré, een man die verzot was op gokken maar ook sterk wiskundig onderlegd was. Zo had hij berekend dat de kans om tenminste eenmaal een zes te gooien als je viermaal achter elkaar een dobbelsteen werpt boven de 50% ligt, en daar zette hij dan geld op in. Later bedacht hij een variant: dat er minimaal eenmaal dubbelzes gegooid wordt als je twee dobbelstenen 24 maal achter elkaar gooit. Hij merkte echter op de lange duur dat hij meer geld verloor dan won met het laatste systeem. En wij kunnen wel even uitrekenen waarom.

Hoofdstuk 3, p. 4


Opdracht 4. Bereken de kansen op de twee gebeurtenissen die hierboven genoemd worden.

Het bovengenoemd probleem vormde de aanleiding voor een lange briefwisseling tussen Pascal en een andere geniale wiskundige, Pierre de Fermat. In hun correspondentie vinden we voor het eerst de expliciete formulering van begrippen die we nu gebruiken in de kansrekening. De invloed van hun werk was enorm. Pascal zou naar aanleiding van hun discussies zijn beroemde ’driehoek van Pascal’ construeren. Die was overigens bij de Chinezen al veel langer bekend, de afbeelding hiernaast was de voorkant van een tekst (Chu ShiChieh’s Ssu Yuan Y Chien) die al in 1303 vóór Christus in China circuleerde. In 1657 schreef onze eigen Christiaan Huygens een boek ”Van rekeningh in spelen van geluck”dat de grote Isaac Newton zelf aanschafte en vol met kleine aantekeningen schreef. Veel van de problemen die in dat boek opgelost worden, gaan over het eerlijk verdelen van de pot bij afgebroken geluksspelen, zoals het probleem dat eerder genoemd is. Omdat wij natuurlijk de vruchten plukken van het vele denkwerk van deze giganten, is het met onze kennis van de moderne kansrekening niet zo moeilijk om dit probleem op te lossen.

Opdracht 5. Tegenwoordig zouden we zeggen dat de eerlijkste manier om de pot te verdelen gebaseerd moet zijn op de kansen om te winnen vanuit de ontstane situatie bij het opbreken. Reken uit wat de kans is dat A wint in dit geval, en hoe je een pot van 100 euro dus zou verdelen als A en B gedwongen worden te stoppen.

Terugkijkend denk je misschien dat het vreemd is dat dit probleem zo lang onopgelost was gebleven, zo moeilijk is het nu ook weer niet. Maar toen er nog geen kansrekening bestond, kostte het een hoop moeite om over dit soort dingen na te denken. Het is pas in een boek uit 1662 ”Le Logique ou l’art de penser ”(de logica, of de kunst van het denken) dat er voor het eerst op de moderne manier over kansen gesproken wordt. In het laatste hoofdstuk, dat gaat over een spel waarbij 10 spelers allemaal een munt in de pot doen, staat namelijk: Er zijn negen delen kans om een munt te winnen, tegen een deel kans om er 9 te winnen en dat is de eerste keer dat er op deze manier over kansen gesproken wordt! Even later staat er: Veel mensen zijn bang als men onweer hoort. Maar de angst voor schade zou proportioneel moeten zijn met niet alleen de ernst van de mogelijke schade, maar ook met de kans op schade

Hoofdstuk 3, p. 5


en dat is de eerste keer dat er zoiets als een verwachtingswaarde beschreven werd. In de moderne financiële theorie zullen we een subtieler begrip nodig hebben (nutsfuncties) om dit soort overwegingen over mogelijke schade te maken. In onze Gouden Eeuw werd er in de Republiek der Nederlanden veel geld verdiend aan levensverzekeringen terwijl er in Engeland, waar men met argusogen naar onze successen op dat gebied keek, veel minder aan verdiend werd. De reden daarvoor is dat er in Nederland verschillende polissen verkocht werden die gebaseerd waren op de overlevingskansen van de bevolking op grond van hun leeftijd. In Engeland kreeg iedereen (ongeacht de leeftijd) dezelfde verzekeringspolis, en dat bleek niet zo’n erg goed idee. Slecht risicomanagement zouden we dat nu noemen, en het was des te opmerkelijker omdat de pionier van de zogenaamde ’sterftekanstabellen’ de Engelsman Edmund Halley was, aan wie trouwens ook de beroemde Halley komeet zijn naam te danken heeft.

Rekenen met Kansen Wanneer je met een zuivere dobbelsteen gooit is de kans op elk van de zes ogenaantallen natuurlijk 16 . We spelen nu het volgende spel: zet 1 euro in en gooi één keer met de dobbelsteen. Wanneer je vier ogen gooit krijg je een bedrag uitgekeerd en in alle andere gevallen ben je je inzet kwijt. In de meeste gevallen zul je niet vier ogen gooien, gemiddeld vijf van de zes keer. Je loopt dus een groot risico om te verliezen. Daar moet dan ook een (relatief) groot bedrag tegenover staan dat je kunt verdienen in het geval dat je wél vier ogen gooit.

Opdracht 6. Wat is volgens jou een redelijk bedrag, dat je minimaal moet verdienen in bovengenoemd spel?

We herhalen wat je van de kansrekening nog weet, of in ieder geval wat we gaan gebruiken. Wanneer we bijvoorbeeld vragen naar de kans om met een zuivere dobbelsteen 4 ogen te gooien, is het erg handig om daar de volgende notatie voor te gebruiken: X = het aantal ogen en dan dus: P(X = 4) met natuurlijk als antwoord: P(X = 4) = 1 6 . We noemen X een toevalsvariabele of een stochast of een stochastische variabele. Want de waarde van X kan variëren en hangt af van het toeval. We zijn gewend meestal hoofdletters te gebruiken voor stochasten. Wanneer we alle waarden die X kan aannemen, op een rij zetten en de bijbehorende kansen uitrekenen, krijgen we het volgende overzicht (wel een beetje flauw in dit voorbeeld):

Hoofdstuk 3, p. 6


x P (X = x)

1

2

3

4

5

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Som 1

Zo’n tabel, of liever gezegd zo’n overzicht noemen we de kansverdeling van X. Let op het subtiele verschil in de schrijfwijze tussen de hoofdletter X (die staat voor stochast) en de kleine letter x (die staat voor variabele, zoals je dat meestal tegen komt). Uiteraard moet de som van alle kansen gelijk zijn aan 1, in formulevorm betekent dat: X P(X = x) = 1 x

Dat is dan ook toegevoegd aan het einde van de tabel. We gebruiken het vaak als een controlemiddel. Het toeval (!) wil dat ons voorbeeld zo eenvoudig is dat in de kansverdeling alle kansen even groot zijn. In dat geval zeggen we dat X uniform verdeeld is. Je begrijpt dat dat niet zo vaak voorkomt, al was het maar om het feit dat we dan gauw klaar zijn met rekenen. Daarnaast zullen we veel gebruik maken van de verwachtingswaarde van een stochast, meestal aangegeven met het symbool E. De interpretatie van dat begrip ligt wel voor de hand: wat verwacht je dat (gemiddeld) de waarde zal zijn die de stochast aanneemt. Wel, in 16 van de gevallen zal die uitkomst 1 zijn, in 61 van de gevallen zal de uitkomst 2 zijn, enzovoort. Dus de verwachtingswaarde van X is: EX =

1 6

·1+

1 6

·2+

1 6

· 3 + ... +

1 6

· 6 = 3 21

De verwachtingswaarde reken je dus uit door in de kansverdeling de rij van mogelijke uitkomsten (termsgewijs) te vermenigvuldigen met de bijbehorende kansen en die producten daarna bij elkaar op te tellen. Het is handig om dat in te zien, want bij Excel kun je daar mooi gebruik van maken. Dat hebben we in hoofdstuk 2 al een keer gezien. Goed, in de wiskunde gooien we er natuurlijk een formule tegen aan voor de verwachtingswaarde: X EX = P(X = xi ) · xi xi

of iets korter: EX =

X

P(X = x) · x

Opdracht 7. In een vaas zitten 7 ballen. Op drie ballen staat het getal 4, op twee ballen staat het getal 2 en op twee ballen staat het getal 5. Iemand haalt blindelings één bal uit de vaas. Stochast X is het getal dat op die bal staat. Maak de kansverdeling van X en bereken de verwachtingswaarde ervan.

Hoofdstuk 3, p. 7


Opdracht 8. Wanneer je met één dobbelsteen gooit, is de verwachtingswaarde van het ogenaantal 3 12 . Het ligt voor de hand om te veronderstellen dat je met het gooien van twee dobbelstenen tegelijkertijd naar verwachting samen 7 zult gooien. Laat zien dat dit klopt door de bijbehorende kansverdeling uit te rekenen en met behulp daarvan de verwachtingswaarde.

Opdracht 9. Bij het Casino kun je Roulette spelen. Dan kun je inzetten op 37 getallen: de getallen 1 t/m 36, waarvan er 18 rood zijn en 18 zwart, en daarnaast het getal 0 dat geen kleur heeft meegekregen. a. Een van de mogelijkheden om te spelen is inzetten op rood. Als je wint, krijg je naast je eigen inzet deze inzet nogmaals uitbetaald. Verlies je, dan ben je je inzet kwijt. Bereken hoe groot de verwachtingswaarde is van de winst die je op deze manier kunt behalen als je 1 euro inzet. b. Een ander manier is inzetten op de eerste twaalf getallen, dus op 1 t/m 12. Als je wint, krijg je naast je eigen inzet nog twee keer deze inzet uitbetaald. Verlies je, dan ben je je inzet kwijt. Bereken hoe groot de verwachtingswaarde is van de winst die je op deze manier kunt behalen, als je 1 euro inzet.

De verwachtingswaarde is eigenlijk niets anders dan het gemiddelde dat hoort bij een frequentietabel. Het bijzonder er aan is dat de frequenties kansen zijn, en die kun je beschouwen als relatieve frequenties. Daarnaast is het zo dat we deze frequenties berekenen binnen het kansmodel dat we hanteren; er is sprake van theoretische kansen. In de praktijk zal het meestal niet (precies) overeenstemmen met de resultaten van zo’n kansmodel. Maar wanneer we een kansexperiment een groot aantal keren herhalen zullen de relatieve frequenties daarvan goed overeen komen met de bijbehorende theoretische kansen. Dat noemen we in de kansrekening ook wel de wet van de grote aantallen. Naast de verwachtingswaarde van een stochast (het gemiddelde dus) is het handig dat we ook gebruik kunnen maken van de variantie van een stochast. De berekening daarvan is analoog aan die uit het eerste hoofdstuk. Dat leidt tot de volgende formule: X Var(X) = P(X = x) · (x − EX)2 Je snapt wel, dat deze formule ook nog op een andere manier te schrijven is, net zoals we dat in hoofdstuk 1 hebben gedaan.

Opdracht 10. Bereken de variantie van de stochasten uit opgaven 7, 8 en 9.

Naast de formules voor EX en Var(X) maken we heel vaak gebruik van een eenvoudige maar zeer belangrijke eigenschap uit de kansrekening. Die betreft kansen

Hoofdstuk 3, p. 8


op gebeurtenissen die onafhankelijk zijn. Daarmee bedoelen we het volgende: twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk wanneer het verloop van de ene gebeurtenis geen invloed heeft op het verloop van de andere gebeurtenis. Een heel eenvoudig voorbeeld: je gooit twee keer met een dobbelsteen. • Gebeurtenis A: het gooien van vier ogen met een dobbelsteen bij de eerste worp. • Gebeurtenis B: het gooien van minder dan drie ogen met een dobbelsteen bij de tweede worp. Het resultaat van de eerste worp is niet van invloed op het resultaat bij de tweede worp. Wanneer je eerst vier ogen gooit is de kans om daarna minder dan drie ogen te gooien nog steeds 31 . In dat geval is de kans om bij de eerste worp vier ogen te gooien en daarna bij de tweede worp minder dan drie ogen te gooien gelijk aan 12 · 13 = 16 . In een mooie formule zeggen we dan: Wanneer twee gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn dan geldt: P(A en B) = P(A) · P(B). Zonder dat je het in de gaten hebt, heb je deze formule al veel gebruikt in de kansrekening.

Het Prijzen van Opties Hoe kan al die kansrekening ons nu helpen bij het prijzen van opties? Hoe slagen banken erin de risico’s rondom hun optiehandel af te dekken terwijl Marianne met haar gekochte opties juist enorme winsten of verliezen kon verwachten? De sleutel ligt hem in het feit dat Marianne alleen maar opties kocht en vervolgens een jaar lang niks deed. Banken gaan zodra ze opties verkocht hebben ook de onderliggende aandelen kopen of verkopen en handelen het hele jaar door. Daardoor kunnen zij risico’s kwijtraken waar Marianne dat niet kan. Om datte begrijpen hebben we flink wat wiskunde nodig. Maar het principe is eigenlijk met een beetje middelbare schoolwiskunde al goed te begrijpen (hadden we je helemaal tot hier toe laten lezen als dat niet zo was? Nou dan!). Stroop je mouwen op, schop je schoenen uit en haal vast een kop thee of koffie want het stevigere werk gaat beginnen. We gaan een wiskundig modelletje bouwen. Van nu af aan nemen we aan dat wij een optieverkoper bij een bank zijn (exit Frank, exit Marianne). Iemand wil van ons een optie kopen op een aandeel KLM dat vandaag (1 januari 2020) een koers heeft van precies 50.00 euro. De expiratiedatum is opnieuw een jaar later (1 januari 2021 dus) en we nemen de uitoefenprijs (strike) ook gelijk aan 50.00 euro. Het contract ziet er dus als volgt uit:

Dit contract geeft de houder het recht maar niet de plicht om op 1 januari 2021 een aandeel KLM te kopen voor een prijs van 50.00 euro.

