´ STRUKTURY Uˇcebn´ı texty k pˇredn´aˇsce ALGEBRAICKE Michal Marvan, Matematick´y u ´stav Slezsk´a univerzita v Opavˇe
15. Moduly Definice. Bud’R okruh, bud’M mnoˇzina na n´ıˇz jsou zad´any bin´arn´ı operace “+”: M ×M → M , (a, b) 7→ a + b, nul´ arn´ı operace “0” ∈ M , un´arn´ı operace “−”: M → M , a 7→ −a, a po jedn´e un´ arn´ı operaci “r”: M → M , a 7→ r · a, tak, ˇze (M, +, 0, −) je abelovsk´a grupa a pro vˇsechny prvky a, b ∈ M , r, s, ∈ R plat´ı 1◦ r(a + b) = ra + rb, 2◦ r(sa) = (r · s)a, 3◦ 1a = a, 4◦ (r + s)a = ra + sa. Pak se M naz´ yv´ a modul nad okruhem R nebo kr´atce R-modul a znaˇc´ı se (M, +, 0, −, R). Grupa (M, +, 0, −) se naz´ yv´ a aditivn´ı grupa modulu M . Je-li R pole, pak m´ısto modul ˇr´ık´ ame vektorov´y prostor. Pˇ r´ıklady. (1) Vˇsechny vektorov´e prostory. (2) Kaˇzd´ a abelovsk´ a grupa (A, +, 0, −) je modulem nad okruhem Z, zavedeme-li un´arn´ı operace a 7→ na, n ∈ Z, pˇredpisem pro n > 0, a + ··· + a | {z } n na := 0 pro n = 0, −a − · · · − a pro n < 0. | {z } −n
(3) Kaˇzd´ y okruh R je R-modul, zavedeme-li un´arn´ı operace pˇredpisem ra = r · a. Podm´ınky 1◦ –4◦ vypl´ yvaj´ı z axiom˚ u okruhu. (4) Bud’ V vektorov´ y prostor nad polem P , bud’ X : V → V line´arn´ı zobrazen´ı. Pro polynom p ∈ P [x], p = am xm + · · · + a1 x + a0 , poloˇz´ıme pX = p(X) = am X m + · · · + a1 X + a0 id, kde X k = X ◦ · · · ◦ X (k-kr´ at). Zˇrejmˇe je pX opˇet line´arn´ı zobrazen´ı V → V pro kaˇzd´e p ∈ P [x], a plat´ı (p + q)(X) = p(X) + q(X), 1(X) = id. Vznik´a tak struktura P [x]-modulu na V . Tvrzen´ı. Bud’ (A, +, 0, −) abelovsk´ a grupa. Pak existuje pr´ avˇe jeden zp˚ usob, jak na A zadat strukturu Z-modulu tak, aby (A, +, 0, −) byla jeho aditivn´ı grupa. D˚ ukaz. Existence: Viz Pˇr´ıklad (2). Jednoznaˇcnost: Podle 3◦ mus´ı b´ yt 1a = a pro kaˇzd´e a ∈ A, naˇceˇz 2a = a + a podle 4◦ , a podobnˇe na = a + · · · a (n-kr´ at). D´ ale nutnˇe 0a = 0, coˇz ovˇeˇr´ıme odeˇcten´ım 0a od obou stran rovosti 0a + 0a = (0 + 0)a = 0a. Nakonec (−1)a + a = (−1)a + 1a = (−1 + 1)a = 0a = 0, a proto (−1)a = −a, naˇceˇz (−n)a = (−1 · n)a = (−1)(na) = −(na) pro libovoln´e n > 0. Tvrzen´ı. Bud’ (V, +, 0, −, P ) vektorov´y prostor, bud’ X : V → V line´ arn´ı zobrazen´ı. Pak existuje pr´ avˇe jeden zp˚ usob, jak strukturu P -modulu na V rozˇs´ıˇrit na strukturu P [x]-modulu tak, aby platilo xv = X(v) pro kaˇzd´e v ∈ V . D˚ ukaz. Existence: Viz Pˇr´ıklad (4). Jednoznaˇcnost: Pro prvky p ∈ P je pv = p · v pˇredeps´ano (strukturou P -modulu na V ). Pro x ∈ P [x] je pˇredeps´ ano xv = X(v). Naˇceˇz x2 (v) = (x · x)(v) = (x(x(v)) = X(X(v)) =
