Weersvoorspelling Martijn en Kees 30 mei 2013
1
Inhoudsopgave 1 Voorwoord
3
2 Geschiedenis 2.1 De begintoestand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Het weermodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Het klimaatmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4 5 5
3 De berekening 3.1 Eenvoudig voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Kansverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 8
4 Lorenz 4.1 Het begin . . . . . . . . . . 4.2 Het model . . . . . . . . . . 4.2.1 Rayleigh-B´enard-cel 4.2.2 Kritieke punten . . .
. . . .
5 Het Supermodel
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
10 10 11 11 12 14
6 Opgaven 19 6.1 Opgave 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.2 Opgave 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7 Bronvermelding
20
2
1
Voorwoord
Weersverwachtingen komen we dagelijks tegen. In deze tijd van het jaar zou de zon vaker moeten schijnen, maar helaas is het dit jaar zo heel anders dan al die andere jaren. Hoe komt dat eigenlijk? En hoe zit het dan met de opwarming van de aarde? Op deze vragen zullen we niet ingaan, maar wel hoe ze bij het Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut(KNMI) het weer voorspellen voor de komende dagen en weken. Een vraag die je vaak te horen krijgt, is die naar de betrouwbaarheid van de voorspellingen. Niet vreemd als de weersverwachtingen zo vaak worden bijgesteld. Zo kan het gebeuren dat de weersverwachting van overmorgen in plaats van een zonnige dag is veranderd in een regenachtige dag. Er zijn een hoop weermodellen, die allemaal een net iets andere voorspelling geven. We zullen kijken naar een methode om deze modellen te combineren tot een zogeheten supermodel. Deze methode onderzoeken we voor het Lorentz 63 systeem (om de berekeningen eenvoudig te houden). Het Lorentz 63 systeem heeft namelijk met de weermodellen gemeen dat het zeer onvoorspelbaar reageert op kleine veranderingen. We zullen in dit verslag dus niet zozeer rekenen aan de weermodellen zelf, maar we gebruiken het Lorenzt 63 model. We zullen dit model daarom ook eerst behandelen.
3
2
Geschiedenis
Voordat we ingaan op de wiskundige principes voor het voorspellen van het weer zullen we voor de goede beeldvorming eerst ingaan op hoe een weerverwachting tot stand komt. Heel kort kunnen we zeggen dat we om een weersverwachting te kunnen maken twee dingen moeten weten. Namelijk hoe de toestand van het weer nu is en hoe hij nu verandert. Als je weet hoe het weer verandert kun je dat bij de toestand van het weer nu ‘optellen’ en weet je het weer van morgen en overmorgen etc. Het bepalen van de begintoestand is niet alleen het kijken naar de weeromstandigheden van vandaag, zoals de temperatuur en of er nu wel of geen neerslag valt, maar daar komt veel meer bij kijken.
2.1
De begintoestand
Zoals al is gezegd moeten we voor het bepalen van de weersverwachting weten hoe de toestand nu is. We moeten weten hoe snel en waarheen de lucht beweegt, hoe warm het is, hoeveel vocht er in de lucht zit en wat de samenstelling ervan is. En dat overal in de atmosfeer, want wat er bovenin de atmosfeer gebeurt heeft grote effecten voor het weer aan de grond. Maar ook over de hele wereld, want binnen tien dagen kan de lucht zich duizenden 4
kilometers verplaatsen. Zie afbeelding hierboven. Bij het verzamelen van al die gegevens, loop je tegen een praktisch probleem aan. Want als we aarde opdelen in blokken van 100 bij 100 bij 100 meter en tot 20 kilometer hoogte meten dan zijn dat ongeveer 1013 meetwaardes oftewel 40 Terabytes, genoeg om 80500 GB aan harde schrijven te vullen. Op het Europese centrum voor middellange termijn weerverwachtingen(ECMWF) wordt momenteel de atmosfeer opgedeeld in 91 lagen van 2.1 miljoen blokken met een oppervlakte van zo’n 16 bij 16 km. En dan heb je ’alle’ gegevens binnen en begint het echte werk pas.
