Úlohy na procenta Řešíme buď: Přes jedno procento. Užitím vzorce č = z . p, kde č … je část základu odpovídající danému počtu procent, z … je základ, p … je počet procent odpovídající dané části základu vyjádřený desetinným číslem. Poznámky. 1. U většiny řešených úloh jsou uvedeny oba způsoby řešení. Žák řeší úlohy tím způsobem, který předpokládá za vhodnější. 2. Zkouška není součástí řešení, ale k ověření správnosti řešení je vhodné ji provést, zvláště u složitějších úloh.
Příklad: Vypočtěte 17 % z 215 t. Řešení: a) 100 % …………… 215 t 1 % ……………….. 2,15 t 17 % ……………… 2,15 t . 17 = 36,55 t b)
z = 215 t p = 0,17 č=? č=z.p č = 215 . 0,17 č = 36,55 t
Zkouška Jestliže 17 % z 215 t je 36,55 t, potom 83 % z 215 t je 215 t – 36,55 t = 178,45 t. 83 % ………………. 178,45 t 1 % ………………… 178,45 : 83 = 2,15 t 100 % …………….. 2,15 . 100 = 215 t Odpověď 17 % z 215 tun je 36,55 tun. Úlohy: Vypočtěte: 9,8 % ze 125 kg 115 % z 1 080 Kč 0,4 % ze 150 l 215 % z 37 t
[12,25 kg] [1 242 Kč] [0,6 l ] [79,55 t]
V Maďarsku je z 5 miliónů ha orné půdy zavlažováno přibližně 5 % půdy. Kolik ha orné půdy je v Maďarsku zavlažováno? [250 000 ha]
Příklad: Vypočtete, kolik procent je 25,5 l ze 75 litrů. Řešení: a) 100 % ……………….. 75 l 1 % …………………… 0,75 l x % …………………… 25,5 : 0,75 = 34 x = 34 % b)
z = 75 l č = 25,5 l p=? č=z.p 25,5 = 75 . p p= p = 0,34
p = 0,34 . 100 = 34 %
p = 34 % Zkouška Jestliže 25,5 l je 34 %, potom 75 l – 25,5 l = 49,5 l je 66 %. 100 % ……………….. 75 l 1 % …………………… 0,75 l 66 % …………………. 0,75 l . 66 = 49,5 l Odpověď 25,5 l ze 75 litrů je 34 %. Úlohy: Vypočtěte, kolik procent je: 278,2 kg z 214 kg 390,60 m ze 420 m 0,36 l ze 120 l 198 kg z 900 kg
[130 %] [93 %] [0,3 %] [22 %]
Vypočtěte číslo, z kterého 43,6 % je 370,6 0,75 % je 1,2 15 % je 0,72 412 % je 1 854
[850] [160] [4,8] [450]
Sušením materiálu se zmenší jeho objem o 15 %. Jaký musí být objem materiálu před sušením, má-li být jeho objem po usušení 5,1 m3? [6 m3] Traktorista má plán zorat 24 ha pole. Zoral již 20,64 ha. Na kolik procent splnil plán?
[86 %]
Délka toku Labe je 1 122 km. Délka toku Labe na území ČR je 396 km. Kolik procent z celkové délky toku Labe je na území naší republiky? [asi 35,3 %]
Příklad: Vypočtěte kolik procent je 4,5
z 72
.
Řešení: Pro výpočet musíme znát oba údaje ve stejných jednotkách. 72
= 72
= 20
100 % …………….. 20 1 % ………………… 0,2 x % …………………. 4,5 : 0,2 = 22,5 x % …………………. 22,5 % Zkouška: Jestliže 4,5
je 22,5 %, potom 20
- 4,5
= 15,5
je 77,5 %.
100 % ……………….. 20 1 % …………………… 0,2 77,5 % ………………. 0,2 Odpověď: 4,5 ze 72
. 77,5 = 15,5
je 22,5 %.
