Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
➊
Příjmení a jméno
➋
➌
➍
➎
➏
Cvičící: HOBZA|STRACHOTA|KLIKA|PLANKOVA|KOSTKOVA|KOZAK Obor:
Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 – varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20–13:20
➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady ! ∞ √ X 2 n − 2xn 2 1 − e x +n 3n n=1 na množině A = h0, +∞).
➋ (8 bodů) Ve fundamentálním systému rovnice xy00 + (6x − 1)y0 + (9x − 3)y = 0 leží jistá exponenciální funkce. Vyřešte tuto rovnici.
➌ (4 body) Nalezněte všechny funkce g(x) : R 7→ R, pro které je wronskián funkcí x2 a g(x) roven výrazu x(1 − 2x)g(x).
➍ (9 bodů) Nalezněte obor konvergence a součet řady ∞ X (−1)n n=1
Výsledku užijte k vyčíslení hodnoty
x2n+1 . n(2n + 1)3n−1
P∞
1 n n=1 (−1) n(2n+1)3n−1 .
➎ (8 bodů) Zkonstruujte Taylorovu řadu funkce g(x) = √3
1 x−1
v bodě c = 2 a stanovte její obor konvergence. Výsledek upravte do tvaru s vícenásobnými faktoriály.
➏ (3 body) Rozhodněte (a korektně zdůvodněte), zda platí tento výrok: ∞ X n=1
A
fn (x) ≡
∧
∞ X n=1
B
fn (x) = ⇒
∞ X n=1
A∩B
fn (x) ≡ .
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
➊
Příjmení a jméno
➋
➌
➍
➎
➏
Cvičící: HOBZA|STRACHOTA|KLIKA|PLANKOVA|KOSTKOVA|KOZAK Obor:
Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 – varianta B středa 19. listopadu 2014, 11:20–13:20
➊ (10 bodů) Rozhodněte (a korektně zdůvodněte), zda je možno na intervalu I = (−1, 1) derivovat řadu funkcí ∞ ln( n2 x2 +1 ) X 2 n
n=2
(n ln(n))2
člen po členu.
➋ (3 body) Rozhodněte (a korektně zdůvodněte), zda platí tento výrok: ∞ X
A
fn (x) ≡
∧
n=1
∞ X
A
gn (x) ≡ ⇒
n=1
∞ X
A
fn (x)gn (x) ≡ .
n=1
➌ (5 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady ∞ X e−4xn (−1)n √ n+2 n=1
na množině Ω = (0, +∞).
➍ (8 bodů) Pro rovnici x2 y00 + x(x − 8)y0 − 4(x − 5)y = 6x7 existuje monom, který leží v jejím fundamentálním systému. Rovnici vyřešte.
➎ (10 bodů) Formálním řešením diferenciální rovnice y0 =
y2 − 2xy − x2 y2 + 2xy − x2
procházejícím bodem (2, 2) je kružnice. Toto formální řešení korektně odvoďte a jeho podobu načrtněte.
➏ (4 body) Nalezněte všechny funkce g(x) : R 7→ R, pro které je wronskián funkcí x3 a g(x) roven výrazu 2x2 x2 cos(2x) − g(x) .
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno
➊
➋
➌
➍
➎
➏
Cvičící: HOBZA|STRACHOTA|KLIKA|PLANKOVA|KOSTKOVA|KOZAK Obor:
Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 – varianta C středa 20. listopadu 2014, 13:20–15:20
➊ (5 bodů) Najděte funkci, která se na celém R rovná devítinásobku své druhé derivace, má funkční hodnotu v bodě nula rovnou pěti a první derivaci v bodě nula má nulovou.
➋ (9 bodů) Vyšetřete stejnoměrnou konvergenci řady ∞ √ X mx · (3m − 1)!!! m 3 (12m2 + x2 ) m! m=1
na množině A = (0, +∞).
