DE ENIGE MUSEUMI
echte BOERHAAVE
Welkom in Museum Boerhaave Museum Boerhaave is hét Rijksmuseum voor de geschiedenis van de natuurwetenschappen en geneeskunde. In dit museum kun je hierover dus ontzettend veel leren. Wij gaan vandaag niet de gehele wetenschapsgeschiedenis bekijken. We zoomen in op de ontwikkeling van een klein
WISKUNDEroute!
stukje wiskunde. In zeven opdrachten en een bonus-buitenopdracht laten we de wiskundige voorwerpen uit de collectie van Museum Boerhaave tot leven komen. Bij elk voorwerp is een aantal vragen gesteld, die voor elk niveau geschikt zijn. Gescheiden van deze algemene vragen is er ook een aantal “plus”-vragen, die bestemd zijn voor leerlingen vanaf de derde klas van de middelbare school. Wanneer je nog niet in de derde klas zit mag je natuurlijk deze plus-vragen proberen te maken, maar waarschijnlijk kom je voorkennis te kort. Van zeven voorwerpen uit de collectie van Museum Boerhaave hebben we replica’s laten maken. Jij mag zelf met deze replica’s aan de slag. Op deze manier
04
kladpapier nodig? Op de achterkant!
05
Zaal 4
hopen we dat jij een stukje van de geschiedenis van de wiskunde herontdekt. Hieronder zie je de plattegrond van Museum Boerhaave. De bonus-buitenopdracht combineert een aantal opdrachten die je binnen hebt gedaan. Deze opdracht doe je in de binnentuin van het museum. Via de wenteltrap in zaal 4 kun je naar de binnentuin lopen. De wiskunderoute begint in zaal 3. De zaalnummers vind je op elke deurpost.
We wensen je veel plezier met de enige echte wiskunderoute!
06 ZAAL 5
07 WENTELTRAP ZAAL 3
> Voorwerpen:
03
1. Kwadrant van Blaeu
02
2. Tekenaap 3. Prent van zeilwagen van Stevin
BONUS OPDRACHT
Binnentuin
4. Anamorfosen 5. Napierstokjes
01
6. Voetmaten
TRAP
7. Modellen van Archimedes 8. Bonus opdracht (buiten)
1e ETAGE I
ZAAL 2 BAR
Museumcafé
TRAP Kassa
> Looproute: Zaalnummers: zaal 3, zaal 4, zaal 5. Anatomisch theater
Toiletten
I
Let op de zaalnummers:
en volg de gele lijn op de plattegrond.
BEgane grond
INGANG MUSEUM
1
Looproute: Vanaf de kassa ga je linksaf door de hoge hal van het museum, en ga je achter het anatomisch theater de trap op naar zaal 2. Via de trap in zaal 2 loop je naar zaal 3. In zaal 3 vind je aan de rechterkant het kwadrant van Blaeu.
ae Bl u
Kwadrant van blaeu
01
an tv an adr Kw
OPDRACHT
Wie voor 1802 aan een voorbijganger vroeg wat de afstand was tussen Leiden en Katwijk aan Zee, kreeg twee antwoorden: 1. Dat is ongeveer één uur rijden met een goed paard. 2. Dat is ongeveer twee uur goed doorlopen. Deze twee antwoorden zijn beide vrij lastig te interpreteren. Want wat is nu een “goed” paard en hoe snel moet je als mens doorlopen om binnen twee uur tijd in Katwijk aan Zee te komen? Vanwege dit praktisch probleem ontstond de behoefte om Nederland in kaart te brengen.
C Om afstanden tussen verschillende plaatsen in Nederland te bepalen ga je als landmeter niet met meetlatten het land in om alle afstanden met de hand op te meten. Dit zou veel te veel tijd kosten! Om snel een goede kaart van Nederland te maken moest dus iets anders worden bedacht. Omstreeks 1610 maakte kaartenuitgever Willem Janszoon Blaeu dit reusachtige kwadrant. Met dit kwadrant kun je heel nauwkeurig hoeken meten. Wanneer je, zonder het aan te raken, kijkt naar de rand van het kwadrant zie je de graden erin gegraveerd staan. Het kwadrant begint helemaal bovenin bij 0º en eindigt bij 90º. Je zou het kwadrant van Blaeu kunnen vergelijken met een bijzonder nauwkeurige geodriehoek.
2
In de wiskunde delen we een assenstelsel meestal op in vier partjes. Wanneer we een cirkel tekenen waarvan het middelpunt op de oorsprong ligt krijgen we vier taartpunten. In de wiskunde noemen we zo’n taartpunt een kwadrant. In de afbeelding hieronder zien we dat elke cirkel in de wiskunde vier kwadranten heeft en dat elk kwadrant weer is onderverdeeld in 90º. Het grote kwadrant van Blaeu lijkt dus qua vorm op een kwart van een cirkel, vandaar de naam kwadrant.
as
30º
A
basismeting = 500 m
B
Wanneer we één afstand meten, in dit geval de afstand tussen plaatsen A en B, dan hebben we een basis- meting. Wanneer we vervolgens de hoek meten tussen de kijklijnen BA en BC kunnen we met behulp van goniometrie de andere zijden (AC en BC) uitrekenen.
DE ONTDEKKING VAN Snel
Het nauwkeurig kunnen meten van hoeken is een vaardigheid waar landmeters graag gebruik van maakten. Stel je wilt, zonder drie keer met een meetlint te hoeven meten, de afstanden weten tussen drie verschillende plaatsen met een bijzondere ligging (voor het gemak noemen we de drie plaatsen A, B en C).
Waar komt de naam kwadrant vandaan?
