Vysoká škola ekonomická v Praze

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky

VYUŽITÍ LINEÁRNÍCH A NELINEÁRNÍCH MODELŮ VOLATILITY PŘI ANALÝZE ČESKÝCH PODÍLOVÝCH FONDŮ A AKCIÍ doktorská disertační práce

Doktorand:

Ing. Jan Popelka

Školitel:

doc. Ing. Jiří Trešl, CSc.

Obor:

Statistika

Praha, duben 2007

Prohlášení Prohlašuji, že doktorskou práci na téma „Využití lineárních a nelineárních modelů volatility při analýze českých podílových fondů a akcií“ jsem vypracoval samostatně. Použitou literaturu a podkladové materiály uvádím v přiloženém seznamu literatury.

V Praze dne 22.4.2007 ………………………………. podpis

ABSTRAKT Cílem této doktorské práce je analýza chování vybraných českých otevřených podílových fondů a akcií. Podílové fondy si od druhé poloviny 90. let získávají v České republice stále větší oblibu. Do konce roku 2006 dosáhl objem investic do podílových fondů 150 miliard korun. Empirická studie se věnuje třem typům podílových fondů: akciovým, dluhopisovým a peněžním a akcie. Denní hodnoty cen byly získány z internetových stránek správců fondů a RM-systému. Sledované období začíná 1.1.2001 a končí 31.12.2005. Akcie a podílové listy mají odlišné principy formování ceny. Zatímco ceny akcií se vytváří interakcí nabídky a poptávky na akciovém trhu, u podílových listů je cena odvozena z celkové hodnoty aktiv fondu. Vliv trhu není u podílových fondů významný, protože nabídka podílových listů je téměř neomezená. Navíc jsou aktiva podílového fondu tvořena řadou rozdílných investičních nástrojů jako jsou české a zahraniční akcie, dluhopisy, pokladniční poukázky, instrumenty peněžních trhů atd. Zjištění, zda časové řady fondů mají i za těchto předpokladů stejné vlastnosti jako řady akcií a zda je pro jejich modelování vhodné použít modely vytvořené pro akcie, burzovní indexy nebo směnné kurzy, je hlavním tématem této práce. Pozornost je věnována nepodmíněnému rozdělení výnosů logaritmů cen podílových listů. Metodou maximální věrohodnosti jsou odhadnuty parametry teoretických rozdělení a poté je testována jejich shoda s rozdělením výnosů. Další rozdělení zmiňovaná v souvislosti s nepodmíněným rozdělením finančních časových řad jsou zmíněna v teoretické části. K modelování podmíněné střední hodnoty je využito modelů typu AR, k modelování podmíněného rozptylu pak lineárních modelů ARCH, GARCH a GARCH-M a nelineárních modelů typu GRJ-GARCH a EGARCH. Další modely volatility jsou popsány v jedné z úvodních kapitol. Skupina nelineárních modelů je do analýzy zahrnuta za účelem hledání „pákového efektu“. Lineární model GARCH-M popisuje přímé působení podmíněného rozptylu časové řady na její podmíněnou střední hodnotu. Vzhledem k prokázané nenormalitě rozdělení reziduí, nejsou splněny počáteční podmínky modelů časových řad. Vhodnější modely lze získat změnou předpokladu o rozdělení nesystematické složky na GED nebo Studentovo t rozdělení. Na základě porovnání prostřednictvím informačních kritérií a u příbuzných modelů testem věrohodnostním poměrem je pro každou časovou řadu nalezen nejvhodnější model, který slouží k popisu jejích vlastností a v praxi může být využit i k předpovědi dalšího vývoje, v analýze Value at Risk nebo k popisu vývoje rizikovosti fondu. V závěru jsou popsány zjištěné společné a rozdílné vlastnosti podílových fondů a akcií a doporučení pro modelování těchto časových řad. Klíčová slova: časové řady, otevřené podílové fondy, lineární modely volatility, nelineární modely volatility, nepodmíněné rozdělení výnosů, rozdělení nesystematické složky

RESUME The aim of this PhD thesis is the analysis of selected open-end-funds pursuing in the Czech Republic and Czech shares. The open-end-funds became very popular in the Czech Republic during the second half of 90’s. The amount of investment reached the value of 150 billion CZK in 2006. The empirical analysis focuses on three types of open-end-funds: share funds, obligation funds and financial market funds. Only funds traded in Czech currency are included. The period of observation begins on 1.1.2001 and ends on 31.12.2005. Shares and allotment certificates have different process of price determination. The share prices are determined by bids and ask on stock exchange. The price of allotment certificates is set by the value of fund assets. The market influence is thereby weak, because the bid of fund shares is almost unlimited. Moreover the open-end-fund asset is a compact of different investment vehicles such as Czech and foreign stocks, bonds and money market instruments. The question if the time series could be under these circumstances modeled using models derived for time series of assets, stock indices and exchange rates has to be answered in this thesis. Attention is paid on unconditional distribution of logarithmic returns. Using maximum likelihood method the parameters of theoretical distributions are estimated and Goodness-ofFit tests are evaluated. Other theoretical distributions related to financial time series are noticed in theoretical chapter. AR models are used for conditional mean modeling and the conditional variance is modeled using linear ARCH, GARCH and GARCH-M models and nonlinear EGARCH and GRJGARCH models. Other volatility models are described in theoretical chapter. The group of nonlinear model is included to find the “leverage effect”. Linear model GARCH-M describes the tradeoff between conditional variance and excess returns. With respect to discovered nonnormality of model residuals, the key model assumption is not met. Suitable models can be obtained by changing the model distributional assumption of error term to Student’s t or Generalized Error Distribution. Using information criterions and likelihood ratio test for nested models the most suitable model for each time series is selected. This model serves to show the time series behavior and can be used for forecasting, Value at Risk analysis or risk description. Discovered similarities and differences between open-end-funds and shares are described and recommendations for time series modeling are presented. Key words: time series, open-end-funds, shares, linear volatility models, nonlinear volatility models, unconditional distribution of returns, distribution of error term

KURZFASSUNG Das Ziel der vorliegenden Dissertationsarbeit ist die Analyse von ausgewählten tschechischen offenen Fonds und Börsenaktien. Die offenen Fonds erwerben seit den 90. Jahren in der Tschechischen Republik fortwährend größere Popularität. Bis Ende des Jahres 2006 erwirkte der Umfang von Investitionen in offene Fonds 150 Milliarden Kronen. Die empirische Studie konzentriert sich an drei Fondstypen: Aktienfonds, Rentenfonds, Geldmarktfonds. Nur in tschechischer Währung gehandelte Fonds sind in die Analyse aufgenommen. Der Beobachtungszeitraum beginnt am 1.1.2001 und endet am 31.12.2005. Die Börsenaktien und Fonds-Anteile haben unterschiedliche Prinzipe des Wertansatzes. Bei einem offenen Fonds bildet sich der Kurs nicht nach Angebot und Nachfrage, wie an der Aktienbörse, sondern entspricht dem tatsächlichen Anteil am Fondsvermögen. Der Markteinfluß ist bei Fonds nicht bedeutend, weil das Angebot der Anteile fast unbegrenzt ist. Zusätzlich bilden das Fondsvermögen verschiedene Anlagenwertpapiere wie tschechische und ausländische Aktien, Obligationen, Geldmarktinstrumente usw. Die Feststellung, ob die Fondszeitreihen unter diesen Voraussetzungen dieselben Charakteristika wie die Aktienreihen haben und ob die statistischen Modelle abgeleitet für Aktien, Börseindexe und Umwechslungskursen adäquat für Modellierung sind, ist das Schwerpunktthema dieser Arbeit. Aufmerksamkeit ist der unbedingten Verteilung von logarithmischen Renditen gewidmet. Mittels der Maximum-Likelihood-Methode sind die Parameter von ausgewählten theoretischen Verteilungen geschätzt und dann wird die Ähnlichkeit mit Ertragenverteilung geprüft. Weitere Verteilungsfunktionen, die im Kontext mit Finanzzeitreihen erwähnt sind, sind im theoretischen Kapitel präsentiert. Die AR-Modelle werden für Modellierung des bedingten Erwartungswertes benutzt und zu bedingten Volatilitätmodellen gehören lineare ARCH, GARCH und GARCH-M und nicht lineare EGARCH und GRJ-GARCH-Modelle. Weitere Modelle für die Volatilität sind im theoretischen Kapitel beschrieben. Die nicht linearen Modelle werden wegen asymmetrischen Effekts von positiven und negativen Fehlern auf die Volatilität benutzt. Linear GARCH-MModell beschreibt Beziehung zwischen Risiko und Rendite. Weil die Modellresiduen keine Normalverteilung haben, ist die Verteilungsannahme nicht erfüllt. Günstige Modelle kann man unter Verwendung der GED oder t-Verteilung erhalten. Mit Hilfe der Informationskriterien wird das beste Modell ausgewählt. Dieses Modell kann man für Erklärung von Verhalten der Zeitreihen, für Vorhersage, Value at Risk Analysis oder Risikoerklärung benutzt. Die entdeckte Ähnlichkeit und Verschiedenheit zwischen offenen Fonds und Börsenaktien werden erklärt und Empfehlungen für die Modellanpassung präsentiert. Schlüsselwörter: Zeitreihen, offene Fonds, Börsenaktien, lineare Modelle der Volatilität, nicht lineare Modelle der Volatilität, unbedingten Verteilung von Renditen, Verteilungsannahmen.

OBSAH ÚVOD ........................................................................................................................................1 1

2

3

Finanční časové řady ........................................................................................................4 1.1

Otevřené podílové fondy ............................................................................................4

1.2

Mechanismus tvorby ceny podílového listu ...............................................................8

1.3

Ekonomické indikátory při rozhodování investora.....................................................9

1.4

Nepodmíněné rozdělení finančních časových řad ....................................................11

1.5

Analýza Value at Risk ..............................................................................................13

1.6

Předpovídání v časových řadách...............................................................................14

Teoretické základy analýzy otevřených podílových fondů a akcií .............................16 2.1

Nepodmíněné rozdělení výnosů finančních časových řad........................................16

2.2

Modely volatility.......................................................................................................26

2.3

Analýza finančních časových řad .............................................................................43

Analýza akciových podílových fondů............................................................................50 3.1

Úvod..........................................................................................................................50

3.2

Popisné charakteristiky .............................................................................................51

3.3

Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů ...........................................................52

3.4

Modely akciových otevřených podílových fondů ....................................................54

3.4.1

ISČS Sporotrend ...............................................................................................54

3.4.2

Fond Pioneer Akciový ......................................................................................63

3.4.3

ING International Český akciový fond.............................................................66

3.4.4

ISČS Eurotrend .................................................................................................70

3.4.5

ISČS Globalstocks ............................................................................................73

3.5 4

Závěrečné shrnutí vlastností akciových podílových fondů.......................................76

Analýza dluhopisových podílových fondů ....................................................................78 4.1

Úvod..........................................................................................................................78

4.2

Popisné charakteristiky .............................................................................................78

4.3

Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů ...........................................................80

4.4

Modely dluhopisových otevřených podílových fondů .............................................80

4.4.1

ISČS Sporobond ...............................................................................................80

4.4.2

KBC Renta Czechrenta.....................................................................................84

4.4.3

IKS Dluhopisový ..............................................................................................87

4.4.4

ING International Český fond obligací.............................................................89

4.5

Závěrečné shrnutí vlastností dluhopisových podílových fondů ...............................91

5

Analýza podílových fondů peněžního trhu...................................................................94 5.1

Úvod..........................................................................................................................94

5.2

Popisné charakteristiky .............................................................................................94

5.3

Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů ...........................................................95

5.4

Modely otevřených podílových fondů peněžního trhu .............................................96

5.4.1

ISČS Sporoinvest..............................................................................................96

5.4.2

KBC Multicash ČSOB CZK.............................................................................98

5.4.3

Pioneer Sporokonto...........................................................................................99

5.4.4

IKS Peněžního trhu.........................................................................................101

5.4.5

ING International Český fond peněžního trhu................................................101

5.5 6

Analýza akciových časových řad .................................................................................104 6.1

Úvod........................................................................................................................104

6.2

Popisné charakteristiky ...........................................................................................104

6.3

Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů .........................................................105

6.4

Modely akcií ...........................................................................................................106

6.4.1

ČEZ.................................................................................................................106

6.4.2

Unipetrol .........................................................................................................109

6.4.3

Komerční banka..............................................................................................111

6.4.4

Český Telecom ...............................................................................................114

6.4.5

Philip Morris ...................................................................................................116

6.5 7

Závěrečné shrnutí vlastností podílových fondů peněžního trhu .............................102

Závěrečné shrnutí vlastností akciových časových řad............................................119

Závěrečné srovnání investičních nástrojů ..................................................................122 7.1

Nepodmíněné rozdělení výnosů..............................................................................122

7.2

Modely časových řad ..............................................................................................123

7.3

Vlastnosti reziduí modelů volatility........................................................................125

Závěr ......................................................................................................................................127 Seznam použité literatury ....................................................................................................130 Seznam použitých zkratek a symbolů.................................................................................135 Seznam příloh........................................................................................................................136

ÚVOD Analýza rozdělení a modelování finančních časových řad jsou významným statistickým oborem, který se neustále rozvíjí. Hledání principů chování a předpovídání cen cenných papírů, komodit, nemovitostí, měnových kurzů a dalších investičních nástrojů je stále lákavým tématem pro řadu statistiků, ekonomů, manažerů i investorů. Zájem o tento obor se udržuje na vysoké úrovni, protože možnosti jeho využití při správě a investování finančních prostředků jsou velké. Svědčí o tom množství nově vznikajících monografií, které se vydávají nejen v zahraničí, ale také v Čechách a to již dokonce i od českých autorů. Vliv na rozvoj a oblibu modelování časových řad má i neustálý vývoj výpočetní techniky, který v současnosti umožňuje i na osobních počítačích odhadovat parametry stále složitějších modelů. Ve své disertační práci jsem se rozhodl navázat na vlastní diplomovou práci z roku 2000 nazvanou „Využití předpovědních metod v manažerské praxi“. Práce byla součástí mého studia na Fakultě managementu Vysoké školy ekonomické. Ve své podstatě se v ní objevily relativně jednoduché statistické metody předpovídání nejen finančních časových řad, jako je dekompozice sezónních časových řad, vyrovnávací metody, autoregresní modely. Praktická část se soustředila na finanční časové řady v zahraniční i české odborné literatuře často opomíjené – ceny podílových listů otevřených podílových fondů. I přes jednoduchost a z odstupem času musím konstatovat i nedostatečnost a nevhodnost aplikovaných statistických metod, byla práce oceněna cenou rektora za excelentní studentskou odbornou práci. Tato cena mne ujistila, že podobná analýza má praktický význam, protože oblast mnou zkoumaných investičních nástrojů není doposud dostatečně popsána. V disertační práci se vracím k problematice otevřených podílových fondů, které patří v zahraniční i u nás ke stále oblíbenějším formám investování a to i mezi drobnými investory. Jen v samotném Německu působí v současné době již více než 3700 různě orientovaných podílových fondů. V České republice si podílové fondy získávají stále větší oblibu již od druhé poloviny 90. let. Do konce roku 2006 dosáhl objem investic do podílových fondů 150 miliard korun. Cílem práce je provést podrobnou analýzu tří skupin českých podílových fondů, které se od sebe odlišují mimo jiné výší výnosů, skladbou portfolia, rizikovostí investice, délkou investičního horizontu. Jde o akciové, dluhopisové a peněžní podílové fondy. V porovnáním s ostatními finančními časovými řadami, patří podle mého názoru fondy mezi opomíjené investiční nástroje. Pro účely srovnání jsem do analýzy zapojil i české akcie. K jejich popisu jsem použil naprosto stejné metody jako u podílových fondů. Akcie jsou tradičním a oblíbeným datovým zdrojem pro analyzování, modelování a předpovídání finančních časových řad. 1

Porovnání výsledků analýzy akcií s podílovými fondy by mělo poskytnout důležité závěry o vhodnosti aplikace statistických metod a modelů a vést k pochopení chování časových řad podílových fondů. V prezentované analýze jde především o nalezení shodných a rozdílných prvků sledovaných časových řad, tedy nalezení podobností a rozdílů mezi jednotlivými investičními nástroji. Důvodem proč porovnávat časové řady podílových fondů a akcií mezi sebou je rozdílnost mechanismů tvorby ceny zmíněných investičních nástrojů a různorodost struktury portfolií různých typů podílových fondů. Zjištění, zda časové řady fondů mají stejné vlastnosti jako řady akcií a zda je pro jejich modelování a předpovídání vhodné použít modely vytvořené pro akcie, burzovní indexy nebo směnné kurzy, je nejdůležitějším tématem této práce. Závěry o vhodnosti určitých typů modelů je pak z této analýzy také možné odvodit. Na praktické využití modelování a předpovídání budoucího vývoje cen a volatility pro investory a manažery fondů upozorňuji v první kapitole práce. Zmíněné modelování časových řad je v mé disertační práci důležitým nástrojem pro popis chování finančních časových řad. Aplikoval jsem jednak autoregresní úrovňové modely (tedy modely, kterými jsem se zabýval v práci diplomové) a k nim pak připojil modely volatility. Důvodem jejich aplikace je u mnoha finančních časových řad popsaná vysoká špičatost a tlusté konce rozdělení výnosů, nekonstantnost rozptylu, výskyt shluků a asymetrie vlivu kladných a záporných šoků na velikost podmíněného rozptylu. Vzhledem k tomu, že i v současné době jsou popisovány stále nové a nové modely volatility, věnoval jsem druhou kapitolu přehledu doposud publikovaných modelů. Studiem odborné literatury se mi podařilo nalézt přes 30 různých modelů volatility. Tento výčet však zcela jistě nepovažuji za konečný. Každému modelu je v práci věnován prostor, kde je popsán jeho tvar a základní vlastnosti. Více prostoru dostaly modely konkrétně použité v disertační práci. Při výběru modelů aplikovatelných na podílové fondy a akcie jsem byl omezen použitým statistickým softwarem. Vzhledem k mé víře ve fundovanost autorů statistických programů jsem přesvědčen, že modely využité v analýze patří mezi nejvýznamnější a nejdůležitější. O jejich významu hovoří i časté praktické aplikace a odkazy v odborných publikacích. Důležitou podmínkou při tvorbě modelů finančních časových řad je znalost tvaru rozdělení nesystematické složky. Vzhledem k tomu, že v poslední bodě se významně rozšiřuje nabídka statistických programů umožňujících výstavbu modelů založených i na jiném než normálním rozdělení, byla tato možnost využita i v mé analýzy. Porovnávány jsou nejen různé typy modelů volatility, ale i stejné modely založené na odlišném rozdělení nesystematické složky. Účelem tohoto srovnání je zjištění, zda takovéto modely dokáží skutečně lépe popsat chování sledovaných časových řad. 2

Analýza podílových fondů a akcií se soustředí i na nepodmíněné rozdělení výnosů. Jedním z cílů práce je nalézt vhodné rozdělení, které by bylo základem pro výše zmíněné modely i pro jiné analýzy (např. analýzu Value at Risk). Řada autorů upozorňuje na překonaný předpoklad normality rozdělení výnosů finančních časových řad, vysokou špičatost, tlusté konce rozdělení a významné zešikmení. Detailně se věnuji i této problematice. U každé časové řady jsou prozkoumány vlastnosti reziduí vybraného modelu za účelem zjištění, zda mají či nemají předpokládané normální rozdělení. Pokud tomu tak není, snažím se zjistit, co je důvodem pro zamítnutí hypotézy o jejich normalitě a jaké rozdělení by je lépe popisovalo. Teorii rozdělení výnosů finančních časových řad jsem také věnoval část druhé kapitoly. Krátce jsem v ní popsal nejdůležitější rozdělení uvedená v odborné literatuře věnované finančním časovým řadám a sám doplnil dvě rozdělení, o kterých se zdroje nezmiňují, ale u nichž se mi shodu s analyzovanými časovými řadami podařilo prokázat. Kapitoly 3 až 6 jsou věnovány empirické analýze českých finančních časových řad. Jsou analyzovány řady výnosů logaritmů cen podílových listů tří skupin podílových fondů – akciové, dluhopisové a peněžní a také české akcie pro účel srovnání. Každá kapitola je zakončena nejdůležitějšími zjištěnými závěry platnými pro sledovanou skupinu. Zhodnocení závěrů analýz všech podílových fondů je snahou nalézt shodné a rozdílné prvky v chování časových řad, v jejich nepodmíněném rozdělení a v přístupu k vytváření jejich modelů. Jsou zde navrženy oblasti využití předkládané empirické analýzy v praxi a to jak na straně manažerů fondů, tak i na straně investorů. Samozřejmě nechybí náměty dalšího výzkumu v této oblasti, které by měly odpovědět na otázky nezodpovězené v této práci.