➌ (3 body)
Nechť b L je diferenciální operátor řádu n ∈ N zavedený standardní definicí. Označme n o Wq = y(x) ∈ C n (I) : b L(y(x)) = q(x) . Dokažte, že jsou-li v(x), w(x) ∈ Wq , pak v(x) − w(x) ∈ W0 . Jakého poznatku v důkaze využíváte?
➍ (7 bodů) Sestavte Taylorovu řadu funkce f (x) = ln(1 + 4x) v bodě c = 2 a vyšetřete její obor konvergence.
➎ (8 bodů) Nalezněte součet řady
∞ X
(−1)m+1
m=2
xm+1 . m2 − 1
➏ (8 bodů) Ve fundamentálním systému diferenciální rovnice xy00 + 2y0 − 4xy = xe2x leží funkce
e2x x .
Vyřešte tuto rovnici.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno
➊
➋
➌
➍
➎
➏
Cvičící: HOBZA|STRACHOTA|KLIKA|PLANKOVA|KOSTKOVA|KOZAK Obor:
Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 – varianta C středa 11. prosince 2014, 13:20–15:20
➊ (4 body) Načrtněte formální řešení diferenciální rovnice x + 1 + (4y − 12)y0 = 0 vyhovující podmínce y(−3) = 3.
➋ (7 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady ∞ X (4x)n e−x (−1)n (5n)!!!!! n=1
na množině h0, +∞).
➌ (8 bodů) Sestavte Maclaurinovu řadu funkce g(x) = ln x +
p
1 + x2 .
Stanovte také její obor konvergence. Výsledek upravte do tvaru s vícenásobnými faktoriály.
➍ (9 bodů) Pro rovnici
x2 (1 − 2x)y00 (x) + 4x −x2 − x + 1 y0 (x) + −8x2 + 4x + 2 y(x) = 0
existuje převrácená hodnota monomu, která leží v jejím fundamentálním systému. Rovnici vyřešte.
➎ (6 bodů) Vyšetřete stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí ∞ xn (1 − 3x)n arctg(n2 )
n=1
na množině h0, 31 i.
➏ (7 bodů) Nalezněte součet řady
∞ X n=1
(−1)n 1 . n(2n + 1) 3n
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno
➊
➋
➌
➍
➎
➏
Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB3 – varianta A úterý 6. ledna 2015, 9:30–11:30
➊ (6 bodů) Nechť jeR dán normovaný prostor C (h−1, 1i), v němž je norma generována funkcionálním skalárním součinem
1 f |g = −1 f (x)g(x) dx. Pro která m ∈ N platí, že xm ∈ U √2/3 (x) ?
➋ (8 bodů) Kombinací tří metod (metoda superpozice, metoda predikce partikulárního řešení, metoda variace konstant) řešte obyčejnou diferenciální rovnici y00 + 4y0 + 4y =
e−2x + 27xe x . x3
V záznamu řešení specifikujte místa, kde jste jednotlivé metody užili.
➌ (8 bodů) Pro kvadratickou plochu, která je v R3 zadána rovnicí x2 − 6xy + 2xz − 14x + 9y2 − 10yz + 46y + z2 − 22z + 56 = 0, určete normální tvar, název, hlavní a vedlejší signaturu a transformační vztahy, které ji na normální tvar převádějí. Nalezené vztahy upravte do maticového tvaru (x, y, z)| = M(a, b, c)| + (r, s, t)| . Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují!
➍ (7 bodů) Řešte Cauchyovu úlohu pro diferenciální rovnici y000 − y(1) = −1,
2 0 4 y + 3 y = 0, x2 x y0 (1) = −1,
y00 (1) = 1.
➎ (8 bodů) Nalezněte formální řešení diferenciální rovnice 2x(2y + x)y0 = 2y2 − x2 vyhovující podmínce y(2) = 0. Detailně diskutujte, co vypočtené formální řešení představuje a načrtněte ho.
➏ (3 body) Na množině M = {F, , } je zavedena metrika tabulkou F
F
?
3
?
?
?
?
?
?
