x rdzkg,, s 2, au+ =,^qal,, = o,z3 x r.otz xg,8x (zb+v 1 =(r * vot^ l)ar,juf ^Y^Pt".#L*"t",^. z,6x1x2, 4,9 = o -, ' " F2=orzoN -> vn = 1o7 '

le+{"t^r^'[c - 40 v"'zL rg83 C. S - hJ,-^r\e*^Je-- H*m 1. o.1. m= SV . o,3gSxLoex ssxv*x(zb-tV): SZgx*9 = c r7,x rdzkg,, s 2, aU+ = ,^qal,, = o,Z3x r.otzxg,8x (zb+V 1=(r * vot^l)Ar,juf

? =' + = ' 9 " ïï

t

. t

= g , oxroew=i^rur, u, Qrrvz(oÀl--,' t2 L

(

o

e^

^

2. W =* v * f = = à r 7 , 7 6 , o z: l3 g = o tt4x*" 1 - o ;4 l"J ^ "

'

3. l[*wt$e^ V,$2=-V3_> U,le: 23 xorl\ -"'l,l Vl^. . $oor r*u\tx=--lÈ,t rr.r.r. de, pa*...ire Sp..t'-!rrt-rt7 lr* ""..^^,

iw

2.

* =ftVf

Ar.

b1, 2.

+t--]i". -[.c.

g"ràl"W

^Y^Pt".#L*"t",^. arc4

T=i=i

.I" 'rir,,-es.ttt*^^.o3en^À\tl^^€À '

o,ogkX-

= - ,#;-;t= e,'t

,3ro"It

"-*

J.SFrrrntn^.U[cr,L]<-

e, à.

e.

n

ï'

1-\16orbe-spr"-kinX '\.Fa-neru kslti-<,k op Je.a
3

Sr^<,t,

o +, --à Fa. o,6t - z , 6 x 1 x 2 , 4 , 9 = o -, ' " F 2 = o rz o N-> v n = 1 o 7 ' 't,'- - M à* r =o ,rrl aL'rc otozox g8 x (9.xt,a-xr,o*t) = 4,7xÊ3t C , ,,^[l.1 = ^g Da-a'rna, bq& T csruJ-,-rt. c)4,' Na" cnt2car-<-ertez sli',rfff,tfif^^.-

t. Opt.orrde,rL'o,--.-c- 4I

-t 4 , a.

.ll.{r{**{Jria"[

.+ Lti.l

lrslf#9.13"#ft\**.*9 4o 1a ,79lr,sg bo lo,TS lz,fl f,o lo,ry | z,ln

íIo lo,ra | c1.

',3.

o,kv

\8"= iË;"È

tëto- é,o:+,oV

__> t =. lg 'L

I

*?

"rlr-t'tl4r*',>

BijÈ=rfc ie Vep =4,+ V

vga= 4,ol e-) {ls *At*.}'-^^'u','

+o,qY j u^o=

dp- ,+et

b-""Á

, 8oÀ-*- ze'qat.^L L^ otva&r li.-t-,^^Á

Vr--V"= = 6,oV .n'1,=n.to,o

2.

zs,s,

)u)p.r@à^t^r.

o{)

{"V 3,oV l,Bv

ot9

4'15 ^ fl.."*r,r'=

hi"^"--"è) lclr,,""^.=+\.*Af, !^r'-Í.r&.*(";e

g. bn +6r^"^r'*"^Ácb\a tn^^rJ; +er^"^"*rté€Da b*áx2+aN\Á\^^te^^t*. ^{ ^-[u . \Jp.._..r ^rx-..d*ew,,/r,'

l.{,4r"^.

^

+ A"l--s{-r".'"

o.)rJ+x-2 *tL,{-*r*^st-^ (J* v-, e{l}lt) ^i.ts1Cu7",,{

* &*;frÍ*,_,+ {')?t",te,. n'a-Ë"r}^-,^àà

NVonJ-"-pci(,1986 J AA P S MIT H unze Col lege Groningen

Actieenreactie(II) Een tweedevoorbeeldvan het gebruik van de kausale redeneringis de wet van Lenz. Deze wet maakt het mogelijk om de richting van een inductiestroom te bepalen.Helaas wordt de wet door veel leerlingen en ook door leraren gebruikt om inductieverschijnselente verklaren. De kans op velkeerdeconclusiesis dangroot. Ook hier eensubtieltaalgebruik: deconclusie - wat er gebeurt - hoeft niet verkeerd te zijn, maar de conclusiewordt op verkeerdegrondengetrokken. In dit nummer eenvoorbeelduit eenvroegere examenopgavevan de HAVO.