3

1

Finanční časové řady

1.1 Otevřené podílové fondy Otevřené podílové fondy jsou důležitým a v analýze finančních časových řad neprávem opomíjeným investičním nástrojem. Fenomén otevřených podílových fondů existuje v zahraničí velmi dlouho, protože první fondy začaly vznikat již na přelomu 19. a 20. století v anglosaských zemích. V kontinentální Evropě, jako např. ve Francii, Švýcarsku nebo Německu se tato kolektivní forma investování začala prosazovat výrazněji po II. světové válce. K masivnímu rozšíření otevřených podílových fondů však dochází až na počátku devadesátých let 20. století. V posledním období dochází k velkému rozvoji této formy investování, v USA předstihuje dokonce (spolu s penzijními a ostatními fondy) tradiční investice do termínovaných vkladů. Jen v samotném Německu působí v současné době již více než 3700 různě orientovaných podílových fondů. První české podílové fondy byly zakládány v první polovině 90. let. Jejich rozvoj však nastává až po roce 1997. Vzhledem k jednoduchosti a výhodám kolektivního investování ve fondech si tyto získávaly a získávají stále větší oblibu i u drobných investorů. „Jenom v období od druhého kvartálu roku 1999 do poloviny roku 2000 stoupla souhrnná aktiva těch fondů, které nevznikly z kupónové privatizace z 25 miliard Kč na 45 miliard Kč. V dubnu roku 2003 bylo v podílových fondech alokováno 100 miliard Kč, na konci roku 2006 pak 150 miliard Kč. Poslední údaj z internetových stránek Asociace fondů a asset managementu České republiky (AFAM ČR) uvádí objem investic do českých fondů ve výši 150 miliard Kč (AFAM ČR, 2006a). Vývoj investic v letech 1997 – 2003 je na obrázku 1.1. Podílový fond definují Tepper a Kápl (1994) následovně: „Podílový fond tak shromažďuje prostředky od veřejnosti prostřednictvím emise vlastních cenných papírů (podílových listů) a takto získané prostředky investuje do účastí na podnikání jiných osob, tedy akcií, dále dluhopisů, finančních derivátů, movitých věcí a nemovitostí. Shromážděné prostředky v podílovém fondu tvoří zvláštní majetek, který je oddělen jak od majetku investiční společnosti, tak i od majetku jiných fondů založených a spravovaných stejnou investiční společností. Důležité je, aby podílové fondy byly dostatečně rozsáhlé, aby bylo možné najmout schopné odborníky, kteří se ujmou managementu investic podílníků.“ Z hlediska možnosti vydávání nových podílových listů existují vedle otevřených také uzavřené podílové fondy. „Uzavřený podílový fond se vyznačuje tím, že má pevně stanovený počet cenných papírů, který je vydáván do oběhu. Jejich majitelé je nemohou nabízet ke zpětnému prodeji fondu, proto se s těmito cennými papíry obchoduje na veřejných trzích (v případě ČR 4

na Burze cenných papírů Praha nebo v RM-Systému). Kurs těchto cenných papírů je určován nejen hodnotou majetku fondu, ale v konečné fázi vztahem mezi jejich nabídkou a poptávkou,“ popisuje tuto skupinu fondů Špička (1993). V této souvislosti je nutno podotknout, že podle §35l Zákona o investičních společnostech a investičních fondech (zákon č. 248/1992 Sb.) musely být do 31. 12. 2002 všechny uzavřené fondy transformovány na otevřené a nelze již zakládat nové. Obr. 1.1 Vývoj objemu majetku korunových fondů členů UNIS ČR v letech 1997-2004 (zdroj: Dvořák, 2004)

Špička (1993) dále uvádí: „Na rozdíl od uzavřeného podílového fondu je u otevřeného neomezený počet jím emitovaných cenných papírů, tzv. podílových listů a každý majitel tohoto listu má právo jej kdykoliv odprodat zpět investiční společnosti. Podílové listy OPF nejsou obchodovatelné na veřejných trzích, to znamená, že se s nimi neobchoduje na burze cenných papírů ani na mimoburzovním trhu. Cena podílového listu je denně vypočítávána jako čisté obchodní jmění podílového fondu vydělené počtem emitovaných podílových listů. Tímto způsobem je stanovena cena, za kterou podílový fond odkupuje své podílové listy od jejich majitelů.“ Právě jednoduchost obchodování s podílovými listy je základem oblíbenosti fondů drobnými investory.

5

Jednotlivé typy fondů přesně vymezuje „Metodika klasifikace fondů závazná pro členy AFAM ČR“ na internetových stránkách AFAM ČR (AFAM ČR, 2006b): 1) Akciové fondy: Fond trvale investuje na akciovém trhu minimálně 66% aktiv (tj. do akcií a instrumentů nesoucích riziko akcií). Akciové fondy zahrnují i indexové a garantované fondy vázané na akciové indexy. Doplňkově se stanovuje, zda fond patří do kategorie sektorových fondů, která zahrnuje akciové fondy investující výhradně do určitého ekonomického sektoru. Geografická příslušnost je definována podle sídla emitenta akcií. Investice do akcií mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu.

2) Dluhopisové fondy: Fond trvale investuje na trhu dluhopisů. Doplňkové investování do akcií je možné, ale podíl akcií nesmí překročit 10% aktiv fondu. Dluhopisové fondy zahrnují i indexové a garantované fondy vázané na obligační indexy. Geografická příslušnost je definována podle měny aktiv. Investice do měn zemí mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu. Při zařazení fondu je zohledněno zajištění proti pohybu kursu jednotlivých měn.

3) Fondy peněžního trhu: Fond trvale investuje na trhu dluhopisů anebo na peněžním trhu. Celková modifikovaná durace nesmí překročit hodnotu 1. (Při překročení tohoto limitu je fond klasifikován jako dluhopisový fond.) Geografická příslušnost je definována podle měny aktiv. Investice do měn zemí mimo danou kategorii jsou vyloučeny. Při zařazení fondu je zohledněno zajištění proti pohybu kursu jednotlivých měn.

4) Smíšené fondy: Fond investuje do různých aktiv na různých trzích a nejsou stanoveny limity pro podíl akcií či dluhopisů. Geografická příslušnost je definována podle sídla emitenta akcií a vzhledem k celkovému měnovému riziku. Investice do měn a akciových trhů zemí mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu.

5) Fondy fondů: Fond trvale investuje minimálně 66% aktiv do podílových listů a akcií fondů. Doplňkově se fondy fondů rozdělují podle toho, do jakých fondů investují, na převážně akciové, převážně dluhopisové a smíšené. Geografická příslušnost je definována podle geografického rizika fondů. Investice do podílových listů a akcií mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu

Zařazení fondů mezi ostatní investiční nástroje z hlediska jejich rizikovosti a výnosnosti ukazuje obrázek 1.2. 6

Obr. 1.2 Vztah mezi výnosem a rizikem investičních nástrojů (zdroj: P. Popelka, 2003)

opce a termínované obchody kmenové akcie preferenční akcie, směnky, finanční spoluúčast

riziko

smíšené podílové fondy, fondy fondů podnikové dluhopisy

výnosy

akciové podílové fondy

vkladové certifikáty, pojistky a renty, obligační fondy státní a komunální dluhopisy státní pokladniční poukázky, PF peněžního trhu termínované vklady, vklady se státní zárukou nemovitosti, drahé kovy, sbírky, starožitnosti

Do analýzy v disertační práci jsou zařazeny pouze akciové, dluhopisové a peněžní fondy. Aby fondy mohly být zařazeny do analýzy musely splňovat několik důležitých podmínek: 1. Fondy musely být otevřené. 2. Podílové listy musely být obchodovatelné v české měně. 3. Muselo se jednat o fondy oceňované denně, tzn. že analyzovány jsou pouze denní časové řady. 4. Délka analyzované časové řady byla stanovena na 5 let, přičemž začátek sledovaného období všech řad je 1.1.2001 a konec 31.12.2005. V případě prodloužení časových řad směrem do minulosti, by muselo dojít ke snížení počtu analyzovaných fondů, protože řada z nich nemá příliš dlouhou historii. Vymezené období je tak kompromisem mezi délkou časových řad a jejich počtem. Pětiletým sledovacím obdobím byla zajištěna dostatečná délka časových řad pro jejich analýzu a tvorbu modelů, aktuálnost i porovnatelnost, protože všechny kurzy se vyvíjely ve stejné době a tím i ve stejných ekonomických podmínkách.

7

1.2 Mechanismus tvorby ceny podílového listu Pohled na mechanismus tvorby ceny podílového listu dokazuje, jak rozdílný je tento investiční nástroj oproti akciím. Zatímco cena akcie je definována interakcí nabídky a poptávky na akciovém trhu, stejný nástroj tvorby ceny podílových listů otevřených podílových fondů nefunguje. Trh s podílovými listy je do značné míry omezen a je akciovému trhu velice vzdálen. Samotná podstata otevřeného fondu je taková, že pokrývá jakoukoliv poptávku investorů. Otevřený fond vydává stále nové podílové listy a prostředky takto získané dále investuje. Problematický vliv velkých investorů, kteří by měli zájem o masivní investice může fond omezit stanovením maximálního objemu prodeje – tím i omezí pozdější zpětný odkup velkého množství podílových listů. Takovéto doporučení dává správcům fondů Asociace fondů a asset managementu ČR v dokumentu „Doporučení pro členy AFAM ČR jak postupovat při správě fondů kolektivního investování“ internetových stránkách AFAM ČR (AFAM ČR, 2006c): „Investiční společnost by měla zapracovat do statutu fondu ustanovení – notifikaci, umožňující velkým investorů (např. nad 1 mil. EUR) nákup podílových listů pouze se souhlasem investiční společnosti.“ Toto ustanovení umožňuje správci fondu odmítnout prodej podílových listů velkým investorům v okamžiku, kdy by tato investice potenciálně ohrožovala budoucí stabilitu fondu. Správce fondu je tak chráněn před neúměrně vysokými vklady, které nemohou být okamžitě investovány a v budoucnu mohou znamenat neočekávaný jednorázový odliv prostředků z majetku fondu. Fond navíc nemůže podílové listy o své vlastní vůli odkupovat zpět od svých investorů, ale ti je mohou bez omezení prodávat zpět fondu. Právě téměř neomezená nabídka podílových listů na trhu degeneruje působení tržního principu nabídky a poptávky na cenu. Cena jednoho podílového listu otevřeného podílového fondu je odvozena jako podíl celkové hodnoty majetku v držení fondu a počtu podílových listů, které mají v držení jeho investoři. Hodnota majetku je určována zpravidla denně podle hodnoty portfolia podílového fondu. Jak již bylo uvedeno v kapitole o jednotlivých typech fondů, podílové fondy mají předem stanovena pravidla pro tvorbu portfolia. Zákon číslo 189/2004 Sb. o kolektivním investování navíc omezuje riziko ztrát investorů tím, že stanovuje limity pro držbu cenných papírů od jednoho subjektu (firma, obec, stát, centrální banka) v portfoliu fondu. Manažer fondu jakožto správce portfolia je tak do jisté míry omezen ve svém rozhodování kam alokovat finanční prostředky získané prodejem podílových listů fondu. Výše uvedený princip tvorby ceny dokazuje, jak rozdílný je způsob oceňování investice do podílového listu a akcie. Vliv tržního mechanismu však do jisté míry na cenu podílových listů působí. Portfolio některých fondů je z části tvořeno právě akciemi. V závislosti na podílu 8

akcií v portfoliu je cena podílového listu nepřímo formována i nabídkou a poptávkou na akciovém trhu. Vliv tržního mechanismu bude jistě významný u akciových fondů, kde podíl akcií musí být minimálně 66%, menší však u fondu dluhopisového (akcie se na celkových aktivech smějí podílet maximálně z 10%). U fondů peněžního trhu je tento vliv naopak zanedbatelný, protože fond do akciových trhů nesmí vůbec investovat. Jeho investice jsou však namířeny do trhů měnových, kde je cena definována také vlivem nabídky a poptávky. Modelování a předpovědi časových řad podílových fondů se navíc nesoustředí na cenu jediného investičního prostředku (akcie, měnový kurz, cena komodity), ale na cenu portfolia, které obsahuje desítky těchto prostředků z různých oblastí investování a různých trhů. To je v odborné literatuře věnované modelování finančních časových řad daleko méně časté. Tyto specifické vlastnosti definování cen podílových listů vybízejí k řadě otázek. Lze aplikovat modely primárně vytvořené pro akciové časové řady i na investiční nástroje, jejichž cena je definována jiným než tržním způsobem? Mají takové časové řady podílových fondů nějaké společné prvky s řadami akcií, které by použití statistických modelů ospravedlňovaly? Dokáží uvažované modely popsat a předpovídat vývoj rozsáhlého portfolia namísto jediného investičního prostředku? Aplikace modelů na tento typ finančních časových řad by měla nalézt odpovědi na tyto otázky.

1.3 Ekonomické indikátory při rozhodování investora Řada ekonomických studií je věnována srovnávání nejrůznějších investičních nástrojů. Cílem je řadit investiční nástroje podle různých kritérií, nalézat vhodné strategie investování apod. V této souvislosti jsou jmenovány tři základní indikátory: výnosnost resp. výkonnost, rizikovost a likvidita investice. Tyto indikátory sehrávají významnou úlohu při rozhodování investora. Nejsou zdaleka jedinými indikátory, které jsou v souvislosti s podílovými fondy zmiňovány. Mezi další indikátory patří velikost fondu, délka existence, renomé investiční společnosti, jméno a zkušenosti manažera fondu, investiční strategie, daňový domicil a další. Jak je patrné z výčtu, nelze některé z nich vůbec kvantifikovat. Výkonnost, rizikovost a likvidita jsou důležité i pro manažery fondů při rozhodování o skladbě portfolia fondu. Indikátorů výkonnosti investice je odvozeno velké množství. Správci fondů nejčastěji prezentují relativní výkonnost za určité období - od jednodenní, přes měsíční, roční až po výkonnost fondu od okamžiku jeho založení. Všechny tyto ukazatele slouží k popisu historického vývoje a fungování fondu. Zájmem investorů i manažerů může být i předpověď výkonnosti směrem do budoucnosti. Z tohoto důvodu docházelo a dochází k aplikaci statistických metod modelování výnosů finančních časových řad. Přestože řada empirických studií upozorňuje na nepredikovatelnost budoucího vývoje výnosů investic v delším časovém horizontu, jedno této 9

metodě upřít nelze. Napomáhá k pochopení zákonitostí chování časové řady a přináší dynamický pohled na historickou výkonnost investice. Významnou skupinou v této oblasti modelování jsou klasické lineární modely podmíněné střední hodnoty, tedy modely typu ARMA a ARIMA (Box-Jenkinsova metodologie). Časovou řadu generuje stochastický proces, tedy soubor náhodných veličin Xt uspořádaných v čase t. Podle těchto modelů závisí podmíněná střední hodnota náhodné veličiny na čase. Je funkcí podmínky, že náhodné veličiny v časech předchozích nabyly konkrétních hodnot a je nazývána funkcí regresní. Např. u procesu AR(1) vyjádřeného tvarem Xt = φXt-1 + εt je touto podmínkou hodnota náhodné veličiny v čase t-1. Detailně o modelech podmíněné střední hodnoty pojednávají např. Arlt a Arltová (2003), včetně problémů spojených s jejich aplikací na finanční časové řady. Je popsáno velké množství typů investičního rizika (inflační, finanční, měnové, systémové). Mimořádné postavení mezi nimi zaujímá riziko kurzových změn neboli volatilita (Steigauf, 1999). Na trhu otevřených podílových fondů představuje jednu z největších hrozeb pro investora. Tomuto riziku se nelze vyhnout ani výběrem renomovaného investičního fondu s dobrým jménem a dlouhou tradicí. Klasickým způsobem popisu volatility je směrodatná odchylka výnosů investice za sledované období. Přestože není možné klást rovnítko mezi historickou volatilitou a budoucím rizikem investice, zůstává tento jednoduchý ukazatel základním ekonomickým indikátorem rizika. Sami manažeři fondů jej nejčastěji zmiňují ve zprávách o svých fondech. Z analýzy akciových časových řad, časových řad měnových kurzů a cen komodit je již dlouhou dobu známa skutečnost, že volatilita finančních časových řad se v čase mění. Interpretace míry rizika investice prostřednictvím směrodatné odchylky tedy není dostatečná. Řešením tohoto problému je koncepce modelů volatility navržená v roce 1984 R. Englem a rozvíjená novými modely i v současné době. Funkce skedastická je obdobou funkce regresní. Vyjadřuje měnlivost (rozptyl) náhodné veličiny v závislosti na hodnotách náhodných veličin v časech předchozích. Také podmíněný rozptyl časové řady je podle tohoto konceptu závislý na čase, nejen podmíněná střední hodnota. Modelů navazujících na Engleho model typu ARCH je veliké množství. O tom, že se jedná o stále živou oblast statistického výzkumu svědčí i to, že i v současné době jsou odvozovány další modely. Snahou o vytvoření co nejaktuálnějšího přehledu těchto modelů je kapitola 2.2 této práce. Likvidita je vyjádřením rychlosti s jakou je investor schopen proměnit svou investici zpět na peněžní prostředky při malém riziku ztráty na její hodnotě. Likvidita vyplývá ze způsobu obchodování s investičním nástrojem. Na rozdíl od výkonnosti a rizika se s časem příliš nemění. Vzhledem k povinnosti fondů odkupovat zpět své podílové listy, je likvidita takovéto 10

investice velice vysoká. Cílem této práce není zabývat se likviditou investice do podílových fondů, protože za sledované období nedošlo v oblasti podílových fondů k žádným významným změnám.

1.4 Nepodmíněné rozdělení finančních časových řad Sledování nepodmíněného rozdělení je snahou o řešení řadu let známého problému časových řad, kterým je jejich nenormalita. Normalita náhodné složky je přitom základní podmínkou lineárních modelů podmíněné střední hodnoty třídy ARMA a ARIMA. V historii modelů časových řad lze vypozorovat tři směry, jak se s vlastnostmi rozdělení finančních časových řad vypořádat. Historicky první směr se zbývá přímo typem nepodmíněného rozdělení finančních časových řad. Na nesplnění podmínky normality poprvé upozornil B. Mandelbrot v roce 1963. Všímal si vlastností výnosů cen bavlny z přelomu 19. a 20. století. Poukázal především na výskyt velkých změn v cenách (ať již kladných nebo záporných) – autor hovoří o „přemrštěné špičatosti“ cen. Rozdělení výnosů finančních řad má podle autora tlustší konce než rozdělení normální. Výkyvy v cenách se navíc objevují častěji, než je popsáno normálním rozdělením, takže

je

autor

nepovažuje

za

stochastické.

Mandelbrot

navrhl

použití skupiny

L-stabilních rozdělení (viz. kapitola 2.1) k popisu těchto nenormálních vlastností rozdělení časových řad. Navíc prokázal, že po sobě jdoucí výnosy nejsou nezávislé a že rozptyl není konstantní. Navazující empirické studie prokázaly ve finančních časových řadách výskyt tzv. shluků oblastí s vyšším rozptylem než v okolí shluku. Jiní autoři doplňují výčet „nenormálních“ vlastností časových řad o významné zešikmení, které symetrické normální rozdělení není schopno zachytit (Degiannakis, 2004; Theodossiou, 1998 a 2001). V odborné literatuře je tedy cítit jasná potřeba nalézt vhodné rozdělení, které by normální nahradilo a co možná nejlépe popsalo chování časových řad. Nejvýznamnějším návrhům je věnována kapitola 2.1. Pohled na grafy vývoje cen a výnosů logaritmů cen podílových listů dokazuje, že některé z výše uvedených „nenormálních vlastností“ finančních časových řad jsou přítomny i v této práci analyzovaných časových řadách (viz přílohy 1 – 4). Druhý směr je charakterizován snahou problém nenormality časových řad řešit prostřednictvím nových modelů. Engle (1984) navrhl model ARCH, který dokáže zachytit jednak proměnlivou variabilitu časových řad a zároveň i jejich leptokurtické1 rozdělení. Doplnil tak nedostatečné lineární modely typu ARMA a ARIMA, které popisují jen proměnlivou střední

1

Špičatost rozdělení je vyšší než normální (tedy 3).

