Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze

Příjmení a jméno

1

2

3

4

5

BONUS

CELKEM

ˇ 01MAB3 Zkoušková písemná práce cˇ . 1 z pˇredmetu 14. ledna 2016, 9:00 – 11:00

(13 bod˚u) Pro kvadratickou plochu x2 − 4xy + 5y2 + 2xz + 2yz + 10z2 + 2y + 4z = 3

urˇcete hlavní a vedlejší signaturu a normální tvar vˇcetnˇe afinní transformace (x, y, z)T = M (a, b, c)T + (r, s, t)T ,

která ji na tento tvar pˇrevádí. Jaký je název této kvadriky? Pokud je kvadrika centrální, urˇcete její stˇred.

(10 bod˚u) Rozhodnˇete, zda platí rovnost !0 +∞ +∞ X d X 1 1 n+1 n+1 (−1) (−1) = ∀x ∈ R. √ √ dx n=1 2x2 + 4n2 n=1 2x2 + 4n2

Korektnˇe a velmi detailnˇe zd˚uvodnˇete!!

(10 bod˚u) Naleznˇete obecné ˇrešení diferenciální rovnice x2 y00 − 5x2 + 4x y0 + 6x2 + 10x + 6 y = 0

i diferenciální rovnice

y000 − 6y00 + 12y0 − 8y = 0. Nápovˇeda: Rovnice jsou sestavené tak, že mají neprázdný pr˚unik fundamentálních systém˚u.

(10 bod˚u) Naleznˇete Maclaurinovu ˇradu funkce a její obor konvergence.

√ f (x) = ln x + 1 + x2

(7 bod˚u) Pˇredstavte si, že cestujete po prostoru spojitých funkcí C (h0, 1i), kde je definován skalární souˇcin Z1 f (x) g (x) dx ∀ f, g ∈ C (h0, 2πi) , h f | gi = 0

který indukuje (generuje) pˇríslušnou normu a metriku. Chcete se dostat z bodu θ do bodu h a na mapˇe zjistíte, že m˚užete cestovat bud’ pˇres f , nebo pˇres g. Pˇritom ∀x ∈ h0, 1i platí θ (x) = 0,

h (x) = x2 , f (x) = x + 1, g (x) = 2x. Která z tˇechto dvou cest je kratší?

Pokyny k vypracování: Na zaˇcátku máte k dispozici 10 papír˚u. O další papíry si v pˇrípadˇe potˇreby neváhejte ˇríci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují finální ˇrešení pˇríklad˚u (nikoliv pomocné poznámky apod.) Zaˇcínejte každý pˇríklad na novém papíru. Na každý papír napište do pravého horního rohu svoje jméno a do levého horního rohu výraznˇe vyznaˇcte cˇ íslo pˇríkladu. • Pište cˇ itelnˇe a myšlenky formulujte srozumitelnˇe! +∞ P n Pˇríklad: Vypoˇcítejte obor konvergence mocninné ˇrady nx • • • •

n=1

Správná argumentace:

Špatná (zcela zmatená) argumentace:

Nejprve polomˇer konvergence: L = lim n+1 = lim 1 + 1n = 1 n

1 R

n→+∞

n→+∞

=⇒ R = L1 = 1 =⇒ O = / − 1, 1/ (kde "/" je „ˇcárkovaná závorka“ zatím nevíme, zda kulatá cˇ i hranatá) a zbývá vyšetˇrit krajní body: +∞ +∞ P P pro x = 1: n · 1n = n n=1

= lim n+1 = 1 + 1n = 1 n O = (−1, P 1) kraje: n divg. (to je vidˇet) O = (−1, 1) (zde lze jen "tušit", jak je to asi myšleno)

n=1

..diverguje - není splnˇena nutná podm. konvergence. +∞ P pro x = −1: n · (−1)n diverguje ze n=1

stejného d˚uvodu =⇒ O = (−1, 1) .

ˇ • Opravující mají právo vylouˇcit z opravování písemné práce, resp. jejich cˇ ásti, které nesplnují uvedené pokyny. Bodové hodnocení takové práce, resp. její cˇ ásti, je 0 bodu. ˚



1

2

3

4

5

BONUS

CELKEM

ˇ 01MAB3 Zkoušková písemná práce cˇ . 2 z pˇredmetu 21. ledna 2016, 9:00 – 11:00

(9 bod˚u) Sestavte mocninnou ˇradu, jejíž souˇcet je roven integrálu Zx 2 1 − e−t I (x) = dt t2 0

a urˇcete její obor konvergence O. Dále rozhodnˇete, zda uvedená ˇrada stejnomˇernˇe konverguje na O. Velmi peˇclivˇe zd˚uvodnˇete všechny kroky.