Te Prijzen Contract: Call KLM jan 2021 Strike 50

Hoofdstuk 3, p. 9


Omdat iemand deze optie van ons wil kopen en hij daar over een jaar voordeel uit kan halen maar geen nadeel (want hij heeft een recht zonder bijbehorende plicht) krijgt hij deze optie mooi niet gratis van ons: we gaan hem daar een prijs voor vragen. Die weten we nu nog niet, en daarom noemen we die prijs p. Om p te bepalen moeten we een modelletje verzinnen voor de koers van het aandeel over een jaar. Natuurlijk weten we die koers nu nog niet, maar laten we er eens van uitgaan dat die koers over een jaar ofwel 60 euro, ofwel 45 euro zal zijn. In werkelijkheid zijn er nog wel meer mogelijkheden voor de koers over een jaar natuurlijk maar we beginnen met een makkelijk modelletje: het wordt 60 of 45 euro en de kans op beide gevallen is gelijk, dus 21 . Schematisch:

'$ 60 '$ 21 : &% X 50 XXX '$ XXX z &% 1 2 45 &% Schema Aandeel

We weten nog niet wat de prijs p van de optie vandaag is, maar we weten wel wat de optie waard zal zijn over een jaar als de aandeelkoers dan 60 euro is. Immers, we mogen dan met ons optiecontract iets voor 50 euro kopen wat in werkelijkheid 60 euro waard is, dus dat betekent dat de optie netto 10 euro oplevert en ons dus 10 euro waard is. Als de koers van KLM zakt naar 45 euro is onze optie waardeloos (wie wil iets voor 50 euro kopen als je het ook gewoon voor 45 euro op de aandelenmarkt kunt krijgen?). Schematisch wordt dat dus:

'$ 10 '$ 21 : &% X p XXX '$ XXX z &% 1 2 0 &% Schema Call Optie

Hoofdstuk 3, p. 10


We hebben nu al schematisch modelletjes gemaakt voor twee financiële producten, maar we gaan er een derde bij verzinnen, ééntje waar Frank en Marianne, waaghalsjes die het zijn, niet eens aan gedacht hebben: een ordinaire bankrekening. Als je een euro op een bankrekening zet is dat ook een investering, maar het is (bij een beetje betrouwbare bank tenminste) een vrijwel risicoloze investering omdat je precies weet welke rendement je krijgt, de rente op die rekening. Laten we eens aannemen dat we als optiehandelaar bij de bank kunnen beschikken over een bankrekening waar we 4% rente per jaar op kunnen ontvangen. Dan is het schemaatje voor de investering van een euro op die bankrekening:

'$ 1.04 '$ 21 : &% X XXX 1 '$ XXX z &% 1 2 1.04 &% Schema Bankrekening

Je zou dit kunnen interpreteren als: wanneer de aandeelkoers KLM omhoog gaat krijg ik 1.04 euro terug voor mijn ingelegde euro na 1 jaar, en als de aandeelkoers KLM omlaag gaat ook. Daarom is zo’n bankrekening ook risicoloos, want het gedrag van je rendement hangt niet af van wat de koers van KLM het komend jaar gaat doen. Je kunt op zo’n bankrekening trouwens ook rood staan, en dat komt overeen met geld lenen. Als ik dit jaar min één euro investeer (d.w.z. één euro leen) krijg ik over een jaar min 1.04 euro terug (d.w.z. moet ik 1.04 euro terugbetalen). Hoe belangrijk het is om ook een negatief saldo op je bankrekening te kunnen hebben staan, zal je over een paar jaar snel duidelijk worden als je eenmaal student bent.

Hoofdstuk 3, p. 11


En dan nu de het fundamentele principe van de optiehandel: we gaan proberen om het gedrag van de optie op KLM na te spelen met aandelen en de bankrekening. Hoe doen we dat? Op het moment dat we een optie KLM verkocht hebben aan een klant, gaan we ogenblikkelijk φ aandelen kopen (hoe groot deze mysterieuze φ precies is moeten we nog gaan berekenen) en we zetten ψ euro op de bankrekening (ook nog onbekend, en die ψ mag straks trouwens ook best negatief zijn, want dat betekent gewoon dat we wat geld van een bankrekening willen lenen). De vraag is nu: wat kost die handelsstrategie van φ aandelen en ψ euro op de bankrekening ons vandaag precies? Met andere woorden: hoeveel moeten we vandaag investeren om die optie na te spelen? Aangezien een aandeel 50 euro kost is het antwoord uiteraard 50φ + ψ. En wat levert deze strategie ons een jaar later op als de koers van KLM omhoog gaat naar 60 euro? Dan hebben we op 1 januari 2021 nog steeds φ aandelen in onze handen (waarde: 60φ) en daarnaast een bankrekening met daarop 1.04ψ (ons oorspronkelijke bedrag plus rente). In totaal wordt dat dus 60φ + 1.04ψ. Op dezelfde manier kun je nagaan dat, als de koers van KLM omlaag gaat naar 45 euro, we op 1 januari 2021 een waarde van 45φ+1.04ψ in handen hebben. Schematisch kunnen we onze handelsstrategie bestaande uit φ aandelen en ψ euro op een bankrekening dus als volgt weergeven:

'$ 60φ '$ 21 +1.04ψ : &% 50φ X X '$ X XX +ψ XX z &% 1 45φ 2 +1.04ψ &% Schema Handelsstrategie

We willen nu graag dat deze handelsstrategie onze KLM optie ’reproduceert’. Als we het schema van de handelsstrategie vergelijken met het schema voor de optie dan zien

Hoofdstuk 3, p. 12


we dat we eigenlijk willen dat 60φ + 1.04ψ 45φ + 1.04ψ 50φ + ψ

(1) (2) (3)

= 10 = 0 = p

We hebben nu een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden en inmiddels weten we hoe zo’n stelsel kan worden opgelost.

Opdracht 11. Bereken de prijs p van de call optie op KLM.

Gefeliciteerd! Je hebt je eerste opties geprijsd. Voordat je nu de eerste de beste trein naar Amsterdam neemt en op de beurs met miljoenen gaat schuiven, oefenen we nog wat verder om te kijken of je het modelletje een beetje begrepen hebt. Als onderliggende waarde nemen we dit keer het aandeel Philips (huidige koers 25.33 euro) dat over precies 1 jaar (1 januari 2021 dus) ofwel 29.76 euro of 21.56 euro waard zal zijn. De rente is nog steeds 4% over de periode tussen 1 januari 2020 en 1 januari 2021.

Opdracht 12. a. Bereken de prijs van de Januari 2021 Philips Call Strike 24.00. b. Bereken de prijs van de Januari 2021 Philips Put Strike 25.00.

We nemen nu als onderliggend aandeel Unilever met een huidige (dus 1 januari 2010) koers van 61.23 euro. Over precies 1 jaar, dus op 1 januari 2021, zal dit aandeel ofwel 66.10 euro of 52.35 euro waard zijn. De rente is nu 3.5% over de periode tussen 1 januari 2020 en 1 januari 2021.

Opdracht 13. a. Bereken de prijs van de Januari 2021 Unilever Call Strike 62.00. b. Bereken de prijs van de Januari 2021 Unilever Put Strike 65.00.

Het inschakelen van de bank, van een risicoloze investering dus, is een heel knappe vondst geweest van de ontwikkelaars van dit rekenmodel. Uiteraard is de realiteit veel ingewikkelder. Neem alleen maar het feit dat het wel erg simpel is om te veronderstellen dat een aandeel over een tijdje slechts twee waarden kan aannemen en dat je die van te voren ook nog weet! In de praktijk verandert de waarde van een aandeel

Hoofdstuk 3, p. 13


voortdurend en is die waarde binnen bepaalde marges willekeurig. We hebben te maken met randomprocessen. Met bovenstaande methode als uitgangspunt hebben de economen Black en Scholes in het begin van de jaren ’70 diepgaand onderzoek gedaan. Dat heeft uiteindelijk geresulteerd in de beroemde Black-Scholes formule. Daar is een hoop lastige wiskunde aan te pas gekomen, maar je kunt er wel mooi de prijs van een calloptie mee berekenen. Tegenwoordig wordt deze formule over de hele wereld duizenden keren per dag gebruikt om opties te prijzen. Het belang van deze formule is zo groot dat Black en Scholes er de Nobelprijs voor gekregen hebben.

Afsluitende Opdrachten. Afsluitende Opdracht 3.1 Opdracht 14. Bij de berekeningen van het prijzen van opties in dit hoofdstuk zijn we er van uit gegaan dat er voor het onderliggende aandeel slechts twee mogelijke waarden optreden op het moment dat de optie expireert. Dat is niet erg realistisch, maar wanneer we die aanname niet maken, kunnen we het rekenmodel niet gebruiken. Leg uit waarom het rekenmodel niet werkt wanneer we er bijvoorbeeld van uitgaan dat het onderliggende aandeel drie verschillende waarden kan aannemen op de expiratiedatum.

Afsluitende Opdracht 3.2 Bij de berekeningen van het prijzen van opties heb je gezien dat de prijs van de optie afhangt van de volgende vijf gegevens. • De strike K • De huidige (aankoop)waarde van het aandeel S • De twee mogelijke waarden van het aandeel op de expiratiedatum S u en S d • Het rentepercentage r

Hoofdstuk 3, p. 14


Opdracht 15. a. Probeer een formule op te stellen waarmee je de prijs p van een optie rechtstreeks kunt uitrekenen, door bovenstaande gegevens in die formule in te vullen. Maak daarbij, indien nodig, onderscheid tussen callopties en putopties. b. Maak een Excelsheet waarmee je die berekeningen automatiseert. Gebruik de afbeelding op de vorige bladzijde voor de layout. c. Controleer met behulp van dit programma de antwoorden die je hebt gekregen bij de opdrachten 11, 12 en 13.

Hoofdstuk 3, p. 15


Wiskunde D Module Aandelen & Opties Hoofdstuk 4: Binomiale Bomen Nico Alink & Michel Vellekoop

In de eerdere hoofdstukken van deze module hebben we kleine modelletjes gemaakt om opties te prijzen. We deden dat door aan te nemen dat de aandeelprijs de komende tijd (bijvoorbeeld in het komende jaar) twee verschillende waarden aan kon nemen. Door nu te bedenken dat de prijs van de optie over een jaar ook maar twee waarden aan kan nemen (en die waarden te bepalen) bleek dat we de waarde van de optie ’na konden spelen’ met een slim gekozen portefeuille van aandelen en geld. Daarmee kon dan de prijs van de optie bepaald worden. In dit hoofdstuk maken we niet veel gebruik van specifieke voorkennis. We gebruiken het getal e en voor de volledigheid leggen we er in het kort iets over uit. Daarnaast leggen we ook iets uit over de natuurlijke logaritme. Hoewel het principe achter deze methode correct is (en het is inderdaad het principe waar de beurs al meer dan 30 jaar de optiehandel op baseert) is er toch één niet zo realistische aanname gemaakt. Want in de praktijk kan een aandeel volgend jaar niet twee maar heel veel verschillende waarden aannemen. Als bijvoorbeeld een aandeel vandaag 50 euro kost, kan het volgend jaar 65 of 25 euro waard zijn, maar ook 22.45 euro of 69.35 euro. Dit betekent dat, als je de optieprijzen zoals je die in de krant (of op de beursschermen) tegenkomt precies wilt analyseren, je weliswaar hetzelfde principe toe blijft passen (namelijk: speel een optiewaarde na met aandelen en geld) maar grotere modellen moet maken. Bovendien kunnen we niet langer aannemen dat de waarde van een aandeel nu gegeven is en er plotseling over een jaar een nieuwe aandeelprijs staat. Ook daar zullen we nauwkeuriger aandacht aan moeten besteden: hoe de waarde van een aandeel verandert door de tijd heen.

Hoofdstuk 4, p. 1


In de laatste twee hoofdstukken van de module maak je kennis met enkele economen die een model hebben gemaakt, dat je daarbij gaat helpen. Daarmee kun je echte optieprijzen, die we uit de krant of van de beurs halen, heel precies doorrekenen.

Kleinere Tijdstappen Tijdens het doorwerken van deze module heb je al aardig wat opties geprijsd. Voordat je nu de eerste de beste trein naar Amsterdam neemt en op het Rokin met miljoenen gaat schuiven, moeten we nog wel even wat sterke en zwakke punten van ons modelletje doornemen. Niemand gelooft natuurlijk dat de koers van Philips volgend jaar maar twee waarden aan kan nemen, en dat we die twee waarden netjes van tevoren weten. Echte optiemodellen zijn daarom iets gecompliceerder: in plaats van twee verschillende waarden voor Philips werken die met heel veel verschillende mogelijke waarden door niet een tijdstap van een jaar te bekijken, maar meerdere tijdstapjes per jaar. Hieronder zie je bijvoorbeeld een model met 3 stappen van 4 maanden, dan kunnen we dus al 4 verschillende waarden van de Philips aandeelkoers over een jaar modelleren.