?
která obsahuje pouze celá čísla, jejichž absolutní hodnota je menší než 6. Doplňte chybějící čísla v tabulce.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno
➊
➋
➌
➍
➎
➏
Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB3 – varianta B úterý 6. ledna 2015, 9:30–11:30
➊ (7 bodů) Řešte Cauchyovu úlohu pro diferenciální rovnici y0 2 y y000 + y00 − 2 + 3 = 0, x x x y(1) = 3,
y0 (1) = 3,
y00 (1) = 8.
➋ (8 bodů) Nalezněte formální řešení diferenciální rovnice y2 −
0
y =
x2 2
2xy + x2
vyhovující podmínce y(2) = 0. Detailně diskutujte, co vypočtené formální řešení představuje a načrtněte ho.
➌ (3 body) Na množině M = {F, , } je zavedena metrika tabulkou F
F
?
?
?
?
?
?
5
?
?
která obsahuje pouze celá čísla, jejichž absolutní hodnota je menší než 6. Doplňte chybějící čísla v tabulce.
➍ (8 bodů) Pro kvadratickou plochu, která je v R3 zadána rovnicí x2 + 2xy − 6xz + 14x + y2 − 10yz + 22y + 9z2 − 46z + 58 = 0, určete normální tvar, název, hlavní a vedlejší signaturu a transformační vztahy, které ji na normální tvar převádějí. Nalezené vztahy upravte do maticového tvaru (x, y, z)| = M(a, b, c)| + (r, s, t)| . Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují!
➎ (6 bodů) Nechť je dán normovaný prostor C (h0, 1i), v němž je norma generována funkcionálním skalárním součinem
R1 f |g = 0 x f (x)g(x) dx. Platí nebo neplatí tvrzení limnorm n→+∞
√
n xn = 0 ?
➏ (8 bodů) Kombinací tří metod (metoda superpozice, metoda predikce partikulárního řešení, metoda variace konstant) řešte obyčejnou diferenciální rovnici e4x y00 − 8y0 + 16y = + e4x . x V záznamu řešení specifikujte místa, kde jste jednotlivé metody užili.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze
➊
Příjmení a jméno
➋
➌
➍
➎
➏
penalizace
-3
Zápočtová písemná práce č. 2 z předmětu 01MAB3 – varianta C pondělí 12. ledna 2015, 13:00–15:00
➊ (5 bodů) Nalezněte lineární transformaci, která převádí kvadratickou formu q(x, y, z) = x2 + 4xy + 2xz + 3y2 + 10yz − 4z2 na formu e q(a, b, c) = a2 + 6ab − 4ac + 8b2 − 2bc − 17c2 .
➋ (6 bodů) Pro která β ∈ R je kvadratická forma β+1 β+2 0 β β + 1 β β+1 0 q(~x) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) β 0 β + 2 β + 1 0 0 0 −9
x1 x 2 x 3 x4
negativně semidefinitní? Zvažte možné postupy a volte jednodušší variantu výpočtu. Doplňování na čtverce je totiž v případě semidefinitnosti značně neefektivní.
➌ (9 bodů) Řešte rovnici y00 − 2
y =1 x2
4 za podmínek y(1) = , y0 (1) = 0. 3
➍ (8 bodů) Řešte diferenciální rovnici xy000 + (3 − 6x)y00 + 12(x − 1)y0 + (12 − 8x)y = 24x − 8x2 − 12, víte-li, že rovnici řeší jakákoli funkce tvaru y(x) = Cxe2x + x,
C∈R.
➎ (5 bodů) Nechť je dán Hilbertův prostor R2 generovaný skalárním součinem ! !
def 1 0 y1 ~x | ~y = (x1 , x2 ) . 0 48 y2 Rozhodněte (a své tvrzení poté dokažte), zda je posloupnost 3 2n + 3 → − xn = , n 4n
!
v takovém prostoru cauchyovská.
➏ (8 bodů) Kombinací tří metod (metoda superpozice, metoda predikce partikulárního řešení, metoda variace konstant) řešte obyčejnou diferenciální rovnici e4x y00 − 8y0 + 16y = + e4x . x V záznamu řešení specifikujte místa, kde jste jednotlivé metody užili.