De bekende wiskundige Willebrord Snel van Royen gebruikte deze methode om tussen 1615 en 1617 de omtrek van de aarde te bepalen. Om de hoeken te bepalen tussen verschillende kijklijnen zocht Snel het hoogste punt van een plaats op. Dit was meestal een kerktoren. Dit was een slimme keuze omdat iedere plaats ten minste één kerktoren heeft en omdat deze meestal het hoogste gebouw van een plaats is. Je kunt je voorstellen dat het vervoer van dit reusachtige kwadrant naar de verschillende plaatsen, evenals het vervoer van de grond naar de top van de kerktoren, veel tijd in beslag nam. Verder kon Snel alleen meten bij goed weer. Bij veel bewolking was het zicht te slecht om de verderop gelegen kerktoren goed te kunnen zien. In dat geval kon Snel niets anders doen dan in een herberg zijn
1
2 as
3
4
berekeningen uitwerken. Als je rekening houdt met deze omstandigheden dan heeft Snel toch een nette prestatie geleverd door in twee jaar tijd zijn metingen te voltooien. Door een heel net van driehoeken te maken, kon Snel afstanden bepalen tussen verschillende plaatsen in Nederland. Eén basismeting en daarna veel hoekmetingen waren voldoende om afstanden te bepalen tussen verschillende plaatsen. Op de pagina hiernaast zie je een afbeelding van de kaart die Snel heeft gemaakt. Met behulp van één basismeting in Leiden en vervolgens een aantal hoekmetingen, bepaalde hij de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar. Deze afstand gebruikte hij om de omtrek van de aarde te bepalen.
één dodelijk ongeluk door metingen
Het werk was voor de landmeters niet zonder gevaar. Er werd op grote hoogte gewerkt, en de kans bestond dat een landmeter van een kerktoren zou waaien. Toch is er in al deze jaren maar één dodelijk ongeluk gebeurd. Bovenin een toren viel een landmeter door een gat in de vloer. De landmeter was meteen dood. De weduwe kreeg 25 gulden schadevergoeding. Tot slot is de broer van de weduwe aangenomen om als landmeter een inkomen voor de familie te verdienen.
Tabellenboek
DE VRAGEN
Al voordat er rekenmachines bestonden werd er aan wiskunde gedaan. Waarden van sinus, cosinus en tangens werden vroeger met de hand uitgerekend. Deze waarden werden dan in tabellenboeken gezet. Daarin kon je eenvoudig waarden van sinus, cosinus en tangens opzoeken. Hieronder staat een klein tabellenboekje waarin je de waarden kunt vinden die voor de plus-opdracht handig zijn.
A] Tel in de afbeelding van het driehoeksnet van Snel het aantal kerktorens dat Snel gebruikte om de afstand te bepalen tussen Bergen op Zoom en Alkmaar.
Na de metingen van Snel wisten we nog steeds niet alle afstanden tussen de plaatsen in Nederland. Pas een kleine tweehonderd jaar later, tijdens de Franse bezetting, werd heel Nederland in kaart gebracht. De Fransen gaven luitenant-generaal baron Krayenhoff hiertoe de opdracht. Na negen jaar was Krayenhoff klaar met zijn kaart. Deze klopte veel beter met de werkelijkheid dan de kaarten van Nederland die eerder waren gemaakt. Ook de grondbelastingen gingen beter kloppen nu de stukken land beter werden opgemeten.
kerktorens
Deze opdracht kan alleen worden gemaakt als je hoeken kunt meten!
graden
tangens
sinus
cosinus
17 18 19 58 59 60
0,3057 0,3249 0,3443 1,6003 1,6642 1,7321
0,2924 0,3090 0,3256 0,8480 0,8572 0,8660
0,9563 0,9511 0,9455 0,5299 0,5150 0,5000
+
PLUS VRAAG Voorbeeld hoekmeten met een kwadrant
Alkmaar
De kaart van Snel
Voor het kwadrant van Blaeu zie je vier vloerstickers. Deze vloerstickers stellen de kerktorens voor van de plaatsen Leiden, Wassenaar, Noordwijk aan Zee en Voorhout. In deze opdracht ga jij met behulp van het kwadrant in je koffer een nauwkeurige plattegrond op schaal maken. Vervolgens bepaal je met behulp van je geo- driehoek de afstanden tussen deze vier plaatsen.
We weten dat de afstand tussen Leiden en Wassenaar 9 kilometer is. Dit is onze basismeting. Bereken in kilometers nauwkeurig de afstand tussen: • Wassenaar en Noordwijk aan Zee, • Noordwijk aan Zee en Voorhout. Gebruik voor het meten van de hoeken het kwadrant. Voor het rekenwerk kun je de rekenmachine gebruiken en het kladblad achterop de krant. Afstand Wassenaar en Noordwijk aan Zee: km Afstand Noordwijk aan Zee en Voorhout: km
B] Leg je kwadrant met de rode stip op de kerktoren van Leiden. Je kunt nu de hoek meten tussen de kijklijn Wassenaar – Leiden en de kijklijn Noordwijk aan Zee – Leiden. Noteer hieronder hoe groot deze hoek is. De hoek is
°
Leg nu je kwadrant op de kerktoren van Wassenaar en meet vervolgens de hoek tussen de kijklijn Wassenaar – Noordwijk aan Zee en de kijklijn Wassenaar – Voorhout. Noteer hieronder hoe groot deze hoek is. De hoek is
DE AARDE IS GEEN BOL
In 1861 kreeg de Nederlandse regering het verzoek van de Pruisische regering om mee te doen aan een grote meting. Het doel van deze grootschalige meting in midden-Europa was om meer te weten te komen over de vorm van onze aarde. Voor deze meting bestonden
°
Bergen op Zoom
Hier op de vloer is de basismeting Wassenaar – Leiden precies 150 centimeter. De lijnen tussen Wassenaar - Leiden en Voorhout - Noordwijk aan Zee lopen parallel aan elkaar. Maak de plattegrond op het roosterpapier hieronder af.