(9 bod˚u)

Naˇcrtnˇete množinu M ⊂ R2 , ρ2 zadanou pˇredpisem M = (A ∪ B) \ (A ∩ B), kde 2 2 A = h−1, 1) × (0, 2) , B = x, 2x ∈ R x ∈ R .

Poté naˇcrtnˇete a pomocí matematických formulí (tj. podobnˇe jako v definici samotné M) popište množiny 0 0 ¯ E = der M , F = (der (M))0 . Nakonec najdˇete pˇredpis pro metriku χ (x, y) tak, aby C = M , D = M, χ U5

((0, 1)) = F.

Pokyny k náˇcrtk˚um: Nakreslete osy souˇradné soustavy. Plnou cˇ arou vyznaˇcte hranici množiny, která do ní patˇrí, pˇrerušovanou cˇ arou hranici, která do ní nepatˇrí. Kde je to potˇrebné, vyznaˇcte plným koleˇckem bod, který do množiny patˇrí, prázdným koleˇckem bod, který do ní nepatˇrí. Plochu patˇrící do množiny vyšrafujte.

(11 bod˚u) Pro kvadratickou plochu x2 + 12z + 6xz − 5 − 2y + 17z2 + 4x + 2y2 − 2xy = 0

v prostoru R3 stanovte hlavní a vedlejší signaturu, normální tvar a název. Najdˇete vektory pˇríslušné polární báze. Rozhodnˇete, zda jde o plochu centrální a pokud ano, pˇríslušný stˇred vypoˇcítejte. Poznámka: Numerické chyby se v tomto pˇríkladˇe netolerují!

(9 bod˚u) Naleznˇete obecné ˇrešení diferenciální rovnice x2 y00 − 2x (1 + x) y0 + 2 (1 + x) y = 8x3 e2x .

Nápovˇeda: M˚užete použít fakt, že pˇríslušnou rovnici s nulovou pravou stranou ˇreší funkce v (x) = x.

Pokraˇcování na další stránce!

(12 bod˚u) Naleznˇete ortonormální bázi podprostoru p0 , p1 , p2 λ ⊂⊂ C (h0, +∞))

kde

p0 (x) = 3, p1 (x) = π + ex, p2 (x) = e + πx + eπx2 . Skalární souˇcin je na C (h0, +∞)) zaveden vztahem Z+∞ xe−x f (x) g (x) dx. h f | gi = 0

ˇ Nápovˇeda: 1) Jak vypadají prvky lineárního obalu p0 , p1 , p2 λ ? 2) Cemu se rovná In =

+∞ R

xn e−x dx?

0


n=1



Nejprve polomˇer konvergence: = lim 1 + 1n = 1 L = lim n+1 n

1 R

n→+∞

n→+∞



n=1






1

2

3

4

5

BONUS

CELKEM

ˇ 01MAB3 Zkoušková písemná práce cˇ . 3 z pˇredmetu 1. února 2016, 9:00 – 11:00

(8 bod˚u) Abelovým kritériem vyšetˇrete stejnomˇernou konvergenci ˇrady +∞ X (2n)!! n2 (−1)n (2n + 1)!! n2 + x2 n=1

na R. Je možné použít i Weierstrassovo kritérium?

(10 bod˚u) Mezi formálními ˇrešeními diferenciální rovnice 2

0

y =

3 yx2 − 6 yx − 3 2

3 yx2 + 6 yx − 3

je i kružnice o polomˇeru R = 5. Naleznˇete její stˇred.

(12 bod˚u) Rozhodnˇete, zda kvadratická forma q (x, y, u, v) = −2u2 + 2uv + 5v2 − 6vx + 2x2 − 8uy − 4vy + 2xy − y2

m˚uže mít polární bázi ve tvaru

n o BP = (1, 0, 0, 1)T , (2, 1, −1, 2)T , (7, 2, −1, 5)T , w .

Pokud ano, urˇcete neznámý vektor w a stanovte signaturu formy q. Poznámka: Numerické chyby se v tomto pˇríkladˇe netolerují!

(9 bod˚u) Necht’

+∞     Z       2 −x (h0, (x) H = f ∈ C +∞)) f e dx < +∞        0

je prostor se skalárním souˇcinem

1 h f | gi = 120

Z+∞

f (x) g (x) e−x dx,

0

který indukuje (generuje) pˇríslušnou normu a metriku. Naleznˇete množinu M = { m ∈ N0 | o ∈ U6 ( fm )} , 3

kde o je nulová funkce o (x) = 0 a fm (x) = x 2 m . Dále urˇcete, cˇ emu se rovná fm0 (−4) pro m0 = min (M).