41.08 * 34.96 HH j * 29.76 HH 29.76 j * * 25.33 HH 25.33 HH j j * 21.56 21.56 HH j * 18.35 HH j Meerstaps Aandeelschema

15.62

De gemiddelde beurscomputer maakt rustig stapjes van één handelsdag tegelijk en dan kun je dus al 260 verschillende waarden modelleren (nee, geen 365, beurshandelaren hebben ook vrij in het weekend!). We gaan in dit hoofdstuk dus in plaats van modellen met één grote stap van een jaar, modellen met vele kleine stapjes van een dag bekijken. Daarmee zullen we dan een beter model krijgen voor de opties. Wiskundigen gaan nog een stapje verder en die nemen gewoon oneindig veel oneindig kleine tijdstapjes, oftewel een limiet waarbij het aantal tijdstapjes naar oneindig gaat. Maar daar zullen we het pas in het volgend hoofdstuk over hebben! Om te laten zien hoe we de methode uit hoofdstuk 3 kunnen toepassen bij zo’n meerstapsschema, nemen we een deel van dit meerstapsschema en gaan er mee rekenen. Evenals in hoofdstuk 3 gaan we hier de prijs van een calloptie berekenen, die hoort bij dit schema. Voor een putoptie kunnen we later op een vergelijkbare manier de prijs

Hoofdstuk 4, p. 2


bepalen. We nemen de eerste twee stappen en gaan er van uit dat de totale periode een jaar betreft. Het schema ziet er dan als volgt uit.

34.96 * 29.76 HH j * 25.33 25.33 HH j * 21.56 HH j 18.35 Tweestaps Aandeelschema voor Philips

De huidige waarde is dus 25.33 en we bekijken een optie met strike 28.44. Volgens dit schema kan het aandeel over een jaar drie waarden aannemen: 34.96 euro of 25.33 euro of 18.35 euro. Na een half jaar is de waarde van het aandeel 29.76 euro of 21.56 euro. Deze getallen zijn niet helemaal willekeurig gekozen. Er is sprake van een groeifactor per half jaar die in beide perioden even groot is. In ons voorbeeld betekent dit dat 29.76 25.33

=

34.96 29.76

=

25.33 21.56

∼ 1.175,

=

18.35 21.56

=

25.33 29.76

∼ 0.851.

en dat 21.56 25.33

De eerste groeifactor is groter dan 1 en heeft dus een hogere waarde van het aandeel tot gevolg. Daarom wordt deze groeifactor vaak aangegeven met de letter u (van ’up’). De tweede groeifactor is kleiner dan 1 en wordt daarom vaak aangegeven met de letter d (van ’down’). Dus u = 1.175 en d = 0.851. Merk op dat de waarden in het schema zo gekozen zijn dat u · d = 1.

Opdracht 1. Hoe kun je, zonder u en d uit te rekenen, in het tweestapsschema (en ook in het driestapsschema) zien dat u · d = 1 ?

Bij de berekening van de optieprijs maakten we ook gebruik van een rentepercentage dat de bank rekent. Ook nu nemen als rente per jaar 4%. Voor een half jaar is dat een rente van 2%. (Eigenlijk is dat niet helemaal correct, maar daar besteden we later meer aandacht aan. Het is voor ons een goede benadering). We hebben nu alle gegevens bij elkaar om de optieprijs te berekenen volgens hetzelfde model als in hoofdstuk 3. Daarvoor beginnen we ’achteraan’ in het tweestapsschema. We nemen de laatste twee stappen, dus

Hoofdstuk 4, p. 3


34.96 * 29.76 HH j 25.33

Laatste Stap, Boven

25.33 * 21.56 HH j 18.35

Laatste Stap, Onder

Wanneer we het model van hoofdstuk 3 toepassen krijgen we bij deze twee stappen als bijbehorende optieprijzen 3.33 euro resp. 0 euro.

Opdracht 2. Controleer deze twee antwoorden met behulp van het Excelprogramma dat je daarvoor in hoofdstuk 3 hebt geschreven.

We kunnen nu ons tweestapsschema reduceren tot de eerste stap en het daarbij behorende schema voor de optieprijs. Die beide schema’s zien er als volgt uit:

29.76 * 25.33 HH j 21.56

Eerste Stap, Aandeel

3.33 * p HH j 0

Eerste Stap, Optie

En ook nu gebruiken weer het model van hoofdstuk 3. Dat levert ons de volgende vergelijkingen op: 29.76φ + 1.02ψ 21.56φ + 1.02ψ 25.33φ + ψ

= 3.33 = 0 = p

(1) (2) (3)

Hoofdstuk 4, p. 4


en de oplossing hiervan is p = 1.70. En daarmee hebben we de optieprijs berekend die hoort bij het tweestapsschema.

Opdracht 3. Reken even na, dat dit inderdaad de oplossing is van het stelsel vergelijkingen.

Zo, daar komt nog wel wat rekenwerk aan te pas, dus het is wel handig wanneer je Excel (of eventueel je GR) inschakelt. Dat scheelt veel werk en vooral veel tijd.

Opdracht 4. Bereken nu de optieprijs die hoort bij het driestapsschema uit het begin van dit hoofdstuk. We nemen aan dat de strike nog steeds 28.44 euro is en dat het driestapsschema betrekking heeft op een heel jaar.

Opdracht 5. Om de waarde van de optie aan het begin van elke tussenstap van een meerstapsschema te berekenen en daarmee uiteindelijk ook de beginwaarde, dus de ’echte’ optieprijs, heb je een aantal gegevens nodig: • de huidige waarde H van het aandeel; daarmee bedoelen we de waarde van het aandeel aan het begin van zo’n tussenstap. • de rente per periode, uitgedrukt in bijvoorbeeld procenten. • de waarden van u en d. • de beide waarden van de optie (’up’ en ’down’) aan het einde van de tussenstap. Schrijf een Excelprogramma, net zoals in de Afsluitende Opdracht 3.2 is gedaan, waarmee je deze waarden van de optieprijs steeds snel kunt berekenen. De lay-out van dat programma ziet er bijvoorbeeld als volgt uit:

Hoofdstuk 4, p. 5


Opdracht 6. Het is vandaag (nog steeds) 1 januari 2020. We gaan uit van een aandeel AEGON waarvan de huidige koers gelijk is aan 12.32 euro. We kijken naar de volgende optie: Januari 2021 AEGON Call Strike 13.00. De rente per jaar is nog steeds 4%. We nemen u = 1.11 en (dus) d = 1/u ∼ 0.90 per jaar. a. Wanneer we op deze situatie het eenstapsschema toepassen, ziet dat er voor het aandeel uit zoals hieronder aangegeven. Ga dit na en bereken daarmee de prijs van de genoemde calloptie.

13.68 * 12.32 HH j 11.10

Eenstaps Aandeelschema

b. Wanneer we op deze situatie het tweestapsschema toepassen, moeten we natuurlijk wel de waarde van u en d aanpassen. Omdat deze twee getallen de vermenigvuldigingsfactor per √ jaar zijn, geldt voorpeen half jaar als vermengvuldigingsfactoren u = 1.11 ∼ 1.054 en d = 1/1.11 ∼ 0.95. Ons tweestapsschema voor het aandeel ziet er uit zoals hieronder aangegeven. Ga na dat het tweestapsschema inderdaad klopt en bereken met behulp hiervan de optieprijs. Denk er aan dat de rente per half jaar nu 2% bedraagt.

13.68 * 12.98 H j H * 12.32 HH 12.32 j * 11.69 HH j 11.10 Tweestaps Aandeelschema

c. Werk het model nu zelf uit voor het driestapsschema en bereken de bijbehorende optieprijs.

Hoofdstuk 4, p. 6


Opdracht 7. Het is weer 1 januari 2020. We nemen het aandeel AJAX, waarvan de huidige koers gelijk is aan 8.45 euro. We kijken naar de volgende optie: Januari 2021 AJAX Call Strike 10.30. De jaarlijkse rente is nu 3%. We gaan de optieprijs bepalen door gebruik te maken van het vierstapsschema. We verdelen het jaar dus in vier kwartalen. Voor elk kwartaal geldt dat u = 1.042 en dus d = 0.96. Bereken met behulp van deze gegevens de prijs van de genoemde calloptie.

Wanneer je het goed in de gaten hebt, zie je dat de optieprijs in dit meerstapsmodel uiteindelijk alleen afhangt van de rente r, de factoren u en d en de mogelijke waarden van de optie aan het einde van de periode, dus op de expiratiedatum.

Opdracht 8. Ga voor jezelf goed na dat dit inderdaad het geval is.

Herhaling: Logaritmen en Exponenti¨ ele functies We herhalen hier een paar zaken rond het getal e en de natuurlijke logaritme. Het kan zijn dat je daar bij wiskunde B al de nodige aandacht aan hebt besteed. Dat is dan een mooie meevaller. Een exponentiële functie heeft de vorm y = a · g x . In deze formule nemen we aan dat g > 0 en g 6= 1. Dit doen we om problemen te voorkomen. Daarnaast is het zo dat in alle toepassingen deze voorwaarden automatisch vervuld zijn. Voor het gemak nemen we even a = 1 en dus houden we als standaardfunctie over: y = g x . Afhankelijk van de waarde van het grondtal g ziet de grafiek er als volgt uit: Als g > 1 is de grafiek stijgend, dat ligt voor de hand. Verder zijn alle uitkomsten positief (het bereik is < 0, ∞ > ) en de x-as is de horizontale asymptoot. Als 0 < g < 1 is de grafiek dalend. Het zal je niet veel moeite kosten dat snel in te zien. Ook nu zijn alle uitkomsten positief (het bereik is dus weer < 0, ∞ >) en de x-as is nog steeds de horizontale asymptoot. In ons verhaal gebruiken we alleen de eerste situatie, dus g > 1. De inverse van de standaardexponentiële functie is de logaritme.Die speelt hier een belangrijke rol. Vandaar dat we er even over uitweiden. Zoals je weet is bijvoorbeeld 2 log 8 = 3 omdat 23 = 8 en 5 log 25 = 2 omdat 52 = 25. In het algemeen kunnen we schrijven: g log a = b betekent hetzelfde als g b = a. We nemen aan dat hier geldt dat g > 0, g 6= 1 . Uit bovenstaande kun je dan de conclusie trekken dat a > 0 . Dat moet je goed onthouden.

Hoofdstuk 4, p. 7


Een bijzonder geval is de logaritme met grondtal 10. Dat is niet zo verwonderlijk want wij zijn gewend te rekenen in het 10-tallig stelsel. Zo is bijvoorbeeld 10 log 100 = 2 . Je weet vast nog wel dat we afgesproken hebben om het getal 10 weg te laten. We krijgen dus dat 10 log x = log x. Op je Grafische Rekenmachine zit een aparte knop om logaritmen met grondtal 10 snel uit te rekenen (de log-knop natuurlijk). Er is nog een bijzonder geval dat eigenlijk in de wiskunde veel belangrijker is dan 10 log x. Dat is de natuurlijke logaritme, afgekort met ln. Er zijn verschillende manieren om deze te introduceren. Wij gebruiken de volgende manier. Wanneer je de afgeleide van de exponentiële functie f (x) = g x gaat berekenen, zul je zien dat deze afgeleide gelijk is aan de functie f zelf, op een constante factor na. Anders gezegd: f (x) = g x

⇒

f 0 (x) = c · g x

voor zekere constante c. We kunnen dat zien aan de hand van een paar voorbeelden. Neem f (x) = 2x en plot op je GR de grafiek van f 0 (x)/f (x), dan zul je zien dat de grafiek daarvan een horizontale lijn is en wel de lijn y = 0.693 (bij benadering). We kunnen de volgende conclusie trekken: f (x) = 2x

⇒

f 0 (x) = 0.693 · 2x

Op dezelfde manier vind je: f (x) = 3x

⇒

f 0 (x) = 1.099 · 3x

Er zal dus wel een grondtal g tussen 2 en 3 zijn waarvoor die constante factor c precies gelijk is aan 1. Welnu, dat getal is er inderdaad en we geven dat getal in de wiskunde aan met de letter e en het is met stip het belangrijkste getal waarmee je in de financiële wiskunde te maken krijgt. In het programma van wiskunde B krijg je er nog heel veel mee te maken. Voor ons doel volstaan we met de volgende conclusie. f (x) = ex

⇒

f 0 (x) = ex ,

met e ≈ 2.71828...

Wiskundig gezien is dit wel iets wonderbaarlijks: het is een functie waarvan de afgeleide precies hetzelfde is als de functie zelf. Dat is een opzienbarende eigenschap. Terug naar de logaritme, om precies te zijn naar de natuurlijke logaritme, ln. Zoals 2 log x en 2x bij elkaar horen (ze zijn elkaars inverse), horen e log x en ex bij elkaar. En in plaats van e log x schrijven we ln x . Ook hiervoor vind je op je GR een aparte toets. Probeer maar eens ln 2.7182818 na te rekenen. Het antwoord moet je niet verbazen.