15. Moduly
(X ◦ X)(v) = X 2 (v) a podobnˇe xn (v) = X n (v). Nakonec, (am xm + · · · + a1 x + a0 )(v) = (am X m + · · · + a1 X + a0 id)(v) podle 1◦ . R-modul je algebra se signaturou (+, 0, −, (r)r∈R ), pˇriˇcemˇz operace +, 0, − maj´ı po ˇradˇe aritu 2, 0, 1 a operace r jsou un´ arn´ı. Tvrzen´ı. (1) Kaˇzd´ a podalgebra R-modulu je R-modul. (2) Kaˇzd´ a faktorov´ a algebra R-modulu je R-modul. (3) Souˇcin R-modul˚ u je R-modul. D˚ ukaz. Ovˇeˇren´ı je podobn´e jako u grup a okruh˚ u a je pˇrenech´ano ˇcten´aˇri jako jednoduch´e cviˇcen´ı. Definice. Podalgebra R-modulu se naz´ yv´a R-podmodul. Faktorov´a algebra R-modulu se naz´ yv´ a faktorov´y R-modul. Tak´e u R-modul˚ u existuje jednojednoznaˇcn´ y vztah mezi kongruencemi a tˇr´ıdami obsahuj´ıc´ımi 0. Situace je velmi prost´ a, protoˇze jako tˇr´ıda obsahuj´ıc´ı 0 se m˚ uˇze vyskytovat libovoln´ y podmodul. Tvrzen´ı. Bud’ (M, +, 0, −, R) R-modul. (1) Je-li κ kongruence na M , pak je [0]κ R-podmodul v M . (2) Je-li N podmodul v M , pak je relace ≡N , zadan´ a pˇredpisem a ≡N b ⇔ a − b ∈ N , kongruence R-modulu M . D˚ ukaz. Cviˇcen´ı. ¯ generovan´y Tvrzen´ı. Bud’ A nˇejak´y R-modul, bud’ X ⊆ A podmnoˇzina. Pak pro podmodul X ¯ podmnoˇzinou X plat´ı X = {r1 x1 + · · · + rk xk | r1 , . . . , rk ∈ R, x1 , . . . , xk ∈ X}. D˚ ukaz. Mnoˇzina {r1 x1 + · · · + rk xk ∈ A | r1 , . . . , rk ∈ R, x1 , . . . , xk ∈ X} je podmodul v A a obsahuje X. A naopak, kaˇzd´ y podmodul v A obsahuj´ıc´ı X obsahuje vˇsechny prvky r1 x1 + · · · + rk xk , kde r1 , . . . , rk ∈ R, x1 , . . . , xk ∈ X.
Souˇ cty modul˚ u Souˇcin A × B modul˚ u A, B se alternativnˇe znaˇc´ı A ⊕ B a naz´ yv´a se t´eˇz souˇcet modul˚ u. Jeho typickou vlastnost´ı je tzv. univerz´ aln´ı vlastnost souˇctu. Tvrzen´ı. Bud’te A, B dva R-moduly, A ⊕ B := A × B jejich souˇcin. Zaved’me zobrazen´ı ιA : A → A ⊕ B, a 7→ (a, 0) a zobrazen´ı ιB : B → A ⊕ B, b 7→ (0, b). Bud’ C dalˇs´ı R-modul a f : A → C, g : B → C dva homomorfismy. Pak existuje pr´ avˇe jeden homomorfismus h : A ⊕ B → C takov´y, ˇze h ◦ iA = f , h ◦ iB = g. D˚ ukaz. Existence: Pro a ∈ A, b ∈ B poloˇzme h(a, b) = f (a) + g(b) ∈ C. Pak h ◦ ιA (a) = h(a, 0) = f (a), h ◦ ιB (b) = h(0, b) = g(b). Ukaˇzme jeˇstˇe, ˇze h je homomorfismus. Sˇc´ıt´an´ı: Pro libovoln´ a (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A⊕B m´ ame h((a1 , b1 )+(a2 , b2 )) = h(a1 +a2 , b1 +b2 ) = f (a1 +a2 )+ g(b1 + b2 ) = f (a1 ) + f (a2 ) + g(b1 ) + g(b2 ) = f (a1 ) + g(b1 ) + f (a2 ) + g(b2 ) = h(a1 , b1 ) + h(a2 , b2 ). Ostatn´ı operace: Cviˇcen´ı. Jednoznaˇcnost: Jest h(a, 0) = h ◦ ιA (a) = f (a), h(0, b) = h ◦ ιB (b) = g(b), a tedy h(a, b) = h((a, 0) + (0, b)) = h(a, 0) + h(0, b) = f (a) + g(b). 2