De trillende magneten Het bewustedeel van de examenopgave (1983 I, opgave2) is opnieuwafgedrukt. Het gaat dan om de vragen d. enf. De leerlingenbegrijpenbij vraag d. daï er een stroomgaat lopen (dat levert volgens de norm I van de 3 punten op). In de kring treedt nu een warmteontwikkeling op, hetgeenten koste gaat van de bewegingsenergievan de trillende magneet. Op die magneetmoet dus (af en toe) een ,,remmende"kracht werken.Maar wat lezen we nu in een veel gekochte uitwerkingt van examenvraagstukken: d. Na het sluiten van de schakelaar op hel tijdstip tt oftstAil in spoel I een inductiestroom. Deze inductiestroom veroorzaakt volgens de wet van Lenz in spoel I steedseen magneetveld dat de oorzaak van zijn ontstaan - dat is de trilling van de mqgneet - tegenwerkt. De trillíng van de magneet is na het tijdstip t, dus gedempt.

Daarnawordt vermelddat de hierboven gegevenredeneringmet de omzettingvan energie,,ookgoed" is. Tja, maar de redeneringmet de wet van Lenz is wel fout. De wet van Lenz leidt niet tot demping, maar mogelijk tot een iets groterefrequentiel,die op de foto niet meetbaaris. De opbouwvan de rest van het vraagstuk suggereertom op kausalewijze verder te gaan.Door de trilling van de enemagneet gaat- via de inductiekoppeling- de andere magneettrillen. Bij vraag I wordt een redenering verlangd om te bepalenwat de polenzijn van magneet II. In feite kunnen allebei de mogelijkhedenvoorkomen.In het ene geval zullen de inductiespanningenelkaar

tegenwerkenen is de stroom in de verbindingsdradenAC en BD nul. In het andere geval loopt er wel stroom door die draden en is de frequentievan de magneteniets grotersen is er - door de ohmseweerstand - ook demping. Het antwoorddat met de redeneringmet de wet vanLenz wordt verkregenl'2(magneet II heeft aan de onderkant een zuidpool) komt overeenmet het eerstegeval, dus zonder stroom in de koppelingsdra-

De spoel (spoel I) wordt nu via een schakelaarS tevens verbonden met een identieke spoel II. Zie fignr 6. Op een bepaald tijdstip (t,) sluiten we de schakelaar.De lichtstip doorloopt op het oscilloscoopschermde baàn, zoals weergegevenis op de foto van figuur 7.

figuur 6 figuur 7

In figuur 7 is te zien dat na het tijdstip Ír de amplitude van de verticale trilling van de lichtstip plotseling kleiner wordt en vervolgensgeleidelijk afneemt. Het laatste betekent dat de trilling van de magneet na tr ggdempt wordt. d.

Leg uit waarom de trilling van de magneet na het tijdstip /, Bedempt wordt.

Vervolgenshangen we aan een tweede veer een tweede magneet gedeeltelijk in spoel II. Zie figuur 8. Beide veren en beide magneten zijn identiek. We brengen magneet I in trilling, waarbij de onderkant van de magneet weer niet onder de spoelui t komt. SchakelaarS is geopend, magneet I trilt nagenoegongedempt. We sluiten vervolgensde schakelaaren zien dan dat magneet II ook gaat trillen. De frequenties van beide trillingen zijn gelijk. De amplitude van de trilling van magneet I neemt eerst af, terwijl die van magneet II toeneemt. s@l tr

spel I

figuur 8 e.

Waarom volgt uit het feit dat de amplitude van de trilling van magneet II eerst toeneemt dat de amplitude van de trilling van magneet I eerst afneemt?

De magneten trillen precies in fase. In figuur 8 is aangegevenop welke manier de spoelen gewikkeld zijn en hoe ze met elkaar zijn verbonden. De bovenkant van magneet I is een zuidpool. I

Beredeneerof de onderkant van magneet II een noordpool dan wel een zuidpool is.

Uit: HAVO-examen1983- I opgave2.

