x y amelyeket az összenyomhatatlanságot kifejezőkontinuitási egyenlet egészít ki: v x p v

A hasonlósági transzformáció a siklócsapágy számításoknál

1

A hasonlósági transzformáció a siklócsapágy számításoknál DR. BENKŐJÁNOS Agrártudományi Egyetem, GödöllőMező gazdasági Géptani Intézet

A tervezők a siklócsapágyak méretezésére, az egzakt megoldás hiányában, a hasonlósági módszert használják. A számítások alapját képezőcsapágy jellemzőszámok meghatározásának legtermékenyebb eszköze a hasonlósági transzformáció. A szerzőennek alkalmazási lehetőségét konkrét példán mutatja be, Az egymáson elmozduló, szűkülőrést alkotó felületek közé juttatott viszkózus anyag nyomása a csökkenőrés irányában növekszik. Bizonyos feltételek esetén a rés a felületeket összeszorító erővel szemben is fenntartható. E jelenség az alapja a hidrodinamikus siklócsapágyak működésének, ezért a matematikai leírása nagy jelentőségű. Segítségével az említett feltételek számszerűsíthetők. A matematikai leírásnál a viszkózus folyadékok mozgásegyenletéből, a Navier-Stokes egyenletből indulunk ki, amely réteges és stacionárius áramlás feltételezésével a p v

(1)

alakra egyszerűsödik. A siklócsapágyaknál kialakult méretarányok további egyszerűsítésekre adnak lehetőséget. Az áramlástér y irányú mérete nagyságrendekkel kisebb az x és z irányú méretnél, ezért az y irányú sebességkomponens elhanyagolható. A vx és v z sebességkomponensek x és z irányú másodrendűváltozásai szintén nullának tekinthetők. Ezeket figyelembe véve az (1) egyenlet az alábbi skalár egyenletekbe megy át: (2)

 p 2 v x p  p 2 v z  2 ; 0 ;  2  x  y y  z  y

amelyeket az összenyomhatatlanságot kifejezőkontinuitási egyenlet egészít ki: v x v z  0 x z

(3) A (2) egyenletből, az y=0-nál

a vx =U és v z=0,

y=h(x)-nél

a vx =0 és vz=0

peremfeltételek felhasználásával, a vx és vz sebesség-összetevők kétszeri integrálással kifejezhetők a nyomás gradiens és a h(x) rés függvényeként : 1 p 2 y  vx  ( y hy ) U  1, 2x h 

1 p 2 vz  ( y hy ) . 2 z Ezeket a kontinuitási egyenletbe helyettesítve és y szerint 0−h határok között integrálva a jól ismert Reynolds-féle egyenletet kapjuk:

2

(4)

Járművek, Mezőgazdasági Gépek 26. évfolyam 1979. 12. szám

3  p  3 p  h h 0 h   6U x  x  z  z  x

Ennek megoldása szolgáltatja a siklócsapágy-számításokban nélkülözhetetlen p(x,z) nyomásfüggvényt. Nehézséget jelent, hogy e másodrendűparciális differenciálegyenlet tetszőleges h(x) résfüggvény esetén zárt alakban nem integrálható. A probléma megoldására ugyan az irodalomban több közelítőmódszer is található, azonban ezek közvetlen felhasználása a tervezésben túl bonyolult és hosszadalmas lenne. Célszerűnek látszik olyan módszert keresni, amellyel a közelítőmegoldások valamennyi szóba jöhetőnumerikus értéke táblázatba vagy diagramba foglalható. Erre a legalkalmasabb a hasonlóságelmélet. A Reynolds-egyenletet és a hozzá tartozó egyértelműségi feltételeket jellemződimenzió nélküli számok közötti függvénykapcsolat ugyanis egyenértékűaz eredeti egyenletekkel, ugyanakkor a változók száma jelentősen csökken. A dimenzió nélküli számok meghatározásának a legtermékenyebb módszere a hasonlósági transzformáció. A következőkben ezt az eljárást fogjuk felhasználni az irodalomból ismert csapágy jellemzőszámok (Sommerfeld-, a súrlódási- és a fajlagos olajszükségleti szám) levezetésére. Az eljárást lineáris résfüggvényen és négyszög alakú sarun mutatjuk be (1. ábra).

1. ábra. Siklófelület-pár lineáris résfüggvénnyel Kiindulásként írjuk fel a (4) egyenletet kétféle alakban: (5/a)

3  p  3 p  h h 0 , és h   6U x  x  z  z  x

(5/b)

  3 p'   3 p'  h' 0 h'  h' 6' U ' x '  x '  z'  z'  x '

Ha a két egyenlet hasonló jelenséget ír le, akkor az egyik a másikba affin transzformációval vihetőát, vagyis a megfelelőváltozók külön-külön lineárisan egymásba transzformálhatók: x' z' h' p' ' C x  , C z  , C h  , C p  , C x  , CU U . x z h p  A vesszős változókat kifejezve, az (5/b) egyenletbe helyettesítve és rendezve a Ch3C p  3 p  Ch3C p  3 p  CCU C h h 6U 0 . h  2 h  2 C x x  x  C z z  z  Cx x

Ezt az (5/a) egyenlettel összevetve,

A hasonlósági transzformáció a siklócsapágy számításoknál

Ch3 C p 2

Cx

3

Ch3 C p CCU C h  2  Cz Cx

adódik. Az elsőtaggal végig osztva a Cx2 CCU C h 1 2  2 Cz C hC p

egyenlőségeket kapjuk. A transzformációs szorzókat helyettesítve a következődimenzió nélküli számokat, ún, hasonlósági invariánsokat nyerjük: (6)