15. Moduly
Zobrazen´ı ιA , ιB jsou injektivn´ı homomorfismy. Ztotoˇzn´ıme-li sobˇe odpov´ıdaj´ıc´ı prvky a a ιA (a), a podobnˇe b a ιB (b), ztotoˇzn´ı se moduly A, B s podmoduly v A ⊕ B. V n´asleduj´ıc´ım tvrzen´ı se pˇredpokl´ ad´ a, ˇze takov´e ztotoˇznˇen´ı je provedeno. Tvrzen´ı. Kaˇzd´y prvek R-modulu A ⊕ B lze pr´ avˇe jedn´ım zp˚ usobem vyj´ adˇrit jako souˇcet a + b prvku a ∈ A a b ∈ B. D˚ ukaz. Existence: Obecn´ y prvek v A ⊕ B je (a, b) = (a, 0) + (0, b) = ιA (a) + ιB (b), coˇz je a + b pˇri uveden´em ztotoˇznˇen´ı. Jednoznaˇcnost: Rovnost ιA (a1 ) + ιB (b1 ) = ιA (a2 ) + ιB (b2 ) znamen´a (a1 , 0) + (0, b1 ) = (a2 , 0) + (0, b2 ), to jest, (a1 , b1 ) = (a2 , b2 ), a tedy (a1 = a2 a b1 = b2 . Souˇcet nekoneˇcnˇe mnoha modul˚ u t´eˇz existuje, avˇsak odliˇsuje se od jejich souˇcinu. Konstrukce. Bud’ {Aj }j∈J nˇejak´ y syst´em R-modul˚ u. Poloˇzme o n M Y Aj = (aj )j∈J ∈ Aj aj = 0 ∀ j ∈ J kromˇe koneˇcnˇe mnoha . j∈J
j∈J
Definujme jeˇstˇe ιi : Ai → i = j a (ιi (a))j = 0 jinak.
L
Lze snadno ovˇeˇrit, ˇze (Cviˇcen´ı.)
L
j∈J
j∈J
Aj . Pro a ∈ Ai budiˇz ιi (a) ∈ Aj je R-podmodul v
Q
j∈J
Q
j∈J
Aj , (ιi (a))j = a jestliˇze
Aj a ˇze ιj jsou homomorfismy.
Tvrzen´ı. Bud’ C nˇeL jak´y R-modul, bud’te fj : Aj → C homomorfismy. Pak existuje pr´ avˇe jeden homomorfismus h : j∈J Aj → C takov´y, ˇze h ◦ ιj = fj pro kaˇzd´e j ∈ J. P D˚ ukaz. Cviˇcen´ı. N´ avod: Poloˇz´ıme h((aj )j∈J ) = j∈J fj (aj ). Zobrazen´ı ιj jsou opˇet injektivn´ı homomorfismy. Ztotoˇ zn´ıme-li sobˇe odpov´ıdaj´ıc´ı prvky a L a ιj (a), a ∈ Aj , ztotoˇzn´ı se moduly Aj s podmoduly v asleduj´ıc´ım tvrzen´ı se j∈J Aj . V n´ pˇredpokl´ ad´ a, ˇze takov´e ztotoˇznˇen´ı je provedeno. L Tvrzen´ı. Kaˇzd´y prvek R-modulu avˇe jedn´ım zp˚ usobem vyj´ adˇrit jako souˇcet j∈J Aj lze pr´ aj1 + · · · + ajk prvk˚ u aj1 ∈ Aj1 , . . . , ajk ∈ Ajk . L D˚ ukaz. Existence: Pro obecn´ y prvek (aj ) v j∈J Aj je aj 6= 0 jen pro koneˇcnˇe mnoho index˚ u, oznaˇcme je j1 , . . . , jk . Pak (aj ) = ιj1 (aj1 ) + · · · + ιjk (ajk ), coˇz je aj1 + · · · + ajk pˇri uveden´em ztotoˇznˇen´ı. Jednoznaˇcnost: Cviˇcen´ı. Voln´ e moduly ˇ Definice. Bud’ d´ an modul F a mnoˇzina X spolu se zobrazen´ım i : X → F . Rekneme, ˇze modul F je voln´y nad mnoˇzinou X, jestliˇze pro kaˇzd´ y modul M a kaˇzd´e zobrazen´ı f : X → M existuje pr´ avˇe jeden homomorfismus modul˚ u f # : F → M takov´ y, ˇze f # ◦ i = f . Vˇsimnˇeme si, ˇze podm´ınka jednoznaˇcnosti homomorfismu znamen´a, ˇze jsou-li h1 , h2 dva homomorfismy F → M takov´e, ˇze h1 ◦ i = h2 ◦ i, pak h1 = h2 . Vskutku, h1 = (h1 ◦ i)# = (h2 ◦ i)# = h2 . ˇ Casto se st´ av´ a, ˇze mnoˇzina X je pˇr´ımo podmnoˇzinou modulu FX a zobrazen´ı i je vloˇzen´ım t´eto podmnoˇziny. Pak je f # ◦ i tot´eˇz, co f # |X . 3
15. Moduly
Pˇ r´ıklad. Kaˇzd´ y koneˇcnˇerozmˇern´ y vektorov´ y prostor je voln´ y nad kteroukoliv svou b´az´ı. Jedn´a se o zn´ am´e tvrzen´ı z line´ arn´ı algebry. Pˇ r´ıklad. Okruh R je voln´ y R-modul nad mnoˇzinou {1}. Tvrzen´ı. Jsou-li F1 , F2 dva voln´e moduly nad touˇz mnoˇzinou X, pak jsou izomorfn´ı. D˚ ukaz. Bud’te i1 : X → F1 , i2 : X → F2 pˇr´ısluˇsn´a zobrazen´ı. Z definice voln´eho modulu vypl´ yv´ a existence homomorfismu i# eho, ˇze i# 2 : F1 → F2 takov´ 2 ◦ i1 = i2 a homomorfismu # # # ajemnˇe i1 : F2 → F1 takov´eho, ˇze i1 ◦ i2 = i1 . Ukaˇzme, ˇze homomorfismy i# 2 , i1 jsou vz´ # # # # # # inverzn´ı, to jest, ˇze i1 ◦i2 = idF1 a i2 ◦i1 = idF2 . Prvn´ı rovnost ovˇeˇr´ıme v´ ypoˇctem i1 ◦i2 ◦i1 = ◦ i = i = id ◦i . Druhou rovnost ovˇ e ˇ r ´ ıme analogicky. i# 2 1 F1 1 1 Uk´ aˇzeme si nyn´ı, jak lze zkonstruovat voln´ y R-modul FX nad jakoukoliv mnoˇzinou X, i nekoneˇcnou. Poznamenejme, ˇze podle pˇredchoz´ı vˇety je jak´ ykoliv voln´ y R-modul nad touˇz mnoˇzinou X izomorfn´ı modulu FX . Konstrukce. Bud’ X libovoln´ a mnoˇzina. Oznaˇcme FX mnoˇzinu vˇsech zobrazen´ı a : X → R takov´ ych, ˇze a(x) = 0 pro vˇsechna x ∈ X kromˇe koneˇcnˇe mnoha. Opatˇreme FX strukturou R-modulu definovanou pˇredpisem (a + b)(x) = a(x) + b(x), 0(x) = 0, (−a)(x) = −(a(x)) a (ra)(x) = r(a(x)) pro libovoln´ a a, b ∈ FX a r ∈ R. Zaved’me zobrazen´ı i : X → F pˇredpisem x 7→ ix , kde ix : X → R je pˇriˇrazen´ı x 7→ 1, y 7→ 0 pro y 6= x. Podm´ınka “a(x) = 0 pro vˇsechna x ∈ X kromˇe koneˇcnˇe mnoha” znamen´a, ˇze pro existuje mnoˇzina Za ⊂ X takov´ a, ˇze a|Za = 0 a mnoˇzina X \ Za je koneˇcn´a. Ovˇeˇrte jako cviˇcen´ı, ˇze se skuteˇcnˇe jedn´a o R-modul. Tvrzen´ı. R-modul FX je voln´y nad mnoˇzinou X. D˚ ukaz. Bud’M libovoln´ y R-modul a f : X → M libovoln´e zobrazen´ı. Existence homomorfismu f # : Definujme zobrazen´ı f # : FX → M pˇredpisem X a 7→ a(x) f (x). x∈X