*,Jm&,Y" * ry*fir^*x.*f*fm" l-le-hiffi*r-"* t"1"*"-{-"e".t-n,sfvo*.* c,oto' .ffiffi" ,.**" .e-e.;À$*J*.'; iffiq" ffi**&" ^-*:f^:Ï*[ffi #&,, \{d'r^.d* lcJt*rSd,f is 1.J*-[dt"F$re"kpÍt *rodi,é*lF. Ae. nca& a"C br'"f$

JAAP SMIT Hunze CollegeGroningen

Gekoppeldetrillingen den. Dat lijkt nu extra vreemd,omdat de 20 redenering met de wet van Lenz juist uit-

De frequentievan eentrilling is af te leidenuit de oplossingyan de krachtengaat van het lopenvan een(gemeenschap- vergelijking. Ook bij gekoppeldeslingersvinden we zo een oplossing.Het faseverschiltussende slingershangt af van de 'begin'-voorwaarde:wat is de pelijke) stroom. De fout is dat ten onrechte de inductiefasevan de bewegendeslinger als de andereslinger helemaalstil hangt. Het stroom als oorzaakvoor de bewegingvan trillingsverloop van die slingersis namelijk identiek, afgezienvan het fasede tweedemagneetis genomen'De magverschil. Bij de meesteuitvoeringenvan de proef is het faseverschilf. tvten neten trillen doordat ze aan eenveer hantrekt dan één slinger opzij en laat die los. gen. In het geval dat er een inductiestroom loopt (magneet II heeft dan aan de onderkant de ,,verkeerde"pool) is er een kleine extra terugdrijvende kracht naar de evenwichtsstand.Hierdoor ontstaat de iets hogere trillingsfrequentie:, die bij het besprekenvan onderdeeld. al is genoemd.

Voetnotsn l. R. Slooten en O. G. Krant, IIAVO-examenbundel natuulkunde i,980/1984' uitgaveOnderwijspers. 2. F. J. Engelhard, Natuurkunde IIAVO uitwerkingen 1980 t/m 1983, uitgave van Walraven. 3. Een analogonwordt besprokenin een ander arti[el in dit blad onder de titel ,,Gekoppeldetrillingen". In het kort komt het hier op neer: De kracht die de inductiestroomop de magneetuitoefent is te vergelijkenmet het aanbrengenvan eenextra veeronder aan de magneet.De veerkrachtbij een bepaalde uitwijking is nu groter. De veèrconstante..C" in de formule t

r= I tfl m

2n Y is groter,dus is de frequentiegroter. Alleen als de inductiestroomarbeid verricht (bijvoorbeeldin een ohmse weerstandwarmteopwekt)ontstaateen faseverandering van de inductiestroom waardoor de trilling van de magneet , wordt afgeremd.

z\.

|

F-

-X

)

--r--

Figuur I.I: De slinger.

Figuur 1.2: De slinger mel eenveer.

Eénslingermet een veer

Twee gekoppeldoslingers

Op de universiteit voeren studenten de praktikumproefuit van twee gelijke slingersdie door een veer gekoppeldzijn. = - C{x; C, is de'veerconstan- Elke eigenbewegingis te analyserendoor -m g-ï'* F: dezeop te vatten als een superpositievan tweeeigentrillingen:in figuur 2.1trillen de te'vanie slinger. Combinatie met F:ma en a:x"(t) (de slingersin fase en in figuur 2.2 trillen ze in tegenfase. tweedeafgeleidenaarde tijd), levertde difIn figuur 2.1 heeft de veer geen invloed, ferentiaalvergelijkin g fo duscuis gelijk aan@tzoalsin figuur 1.1.In x"(t) : -=.x(t) : -l'x(t) flgtur 2.2 staat het midden M van de veer mt stil, dus a; is gelijk aan a2 zoals in figuur L.2. Een oplossinghiervanis In figuur 2.I tÍilt het gemeenschappelijk : x: Á cosa)jt met ,F18 vm zwaartepuntM, in figuur 2.2het blokje ten opzichtevan dat zwaartepunt. In figuur 1..2werkt een extra veerkracht De bewegingvan het punt M wordt beF ,:-C ;u :- C ;p.x. schrevendoor De vergelijking wordt nu ( 1) -(C" + C.,o\ x*: APosí'l0l " ' ' xttt x " (t): ri en de oplossing Die ten opzichtevan M wordt beschreven ) att x :A c o s a z tmeta2: door De situatievan figuur 1.1 is in ieder leerboek terug te vinden. De 'terugdrijvende' krachtFwordt beschrevenmet de formule

De frequentiemet veeris groterdan de frequentiezonderveer.

xt-xu = A2costt)2t (linkerslinger) (rechterslinger) x2-xs :-1rss"rt1

(2)

GtÁtaf,

/---_--_L __ l---

í

-l y/'----__ i_ _ - - " ' u . _______J F__x2

-X1 --------{

Figuur 2.1:Infase trillen.