Hoofdstuk 4, p. 8


Opdracht 9. Een manier om een goede benadering voor het getal e te krijgen is de volgende som uit te rekenen: 20 X 1 i! i=0

Doe dat maar eens met Excel (verzin een slimme manier om i! uit te laten rekenen!), en controleer je antwoord door Excel ook een precies antwoord te laten geven. Zet daarvoor in een cel =EXP(1). Hoeveel cijfers achter de komma denk je dat Excel meeneemt in zijn berekeningen als je naar de antwoorden kijkt?

Omdat g x en g log x elkaars inverse zijn, hebben hun grafieken veel met elkaar te maken. Ze zijn elkaars spiegelbeeld wanneer je gaat spiegelen in de lijn y = x, de diagonaal van het eerste en derde kwadrant. Dat betekent dat we ook hier onderscheid kunnen maken in twee typen grafieken die horen bij de standaardfunctie f (x) = g log x. Als g > 1 is de grafiek stijgend. Ook nu maken we alleen gebruik van situaties waarin g > 1. Dat komt goed uit want we hebben ons oog speciaal laten vallen op de functie f (x) = ln x. De grafiek daarvan is dus stijgend. Als 0 < g < 1 is de grafiek dalend. Tot slot merken we op dat de functie x → ln x een logaritmische functie is, dus gelden de eigenschappen van de logaritme. Het gaat bij ons om de volgende formules (geldig voor alle a, b, n > 0): ln(a · b) = ln a + ln b ln ab = ln a − ln b ln an = n · ln a

Risiconeutraal Prijzen Een meerstapsschema lijkt heel veel op een kansboom met steeds twee mogelijkheden: de kans op succes en de kans op mislukking. Zo’n kansboom wordt wel gebruikt bij de binomiale kansverdeling. Vandaar dat we dit hoofdstuk de titel Binomiale Bomen hebben meegegeven. Inmiddels zijn we al een heel eind gevorderd met het opstellen van zulke binomiale bomen en het uitrekenen van de bijbehorende optieprijs. Het idee van deze meerstapsschema’s is een grote doorbraak geweest bij het uiteindelijk vinden van een (nogal ingewikkelde) formule waarmee de optieprijs echt kan worden berekend. Daarin gaan we in dit hoofdstuk en in het laatste hoofdstuk nog een paar stappen maken, maar we moeten eerst nog iets rechtzetten.

Hoofdstuk 4, p. 9


Allereerst is het handiger om de rente niet in procenten uit te drukken, maar in een decimaal getal. Zo gebruiken we dus in het vervolg r = 0.04 in plaats van r = 4% . Het is gebruikelijk om daar de naam rentevoet voor te gebruiken. Na opdracht 1 hebben we een aanname gemaakt die we moeten nuanceren. Daar namen we, bij een jaarlijkse rentevoet van 0.04, als rentevoet per half jaar 0.02. En zo doorredenerend als rentevoet per kwartaal 0.01 en per week 0.04/52 = 1/1300 . Dat leverde de volgende conclusie: bij een jaarlijkse rentevoet r is de rentevoet voor de periode ∆t (in jaren) gelijk aan r∆t. Bij een half jaar is ∆t = 12 , bij een kwartaal is ∆t = 14 , enzovoort. Bij het bepalen van de optieprijs moeten we een meerstapsschema maken, dat bestaat uit heel veel stappen, sterker nog: het zou moeten bestaan uit oneindig veel stappen. Immers, de waarde van het onderliggende aandeel verandert continu. Het rekenen met zo’n meerstapsschema is natuurlijk niet mogelijk, maar het betekent wel dat we eigenlijk kijken naar heel kleine tijdsintervallen, bijvoorbeeld een dag, dus ∆t = 1/260 (we tellen de weekenden natuurlijk niet mee). Bij een jaarlijkse rentevoet van 0.04 betekent dit dat de rentevoet per dag dan gelijk is aan 0.04/260 en dus de groeifactor per dag gelijk aan 1 + 0.04 260 . We hebben uiteindelijk de groeifactor op een willekeurig moment nodig en niet meer de groeifactor over een bepaalde periode. Dat betekent dat we kijken naar de situatie waarin ∆t → 0 . Dan nadert de groeifactor naar 1 en tegelijkertijd wordt het aantal tijdsintervallen oneindig groot. Het is dan beter om als groeifactor per periode ∆t niet 1 + r∆t te nemen, maar er∆t . In de afsluitende opdrachten komen we hier nog op terug.

Opdracht 10. Zoals we hierboven hebben opgeschreven, nemen we voor ∆t een heel klein getal. Ook kunnen we er wel van uitgaan dat de rentevoet r ook klein zal zijn. Met klein bedoelen we dan natuurlijk dat beide getallen dicht bij het getal 0 liggen. In die gevallen geldt dat 1 + r · ∆t en er·∆t ongeveer even groot zijn. In de afsluitende opdrachten gaan we daar verder op in, maar hier rekenen we voor enkele gevallen even na, dat dit inderdaad het geval is. a. Neem r = 0.04 en ∆t = 0.01 en bereken beide groeifactoren. b. Neem r = 0.03 en ∆t = 0.05 en bereken beide groeifactoren. c. Neem r = 0.06 en onderzoek voor welke waarden van ∆t beide groeifactoren minder dan 0.0001 van elkaar verschillen.

Met de groeifactor er∆t gaan we in het vervolg werken. We gaan de methode van het prijzen van opties (uit hoofdstuk 3) proberen te vangen in wat algemenere formules. We noemen de huidige aandeelkoers S (van Stock). De waarde van het aandeel een periode later is dan uS of dS met u > 1 en d = 1/u dus d < 1. Het schema voor het aandeel ziet er dan dus als volgt uit:

Hoofdstuk 4, p. 10


'$ uS '$p : &% X S XXX '$ XXX z &%1 − p dS &% Schema Aandeel

Merk op dat we er ook niet meer van uit gaan dat de kans dat het aandeel stijgt in het komend jaar of dat het daalt in beide gevallen 21 is. We hebben de kans op een stijging p genoemd, en de kans op een daling is dan natuurlijk meteen automatisch gelijk aan 1 − p. We maken nu ook een schema voor de optie. Stel dat de strike van de optie gelijk is aan K. We noemen de prijs van de optie vandaag C en die willen we natuurlijk uiteindelijk uit gaan rekenen. We deden dat in Hoofdstuk 3 door eerst eens te kijken wat de optie waard zal zijn aan het eind van de periode als de aandeelkoers dan gestegen is, naar uS euro in ons geval. We mogen dan met ons optiecontract iets voor K euro kopen wat in werkelijkheid uS euro waard is, dus dat betekent dat de optie netto uS − K euro oplevert en ons dus uS − K euro waard is. Daarbij gaan we er natuurlijk wel van uit dat uS > K want we gaan de optie niet uitoefenen als we daardoor geld verliezen natuurlijk !

'$ uS '$p −K : &% X C XXX '$ XXX z &%1 − p 0 &% Schema Call Optie Als de koers zakt naar dS dan is de optie niets waard, want we gaan er van uit dat dS < K wat natuurlijk betekent dat je de optie dan niet moet uitoefenen. We hadden al gezien dat dit kenmerkend is voor Call opties: je kunt er winst mee maken als de aandelenkoers stijgt maar als die koers zakt zijn ze nutteloos en dus waardeloos. Ons schemaatje voor de optie wordt nu dus zoals hiervoor staat afgebeeld.

Hoofdstuk 4, p. 11


Het derde en laatste schemaatje voor de investering op een bankrekening is het makkelijkste van de drie. We zagen al dat als je een euro op de bank zet, je er altijd hetzelfde bedrag voor terugkrijgt, namelijk die ene euro plus een extra rente. Die rente was precies 4% in ons eerdere voorbeeld, maar nu zeggen we dat de rente r is en het hoeft dus niet meer zo te zijn dat r = 0.04, zolang r maar positief is. Bij een jaarlijkse rentevoet r is de groeifactor over een periode ∆t gelijk aan er∆t en het maakt daarbij niet uit of ons aandeel stijgt danwel daalt. Het schema voor de bankrekening ziet er dus als volgt uit:

'$ er∆t '$p : &% XXX 1 '$ XXX z X &%1 − p er∆t &% Schema Bankrekening

Nu hebben we dus algemenere schema’s gemaakt voor onze drie financiele producten, en we gaan nu proberen om precies hetzelfde te doen als in het vorige hoofdstuk, maar dit keer niet met getallen maar met symbolen. Dat wil zeggen: we gaan ons opnieuw afvragen: hoeveel aandelen moet ik kopen en hoeveel geld moet ik op de bank zetten om aan het einde van de periode precies evenveel te bezitten als de optie waard is ? En met precies bedoelen we dan natuurlijk weer: in alle gevallen, of het aandeel nu omhoog of omlaag gaat. Stel dat we φ aandelen kopen en ψ euro op de bank zetten. Dan hebben we aan het eind van de periode bij stijgende aandeelkoersen φ aandelen in ons bezit die elk uS waard zijn, dat wil zeggen dat we φuS euro in aandelen in ons bezit hebben. Daar komt dan nog eens ψ euro op de bank bij en de rente die we daarover verdiend hebben. Oftwel: als de aandeelkoers stijgt is onze portefeuille φuS + ψer∆t waard. En als de aandeelprijs stijgt is de optie uS − K waard. We geven dat bedrag aan met Cu : de waarde van de optie als de aandeelprijs omhoog gaat. Als onze portefeuille het gedrag van de optie moet reproduceren bij stijgende aandeelkoersen moet dus gelden φuS + ψer∆t

= Cu = uS − K.

En hoe zit het als de aandeelkoersen dalen? Dan worden de aandelen dS waard per stuk (dus hebben de φ aandelen in ons bezit samen een waarde φdS) en daarnaast hebben we dan ook ψer∆t op de bank staan. Samen dus φdS + ψer∆t en dat bedrag moet de waarde nul reproduceren, want dat is de optie waard als de aandelen zakken,

Hoofdstuk 4, p. 12


helemaal niks ! We gebruiken de term Cd om de waarde van de optie aan te geven als de koers zakt, en hier is dus Cd = 0. Met andere woorden: in die situatie geldt φdS + ψer∆t

= Cd = 0.

Als we onze φ en ψ dus goed wil kiezen moet er tegelijkertijd gelden φuS + ψer∆t φdS + ψer∆t

= Cu = Cd .

Opdracht 11. Laat zien dat de oplossing van die vergelijkingen gegeven wordt door Cu − Cd S(u − d) uCd − dCu = −e−r∆t (u − d)

φ = ψ

Maar nu weten we ook wat de optie moet gaan kosten! We kunnen het gedrag van de optie immers naspelen met een portefeuille bestaande uit φ aandelen (die kosten v andaag nog S euro) en ψ euro’s op de bank.

'$ uSφ r∆t '$p +ψe : &% Sφ X XXX '$ +ψ XXX z &%1 − p dSφ +ψer∆t &% Schema Handelsstrategie

Dus de portefeuille die over een periode ∆t precies evenveel waard is als de optie, kost ons vandaag φS + ψ. Dan moet de waarde van de optie C ook gelijk zijn aan φS + ψ(1 + r) en we vinden dus C

= φS + ψ =

uCd − dCu Cu − Cd S − e−r∆t S(u − d) (u − d)

Hoofdstuk 4, p. 13


Die behoorlijk gecompliceerde uitdrukking gaan we herschrijven naar een iets overzichtelijkere vorm, door alle termen voor de Cu en de Cd samen te nemen. We vinden dan C

Cu − Cd uCd − dCu = φS + ψ = S − e−r∆t S(u − d) (u − d) r∆t r∆t e − d u − e = e−r∆t Cu + Cd u−d u−d r∆t e −d u − d − (er∆t − d) = e−r∆t Cu + Cd u−d u−d = e−r∆t (qCu + (1 − q)Cd )

waar we een nieuwe constante q hebben ge¨ıntroduceerd die gelijk is aan q

=

er∆t − d . u−d

Opdracht 12. In de praktijk zorgen we er altijd voor dat we de parameters u, d en r zo kiezen dat d < er∆t < u. 1. Kun je een economische redering geven wat er mis zou gaan als er∆t > u ? En wat er mis zou gaan bij er∆t < d ? 2. Laat zien dat d < er∆t < u impliceert dat 0 < q < 1.