11

hodnotu a variabilitu považují za konstantní. Nová třída modelů vycházející z modelu ARCH je nazývána modely volatility nebo též modely podmíněného rozptylu. Jejich důležitou vlastností je, že podmínka normality zůstává zachována. Tím se odlišují od přístupu navrženého Mandelbrotem. Řada empirických studií prokázala, že časové řady simulované prostřednictvím procesů podmíněného rozptylu mají skutečně tlustší konce a jsou špičatější něž je tomu u normálního rozdělení. Z českých prací jsou to především Arlt a Radkovský (1999) a Arlt a Arltová (2003). Jiné studie, však ukázaly, že ani tyto modely nejsou schopny tvar rozdělení finančních časových řad schopny plně zachytit. Řešení spočívající ve spojení obou uvedených směrů dohromady navrhl D.B. Nelson (1991) v článku „Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: a New Approach“ z roku 1991. Nelson navrhl model volatility třídy EGARCH, který dokáže popsat proměnlivou variabilitu, leptokurtické rozdělení výnosů a navíc vychází z předpokladu, že náhodná veličina modelu nemá normální, ale Generalized Error rozdělení (GED). Tedy rozdělení v porovnání s normálním rozdělením špičatější a s tlustšími konci. Na základě tohoto přístupu lze odhadovat parametry modelů volatility založené na jiném než normálním rozdělení nesystematické složky. O významu a aktuálnosti tohoto přístupu svědčí i pohled na období a rozsah první implementace tohoto řešení do významných komerčních statistických programů orientovaných na finanční časové řady. Verze programu SAS 8.0 z roku 1999 umožňuje odhadovat parametry modelů volatility nejen s normálním, ale i Studentovým t-rozdělením nesystematické složky. Modul G@RCH 2.0 programu Ox nabízí modifikace modelů volatility s GED, Studentovým t a zešikmeným Studentovým t rozdělením (Laurent a Peters, 2002). Tento modul byl vydán v květnu roku 2001. Modul programu S-Plus vydaný společností Insightful v květnu roku 2002 pod názvem S+FinMetrics 1.0 umožňuje vedle Studentova t a GED rozdělení použít navíc i dvojité exponenciální neboli Laplaceovo rozdělení nesystematické složky (Insightful, 2002). Společnost StatSoft zařadila v srpnu 2004 do svého programu EViews 5.0 možnost odhadovat parametry modelů volatility s GED a Studentovým t rozdělením. Implementace jiných než normálních rozdělení do statistického software je důležitým krokem pro využití vědeckých metod v ekonomické praxi. Umožnila i vznik této práce. Cílem tohoto empirického výzkumu je vzájemné srovnání modelů založených na rozdílném rozdělení nesystematické složky. Myšlenka tohoto srovnávání je při tom v celku jednoduchá. Snahou je nalézt odpovědi na následující otázky: Vedou nové předpoklady o nenormálním rozdělení nesystematické složky skutečně ke zlepšení odhadů 12

parametrů modelů? Jaké jsou rozdíly

v takto získaných odhadech? Je v konečném důsledku použití nového software skutečně potřebné pro analýzu finančních nástrojů?

1.5 Analýza Value at Risk Value at Risk (VaR) analýza je nástrojem používaným od počátku 80. let minulého století řadou finančních institucí. Jde o statistickou metodu měření míry tržního rizika investic. V jednoduchosti slouží tato metoda k odhadování velikosti ztráty (hodnoty VaR), které může za na trhu nezměněných podmínek dosáhnout investor s určitou pravděpodobností v předem stanoveném období. Analýzu VaR může jednak využít investor – majitel podílových listů k odhadu možné ztráty své investice. Jednak je užitečným nástrojem i pro samotné manažery fondů k měření ztrát portfolia a stanovení hraničních propadů hodnoty portfolia pro případné zásahy do jeho struktury. Odborná literatura jmenuje řadu modelů VaR – historická metoda, VCV model (variančně-kovarianční), simulace Monte Carlo, metodologie RiskMetrics, ekonometrický model. V návaznosti na předmět zkoumání této práce má smysl podrobněji se věnovat dvěma VaR metodám. Historická metoda je nejjednodušší a nejtransparentnější metodou výpočtu hodnoty VaR. Předpokládá, že budoucí rozdělení výnosů z investice je stejné jako nepodmíněné rozdělení výnosů za určité období v minulosti časové řady. Jinými slovy předpokládá, že historie se z pohledu rizika bude opakovat. K odhadu kvantilů není pak ani nutné znát konkrétní formu – hustotu pravděpodobnosti resp. distribuční funkci rozdělení. Lze je odvodit i z histogramu. Pokud je však navíc znám i konkrétní tvar nepodmíněného rozdělení v historii včetně jeho parametrů, lze podle této metody předpovídat hodnoty požadovaných kvantilů známého rozdělení a na jejich základě pak vypočítat s požadovanou pravděpodobností ztrátu investice. Z principu modelu vyplývá důležitá vlastnost rozdělení použitého pro předpověď. Důraz je kladen především na jeho konce – v případě počítání ztráty pak konkrétně na jeho levý konec. Vzhledem k již dlouhou dobu známým vlastnostem rozdělení finančních časových je zjevné, že modely s normálním rozdělením vedou k podhodnocení odhadnutých ztrát. Hledání vhodného nepodmíněného rozdělení výnosů podílových fondů, které dobře popisuje chování „problematických konců“ a odhad jeho parametrů je užitečné právě pro aplikaci historické metody VaR. To je také jeden z důvodů, proč se řada autorů snaží o přejímání rozdělení z jiných oborů nebo o odvození nových rozdělení. Jiný přístup k počítání hodnoty VaR uvádí Tsay (2002) pod názvem ekonometrický přístup (econometric approach). Pro výpočet hodnoty VaR používá modely podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu (viz kapitola 2.2). Pokud je podmíněné rozdělení výnosů rt 13

investice v budoucím období normální se střední hodnotou rˆt (1) odhadnutou modelem podmíněné střední hodnoty a rozptylem σˆt2 (1) odhadnutým pomocí modelu podmíněného rozptylu tedy N [rt (1); σˆ t2 (1)] , pak lze s pomocí těchto parametrů vypočítat odpovídající kvantil a stanovit míru tržního rizika spojenou s portfoliem na jedno období dopředu poměrně jednoduchým způsobem. Např. 5%-ní kvantil se vypočte podle jednoduchého vzorce rˆt (1) − 1, 65σˆ t (1) . Stejně tak lze vypočítat p%-ní hodnotu VaR na jedno období dopředu pro jiné rozdělení. Např. pro Studentovo t rozdělení podle tvaru: rˆt (1) −

tv ( p)σˆ t (1) , kde tv(p) je p% v /(v − 2)

kvantil Studentova t rozdělení s v stupni volnosti. Výpočet hodnoty VaR pro delší období (v praxi se využívá např. 10ti denní předpověď) je obdobný. Předpovědi podmíněné střední hodnoty rˆt (h) a podmíněného rozptylu σˆt2 (h) v časovém horizontu h na základě odpovídajících modelů jsou však složitější. Více na problémy předpovědí upozorňuje kapitola 2.2. Uvedený výčet je pouhým naznačením využití dvou oblastí výzkumu této disertační práce v analýze VaR. Jak konkrétní formy nepodmíněného rozdělení výnosů podílových fondů, tak i hledání vhodných modelů podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu mají v této analýze využití na straně investorů i manažerů fondů.

1.6 Předpovídání v časových řadách O využití předpovědí budoucího vývoje cen investičních nástrojů již bylo detailně pojednáno v předchozích kapitolách včetně upozornění na studie dokazující nepredikovatelnost budoucího vývoje cen investičních nástrojů a neslučitelnost minulého a budoucího vývoje finančních časových řad. Krátkodobé předpovědi však mají široké ekonomické uplatnění, např. jednodenní v analýze VaR. Přesnost předpovědi je závislá na variabilitě procesu, neboli rizikovosti investice. Čím je rizikovost investice (volatilita časové řady) vyšší, tím jsou předpovědi méně přesné a naopak. Vzhledem k tomu, že samotná časová řada neobsahuje informace o vlivech působících na cenu akcie nebo podílového listu (vlivů je velké množství a všechny není možné pospat), bylo by krátkozraké předpovídat jen budoucí hodnoty bez předpovídání volatility časové řady. V praxi má daleko větší význam konstrukce předpovědních intervalů. Předpovědní interval je vlastně rozmezím, ve kterém se s určitou pravděpodobností (např. 95%) budou podmíněné střední hodnoty pohybovat. Výskyt jakékoliv ceny podílového listu uvnitř tohoto intervalu je stejně pravděpodobný. K odhadování předpovědních intervalů je nutná znalost budoucího podmíněného rozptylu, který lze předpovídat s pomocí modelů volatility. Tzv. statická předpověď slouží ke stanovení předpovědních intervalů v minulosti a je imple14

mentována v komerčních statistických programech. Grafy historického vývoje cen nebo výnosů podílových listů patří mezi standardní nástroje informování investorů o výsledcích hospodaření fondu. Doplnění o předpovědní meze získané statickou předpovědí, by mohlo investorům více napovědět i o rizikovosti investice. S využitím nových statistických programů by podobné informace mohly být již brzy k dispozici. Konstrukce předpovědních intervalů je významným nástrojem i pro správce nebo manažera fondu. Ve svém důsledku může být podpůrným nástrojem pro tvorbu portfolia fondu. Jakýkoliv pokles mimo hranice předpovědního intervalu naznačuje manažerovi statisticky významný výkyv ceny portfolia a může být signálem pro nutnost přijmout nápravná opatření. Nejvýznamnějším je změna části portfolia za účelem návratu k vyšší hladině ceny podílového listu. V tomto bodě se jedná o širší pohled na VaR analýzu.

15

2 Teoretické základy analýzy otevřených podílových fondů a akcií 2.1 Nepodmíněné rozdělení výnosů finančních časových řad V této kapitole bude věnován prostor vybraným teoretickým rozdělením. Cílem není odvodit nové rozdělení pro popis chování analyzovaných časových řad, ale vytvořit přehled nejvýznamnějších doposud aplikovaných rozdělení. Tradiční předpoklad analýzy finančních časových řad říká, že výnosy jsou nezávislé a identicky normálně rozdělené s konstantní střední hodnotou µ a rozptylem σ2, jak udává např. Tsay (2002). Valná většina modelů finančních časových řad byla vystavěna právě na tomto předpokladu. Předpoklad normality rozdělení je základním stavebním kamenem teorie finančních časových řad. Na nesplnění podmínky normality poprvé upozornili Mandelbrot (1963) a Fama (1965) a po nich řada dalších autorů v empirických studiích. Řada autorů se v odborných publikacích a monografiích snaží nalézt vhodné rozdělení, které by normální nahradilo a co možná nejlépe popsalo chování časových řad. Nejde přitom jen o popis, ale také o vytvoření základů ke konstrukci modelů finančních řad, ať již jde o modely podmíněné střední hodnoty (úrovně) nebo podmíněného rozptylu (volatility). Následující výčet se snaží zachytit nejvýznamnější rozdělení, která jsou v souvislosti s finančnímu časovými řadami zmiňována. Některá z nich (Studentovo t rozdělení, GED rozdělení, Laplaceovo, zešikmené Studentovo t rozdělení) již byla implementována do statistických programů sloužících k analýze finančních časových řad. Další (především zešikmená rozdělení) na svou širší implementaci stále čekají a některá již byla překonána (L-stabilní rozdělení). Ve výčtu jsou uvedeny i příklady aplikací rozdělení na konkrétní časové řady, tak jak se objevily v odborné literatuře. Dvě rozdělení byla doplněna přímo v souvislosti s touto prací. Jde o logaritmicko-logistické a zobecněné logistické rozdělení se třemi parametry. Jejich aplikaci v oblasti finančních časových řad se v literatuře nepodařilo nalézt. V této práci se však podařilo prokázat shodu s nepodmíněným rozdělením výnosů některých časových řad a tedy jejich vhodnost pro popis jejich vlastností. Zdaleka ne všechna v této kapitole uvedená rozdělení bylo možno využít pro potřeby této práce. Pro analýzu výnosů českých podílových fondů a akcií byla použita jen taková rozdělení, jejichž parametry bylo možné odhadnout pomocí programu Statgraphics Centurion XV. Jejich výčet je uveden v této kapitole a podle názoru autora dobře pokryla potřeby zde uvedené analýzy. 16

2.1.1 Normální rozdělení (Normal Distribution) Základním, tradičním předpokladem při tvorbě modelů podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu finančních časových řad je, že logaritmy výnosů mají normální (někdy též nazývané Gaussovo) rozdělení s konstantní střední hodnotou µ a konstantním rozptylem σ2. Většina modelu finančních časových řad byla na tomto předpokladu vystavěna. Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení má tvar (StatPoint, 2005): − 1 f ( x; µ , σ ) = e 2πσ

( x − µ )2 2σ 2

.

(2.1)

V tomto tvaru platí pro parametr směrodatné odchylky podmínka σ > 0. Aplikace tohoto rozdělení na finanční časové řady je obsáhlá. Z nepřeberného množství článků a publikací je nutno uvést významnou českou prací v této oblasti, knihu „Finanční časové řady“ (Arlt a Arltová, 2003).

2.1.2 Logaritmicko-normální rozdělení se třemi parametry (Lognormal Distribution – 3-parameter) Toto rozdělení je doplněné logaritmicko-normální rozdělení o parametr prahu θ (StatPoint, 2005). Díky této úpravě popisuje rozdělení všechny reálné hodnoty náhodné veličiny x (tedy narozdíl od základního logaritmicko-normálního i záporné hodnoty výnosů). Rozdělení je navíc schopno popsat i kladně zešikmená data. Toto rozdělení je prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x) definované následovně: − 1 f ( x; µ , σ ,θ ) = e ( x − θ ) 2πσ

(ln( x −θ ) − µ )2 2σ 2

.

(2.2)

O logaritmicko-normálním rozdělení píše v souvislosti s analýzou finančních časových řad např. Tsay (2002) v první kapitole: „Jiný běžně používaný předpoklad je, že výnosy logaritmů cen rt jsou nezávislé a mají normální rozdělení. Výnosy pak mají logaritmicko-normální rozdělení.“

2.1.3 Logaritmicko-logistické rozdělení se třemi parametry (Loglogistic Distribution – 3-parameter) Obdobně jako výše uvedené logaritmicko-normální rozdělení je toto rozšířeným tvarem logaritmicko-logistického rozdělení o parametr prahu θ. Popisuje rozdělení všech reálných hodnot náhodné veličiny x (StatPoint, 2005): f ( x; µ , σ ,θ ) =

1 exp( z ) ln( x − θ ) − µ , kde z = . 2 σ x [1 + exp( z )] σ

17

(2.3) a (2.4)

Toto rozdělení je stejně jako logaritmicko-normální (2.2) kladně zešikmené. Jeho využití k popisu finančních časových řad se v odborné literatuře nepodařilo nalézt. Důvodem je patrně i skutečnost, že popisuje právě jen kladnou šikmost. Vzhledem k tomu, že v této práci se aplikace logaritmicko-logistického rozdělení ukázala být jednou z vhodných alternativ pro většinu řad otevřených podílových fondů a akcií (testy shody vycházely statisticky významné), bylo nutné zde toto rozdělení také jmenovat.

2.1.4 Zobecněné logistické rozdělení (Generalized Logistic Distribution) Toto rozdělení se třemi parametry µ, κ, γ je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru (StatPoint, 2005): f ( x; µ , γ , κ ) =

γ exp(−( x − µ ) / κ ) . κ [1 + exp(− ( x − µ ) / κ )]1+γ

(2.5)

Parametr µ je parametrem polohy. Pro parametr měřítka κ platí κ > 0 a podmínka pro parametr tvaru rozdělení γ je γ > 0. Parametr γ ovlivňuje zešikmení rozdělení, pro hodnotu γ = 1 je rozdělení symetrické. Pokud je γ > 1 jde o kladné zešikmení a pokud 0 > γ > 1 jedná se o zešikmení záporné. Stejně jako v případě logaritmicko-logistického rozdělení není ani u tohoto rozdělení využití v analýze finančních časových řad příliš veliké. Nepodařilo se nalézt článek nebo monografii, kde by bylo v takovém kontextu zmíněno. Přesto se zdá být pro tuto oblast vhodnější než předchozí rozdělení právě proto, že je schopno popsat jak kladně, tak i záporně zešikmené výnosy. Z důvodů zjištěné a popsané shody s rozdělením analyzovaných řad českých podílových fondů a akcií, je zde i toto rozdělení zmíněno.

2.1.5 Laplaceovo rozdělení (Laplace Distribution) Laplaceovo (dvojité exponenciální) rozdělení s parametry střední hodnoty µ a měřítka λ > 0 je symetrickým rozdělením, se špičatostí vyšší než má normální rozdělení i výše uvedené formy logistického rozdělení (2.6) a (2.5). Tvar jeho hustoty pravděpodobnosti je (StatPoint, 2005): f ( x; µ , λ ) =

λ −λ x−µ e . 2

(2.7)

Laplaceovo rozdělení se v literatuře objevuje často jako jedna z forem obecnějších rozdělení2 doporučovaných pro popis chování finančních časových řad.

2

Exponential Power (2.8), zobecněné t rozdělení (2.12), zešikmené zobecněné t rozdělení (2.16).

18

2.1.6 Exponenciální mocninné rozdělení (Exponential Power Distribution) Jde o symetrické tříparametrické rozdělení, ve kterém parametr tvaru β ovlivňuje špičatost rozdělení. Je také někdy nazýváno zobecněným rozdělením chyb (Generalized Error Distribution zkráceně GED) (2.32). Tvar uvedený v (StatPoint, 2005) je:  1 x−µ 1 exp  − f ( x; β , µ , φ ) =  2 φ  1 + β  1+(1+ β ) / 2  Γ 1 + φ 2 2  

2 /(1+ β )

 .  

(2.8)

Ve výše uvedeném tvaru je Γ(.) gama funkcí3, µ je parametrem střední hodnoty a φ > 0 je parametrem měřítka. Pro parametr tvaru β platí -1 ≤ β ≤ 1. Pokud β = 1, jde o Laplaceovo rozdělení (2.7), pokud β = 0 jedná se o normální rozdělení (2.1) a když β = -1, pak jde o rovnoměrné rozdělení. Řada autorů se věnovala modelování rozdělení finančních časových řad pomocí Exponential Power (zkráceně EP) rozdělení. Mezi jinými to byl Nelson (1991), který na řady amerických akcií aplikoval svůj asymetrický exponenciální GARCH model. Hsieh (1998), Theodossiou (1994), Koutmos a Theodossiou (1994) tímto rozdělením popsali rozdělení zahraničních měnových kurzů. Akgiray a kol. (1991) ukázali, že EP rozdělení mají i časové řady cen drahých kovů.

2.1.7 L-Stabilní rozdělení (L-Stable Distribution) Aplikace skupiny stabilních rozdělení je jedním z historicky prvních pokusů o zachycení rozdělení finančních časových řad, které je špičatější má tlustší konce než rozdělení normální. Použití tohoto rozdělení navrhl Mandelbrot (1963) ve své práci „The Variation of Certain Speculative Prices“. Použil rozdělení vytvořené Paulem Lévym (1924) ve 30. letech 20. století a po něm jej také označil jako L-stabilní. Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce rozdělení není známá, při praktických aplikacích se často používá parametrizace s charakteristickou funkcí ve formě (Arlt a Radovský, 1999):    α  1−α  απ  signu u − 1   pro α ≠ 1 exp  − u 1 + i β tan    2      E [exp(iuX )] =  ,  2  α    exp  − u 1 + iβ signu ln u   pro α = 1  π    

(

3

Gama funkci Γ(.) popisuje mj. Čermák (1993) na straně 98.

19

)

(2.9)

−1 pro u < 0  kde signu =  0 pro u = 0 .  1 pro > 0  Právě parametr α ovlivňuje tloušťku konců rozdělení a jeho hodnota se pohybuje v rozmezí 0 < α ≤ 2. Parametr β je parametrem zešikmení a platí pro něj -1 ≤ β ≤ 1. Je-li jeho hodnota β = 0, pak je L-stabilní rozdělení symetrické. Pokud pro parametry platí α = 2 a β = 0, pak se rozdělení redukuje na normální (2.1). Pokud α = 1 a β = 0 jedná se o Cauchyho rozdělení (2.10). Různé tvary rozdělení jsou dobře patrné z následujících grafů. Obr. 2.1 L-stabilní rozdělení. Tvar v závislosti na jednotlivých parametrech (Dottorato, 2006)

Problémem, který zabránil používání tohoto rozdělení při analýze finančních časových řad, je diskutabilní vlastnost jeho rozptylu a momentů vyššího řádu. Arlt a Arltová (2003) k tomuto uvádějí: „Výběrový rozptyl a výběrová charakteristika špičatosti dat generovaných nenormálním stabilním rozdělením s rostoucím rozsahem datového souboru (výběru) nekonvergují, nýbrž rostou do nekonečna. Odpůrci stabilního rozdělení argumentují empirickými studiemi, ve kterých se snaží prokázat, že v praktických situacích rozptyl konverguje a že s rostoucím časovým horizontem se logaritmus výnosu blíží k normálnímu rozdělení.“

20

2.1.8 Cauchyho rozdělení (Cauchy Distribution) Toto rozdělení má také delší a tlustší konce než rozdělení normální. Jedná se o velice známý případ L-stabilního rozdělení (2.9). Hustota pravděpodobnosti je definována funkčním předpisem (StatPoint, 2005): −1

1 f ( x;θ , β ) = πβ

 x − θ  2    + 1 .  β  

(2.10)

Parametr θ je modem rozdělení a β je parametrem měřítka. Střední hodnota tohoto rozdělení není definována a rozptyl je nekonečný, což je obecná vlastnost této skupiny rozdělení.