(\

(

, -)

- t t , , ')

vergelijking met een geschikt model dat overzichtelijkeris. Dat kan een mechanischanalogon zijn zoals in dit artikel is weergegeven.Figuur 2.1 is te vergelijkenmet de trillende magnetenwaarbij er geen inductiestroom loopt. Men kan dan gerustde verbindingssnoertjesonderbreken:de trillingen gaan gewoondoor. Maakt men danweerverbinvan éénvan dingwaarbij de aansluitpunten de spoelenwordenverwisseld,dan ontstaat de situatievan figuur 2.2. Dan loopt er wel een inductiestroom,dus is er extra koppeling tussende magneten,dus een grotere frequentie. Bovendien is er demping die hier vooral in 'de veer' optreedt:de inductiestroomgaatdoor ohmseweerstand.

Figuur 2.2: In tegedase trillen.

Het is dan onzinnigom de 'later begonnen' trilling nog steedsals gevolgvan de eerst gestartetrilling te zien.

De samengestelde trilling Uit de vergelijkingen(1) en (2) volgt: x, : Arcosat,t+ A2cosa2t x2 = Aposalt - Azcosc,2t

Andere trillingen í?) \'/

AlsÁ, = Az: lzA zijn de formules(3) volgensde goniometrieals volgt te schrijven: \ = A cos@Í' cosÁ@t xz: Asin ,,l ' sin aat nr.

1

(4)

Dit verhaal over mechanischetrillingen loopt direct parallelmet het vraagstukvan de trillendemagnetenuit het havo-examen 19831.Daar bleek de aanpakmet een kausaleredeneerketentot fouten te leidenbij het onderdeel /. Een goede aanpak is de

Het model kan ook een wiskundigmodel zijn, zoalszo vaak in de natuurkundehet opstellenen oplossenvan eendifferentiaalvergelijking. In beide gevallen wordt het hele systeem overzichtelijk beschreven. Een redeneerfout,waarbij afzondelijkeaspectenten onrechtemet elkaarin kausaal verbandgebrachtwordenis dan niet mogelijk. Helaasvalt zo'n correcteaanpakwel buiten de havo-stof.

ttt^

H ie rb i ji so o : = 3- en ,

ao:-

A>-

0 )r

2-

In figuur 3.1 en3.2 zijn de grafiekenvan x1 voor de waarden
Figuur 3.1: De trilling van de linkerslinger.

Figuur 3.2: De trilling van de rechterslinger.

Voetnoot I. Ziehet artikel'Actie en Reactie(II)'in dit zelfde nummeÍ van het NVONmaandblad.

2l

HAVO I Naam: EXAMEN HOGERALGEMEENVOORTGEZETONDERWIJSIN 1983 Din sd a g l 0 m ei,9.00-12.00uur NATUURKUNDE 3 en 4. bij de vraagstukken behorende Antwoordpapier

zr9 23 3F-1lA

li

bo

É, uJ (, I UJ tlJ

z o N

É.

o r

ti

à0

tÊ

279233F-11A

HORIZONTALELEGGER

lÍ lfiggurC , li

.r

F-*,*---*---; 4,3 c^n^ ,i,os t C-r^ii

o\ ,' I V/r-

' l- = 2,6q$ vu

r2r6.t tn-?N

219 2 3 3 F - 1 1 A

p{ . t,i tro,t

1..::::i

rl

\i

.,

bp

ïJ

rf\ v

t t,:r

í \: \

tt

\ \,

3

\,i l :::i

l l

\

l::i

j' :i:l

::a:l

t:

I ;:::i l.t:::,

a!

o20406080 + figuur D

21 9 2 3

3F-

I lAÈ

t inoG