(11 bod˚u) Naleznˇete souˇcet cˇ íselné ˇrady

+∞ X (−1)n . 2−n 2n n=1


n=1




1 R

n→+∞

n→+∞



n=1






1

2

3

4

5

BONUS

CELKEM


(9 bod˚u) Naleznˇete dvˇe ˇrešení exaktní diferenciální rovnice (cy − bx) y0 = ax + by,

která jsou ve tvaru pˇrímky procházející bodem (0, 0). Urˇcete podmínku pro parametry a, b, c ∈ R+ ve tvaru závislosti b = b (a, c) tak, aby uvedené dvˇe pˇrímky byly na sebe kolmé pˇri skalárním souˇcinu ! 1 1 T u. hu| ui = u 1 2 Nápovˇeda: Prozradili jsme vám typ rovnice. Chtˇeli jsme vám tím usnadnit práci?

(15 bod˚u) ˇ Rešte diferenciální rovnici

5 X

a j x j y( j−1) (x) = b

j=1

T

pro a = (24, 0, −12, 4, 1) , b = 120 a x > 0. Nápovˇeda: Nˇekde uhodnete, že nˇeco je rovno −1 a +2.

(6 bod˚u) ha,bi

Necht’ gn ∈ C (ha, bi) a gn ⇒ g. Dokažte, že v Hilbertovˇe prostoru C (ha, bi) se skalárním souˇcinem Zb f (x) g (x) dx h f | gi = a

a pˇríslušnou normou a metrikou, které jsou tímto skalárním souˇcinem indukovány (generovány), platí lim gn = g.

n→+∞

(10 bod˚u) Naleznˇete všechny hodnoty parametru µ ∈ R, pro které je kvadratická forma negativnˇe definitní.

q (x, y, z) = −x2 − y2 − z2 − 4µ (xy + xz + yz)

(10 bod˚u)

V metrickém prostoru R2 , ρ J s modifikovanou skokovou (jump) metrikou definovanou jako ρ j (x, y) = d2 |y1 − x1 |e + 2 d|y2 − x2 |e

vykreslete tvary okolí U5 ((0, 0)) a U6 ((0, 0)) a rozhodnˇete, zda jsou to v tomto prostoru množiny otevˇrené cˇ i uzavˇrené.


n=1




1 R

n→+∞

n→+∞



n=1






1

2

3

4

5

BONUS

CELKEM


(16 bod˚u) Naˇcrtnˇete co nejpˇresnˇeji kuželoseˇcku, která pˇredstavuje formální ˇrešení diferenciální rovnice s poˇcáteˇcní podmínkou 2y (x + 2y) ; y (−2) = 1. y0 = 2 x − 8y2 Nápovˇeda: Pˇri tvorbˇe náˇcrtku m˚uže pomoci znalost stˇredu kvadriky (pokud existuje), pr˚useˇcík˚u s osami (pokud existují), vektor˚u polární báze, asymptot (pokud existují) apod. Zvažte sami, co z toho se bude nejlépe hodit!

(8 bod˚u) Vypoˇcítejte

+∞ 2 X n n=0

5n

.

(12 bod˚u) Naleznˇete neznámé vektory u, u v souboru

S = (−1, 1, −1)T , u, u

tak, aby platily následující podmínky: (1) S je polární bází kvadratické formy

q (x1 , x2 , x3 ) = −7x32 − 2x22 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 8x2 x3 ,

(2) Pˇri standardním skalárním souˇcinu na R3 je h u| e1 i = 0. Urˇcete signaturu formy q. V závislosti na parametru µ ∈ R poté diskutujte, jakou kvadriku definuje rovnice q (x) − µ = 0.

Poznámka: Urˇcení názvu kvadriky v závislosti na µ je významnˇe hodnoceno. Pokud si nepamatujete názvy podle tvaru Q, m˚užete použít metodu ˇrez˚u.

(9 bod˚u) Necht’ jsou v pro každé x, y ∈ R2 definována zobrazení

ω J (x, y) = b2 |y1 − x1 |c + 2 b|y2 − x2 |c , ρ J (x, y) = d2 |y1 − x1 |e + 2 d|y2 − x2 |e .

Ovˇeˇrte, zda ω J a ρ J jsou metriky, a postup detailnˇe komentujte.