2.2
Het weermodel
Met de bekende gegevens kan nu uitgerekend worden hoe de temperatuur, wind, vochtigheid en luchtdruk verandert door gebruik te maken van de natuurwetten. Als voorbeeld nemen we de temperatuurverandering die wordt bepaald door de hoeveelheid warmte die er per uur ieder roosterblok in en uitgaat. Deze warmte vermenigvuldigd met de warmte capaciteit van de lucht in het roosterblok geeft de temperatuursverandering in een uur aan. Zo weet je hoe warm/koud het over een uur zal zijn. Door dit proces, ook wel tijdsintegratie genoemd, te herhalen kan je uitrekenen hoe warm/koud het over vijf uur of vijf dagen zal zijn.
2.3
Het klimaatmodel
Naast het berekenen van de weersverwachting houden meteorologen zich ook bezig met het berekenen van de verwachting van het klimaat over tientallen jaren. Bij het berekenen van de weersverwachting blijft de temperatuur van het zeewater nagenoeg gelijk, maar als je het over een langere periode 5
bekijkt, is er wel verandering waar te nemen. Door de warmte-uitwisseling met de atmosfeer, de inkomende zonnestraling en de oceaanstromingen zal de temperatuur van het zeewater op een bepaalde plek veranderen. Voor een klimaat berekening moet je dus een soortegelijke berekening, met roosterblokken, uitvoeren. Voor iedere roosterblok worden de natuurwetten toegepast om de veranderingen in temperatuur, zoutgehalte en de stroming te berekenen. Daarbij moet men ook rekening houden met het water dat weer terugkeert naar de oceaan etc. Een complex gebeuren, waardoor een voorspelling nog geen eens zo eenvoudig is. Daarover meer in de volgende sectie.
6
3
De berekening
Het zal u niet verbazen als we zeggen dat we de toestand van de atmosfeer op een bepaald moment niet perfect kunnen weten. Hierdoor hebben we te maken met ‘fouten/foutjes’ in de begintoestand. Dat lijkt misschien niet erg, maar is het wel, omdat binnen de wiskundige vergelijkingen, die gebruikt worden, deze fouten zullen gaan groeien. Een kleine verandering kan dus al grote gevolgen hebben voor de voorspelling van het weer over twee weken. De bekende wiskundige/meteoroloog Edward Lorenz liet deze eigenschap zien in een heel eenvoudig wiskundig model en hij zorgde hiermee voor een omslag binnen de wereld van de meteorologie. Over het model van Lorenz straks meer.
3.1
Eenvoudig voorbeeld
In dit voorbeeld werken we met drie variabelen, x, y en z, overeenkomstig het model van Lorenz. Natuurlijk zijn er bij de berekening van het weer van morgen veel meer variabelen van invloed, maar dat terzijde. Neem aan dat de verschillende variabelen staan voor de temperatuur in drie verschillende gebieden. Als we de begintemperatuur invullen in de vergelijkingen krijgen de temperatuurverloop te zien voor de verschillende gebieden(blauwe lijn). Zoals al eerder gezegd, zien we dat bij een kleine verandering van de begintemperatuur de temperatuursverloop heel anders is(rode lijn).
Deze berekening kunnen we ook uitvoeren in een drie-dimensionale ruimte, ook wel trajectorie genoemd. Het verloop van de temperatuur in de drie gebieden is in een oogopslag duidelijk. Maar ook de gevolgen van een veranderde begintemperatuur. Als we de temperatuur berekenen over een langer tijdsbestek, dan onstaat er een soort geometrisch figuur, Lorenz’ vlinder. Deze figuur wordt ook wel een aantrekker/attractor genoemd, omdat waar je ook begint, je uiteindelijk naar de figuur getrokken wordt. Hierdoor wordt de samenhang tussen de gebieden zichtbaar. De aantrekker geeft aan welke temperaturen voor kunnen komen en hoe groot de kans is daarop is.
7
Bovengenoemde aantrekker wordt ook wel vreemde aantrekker genoemd, omdat door de foutgroei de verwachtingen uit elkaar gaan lopen, maar de verwachtingen zullen nooit de aantrekker verlaten, gevangen in de vleugels van de vlinder.