U x 'U ' x ' z2 z' 2 P1  2  2 és P2  2  2 , h p h ' p' x x'

amelyekből látható, hogy a hasonlósági invariánsok értéke az (5/a) és az (5/b) egyenletekkel leírt jelenségeknél megegyezik. Ebből következik, hogy a P1=f (P2) függvénykapcsolat mindkét jelenséget leírja. Természetesen ez a kapcsolat egyértelművé csak akkor válik, ha a leíró egyenletekhez járuló peremfeltételeket is figyelembe vesszük. A résfüggvény dimenzió nélküli alakja (1. ábra) h x 1 (1) , h0 l

(7)

ahol ε =h1/h0, továbbá vezessük be a k x=x/l és a kz =z/b dimenzió nélküli koordinátákat. Ezeket felhasználva a

U l kx b 2 k 2z P1  2 és a P  . 2 h0 p [1 (1) k x ]2 l 2 k 2x A dimenzió nélküli számok közötti függvénykapcsolat így

U l b f 1  k x , k z , ,   , 2 h0 p l   amelyből a keresett nyomásfüggvény: (8)

U l b p  2 f 1  k x , k z , ,  .   h0 p l  

A dimenzió nélküli változók függvényeként felírt nyomás segítségével meghatározhatók a siklócsapágy-számításokban használatos csapágyjellemzőszámok. A felületeket összeszorító erőa nyomásból az l b/ 2

F  p ( x, z) dx dz

(9)

0 b / 2

összefüggéssel számítható. A nyomásfüggvényt helyettesítve és az integrálási határokat átalakítva az

l 2U b lU b  F  2 b f2  k x , k z , ,  ,   dk x dk z  2 b l ,  h0 l  h0   l 0  1/ 2 1 1/ 2

ahol Ф(ε , b/l) az f2(kx , kz, b/l, ε ) primitívfüggvénye. Bevezetve a p = F/b l átlagos nyomást a

4

Járművek, Mezőgazdasági Gépek 26. évfolyam 1979. 12. szám

(10)

b  h02 p   ,   l  U l

Sommerfeld-féle vagy terhelési számot nyerjük. A súrlódási szám levezetéséhez a súrlódási ellenállás: l b /2

(11)

l b/ 2

l b/ 2  v x  p U 1  FS  [x ] y0 dx dz    dx dz   dx dz .  y y 0 h 2 x 0 b / 2 0 b / 2  0 b / 2

Alakítsuk át ismét az integrálási határokat és helyettesítsük a nyomásfüggvényt:

U b l 1 1 / 2 1   b  1  FS  f2  k x , k x ,   1 (1) k x    dk dk ,   h0 0 1 / 2 2  kx  l  1 (1)k x  x z amelyből az

U b l  b  FS   ,  h0  l

(12)

A súrlódási tényezőµ= Fs/F. Felhasználva az előzőeredményeket a

U b l  b  ,  h0  l h0 C , b   .   2 U b l b l  l   ,  h02  l A ψ= h0/l viszonylagos rést beírva és rendezve a súrlódási szám:  b  C ,  .  l 

(13)

A csapágy működésének harmadik fontos kritériuma a kenőfilm fenntartásához szükséges kenőanyag-mennyiség biztosítása. Az x=l helyen belépőkenőanyag x és z irányban távozik. A résbe áramló kenőanyag: (14)

h b/ 2 b /2  U h h3  p Qi  [ v ] dy dz  dz . x x l   2 12 x  0 b / 2 b / 2  xl

A dimenzió nélküli integrálási határokkal és (8) felhasználásával: 1/ 2 3  1 (1) k x [1 (1)k x ]   b    Qi    f2 k x , k z , ,  dk z 2 12 k x  l  kx  1  1/ 2   

A kijelölt műveletet elvégezve:  b Qi U h0 b J  ,   l

bevezetve a qi = Qi /bl fajlagos olajszükségletet, az olajszükségleti szám: (15)

 b  qi J ,   l  U

A hasonlósági transzformáció a siklócsapágy számításoknál

5

A (10), (13) és (15) eredmények helyességéről könnyen meggyőződhetünk, ha összehasonlítjuk az irodalomban található, bonyolultabb módszerekkel nyert összefüggésekkel. A fenti egyszerűpéldában bemutattuk a hasonlósági transzformáció gondolatmenetét. Segítségével levezettük a legfontosabb csapágyjellemzőszámokat és meggyőződhettünk az eljárásban rejlőelőnyökről. Mint láttuk a transzformáció nem igényel bonyolult matematikai apparátust és gyorsabban vezet eredményhez, mint az eddig alkalmazott módszerek. Az eljárás alkalmas lehet különleges siklófelület-párok hasonlósági számainak a meghatározására is. IRODALOM 1. BenkőJ.: Gépelemek II. (Támasztások). Egyetemi jegyzet, (Szerk.: SzendrőP.) GATE Mg. Gépészmérnöki Kar, Gödöllő1979. 9-21 p. 2. Szücs Ervin: Hasonlóság és modell, Műszaki Könyvkiadó, Bp. 1972. 3. Vörös Imre: Gépelemek II, Tankönyvkiadó, Bp. 1970. Publikálva: Járművek, Mezőgazdasági Gépek 26. évfolyam 1979. 12. szám