2.1.9 Studentovo t rozdělení (Student’s t Distribution) Aplikace t rozdělení a jeho zobecnění pro finanční časové řady je v současné praxi velice častá. Diskuze o vhodnosti či nevhodnosti L-stabilního rozdělení vedla podle Arlta a Arltové (2003) k hledání jiných rozdělení, které by zachycovaly vlastnosti finančních časových řad lépe než normální rozdělení, ale měla by konečný rozptyl a momenty vyššího řádu. V této souvislosti hovoří autoři právě o Studentovu t rozdělení. Hustota pravděpodobnosti má tvar (StatPoint, 2005):  v +1  − ( v +1) Γ 2   2   2  1+  x  , f ( x; v) =     1 v    v   2  (vπ ) Γ   2

(2.11)

kde v ≥ 1 a jde o stupně volnosti a x je náhodná veličina, pro kterou platí -∞ < x < ∞. Je li parametr rozdělení v = 1, pak se jedná o Cauchyho rozdělení (2.10), je-li v → ∞, jde o normální rozdělení. Praktické aplikace v oblasti finančních časových řad přinesl např. Bollerslev (1987) a Baillie a Bollerslev (1989). V obou případech bylo pomocí Studentova t rozdělení modelováno rozdělení zahraničních měnových kurzů. T rozdělení je nejčastěji implementovaným rozdělením v aplikacích určených pro modelování časových řad.

2.1.10 Zobecněné t rozdělení (Generalized t Distribution) V současné odborné literatuře se dále objevují různá zobecnění Studentova t rozdělení. Zdá se, že toto je vhodná cesta k nalezení obecného rozdělení vhodného pro popis finančních řad. Podle Wanga a Romagnoliho (2005) má zobecněné t rozdělení hustotu pravděpodobnosti: f ( x; σ , p, q) =

p p x   1/ 2  1 2σ q B  , q  1 +  p  p   qσ 

21

q +1/ p

(2.12)

Význam parametrů a tvar rozdělení popisují autoři následovně: “σ je směrodatná odchylka, parametry p a q definují tvar rozdělení. Rozdělení je symetrické a unimodální. Čím vyšší jsou hodnoty parametrů p a q, tím má rozdělení tenčí konce. Čím nižší jsou hodnoty parametrů p a q, tím má rozdělení tlustší konce.“ Toto rozdělení zastřešuje podle autorů skupinu jednodušších rozdělení. Pokud platí q = ∞ jde o Exponential Power rozdělení (2.8). Pokud p = 2 a σ = α 2 jedná se o původní Studentovo t rozdělení (2.11). Zobecněné t rozdělení s parametry q = ∞, p = 1 je Laplaceovým rozdělením (2.7). Pro q = ∞, p = 2, σ = α 2 se jedná o normální rozdělení (2.1). V případě, že q = 1/2 a p = 2, σ = α 2 jde o rozdělení Cauchyho (2.10). Toto rozdělení bylo aplikováno např. na časové řady amerických burzovních indexů (Bollerslev, Engle a Neslon, 1994).

2.1.11 Zešikmené t rozdělení (Skewed t Distribution) Autoři Lambert a Laurent (2000, 2001) na základě článku „On Bayesian modeling of fat tails and skewness“ Fernándeze a Steely (1998) navrhli aplikaci zešikmeného t rozdělení při analýze finančních časových řad. Podle autorů nejsou logaritmy výnosů jen leptokurtické4, ale také asymetrické. Zmíněné rozdělení má hustotu pravděpodobnosti definovanou funkčním předpisem: Γ ((v + 1) / 2)  2 s   sx + m − dt  f ( x; v, g ) = 1+ g   −1  v−2 Γ(v / 2) π (v − 2)  g + g   

− ( v +1) / 2

.

(2.13)

V tomto tvaru je g parametrem asymetrie a v > 2 reprezentuje stupně volnosti. Pro exponent dt platí: dt = 1 pokud x ≥ –m/s a jinak je dt = -1. Dále platí: m = Γ((v − 1) / 2) (v − 2)(Γ(v / 2) π ) −1 ( g − g −1 ) a

(2.14)

s = g 2 + g −2 − m 2 − 1 .

(2.15)

Praktickou aplikaci tohoto rozdělení ve spojení s modely volatility publikoval mj. Degiannakis (2004). Na časové řady burzovních indexů CAC40, DAX30 a FTSE100 aplikoval FIAPARCH model založený na zešikmeném t rozdělení nesystematické složky.

2.1.12 Zešikmené zobecněné t rozdělení (Skewed Generalized t Distribution) P. Theodossiou (1998) zjišťoval vhodnost zobecněného zešikmeného t rozdělení pro analýzu finančních časových řad a aplikoval jej na burzovní indexy S&P500 (USA), TSE300 (Kanada), Topix (Japonsko) a na měnové kurzy japonského jenu a kanadského dolaru vůči 4

Špičatost rozdělení je vyšší než normální (tedy 3).

22

americkému dolaru. Toto rozdělení má podle autora dvě funkce hustoty pravděpodobnosti v závislosti na znaménku náhodné veličiny x: f ( x; k , v, λ , σ 2 ) =

( C (1 + (k /(v − 2))θ

C 1 + (k /(v − 2))θ − k (1 − λ )− k x / σ −k

(1 + λ )

−k

x /σ

) )

k − ( v +1) / k

k

− ( v +1) / k

pro x < 0 (2.16) pro x ≥ 0

kde: −3

1

 1 v  2  3 v − 2 2 −1 C = 0,5kB  ,  B  ,  S (λ )σ , k k k k  1

1

(2.17)

−1

 k k  1 v 2  3 v − 2  2 −1 θ =  B ,  B ,  S (λ ) , v−2  k k   k k 

(2.18) 1

2 −1 −1 2   2 v −1   1 v  3 v−2  S (λ ) =  1 + 3λ 2 − 4λ 2 B  , B , B ,       .  k k k k k k        

(2.19)

Ve výše uvedených tvarech je B(.) beta funkcí5.Vlastnosti parametrů uvádí autor následovně: „Parametry k a v kontrolují výšku a konce rozdělení. Parametr zešikmení λ kontroluje rychlost poklesu hustoty pravděpodobnosti kolem hodnoty x = 0.“ Na parametry jsou kladeny následující omezující podmínky: k > 0, v > 2 a -1 < λ < 1. Toto rozdělení zastřešuje dle autora řadu příbuzných rozdělení, mezi jinými i Studentovo t (λ = 0 a k = 2), Exponential Power (λ = 0 a v = ∞), Laplaceovo (λ = 0, k = 1 a v = ∞), Cauchyho (λ = 0, k = 2 a v = 1), normální (λ = 0, k = 2 a v = ∞) a rovnoměrné rozdělení (λ = 0, k = ∞ a v = ∞), Odhad parametrů zešikmeného zobecněného t rozdělení se provádí maximalizací věrohodnostní funkce (2.20). Její tvar lze použít k odvození věrohodnostní funkce libovolného modelu volatility. Odhad parametrů modelu při znalosti jeho věrohodnostní funkce nabízí i program EViews prostřednictvím objektu „Log Likelihood (LogL)“. Stavba modelů založených na takovémto rozdělení však vyžaduje detailnější studium dané problematiky a překračuje rámec této disertační práce. Každopádně se jedná o zajímavý námět pro další výzkum v oblasti finančních časových řad. − ( v +1) / k T    k −k k  L(k , v, λ , σ ) = ∑ log  C  1 + θ − k (1 + sign( xt )λ ) xt / σ     v−2  t =1  

5

Beta funkci B(.) popisuje mj. Čermák (1993) na straně 110.

23

(2.20)

V rovnici věrohodnostní funkce (2.20) je C definováno vztahem (2.17) a θ vztahem (2.18). T je délka časové řady, xt = zt + µ , kde µ je střední hodnota rozdělení6, zt = yt − y a y je výběrový průměr hodnot časové řady.

2.1.13 Zešikmené Generalized error distribution (Skewed Generalized Error Distribution) Toto rozdělení odvodil P. Theodossiou (2001) a aplikoval jej na různé finanční časové řady mj. na akcie firmy Boeing, Dow-Jonesův index, burzovní indexy S&P500 a S&P100 a také na měnové kurzy britské libry a japonského jenu vůči americkému dolaru. Svou prací prokázal, že výnosy logaritmů cen těchto časových řad jsou leptokurtické a zešikmené a řídí se právě tímto rozdělením. Hustotní funkce má tvar: f ( x; µ , σ , k , λ ) =

 C 1 x − µ + δσ exp  − k k k  σ sign x µ δσ λ θ σ 1 − ( − + ) [ ] 

k

  , (2.21)  

kde platí: −1

k 1 C= Γ  , 2θ  k  1

(2.22) −1

 1 2  3  2 θ = Γ   Γ   S ( λ ) −1 , k k

(2.23)

δ = 2λ AS (λ )−1 ,

(2.24)

S (λ )−1 = 1 + 3λ 2 − 4 A2 λ 2 ,

(2.25)

−1

−1

 2 1 2  3 2 A = Γ Γ  Γ  . k k k

(2.26)

Autor dále uvádí náležitosti jednotlivých parametrů a jejich vliv na tvar rozdělení. „Pro parametry měřítka tohoto rozdělení platí: k > 0 a -1 < λ < 1. Záporná hodnota parametru λ značí záporné zešikmení a kladná zešikmení kladné. Parametr k kontroluje výšku a tloušťku konců rozdělení. Pokud λ = 0 a k = 1 jde o Laplaceovo rozdělení. Je-li λ = 0 a k = 2 pak jde o normální rozdělení a když λ = 0 a k = ∞ jedná se o rovnoměrné rozdělení.“ Ve stejném článku je uveden i tvar věrohodnostní funkce tohoto rozdělení (2.27). Odhad parametrů zešikmeného GED rozdělení však není v nabídce žádného statistického programu, které byly pro tuto disertační práci k dispozici7. S pomocí uvedené věrohodnostní funkce

6

Autor uvádí, že střední hodnota rozdělení je:

µ ≡ E ( x ) = 2λ S (λ ) −1 B(2 / k , (v − 1) / k )B(1/ k , v / k ) −1/ 2 B(3 / k , (v − 2) / k ) −1/ 2 σ 3 . 7

Statgraphics Centurion XV, S-Plus 4.5, EViews 5.0

24

(2.27) však je možné odhadovat nejen parametry rozdělení a po její úpravě i celých modelů finančních časových řad založených na zešikmeném GED rozdělení. K odhadu lze využít např. program EViews. 1 L(k , λ , µ , σ ) = T ln C − T ln σ − k k θ σ

T

yt − µ + δσ

t =1

(1 + sign( yt − µ + δσ )λ )

∑

k k

(2.27)

V tomto tvaru je C, θ a δ dáno tvary (2.22), (2.23) a (2.24), T je délka časové řady a yt jsou hodnoty časové řady v čase t.

2.1.14 Směs rozdělení (Mixture of Distributions) Mimo uvedená rozdělení se objevují i návrhy na použití směsice rozdělení. Tsay (2003) jmenuje směs normálních rozdělení, ve které jsou logaritmy výnosů rt normálně rozděleny se střední hodnotou µ a rozptylem σ2. Navíc je však rozptyl σ2 popsán nějakým kladným rozdělením (např. Gama rozdělením). Autor uvádí jednoduchý příklad konečné směsi dvou normálních rozdělení: rt : (1 − α ) N ( µ ; σ 12 ) + α N (µ ;σ 22 ) ,

(2.28)

kde 0 ≤ α ≤ 1, σ12 je relativně nízký a σ22 je relativně vysoký rozptyl. Pokud je pak například α = 0,05, popisuje toto rozdělení situaci, kdy 95% výnosů má rozdělení N(µ;σ12) a zbylých 5% výnosů má N(µ;σ22). Valná většina výnosů má tedy jednoduše normální rozdělení. Relativně vysoká hodnota rozptylu σ22 zajišťuje, že toto rozdělení má tlustší konce než klasické normální rozdělení. Směsi rozdělení mají konečný rozptyl i vyšší momenty a zároveň dokáží popsat vyšší špičatost. Problémem je odhad parametrů takových rozdělení, např. parametru α u konečné směsi rozdělení.

25

2.2 Modely volatility V této kapitole je uveden přehled modelů finančních časových řad. Jedná se o tzv. modely volatility, tedy modely popisující variabilitu finančních časových řad. Narozdíl od modelů podmíněné střední hodnoty, jejichž nejznámějším zástupcem je třída modelů ARMA, se modely volatility zabývají modelováním podmíněného rozptylu. Základem rozsáhlé skupiny modelů volatility je model ARCH, který v roce 1982 sestavil R.F. Engle (1982). Jeho model dokázal jako první popsat měnící se variabilitu časových řad, která je odrazem nejistoty a rizika vyskytujícího se ve finančních časových řadách. Vzhledem k faktu, že modely volatility charakterizují vývoj podmíněného rozptylu stochastického procesu, jedná se vlastně o modely nelineární. Přesto se v této skupině modelů rozlišují lineární a nelineární modely. Lineární modely vycházejí z jednoduchého funkčního vztahu, kdy je podmíněný rozptyl lineární funkcí zpožděných čtverců reziduí stacionárního autoregresního procesu. Mezi nejznámější lineární modely volatility patří vedle již zmíněného ARCH modelu také modely GARCH (Bollerslev, 1986), GARCH-M (Engle, Lilien a Robins, 1983) a (Engle a Lee, 1993). Tyto modely byly také zahrnuty do komerčního statistického software. Pokud je funkce podmíněného rozptylu a zpožděných čtverců reziduí stacionárního autoregresního procesu nelineární, jde o tzv. nelineární modely volatility. Ty jsou schopny zachytit empiricky popsanou vlastnost některých finančních časových, která spočívá v přítomnosti různých asymetrických efektů. Nejznámější popsal Black (1976) jako „leverage efect“ tedy česky „pákový efekt“, při kterém se kladné a záporné šoky nepromítají do podmíněného rozptylu časové řady symetricky, jak to popisují lineární modely volatility. Lineární modely nejsou takovouto asymetrii schopny popsat, protože jimi popsaný podmíněný rozptyl je závislý na čtverci šoků a nerozlišuje tedy, zda je hodnota šoků kladná nebo záporná. Mezi nejvýznamnější nelineární modely patří modely EGARCH (Nelson, 1991), GRJ-GARCH (Glosten, Jaganathan a Runkle, 1993) a APARCH (Ding a spol., 1993). Přičemž poslední jmenovaný v sobě zahrnuje jak nelineární, tak i lineární modely. Tato trojice modelů byla uvedena také z toho důvodu, že odhady jejich parametrů jsou analytikům dostupné díky programu EViews, který byl hlavním nástrojem pro modelování v této disertační práci. Další skupinou, kterou je v množině modelů podmíněného rozptylu možné vymezit, jsou integrované a frakcionálně integrované modely (I a FI). Z historického pohledu jsou tyto modely jakousi nadstavbou nad lineárními a nelineárními modely volatility, ze kterých byly konec konců odvozeny. Účel tvorby takových modelů je zjednodušeně řečeno popsat perzistenci rozptylu. Tedy situaci, kdy vliv šoků na podmíněný rozptyl přetrvává velice dlouho 26

a dlouhodobá předpověď rozptylu časové řady zůstává ve všech horizontech citlivá na počáteční podmínky. Cílem této práce není aplikace integrovaných nebo frakcionálně integrovaných modelů na analyzované časové řady. Žádný z těchto modelů není ani v nabídce programu EViews (jiné aplikace některé takovéto modely nabízejí). Z tohoto důvody jsou zmíněny pouze v této kapitole a dále se s nimi nepracuje. Nejznámějšími modely jsou lineární IGARCH (Engle a Bollerslev, 1986) a FIGARCH (Baillie, Bollerslev a Mikkelsen, 1996). Přestože je v této kapitole popsáno 33 různých modelů volatility, není jejich výčet úplný. Řada nově vznikajících modelů nebyla zatím dostatečně popsána a publikována. Navíc je v literatuře zřejmá tendence zobecňovat již popsané modely a vytvářet nové zastřešující modely. Ještě jednou je důležité připomenout, že do praktické analýzy finančních časových řad českých podílových fondů a akcií byl vybrán jen zlomek těchto modelů, které jsou implementovány v programu EViews 5.0.

2.2.1 Modely ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Tento model popsal poprvé R.F. Engle (1982) ve své práci „Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. Inflation“. Jde o základní stavební kámen modelů podmíněného rozptylu (volatility) časových řad. Model ARCH (2.30) je založen na předpokladu, že podmíněný rozptyl σt2 je lineární funkcí zpožděných čtverců reziduí stacionárního

autoregresního

procesu (2.29) (modelu podmíněné střední hodnoty)

ε2t-1,ε2t-2,.., ε2t-i. Pro proces εt platí εt = etσt, kde σt je podmíněná směrodatná odchylka a et ~ N(0;1). Veličiny procesu et jsou navíc nezávislé. Podmíněná střední hodnota procesu εt je nulová a podmíněný rozptyl je σt2. p

X t = φ0 + ∑ φi X t −i + ε t .

(2.29)

i =1

q

σ t 2 = ω + α1ε t2−1 + α 2ε t2−2 + ... + α qε t2− q = ω + ∑ α iε t2−i .

(2.30)

i =1

Pokud jsou parametry αi ve tvaru (2.30) statisticky nevýznamné, znamená to, že podmíněný rozptyl σt2 je v čase konstantní. Kladnost podmíněného rozptylu zajišťují následující podmínky: ω > 0, αi ≥ 0 pro i = 1, 2, ..., q. Nepodmíněný rozptyl procesu εt je konstantní v čase a má tvar: D (ε t ) =

ω . 1 − α1 − ... − α q

(2.31)

O vlastnostech a schopnostech tohoto modelu více pojednávají Arlt a Arltová (2003): „Model ARCH je charakteristický tím, že jeho prostřednictvím lze zachytit shluky volatility v časové řadě výnosů.“ Dále se autor věnuje špičatosti náhodné veličiny εt. „Tento model umožňuje 27

rovněž zachytit vyšší špičatost pravděpodobnostního rozdělení výnosů. Špičatost Kε je vždy vyšší než špičatost normálního rozdělení, tj. 3.“ Odhad parametrů tohoto modelu je možný pomocí programu EViews 5.0 a bude v této práci využit k popisu analyzovaných časových řad. Vedle klasického modelu, který vychází z podmínky, že náhodná veličina et má podmíněné8 normální rozdělení se střední hodnotou nula a rozptylem jedna9, jsou v programu k dispozici i dohady založené na jiných podmíněných rozděleních procesu εt. Je jím buď Studentovo t rozdělení s funkcí hustoty pravděpodobnosti (2.11). Toto rozdělení je špičatější než normální rozdělení. Nesystematická složka modelu může mít i GED (Generalized Error Distribution) rozdělení, které je též známé jako rozdělení Exponential Power (2.8) (Box a Tiao, 1973), s parametrem r > 0 a hustotou pravděpodobnosti pro náhodnou veličinu -∞ < x < ∞ ve tvaru (Quantitative, 2004b): r 1   2 3    3 2     rΓ    Γ r     r r f ( x, r ) =   3 exp  − x      .  Γ 1      1 2  r  2Γ       r  

(2.32)

Narozdíl od tvaru (2.8) má toto rozdělení jen jediný parametr r, proto je jeho zápis poněkud odlišný. Navíc tento parametr nabývá jiných hodnot než původní parametr tvaru β. Podle Nelsona (1991) zahrnuje toto rozdělení normální rozdělení jako jeden ze svých speciálních případů. Narozdíl od Studentova t rozdělení umí zachytit nejen vysokou špičatost, ale i špičatost nižší než má normální rozdělení. Pokud je hodnota parametru r = 2, pak se jedná o normální rozdělení. Je-li r = 1 jde o dvojité exponenciální, neboli Laplaceovo rozdělení. Pokud 0 < r < 2, má toto rozdělení tlustší konce nežli rozdělení normální a pokud r > 2 pak má naopak konce užší než normální rozdělení.

2.2.2

Modely GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

Autorem modelu GARCH je T. Bollerslev (1986). Model GARCH je rozšířením modelu ARCH o zpožděný podmíněný rozptyl. Nahrazuje jednodušší model tam, kde by bylo nutné odhadovat velké množství parametrů αi (model ARCH s vysokým stupněm q).

8 9

„Za podmínky informace, která je k dispozici v čase t-1, tedy et ~ Nt-1(0;1),“ (Arlt a Arltová, 2003). Za těchto podmínek má veličina εt ~ Nt-1(0; σt2).

28

Podmíněný rozptyl procesu je tedy lineární funkcí čtverců reziduí modelu a zpožděného podmíněného rozptylu: σ t 2 = ω + α1ε t2−1 + ... + α q ε t2− q + β1σ t2−1 + ... + β pσ t2− p ,

(2.33)

neboli: q

p

i =1

j =1

σ t 2 = ω + ∑ α iε t2−i + ∑ β jσ t2− j .