3.2
Kansverdeling
Ook binnen de weersverwachting wordt er met kansverdeling gewerkt. Verdergaand op het bovenstaand voorbeeld kunnen we op basis van een lange tijdserie op locaties x, y en z een analyse maken van de kans op een bepaalde waarde van de temperatuur. We tellen het aantal keer in de tijdserie dat de temperatuur in x ligt tussen T en T + 4T en delen dit aantal door de totale lengte van de tijdserie. Stel dat dit getal 0.01 is dan kunnen we concluderen dat op een willekeurig tijdstip de kans dat de temperatuur ligt tussen T en T +4T gelijk is aan 1 procent. Als we dit voor alle waardes herhalen, krijgen we een zogenaamde klimatologische kansverdeling. Als de tijdserie lang genoeg is en tussentijds niet verandert dan benadert de kansverdeling de ’echte’ kansverdeling. Daaruit kunnen we allerlei statistische waarden halen en volgt dat voor de gebieden x en y de temperatuur waarschijnlijk 0 graden zal zijn en voor z 20 graden
8
Zoals al eerder vermeld is dit voorbeeld sterk vereenvoudigd t.o.v. complexe weer- en klimaatmodellen. Alleen vertonen ze wel hetzelfde gedrag als het Lorenz model. Met meer variabelen, krijg je ook meer assen en kom je in een hoog-dimensionale toestandsruimte terecht. Hier zal onze spreker verder op ingaan. Maar per definitie kunnen we zeggen dat het klimaat wordt vastgelegd door de kansverdeling van temperatuur, neerslag en wind.
9
4
Lorenz
De Lorenz vergelijkingen treden op bij de bestudering van vloeistof- of luchtstromingen zoals de luchtstromingen in de atmosfeer rond de aarde, waardoor we het weer kunnen berekenen van morgen en verder. Lorenz was zelf een wiskundige en meteoroloog en bestuurde de volgende vergelijkingen, de zogenaamde Lorenz vergelijkingen. De drie niet-lineaire differentiaalvergelijkingen van de vorm: dx dt = σ(−x + y) dy = rx − y − xz dt dz = xy − bz dt waarbij σ, b, r positieve constanten zijn.
4.1
Het begin
Zoals we al eerder hebben vermeld, moeten we de toestand van het weer nu weten om iets te kunnen zeggen over het weer van morgen. Maar het weer op aarde is een ingewikkeld dynamisch systeem. Temperatuurverschillen brengen drukverschillen teweeg die resulteren in luchtverplaatsingen. Land en water absorberen warmte op vershcillende manieren. En zo kun je nog wel even door blijven gaan. Al die dynamische effecten kunnen we wiskundig modelleren en met behulp van differentiaalvergelijkingen vervolgens numeriek oplossen. Daarom dacht men nog maar twee dingen nodig te hebben om het weer zo goed mogelijk te kunnen voorspellen, namelijk: zeer fijnmazige waarnemingsstations en grote supercomputers. Alleen wijst alles erop dat het weer precies de kenmerken vertoont van een chaotisch dynamisch systeem: kleine oorzaken in de atmosfeer lijken enorme gevolgen te kunnen hebben, waardoor betrouwbare weersvoorspellingen op langerte termijn onmogelijk zijn, dus zullen betrouwbare weersvoorspellingen op langere termijn een illusie blijven. Op 29 december 1972 hield Lorenz in Washington een lezing: ‘Voorspelbaarheid: kan de beweging van een vlindervleugel in Brazili¨e een tornado in Texas veroozaken?’. Opdat moment vonden Lorenz’ idee¨en weinig weerklank, terwijl nu ‘de vlinder van Lorenz’ een metafoor is geworden voor chaos en onvoorspelbaarheid in het algemeen. Via computersimulaties is Lorenz er achter gekomen dat het sterk vereenvoudigde weermodel met twaalf variabelen zeer gevoelig was voor veranderingan van de begintoestand. Hij wilde een simulatiereeks nog eens overdoen. Alleen vulde hij de beginwaarden in op drie decimalen nauwkeurig en de computer had het op zes decimalen gedaan. Eerst dacht hij dat de computer een 10
fout had gemaakt, maar later zag hij de gevoelige afhankelijkheid,in optima forma. Later heeft hij zijn model vereenvoudigd naar de nu drie bekende variabelen. De chaos die onstaat is allerminst structuurloos: de specifieke baan van een punt is weliswaar onvoorspelbaar, maar die baan blijft wel altijd het gecompliceerde vlinderoppervlak. Dat is vreemd! Ook de dimensie van ’de vlinder’ is bijzonder namelijk 2.073 en de baan van een punt gaat niet van de ene naar de andere ‘vleugel’ in bepaalde regelmaat, maar willekeurig.