Úlohy: Vypočtěte, kolik procent je: 96 g z 0,8 kg 120 cm2 z 1 m2 28 m z 3,5 km
[12 %] [1,2 %] [0,8 %]
Vypočtěte, kolik procent je 1,92 kW ze 120 W 0,851 kPa ze 115 Pa 6,3 m z 54 m
[1 600 %] [740 %] [42 %]
Příklad: Zvětšete částku 1 080 Kč o 3,5 %. Řešení: a) 100 % ………………… 1 080 Kč 1 % ……………………. 10,80 Kč 3,5 % …………………. 10,80 . 3,5 = 37,80 Kč Podle zadání úlohy máme částku 1 080 Kč zvětšit o 37,80 Kč, tedy: 1 080 + 37,80 = 1 117,80 Kč Úlohu můžeme řešit také takto: Zvětšíme-li základ o 3,5 %, dostaneme 103,5 % základu. 100 % ………………… 1 080 Kč 1 % ……………………. 10,80 Kč 103,5 % …………….. 10,80 . 103,5 = 1 117,80 Kč b) z = 1 080 Kč počet procent = 100 % + 3,5 % = 103,5 % což odpovídá: p = 1,035 č=? č=z.p č = 1 080 . 1,035 č = 1 117,80 Kč Zkouška: 103,5 % ……………………… 1 117,80 Kč 1 % …………………………….. 1 117,80 Kč : 103,5 % = 10,80 Kč 100 % …………………………. 1 080 Kč Odpověď: Zvětšená částka činí 1 117,80 Kč. Úlohy: Zvětšete: číslo 460 o 45 % číslo 0,8 o 35 % číslo 64 o 120 %
[667] [1,08] [140,8]
Zmenšete: číslo 225 o 16 % číslo 540 o 72 % číslo 90 o 8,8 %
[189] [151,2] [82,08]
Zvětšením neznámého čísla o 4 % dostane číslo 780. Určete neznámé číslo.
[750]
Zmenšením neznámého čísla o 28,5 % dostaneme číslo 243,1. Určete neznámé číslo.
[340]
Zmenšením neznámého čísla o 427 dostaneme 65 % jeho hodnoty. Určete neznámé číslo. [1 120]
Číslo 222 je o 20 % větší než původní číslo. Určete původní číslo.
[185]
19 % z neznámého čísla je o 12 méně než 23 % z téhož čísla. Určete neznámé číslo.
[300]
Příklad: V roce 1976 činil příspěvek závodů v Československu na závodní stravování 311,3 miliónů Kč, v roce 1981 činil tento příspěvek 479,3 miliónů korun. Vypočtěte, o kolik procent byl příspěvek závodů v roce 1981 vyšší než v roce 1976. Řešení: a) 100 % ……………………… 311,3 mil. Kč 1 % …………………………. 3, 113 mil. Kč x % …………………………. 479,3 mil. Kč Počet procent určíme, budeme-li částku 479,3 mil. Kč dělit částkou určující jedno procento, tj. částkou 3,113 mil. Kč. 479,3 : 3,113 = 153,96 po zaokrouhlení 154 % b) z = 311,3 mil. Kč č = 479,3 mil. Kč p=? č=z.p 479,3 = 311,3 . p p = 479,3 : 311,3 p = 1,54 . 100 = 154 p = 154 % Zkouška: 154 % ………………………. 479,3 mil. Kč 1 % ………………………….. 479,3 : 154 = 3,112 mil. Kč 100 % ………………………. 311,2 mil. Kč Příspěvek v roce 1976 činil 311,2 mil. Kč, což odpovídá podmínkám úlohy. (Chyba při výpočtu 1 % vznikla zaokrouhlením při řešení.) Odpověď: Příspěvek závodů byl v roce 1981 proti příspěvku v roce 1976 vyšší přibližně o 54 %. Úlohy: Pracovníci jednoho úseku dílny obrobili v jednom dni místo plánovaných 480 součástek 516 součástek. O kolik procent překročili plán? [ o 7,5 %] Zemědělci zvýšili počet ustájených krav o 14 % na 285 kusů. O kolik kusů zvýšili počet ustájených krav? [ o 35 krav] Šaty byly zlevněny z 860 Kč na 651 Kč. Vypočtěte, o kolik procent byly zlevněny?