Tegenwoordig wordt er niet meer met een driehoeksnet gewerkt. De ligging van plaatsen kan heel precies worden berekend met behulp van satellieten. Denk maar eens aan het GPS-systeem van je telefoon.
epaal vervolgens met behulp van je geodriehoek B op je plattegrond de afstand tussen: • Voorhout en Wassenaar • Noordwijk aan Zee en Voorhout
er wel vermoedens over de vorm van de aarde
maar deze waren nog niet gecontroleerd. Tot op de dag van vandaag hebben wiskundigen nog geen formule kunnen vinden voor de vorm van onze aarde. Wat we wel weten is dat de aarde eruit ziet als een bol die aan de bovenen onderkant wordt ingedrukt.
Leiden
Maak hier je tekening (1 hokje op de tekening = 20 cm in het echt):
Zoals in het kaartje van Snel te zien is, vormen de plaatsen in werkelijkheid geen rechthoekige driehoeken. Toch zijn de afstanden nog steeds uit te rekenen. Hiervoor heb je de sinusregel nodig. Die leer je in de bovenbouw van het vwo.
90º
Wassenaar
De sinusregel
3
Looproute: Als je met je rug naar het kwadrant toe staat vind je de tekenaap bovenin de derde vitrine aan je rechterhand. Nummer 7 is de tekenaap.
OPDRACHT DE TEKENAAP
02
Als je van twee kaarten met een verschillende schaal één kaart wilt maken moet je de ene kaart vergroten of de andere kaart verkleinen. Tegenwoordig gaat dit gemakkelijk met een kopieermachine. Maar kopieermachines zoals wij die nu kennen hebben niet altijd bestaan. Wie rond 1600 twee plattegronden naar dezelfde schaal wilde overzetten had een tekenaap (panthograaf) nodig. Door het woord aap lijkt het erop alsof je dit apparaat zonder nadenken kunt gebruiken. Dat klopt, het enige dat je hoeft te doen is de vergrotingsfactor instellen. Wanneer je dat eenmaal hebt gedaan volg je met de volgnaald de omtrek van de plattegrond. Je zult zien dat het potlood op een wit vel papier een vergroting of verkleining tekent van je originele afbeelding.
DE VRAGEN
A] Omcirkel de tekenaap in het plaatje van de vitrine. B] Bekijk de historische kaart van Zeeland op bladzijde 7. Zoals je ziet is deze kaart te groot om handig in je broekzak te stoppen. Daarom ga je er een verkleining van tekenen. Gebruik het lege vlak naast de kaart om op te tekenen. Leg de tekenaap neer zoals op de foto’s hieronder. Houd het vaste punt (A) vast. Volg met de volgnaald (C) de omtrek van een aantal eilanden van de kaart van Zeeland. Druk hierbij licht op het potlood (B). Je zult zien dat je een verkleining van de oorspronkelijke kaart maakt. Bij deze opdracht zijn extra handen die het vaste punt (A) en de papieren vasthouden geen overbodige luxe.
HANDLEIDING TEKENAAP
Los steunpunt
vast punt (A)
Volgnaald (C) Potlood (B)
4
C] Meet met je geodriehoek de lengte van een eiland op de originele kaart en in je verkleining. Met welke factor is de tekening verkleind?
Met factor
oe kan je de verkleiningsfactor aflezen op je H tekenaap?
+
PLUS VRAAg
STEUNPUNT
A] De tekenaap wordt zoals de afbeelding hiernaast ingesteld. Met welke factor wordt de tekening verkleind?
Met factor
VOLGNAALD
B] Stel dat we alle eilanden op de kaart van Zeeland willen inkleuren met inkt. Hoeveel inkt heb je dan in verhouding minder nodig om de verkleining helemaal in te kleuren?
C] Hoe komt het dat de tekenaap een verkleining tekent van de originele afbeelding? Teken in de afbeelding een hulplijn door de punten A en C en probeer met behulp van F- en Z-hoeken erachter te komen hoe de tekenaap werkt.
Gelijkvormigheid Wiskundigen houden ervan om orde te scheppen in de wereld om ons heen. Dit doen zij door heel goed te kijken. Wanneer je heel goed kijkt naar driehoeken kom je er misschien tegen die exact een vergroting of verkleining van elkaar zijn. Wiskundigen noemen dit gelijkvormigheid. Vaak kunnen we driehoeken niet uitknippen om ze met elkaar te vergelijken. Wiskundigen kwamen erachter dat de vorm van elke driehoek vast ligt wanneer je twee hoeken weet. Op deze manier hebben twee driehoeken dezelfde vorm als ze twee paar gelijke hoeken hebben. Hieronder zie je een afbeelding van twee gelijkvormige driehoeken. E
D
2 1
∆ABC en ∆DEC zijn gelijkvormig, want: C
∠A = ∠D (Z – hoeken), ∠B = ∠E (Z – hoeken).
B
A
We hebben laten zien dat er twee paar gelijke hoeken zijn. Daarmee zijn de twee driehoeken gelijkvormig. Nu kunnen we de zijden van de driehoek in een verhoudingstabel zetten:
D] We willen een vierkant met zijde 5 vergoten en wel zo dat de oppervlakte ongeveer twee keer zo groot wordt, zie de afbeelding hieronder. Hoe zouden we denkbeeldig de tekenaap moeten instellen zodat de oppervlakte van de vergroting ongeveer twee keer zo groot wordt?
AB
BC
AC
DE
EC
DC
Overigens is: ∠C 1 = ∠C 2 (overstaande hoeken). Maar we hadden al twee paar gelijke hoeken dus deze hoeven we niet op te schrijven.