4.2
Het model
Om zinvolle uitsprake te kunnen doen over het model van Lorenz, nemen we aan dat σ = 10 en b = 8/3, redelijke waarden voor de atmosfeer rond de aarde. De Lorenz vergelijkingen, hier nogmaals weergegeven, bezitten de variabelen x, y en z dx dt = σ(−x + y) dy = rx − y − xz dt dz = xy − bz dt 4.2.1
Rayleigh-B´ enard-cel
De eerste vergelijking is evenredig aan de intensiteit van de convectie, snelheid van de stroming en de tweede vergelijking met het temperatuurverschil tussen de stijgende en dalende stromen. De variabele z is evenredig met het verloop van de temperatuur van de warme plaat onder naar de koude plaat boven. Als er geen convectie is, is de temperatuurverloop lineair. Als de convectie begint en de vloeistof gaat bewegen, dan gaat dit temperatuurverloop afwijken van het lineaire verloop. De z waarde is een maat voor de grootte van deze afwijking. Dit is duidelijk te zien in de Rayleigh-B´enard-cel !
In deze Rayleigh-B´enard-cel hebben we te maken met het Rayleigh-getal r 11
die evenredig is met de temperatuurverschil tussen punten, in bovenstaand geval twee platen. Dit is dezelfde r als in de Lorenz vergelijkingen. Maar daar straks meer over.
4.2.2
Kritieke punten
We hebben al gezien dat er kritieke punten binnen de Lorenz vergelijkingen zijn, maar nu gaan we op een wiskudige manier bekijken wat de eigenschappen van die kritieke punten zijn. Om ze te vinden, stellen we eerst de vergelijkingen gelijk aan 0. σ(−x + y) = 0, rx − y − xz = 0, xy − bz = 0 Uit de eerste vergelijking volgt direct dat x = y, want σ, b, r > 0. Als we dan voor x y invullen krijgen we. rx − x − xz = 0, x2 − bz = 0 en dat is weer gelijk aan x(r − 1 − z) = 0, x2 − bz = 0 waaruit volgt dat x = 0 of z = r − 1. We kijken nu eerst naar het geval dat x = 0, dan is y ook 0 en volgt uit x2 − bz = 0 dat bz = 0, dus is z = 0, want b > 0. Dat levert het kritieke punt (x, y, z) = (0, 0, 0) op. Om te kijken wat voor evenwichtspunt het is, lossen we de bijbehorende lineaire stelsel vergelijkingen op. F (x, y, z) = σ(−x + y), G(x, y, z) = rx − y − xz, H(x, y, z) = xy − bz Want ze zijn allemaal oneindig vaak continu differentieerbaar. Als we de afgeleide naar x, y, z nemen en het resultaat in een matrix zetten, waarbij de bijbehorende lineaire stelsel in de buurt van (x, y, z) = (0, 0, 0) wordt gegeven door de volgende matrix:
Om te kijken wat voor evenwichtspunt het is, gaan we opzoek naar de eigenwaarden. Daarvoor vinden we dan de volgende eigenwaarden vergelijking: 12
en als we de eigenwaarden vergelijking gelijk stellen aan 0, vinden we de volgende eigenwaarden:
Al eerder hebben we aangenomen dat σ = 10 en b = 8/3, dus kijken we nu alleen naar r. Als r < 1 dan zijn alle eigenwaarden negatief en is er sprake van een asymptotisch stabiel knooppunt, in dit geval is de oorsprong een stabiel knooppunt. Als r = 1 dan is ´e´en van de eigenwaarden gelijk aan nul, die voor r > 1 positief wordt en is er sprake van een instabiel knooppunt. Bij r = 1 hebben we dus te maken met een omslag punt. Deze bevindingen kunnen we weer toepassen op ons Rayleigh-B´enard-cel. Als we dus r < 1 kiezen, dan is de oorsprong een stabiel knooppunt. Welk punt je ook begint, je komt altijd in het punt (x, y, z) = (0, 0, 0) uit. Deze aantrekkingspunt/puntattractor correspondeert met een zogenaamde zuivere warmtegeleiding, zonder convectie waarbij de temperatuurverloop lineair is. Als r > 1 dan is de oorsprong een instabiel knooppunt en onstaan er twee andere kritieke punten/attractors, die jullie zelf moeten bepalen. Maar hierdoor ontstaat nog niet gelijk de Lorenz’ vlinder. Want als 1 < r < 24.06 zal ´e´en van de twee punten de aantrekker/attractor zijn en niet allebei. Dat geldt wel voor het geval r > 24.74. Dit omslag punt wordt bepaald door de volgende vergelijking: σ(σ + b + 3) r= σ−b−1 Als 24.06 < r < 24.74 dan hangt het van het beginpunt af welk karakter de oplossing heeft. Spiraliseert het rond ´e´en van de twee aantrekkers of rond beide punten? Daarom zie je dat de Lorenz vergelijkingen bijna altijd worden gegeven met de volgende waarden voor (σ, b, r) = (10, 8/3, 28). Want voor die waarden weet men zeker dat de Lorenz’ vlinder ontstaat.
13
5
Het Supermodel
Er zijn een hoop klimaatmodellen die allemaal weer een net iets andere uitkomst geven. Vaak hebben al deze modellen een ‘beetje gelijk’. Daarom zoeken we naar een methode om deze modellen te combineren tot ´e´en model. Een makkelijke methode hiertoe is de uitkomst van deze modellen (gewogen) te middelen. Nadeel van deze methode is dat de grootste fouten de grootste invloed hebben op de uitkomst. Daarom is er een nieuwe methode ontwikkeld. Het idee is om een interactie toe te voegen tussen de modellen, waardoor ze elkaar continu bijsturen. Om dit beter uit te leggen introduceren we eerst het begrip synchronisatie. We doen dit aan de hand van een proefje met twee metronomen. Zie de afbeelding hieronder. De metronomen staan op een plankje dat meebeweegt met de beweging van de metronomen. Hierdoor hebben de metronomen invloed op elkaar. Als de metronomen gelijk ingesteld worden zullen ze na enige tijd synchroniseren, d.w.z. gelijktijdig de maat slaan. Ook als er een klein verschil is tussen de snelheid waarmee de metronomen slaan, synchroniseren ze.
Iets soorgelijks gebeurt als wij tussen de modellen enige interactie laten bestaan. Om het relatief eenvoudig te houden gebruiken we Lorenz 63 als metafoor voor een klimaatmodel. Deze modellen hebben gemeen dat een kleine verandering in de begintoestand een grote verandering iets verder kan teweegbrengen. Het Lorenz 63 model ziet er als volgt uit:
De standaardwaarden hierbij zijn σ = 10, β = 83 en ρ = 28. We maken nu drie andere Lorenz 63 modellen door deze parameters te veranderen. Zie de 14
volgende tabel. (tussen haakjes de percentuele verandering)
We veranderen de parameters fors, om te laten zien dat onze methode zelfs voor zulke grote afwijkingen werkt. We zullen eerst nog laten zien hoe de drie modellen er uit zien. Zie de figuur hieronder. Op de achtergrond is het model te zien voor σ = 10, β = 38 en ρ = 28.