(2.34)

Kladné hodnoty nepodmíněného rozptylu je dosaženo, když ω > 0, αi > 0 pro i = 1, 2, ..., q a βj ≥ 0 pro j = 1, 2, ..., p. Nepodmíněný rozptyl procesu εt je konstantní a má tvar (Arlt a Arltová, 2003): D (ε t ) =

ω . 1 − α (1) − β (1)

(2.35)

Také tento model dokáže podchytit zvýšenou špičatost časové řady jak uvádí např. Arlt a Arltová (2003). Také parametry modelů GARCH lze odhadovat pomocí programu EViews 5.0. Ten je odhaduje prostřednictvím maximalizace věrohodnostní funkce. Uživatelská příručka programu (Quantitative, 2004) uvádí tvary logaritmů této funkce pro tři alternativy rozdělení nesystematické složky. Pro model založený na předpokladu normality nesystematické složky má tvar: lt =

1 1 1 log(2π ) − log σ t2 − ( yt − X t'θ )2 / σ t2 . 2 2 2

(2.36)

V případě, že nesystematická složka modelu má Studentovo t rozdělení s hustotou pravděpodobnosti (2.11) a v stupni volnosti, je tvar věrohodnostní funkce následující.  ( yt − X t'θ )2   π (v − 2)Γ(v / 2) 2  1 1 (v + 1) 2 lt = log  log  1 + 2 .  − log σ t − 2 2 (( 1) / 2) 2 2 ( 2) Γ v + σ v −   t  

(2.37)

Zmiňovaný software odhaduje i parametry modelu založeného na GED (2.32) rozdělení nesystematické složky s parametrem r. V takovém případě má věrohodnostní funkce následující podobu:  Γ(3/ r )( yt − X t'θ )2   Γ (1/ r )3  1 1 2 lt = log  − log σ t −   2  2 σ t2Γ(1/ r )  Γ(3 / r )(r / 2)  2  

r/2

.

(2.38)

Ve všech výše uvedených případech je θ vektorem parametrů modelu volatility. Bodová předpověď podmíněné střední hodnoty úrovňového modelu AR(p) konstruovaná v čase T s předpovědním horizontem h se vypočte jako: X T (h) = α1 X T (h − 1) + ... + α p X T (h − p ) .

29

(2.39)

Předpověď podmíněného rozptylu konstruovaná v čase T s horizontem h je podle modelu GARCH(1,1), který je stacionární v kovarinacích10: σ T2 (h) = σ ε2 + (α1 + β1 )h −1 (σ T2+1 − σ ε2 )

(2.40)

Bodová předpověď podmíněného rozptylu je v praxi využitelná např. ke konstrukci předpovědních intervalů (statická nebo dynamická předpověď) nebo v analýze Value at Risk. Při počítání intervalů je však nutno brát v úvahu i podmíněné rozdělení předpovědních chyb. Pokud toto rozdělení není normální, je konstrukce intervalů problematická.

2.2.3

Modely IGARCH (Integrated Generalized Autoregressive Conditional)

Model byl navržen v roce 1986 autory R.F. Englem a T. Bollerslevem (1986). Cílem autorů bylo popsat vysokofrekvenční časové řady u nichž se součet odhadnutých parametrů α1 a β1 modelu GARCH(1,1) blížil jedné. V případě modelu IGARCH(1,1) se jedná zpřesnění modelu GARCH(1,1) o podmínku α1 + β1 = 1. Model podmíněného rozptylu má v tomto případě tvar: ε t2 = ω + ε t2−1 + ν t − β1ν t −1 ,

(2.41)

kde vt = εt2 - σt2. Jde o tzv. proces integrovaný v rozptylu. Model IGARCH(p,q) lze zapsat i pomocí operátoru zpětného posunutí B (2.42), který představuje zpoždění o jedno posunutí takže platí: BXt = Xt-1 a BsXt = Xt-s. Více o operátoru viz. Arlt a Arltová (2003). φ ( B )(1 − B ) ε t2 = ω + (1 − β ( B) ) vt .

(2.42)

Parametry modelu nelze programem EViews odhadovat a proto nebyl model IGARCH do analýzy zahrnut. Odhady parametrů lze provádět jinými programy (SAS, G@RCH). Zde se tedy otevírá prostor pro případné další analýzy. Vzhledem k faktu, že tento model byl navržen pro vysokofrekvenční data, nemusela by být jeho absence v této práci nijak výrazná.

2.2.4

Modely FIGARCH (Fractionally Integrated Generalized Autoregressive Conditional)

Frakcionálně integrovaný model navržený R.T. Bailliem, T. Bollerslevem a H.O. Mikkelsenem (1996) je také nazýván modelem s dlouhou pamětí. „Model lze jednoduše získat, když do modelu IGARCH (2.42) vložíme namísto první diference parametr diferencování d, který nemusí být celé číslo a pro nějž platí 0 ≤ d ≤ 1,“ (Degiannakis a Xekalaki, 2004). Zápis modelu FIGARCH(p,d,q) pomocí zpětného operátoru posunutí B má tvar: φ ( B )(1 − B ) ε t2 = ω + (1 − β ( B) ) vt . d

10

(2.43)

Model GARCH(1,1) je stacionární v kovariancích pokud platí podmínky (2.35) a podmínka α1+β1<1.

30

Po dosazení vt = εt2 - σt2 do rovnice (2.43) a má tvar vymezující podmíněný rozptyl podobu:

(

)

σ t2 = ω + 1 − β ( B) − φ ( B )(1 − B ) ε t2 + β ( B)σ t2 . d

(2.44)

Arlt a Arltová (2003) upozorňují na důležitou vlastnost této třídy modelů: „Narozdíl od kovariančně stacionárního modelu GARCH(1,1) nebo modelu IGARCH(1,1), kde se šoky do podmíněného rozptylu exponenciálně zmenšují, resp. přetrvávají do nekonečna, se v modelu

FIGARCH(1,d,0)

šoky

do

podmíněného

rozptylu

zmenšují

pomalu

a hyperbolicky.“

2.2.5

Modely HYGARCH (Hyperbolic Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

HYGARCH je modelem, který dle autora (Davidson, 2003): „Zobecňuje FIGARCH model a je

stacionární

v kovariancích

pokud

popisuje

hyperbolickou

paměť.“

Model

HYGARCH(1,d,1) má tvar:

( (

))

 1 − δ1 B  d σ t2 = ω + 1 − 1 + α (1 − B ) − 1  ε t2  1 − β1 B 

(2.45)

Pokud α = 1, pak se tento model redukuje na FIGARCH (2.44) a pokud α = 0, pak jde o GARCH model (2.34).

2.2.6

Modely GARCH-M (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity in Mean)

Trojice autorů R.F. Engle, D.M. Lilien a R.P. Robins (1983) představila ve své práci „Estimating Time Varying Risk Premia in the Term Structure: ARCH-M Model“ z roku 1983 model, který popisuje přímý vliv podmíněného rozptylu na podmíněnou střední hodnotu finanční časové řady prostřednictvím obecné funkce g(σt2). Jinými slovy se autoři pokusili zachytit situaci, kdy na sobě závisejí úroveň a variabilita výnosů. Podmíněný rozptyl je popsán modelem GARCH. Úrovňový model má však změněný tvar: X t = φ0 + φ1 X t −1 + ... + φ p X t − p + λ g (σ t2 ) + ε t .

(2.46)

Konkrétní tvary úrovňového modelu, které je možno odhadovat pomocí programu EViews jsou (Quantitative, 2004): p

X t = ϕ0 + ∑ ϕi X t −i + λσ t + ε t ,

(2.47)

i =1 p

X t = ϕ0 + ∑ ϕi X t −i + λσ t2 + ε t ,

(2.48)

i =1 p

X t = ϕ0 + ∑ ϕi X t −i + log σ t2 + ε t .

(2.49)

i =1

31

Ve tvaru (2.47) vstupuje do úrovňového modelu podmíněná směrodatná odchylka, v (2.48) podmíněný rozptyl a v posledním modelu (2.49) logaritmus podmíněného rozptylu. Samotný model podmíněného rozptylu je modelem GARCH (2.34). Tyto modely budou také využity jako jedna z možných alternativ pro popis chování časových řad výnosů akcií a otevřených podílových fondů. V porovnání s modelem neobsahujícím vliv podmíněného rozptylu je podmíněná střední hodnota procesu E(Xt) různá od nuly a podmíněný rozptyl D(Xt) má vyšší hodnotu, uvádí o vlastnostech Arlt a Arltová (2003).

2.2.7

Modely AGARCH (Absolute Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

Autoři S.J. Taylor (1986) a G.W. Schwert (1989a,b) popisují pomocí tohoto modelu závislost podmíněné směrodatné odchylky σt na zpožděných absolutních hodnotách procesu εt-i a směrodatné odchylky σt-i, q

p

i =1

j =1

σ t = ω + ∑ α i ε t −i + ∑ β jσ t − j .

2.2.8

(2.50)

Modely Log-GARCH (Log-Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

Návrh autorů J. Gewekeho (1986), S.G. Pantuly (1986) a A. Milhǿje (1987) je založen na předpokladu, že logaritmus podmíněného rozptylu je závislý na logaritmu čtverců zpožděných hodnot procesu εt-i a logaritmů předchozích hodnot podmíněného rozptylu σt2-i, takže tvar modelu je následující: q

p

i =1

j =1

log(σ t 2 ) = ω + ∑ α i log(ε t2−i ) + ∑ β j log(σ t2− j ) .

(2.51)

Odlogaritmováním tohoto tvaru vznikne multiplikativní model.

2.2.9

Modely NARCH (Non-linear Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

V roce 1986 navrhli autoři R.F. Engle a T. Bollerslev (1986) jednoduchý nelineární model volatility11 založený na modelu GARCH(1,1), ve kterém je podmíněný rozptyl závislý na δ-té mocnině absolutní hodnoty prvního zpoždění procesu εt-1. δ

σ t 2 = ω + α1 ε t −1 + β1σ t2−1 .

(2.52)

11

Nelineární model v tom smyslu, že model není lineární v parametrech. Není tímto tedy myšleno, že by model popisoval asymetrický vliv šoků na podmíněný rozptyl.

32

V článku „A Class of Nonlinear ARCH models“ prezentovali autoři M.L. Higgins a A.K. Bera (1992) složitější nelineární model GARCH, ve kterém je modelována δ-tá mocnina podmíněné směrodatné odchylky podle zápisu: δ /2

q

σ t = ω + ∑αi ε δ

i =1

2 t −i

p

+ ∑ β jσ tδ− j .

(2.53)

j =1

2.2.10 Modely R-GARCH (Randomized Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity J. Nowicka-Zagrajek a A. Weron (2001) nahradili absolutní člen modelu GARCH lineární funkcí identicky rozdělených stabilních náhodných veličin, takže: r

q

p

i *=1

i =1

j =1

σ t 2 = ∑ (ci*η t−i* ) + ∑ αi ε t2−i + ∑ β jσ t2− j ,

(2.54)

kde kromě standardních podmínek kladených na hodnoty parametrů modelu GARCH platí ci* ≥ 0 pro i* = 1, 2, ..., r. Rozdělení náhodné veličiny ηt je definováno charakteristickou funkcí (Degiannakis a Xekalaki, 2004):   t a ϕ (t , a, β , σ , µ ) = exp  iµ t − σ t 1 − iβ ω ( t , a )   ,   t   

(2.55)

kde 0 < a ≤ 2 je exponent charakteristické rovnice, -1 ≤ β ≤ 1 je parametr šikmosti, σ > 0 je parametr míry, µ ∈ R je parametrem polohy. Pro funkci ω ( t , a ) platí: πa   tan 2 , a ≠ 1 . ω ( t , a) =  − 2 log t , a = 1  π

(2.56)

2.2.11 Modely CGARCH (Component Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Engle a Lee (1993) publikovali model CGARCH, který slouží ke zkoumání krátkodobých a dlouhodobých pohybů volatility časové řady. Model je složen ze dvou rovnic: σ t2 = qt + α1 (ε t2−1 − qt ) + β1 (σ t2−1 − qt )

(2.57)

qt = ω + pqt + φ (ε t2−1 − σ t2−1 ).

„V tomto modelu představuje qt dlouhodobou časově proměnnou volatilitu a rozdíl σt2- qt popisuje dočasnou nebo krátkodobou komponentu podmíněného rozptylu. Spojením krátkodobé a dlouhodobé volatility do jediného tvaru a jeho úpravou vznikne nelineární GARCH(2,2) model,“ (Degiannakis a Xekalaki, 2004).

33

„Krátkodobá komponenta σt2- qt konverguje k nule v závislosti na α1+β1, dlouhodobá volatilita modelu konverguje k hodnotě ω v závislosti na hodnotě parametru p. Vzhledem k tomu, že hodnota parametru p se nejčastěji pohybuje v rozmezí 0,99 až 1, je tato konvergence velice pomalá,“ (Quantitative, 2004). Také tento model lze odhadovat pomocí programu EViews 5.0. Vzhledem k rozsahu této práce však nebyl do analýzy zahrnut.

2.2.12 Modely EGARCH (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Model je jedním z nejvýznamnějších nelineárních modelů volatility. Byl publikován v roce 1991 D.B. Nelsonem (1991) v časopise Econometrica v článku „Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: a New Approach“. Cílem modelu EGARCH bylo zachytit tzv. asymetrické efekty ve finančních časových řadách. Nejznámějším je „pákový efekt“, při kterém je vliv záporných šoků na hodnotu podmíněného rozptylu výrazně vyšší nežli vliv šoků kladných. Pákový efekt pojmenoval F. Black (1976). Model podmíněného rozptylu má podle autora následující tvar: q

p

j =1

i =1

log(σ t 2 ) = ω + ∑ β j log(σ t2− j ) + ∑ α i

ε  r ε t −i ε − E  t −i  + ∑ γ k t − k . σ t −i  σ t −i  k =1 σ t − k

(2.58)

Vzhledem k faktu, že model popisuje vztah mezi logaritmem podmíněného rozptylu a minulými šoky a ne samotný podmíněný rozptyl, není nutno klást na parametry modelu omezující podmínky, které by zajistily kladnou hodnotu podmíněného rozptylu. Tento tvar zároveň zajišťuje, že šoky mají na podmíněný rozptyl exponenciální vliv. Autor založil svůj model na předpokladu, že náhodná veličina εt má Generalized Error rozdělení (GED). Statistický software EViews 5.0 odhaduje parametry upraveného EGARCH modelu ve tvaru (Quantitative, 2004): q

p

j =1

i =1

log(σ 2 ) = ω + ∑ β j log(σ t2− j ) + ∑ α i

r ε t −i ε + ∑ γ k t −k . σ t −i k =1 σ t − k

(2.59)

„Odhad tohoto modelu poskytuje stejné hodnoty jako původní model (2.58) až na konstantu ω, která se mění v závislosti na předpokladu rozdělení a stupni p. Například v modelu se stupněm p = 1 a normálním rozdělením, bude tento rozdíl α1 2 / π ,“ (Quantitative, 2004). Pro oba modely platí, že pro popis případné asymetrie je důležitá hodnota parametrů γi. Je-li tato různá od nuly, asymetrie se v modelu vyskytuje. Je-li hodnota parametru záporná, existuje v časové řadě pákový efekt, tedy vyšší vliv záporných šoků než šoků kladných. Je-li

34

hodnota γi kladná, je asymetrický efekt opačný. Kladné šoky v takovém případě zvyšují volatilitu časové řady více než šoky záporné.

2.2.13 Modely GRJ-GARCH (Glosten, Jaganathan, Runkle Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) V článku „On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Normal Excess Return on Stocks” popsali autoři L.R. Glosten, R. Jaganathan a D. Runkle (1993) nelineární model volatility pojmenovaný prvními jmény jejich příjmení GRJ-GARCH. Jde o jiný pohled na popis rozdílného působení šoků než u modelu EGARCH. Model podmíněného rozptylu má obecný tvar (Quantitative, 2004): p

q

r

j =1

i =1

k =1

σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ α iε t2−i + ∑ γ k ε t2−k It−− k .

(2.60)

kde I-t-k = 1 pokud εt-k < 0 a I-t-k = 0 pokud εt-k > 0. „Parametry αi vyjadřují vliv kladných šoků a jejich výše, součet parametrů αi+γi vyjadřuje vliv šoků záporných a jejich výše. Pokud γi > 0, zvyšují záporné šoky volatilitu a je přítomen pákový efekt i-tého stupně. Pokud γi ≠ 0 je vliv šoků asymetrický. Je-li hodnota parametrů γi = 0, pak je model redukován na GARCH, který je speciálním případem modelu GRJ-GARCH,“ (Quantitative, 2004). Z tohoto plyne, že NIC12 funkce modelu GRJ-GARCH(1,1) má tvar: NIC (ε t σ t2 = σ ε2 ) = ϖ + β1σ ε2 + α1ε t2

pro ε t > 0,

NIC (ε t σ = σ ) = ϖ + β1σ + (α1 + γ 1 )ε 2 t

2 ε

2 ε

2 t

pro ε t < 0.

(2.61)

Ve tvaru (2.61) je σε2 nepodmíněným rozptylem procesu εt. Jako jedna z mála je u tohoto modelu uvedena i funkce NIC, protože její odvození nebylo složité a bude využita při posuzování asymetrie volatility u analyzovaných časových řad akcií a podílových fondů. Parametry tohoto modelu lze odhadovat pomocí programu EViews 5.0. Model se skrývá pod poněkud jiným názvem. Je označen jako TGARCH. Předpověď podmíněné střední hodnoty konstruovaná v čase T s horizontem h se vypočte podle tvaru (2.39). Pro stejný horizont je předpověď podmíněného rozptylu založená na modelu GRJ-GARCH(1,1) (za podmínky, že rozdělení veličiny et je symetrické kolem 0): σ T2 (h) = ω +

α1 + γ 1 + β1σ T2 +1 (h − 1) . 2

(2.62)

12

Funkce NIC neboli „News Impact Curve“ se používá k měření způsobu promítnutí nové informace do odhadu volatility. Graf funkce slouží k porovnání schopnosti nelineárních modelů volatility zachytit různé efekty kladných a záporných šoků (Engle a Ng, 1991). Arlt a Arltová (2003) upřesňují: „Ukazuje vztah mezi šokem εt a podmíněným rozptylem σt2+1 za předpokladu, že ostatní minulé a přítomné informace jsou konstantní.“

35

2.2.14 TGARCH (Threshold Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Model je podobný výše uvedenému modelu GRJ-GARCH. Vytvořil jej J.M. Zakoian (1990), dále jej dopracoval spolu R. Rabemananjarem (1993) do tvaru: p

q

q

j =1

i =1

i =1

σ t = ω + ∑ β jσ t − j + ∑ α iε t+−i − ∑ γ k ε t−−i ,

(2.63)

ve kterém ε+t ≡ εt pokud εt > 0, jinak ε+t ≡ 0 a opačně. Podmíněný rozptyl procesu popsaného modelem je nezáporný, pokud platí podmínky ω > 0, (αi + γk)/2 ≥ 0 pro i = 1, 2, ..., q a k = 1, 2, ..., r a βj > 0 pro j = 1, 2, ..., p. Vliv kladných šoků je popsán parametry αi a vliv šoků záporných parametry γk. Pákový efekt se v řadě vyskytuje pokud platí nerovnost αi < γk.

2.2.15 Modely AGARCH (Asymmetric Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Tento Engleův model (1990) patří mezi jednodušší asymetrické modely volatility. Jeho tvar je následující: p

q

j =1

i =1

σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ (α iε t2−i + γ iε t −i ) .

(2.64)

Záporná hodnota γi parametru znamená, že kladné šoky zvyšují podmíněný rozptyl více než šoky kladné.

2.2.16 Modely NGARCH (Non-linear Asymmetric Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Svůj model AGARCH (2.64) upravil R.F. Engle spolu s V.K. Ngem (1993) do dvou verzí tak, aby postihovaly rozdílný vliv kladných a záporných šoků nelineárním způsobem, takže má tvar: p

q

j =1

i =1

σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ (α iε t −i + γ iσ t −i )2 .

(2.65)

Z výše uvedeného tvaru je patrné, že na podmíněný rozptyl mají vliv i zpožděné podmíněné směrodatné odchylky σt-i. „Tento model umožňuje, aby bylo minimum křivky NIC závislé na hodnotě směrodatné odchylky,“ (Engle a Ng, 1993) což je rozdíl oproti předchozím modelům majícím minimum v bodě εt = 0.

36

2.2.17 Modely VGARCH (V13 Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Model byl publikován ve stejné práci jako model NGARCH (Engle a Ng, 1993) a je mu velice podobný. p

q

j =1

i =1

σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ αi (ε t −i / σ t −i + γ i ) 2 .

(2.66)

Autoři ke tvaru asymetrie tohoto modelu uvádějí: „Minimum NIC křivky tohoto modelu je stejné jako u modelu NGARCH, ale její sklon je jiný.“

2.2.18 Modely APARCH (Asymmetric Power Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) „Model Z. Dinga a dalších autorů (1993) zastřešuje hned několik výše uvedených modelů, jako jeho speciální případy. Jde o modely ARCH (2.30), GARCH (2.34), AGARCH (2.64), GJR-GARCH (2.60), TGARCH (2.63), NGARCH (2.65) a Log-GARCH (2.51). Model využívá Boxovu-Coxovu transformaci (1964) procesu podmíněné směrodatné odchylky a kombinuje ji s asymetrickým vlivem šoků na tento proces. Jeho tvar je: q

(

σ t = ω + ∑ α i ε t −i − γ iε t −i δ

i =1

δ

) +∑β σ p

j =1

j

δ t− j

,

(2.67)

kde parametry musejí odpovídat těmto podmínkám: ω > 0, δ ≥ 0, βj ≥ 0 pro j = 1, 2, ..., p, -1 < γi < 1 a αi ≥ 0 pro i = 1, 2, ..., q, aby byla zajištěna nezáporná hodnota podmíněného rozptylu,“ (Degiannakis a Xekalaki, 2004). Model popisuje asymetrii působení šoků pokud γi ≠ 0. Je-li γi = 0 pro všechna i a δ = 2, pak jde o klasický GARCH model. Parametry modelu APARCH lze také odhadovat pomocí programu EViews. Vzhledem k tomu, že zahrnuje jiné, v této analýze použité modely (ARCH, GARCH, GRJ-GARCH), je jeho použití vhodnější než aplikace dílčích modelů. V této práci se však nakonec jeho odhady neobjevují. Důvodem je snaha o použití jednodušších modelů pro popis chování časových řad a také to, že s dalším obecnějším modelem by se neúměrně rozrostl počet srovnávaných modelů nad meze vytyčené pro tuto práci. Aplikace modelu APARCH na časové řady výnosů podílových fondů by mohla být zajímavým doplňkem této disertační práce, která by mohla doplnit zde uvedené závěry o symetrii či asymetrii volatility analyzovaných časových řad.

