Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno
➊
➋
➌
➍
➎
➏
celkem
Bonus
Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01RMF čtvrtek 16. ledna 2014, 9:00–11:00
➊ (11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte limitu 2
2
lim n sin
x n
n→∞
!0 1 P . x
➋ (6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte Z
∞
0
cos2 (αx) − cos2 (βx) dx, x2
(α, β > 0).
➌ (9 bodů) Aplikací Fourierovy transformace řešte diferenciální rovnici y00 + 6y0 + 9y = δ(x) +
x 00 · δ (x) · cos(x). 2
Odlišná metoda výpočtu není přípustná!
➍ (9 bodů) Nechť a, b > 0. Pro klasickou Cauchyovu úlohu ∂u ∂u − a2 ∆u + b = f (x, y, t), ∂t ∂y
u(x, y, 0) = xey
nalezněte fundamentální řešení příslušného operátoru.
➎ (5 bodů) Nechť
0 (Rr ), kde f jsou příslušné generátory těchto distribucí. Rozhodněte, zda ve f˜n ∈ Dreg n třídě D 0 (Rr ) platí (popř. za jakých podmínek) níže uvedená rovnost
]fn = lim f˜n . lim
n→∞
n→∞
Rozsáhle komentujte! Nejprve vlastními slovy popište, jak rozumíte zadání!
➏ (10 bodů) Řešte integrální rovnici Z ϕ(x) = µ
x
√
xy ϕ(y) dy + x3/2 .
0
Užijte metodu postupných aproximací. Výsledek vyjádřete pomocí speciální funkce Z x s2 ω(x) = e− 2 ds. 0
Odlišná metoda výpočtu není přípustná! Nápověda: Pro součet Neumannovy řady sestavte Cauchyovu úlohu prvního řádu a tuto vyřešte.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno
➊
➋
➌
➍
➎
➏
celkem
Bonus
Zkoušková písemná práce č. 2 z předmětu 01RMF čtvrtek 30. ledna 2014, 9:00–11:00
➊ (5 bodů) Rozhodněte, zda v S 0 (R2 ) platí rovnost F(x,y) f (x) ⊗ g(y) (ξ, η) = F x f (x) (ξ) ⊗ Fy g(y) (η). Pomocná odvození doprovoďte precizním značením.
➋ (8 bodů) Nechť n, m ∈ N jsou pevně zvolené parametry. Užitím Laplaceovy transformace vypočtěte konvoluci Θ(x) cos(nx) ∗ Θ(x) sin(mx).
➌ (10 bodů) Pro diferenciální rovnici
∂2 u a2 2 ∂t
−b
! ∂2 u ∂2 u + = f (x, y, t) ∂x2 ∂y2
2
(a, b > 0)
zformulujte klasickou a zobecněnou Cauchyovu úlohu. Dále nalezněte fundamentání řešení příslušného operátoru. Užijte přitom dvojrozměrné korespondence Θ R − k~xk sin Rk~ξk . F p = 2π k~ξk R2 − k~xk2
➍ (10 bodů) Nechť a, b > 0 jsou zvoleny pevně. Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte limitu 1 lim e−aµ|x| sin(µbx) P . µ→+∞ x Užijte, bude-li třeba, rovností Z ∞ e−ax cos(bx) dx = 0
a a2 + b2
Z &
∞
e−ax sin(bx) dx =
0
➎ (7 bodů) Jaký je dvojrozměrný Fourierův obraz rozdílu distribucí ∂2 Θ(x, y − 7) & ∂x∂y
1 P x
!00 x3 ⊗ δ7 (y) ?
Výsledek upravte do nejjednoduššího možného tvaru.
➏ (10 bodů) Nalezněte vlastní hodnoty a vlastní funkce u = u(x, y) operátoru ∂2 ∂2 b L = −9 2 − 2 ∂x ∂y na množině M = h0, ai × h0, bi takové, jež vyhovují hraniční podmínce ∂u = 0. (x, y) ∂~n (x,y)∈bd(M)
b . a2 + b2
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno
➊
➋
➌
➍
➎
➏
celkem
Bonus
Zkoušková písemná práce č. 3 z předmětu 01RMF úterý 11. února 2014, 9:00–11:00
➊ (8 bodů) Pro Fredholmův integrální operátor a všechny jeho mocniny dokažte jejich omezenost. Poté stanovte podmínku pro parametr příslušné integrální rovnice tak, aby její Neumannova řada stejnoměrně konvergovala.
➋ (9 bodů) Řešte parciální diferenciální rovnici ! ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂2 u 2 ∂u ∂u ∂u +9 2 + 2 −6 +2 −6 + −3 + = 6. ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z x ∂x ∂y ∂z ∂x2 ∂y ∂z
➌ (8 bodů) Na intervalu G = (1, 2) nalezněte Greenovu funkci okrajové úlohy −x3 u00 − 3x2 u0 − xu = f (x) za podmínek u(1) = 0,
u(2) + 2u0 (2) = 0.
➍ (12 bodů) Ve třídě D 0 (G), kde G = (0, +∞), vypočítejte limitu ! 1 −λx 1 x lim e cos(λx) − cos(3λx) · P . λ→0 λ2 x λ2
➎ (7 bodů)
b s čistě bodovým spektrem, jehož definičním oborem je L2 (G). UnNechť je dán integrální operátor K P foldovaným spektrem tohoto operátoru nechť je soubor σunf = (λ1 , λ2 , λ3 . . .) , pro nějž platí, že ∞ `=1 |λ` | konverguje. Nechť B = ϕ1 (~x), ϕ2 (~x), ϕ3 (~x) . . . , kde pro všechna ` ∈ N platí Dom(ϕ` ) = G, je asociovaný b Dokažte, že integrální jádro takového operátoru systém ortonormalizovaných vlastních funkcí operátoru K. P∞ může být přepsáno do tvaru K (~x, ~y) = `=1 λ` ϕ` (~x)ϕ` (~y).