... • zijde Opp = 25
5
>
?
Opp = 50
5
?
E] Vergelijk jouw tekenaap met de tekenaap in de vitrine. In eerste instantie lijken ze niet op elkaar. Geef in het plaatje hiernaast aan waar de volgende onderdelen zitten:
• het vaste punt (A) • het potlood (B) • de volgnaald (C)
5
Maak hier je tekening:
6
7
Looproute: Vanaf de tekenaap loop je precies één hoge vitrine (aan de rechterkant) verder. Daar zie je een aantal prenten. Nr. 3 is de prent van de zeilwagen van Stevin.
OPDRACHT Zeilwagen van Stevin
03 datering
Op de prent zie je twee zeilwagens van Simon Stevin. Deze zeilwagens heeft Stevin voor Prins Maurits gemaakt, puur ter vermaak. Op een mooie dag in februari 1602 maakte Prins Maurits samen met 27 vrienden de eerste officiële rit. De reis begon in Scheveningen en dankzij een gunstige wind bereikten ze twee uur later het dorp Petten. Hierbij hebben ze een afstand van 14 Hollandse mijl afgelegd. Eén Hollandse mijl staat voor de afstand die een persoon in één uur tijd aflegt.
DE VRAGEN
A] Omcirkel de zeilwagen van Stevin in het plaatje van de vitrine (zie afbeelding bovenaan). B] Meet met je geodriehoek in de kaart op bladzijde 9 de afstand tussen Scheveningen en Petten in meters nauwkeurig. Hoe groot is één Hollandse mijl? Gebruik als hulpmiddel de tabel hieronder. 14 mijl .................... centimeter
D] Omcirkel op de landkaart op bladzijde 9 waar de stad Utrecht ligt. Geef daarna in de landkaart de windrichting zuidoost aan. E] Kijk nog een keer goed naar de landkaart met daarop de route van de zeilwagen. Vergelijk dit
1 centimeter op de kaart
.................... centimeter
1 mijl
.................... meter in het echt
.................... meter
.................... meter
C] Bereken de gemiddelde snelheid van de zeilwagen tijdens deze tocht. Rond je eindantwoord af in hele kilometers per uur. Gebruik als hulpmiddel de tabel hieronder.
.................... meter
.................... kilometer
2 uur
Stevin als taaltrendsetter
2 uur
In het Engels noemen we het mathematics, in het Frans mathématiques, in het Duits mathematik, in het Hongaars matematika, maar in het Nederlands noemen we het wiskunde. Alle vertalingen van het woord wiskunde zijn afgeleid van het oud-Griekse woord máthèma, wat betekent wat men leert. De wetenschappelijke voertaal in Europa was in de tijd van Stevin, de Gouden Eeuw, het Latijn. Stevin vond het Latijn maar niets, daarom schreef hij alleen maar in het Nederlands. Stevin vond het Nederlands de meest heldere, efficiënte taal die er bestaat. Om iedereen hiervan te overtuigen gaf Stevin allemaal lijsten van woorden in het Nederlands, Grieks en Latijn die hij met elkaar vergeleek op lengte en aantallen lettergrepen. Zo gaf hij bijvoorbeeld een
8
Zoals je ziet staat er geen datum onder deze prent. Toch kunnen historici schatten wanneer Stevin met deze zeilwagens zijn eerste testrit deed. Onder de genodigden bevond zich namelijk de Spaanse admiraal van Arragon, Franciscus de Mendoça, die gevangen was genomen bij de Slag bij Nieuwpoort. Stevin heeft dus tussen 1 juli 1600 (Slag bij Nieuwpoort) en 29 mei 1602 (de dag dat de Spanjaard weer terug naar Spanje werd gestuurd) zijn testrit gemaakt.
.................... kilometer
1 uur
lijst van 742 Nederlandstalige werkwoorden, waarvan hij de eerste persoon enkelvoud vergeleek. Al deze 742 werkwoorden bestaan in het Nederlands uit één lettergreep, terwijl in het Latijn maar vijf van deze werkwoorden uit één lettergreep bestaan. In het Grieks zijn dit er maar 45. Deze korte weergave van woorden maakte het Nederlands volgens Stevin de meest geschikte taal om wetenschap in te bedrijven. Een ander groot voordeel van het publiceren in het Nederlands was dat de gewone man het kon lezen. Wie goed was in wiskunde hoefde nu niet eerst een studie aan de Latijnse School of universiteit te doen. Doordat zo alle Nederlanders met aanleg toegang hadden tot de wiskunde zou deze zich volgens Stevin nog verder ontwikkelen.
met de prent van de zeilwagen die in de vitrine hangt. Wat valt je op aan de rijrichting van de twee zeilwagens?
F] De ingekleurde afbeelding van de zeilwagen van Stevin is veel later gemaakt. Hier rijden beide zeilwagens precies de andere kant op. Hoe zou het kunnen komen dat er twee versies van deze prent bestaan?
Iets waar we Stevin nu nog van herinneren zijn de “leenwoorden”. Stevin vond de Nederlandse taal zo mooi dat alle leenwoorden uit andere talen hun eigen Nederlandstalige vertaling moesten krijgen. Zo komen wij aan het woord wiskunde. Andere leenwoorden die we aan Stevin te danken hebben zijn bijvoorbeeld: opschrift (titel), aftrekken (subtraheren), vermenigvuldiging (multiplicatio), middelpunt (centrum), wortel (radix), meetkunde (geometria), schuine zijde (hypotenusa). Hoewel Stevin flink zijn best deed om het Nederlands te promoten gebruiken we niet al zijn woorden meer, bijvoorbeeld: middellijn (diameter), besluit (conclusie), evenwijdige vierhoek (parallellogram), zichteinde (horizon), bouwmeester (architect).