[o 22,5 %]
Traktoristé překročili denní normu setí obilovin o jednu pětinu a oseli celkem 114 ha polí. Vypočtěte jejich denní normu. [95 ha] Žáci zasadili při Dni Země o 16 % více stromků, než měli zasadit. Zasadili celkem 154 stromků. Jaký byl jejich původní počet? [125 stromků] Množství krve v lidském těle je přibližně 7,6 % hmotnosti těla. Kolik kilogramů krve je v těle dospělého člověka o hmotnosti 75 kg? [5,7 kg] Farma zemědělského družstva osela veškerou zemědělskou půdu čtyřmi druhy plodin. Pšenice byla zaseta na 380 ha, cukrovka na 200 ha, kukuřice na 120 ha a ječmen na 100 ha orné půdy. Určete výměru půdy jednotlivých plodin v procentech. [47,50 %, 25 %, 15 %, 12,5 %] Z 800 zaměstnanců závodu je 344 žen. Kolik procent z celkového počtu zaměstnanců tvoří muži a kolik ženy? [57 % mužů, 43 % žen]
Příklad: Má se připravit 2,5 % vodný roztok daného tekutého přípravku. Určete hmotnost tekutého přípravku nutného k namíchání 8 kg roztoku. Hmotnostní zlomek složky roztoku v roztoku je určen vztahem: w=
kde
m (s) ……………………… hmotnost složky s v roztoku R m (R) …………………….. hmotnost roztoku R w ………………………….. hmotnostní zlomek složky roztoku s v roztoku R
Daný vztah je analogií vztahu pro výpočet počtu procent: p= m (R) = 8 kg w = 0,025 m (s) = ? w= m(s) = w . m(R) m(s) = 0,025 . 8 m(s) = 0,2 kg Zkouška: Jestliže 2,5 % z 8 kg je 0,2 kg, potom 97,5 % z 8 kg je 8 kg – 0,2 kg = 7,8 kg. 97,5 % ……………………. 7,8 kg 1 % ………………………… 7,8 kg : 97,5 = 0,08 kg 100 % ……………………. 100 . 0,08 kg = 8 kg Odpověď: Hmotnost tekutého přípravku nutného k namíchání 8 kg jeho 2,5 % roztoku je 0,2 kg. Úlohy: Určete hmotnost chloridu sodného v 0,75 kg jeho 12 % vodného roztoku.
[0,09 kg]
Z 300 g chemické látky se má připravit 6 % vodný roztok. Jakou hmotnost bude mít tento roztok? [5 kg] Z 9 g chemického přípravku na postřik květin se má připravit 0,2 % vodný roztok. Určete hmotnost vody potřebné k jeho přípravě. [4,491 kg]
Příklad: Cena ledničky byla dvakrát snížena. Nejprve o 15%, později ještě o 5 %z nové ceny. Po tomto dvojím snížení cen se lednička prodávala za 2 584 Kč. Vypočtěte její původní cenu. Řešení: Načrtneme si celou situaci nejprve graficky:
Výpočet provádíme postupně od nové ceny k původní. a) 95 % …………….. 2 584 Kč 1 % ……………….. 2 584 : 95 = 27,20 Kč 100 % …..………. 27,20 Kč . 100 = 2 720 Kč Po prvním snížení ceny stála lednička 2 270 Kč. Tato částka je 85 % původní ceny. 85 % ……………. 2 720 Kč 1 % ……………… 2 720 Kč : 85 = 32,00 Kč 100 % …………. 32,00 Kč . 100 = 3 200 Kč b) č1 = 2 584 Kč p1 = 0,95 z1 = ? č1 = z1 . p1 2 584 Kč = z1 . 0,95 z1 = 2 584 Kč : 0,95 z1 = 1 720 Kč Vypočtený základ z1 je zároveň částí č2 základu z2 pro výpočet původní ceny. č2 = 2 720 Kč p2 = 0,85 z2 = ?