De formule die we nu afgeleid hebben voor de optieprijs over een tijdstapje ∆t: C = e−r∆t (qCu + (1 − q)Cd ) ,

met

q=

er∆t − d u−d

(4)

heeft nu een economische interpretatie die ons gaat helpen om veel grotere modellen te maken. We zien dat de waarden die de optie over een jaar aan kan nemen, Cu en Cd vermenigvuldigd worden met twee getallen, q en 1 − q, die allebei positief zijn, en opgeteld precies één zijn. We interpreteren die waarden q en 1 − q dus als nieuwe kansen in dit model. Die kansen staan niet voor de kans dat de aandeelprijs omhoog of omlaag gaat (die hadden we al p en 1 − p genoemd). Het zijn nieuwe kansen die we dan ook een nieuwe naam geven: we noemen ze de risiconeutrale kansen voor het omhoog of omlaag gaan van de aandeelprijs. De formule voor de optieprijs zegt dan: vermenigvuldig de waarden van de optie voor stijgende en dalende koersen met de kansen op stijgende en dalende koersen, en tel ze op. Dat betekent dat we een gewogen gemiddelde of verwachtingswaarde nemen van de optiekoers in de volgende periode. Maar niet de gewone verwachtingswaarde natuurlijk: die zou gebaseerd zijn op de gewone kansen en dus pCu + (1 − p)Cd zijn. In plaats daarvan nemen we de risiconeutrale verwachtingswaarde die gebaseerd is op risiconeutrale kansen, qCu + (1 − q)Cd . En dan moeten we volgens de formule tot slot

Hoofdstuk 4, p. 14


ook nog even vermenigvuldigen met de verdisconteringsfactor e−r∆t . We kunnen dus stellen

De waarde (prijs) van een optie is gelijk aan de verdisconteerde risiconeutrale verwachtingswaarde van de uitbetaling.

Een hele mond vol, maar we hebben het hier dan ook over één van de allerdiepste en allerbelangrijkste resultaten in de financiële wiskunde! Hoe ingewikkeld de producten ook worden, en hoe complex de modellen ook zijn om die producten te prijzen, bovenstaande regel is altijd het basisprincipe waar mee gewerkt moet worden.

Opdracht 13. Stel dat we vandaag wat geld op de bank willen zetten om ervoor te zorgen dat we over een jaar 1 euro op die bank hebben staan. a. Hoeveel euro moeten we op de bank zetten als de rente per jaar 4% is ? We zeggen dat de waarde die je gevonden hebt de verdisconteerde waarde van 1 euro voor een jaar is bij die rente. b. Hoeveel euro moeten we op de bank zetten als we over twee jaar een euro willen hebben en de rente per jaar nu 5% is ? c. Wat is de verdiconteerde waarde van een euro voor 10 jaar als de rente per jaar nu 7% is ?

Conclusie In de vorige secties hebben we gemodelleerd hoe we de waarde kunnen bepalen van een optie die over een tijdstapje afloopt. Dat tijdstapje kon groot of klein zijn. We noemden de tijdstap in jaren ∆t dus we hadden alle vrijheid om de optie over een jaar af te laten lopen (∆t = 1), over een 1 1 ), over een dag (∆t = 365 ), of maand (∆t = 12 welke andere periode we ook maar wilden. We hebben ook gezien dat onze aanpak het altijd mogelijk maakte om de optie te repliceren. Dat wil zeggen: we hadden een handelsstrategie die ons vertelde hoeveel aandelen (die hoeveelheid noemden we φ) en hoeveel geld (die hoeveelheid noemden we ψ) we in een kluis moesten stoppen om ervoor te zorgen dat straks de uitbetaling van de optie en de waarde in de kluis altijd overeenkwamen,

Hoofdstuk 4, p. 15


zowel bij stijgende als bij dalende aandeelkoersen. Dat is ook de reden waarom een optiehandelaar een optie durft te verkopen. Als hij maar netjes zijn berekeningen uitvoert en genoeg aandelen en geld in de kluis stopt kan hem niets overkomen: het bedrag dat hij moet uitbetalen aan de bezitter van de optie heeft hij altijd al klaarliggen in de kluis. We weten nog niet wat er met het aandeel gaat gebeuren (koersen kunnen stijgen of dalen) maar dat geeft niet, omdat de handelaar in alle gevallen goed zit. Als hij echter vergeet om de kluis te vullen, of een rekenfout maakt, dan ligt er straks misschien niet genoeg geld in de kluis en dan loopt hij dus een financieel risico. Namelijk het risico dat hij een uitbetaling moet doen voor de optie die niet gecompenseerd wordt door geld in de kluis, waardoor hij verlies loopt. De handelsstrategie, dat wil zeggen, de formules die wij afgeleid hebben voor φ en ψ, zorgen er dus voor dat bij correct gebruik er geen enkel risico meer is voor de optiehandelaar. Daarom worden de kansen en verwachtingswaarden die we in deze methode gebruiken ook risiconeutraal genoemd. Ze zijn zo gekozen dat er geen enkel risico meer is voor de handelaar.

Opdracht 14. Controleer het antwoord van opdracht 7 nogmaals door de formules in (4) te gebruiken.

Afsluitende Opdrachten. Afsluitende Opdracht 4.1 In dit hoofdstuk hebben we gezien dat we als ’groeifactor’ voor het kapitaal op de bank niet 1 + r∆t nemen, maar er∆t . Deze twee getallen verschillen niet veel van elkaar omdat r en ∆t allebei klein zijn. Daarmee bedoelen we dat r en ∆t ’dicht bij 0 liggen’. We kunnen dit ook anders formuleren. Voor kleine waarden van x geldt ex ∼ 1 + x. Daar gaan we in deze opgave naar kijken.

Opdracht 15. a. Neem x = 0.08 en bereken hoeveel ex verschilt van 1 + x. b. Onderzoek voor welke waarden van x het verschil tussen ex en 1 + x kleiner is dan 0.0001. We gaan het wat formeler aanpakken. Voor kleine waarden van x kunnen we de grafiek van ex goed benaderen door de raaklijn aan deze grafiek in het snijpunt met de y-as. Zie ook de grafiek hierboven. c. Stel een vergelijking op van deze raaklijn. Wat valt je op?

Hoofdstuk 4, p. 16


Afsluitende Opdracht 4.2 Het getal e is dus bij benadering gelijk aan 2.7182818. Er zijn verschillende manieren om het getal e te bepalen. In een eerdere opdracht 9 heb je daar al een voorbeeld van gezien. Aan de hand van het rentebeleid van een nogal kwistige bank kunnen we op een andere manier dit getal berekenen. De bank HKNO (Het Kan Niet Op) heeft een zeer lucratieve spaarrekening in de aanbieding. Het werkt als volgt: HKNO geeft over het ingelegde bedrag per jaar 100% rente. In plaats daarvan kan de klant ook kiezen om na een half jaar 50% uit te laten keren, dat bedrag bij de inleg op te tellen en weer een half jaar later hierover 50% uit te laten keren. Samengestelde interest dus. De tweede mogelijkheid is natuurlijk (nog) aantrekkelijker dan de eerste mogelijkheid.

Opdracht 16. a. Bereken hoeveel dat scheelt wanneer je 100 euro zou hebben ingelegd. HKNO breidt de keuzemogelijkheden uit: verdeel het jaar in 3 gelijke delen en neem aan het eind van elk deel 33 13 % rente. Of 4 delen met telkens 25% rente. In het algemeen: verdeel het jaar in n gelijke delen, neem steeds 100 n % rente en ga uit van samengestelde interest. b. Laat zien dat de inleg aan het eind van het jaar is vermenigvuldigd met factor (1 + n1 )n . Door voor n de getallen 1, 2, 3, 4, ... in te vullen ontstaat een rij bijbehorende vermenigvuldigingsfactoren. c. Laat zien dat deze rij een stijgende rij getallen is. d. Bereken voor welke waarden van n de bijbehorende vermenigvuldigingsfactor groter is dan 2 12 . 1 e. Ga na welke begindecimalen van het getal (1+ 50000 )50000 overeenkomen met die van het getal e.

Het ziet er naar uit dat de groeifactor niet willekeurig groot wordt (gelukkig maar voor de overmoedige bank) maar steeds dichter bij het getal e komt te liggen. Dat is inderdaad het geval en we kunnen dat wiskundig netjes formuleren: lim (1 + n1 )n = e

n→∞

Afsluitende Opdracht 4.3 Natuurlijk is het heel veel werk om bij een meerstapsschema alle tussenstappen in het schema van de optieprijs uit te rekenen. Tot nu toe deden we dat ’met de hand’ of

Hoofdstuk 4, p. 17


met een klein Excel-programma dat voor elke stap de waarde van de optie uitrekende. Het is wel zo handig om over een Excel-programma te beschikken waarmee je bij een tweestapsschema de optieprijs en tegelijkertijd de tussenliggende waarden van de optie berekent.

Opdracht 17. Maak zo’n Excel-programma. Maak daarbij gebruik van de risiconeutrale verwachtingswaarde. Dat wil dus zeggen dat de input zal bestaan uit: • de rentevoet r (per jaar) • de huidige waarde van het aandeel S • de strike K • de waarde van u.

Hoofdstuk 4, p. 18


Wiskunde D Module Aandelen & Opties Hoofdstuk 5: Het Black-Scholes Model Nico Alink & Michel Vellekoop

In de vorige twee hoofdstukken hebben we een model gemaakt om de optieprijs te berekenen. Dat model hebben we verder verfijnd met behulp van de binomiale boom. Daar kwamen al enkele pittige formules uit te voorschijn, waarmee we een aardige benadering van de werkelijke uitkomsten kunnen krijgen. Maar er zitten nog wel enkele knelpunten in het model. Daar gaan we in dit laatste hoofdstuk verder op in, hoewel we met de voor ons beschikbare wiskunde niet in staat zullen zijn om het model helemaal te verfijnen. Daarvoor zijn toch wel enkele (te) forse wiskundestappen noodzakelijk. Na dit hoofdstuk heb je wel een goed beeld gekregen hoe in de financiële wiskunde gebruik kan worden gemaakt van wiskundige modellen. We gaan in dit hoofdstuk in op enkele facetten van ons model, die nog zijn blijven liggen en proberen daarbij duidelijk te maken welke rol deze facetten spelen. Aan het einde van dit hoofdstuk geven we de formule voor de prijs van een calloptie; we gaan er ook een keer mee rekenen. Voorkennis en vaardigheden zijn de (natuurlijke) logaritme en het rekenen met de cumulatieve (standaard)normale verdeling. Beide onderwerpen zullen we nu eerst in het kort herhalen.

De Natuurlijke Logaritme Het meeste dat je er van moet weten, hebben we in het vorige hoofdstuk al aangekaart. Daarom vind je hieronder alleen nogmaals een heel korte samenvatting. De functie f (x) = ln x is de inverse van de functie g(x) = ex . Dat betekent: als ln x = a dan is x = ea . De functie f (x) = ln x heeft als domein h0, ∞i en als bereik h−∞, ∞i . Dit laatste geven we ook wel aan met R, de verzameling van alle reële

Hoofdstuk 5, p. 1


getallen. De functie ln x is een logaritme (de naam zegt het al) en dat betekent dat de eigenschappen van de logaritme gelden. Je vindt ze in hoofdstuk 4 opgesomd. Dan nog even iets over de afgeleide van de functie ln x . Misschien weet je daarover al voldoende uit de wiskunde B-stof, maar we geven het hier toch even in het kort weer. We doen dat hier door gebruik te maken van de kettingregel. Die kunnen we als volgt noteren: (g(f (x))0 = g 0 (f (x)) · f 0 (x) Dit passen we toe op de functie f (x) = ln x en g(x) = ex . Voor die twee functies geldt voor alle x ∈ h0, ∞i dat g(f (x)) = eln x = x. Wanneer we links en rechts differentiëren, vinden we eln x · f 0 (x) = 1 maar eln x = x voor x > 0 dus f 0 (x) = 1/x. Conclusie: de afgeleide van ln x is 1/x . In het vorige hoofdstuk hebben we bij de afsluitende opdrachten ook al aandacht besteed aan de benadering ex ∼ x + 1 voor kleine waarden van x, dus als x ∼ 0. Zo’n benadering kunnen we ook maken voor de functie ln x. Er geldt ln x ∼ x − 1 wanneer x ∼ 1. In een van de afsluitende opdrachten van dit hoofdstuk besteden we hier meer aandacht aan. Voor de volledigheid merken we op dat binnen de wiskunde heel vaak gesproken wordt over de logaritme, waarmee dan bovengenoemde natuurlijke logaritme bedoeld wordt. Het geeft wel aan hoe belangrijk de functie ln x is.

Cumulatieve Normale Verdeling Hiernaast zie je de grafiek van de standaardnormale verdeling. Bij deze grafiek hoort natuurlijk ook een formule en wel f (x) =

1 2 √1 e− 2 x 2π

Zoals je weet, horen bij de standaardnormale verdeling het gemiddelde µ = 0 en de standaardafwijking σ = 1. Deze beide getallen komen terug de in de volgende opgave.

Hoofdstuk 5, p. 2


Opdracht 1. a. Aan de grafiek van de standaardnormale verdeling kun je wel zien dat deze maximaal is wanneer x = 0. Dat moet je natuurlijk kunnen narekenen met behulp van de afgeleide van deze functie. Bereken de afgeleide van de standaardnormale verdeling, bereken voor welke waarde(n) van x de afgeleide gelijk is aan 0 en bereken daarna hoe groot het maximum is van de standaardnormale verdeling. b. Zoals je weet vanuit je wiskunde B kennis, heeft een functie f een buigpunt wanneer f 00 gelijk is aan 0 (en van teken wisselt, maar dat laten we hier maar even voor wat het is). Aan de grafiek van de standaardnormale verdeling kun je wel zien (of op zijn minst vermoeden) dat deze grafiek twee buigpunten heeft. Bereken de tweede afgeleide van de standaardnormale verdeling, bereken daarvan de nulpunten en bereken daarna de coördinaten van de buigpunten van de standaardnormale verdeling.