13

„Název VGARCH je odvozen od tvaru ε/σ = v,“ (Engle a Ng, 1993).

37

2.2.19 Modely QGARCH (Quadratic Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Model je jiným pokusem o zachycení vlivu šoků na podmíněný rozptyl. Jeho autorem je Sentana (1995). Model je schopen popsat i vliv síly šoku. q

q

p

i =1

i =1

j =1

σ t 2 = ω + ∑ α iε t2−i ∑ γ iε t −i + ∑ β jσ t2− j

(2.68)

Arlt a Arltová (2003) popisují, jak šoky působí: „Vliv šoku v modelu QGARCH(1,1) je dán vztahem γ1/εt-1 + α1. Je-li γ1 < 0, je vliv záporného šoku na podmíněný rozptyl větší než vliv šoku kladného.“

2.2.20 Modely ST-GARCH (Smooth Transition Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) ST-GARCH modely zastřešují celou skupinu modelů. Přechod mezi působením kladných a záporných šoků je popsán pomocí spojité přechodové funkce F(εt-i), takže přechod je plynulý a vliv šoků „neskáče“, jako tomu bylo u předchozích modelů. Obecný tvar modelu ST-GARCH je (Hagerud, 1996): p

σ t = ω + ∑ β jσ 2

j =1

q

2 t− j

+ ∑ (αi + γ i F (ε t −i ))ε t2−i .

(2.69)

i =1

Různí autoři pak použili odlišné přechodové funkce F(εt-i) a podle nich nazvali své modely.

2.2.21 Modely LST-GARCH (Logistic Smooth Transition Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Model publikoval G.E. Hagerud poprvé v roce 1996 a o rok později jej využil ve své disertační práci. Jako přechodovou funkci modelu ST-GARCH (2.69) použil logistickou funkci, tedy: F (ε t −i ) =

1 pro θ > 0. 1 + exp(−θε t −i )

(2.70)

„Logistická přechodová funkce nabývá hodnot 0 ≤ F(εt-i) ≤ 1 a popisuje závislost podmíněného rozptylu na znaménku šoku. S rostoucím parametrem θ se logistická funkce přibližuje skokové funkci, která nabývá hodnoty 0 pro εt-i < 0 a hodnoty 1 pro εt-i > 0,“ (Arlt a Arltová, 2003).

2.2.22 Modely EST-GARCH (Exponential Smooth Transition Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Sejný autor (Hagerud, 1996) použil i funkci, která zachycuje asymetrický vliv velkých a malých šoků. Pro tento účel zvolil exponenciální přechodovou funkci: F (ε t −i ) = 1 − exp(−θε t2−i ) pro θ > 0.

(2.71) 38

Přechodová funkce se blíží jedné pro vysoké hodnoty εt-i, ať již kladné nebo záporné a je nula pro εt-i = 0.

2.2.23 Modely GLST-GARCH (Generalized Logistic Smooth Transition Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Lubrano (1998) navrhl v modelu ST-GARCH použití zobecnění přechodové logistické funkce přidáním parametru prahu c: F (ε t −i ) =

1 − exp(−θε t2−i ) . 1 + exp(−θ (ε t2−i − c 2 ))

(2.72)

2.2.24 Modely GEST-GARCH (Generalized Exponential Smooth Transition Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Stejný autor navrhl použití i zobecněné exponenciální přechodové funkce (Lubrano, 1998) přidáním parametru prahu c: F (ε t −i ) = 1 + exp ( −θ (ε t2−i − c 2 ) ) .

(2.73)

2.2.25 Modely VS-GARCH (Volatility Switching Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Přínos F. Fornariho a A. Meleho (1997) do sledované problematiky je v tom směru, že jejich model popisuje nejen rozdílný vliv kladných a záporných, ale i velkých a malých šoků14. Podle autorů popisuje model situaci, kdy vysoké kladné šoky ovlivňují podmíněný rozptyl více než záporné šoky ve stejné výši. Jejich model má tvar: p

q

j =1

i =1

σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ α iε t2−i + γ St −1

ε t2−1 , σ t2−1

(2.74)

kde St = 1 pokud εt > 0a St = -1 pokud εt < 0 a podíl εt2/σt2 měří rozdíl mezi odhadem podmíněného rozptylu σt2 založeného na informaci v čase t-1 a zjištěnou hodnotou εt2. Pro konkrétní parametrizaci ukázali a Arlt a Arltová (2003), že NIC křivka modelu není spojitá v bodě εi = 0.

14

Obdobné schopnosti má i model QGARCH (2.68).

39

2.2.26 Modely AVS-GARCH (Asymmetric Volatility Switching Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Fornari a Mele (1996) upravili svůj model AVS-GARCH jako mix modelů GRJ-GARCH a VS-GARCH a pro parametry p = q = 1 odvodili jeho tvar:  ε 2   σ t2 = ω + α1ε t2−1 + β1σ t2−1 + γ St −1ε t2−1 + δ   t2−1  − k  St −1 ,  σ    t −1  

(2.75)

kde umělá proměnná St nabývá stejných hodnot (1 resp. -1) jako v případě modelu VS-GARCH (2.74). Podle autorů je špičatost procesu εt generovaného modelem vyšší než u modelu GARCH(1,1).

2.2.27 Modely ANST-GARCH (Asymmetric Nonlinear Smooth Transition Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Arlt a Arltová (2003) uvádějí modifikaci modelu VS-GARCH (2.74) s logistickou přechodovou funkcí F(εt-i) (2.70), která umožňuje hladký přechod z jednoho režimu do druhého. Tvar modelu ANST-GARCH je: σ t2 = (ω + α1ε t2−1 + β1σ t2−1 )(1 − F (ε t −1 )) +

(2.76)

+(ξ + γ 1ε t2−1 + τ 1σ t2−1 )(1 − F (ε t −1 )).

Ve stejné publikaci je i graf NIC křivky, ze kterého je patrné, že pro parametrizaci ω > ξ, α1 < γ1, β1 > τ1 je NIC křivka asymetrická a nemá minimum v bodě εt = 0. „S rostoucí hodnotou nepodmíněného rozptylu hc se minimum posouvá směrem doprava, což znamená, že úroveň šoků, které působí na podmíněný rozptyl relativně nejméně, se zvyšuje.“

2.2.28 Modely MSW-GARCH (Markov-Switching Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Jiným pokusem o popsání rozdílů v působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl je model volatility s různými režimy chování. Modifikace modelu GARCH(1,1) (2.34) se dvěma proměnlivými režimy určenými nepozorovatelným Markovovým stochastickým procesem st má podle (Arlt a Arltová, 2003) následující tvar: σ t2 = (ω + α1ε t2−1 + β1σ t2−1 ) I (st = 1) + (ξ + γ 1ε t2−1 + τ 1σ t2−1 ) I ( st = 2) .

40

(2.77)

Právě Hamilton (1989) navrhl použití Markovova procesu prvního řádu15. Autor předpokládá, že režim má pouze dva stavy 1 a 2 a že stav st je závislý pouze na stavu v čase t-1. Pravděpodobnosti přechodu s jednoho stavu do druhého jsou dány: P( st = 1 st −1 = 1) = p11 , P( st = 2 st −1 = 1) = p12 ,

(2.78)

P( st = 1 st −1 = 2) = p21 , P( st = 2 st −1 = 2) = p22 .

Rozvinutí Markovova procesu na m režimů, nabízí další, složitější alternativy tohoto modelu.

2.2.29 Modely ACGARCH (Asymmetric Component Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) R.F. Engle a G.G.J. Lee (1993) rozvinuli svůj vlastní lineární model volatility CGARCH (2.57), tak aby byl schopen zachytit asymetrii působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl. Stejně jako lineární model, popisuje i tento krátkodobé a dlouhodobé pohyby volatility časové řady. σ t2 = qt + α1 (ε t2−1 − qt ) + γ 1 (d (ε t −1 < 0)ε t2−1 − 0,5qt −1 ) + β1 (σ t2−1 − qt ) qt = ω + pqt + φ (ε t2−1 − σ t2−1 ) + γ 2 (d (ε t −1 < 0)ε t2−1 − 0,5σ t2−1 ),

(2.79)

kde funkce d(εt-1 < 0) = 1 pro εt-1 < 0 a jinak je d(εt-1 < 0) = 0.

2.2.30 Modely FIEGARCH (Fractionally Integrated Exponential Generalized Autoregressive Conditional) Model z roku 1996 je aplikací myšlenky frakcionální integrace na nelineární model volatility EGARCH (2.58). Autoři modelu T. Bollerslev a H.O. Mikkelsen definovali jeho tvar pomocí operátoru zpětného posunutí B: log(σ t2 ) = ω + φ ( B )

−1

(1 − B )− d (1 + α ( B ) ) g ( zt −1 ) .

(2.80)

2.2.31 Modely FIAPARCH (Fractionally Integrated Asymmetric Power Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Y.K. Tse (1998) aplikoval stejnou myšlenku na model APARCH (2.67) a vytvořil model FIAPARCH(p,d,q) ve tvaru:

(

σ tδ = ω + 1 − (1 − β ( B) ) φ ( B)(1 − B)− d

15

−1

)( ε

− γε t ) . δ

t

Tento návrh byl původně použit pro autoregresní modely podmíněné střední hodnoty.

41

(2.81)

2.2.32 Modely ASYMM FIFGARCH (Asymmetric Fractionally Integrated Family Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Frakcionálně

integrované

asymetrické

modely

zastřešuje

obecný

model

ASYMM FIFGARCH(1,d,1), který definoval Y. Hwang (2001) následovně:  (1 − ϕ B )(1 − B ) d k σ = + 1 − 1 − δ  1− δ B ε  ε f (ε t ) = t − b − c  t − b  , σt  σt  λ t

 v  f (ε t )σ tλ ,  

(2.82)

kde pro parametr c platí |c| ≤ 1. Autor uvádí i typy modelů, které lze pomocí ASYMM FIFGARCH popsat. Pokud parametry nabývají hodnot

λ = 0, v = 1, pak jde

o model FIEGARCH (2.80). Pokud λ = 2, v = 2 jde o model FIGARCH (2.43). Model se změní na frakcionálně integrovaný TGARCH (2.63), pokud λ = 1, v = 1 a pokud λ = v jde o frakcionálně integrovaný NGARCH.

2.2.33 Modely HY-A-PARCH (Hyperbolic Asymmetric Power Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) Model O. Schoffera (2003) kombinuje asymetrický model APARCH (2.67) s frakcionálně integrovaným procesem HYGARCH (2.45), takže jeho tvar je:

(1 − α ( B) − β ( B) ) ( (1 − τ ) + τ (1 − B) d ) ({ zt } ) = ω + (1 − β ( L) ) ({vt }) ,

(2.83)

kde zt = ( yt − η yt ) a vt = zt - σtδ. Tento model se změní na HYGARCH (2.45) pokud paraδ

metry δ = 2 a η = 0. Pokud je τ = 0, pak jde o model APARCH (2.67), uvádí k vlastnostem modelu autor.

42

2.3 Analýza finančních časových řad Postup analýzy časových řad českých podílových fondů a akcií je autorem disertační práce rozdělen do několika kroků: 1. Pro každou časovou řadu je vyhotoven graf vývoje ceny podílových listů nebo akcií Pt a graf logaritmů výnosů rt podle tvaru rt = ln Pt – ln Pt-1, kde Pt je cena podílového listu v čase t a Pt-1 je cena podílového listu v čase t-1. Pohled na graficky zobrazený vývoj časové řady by mohl napovědět, v čem si jsou analyzované řady podobné a v čem se naopak liší. Takováto shoda ve vývoji by mohla být patrná u časových řad stejného typu (např. akciové podílové fondy). Naopak rozdíly by pak mohly existovat mezi jednotlivými skupinami investičních nástrojů (např. akcie vs. dluhopisové podílové fondy). Zároveň naznačí, zda časové řady podílových fondů mají stejné „neduhy“ jako jiné finanční řady, tedy častější výkyvy v cenách než jak popisuje normální rozdělení, nekonstantní rozptyl, výskyt shluků. 2. Jsou vypočteny a okomentovány popisné charakteristiky pro jednotlivé časové řady. Zvláštní důraz je kladen na charakteristiky tvaru rozdělení časových řad (šikmost S a špičatost K) a na ukazatele variability, které reflektují riziko spojené s investováním do podílových fondů nebo akcií. Cílem tohoto kroku je nalézt společné nebo odlišné vlastnosti časových řad jednotlivých investičních nástrojů. Výpočet charakteristik tvaru rozdělení je podle (Quantitative, 2004) následující: 1 T y −y S = ∑ i  , T i =1  σˆ 

(2.84)

1 T y −y K = ∑ i , T i =1  σˆ 

(2.85)

3

4

kde je σˆ = s (T − 1) / T odhad směrodatné odchylky, T je délka časové řady a s je výběrová směrodatná odchylka souboru. 3. Tradičním předpokladem při tvorbě modelů podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu finančních časových řad je, že rozdělení cen nebo výnosů je normální (někdy též nazývané Gaussovo) s konstantní střední hodnotou µ a konstantním rozptylem σ2. Proto se posuzuje normalita časových řad s cílem zjistit, zda je tato tradiční podmínka splněna. K tomu jsou zvoleny dva nástroje: Jarqueův-Berův test (2.86) (dále JB test) a Kolmogorovův-Smirnovův test (2.88) (dále KS test). Pro provedení výpočtů obou testů bylo použito programů EViews 5.0 a Statgraphics Centurion XV. Způsob výpočtu obou

43

testů je uveden v dokumentaci k programům (Quantitative, 2004) a (StatPoint, 2005). Testová statistika Jarqueova-Berova testu je v EViews počítána: JB =

T − k  2 ( K − 3) 2  S + , 6  4 

(2.86)

kde T je počet pozorování v časové řadě, S je charakteristika šikmosti (2.84), K je charakteristika špičatosti (2.85) a k je počet odhadnutých parametrů použitých k vytvoření modelu časové řady. Statistika JB má chi-kvadrát rozdělení se dvěma stupni volnosti. 4. Vedle testování shody nepodmíněného rozdělení časových řad s normálním rozdělením jsou v programu Statgraphics Centurion XV odhadnuty parametry alternativních hypotetických rozdělení. Odhad parametrů je vyhotoven metodou maximalizace věrohodnostní funkce odpovídajícího rozdělení. Jako alternativy jsou zvolena následující rozdělení: tříparametrické logaritmicko-normální (2.2), tříparametrické logaritmicko-logistické (2.3), Laplaceovo (2.7), Exponential Power (2.8), tříparametrické zobecněné logistické (2.5) a Cauchyho rozdělení (2.10). Tímto výběrem jsou zastoupeny všechny jmenované skupiny teoretických rozdělení, které jsou v souvislosti s finančními časovými řadami zmiňovány. Laplaceovo a Exponential Power rozdělení jsou rozdělení vysoce špičatá, Cauchyho rozdělení je zástupcem skupiny špičatých L-stabilních rozdělení. Zobecněné logistické rozdělení je jediným rozdělením, které popisuje jak kladnou, tak i zápornou šikmost. Ve výčtu chybí Studentovo t rozdělení resp. jeho zobecněné formy. Zatímco parametry zešikmeného a zobecněného t rozdělení program neodhaduje, odhadu stupňů volnosti t rozdělení se s pomocí uvedeného software nepodařilo provést. Studentovo t rozdělení však nezůstane opomenuto při další analýze, kdy bude použito při konstrukci modelů volatility. 5. Po vyhotovení odhadů parametrů teoretických rozdělení jsou provedeny testy shody s nepodmíněným rozdělením analyzovaných řad. Byly využity takové testy shody, které nabízí program Statgraphics Centurion XV. Konstrukce testů a tvary testových kritérií jsou podle uživatelské příručky (StatPoint, 2005) následující: a) Chi-kvadrát test dobré shody (Chi-Squared Test) k

χ =∑ 2

j =1

(O

j

− Ej )

2

(2.87)

Ej

Velmi dobře známý test, jehož jednoduchý princip spočívá v tom, že hodnoty neznámého rozdělení jsou rozděleny do k stejně širokých intervalů a pozorované absolutní četnosti těchto intervalů Oj (j je pořadí intervalu j = 1, 2, ..., k) se porovnávají s očekávanými četnostmi Ej, které jsou dány hypotetickým rozdělením.Testové kritérium 44

(2.87) má chi-kvadrát rozdělení s k-p+1 stupni volnosti, kde k je počet intervalů a p je počet parametrů hypotetického rozdělení. b) Kolmogorovův – Smirnovův test (Kolmogorov-Smirnov Test) Jedná se o velice známý a v praxi často používaný test shody. Porovnává kumulativní distribuční funkce empirického a hypotetického rozdělení a měří maximální vzdálenost mezi těmito dvěma funkcemi.  i − 1  i   D = max  D + = max  − z(i )  , D − = max  z(i ) −  i i n   n   

(2.88)

V tomto vzorci je z(i) = F(x(i)) hodnotou hypotetické kumulativní distribuční funkce vypočtenou pro i-tý prvek souboru a n je počet prvků souboru. V této práci je použita pouze modifikovaná forma tohoto testu, ve které je testové kritérium přizpůsobeno hypotetickému rozdělení. c) Kuiperův test (Kuiper Test) V = D+ + D−

(2.89)

Testové kritérium V je odvozeno z Kolmogorova–Smirnova testu (2.88) a využívá obou statistik D+ a D-. d) Cramerův-Von Miesesův test (Cramer-Von Mises Test) Tento test shody má testovou statistiku: 2i − 1  1  W = ∑  z( i ) − ,  + 2n  12n i =1  2

n

2

(2.90)

kde z(i) = F(x(i)) a její význam je stejný jako u (2.88) a n je počet prvků souboru. Testová statistika popisuje plochu mezi empirickou a hypotetickou kumulativní distribuční funkcí. e) Watsonův test (Watson Test) Test je modifikací Cramerovy-Von Miesesovy W2 statistiky (2.90), kde namísto hypotetické kumulativní distribuční funkce figuruje aritmetický průměr z vypočtený z hodnot z(i). Testové kritérium má podle stejného zdroje (StatPoint, 2005) tvar: U 2 = W 2 − n( z − 0, 5)2

(2.91)

f) Andersonův-Darlingův test (Anderson-Darling Test) Testová statistika testu A2 je vážená hodnota z plochy mezi empirickou a hypotetickou kumulativní distribuční funkcí:

∑ ( (2i − 1) ln( z n

A = −n − 2

i =1

(i )

) + (2n + 1 − 2i ) ln(1 − z(i ) ) ) (2.92)

n 45

6. Vhodnost rozdělení pro časovou řadu se posuzuje pomocí Akaikeho informačního kritéria AIC = −2lnL + 2q,

(2.93)

kde L je hodnota logaritmu věrohodnostní funkce odhadnutého hypotetického rozdělení a q je počet parametrů rozdělení. Přičemž platí, že vhodnější je takové rozdělení, jehož hodnota AIC je nižší. Shodu rozdělení lze posuzovat i podle grafů zobrazujících histogramy empirického rozdělení a hustotní funkce vybraných hypotetických rozdělení. 7. Je odhadován vhodný model časové řady. Postupuje se od jednodušších modelů k modelům složitějším, od úrovňových modelů k modelům volatility, od lineárních modelů k nelineárním. a) Začíná se autoregresními modely typu AR. Detailně se těmito modely zabývají např. Arlt a Arltová (2003). Vhodný model je hledán podle tvaru autokorelační funkce ACF a parciální autokorelační funkce PACF. Důraz je v tomto kroku kladen na vlastnosti reziduí. Nástrojem pro zjištění, zda jsou nebo nejsou rezidua vzájemně korelována (autokorelována) je vedle grafu autokorelační (2.94) a parciální autokorelační funkce (2.95) i hodnota Ljungovy-Boxovy Q (2.96) statistiky, které se v programu EViews počítají (Quantitative, 2004) podle:

∑ ((Y − Y )(Y T

τk =

t = k +1

t −k

t

)

− Y ) / (T − K )

∑ (Y − Y ) T

t =1

t

, 2

/T

pro k = 1 τ1  k −1 τ k − ∑ φk −1, jτ k − j pro k >1 , φk =  j =1 k −1   1 − ∑ φk −1, jτ k − j  j =1 k