Scheveningen
Petten
0
+
PLUS VRAAG
Tegenwoordig rijden er nog steeds zeilwagens rond. Alleen heten ze nu blokarts. De blokart is net als de zeilwagen in Nederland bedacht. Doordat de blokarts een stuk lager bij de grond liggen en niet aan 28 personen maar aan één persoon plaats bieden, gaan ze een stuk sneller dan de zeilwagen. Bij dezelfde gunstige wind als Prins Maurits gaat een blokart wel 60 kilometer per uur. Er is één probleem: bij het zeilen over het strand van Scheveningen naar Petten kom je tegenwoordig het Noordzeekanaal tegen.
tel dat de oversteek met de veerboot 10 minuten S duurt. Wie komt er dan eerder aan in Petten? 1. De blokart komt eerder aan dan de zeilwagen, 2. De blokart komt tegelijkertijd met de zeilwagen aan, 3. De blokart komt later aan dan de zeilwagen.
Bereken hoeveel minuten het scheelt.
11 km
22 km
Stuurmanskunsten van Prins Maurits
In een verhaal dat toegevoegd is bij deze prent is te lezen dat Prins Maurits af en toe zelf het roer in handen nam. Dit ging niet altijd even goed. Soms stuurde de prins de zeilwagen de zee in. Gelukkig waren er dan gasten die de zeilwagen weer terug het strand op konden sturen, waarna de tocht weer werd vervolgd. Sommige historici beweren zelfs dat vorstelijke personen in de zee terecht kwamen door de stuurkunsten van onze prins. In hoeverre dat waar is, valt, samen met de bijzonder hoge gemiddelde snelheid van de zeilwagen, te betwijfelen.
9
Looproute: Na de opdracht over de zeilwagen van Stevin loop je door naar zaal 4. In zaal 4 vind je in de 6e vitrine aan de linkerkant de anamorfosen. Als je op de knop onder de vitrine drukt gaat het licht in de vitrine aan.
OPDRACHT Anamorfosen
04
In de vitrine zie je een aantal rare afbeeldingen staan. Ze zijn raar omdat je niet meteen ziet wat ze voorstellen. Vanuit welke hoek je ook kijkt, het blijft lastig om bij sommige prenten te zeggen wat het is. Dit komt doordat het anamorfosen zijn. Het Griekse woord anamorfose is samengesteld uit “ana”, dat terug betekent, en “morfein”, dat vormen betekent. Wanneer we deze twee woorden combineren vinden we de letterlijke betekenis van anamorfose namelijk “terug in beeld brengen”.
DE VRAGEN
A] Bekijk de piramide-anamorfose in de vitrine. Wat zie je wanneer je bovenop de piramidespiegel kijkt?
B] Probeer zonder de spiegel te raden wat er wordt uitgebeeld op de anamorfosen die in je koffer zitten. Anamorfose 1 =
Anamorfose 2 =
Van de anamorfosen zonder hulpmiddel kunnen we veel voorbeelden geven. Kijk maar eens naar het fietserssymbool dat je tegenkomt op het fietspad. Als je van dichtbij naar dit symbool kijkt, lijkt het een langgerekte fiets. Pas wanneer je vanaf de juiste hoek en afstand kijkt, zie je de fiets in de juiste verhouding.
Anamorfose 3 =
Anamorfose 4 =
Voorbeelden van anamorfosen met hulpmiddel liggen in de vitrine. Om goed te zien wat er wordt afgebeeld heb je een hulpmiddel nodig: een cilindrische spiegel.
Anamorfose 5 =
Er zijn twee verschillende soorten anamorfosen: 1] Anamorfosen met hulpmiddel, 2] Anamorfosen zonder hulpmiddel.
Het maken van een anamorfose is niet moeilijk. In de afbeelding hiernaast zie je hoe men te 2 werk gaat. Bij zien we een normaal vierkant rooster waarin we zelf een afbeelding kunnen tekenen. Elk hokje ervan brengen we over naar 3 Op deze manier kunnen we een hokje in . simpel een anamorfose maken.
10
1
3
2
C] Pak de cilindrische spiegel en zet deze op de cirkel. Kijk vervolgens van een afstandje via de spiegel naar de afbeelding (zoals te zien is op de foto op pagina 11). Schrijf bij elke anamorfose een passende titel en beschrijf wat je ziet.
Wat is anamorfose 1?
Wat is anamorfose 4?
Wat is anamorfose 5?
Wat is anamorfose 2?
D] Bekijk goed de anamorfose van de stoel. Wat gebeurt er met de kromme lijnen in het plaatje van de stoel als je in de cilindrische spiegel kijkt?
Wat is anamorfose 3?
E] Bekijk goed de anamorfose van een eend. Bedenk zelf in het vierkante rooster onder aan deze pagina een afbeelding en maak hiervan via het rooster een anamorfose. Controleer met de spiegel of je anamorfose echt werkt.
11
Looproute: Na de opdracht over de anamorfosen loop je door naar zaal 5. Gelijk in de eerste vitrine aan de linkerkant vind je de Napierstokjes. De Napierstokjes liggen bij nummer 2.
OPDRACHT Napierstokjes
05
De Napierstokjes die in Museum Boerhaave liggen zijn in 1759 door Jan Paauw gemaakt. Paauw heeft deze rekenstokjes gemaakt als hulpmiddel bij het vermenigvuldigen en delen. Je zou de Napierstokjes kunnen zien als een voorloper van de rekenmachine. Het principe achter de rekenstokjes heeft de ontwerper John Napier niet zelf bedacht. Deze methode was omstreeks 1200 al bekend in India. Wanneer je volgens deze methode twee getallen met elkaar wilt vermenigvuldigen, dan gebruik je hiervoor een rooster.