(7 bod˚u) Naleznˇete funkci f : R → R, pro kterou platí

f (1) = 6, f 0 (1) = 5, f 00 (1) = 4, f 000 (1) = 3

a dále

f (k) (1) = 2

∀k ∈ N, k > 3.


n=1




1 R

n→+∞

n→+∞



n=1






1

2

3

4

5

BONUS

CELKEM

ˇ 01MAB3 Zkoušková písemná práce cˇ . 6 z pˇredmetu 10. kvˇetna 2016, 9:20 – 11:20

(12 bod˚u) Pro kvadratickou plochu 2x + x2 − 6y − 2xy + 2y2 + 4z − 4xz − 2yz + 12z2 = 0

urˇcete hlavní a vedlejší signaturu a normální tvar vˇcetnˇe afinní transformace (x, y, z)T = M (a, b, c)T + (r, s, t)T , která ji na tento tvar pˇrevádí. Jaký je název této kvadriky? Poznámka: Numerické chyby se v tomto pˇríkladˇe netolerují!

(11 bod˚u) Naleznˇete souˇcet cˇ íselné ˇrady

+∞ X (−1)n . 2 − 2n 4n n=1

(9 bod˚u) Naleznˇete obecné ˇrešení diferenciální rovnice x2 y00 − 2x (1 + x) y0 + 2 (1 + x) y = 8x3 e2x .

Nápovˇeda: M˚užete použít fakt, že pˇríslušnou rovnici s nulovou pravou stranou ˇreší funkce v (x) = x.

(6 bod˚u) Heavisideova funkce θ je definována jako

   1 (x) θ =  0

x > 0, x ≤ 0.

Necht’ je zadán metrický prostor R2 , ρ s metrikou definovanou vztahem

ρ (x, y) = |x2 − y2 | + θ (|x1 − y1 |) . Vykreslete tvar okolí U1 ((2, 3)) a rozhodnˇete, zda v prostoru R2 , ρ platí implikace lim xn = x =⇒ (∃n0 ∈ N) (∀n > n0 ) (xn = x) . n→+∞

Svoje tvrzení správnˇe zd˚uvodnˇete.

(12 bod˚u) S použitím vhodných znalostí z teorie mocninných a Taylorových ˇrad odvod’te tvar Maclaurinových ˇrad funkcí f (x) = sin x a g (x) = arctan x. Odvod’te rovnˇež pˇríslušné obory konvergence a dokažte, že souˇcty tˇechto ˇrad jsou na jejich oborech konvergence skuteˇcnˇe rovny funkcím f (x) a g (x).


n=1




1 R

n→+∞

n→+∞



n=1






1

2

3

4

5

BONUS

CELKEM

ˇ 01MAB3 Zkoušková písemná práce cˇ . 7 z pˇredmetu 25. kvˇetna 2016, 9:00 – 11:00

(11 bod˚u) ˇ Rešte Cauchyovu úlohu x4 y000 − 2x3 y00 − 8x2 y0 + 20xy = 72,

y (1) = 8,

Nápovˇeda: Možná vám pom˚uže cˇ íslo 2.

y0 (1) = −2,

y00 (1) = 64.

(11 bod˚u) Vypoˇcítejte

Z+∞X +∞ 0

7 4 4

n4 x7 e− 4 n x dx.

n=1

Nezapomeˇnte ovˇeˇrit, že všechny provedené úpravy jsou platné. P 1 π4 Nápovˇeda: Platí +∞ n=1 n4 = 90 .

(12 bod˚u)

Rozhodnˇete, zda kvadratická forma q (x, y, u, v) = −2v2 + 2uv + 5u2 − 6ux + 2x2 − 4uy − 8vy + 2xy − y2

m˚uže mít polární bázi ve tvaru

o n BP = (1, 0, 1, 0)T , (2, 1, 2, −1)T , (7, 2, 5, −1)T , w .

Pokud ano, urˇcete neznámý vektor w a stanovte signaturu formy q. Poznámka: Numerické chyby se v tomto pˇríkladˇe netolerují!

(10 bod˚u)

V metrickém prostoru R2 , ρ J s modifikovanou skokovou (jump) metrikou definovanou jako ρ j (x, y) = d2 |x1 − y1 |e + 2 d|x2 − y2 |e

vykreslete tvary okolí U5 ((0, 0)) a U6 ((0, 0)) a rozhodnˇete, zda jsou to v tomto prostoru množiny otevˇrené cˇ i uzavˇrené.

(6 bod˚u) Oznaˇcme symbolem A množinu všech omezených funkcí f : h−1, 1i → R. Rozhodnˇete, zda platí: (1) Zobrazení N ( f ) := sup | f (x)| x∈h−1,1i

je normou na A. (2) Bilineární forma H ( f, g) := je skalárním souˇcinem na A. Svá tvrzení detailnˇe od˚uvodnˇete.

Z1

−1

f (x) g (x) dx


n=1




1 R

n→+∞

n→+∞



n=1




Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Recommend Documents