In de praktijk komt de standaardnormale verdeling nauwelijks voor, in de wiskunde des te meer.

Karl Friedrich Gauss, die leefde van 1777 tot 1855 en een afbeelding van ’zijn’ kromme op het (inmiddels verouderde) duitse biljet van 10 Mark.

Het eerste heeft te maken met het feit dat een normaal verdeelde grootheid (zoals het gewicht van pakken koffie) een gemiddelde µ heeft dat allicht groter is dan 0 (bijvoorbeeld µ = 502 gram) en een standaardafwijking die sterk afhangt van de eenheid waarin de grootheid wordt gemeten (bij pakken koffie zal dat σ ≈ 2 gram zijn of zoiets).

Zoals we eerder hebben gezien, heeft de grafiek van elke normale verdeling de kenmerkende ’klokvorm’ en hij wordt ook wel Gausskromme genoemd omdat de duitse wiskundige Gauss er veel studie naar gedaan heeft. Het ligt dus wel voor de hand dat de formule voor een willekeurige normale verdeling veel lijkt op die van de standaardnormale verdeling. Dat is inderdaad het geval, de formule hangt af van de bijbehorende waarden van het gemiddelde µ en standaardafwijking σ en ziet er als volgt uit: f (x) =

1 √1 e− 2 σ 2π

·

x−µ 2 σ

Deze formule voor de normale verdeling heeft een maximum voor x = µ en buigpunten voor x = µ − σ en x = µ + σ.

Hoofdstuk 5, p. 3


Opdracht 2. Laat dat zien, op dezelfde manier als in onderdelen a. en b. van de vorige opdracht.

We keren terug naar de standaardnormale verdeling. Die is met name van belang omdat we de bijbehorende cumulatieve verdeling veel gebruiken (op je GR is dat de optie ’normalcdf’ of iets dergelijks). Hiernaast is de oppervlakte getekend onder de grafiek van de standaardnormale verdeling links van de lijn x = p. Deze oppervlakte kun je (wanneer je p weet) snel uitrekenen m.b.v. je GR. Voor dergelijke oppervlaktes gebruiken we in de wiskunde een aparte notatie: Φ(p). Die vind je veel in wiskunde- en economieboeken. Om je een idee te geven: Φ(0) = 12 (allicht) en als p > 0 dan is Φ(p) > 12 (ook allicht). Voor de echte liefhebber: er is wel een formule voor Φ(p) en die ziet er nogal indrukwekkend uit: Z p 1 2 √1 e− 2 x dx, Φ(p) = 2π −∞

maar daar valt niet echt fraai mee te rekenen. Gelukkig biedt je GR uitkomst. In de volgende opgave gaan we daar mee oefenen.

Opdracht 3. a. Bereken Φ(−0.6), Φ(2.3) en Φ(6.0). b. Voor welke waarde van p geldt dat Φ(p) = 0.72 ? c. Laat zien dat voor elke waarde van p geldt dat Φ(−p) = 1 − Φ(p). d. Bereken Φ(1) − Φ(−1). e. Bereken Φ(2) − Φ(−2). f. Leg eens uit wat de beide voorgaande vragen te maken hebben met de vuistregels van elke normale verdeling.

Een Beetje Statistiek In het vorige hoofdstuk hebben we aangegeven hoe je de waarde van een optie kunt bepalen als je een aantal belangrijke gegevens verzameld hebt. Je moet weten hoe je optie gedefinieerd is, en hoeveel de optie zal uitbetalen onder de verschillende

Hoofdstuk 5, p. 4


mogelijke toekomstscenario’s. Dat hebben we vastgelegd in de waarden Cu en Cd . Je moet ook weten wat de rentevoet r is, en over welke tijdsperiode de optie tot uitbetaling overgaat, ∆t. En uiteraard moeten we weten wat de huidige waarde van het aandeel S is. Maar dan zijn er nog drie parameters over die wat lastiger zijn, en die de onzekerheid over de toekomstige aandeelprijzen beschrijven. We hebben het dan over de waarden u, d en p. Hoe moeten we die waarden kiezen ? We kunnen natuurlijk gewoon zeggen dat de aandelenprijzen met een bepaald percentage omhoog of omlaag gaan en daar een kans aan verbinden, maar als we straks grotere modellen gaan bouwen, blijkt dat niet erg handig te zijn. Als we bijvoorbeeld zeggen dat een aandeel met 20% omhoog of 10% omlaag gaat (dat wil zeggen u = 1.2 en d = 0.9) dan maakt het natuurlijk erg uit over welke tijdsperiode ∆t we het hier hebben. Voor een periode van een jaar zijn dat redelijke waarden, dus voor ∆t = 1 is dat best 1 (als je uitgaat vab realistisch. Maar voor een periode van een dag oftewel ∆t = 260 260 handeldagen per jaar) zijn dit natuurlijk veel te extreme percentages.

Daar kun je dus aan zien, dat realistische waarden van u en d alleen mogelijk zijn, als die waarden afhangen van de waarde van ∆t. Over kleinere tijdsperioden, dus voor kleine ∆t, verwacht je waarden van u en d die minder extreem zijn dan voor grotere waarden van ∆t. En met minder extreme waarden voor u en d bedoelen we dan waarden die dichter bij 1 liggen, want als u en d dichter bij 1 liggen betekent dit

Hoofdstuk 5, p. 5


dat de waarden van het aandeel in de twee toekomstige scenario’s, uS en dS, dichter bij de huidige waarde S liggen. Oftewel, we willen modelleren dat de aandeelprijs minder verandert in een kleine periode dan in een grote periode. Tegelijkertijd weten we natuurlijk dat sommige aandelen veel meer bewegen dan andere, zelfs als je ze in dezelfde periode bekijkt. Zo zijn er bedrijven die producten maken waarvoor de markt erg onzeker is, en de aandeelkoersen van die bedrijven zijn aan grotere veranderingen onderhevig dan veel andere bedrijven. En omdat het handelen in opties waarvan de waarde veel verandert grotere risico’s met zich meebrengt, moeten we daar natuurlijk rekening mee houden. Optiehandelaren meten de beweeglijkheid van een aandeel met een parameter die ze de volatiliteit noemen, en ze geven die volatiliteit aan met het symbool σ. En hoe is die σ dan precies gedefinieerd? Daarvoor kijken ze naar de standaardafwijking van de rendementen van de aandelen. Als we het rendement R van een aandeel tussen twee tijdstippen t en t + ∆t bekijken, dat wil zeggen Rt = (St+∆t − St )/St , dan is dit op tijdstip t een nog onbekende grootheid. Als we de tijd tussen de twee tijdstippen ∆t nu heel klein kiezen dan kijken we dus naar het rendement over een heel klein tijdsinterval. Je kunt nu laten zien, met behulp van de hierboven besproken benadering van de functie ln x door x − 1 als x dichtbij 1 ligt, dat het rendement over kleine tijdsintervallen te beschrijven is als Rt =

St+∆t −St St

=

St+∆t St

− 1 ≈ ln St+∆t St .

De grootheid R is natuurlijk stochastisch en zal een bepaald gemiddelde en een bepaalde standaardafwiijking hebben. Die standaardafwijking zal afhangen van de hoeveelheid tijd ∆t die er tussen de twee tijdstippen zit, maar als die standaardafwijking zo geschaald wordt dat hij op jaarbasis berekend kan worden, dan noemen we die σ, de volatiliteit. Daarmee is de volatiliteit een naar jaarbasis gestandaardiseerde standaardafwijking van aandelenrendementen, die dus niet zozeer aangeeft of een aandeel stijgt of daalt (dat heeft meer met het gemiddelde rendement te maken), maar hoeveel de aandeelprijs beweegt per tijdseenheid. Deze volatiliteitsparameter σ gebruiken we nu om de goede waarden van u, d en p te vinden. Als de standaardafwijking van het rendement per jaar gelijk moet zijn aan σ dan is√de standaardafwijking over de korte tijdsperiode ∆t die we beschouwen gelijk aan σ dt, en de variantie dus gelijk aan σ 2 ∆t. We moeten nu u, d en p zo kiezen dat het gemiddelde rendement R over het tijdstapje ∆t gelijk wordt aan µ∆t en de variantie gelijk aan σ 2 ∆t. Nu is dat rendement gelijk d·S aan ln u·S S = ln u als we omhoog gaan (met kans p) en ln S = ln d als we omlaag gaan (met kans 1 − p). Je kunt nu laten zien dat hieraan voldaan is als p ln u + (1 − p) ln d p(ln u)2 + (1 − p)(ln d)2 − (µ∆t)2

= µ∆t = σ 2 ∆t

Omdat we drie onbekenden hebben moeten we er nog een vergelijking bij verzinnen, want nu hebben we teveel mogelijkheden. Vaak kiezen we u en d zo dat u = 1/d oftewel ud = 1. Dat betekent dat een aandeelstapje omhoog (vermenigvuldiging met u) en een

Hoofdstuk 5, p. 6


aandeelstapje naar beneden (vermenigvuldiging met d) netto een vermenigvuldiging met ud = 1 oplevert, dus dan zou de aandeelprijs na twee van zulke stapjes weer op de oude waarde uitkomen. De drie vergelijkingen p ln u + (1 − p) ln d p(ln u)2 + (1 − p)(ln d)2 − (µ∆t)2 u

= µ∆t = σ 2 ∆t = 1/d

hebben een ingewikkelde oplossing. Maar voor kleine tijdstapjes ∆t is die heel goed te benaderen met de volgende waarden u = eσ

√

∆t

d = e−σ

,

√

∆t

,

p=

1 2

+

√ 1 µ ∆t 2 σ .

en die zullen we voortaan gebruiken. Nu kunnen we dus onze eigeneerste kleine optiemodelletjes gaan bouwen. We hebben eerder al gezien dat we de parameter p niet nodig hebben voor onze berekeningen dus alleen de waarden van u en d hierboven zijn van belang. We komen dus tot het volgende schema voor het prijzen van een optie met behulp van een eenstapsmodelletje: 1. Bepaal of schat de huidige volatiliteit van het aandeel, σ, de huidige rentestand r, en de huidige waarde van het aandeel S0 . 2. Bepaal het tijdstapje ∆t dat je gaat gebruiken voor de stap in de binomiale boom. 3. Bepaal de waarden van de aandeelstap omhoog u, de aandeelstap omlaag d en de risiconeutrale kans q met behulp van de formules u = eσ

√

∆t

,

d = e−σ

√

∆t

,

q=

er∆t − d u−d

4. Gebruik deze waarden om het volgende boompje voor de aandeelprijs te construeren '$ uS0 '$q : &% X S0 XXX '$ XXX z &%1 − q dS0 &% Schema Aandeel 5. Maak vervolgens ook het schema voor de Optie. Je kunt hierin de waarden Cu en Cd al invullen, want je weet de aandeelprijzen uS0 en dS0 bij de hoge en lage

Hoofdstuk 5, p. 7


aandeelstand, en op grond daarvan kun je bepalen wat de optie zal uitbetalen in de beide gevallen. '$ Cu '$q : &% XXX C0 '$ XXX z X &%1 − q Cd &% Schema Optie 6. Vervolgens kun je de huidige optieprijs C0 uitrekenen met de vergelijking die we eerder afgeleid hebben: C0 = e−r∆t [qCu + (1 − q)Cd ] We gaan dit nu een aantal keer oefenen.

Opdracht 4. Stel dat we een optie willen prijzen met aandeelprijs 99, strike 100 als de tijd tot expiratie 6 maanden is en rente en volatiliteit respectievelijk 4% en 22% zijn. We gebruiken een boompje met één tijdstap zoals hierboven beschreven. a. Bepaal ∆t, u, d, q en vervolgens Cu , Cd en C0 , en gebruik al die gegevens om voor dit geval zowel het schema voor het aandeel als het schema voor de optie in te vullen. b. Herhaal dit voor een volatiliteit die nu 30% is in plaats van 22%.

In het vorige hoofdstuk berekenden we ook hoeveel aandelen we moesten kopen en hoeveel geld we op de bank moesten zetten om geen risico te lopen als we een call optie aan iemand anders verkocht hadden. We noemden die waarden φ en ψ. Ook de meer abstracte methode die we nu beschreven hebben zorgt ervoor dat we geen enkel risico hoeven te lopen als we daadwerkelijk opties gaan handelen.

Opdracht 5. Bepaal de waarden van φ en ψ voor de vorige opdracht, zowel voor geval a. als voor geval b. Kijk desnoods weer even in het vorige hoofdstuk!