QLB = T (T + 2)∑ j =1

τ 2j T−j

(2.94)

(2.95)

,

(2.96)

kde T je počet pozorování v časové řadě, k je počet zpoždění a Yt −k = ∑ Yt − k /(T − k ) . Výpočet autokorelační funkce je jiný než uvádí literatura. U základních autoregresních modelů se zjišťuje, zda jsou pro dané řady vhodné nebo zda vykazují tzv. ARCH efekt, neboli zda v časové řadě existuje podmíněná heteroskedasticita. K tomu slouží dva typy testů – ARCH test založený na principu Lagrangeových multiplikátorů (Engle, 1982) pro různá zpoždění (v této práci není použit) a Ljungova-Boxova Q statistika počítaná pro druhé mocniny reziduí odhadnutého úrovňového modelu (Ljung a Box, 1979; Harvey, 1990, 1993). 46

b) Prokáže-li se přítomnost podmíněné heteroskedasticity, odhadují se parametry modelu ARCH (2.30), pomocí metody maximalizace věrohodnostní funkce a to především Marquardtovou metodou nebo v případě, že odhady ani při vysokém počtu iterací (nad 2000) nekonvergují, BHHH metodou (Bernt a kol, 1974). O obou metodách také detailně pojednávají Arlt a Arltová (2003). Opět se zjišťuje, zda se i v tomto modelu vyskytuje podmíněná heteroskedasticita stejnými nástroji jako v bodě 7a. Provede se další diagnostická kontrola – test autokorelace nesystematické složky modelu (Ljungova-Boxova Q statistika) a Jarqueův-Berův test normality standardizovaných reziduí (2.86). c) Prokáže-li se i v tomto modelu přítomnost podmíněné heteroskedasticity, odhadují se parametry složitějšího modelu GARCH (2.34) a provede se diagnostická kontrola modelu prostřednictvím reziduí stejně jako v bodě 7a. d) Odhadují se parametry GARCH modelů vycházejících z předpokladu, že nesystematická složka časové řady má jiné než normální rozdělení. V tomto případě jsou alternativami Studentovo t rozdělení (2.11) a GED rozdělení (2.32). Je provedena jejich diagnostická kontrola. Volba rozdělení je ovlivněna nabídkou programu EViews. Tvary věrohodnostních funkcí pro model GARCH s alternativnímu rozděleními jsou (2.37) resp. (2.38). e) Odhadují se parametry lineárního modelu volatility typu GARCH-M (2.46) jako alternativa k modelu GARCH a je provedena jeho diagnostická kontrola. Není-li statisticky významný parametr λ v úrovňovém modelu v jednom ze tří tvarů (2.47), (2.48) a (2.49), pak tento model není zařazen do dalšího srovnání, protože podmíněný rozptyl nemá podle modelu přímý vliv na podmíněnou střední hodnotu časové řady. f) Pomocí testů asymetrie podmíněné heteroskedasticity SB (Sign Bias Test), NSB (Negative Size Bias Test) a PSB (Positive Size Bias Test) počítaných podle autorů Arlta a Arltové (2003) se zjišťuje, zda časová řada vykazuje asymetrii vlivu kladných a záporných výnosů na podmíněný rozptyl. Důvodem pro použití testů je zjištění, zda má vůbec smysl nelineární modely volatility odhadovat. g) Odhadují se parametry nelineárních modelů volatility typu EGARCH (2.59) a GRJGARCH (2.60) a je provedena jejich diagnostická kontrola. Pomocí odhadu jejich parametrů se usuzuje, zda časová řada vykazuje asymetrii vlivu kladných a záporných výnosů na podmíněný rozptyl. h) U všech modelů volatility se parametry a směrodatné chyby odhadů odhadují vedle metody maximalizace věrohodnostní funkce i quasi metodou maximální věrohodnosti 47

(Bollerslev a Wooldridge, 1992) nebo (Arlt a Arltová, 2003), protože u žádné řady nebyla splněna podmínka normality procesu a právě tato metoda nebere ohled na rozdělení výnosů. Odhad asymptotické kovarianční matice založený na quasi metodě maximální věrohodnosti umožňuje provádět přesnější t-testy odhadnutých parametrů. Závěry t-testů o statistické významnosti parametrů jsou porovnány s cílem zjistit, zda t-testy založené quasi-metodě vedou ke stejným výsledkům jako t-testy založené na maximalizaci věrohodnostní funkce odvozené od jiného než normálního rozdělení. i) Pomocí informačních kritérií AIC (Akaikeho informační kritérium) (2.97) a SBC (Schwartzovo bayesovské kritérium) (2.98) a testů věrohodnostním poměrem (2.99) se srovnávají odhadnuté lineární a nelineární modely volatility s variantami alternativních rozdělení (normální, t a GED). Snahou tohoto srovnání je nalézt nejhodnější model pro popis chování časových řad a pro případnou předpověď. AIC = −2l / T + 2k / T ,

(2.97)

SBC = −2l / T + (k log T ) / T ,

(2.98)

G = 2 [l (1) − l (0)] .

(2.99)

Ve výše uvedených vzorcích informačních kritérií přejatých z (Quantitative, 2004) je T počet pozorování v časové řadě, k počet parametrů modelu a l je hodnota věrohodnostní funkce použité při odhadu parametrů odpovídajícího modelu. Testová statistika testu věrohodnostním poměrem G (2.99) je založena na rozdílu logaritmů věrohodnostní funkce l(1) a l(0) dvou srovnávaných modelů s nestejným počtem parametrů. Statistika má chi-kvadrát rozdělení s p-q stupni volnosti, kde p je počet parametrů rozšířeného modelu (1) a q je počet parametrů základního modelu (0) a platí p > q (Cox, 1972)16. Poslední podmínka naznačuje, že aplikace testu na dva modely se stejným počtem parametrů je nesmyslná, protože testová statistika by měla chikvadrát rozdělení s 0 stupni volnosti. Test je použit ke zjištění, zda přidáním jednoho resp. více parametrů do modelu přinese statisticky významné zlepšení kvality modelu a zda má smysl se složitějším modelem zabývat. Tímto testem jsou srovnávány modely GARCH oproti modelům ARCH - testované hypotézy jsou H0: βp = 0 vs. HA: βp ≠ 0, kde βp je vektor parametrů β1 … βp modelu GARCH(q,p); modely GARCH-M oproti modelům GARCH - H0: λ = 0 vs. HA: λ ≠ 0, kde λ je dodatečný parametr modelu GARCH-M. Dále pak lineární modely GARCH s nelineárními modely GRJ-GARCH - H0: γk = 0 vs. HA: γk ≠ 0, kde γk je vektor parametrů γ1 … γk popisují16

Cox nepoužívá tento test v souvislosti se srovnáním modelů volatility.

48

cích asymetrii volatility časové řady. Informační kritéria AIC a SBC jsou využita pro srovnání modelů, u kterých není možné test věrohodnostním poměrem použít (modely s odlišným rozdělením nesystematické složky, modely se stejným počtem parametrů, modely EGARCH). 8. U standardizovaných reziduí nejvhodnějšího z modelů jsou znovu posuzovány vlastnosti rozdělení. Vedle reziduí vycházející z předpokladu normálního rozdělení nesystematické složky se zkoumají vlastnosti reziduí modelu předpokládajících Studentovo t a GED rozdělení. Jde především o to, zda rezidua mají hypotetické rozdělení s odhadnutými parametry. K tomu je použit Kolmogorovův-Smirnovův test (2.88), Q-Q graf a graf porovnávající histogramy empirického a hypotetického rozdělení. Hodnoty náhodných veličin hypotetických rozdělení s předem danými parametry (v pro t rozdělení resp. r pro GED rozdělení) jsou generovány programem EViews pomocí funkcí qtdist a qged (viz. Quantitative, 2004b). Tento postup byl přejat od autorů programu (Quantitative, 2004). 9. Detailně jsou prozkoumány vlastnosti standardizovaných reziduí tradičního modelu založeného na předpokladu normálního rozdělení. Jsou vypočteny popisné charakteristiky reziduí a odhadnuty parametry různých rozdělení. Pro posouzení špičatosti a případné šikmosti jsou to Laplaceovo, Exponenciální, Studentovo t, zobecněné logistické a tříparametrické log-logistické rozdělení. Pomocí testů shody vyjmenovaných v bodě 5 a informačního kritéria AIC počítaného podle (2.93) se hledá nejvhodnější rozdělení. K posouzení tvaru rozdělení standardizovaných reziduí je vyhotoven i graf zobrazující histogram empirického rozdělení a křivek hustot pravděpodobností vybraných hypotetických rozdělení. Cílem tohoto kroku je detailně prostudovat z jakého důvodu není splněna podmínka normality procesu. Závěry touto cestou získané mohou být využity při volbě vhodného rozdělení nesystematické složky modelů volatility.

49

3 Analýza akciových podílových fondů 3.1 Úvod Tato část textu se věnuje analýze časových řad denních kurzů českých akciových podílových fondů. Pozornost je věnována pěti fondům, které patří mezi nejstarší české fondy na českém trhu (viz tabulka 3.1). Tab. 3.1 Základní informace o analyzovaných fondech Akciové podílové fondy AKRO akciový fond nových ekonomik

Správce 1

AKRO

Založení

Zdroj dat

29.2.1996

-

ING International Český akciový fond

ING

27.10.1997

www.ing.cz

ISČS-SPOROTREND

ISČS

31.3.1998

www.iscs.cz

ČSOB Akciový Mix

ČSOB

1.11.1999

-

ISČS-EUROTREND

ISČS

4.9.2000

www.iscs.cz

ISČS-Globalstocks FF

ISČS

1.9.2000

www.iscs.cz

1

Pioneer - akciový fond Pioneer 20.11.2000 www.pioneer.cz 1 tyto časové řady byly z analýzy vynechány, protože nesplňovaly některou z podmínek na str. 7

Velká většina českých otevřených podílových fondů nesplňovala především čtvrtou podmínku pro zařazení do analýzy. Časové řady byly příliš krátké, protože řada z nich vznikla až po roce 2001. Proto jsou, nejen v případě akciových fondů, analyzovány opravdu fondy, které patří na českém trhu mezi nejstarší. Ze sedmi nejstarších akciových fondů byly vynechány pouze dva. Fond AKRO je jediným fondem z vybraných, který je oceňován pouze týdně (nesplňuje 3. podmínku) a fond ČSOB Akciový Mix, prošel v roce 2003 významnými změnami (stejně jako ostatní fondy skupiny ČSOB), které zcela změnily kurzové hodnoty. Sama společnost ČSOB, která je správcem fondu, nedoporučila společně analyzovat starší a novější hodnoty časové řady. Data byla získána z internetových stránek jednotlivých správců podílových fondů (tab. 3.1). Analyzované časové řady byly transformovány podle tvaru rt = lnPt – lnPt-1, kde Pt je cena podílového listu v čase t a Pt-1 je cena podílového listu v čase t-1. Analyzovány jsou tedy namísto kurzů podílových listů výnosy logaritmů cen podílových listů. Dále v textu je místy ve stejném významu použity pojmy logaritmické výnosy nebo jen výnosy. Grafy v příloze 1 ukazují průběh původních časových řad a transformovaných časových řad. Na všech řadách je patrný podobný vývoj. Pokles nebo stagnace převládající od počátku sledování do druhé poloviny roku 2002 a následný růst hodnoty podílových listů, který přetrvává až do konce roku 2005. Grafy výnosů logaritmů vykazují proměnlivost variability v čase, vyskytují se v nich extrémně nízké a extrémně vysoké hodnoty a shluky. 50

3.2 Popisné charakteristiky Délka časových řad je pět let. Vzhledem k faktu, že otevřené podílové fondy nejsou obchodovány o víkendech ani o státních svátcích, pohybuje se délka řad kolem 1260 hodnot. Některé časové řady jsou kratší, což je dáno tím, že správci neohodnocují podílové fondy ve stejných termínech. Například po novém roce začínají někteří až ve druhém lednovém týdnu. V roce 2002 zveřejnila společnost Pioneer první cenu podílového listu až 9. ledna, zatímco zbylí dva správci (ISČS a ING) již 2. ledna. Obdobným způsobem jsou hodnoty podílových kurzů zveřejňovány i po dalších svátcích. Střední hodnoty – průměr a medián transformovaných řad se blíží nule. Až na fond ISČS Sporotrend, který má hodnotu kladnou, vykazují ostatní časové řady zápornou hodnotu aritmetického průměru. Všechny vypočtené průměry jsou však v absolutní hodnotě velice nízké. Tab. 3.2 Popisné charakteristiky časových řad výnosů logaritmů akciových otevřených podílových fondů Charakteristika

Počet Průměr Medián Maximum Minimum Rozpětí Směrodatná odchylka Šikmost Špičatost Jarqueův-Berův test p-hodnota testu Kolmogorovův-Smirnovův p-hodnota testu

ISČS Sporotrend

1264 0,000556 0,000585 0,044158 -0,047636 0,091794 0,011456 -0,334603 4,573652

ING International Český akciový fond 1260 -0,000909 -0,001375 0,071377 -0,064911 0,136288 0,009742 0,546780 8,077889

154,008700 0,000000 0,050526 0,008870

ISČS Eurotrend

Pioneer – akciový fond

ISČS Globalstocks FF

1243 -0,000387 0,000000 0,061803 -0,062589 0,124392 0,014369 0,023544 5,411417

1226 -0,000122 0,000134 0,046708 -0,061995 0,108703 0,009629 -0,007342 6,602159

1264 -0,000353 0,000000 0,039556 -0,084064 0,123620 0,009929 -0,705609 8,460713

1416,493773 0,000000

301,279900 0,000000

662,845300 0,000000

1675,375000 0,000000

0,054311 0,00118269

0,069009 0,0000144

0,065101 0,000061

0,59919 0,000229

Hodnoty maxima, minima a variačního rozpětí ukazují, že výkyvy výnosů akciových podílových fondů jsou velice podobné. Minima se pohybují od -0,0841 (ISČS Globalstocks FF) do -0,0476 (ISČS SPOROTREND), maxima pak od 0,0396 (ISČS Globalstocks FF) do 0,0714 (ING International Český akciový fond). Rozdíly jsou patrné až na úrovních setin. Nejvyšší variační rozpětí měl ve sledovaném období ING International Český akciový fond (0,1363) a nejmenší ISČS Sporotrend (0,0928). Směrodatná odchylka časových řad se ve všech případech pohybuje v okolí hodnoty 0,01. Pokud by byla použita jako míra rizikovosti investice, tak ze všech skupin fondů je tato hod51

nota nejvyšší (např. otevřené podílové fondy peněžního trhu vykazují tuto hodnotu v rozmezí 0,0002 – 0,0003). U českých akcií15, jejichž rizikovost je v porovnání s fondy vyšší se volatilita pohybuje kolem hodnoty 0,02. Ukazatel zešikmení časových řad nabývá někdy kladné a někdy záporné hodnoty. Všechny hodnoty jsou blízké nule a není tedy zcela jednoznačné, zda jsou časové řady významně zešikmené. Špičatost rozdělení je vyšší než u normálního rozdělení. Nejnižší má ISČS SPOROTREND (4,5736), nejvyšší ISČS Globalstocks FF (8,4607). Také tento ukazatel se mění v porovnání s jinými typy fondů a akciemi. Nejšpičatější jsou fondy peněžního trhu, které dosahují hodnoty charakteristiky špičatosti až 94. České akcie vykazují špičatost od 5 do 13.

3.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů Dva testy (Jarqueův-Berův test a Kolmogorovův-Smirnovův test) prokazují, že ani jedna z analyzovaných časových řad nemá normální rozdělení. Důležitý předpoklad pro tvorbu autoregresních modelů časových řad tedy není splněn ani v jednom případě. Z tabulek 5.1 až 5.5 uvedených v příloze 5 a histogramů rozdělení výnosů s křivkami hustot pravděpodobností vybraných hypotetických rozdělení v příloze 11 je patrné, že právě špičatá rozdělení se nejlépe shodují s nepodmíněným rozdělením časových řad. Nejvíce Laplaceovo a Exponential Power (dále jen EP) rozdělení a také zobecněné logaritmicko-logistické rozdělení (LL3) a tříparametrické logistické rozdělení (GL3). Normální a Cauchyho rozdělení se ukázala být nevhodná stejně jako zešikmené logaritmicko-normální. Hodnoty Akaikeho informačního kritéria (AIC) jsou u těchto rozdělení vysoké a testy neprokazují shodu. Fondy Pioneer a ISČS Eurotrend vykazují velkou podobnost průběhu Laplaceova a EP rozdělení. Parametr EP rozdělení určující špičatost se v obou případech se blíží jedné (viz. tabulka 9.1 v příloze 9). V takovém případě jsou EP a Laplaceovo rozdělení totožná. Zbylé fondy (ING, Sporotrend, Globalstocks) mají sledovaný parametr EP rozdělení nižší než jedna. Hodnota AIC je přitom nižší než u Laplaceova rozdělení. Nepodmíněné rozdělení těchto řad má nižší špičatost než Laplaceovo rozdělení. Průběh zobecněného logistického a tříparametrického logistického rozdělení je u všech fondů velmi podobný. V případě fondu Pioneer se parametr zešikmení zobecněného logistického rozdělení blíží jedné, takže GL3 rozdělení je v tomto případě symetrické. U časových řad společnosti ISČS je hodnota parametru zešikmení GL3 rozdělení menší než jedna, což by mohlo naznačovat záporné zešikmení analyzovaných časových řad. Tomu odpovídá i vypočtená šikmost v tabulce 3.2, která je u fondů Sporotrend a Globalstocks záporná. Naopak fond Eu15

ČEZ, Komerční Banka, Philip Morris, Český Telekom, Unipetrol

52

rotrend má hodnotu šikmosti kladnou, ale blízkou nule a také odhadnutý parametr zešikmení GL3 rozdělení je ze všech tří porovnávaných fondů nejblíže jedné. Vzhledem k tomu, že u žádné doposud jmenované časové řady není podle AIC rozdělení GL3 výrazně lepší než alternativní symetrická rozdělení, lze tvrdit, že zešikmení výnosů žádné ze zmíněných časových řad není významné. Jedinou výjimkou je fond ING. Šikmost tohoto fondu je kladná (0,55) což naznačuje, že ve sledovaném období převládají kladné výnosy nad zápornými. Jde o jediný fond, kde je podle informačního kritéria vhodnější LL3 a GL3 rozdělení s odhadnutým parametrem zešikmení 1,29, před skupinou exponenciálních rozdělení. Z průběhu časové řady přitom není patrné, že by šikmost mohla být způsobena jediným odlehlým pozorováním. Nepodmíněné rozdělení výnosů fondu ING je mírně kladně zešikmené. Zjištění o tvaru rozdělení je důležité pro konstrukci modelů časových řad. Použitý program EViews 5.0 odhady parametrů založené na předpokladu zešikmeného rozdělení nesystematické složky prozatím neumožňuje, jiné programy však ano (např. G@RCH). Závěr je též významný pro testování statistické významnosti odhadnutých parametrů modelů a konstrukci intervalů předpovědí. Potvrdilo se, že žádná z řad nemá normální rozdělení. Ve všech případech je špičatost vyšší než u normálního rozdělení, což nejlépe postihuje právě Laplaceovo a EP rozdělení. Pro konstrukci modelů podmíněné volatility tak bude vhodnější používat špičatá rozdělení jako je Studentovo t rozdělení nebo GED rozdělení.

53

3.4 Modely akciových otevřených podílových fondů V této kapitole jsou prezentovány postupy modelování výnosů rt akciových podílových fondů a závěry z odhadnutých modelů plynoucí. Postupy jsou v souladu s kapitolou 2.4. Detailně je postup modelování zpracován na příkladu fondu ISČS Sporotrend. U všech ostatních fondů je míra detailnosti nižší, především co do rozsahu prezentovaných výstupů. Důležité grafy a tabulky jsou uvedeny v odpovídajících přílohách.