A
In de afbeeldingen hieronder zie je hoe je met behulp van een rooster 32 met 54 kunt vermenigvuldigen. John Napier heeft heel goed gekeken naar deze manier van vermenigvuldigen en kwam erachter
B 3
C
2
3
3
1 0
4
E
D
2
5
2
3
1
5
0 0
4
8
3
1 5
0 0
1 2
8
5
4
1
1 5
1
0 0
2
8
B] Bekijk bovenstaand voorbeeld waarin 32 met 54 wordt vermenigvuldigd. Wat is de functie van de diagonale lijnen in de hokjes?
C] Wat is de uitkomst van de vermenigvuldiging van 32 met 54?
12
0
4
8
5
4
I 2
1
5
5
4
7
50 • 32 =
+
8
2
D] Pak nu de twee stokjes (met daarop de tafels van) 3 en 2 en het beginstokje (zoals op de afbeelding hiernaast). Lees de uitkomsten af van de volgende vermenigvuldigingen: 4 • 32 =
0 0
1
2
3
1
DE VRAGEN
0
3
A] Omcirkel de Napierstokjes in het plaatje van de vitrine bovenaan deze pagina.
5
2
8
1
H
2
1
2
1
5
F 3
dat steeds dezelfde getallen in de hokjes komen te staan. Deze getallen heeft hij op zijn stokjes geschreven. Eigenlijk staan op deze stokjes gewoon de vermenigvuldigingstafels.
8
5
1
4
7
2
1
1 5
0 0
1 2 2
8 8
5
4
+
E] Hieronder zie je het begin van de vermenigvuldiging van 263 en 706. Maak de vermenigvuldiging verder af en noteer de uitkomst.
Logaritmen
2 1
6
3
4
....
2
....
0
.... ....
0
....
0
0
....
3
.... ....
....
6
7
0
.... ....
De Schotse wiskundige John Napier (1550 – 1616) heeft veel meer uitgevonden dan alleen de rekenstokjes. Het bekendst zijn de logaritmen. Oorspronkelijk had Napier de logaritme uitgevonden om ingewikkelde berekeningen makkelijker te maken. Onder andere in de astronomie werden berekeningen steeds groter. In essentie kwam zijn idee erop neer om met exponenten te gaan werken. Stel dat je 64 met 1024 wilt vermenigvuldigen. Dan schrijf je 64 en 1024 als een macht met hetzelfde grondtal, in dit geval grondtal 2. We weten dat 64 = 26 en 1024 = 210. Met de rekenregels voor machten weten we dat 26 ⋅ 210 = 216. De uitkomst is gelijk aan 65536, zocht Napier op in een tabel. Op deze manier kon een ingewikkelde vermenigvuldiging worden teruggebracht tot een eenvoudige optelling. Hieronder staan de rekenregels voor machten die de vermenigvuldiging laten zien.
PLUS VRAAG
A] Hieronder zie je het begin van de vermenigvuldiging van 724 en 869. Maak de vermenigvuldiging verder af en noteer de uitkomst.
7
3 2 4
6 • 263
=
0 • 263
=
700 • 263 =
STOKJES
Hieronder zie je een afbeelding van de stokjes van Napier. Twee van deze stokjes liggen op hun kop. Zie jij welke?
8
6
2 1
9 Tegenwoordig gebruiken we de logaritmen niet meer om het rekenwerk makkelijker te maken. Hiervoor heb je namelijk een rekenmachine. Toch worden logaritmen nog steeds op middelbare scholen geleerd. Dit komt doordat logaritmen veel toepassingen hebben in de praktijk: de geluidssterkte (decibel), de zuurgraad (pH), de kracht van aardbevingen (Schaal van Richter), de helderheid van een ster (magnitude). Kortom dankzij Napier gebruiken wij een kleine 400 jaar later nog steeds de logaritme.
4
6
6 F] Pak nu de drie stokjes (met daarop de tafels van) 2, 6, 3 en het beginstokje (zoals op de afbeelding hieronder). Lees de uitkomsten af van de volgende vermenigvuldigen:
2
8
9
1 B] Bedenk zelf hoe je met de stokjes uit je koffer de vermenigvuldiging van 724 met 869 kunt berekenen.
+
13
Looproute: Na de opdracht over de Napierstokjes lopen we door naar de 3e vitrine aan de linkerkant. Bij nummer 2 vinden we allemaal stokjes waarop de voetmaten van enkele steden staan.
OPDRACHT VOETMATEN
06
Als je voor de 19e eeuw vanuit Leiden een tapijt in een andere plaats bestelde, was de kans, vreemd genoeg, groot dat je tapijt groter of kleiner was dan je had willen hebben. Dit kwam doordat elke stad een eigen systeem had van standaardmaten. In het begin werden lichaamsmaten als standaardmaat genomen. Als lengtematen werden bijvoorbeeld voeten, ellen en duimen gebruikt.
I 1 voet = In Leiden: 31,4 cm In Haarlem: 27,9 cm In Amsterdam: 28,3 cm In Groningen: 29,2 cm In Leeuwarden: 32,6 cm In Zwolle: 28,9 cm In Assen: 29,4 cm In Arnhem: 31,3 cm In Maastricht: 28 cm In Den Bosch: 28,4 cm In Den Haag: 31,4 cm In Middelburg: 30,0 cm
• • • • • • • • • • • • Dat het niet handig is om lengtematen per stad vast te stellen bewijst bovenstaande afbeelding. In deze afbeelding zie je de kaart van Nederland met daarin de grootte van de voet in verschillende steden. Wilde je iets kopen in een andere stad dan moest je alles gaan omrekenen. Om het vergelijken van verschillende voetmaten iets makkelijker te maken zijn deze stokjes gemaakt.