Hoofdstuk 5, p. 8


Heel veel kleine tijdstappen De berekeningen die je net gedaan hebt, geven een eerste idee van de optieprijs maar het model is nog niet zo erg goed. We hebben al eerder gezien dat dit te maken heeft met het beperkte aantal mogelijkheden voor de aandeelprijs. Niemand gelooft dat er maar twee mogelijkheden zijn voor de aandeelprijs op een later tijdstip. We gaan daarom nu heel veel van de eenstapsmodelletjes die we in de vorige sectie gedefinieerd hebben achter elkaar zetten om een groot en beter model te maken. Dat doen we uiteraard op dezelfde manier als in het vorige hoofdstuk.

u3 S * u2 S HH j *

S

* HH j

uS HH j

S

uS * H j H

* dS HH j

dS *

d2 S H Meerstaps Aandeelschema

H j d3 S

Hierboven zie je een voorbeeld met drie stappen. De startwaarde van het aandeel noemen we weer S (soms gebruiken we ook de notatie S0 om te benadrukken dat het de startwaarde is van het aandeel). In plaats van het jaar te modelleren met behulp van een grote tijdstap van een jaar zien we hierboven een modelletje waarin we drie tijdstappen van vier maanden nemen. Bij elk tijdstapje kan de aandeelprijs nu omhoog of omlaag gaan en het resultaat is dat nu al vier verschillende aandeelprijzen na een jaar mogelijk zijn. En hier hoeft het natuurlijk niet te stoppen. Als je een dagelijks aandeelstapje maakt heb je na een jaar al 365 + 1 = 366 mogelijke aandeelprijzen. En het aardige is dat zo’n model weliswaar veel groter is dan ons oorspronkelijke model, maar de methode om er optieprijzen mee te bepalen verandert niet. We doen precies hetzelfde als voorheen, maar nu heel veel keren achter elkaar. We beginnen met het construeren van de aandeelboom zoals hierboven met behulp van de waarden u, d en q: u = eσ

√

∆t

,

d = e−σ

√

∆t

,

q=

er∆t − d u−d

Hier hebben we nu natuurlijk te maken met een ander tijdstapje ∆t dan in ons eerdere simpele model. Deze ∆t wordt in jaren uitgerekend dus bij ons model met een tijdstap van een jaar namen we ∆t = 1. Als we het jaar onderverdelen in 3 stapjes 1 . van 4 maanden dan wordt dus ∆t = 14 en als je stapjes per dag neemt zelfs ∆t = 260

Hoofdstuk 5, p. 9


Cu3 ? ?

* HH j ?

* Cu2 ? HH j *

HH j

Cu ?

* HH j

?

*

* HH j

Cd HH j

Meerstaps Optieschema

Cd3

Maar als we zo’n aandeelboom gemaakt hebben die aan het eind allemaal verschillende waarden voor het aandeel heeft gegenereerd, kunnen we ook allemaal verschillende waarden voor de optie aan het eind genereren. Je ziet dat in het schemaatje ingevuld, en we hebben daar die optiewaarden aangegeven met Cu3 , Cu , Cd , en Cd3 . En vervolgens werken we gewoon terug. We kunnen nu de voorlaatste kolom gaan invullen met de eerder gebruikte methode. Bijvoorbeeld: de waarde die aangeduid is met Cu2 moet gelijk zijn aan Cu2 = e−r∆t [qCu3 + (1 − q)Cu ], en alle andere waarden in die kolom kun je op dezelfde manier uitrekenen. Als je dan de hele voorlaatste kolom ingevuld hebt, kun je aan de kolom daarvoor beginnen, en zo werk je terug tot aan het begin. Uiteindelijk staat dan vooraan de correcte waarde voor de optie. Maar je begint dus altijd aan het eind van de boom, in de laatste kolom!

Opdracht 6. Neem dezelfde optie zoals beschreven in opdracht 4a. In die opdracht maakte je een boom met één tijdstap van 6 maanden. We gaan dat nu nog eens overdoen, maar met meer stappen. Je kunt dat het beste in Excel uitvoeren want het is een hoop rekenwerk! a. Maak nu zelf een boom met 2 tijdstappen van ieder 3 maanden, dus met ∆t = 14 . Wat is nu de optieprijs ? b. Maak vervolgens een boom met 3 tijdstappen van ieder 2 maanden, dus met ∆t = 16 . Bepaal opnieuw de optieprijs. c. Maak tot slot een boom met 4 tijdstappen van ieder 1 12 maand, dus met ∆t = 81 en bepaal opnieuw de optieprijs.

Niet alleen hebben we nu een realistischer model gemaakt wat betreft het aantal mogelijke aandeelprijzen aan het eind, we hebben ook het afdekken van risico’s door

Hoofdstuk 5, p. 10


optiehandelaren beter gemodelleerd. Immers, in ons oude model kocht de optiehandelaar een aantal aandelen en zette hij wat geld op de bank om ervoor te zorgen dat de risico’s binnen de perken bleven. Maar hij deed dit slechts eenmaal, aan het begin van de looptijd van de optie. Nu we diverse stappen modelleren kan de optiehandelaar ook diverse keren zijn portefeuille met aandelen en geld aanpassen. En dat is natuurlijk wat er in het echt ook gebeurt. Een handelaar gaat niet een jaar lang duimen draaien om vervolgens aan het eind van de looptijd te kijken of het allemaal een beetje goed gekomen is met de optie. Hij zal veel vaker aanpassingen maken om ervoor te zorgen dat de risico’s binnen de perken blijven. In werkelijkheid checkt een optiehandelaar niet eens per jaar, niet eens per vier maanden of eens per dag zijn portefeuille, maar nog veel vaker. Wiskundig gezien betekent dit dat we steeds grotere bomen moeten gaan bouwen. Je kunt je dan afvragen hoe groot die boom moet zijn om een beetje realistische waarden op te leveren. En wat gebeurt er als je die boom steeds groter maakt?

Grote Bomen en de Centrale Limiet Stelling Zojuist heb je gezien dat we optiemodellen realistischer kunnen maken door meer tijdstappen in te bouwen. Dat gaf meer mogelijkheden voor de aandeelprijzen (en dus voor de optieprijzen) aan het eind van de looptijd, maar leverde ook meer mogelijkheden op voor de optiehandelaar om zijn portefeuille aan te passen. In dit hoofdstuk gaan we onderzoeken wat er gebeurt als we steeds grotere bomen construeren. We beginnen eens met een beperkt aantal stapjes.

Opdracht 7. In de vorige opdracht bepaalde je de waarde van een Call met 1, 2, 3 en 4 tijdstapjes. Doe dat nu ook voor 8 en 16 tijdstappen.

Het is duidelijk dat de waarden veranderen als je meer tijdstappen inbouwt maar voor grotere tijdstappen blijft elke nieuwe waarde wel een beetje in de buurt van de oude waarde. Je kunt je dus afvragen of die waarden, als je dit proces van tijdstapverdubbeling nog een tijdje dor zou zetten, steeds dichter bij een zekere vaste waarde zullen komen. We noemen dit het ’convergeren naar die waarde’ en we noemen die waarde dan de ’limiet’. Die limietwaarde voor de optie heeft als concrete betekenis dat het de correcte waarde van de optie is als de optiehandelaar zijn portefeuille zo vaak aan mag passen als hij maar wil. We zijn daarom zeker ge¨ınteresseerd in die waarde. Maar we kunnen natuurlijk niet modellen van honderden tijdstapjes in Excel gaan zetten, dat is veel te veel werk. Daarom zullen we nu wat wiskunde gaan bespreken om te kijken wat er gebeurt als we steeds meer tijdstapjes maken. De vraag die we ons nu kunnen stellen is: wat gebeurt er als je meer en meer tijdstapjes gaat nemen in de methode die we hierboven beschreven hebben. Of anders gezegd, wat gebeurt er als we steeds kleinere tijdstapjes gaan nemen naar de uitoefendatum van de optie toe ?

Hoofdstuk 5, p. 11


Als we kijken naar het binomiale model voor aandeelprijzen, dan zien we dat we elk tijdstipje een nieuwe waarde voor het aandeel krijgen door de oude waarde te vermenigvuldigen met u of met d waarbij √ √ u = eσ T /n , d = e−σ T /n waarbij T de uitoefendatum was en n het aantal tijdstapjes. Oftewel ∆t = T /n. Als we n groter en groter kiezen dan kunnen we de waarde van het aandeel op de uitoefendatum, dat wil zeggen ST , dus opvatten als het resultaat van een beginwaarde S0 , de waarde van het aandeel nu, dat vervolgens n maal vermenigvuldigd is met steeds nieuwe waarden van een stochastische variabele die telkens de waarde u of de waarde d aanneemt. Het is dus net of we n keer met een munt gooien om de eindwaarde van het aandeel te bepalen, maar er zijn twee belangrijke verschillen. Ten eerste: bij het gooien met een munt is de kans op de twee mogelijkheden gelijk aan een half terwijl hier de kans op u en d verschillend kunnen zijn. En als we n keer gooien met een munt zijn we vaak ge¨ınteresseerd in ’het aantal keer kop’ en dat betekent dus dat we het aantal keren ’kop’ optellen, terwijl we bij een aandeel steeds vermenigvuldigen. We zullen nu uitleggen hoe we sterke wiskundige resultaten voor het gooien met een munt nu toch toe kunnen gaan passen op ons aandeelmodel. Als je heel vaak met een munt gooit dan zal het histogram van de verdeling van het aantal keer ’kop’ ongeveer een binomiale verdeling opleveren met parameters n (die het aantal keer dat je gooit aangeeft) en p = 21 (die de kans1 dat je kop gooit in een worp aangeeft). We zeggen ’ongeveer’ want als je een aantal keer een munt gooit en dan een histogram maakt kan er elke keer weer iets anders uitkomen: we hebben niet voor niets met toevalsvariabelen te maken ! Maar het aardige is dat als je n steeds groter maakt, het histogram steeds beter gaat lijken op de juiste verdeling. Bovendien blijkt dat voor voldoende grote n het histogram gaat lijken op die van een normale verdeling. We zeggen met opzet een normale verdeling want er zijn er natuurlijk een heleboel, afhankelijk van het gemiddelde en de variantie van die verdeling. Wat zouden het gemiddelde en de variantie zijn van het aantal keer ’kop’ als je n keer met een munt gooit? Als we n keer een stochastische variabele X nemen die we de waarde 1 geven als we kop gooien en de waarde 0 als we munt gooien, dan is het gemiddelde per worp natuurlijk EX = 21 . En het gemiddelde van n worpen is dan natuurlijk 12 n. Om de variantie te bepalen kunnen we gebruiken dat als je n onafhankelijke stochastische variabelen bij elkaar optelt, dat je dan ook de varianties op mag tellen. Nu is de variantie van 1 worp gelijk aan Var X = EX 2 − (EX)2 = ( 12 12 + 21 02 ) − ( 12 )2 =

1 4

en de variantie van n worpen is dus 14 n. Als we dus n keer een munt werpen en de uitkomsten Xi , i = 1..n bij elkaar optellen, met Xi = 1 als de i-de worp kop is, en Xi = 0 als de i-de worp munt is, dan vinden we X1 + X2 + ... + Xn ∼ = N ( 12 n, 14 n) 1 Merk

op dat wij er altijd van uitgaan dat een munt zuiver is !

Hoofdstuk 5, p. 12


waarbij je ∼ = moet lezen als ’heeft ongeveer de verdeling van’ en N ( 21 n, 14 n) als ’de normale verdeling met gemiddelde 12 n en variantie 14 n’. Opdracht 8. Gebruik de binomiale verdeling om precies uit te rekenen wat de kans is dat je a. na 10 keer gooien met een munt 4 of minder keer kop hebt gegooid Gebruik vervolgens de bovenstaande benadering met een normale verdeling om uit te rekenen wat de kans is dat je b. na 100 keer gooien met een munt 40 of minder keer kop hebt gegooid c. na 1000 keer gooien met een munt 400 of minder keer kop hebt gegooid

Nu kun je laten zien dat de benaderingsformule die we hierboven geformuleerd hebben voor het gooien van munten, veel algemener is. Een van de krachtigste resultaten uit de kansrekening, de zogenaamde Centrale Limiet Stelling zegt namelijk dat als je de waarden van n onafhankelijke trekkingen uit dezelfde verdeling bij elkaar optelt, het histogram op den duur (dat wil zeggen: voor n groot genoeg) altijd op een normale verdeling gaat lijken! Dit is heel erg bijzonder omdat het dus niet uitmaakt uit welke verdeling je de toevalsvariabelen Xi neemt: als je maar genoeg onafhankelijke trekkingen bij elkaar optelt, komt er op den duur een normale verdeling uit. Het gemiddelde en de variantie van die verdeling zijn dan natuurlijk weer gelijk aan n maal het gemiddelde van 1 trekking, en n maal de variantie van 1 trekking. Kortom, als we n maal een onafhankelijke trekking doen uit een verdeling met gemiddelde µ en variantie σ 2 en we tellen de gevonden waarden Xi bij elkaar op dan vinden we voor grote waarden van n X1 + X2 + ... + Xn ∼ = N (nµ, nσ 2 ). Vaak is het handiger om met de standaardnormale verdeling te werken. Om dat te bereiken halen we aan beide kanten √ van de vergelijking het gemiddelde nµ eraf en delen we door de standaardafwijking nσ 2 . We vinden dan X1 + X2 + ... + Xn − nµ ∼ √ = N (0, 1). σ n Dit resultaat is dus de Centrale Limiet Stelling. Die stelling zegt ook heel precies wat we nu eigenlijk bedoelen met ’benadering’ en ’voor n groot genoeg’, maar daar gaan we hier niet verder op in.

Opdracht 9. Maak histogrammen van een binomiale verdeling met p = 12 en n = 2 trekkingen. Herhaal dit voor n = 5 en n = 20 trekkingen. Wat valt je op ?