➏ (6 bodů) Z definice Fourierovy transformace vypočtěte F[x]. Kromě definice Fourierovy transformace a operací v S 0 je dovoleno užití těchto poznatků o Fourierově transformaci: a) F[δ] = 1; b) FF[ f (~x)] = (2π)r f (−~x); c) F[ f 0 (x)] = −iξF[ f (x)].
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno
➊
➋
➌
➍
➎
➏
celkem
Bonus
Zkoušková písemná práce č. 4 z předmětu 01RMF čtvrtek 27. února 2014, 9:20–11:20
➊ (8 bodů) Nechť jsou dána čísla a, b ∈ R+ . Pro klasickou Cauchyovu úlohu a
∂u ∂2 u ∂2 u − − + b · u(x, y, t) = f (x, y, t), ∂t ∂x2 ∂y2
u(x, y, 0) = ω(x, y)
sestavte příslušnou zobecněnou úlohu a na základě znalosti jejího fundamentálního řešení E (x, y, t) =
Θ(t) − b t − a (x2 +y2 ) e a e 4t 4aπt
sestavte integrální vzorce pro její řešení.
➋ (9 bodů) Nalezněte všechna vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce integrálního operátoru s jádrem x K (x, y) = y
!2/5 +
y 2/5 x
na množině G = h0, 1i. Přímým výpočtem poté prokažte ortogonalitu vypočtených vlastních funkcí.
➌ (7 bodů) Dokažte, že je-li g finitní distribuce a f ∈ D 0 libovolná distribuce, pak f ? g vždy existuje. Dále dokažte, že za těchto předpokladů, lze působení konvoluce f ? g na libovolnou testovací funkci ϕ(~x) významně zjednodušit (v porovnání s definičním vztahem). Důkaz zahajte definicí nosiče zobecněné funkce.
➍ (7 bodů) Nechť je na oblasti G zadáno integrální jádro K (x, y) =
Pn
k=1 ak (x)bk (y)
tak, že platí
ak |b` = (k + `) δk` . b je operátorem s čistě bodovým spektrem a vypočítejte jeho unfoldované Dokažte, že příslušný operátor K spektrum. Jaký dodatečný předpoklad o funkcích a1 (x), . . . , an (x), resp. b1 (x), . . . , bn (x) je třeba pro zkompletování důkazu do zadání doplnit? Vše velice podrobně komentujte.
➎ (9 bodů) Na intervalu G = (2, 3) nalezněte Greenovu funkci Sturm-Liovilleovy okrajové úlohy pro parametry p(x) =
1 x
& q(x) =
3 x3
a sadu podmínek 5u(2) − 6u0 (2) = 0 & u(3) − u0 (3) = 0.
➏ (10 bodů) V prostoru zobecněných funkcí stanovte, čemu se rovná limita lim Θ(x)b3 x2 e−abx cos(abx),
b→∞
je-li a > 0 pevně zvolená konstanta.
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno
➊
➋
➌
➍
➎
➏
celkem
Bonus
Zkoušková písemná práce č. 5 z předmětu 01RMF čtvrtek 17. dubna 2014, 9:20–11:20
➊ (7 bodů) Nechť u(x, t) ∈ C 1 (R2 ) \ C 2 (R2 ). Nechť w(x, ˜ t) je zobecněná funkce generovaná klasickou funkcí Θ(t)u(x, t). ˜ Čemu se musí rovnat distribuce β(x, t), aby v D 0 (R2 ) platila rovnost ∂w˜ ˜ t). (x, t) = δ(t) ⊗ u˜ (x, 0) + β(x, ∂t Vaše tvrzení podpořte korektními výpočty!
➋ (8 bodů) Laplaceovou transformací řešte Cauchyovu úlohu y000 + y0 − 10y = 1 − 10x
y(0), y0 (0), y00 (0) = 0, −4, −3 .
&
Numerické chyby v tomto příkladě se netolerují!
➌ (10 bodů) Metodou iterovaných jader (užitím rezolventy) řešte integrální rovnici Z x ϕ(x) = µ x3 y3 ϕ(y) dy + x3 . 0
➍ (8 bodů) Jádro každého integrálního operátoru, který je hermiteovský, může být přepsáno do tvaru K (x, y) =
∞ X
λ` ϕ` (x)ϕ` (y),
`=1
b kde ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . je ortonormalizovaný soubor všech jeho vlastních funkcí. Vlastní hodnotu operátoru K asociovanou s vlastní funkcí ϕ` (x) přitom reprezentuje symbol λ` . Dokažte, že řešení integrální rovnice Z ϕ(x) = µ K (x, y) ϕ(y) dy + f (x) G
s nenulovou pravou stranou f (x) leží v lineárním obalu f (x), ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . λ a vypočtěte koeficienty v příslušné lineární kombinaci. Předpokládejte, že f (x) není kolmá na žádnou z vlastb Jaký dodatečný předpoklad o hodnotě parametru µ je třeba do zadání doplnit? A ních funkcí operátoru K. proč?
➎ (11 bodů) V prostoru D 0 (R) zobecněných funkcí vypočtěte limity lim λ2 e−λ
λ→∞
2 (x2 +y2 )
&
h 2 2 2 i lim F λ2 e−λ (x +y ) .
λ→∞
➏ (6 bodů) Na základě definic prostorů S (R) a S 0 (R) rozhodněte, patří-li funkce (resp. zobecněná funkce) f (x) = x2 do S (R), resp. S 0 (R). Své tvrzení dokažte a důkaz rozsáhle komentujte!