č2 = z2 . p2 2 720 Kč = z2 . 0,85 z2 = 2 720 Kč : 0,85 z2 = 3 200 Kč Zkouška: 100 % …………………….. 3 200 Kč 1 % ………………………… 32 Kč 85 % ………………………. 32 Kč . 85 = 2 720 Kč 100 % ……………………. 2 720 Kč 1 % ……………………….. 27,20 Kč 95 % …………………….. 27,20 Kč . 95 = 2 584 Kč Odpověď: Původní cena ledničky byla 3 200 Kč. Úlohy: Pro zimní výprodej byla stanovena nová cena bot na 85 % původní ceny a činila 510 Kč. Určete původní cenu bot. [600 Kč] Šaty byly zlevněny o 132 Kč, což je 15 % jejich původní ceny. Určete původní cenu šatů. [880 Kč] Dámský svetr byl dvakrát zlevněn. Nejprve o 10 %, později ještě o 10 % z nové ceny. Jeho konečná cena byla 324 Kč. Určete původní cenu svetru. [400 Kč] Rozhlasový přijímač, jehož původní cena byla 2 200 Kč, byl po technickém zdokonalení zdražen o 20 %. Později byl o 15 % zlevněn. Jaká byla jeho konečná cena? [2 244 Kč] Čerstvé houby obsahují 90 % vody, sušené houby obsahují 12 % vody. Vypočtěte, kolik čerstvých hub je třeba na 3 Kg sušených hub. [26,4 kg] Pracovníci jedné dílny obráběli během tří měsíců stejné součástky. Jejich výkon stoupal tak, že každý následující měsíc obrobili o 10 % víc součástek než v předcházejícím měsíci. V posledním měsíci obrobili 484 součástek. Kolik součástek obrobili v prvním měsíci? Kolik součástek obrobili celkem. [400 ks, 1 324 ks]
Příklad: Zahradnictví má připravit pro drobný prodej 5 000 ks bramboříků v květináčích. Klíčivost semen bramboříků je 70 % a pěstební odpad, tj. množství uhynulých rostlin z vyklíčených semen, je asi 20 %. Určete počet semen, která je třeba vysít, aby byla zajištěna dodávka 5 000 ks bramboříků. Výsledek zaokrouhlete na stovky nahoru. Řešení: Situaci si nejprve vyznačíme graficky.
a) 80 % …………….. 5 000 ks 1 % ……………….. 5 000 ks : 80 = 62,5 ks 100 % ……………. 100 . 62,5 ks = 6 250 ks bramboříků Tím jsme určili počet vyklíčených semen. 70 % ………………. 6 250 ks 1 % …………………. 6 250 : 70 = 89,286 ks semen 100 % ……………… 100 . 89,286 ks = 9 000 ks semen Zkouška: 100 % ……………. 9 000 ks 1 % ……………….. 90 ks 70 % …………….. 90 Ks . 70 ´6 300 ks 100 % …………… 6 300 ks 1 % ……………….. 63 ks 80 % …………….. 63 ks . 80 = 5 040 Ks Rozdíl 40 ks od 5 000 ks vznikl zaokrouhlením výsledku. Odpověď: Je třeba vysít 9 000 ks semen.
Úlohy: Klíčivost semen karotky je 85 %, hmotnost 1 000 semen karotky je 2,4 g. Kolik semen vzklíčí, zasejeme-li 8 g semene? [2 833 semen] Pro výsadby skleníkových okurek je třeba 310 ks sazenic. 1 g semene obsahuje průměrně 30zrn, jejichž klíčivost je 80 %. Pěstební odpad od výsevu do výsadby činí 38 % z klíčících rostlin. Určete hmotnost semene v gramech, které se musí vysít, aby byla zajištěna plánovaná výsadba. [přibližně 21 g]