14
Toch blijft het rekenwerk erg vervelend. Dit komt doordat een voet niet in tien kleinere voetjes was verdeeld. Een voet werd vaak onderverdeeld in een aantal duimen, dat ongelijk aan 10 was. De streepjes op de voetstokjes in de vitrine stellen het aantal duimen voor. Een commissie van wis- en natuurkundigen bedacht een betere standaardmaat. Deze standaard, de meter, gebruiken we tegenwoordig nog steeds.
De meter werd bepaald als 1/10000000e (één tien miljoenste) deel van de omtrek van de aarde tussen de Noordpool en de Evenaar. Alle onderverdelingen van de meter werden in stappen van 10 hiervan afgeleid. Dus 1 m = 10 dm = 100 cm. Hierdoor werd het omrekenen van verschillende lengtematen een stuk eenvoudiger. Vanaf 1875 wordt in bijna alle landen van de wereld dit systeem gebruikt.
DE VRAGEN
A] Omcirkel de voetmaten in het plaatje van de vitrine. B] Pak de voetstokjes uit je koffer. Vergelijk jouw eigen voet met de Franse en de Vlaamse voet. Is jouw voet groter of kleiner? Hoeveel scheelt het?
Franse voet, verschil is:
cm
Vlaamse voet, verschil is:
cm
Standaarden bij andere volkeren
De Arabieren gebruikten als standaardmaat de dikte van één kamelenhaar. De Romeinen gebruikten een voet = 4 palmen = 12 duimen = 16 vingers. Gelukkig hebben we tegenwoordig een veel makkelijker stelsel.
+
PLUS VRAAG
C] De streepjes op de voetstokjes stonden voor het aantal duimen dat in een voet past. Hoeveel duimen van jou passen in beide voeten?
voet
aantal duimen
jouw duimen
Franse voet
12 duimen
..............................
Vlaamse voet
11 duimen
..............................
Stel de Franse voet en de Vlaamse voet gaan samen met elkaar wandelen. Op een gegeven moment hebben ze beide dezelfde afstand in hele voeten afgelegd. Hoe groot is deze afstand en hoeveel voetstappen hebben beide voeten afgelegd?
Afstand: Franse voetstappen: Vlaamse voetstappen:
D] Wat is de lengte van de zaal in Franse voeten? Wat is de breedte van de zaal in Vlaamse voeten?
Lengte van de zaal in Franse voeten:
Breedte van de zaal in Vlaamse voeten:
Lengte versus tijd
Alle lengtematen, oppervlaktematen en inhoudsmaten kennen een tientallige onderverdeling. Zo is 1 meter = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm. De enige eenheid die niet deze tientallige onderverdeling gebruikt is de tijd. Want 1 dag = 24 uur = 1.440 minuten = 86.400 seconden. Het zou veel makkelijker rekenen als 1 dag = 100.000 seconden was.
Het tientalligstelsel in bijna alle landen
Fouten door verkeerde eenheden
Niet alle landen kennen het tientallige stelsel voor lengtematen. In Groot-Brittannië en de Verenigde Staten gebruiken ze afwijkende lengtematen. Daardoor staan bijvoorbeeld in je schoen de volgende maten:
Door de verschillende eenheden worden er soms fouten gemaakt. Zo kwam in 1983 een Canadees vliegtuig zonder brandstof te zitten doordat bij de controleberekening van de hoeveelheid kerosine een verkeerde eenheid was gebruikt. In 1999 is er een ruimtesatelliet verloren gegaan doordat de software van de satelliet werkte met een andere eenheid dan die waarmee de programmeurs op aarde werkten.
Bij beeldschermen merken we tegenwoordig nog iets van afwijkende maten. Zo wordt er vaak over 11 inch, 13 inch of 15 inch gesproken.
Wat is het? een duim... of een teen?
15
een teen ;-)
Looproute: Na de opdracht over de voetmaten, loop je naar de overkant van de zaal. Daar vind je in de eerste vitrine drie modellen van Archimedes. De modellen liggen bij nummer 3.
OPDRACHT Drie modellen van ARCHIMEDES
07
Archimedes was een Griekse wiskundige die ongeveer 250 jaar voor Christus leefde. De drie modellen in de vitrine zijn niet door Archimedes zelf gemaakt. Toch noemen we zijn naam bij deze modellen. Terwijl culturen ten onder gaan, raakt een wiskundig idee niet vergeten, en wordt de naam van de wiskundige vereeuwigd. De modellen in de vitrine zijn in ongeveer dezelfde tijd gemaakt als de Napierstokjes van Jan Paauw (opdracht 5). Met de modellen kan je proefondervindelijk een stelling van Archimedes nagaan.
De wet van Archimedes:
Eureka!
Koning Hiëro II van Sicilië wilde een nieuwe kroon hebben. Aan een goudsmid gaf hij hiervoor een stuk goud. Toen de goudsmid klaar was, twijfelde koning Hiëro of al het goud wel was gebruikt. Had de goudsmid niet stiekem een ander, goedkoper, metaal gebruikt om de kroon te maken? Archimedes kreeg de opdracht om dit uit te zoeken.
DE VRAGEN
1
2
A] Omcirkel de drie modellen van Archimedes in het plaatje van de vitrine. B] Hierboven zie je een tekening van de drie modellen (in de wiskunde noemen we dit ruimtefiguren). Kies bij elke tekening de juiste naam.
16
C] Pak de drie ruimtefiguren uit je koffer. Noem bij elk ruimtefiguur een verschil tussen de (platte) tekening en het echte ruimtefiguur.