(Na prav´e stranˇe stoj´ı souˇcet prvk˚ u a(x) f (x) modulu M , z nichˇz jen koneˇcnˇe mnoho je nenulov´ ych, a proto je takov´ y souˇcet korektnˇe definov´an i kdyˇz je mnoˇzina X pˇr´ıpadnˇe nekoneˇcn´ a.) Ovˇ e ˇ r me nejprve, ˇzePf # je homomorfismus. P Tak napˇr´ıklad, P pro sˇc´ıt´an´ı m´ame f # (a + b) = P # # x (a + b)(x)f (x) = x (a(x) + b(x))f (x) = x a(x) f (x) + x b(x)f (x) = f (a) + f (b). Pro ostatn´ı operace se postupuje analogicky. P D´ ale, f # ◦ i = f , protoˇze f # ◦ i(x) = f # (ix ) = y ix (y)f (y) = f (x). Posledn´ı rovnost plyne z faktu, ˇze ix (y) = 0 pro vˇsechna y ∈ X kromˇe jedin´eho pˇr´ıpadu y = x, kdy je ix (x) = 1. Jednoznaˇcnost homomorfismu f # : Cviˇcen´ı. Zobrazen´ı i : X → FX je zˇrejmˇe injektivn´ı. Ztotoˇzn´ıme-li prvky x ∈ X s jejich obrazy i(x) ∈ FX , m˚ uˇzeme ps´ at X ⊂ FX . V n´ asleduj´ıc´ım tvrzen´ı pˇredpokl´ad´ame, ˇze je takov´e ztotoˇznˇen´ı provedeno. Tvrzen´ı. Kaˇzd´y prvek a 6= 0 R-modulu FX m˚ uˇzeme pr´ avˇe jedn´ım zp˚ usobem zapsat ve tvaru a = r1 x1 + · · · + rk xk , kde r1 , . . . , rk ∈ R jsou libovoln´ a nenulov´ a, x1 , . . . , xk ∈ X jsou po dvou r˚ uzn´ a. 4
15. Moduly
D˚ ukaz. Existence: Uvaˇzujme o obecn´em prvku R-modulu FX , to jest, o zobrazen´ı a : X → R, kde a(x) 6= 0 jen pro koneˇcnˇe mnoho prvk˚ u z X, oznaˇcme je x1 , . . . , xk , kde k > 0 pokud a 6= 0. Snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze pro vˇsechna x ∈ X plat´ı a(x) = a(x1 )i(x1 )(x) + · · · + a(xk )i(xk )(x). Tud´ıˇz, a = a(x1 )i(x1 )+· · ·+a(xk )i(xk ). Pˇri ztotoˇznˇen´ı x1 = i(x1 ), . . . , xk = i(xk ) a poloˇz´ıme-li r1 = a(x1 ), . . . , rk = a(xk ), obdrˇz´ıme hledan´e vyj´adˇren´ı. Jednoznaˇcnost: Necht’ r1 i(x1 ) + · · · + rk i(xk ) = s1 i(y1 ) + · · · + sl i(yl ), kde x1 , . . . , xk jakoˇz i y1 , . . . , yl jsou po dvou r˚ uzn´e a vˇsechna r1 , . . . , rk , s1 , . . . , sl jsou r˚ uzn´a od nuly. Na lev´e i prav´e stranˇe rovnosti jsou zobrazen´ı X → R, kter´a mus´ı nab´ yvat stejn´ ych hodnot pro vˇsechna x ∈ X. Pro x = x1 dost´ av´ ame na lev´e stranˇe r1 . Kdyby yj 6= x1 pro vˇsechna j, pak by na prav´e stranˇe st´ ala nula a r1 = 0, coˇz nen´ı moˇzn´e. Proto existuje j1 takov´e, ˇze x1 = yj1 , ale toto j1 je jedin´e, takˇze na prav´e stranˇe stoj´ı sj1 , a pak r1 = sj1 . Nyn´ı odeˇcteme rovnost r1 i(x1 ) = sj1 i(yj1 ) od rovnosti p˚ uvodn´ı a pokraˇcujeme indukc´ı. D˚ usledek. Mnoˇzina X generuje R-modul FX . Existuje alternativn´ı popis voln´eho R-modulu: ∼L Cviˇ cen´ı. FX = zd´e x ∈ X. x∈X Rx , kde Rx = R pro kaˇ
5