Hoofdstuk 5, p. 13


Opdracht 10. In 2000 vonden Amerikaanse presidentsverkiezingen plaats. Zes miljoen mensen in Florida hebben gestemd op Bush of Gore en uiteindelijk bleek het verschil minder dan 300 stemmen te bedragen (volgens de officiële telling was het Bush die meer stemmen kreeg, later is vastgesteld dat in werkelijkheid Gore meer stemmen heeft gekregen). Laat B het aantal stemmen voor Bush zijn dan is het aantal stemmen voor Gore 6000000 − B en het verschil dus V = B − (6000000 − B) = 2B − 6000000. Als het aantal stemmen voor Bush, B, binomiaal verdeeld is met kans p = 12 en n = 6000000 dan is het gemiddelde van V dus gelijk aan nul en de variantie ongeveer gelijk aan 2450. a. Laat dat zien. b. Gebruik de normale verdeling om uit te rekenen wat de kans is dat het verschil V niet meer dan 300 is, dat wil zeggen bepaal de kans dat −300 < V < 300. c. Herhaal deze berekening, maar ga er nu van uit dat de kans p niet gelijk is aan 21 maar 0.5001. Wat valt je op, en kun je dit verklaren ?

We hebben nu dus vastgesteld wat er gebeurt als je heel veel stochastische variabelen bij elkaar optelt die allemaal onafhankelijk zijn en allemaal uit dezelfde verdeling komen. Maar in ons model voor aandeelprijzen waren we in iets anders ge¨ınteresseerd. Daar begonnen we namelijk met een startwaarde S0 en vervolgens vermenigvuldigden we die steeds met trekkingen uit dezelfde verdeling, n in totaal. We kunnen dus stellen dat ST = S0 · X1 · X2 · X3 · ... · Xn

(1)

waarbij alle trekkingen Xi onafhankelijk zijn en dezelfde verdeling hebben met P(Xi = u) P(Xi = d)

= q = 1−q

met u = eσ

√

T /n

,

d = e−σ

√

T /n

,

q=

erT /n − d u−d

Opdracht 11. Laat zien dat EXi = erT /n

(2)

Hoofdstuk 5, p. 14


En wat kunnen we nu precies zeggen over de verdeling van ST ? Op het eerste gezicht niet veel. Als ST het resultaat zou zijn geweest van heel veel optellingen van onafhankelijke trekkingen dan konden we de Centrale Limiet Stelling gebruiken. Eigenlijk zouden we dus graag vermenigvuldigingen willen vervangen door optellingen. En dat kunnen we doen door de logaritme te nemen. Als we links en rechts van het gelijkteken de logaritme nemen in vergelijking (1) vinden we immers ln ST = ln S0 + ln X1 + ln X2 + ln X3 + ... + ln Xn . Oftewel: ln ST krijg je door te beginnen met een vaste waarde ln S0 , om daar vervolgens n onafhankelijke trekkingen van dezelfde stochastische variabele (de logaritme van de oude variabele) aan toe te voegen. Maar als de variabelen Xi allemaal dezelfde verdeling hadden, dan hebben al die variabelen ln Xi ook allemaal dezelfde verdeling. En als alle trekkingen Xi onafhankelijk waren, dan zijn de ln Xi dat ook. En dus mogen we de Centrale Limiet Stelling toepassen. Het resultaat dat we dan krijgen is enorm belangrijk voor de financiële wiskunde: Als we het aantal tijdstappen in een binomiale boom laten toenemen, gaat de verdeling van de logaritme van de aandeelprijs op de uitoefendatum, dus ln ST , steeds meer op een normale verdeling lijken. We zeggen dat een stochastische variabele waarvan de logaritme een normale verdeling heeft, zelf een lognormale verdeling heeft. Dus ’lognormale verdeling’ betekent gewoon dat de log normaal verdeeld is. Anders gezegd: je kunt die variabele opvatten als de e-macht van een normaal verdeelde variabele.

Opdracht 12. a. Simuleer 1000 standaardnormaal verdeelde variabelen Yi en bereken vervolgens de 1000 waarden van Zi = eYi . Maak een histogram van de waarden van Zi . b. Leg uit dat Z een lognormale verdeling heeft.

We kunnen ons nu natuurlijk afvragen wat het gemiddelde en de variantie van ST zal zijn. Het gemiddelde kun je zelf berekenen.

Opdracht 13. Laat met behulp van vergelijkingen (1) and (2) zien dat EST = S0 erT .

De variantie is een stuk ingewikkelder, dus die slaan we hier maar even over. En wat is nu het belang van dit alles ? Wat hebben we eraan dat we weten dat in het binomiale model een groot aantal tijdstappen n de verdeling van ST bekend is, en wel een lognormale verdeling waarvan we het gemiddelde en de variantie weten? Omdat je dan kunt laten zien dat er een expliciete formule mogelijk is voor de optieprijs

Hoofdstuk 5, p. 15


van een call (of een put). Immers, als we in onze binomiale bomen de optiewaarde bepalen door terug te rekenen van de eindwaarden op tijdstip T naar de huidige waarde op tijdstip nul, nemen we eigenlijk een hele ingewikkelde verwachtingswaarde. Een verwachtingswaarde van een stochastische variabele die het resultaat is van heel veel stapjes in de binomiale boom. Als we de verdeling van ST aan het eind in een keer kunnen beschrijven door te zeggen dat die lognormaal is, kunnen we ook die verwachtingswaarde in een keer bepalen, zonder alle tussenstapjes te maken. De berekening van die verwachtingswaarde is te ingewikkeld om hier te laten zien, maar het resultaat kunnen we wel tonen. Dat is de wereldberoemde Black-Scholes formule.

De Black-Scholes Formule Er blijkt dus dat je een precieze formule voor een call optie kunt geven. De economen Black en Scholes hebben die het eerste gevonden.. Deze Black-Scholes formule ziet er als volgt uit: p

= S·Φ

ln(S/K) + (r + 12 σ 2 ) · T √ σ T

−rT

− Ke

·Φ

ln(S/K) + (r − 12 σ 2 ) · T √ σ T

waarin Φ de normale verdelingsfunctie is, p de prijs van de calloptie, S de huidige aandeelkoers, K de strike, T de tijd to expiratie (in jaren), σ de volatiliteit van het aandeel (per jaar) en r de rentevoet (per jaar). Daar gaan we eens wat mee oefenen.

Opdracht 14. Bepaal met behulp van de Black Scholes formule de prijs van een call optie die nog 5 maanden te gaan heeft tot expiratie, als de aandeelprijs en strike beide gelijk zijn aan 10 euro terwijl de rente 4% is en de volatiliteit 25%. En doe dat dan nog eens, maar nu met een aandeelprijs en strike die beide 20 euro zijn (de andere waarden blijven hetzelfde). Wat valt je op, en kun je dat verklaren?

Opdracht 15. Gebruik de Black Scholes formule om de prijs van de call optie uit opdracht 4a te bepalen. Vergelijk het antwoord met de benaderingen die je gemaakt hebt in opdracht 6 en opdracht 7. Als het goed is moet je in opdracht 7 dicht in de buurt van de Black-Scholes waarde gekomen zijn!

In de praktijk is het voor optiehandelaren met name heel belanhgrijk hoe de waarde van een optie verandert als er iets verandert in de markt. Er kan bijvoorbeeld een nieuwe aandeelprijs op de handelsschermen verschijnen, waardoor de waarde van de optie toe of af kan nemen. Maar we hebben gezien dat de optiewaarde ook afhangt van de strike en van de tijd die nog resteert tot de uitoefendatum. Die laatste variabele,

Hoofdstuk 5, p. 16


de resterende looptijd, verandert natuurlijk doorlopend want elke seconde komen we dichter bij de uitoefendatum dus de resterende tijd gaat doorlopend naar beneden.

Opdracht 16. Laat S = K = 100, t = 1, σ = 0.30 en r = 0.04. Maak met behulp van de Black-Scholes formule grafieken van de optieprijs als a. de waarde van S varieert tussen 70 en 130 (Teken dus een grafiek van de optiewaarde p op de y-as, als functie van de huidige aandeelprijs S op de x-as). Leg uit waarom de grafiek stijgt. b. de waarde van K varieert tussen 70 en 130. Leg uit waarom de grafiek daalt. c. de waarde van T varieert tussen 0.05 en 1. Leg uit waarom de grafiek stijgt. Waarom laten we T = 0 buiten beschouwing in de Black-Scholes formule ?

De Black-Scholes formule is zo beroemd en wordt dagelijks zo vaak gebruikt dat de ontdekkers er een Nobelprijs in de economie voor gekregen hebben.

Scholes krijgt de Nobelprijs voor zijn formule (Black was al overleden)

Hoofdstuk 5, p. 17


Merk op dat je voor het invullen van de formule opnieuw die mysterieuze parameter σ, de volatiliteit, moet weten. De waarde van een optie op een aandeel hangt dus niet alleen af van de huidige aandeelkoers maar ook van hoe beweeglijk de aandeelkoers in de toekomst is. Immers, als je een momenteel waardeloze optie in handen hebt (een toekomstig kooprecht voor een prijs van 40 euro als de huidige aandeelkoers 35 euro is bijvoorbeeld: heb je op dit moment duidelijk niets aan) kan die in de toekomst wel meer waard worden (bijvoorbeeld doordat de koers naar 45 euro stijgt terwijl jij je kooprecht op 40 euro houdt!). Hoe meer een aandeelkoers beweegt, hoe groter de kans is dat er een koers zal ontstaan die voor jouw optie gunstig uitpakt. De volatiliteitswaarde σ meet deze beweeglijkheid (volatiliteit is een ander woord voor ’beweeglijkheid’). We zagen eerder dat deze σ gedefinieerd is als de jaarlijkse standaardafwijking van de natuurlijke logaritme van de aandeelkoers en voor Nederlandse aandelen ligt die typisch rond 0.20 of 0.30 in normale perioden. Maar tijdens onzekere perioden (als aandelen heftig bewegen) kan σ toenemen. In de periode direct na de terroristische aanslagen van 11 september 2001 stond de volatiliteit soms rond 0.40!

Opdracht 17. • We analyseren een optie (S = 25.33, K = 24, t = 1, r = 0.04) met behulp van Black-Scholes formule. Teken een grafiek van de optiewaarde p (op de y-as) als functie van de volatiliteit σ (op de x-as) voor waarden van σ tussen 0.10 en 0.60. • Check dat meer beweeglijkheid in een aandeel de prijs van opties op dat aandeel inderdaad laat stijgen. • Stel dat we deze optie zien staan in de krant met een prijs van 4.26 euro. Bepaal met behulp van je grafiek welke waarde de volatiliteit σ in ons model blijkbaar had. • Gebruik nu die waarde van σ om m.b.v. de Black-Scholes formule een prijs te bepalen voor de 1 januari 2013 Call met strike 26.00 euro.

Wat je net gedaan hebt is heel typerend voor de manier waarop optiehandelaren in de praktijk met de Black-Scholes formule omgaan. Ze gebruiken marktgegevens en eerder geprijsde opties om een idee te krijgen van de volatiliteit σ van het onderliggend aandeel. Wanneer ze die eenmaal gevonden hebben, gebruiken ze de formule om andere opties te prijzen. Dat blijkt in de praktijk enorm goed te werken. Tot slot een kleine waarschuwing. Je hebt in deze opdracht een paar basisprincipes van het beleggen in aandelen en opties leren kennen, maar de echte modellen in de financiële wiskunde zijn vele malen complexer dan wat je nu gezien hebt. Het toepassen van deze modellen in de praktijk is dus lastig, en geheel voor je eigen risico.

Hoofdstuk 5, p. 18


Afsluitende Opdrachten. Afsluitende Opdracht 5.1 Bij de herhaling van de logaritme, in het begin van dit hoofdstuk, is sprake van de benadering ln x ∼ x − 1 wanneer x ∼ 1 .

Opdracht 18. Laat zien dat deze benadering juist is door gebruik te maken van dezelfde methode als bij de afsluitende opdracht 4.2.


Opdracht 19. Pak een krant waarin de optieprijzen van vandaag staan, of zoek naar optieprijzen op internet. Neem een aandeel uit de AEX naar keuze en zoek de huidige koers op. Pak vervolgens een call optie met een strike die dicht bij de koers van vandaag ligt (een zogenaamde at-the-money optie), kijk wat de tijd tot expiratie is (in jaren!) en gebruik de Black-Scholes formule om voor dit aandeel de volatiliteit σ te schatten. Kijk of die een beetje redelijk is (hij moet zeker tussen 0.10 en 0.50 liggen) en als dat niet zo is, pak je een ander aandeel of zoek je de fout in je berekeningen. Vervolgens kijk je welke andere call opties er zijn op hetzelfde aandeel maar met andere expiratietijden en/of andere strikes, en je berekent wat de Black-Scholes formule voor prijzen voorspelt voor die andere call opties. Klopt het een beetje? Kun je bedenken waarom prijzen redelijk in de buurt zitten maar toch van het theoretische model afwijken?

Hoofdstuk 5, p. 19

Wiskunde D Module Aandelen & Opties

Recommend Documents