Figuur 1:
Figuur 2:
Figuur 3:
3
Archimedes wist hoeveel het stuk goud woog en kon dit gewicht vergelijken met dat van de kroon. Natuurlijk waren beide even zwaar anders was de koning er direct achter gekomen dat de smid fraude had gepleegd. Het zou kunnen dat de smid het goedkopere zilver had gebruikt bij het maken van de kroon. Zilver is echter lichter dan goud, dus als hij de kroon hetzelfde gewicht had gegeven, zou deze meer ruimte in beslag nemen. In de wiskunde noemen we dit volume. Het volume van een kroon waaraan zilver is toegevoegd is groter dan het volume van de originele hoeveelheid goud. Nu stond Archimedes voor een lastige vraag: hoe bepaal ik het volume van de kroon? Wanneer de kroon een kubus, piramide of een andere regelmatige vorm zou hebben was deze vraag voor Archimedes niet moeilijk te beantwoorden geweest. Maar helaas had de kroon helemaal geen regelmatige vorm. Archimedes kwam er niet uit, tot hij in het meest beroemde bad uit de geschiedenis stapte. Toen hij zich erin liet zakken zag hij dat het waterpeil begon te stijgen. Sterker nog, Archimedes ontdekte dat het waterpeil toenam met een volume dat gelijk was aan wat door zijn lichaam werd verplaatst. Archimedes had de oplossing voor het probleem gevonden, eureka! In een bak die tot de rand werd gevuld met water legde hij een vergelijkbaar stuk goud. Al het water dat uit de bak stroomde ving hij op. Daarna vulde hij de bak opnieuw met water en legde er de kroon in. Het overtollige water ving hij weer op. Wanneer de kroon van hetzelfde soort metaal was gemaakt moest dezelfde hoeveelheid water uit de bak zijn gestroomd. Met dit idee was Archimedes zo blij dat hij meteen uit zijn bad sprong en naakt door de straten liep en schreeuwde: eureka, eureka! (ik heb het gevonden).
D] Stelling van Archimedes Hieronder zie je een deel van een 2200 jaar oude stelling van Archimedes. Helaas is door ouderdom een deel van de tekst weggevallen. Probeer door met je handen te wegen erachter te komen wat er op de vlekken hoort te staan.
De
en de
wegen samen evenveel als de
WISKUNDE IS GEVAARLIJK
Toen de Romeinen de stad bezetten waar Archimedes woonde, wilden ze hem gevangen nemen. Op het moment dat een Romeinse soldaat Archimedes aanhield, was hij aan het nadenken over een wiskundig vraagstuk. In het zand tekende Archimedes enkele wiskundige figuren. De soldaat beval Archimedes meteen te stoppen met wiskunde en met hem mee te gaan. Archimedes weigerde, waarop de soldaat zijn zwaard trok en Archimedes neer stak. Terwijl Archimedes stierf zei hij: “Verstoor mijn cirkels niet”.
E] Pak nu de weegschaal uit de koffer en zet deze op de grond. Controleer of Archimedes gelijk had door de drie ruimtefiguren te wegen.
+
PLUS VRAAG A] Herinner je je de volgende drie inhoudsformules? Meet met de geodriehoek de afmetingen van de drie modellen en bereken vervolgens de inhoud.
Afmetingen kegel:
Inhoud kegel:
Afmetingen bol:
Inhoud bol:
C] Controleer het vermoeden dat je bij onderdeel (B) hebt gekregen door de drie modellen op de weegschaal te zetten. Klopt je uitkomst met onderdeel (B)?
Afmetingen cilinder:
Inhoud cilinder:
B] Neem de som van de inhoud van de kegel en de inhoud van de bol. Vergelijk dit antwoord met de inhoud van de cilinder. Wat valt je op?
17
Looproute: Binnentuin
Loop terug naar zaal 4 en neem de wenteltrap links achter in de hoek naar beneden. Ga via de deur de tuin in.
IN DE BINNENTUIN!
BONUS OPDRACHT
H
A
B
In deze buitenopdracht ga jij met het kwadrant in je koffer de hoogte bepalen van Museum Boerhaave. Zoek hiervoor het hoogste punt op van het museum.
kijk lijn
n lij jk ki
hoogte
Hiernaast zie je een prent uit een oud leerboek voor landmeters. In deze prent wordt uitgelegd hoe je de hoogte van een gebouw kunt berekenen zonder een meetlint te gebruiken.
C
B
kijklijn C
2
Deze hoek is:
°
B] Ga nu 50 voeten naar voren of naar achter en meet opnieuw de hoek tussen de kijklijn oog – top van het museum en de kijklijn oog – loodrecht naar de museummuur.
Deze hoek is:
°
C] Maak nu heel precies op schaal op pagina hiernaast een tekening van deze opstellen. Meet met behulp van de geodriehoek in je tekening de hoogte van het museum.
+
PLUS VRAAG
A] Stel het stuk BC = x. Je kunt nu twee vergelijkingen opstellen die beide de hoogte van het gebouw uitdrukken in x. Los deze twee vergelijkingen op. Gebruik hiervoor de rekenmachine. Vergeet bij je eindantwoord niet je eigen hoogte erbij op te tellen.
18
1
DE VRAGEN
A] Meet vanaf waar je staat de hoek tussen de kijklijn vanaf je oog – top van het museum en de kijklijn oog – loodrecht naar de museummuur.
A
KLADBLAD
Colofon
Concept: Jasper van der Schors en Rosalie Blom Inhoud: Jasper van der Schors • Redactie: Ad Maas • Ontwerp: Studio BrandendZant • Replica’s: Paul Steenhorst en Tjeerd Bakker • Klankbordgroep: Gerard Alberts, Leon van den Broek, Tiemen Cocquyt, Jeanine Daems, Gerdine van den Dool, Mignon Engel, Peter Kop, Mara Scheelings, Harm Jan Smid, Steven Wepster • Testers: Ilse van Heusden, Marieke Ligterink, Jonne van der Voort, Roan van der Voort