We zien dat de eerste twee modellen convergeren naar een evenwichtspunt, 15
de derde ligt te hoog. Alle drie wijken ze fors af van de ‘Truth’. We zetten nu deze drie modellen bij elkaar en voegen als volgt interactie toe
k staat hierbij voor het modelnummer. Er zijn maarliefst 18 constanten ge¨ıntroduceerd. We voegen deze voor het gemak samen in een vector C. Deze moeten we nog bepalen. Eerst defini¨eren we het supermodel als volgt:
We willen nu dat dit supermodel zoveel mogelijk op het Truth-model gaat gaat lijken. We gebruiken daartoe een lange serie aan waarnemingen van de werkelijkheid, in ons geval het Truth-model. We geven de werkelijkheid (uit het verleden) weer met de vector x0 en ons supermodel met de vector xs = (xs , ys , zs ). We nemen hieruit K momenten ti , i = 1, ..., K, met ti+1 − ti = d, d een constante. We bekijken het verschil tussen de twee modellen kort na deze K beginwaarden. Dit verschil gaan we nu zo klein mogelijk maken. We maken het supermodel dus door een C te kiezen zodat het supermodel het verleden zo goed mogelijk beschrijft. We minimaliseren hiertoe de volgende Costfunctie:
We minimaliseren hiermee de oppervlakte (laat γ t−ti nog even buiten beschouwing). Zie de figuur hierna.
16
1 een factor om de uitkomst van de costfunctie te In de costfunctie is K∆ normaliseren tot een soort standaardafwijking. Hoe kleiner de uitkomst van F (C), hoe meer het supermodel lijkt op de werkelijkheid (van het verleden). Verder is γ t−ti toegevoegd om de fouten dicht bij de begincondities zwaarder te laten wegen. Dit omdat de fouten na verloop van tijd uitvergroot worden, vanwege het dynamische karakter van het systeem. We berekenen γ als volgt. We bepalen eerst de gemiddelde verdubbelingstijd τ voor een kleine beginfout. We doen dit door veel random gekozen gevallen te bekijken en daaruit het gemiddelde te nemen. Vervolgens stellen we γ τ = 21 . Voor ons model p is de verdubbelingstijd bepaald op τ = 0.75. Hieruit rekenen we 3 1 1 4 γ = 2 ⇒ 4 γ 3 = 12 ⇒ γ = √ 3 4 ≈ 0.4. Verder kiezen we ∆ = 1. 2 We zijn nu toe aan het minimaliseren van F (C). We gaan in dit dictaat niet in op de techniek hiervan. We vermelden alleen dat dit gebeurt met de ‘Fletcher-Reeves-Polak-Ribiere Conjugate Gradient method’ en dat het meestal niet nodig is om K heel groot te kiezen. K = 200 geeft al een heel aardig resultaat. Als de constanten zijn berekend, kan het supermodel geplot worden. Het ziet er als volgt uit:
17
We zien dat we drie slechte modellen hebben gecombineerd tot een supermodel dat veel meer lijkt op de werkelijkheid van de bekeken periode. Dit geeft natuurlijk geen harde garantie dat het supermodel ook de toekomst beter beschrijft, maar dat is wel de intu¨ıtie erachter.
18
6 6.1
Opgaven Opgave 1
Geef twee redenen waarom het weer, vanwege het dynamische karakter, per definitie niet lang van te voren voorspeld kan worden. (drie geeft bonus)
6.2
Opgave 2
In het dictaat zijn we opzoek gegaan naar de kritieke punten bij de Lorenz vergelijkingen. En kwamen we in de situatie terecht, dat x = 0 of z = r − 1. Voor x = 0 is de oplossing te vinden in het dictaat, jullie gaan nu zelf rekenen voor het geval dat z = r − 1 en mogen het volgende gaan doen: a) Bereken de reele kritieke punten. b) Voor welke waarde van r nemen deze kritieke punten een bijzondere waarde aan? Hoe noemen we dat? c) Bereken voor de gevonden kritieke punten de eigenwaarden vergelijking. Wat valt op?
19
7
Bronvermelding 1. Het einde van de voorspelbaarheid? Chaostheorie. Ideeen van toepassingen. Henk Broer, Jan van de Craats, Ferdinand Verhulst 1995 Bloemendaal, Aramith 2. De vlinder van Lorenz. De verrassende dynamica van chaos. Henk Tennekes e.a. Bloemendaal, Aramith 3. http://aw.twi.tudelft.nl/ koekoek/onderw0203/diffvglwbmt/college/week52.pdf 4. http://www.knmi.nl/ selten/docs/klimaatboek hoofdstuk9.pdf 5. http://www.knmi.nl/ selten/docs/lorenz63.pdf 6. http://salt.uaa.alaska.edu/dept/metro.html 7. http://www.earth-syst-dynam.net/2/161/2011/esd-2-161-2011.pdf
20