3.4.1 ISČS Sporotrend V prvním kroku modelování je odhadnut jednoduchý autoregresní model časové řady (typu AR(p)). Jeho stupeň p je vybrán na základě tvaru autokorelační (ACF) a parciální autokorelační funkce (PACF) časové řady výnosů logaritmů cen (příloha 14). Vzhledem k tomu, že statisticky významné hodnoty má ACF podle Ljungovy-Boxovy Q statistiky až od 4. zpoždění, byl navržen autoregresní model ve tvaru AR(4). Konstanta modelu nebyla narozdíl od autoregresního parametru φ4 statisticky významná, a proto nebyla do modelu zahrnuta. Podle grafu ACF a PACF reziduí modelu AR(4) (obr. 3.1) i podle hodnot Ljungovy-Boxovy Q statistiky nevykazuje náhodná složka modelu autokorelaci a zvolený model podmíněné střední hodnoty by tedy mohl být pro sledovanou řadu vhodný. Dále se však ukazuje, že model obsahuje významnou podmíněnou heteroskedasticitu v prvním i ve vyšších zpožděních. K tomuto závěru vede graf ACF a PACF druhých mocnin reziduí (obr. 3.2). S ohledem na existenci podmíněné heteroskedasticity v autoregresním modelu, bude k popisu vlastností časové řady výnosů vhodnější použít model volatility typu ARCH nebo GARCH. Z kategorie ARCH modelů se jako nejvhodnější ukázal být model typu AR(4)-ARCH(1,1). Další v úvahu připadající modely neměly statisticky významné parametry. I tento model vykazoval významnou podmíněnou heteroskedasticitu (obr. 3.3), a proto byly odhadnuty parametry modelu GARCH. S ohledem na statistickou významnost parametrů je vhodný model GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu. Parametry úrovňového modelu pro první nebo čtvrté zpoždění φ1 a φ4 nebyly statisticky významné. Vhodnější jsou modely GARCH s GED a Studentovým t rozdělením nesystematické složky. Toto bylo zjištěno z hodnot informačních kritérií AIC a SBC a z testu věrohodnostním poměrem (tabulky 3.3 a 3.4). Model s GED rozdělením nevykazuje přítomnost autokorelace ani podmíněné heteroskedasticity. Parametr r rozdělení GED má hodnotu 1,5, což je menší než 2 a naznačuje špičatější rozdělení s tlustšími konci než má rozdělení normální. Ve všech třech alternativních tvarech (viz. kapitola 2.3) lineárního modelu GARCH-M(1,1) je hodnota parametru λ statisticky významná. Porovnáním tří alternativních modelů bylo zjiště54

no, že nejvhodnějším je model s logaritmem podmíněného rozptylu v úrovňovém modelu, hodnoty AIC a SBC kritérií jsou u tohoto modelu nejnižší (tabulka 3.6). Hodnota odhadnutého parametru λ modelu s GED16 rozdělením (tabulka 3.7) je sice nízká (-0,014), ale přesto statisticky

významná.

Také ostatní parametry jsou

statisticky

významné.

Model

GARCH-M(1,1) nevykazuje autokorelaci nesystematické složky ani heteroskedasticitu (obr 3.4 a 3.5). Odhadu parametrů nelineárních modelů volatility předcházejí jednoduché testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu - SB test, NSB test, PSB test a obecný test sdružující předchozí testy do jednoho. V tabulce 3.8 jsou uvedeny výsledky testů vycházejících z reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky. Testy dokazují významný vliv záporných výnosů na podmíněnou heteroskedasticitu (NSB test). Spolu s obecným testem toto zjištění vede k závěru, že se podmíněná heteroskedasticita nelineárního typu v časové řadě vyskytuje a že vliv šoků na podmíněný rozptyl časové řady není symetrický. Všechny parametry nelineárního modelu volatility EGARCH s GED rozdělením nesystematické složky (tabulka 3.9) jsou statisticky významné. Hodnota parametru γ1 je -0,053, tedy poměrně nízká. Tento model přináší důkaz, že časová řada vykazuje asymetrii podmíněného rozptylu (tzv. pákový efekt), ne však příliš významnou. Na hladině významnosti 0,01 vykazuje model autokorelaci nesystematické složky ve vyšších zpožděních a nevykazuje heteroskedasticitu. Parametry modelu GRJ-GARCH s GED rozdělením nesystematické složky (tabulka 3.10) jsou statisticky významné a blízké hodnotám ostatních modelů s alternativním rozdělením. Hodnoty parametrů α1 (0,057) a γ1 (0,067) potvrzují přítomnost pákového efektu, takže je opět potvrzena podmíněná heteroskedasticita nelineárního typu. Parametr γ1 je stejně jako u modelu EGARCH(1,1) nízký. Asymetrii vlivu šoků znázorňuje graf funkce NIC (obr. 3.6). I z grafu je patrné, že popsaná asymetrie není příliš výrazná. Diagnostická kontrola modelu došla k následujícím závěrům: i tento modelu vykazuje na hladině významnosti 0,01 autokorelaci a rezidua jsou homoskedastická. Parametry modelu s t rozdělením nesystematické složky se nepodařilo odhadnout ani jedním z iteračních algoritmů. Z porovnání informačních kritérií i z testů věrohodnostním poměrem (tabulky 3.3 a 3.4) jednak vyplynulo, že model GARCH-M(1,1) je pro řadu výnosů logaritmů fondu ISČS Sporotrend vhodnější než GARCH(1,1) a že modely s GED rozdělením jsou vhodnější než modely s normálním rozdělením nesystematické složky. Stejný závěr o rozdělení nesystematické

16

Stejně jako u modelu GARCH(1,1) je model s GED rozdělením nejvhodnější ze tří alternativ rozdělení nesystematické složky.

55

složky je platný i pro nelineární modely volatility. Informační kritéria modelů s GED rozdělením jsou vyšší oproti modelům s rozdělením normálním i Studentovým t rozdělením. Nelineární model GRJ-GARCH však nepřináší v porovnání s lineárními modely výraznější zlepšení (viz. výsledky testu věrohodnostním poměrem). Proto lze závěrem konstatovat, že časová řada sice vykazuje asymetrii vlivu kladného a záporného výnosu na budoucí podmíněný rozptyl, ale tento vliv není příliš velký. Navíc nelineární modely nesplnily podmínku neautkorelovanosti nesystematické složky modelu. Nejvhodnějším modelem časové řady je model GARCH-M(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky. Detailní pohled je věnován reziduím vybraného modelu. Z každého ze tří alternativních modelů byla vypočtena standardizovaná rezidua a Kolmogorovy-Smirnovy testy (dále KS test) (tabulka 3.11) a grafy (obr. 3.7, 3.8 a 3.9) ukazují, že jejich rozdělení je shodné s rozdělením teoretickým. Výsledek KS testu u reziduí modelu s normálním rozdělením však není v souladu s Jarqueovým-Berovým testem (dále JB test), jehož p-hodnota je 0,000 (obr. 3.10). Rezidua tohoto modelu mají vyšší než normální špičatost (3,68) a podle testů shody se nejlépe shodují s Exponential Power (odhadnutý parametr špičatosti je 0,33) a zobecněným logistickým rozdělením (parametr zešikmení je 0,93). Výsledky testů shody jsou v tabulce 3.12 a v histogramu 3.11. Rozdělení standardizovaných reziduí je špičatější než normální a je symetrické. Model GARCH-M(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky splňuje veškeré podmínky diagnostické kontroly a lze jej doporučit pro ekonomické aplikace jako je např. analýza VaR nebo pro konstrukci předpovědních intervalů za účelem zobrazení vývoje rizika v historii časové řady. Model vyjadřuje důležitou vlastnost chování výnosů fondu ISČS Sporotrend – s rostoucí podmíněnou variabilitou klesá podmíněná střední hodnota, takže po významných výkyvech cen oběma směry lze očekávat následný pokles průměrné ceny podílového listu.

56

Tab. 3.3 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

model

GARCH(1,1) s normálním rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením GARCH-M(1,1) s normálním rozdělením GARCH-M(1,1) s t rozdělením GARCH-M(1,1) s GED rozdělením EGARCH(1,1) s normálním rozdělením EGARCH(1,1) s t rozdělením EGARCH(1,1) s GED rozdělením GRJ-GARCH s normálním rozdělením GRJ-GARCH s GED rozdělením

AIC

SBC

4

3945,645

-6,236780

-6,220507

5

3955,517

-6,254083

-6,230477

5

3957,581

-6,233743

-6,233743

5

3949,255

-6,240911

-6,220570

6

3959,225

-6,255103

-6,230695

6

3961,314

-6,258408

-6,233999

5

3946,786

-6,237004

-6,216663

6

3956,612

-6,250969

-6,226560

6

3958,642

-6,254180

-6,229771

5

3949,686

-6,241591

-6,221251

6

3960,759

-6,257530

-6,233122

Tab. 3.4 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. GARCH-M(1,1) s GED rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

test věr. poměrem

df.

p-hodnota

7,466

1

0,0063

6,356

1

0,0417

Tab. 3.5 Parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 0,001172 0,000273 ω 3,09E-06 1,29E-06 α1 0,092496 0,018509 β1 0,884712 0,022816 v1 1,501441 0,091718 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

4,292537 2,387336 4,997408 38,77538 16,37023

0,0000 0,0170 0,0000 0,0000 0,0000

57

Obr. 3.1 ACF a PACF modelu AR(4), hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 3.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu AR(4), hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 3.3 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu AR(4)-ARCH(1), hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 3.4 ACF a PACF modelu GARCHM(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 3.5 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu GARCH-M(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

58

Tab. 3.6 Porovnání alternativních modelů GARCH-M(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky lišících se členem charakterizujícím podmíněný rozptyl v úrovňovém modelu GARCH-M(1,1) st.deviation var log(var)

log-věrohodnostní funkce 3948,684 3947,921 3949,255

AIC

SBC

-6,240006 -6,238799 -6,240911

-6,219666 -6,218459 -6,220570

Tab. 3.7 Odhadnuté parametry modelu GARCH-M(1,1) s konstantou a logaritmem podmíněného rozptylu v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 -0,012221 0,005598 λ -0,001438 0,000598 ω 2,90E-06 1,21E-06 α1 0,090639 0,018297 β1 0,887935 0,022141 v1 1,496130 0,091282 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

-2,182878 -2,403470 2,390080 4,953647 40,10358 16,39027

0,0290 0,0162 0,0168 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 3.8 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 2,3994 0,0164 -4,9745 0,0000 -0,1919 0,8478 24,8772 0,0000

Tab. 3.9 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělení Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 0,001077 0,000276 ω -0,511338 0,122642 α1 0,175695 0,032577 γ1 -0,053092 0,018494 β1 0,958746 0,012616 v1 1,502159 0,091391 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

3,899296 -4,169372 5,393176 -2,870787 75,99401 16,43655

0,0001 0,0000 0,0000 0,0041 0,0000 0,0000

Tab. 3.10 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 0,001048 0,000277 ω 4,42E-06 1,44E-06 α1 0,056588 0,021961 γ1 0,066727 0,026781 β1 0,873389 0,023753 v1 1,514538 0,092709 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

3,788297 3,073018 2,576822 2,491603 36,76913 16,33651

0,0002 0,0021 0,0100 0,0127 0,0000 0,0000

59

Obr. 3.6 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002

NIC GARCH 0,0001

NIC GRJ

0 -0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

εt

Tab. 3.11 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu GARCH-M(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (9,23) GED (1,49)

Normální Studentovo t GED

KolmogorovůvSmirnovův test

p-hodnota tesu

0,0365 0,0559 0,0311

0,0690 0,0353 0,5510

Obr. 3.7 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCHM(1,1) se Studentovým t rozdělením a Studentova t rozdělení s 9,225017 stupni volnosti. Theoretical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile 4

3

3 SPOROTREND_TDIST

4

Normal Quantile

2 1 0 -1 -2 -3

2 1 0 -1 -2 -3 -4

-4

-5 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4

SPOROTREND_RESID

-3

-2

-1

0

1

2

SPOROTREND_RESID_T

60

3

4

Obr. 3.8 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,496130 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile 4 3 SPOROTREND_GED

2 1 0 -1 -2 -3 -4 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

SPOROTREND_RESID_GED

Obr. 3.9 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,496130 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 9,225017 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

Histogram for standardized residuals 440

320 220 frequency

frequency

240 120 20 80

40

160 180 360

280 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

-11

8

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Obr. 3.10 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu GARCH-M(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky 160 Series: Standardized Residuals Sample 1/03/2001 12/30/2005 Observations 1264

140 120 100 80 60 40 20 0 -2.50

-1.25

0.00

1.25

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.023101 -0.011384 3.356603 -3.426306 0.997545 -0.130351 3.675866

Jarque-Bera Probability

27.63739 0.000001

2.50

61

Tab. 3.12 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu GARCH-M(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky CramerChi-squared Modified Kuiper Watson AndersonKolmogo- V Von Mises U^2 Darling rovW^2 A^2 Smirnov D Exponential Power 3 3563,06 6,9070*** 0,0167*** 0,0329*** 0,0518*** 0,0505*** 0,3498*** Generalized Logistic 3 3565,50 5,4079*** 0,0216*** 0,0358*** 0,0597*** 0,0597*** 0,3483*** Loglogistic (3-Par.) 3 3566,38 8,6128*** 0,0192*** 0,0317*** 0,0505*** 0,0505*** 0,3478*** Student's t 1 3576,84 24,1558 0,0372** 0,0650 0,4819* 0,4156 2,8642* Laplace 2 3607,66 42,9338 0,0428* 0,0819 0,5125* 0,5022 3,0429* Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01) Par. AIC

Distribution

Obr. 3.11 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení Histogram for standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter)

600

frequency

500 400 300 200 100 0 -3,8

-1,8

0,2

2,2

Standardized residuals

62

4,2

3.4.2 Fond Pioneer Akciový Jako nejvhodnější úrovňový model se ukázal být autoregresní model AR(1) se statisticky nevýznamnou konstantou φ0 a autoregresním parametrem φ1 = 0,065 (p-hodnota = 0,0206). Nevykazuje sice autokorelaci nesystematické složky, ovšem vyskytla se v něm heteroskedasticita. Náhodná složka modelu navíc nemá normální rozdělení. Stejné závěry diagnostické kontroly vykazuje i model volatility AR(1)-ARCH(1), kde se heteroskedasticita nesystematické složky vyskytuje již od druhého zpoždění. Až model GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu (autoregresní parametry φi nejsou statisticky významné) žádnou heteroskedasticitu nevykazuje a není v něm významná autokorelace nesystematické složky. Předpoklad o normalitě náhodné složky však podle JarqueovaBerova testu (p-hodnota = 0,0000) splněn není. Odhady parametrů modelu jsou v příloze 18. Modely GARCH s alternativním rozdělením náhodné složky mají stejně jako model s normálním rozdělením nevýznamné konstanty jak v modelu podmíněné střední hodnoty, tak i v modelu podmíněné volatility. Oba modely nevykazují autokorelaci ani heteroskedasticitu a podle informačních kritérií jsou vhodnější než model s normálním rozdělením nesystematické složky. Modely s t rozdělením(AIC = -6,787940, SBC = -6,767093) a GED rozdělením (AIC = -6,785544, SBC = -6,764697) jsou přibližně stejné, model se Studentovým t rozdělením je jen o málo vhodnější. V případě GARCH-M modelu neměl ani jeden z alternativních modelů statisticky významný parametr λ v úrovňovém modelu (parametr charakterizující vliv podmíněného rozptylu). Tento model se pro analyzovanou řadu ukázal být nevhodný. Při testování podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu pomocí SB, PSB, NSB a obecného testu se prokázal významný vliv záporných výnosů a jejich velikosti na podmíněnou volatilitu (statisticky významný NSB test). Také SB test a obecný test vedou k závěru, že se podmíněná heteroskedasticita nelineárního typu v modelu vyskytuje (viz. tabulka 18.1 přílohy 18). Modely EGARCH vykazovaly při diagnostické kontrole podmíněnou heteroskedasticitu nesystematické složky již od prvního zpoždění, a proto byly z další analýzy vynechány. Modely typu GRJ-GARCH s alternativním rozdělením nesystematické složky jsou dle informačních kritérií vhodnější než model s normálním rozdělením, vzájemně si jsou téměř rovnocenné. Model vycházející z předpokladu, že náhodná složka má Studentovo t-rozdělení je trochu lepší, ovšem i tento model vykazuje přítomnost heteroskedasticity náhodné složky. Z tohoto důvodu bude do srovnání zahrnut pouze model s GED rozdělením, ve kterém se nevyskytuje autokorelace ani podmíněná heteroskedasticita. 63

Z tabulek 3.13 a 3.14 plyne, že nejvhodnějším modelem pro řadu výnosů logaritmů fondu Pioneer Akciový je GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky. Standardně byla pro podporu tohoto tvrzení použita informační kritéria a test věrohodnostním poměrem. Parametr φ0 úrovňového modelu GRJ-GARCH(1,1) (tabulka 3.15) je stejně jako v případě GARCH modelu statisticky nevýznamný. Parametr α1 vyjadřující vliv kladných šoků statisticky významný není (p-hodnota = 0,58). Hodnota parametru γ1 (0,117) je významně odlišná od nuly a kladná. To znamená, že v časové řadě je významný vliv záporných šoků na podmíněný rozptyl, zatímco vliv kladných je statisticky nevýznamný. Významný pokles hodnoty podílového listu, vyvolává následné zvýšení volatility. Závěr je v souladu s testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu. Parametr r GED rozdělení má hodnotu 1,54. Potvrzuje tak předpoklad, že rozdělení výnosů logaritmů má tlustší konce a je špičatější než rozdělení normální. Kolmogorovův-Smirnovův test, Q-Q graf i histogramy potvrzují (tab. 18.4 a obr. 18.3 až 18.5 přílohy 18), že standardizovaná rezidua modelu mají skutečně předpokládané GED rozdělení. Testové kritérium KS testu je 0,04 a p-hodnota = 0,2659. Rezidua modelu s t rozdělením mají podle stejného testu i grafů skutečně t rozdělení (p-hodnota = 0,2024). Rezidua modelu založeného na normálním rozdělení jsou špičatá (špičatost je 4,12), ne však tolik jako Laplaceovo rozdělení ovšem více než normální rozdělení. Testy shody označují významnou shodu s GL3 a LL3 rozděleními. Nejvhodnější je rozdělení GL3. Neznamená to však, že by šlo o zešikmená rezidua, protože odhad parametru zešikmení je 1,01 (viz. tab. 18.5 a obr. 18.7). Tab. 3.13 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií Model

GARCH(1,1) s normálním rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

AIC

SBC

4

4148,905

-6,761673

-6,744996

5

4166,007

-6,787940

-6,767093

5

4164,538

-6,785544

-6,764697

5

4172,427

-6,798413

-6,777566

6

4185,202

-6,817622

-6,792606

6

4183,210

-6,814372

-6,789357

64

Tab. 3.14 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

test věr. poměrem

df.

p-hodnota

37,344

1

0,0000

Tab. 3.15 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 7,71E-05 0,000189 ω 4,53E-07 2,07E-07 α1 -0,003772 0,006826 γ1 0,116701 0,020547 β1 0,940341 0,010887 v1 1,534949 0,075048 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

0,408786 2,187409 -0,552546 5,679679 86,37116 20,45291

0,6827 0,0287 0,5806 0,0000 0,0000 0,0000

65

3.4.3 ING International Český akciový fond Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce (příloha 14) nevykazují statisticky významné hodnoty. Jednoduchý model AR(1) s konstantou má autoregresní parametr φ1 statisticky nevýznamný a konstantu φ0 blízkou nule, přesto však statisticky významnou. Model, stejně jako model volatility ARCH(1), vykazuje přítomnost podmíněné heteroskedasticity v nesystematické složce. Model GARCH(1,1) neobsahuje autokorelaci ani podmíněnou heteroskedasticitu nesystematické složky. Všechny parametry modelu jsou statisticky významné. Konstanta ω v modelu volatility je však blízká nule. Model předpokládající normalitu náhodné složky však tento předpoklad podle JB testu nesplňuje (p-hodnota testu je 0,0000). Na vině je špičatost rozdělení standardizovaných reziduí, která je vyšší než u normálního rozdělení (5,95) a kladná šikmost (0,57). Hodnota charakteristiky šikmosti může být ovlivněna vysokou hodnotou rezidua z 26. ledna 2001, která nabývá hodnoty 7,3. V tento den totiž došlo k razantnímu poklesu ceny podílových listů o 72 Kč z 1 045 Kč na 973 Kč a v zápětí se 29. ledna 2001 cena vrátila zpět na 1 039 Kč. V průběhu sledovaného období již podobně významná změna nikdy nenastala. Po provedení pokusu, který spočíval v odstranění tohoto rezidua, klesla hodnota šikmosti na 0,3. Ani tehdy však JB test normalitu reziduí nepotvrdil, pro přetrvávající vysokou špičatost. Modely GARCH založené na jiném než normálním rozdělní se podle informačních kritérií jeví jako vhodnější než model s normálním rozdělením náhodné složky. Oba alternativní modely splňují podmínky neautokorelovanosti a homoskedasticity náhodné složky a jsou si téměř rovnocenné. Model s t rozdělením má AIC i SBC jen nepatrně nižší (tabulka 3.16). Nejvhodnějším tvarem symetrického modelu volatility GARCH-M je podle AIC a SBC model s logaritmem podmíněného rozptylu v úrovňovém modelu (tab. 19.2 přílohy 19). Hodnota parametru λ je hodně nízká (0,0017), přesto však statisticky významná. Jako v předchozích srovnáních i zde vyhovují modely se Studentovým t rozdělením a GED rozdělením lépe než základní model s rozdělením normálním. Srovnání je zobrazeno v tabulce 3.16. Ani jeden z modelů GARCH-M(1,1) nevykazuje autokorelaci nebo heteroskedasticitu reziduí. Testy potvrzují přítomnost podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu a také to, že podmíněný rozptyl závisí na výši kladných výnosů (p-hodnota PSB test je 0,0000) a ne záporných, jak tomu bylo u předchozích dvou fondů (p-hodnota NSB testu je 0,1050). Výsledky testů jsou v příloze 19 (tab.19.5).

66

Diagnostická kontrola nelineárních modelů volatility typu GRJ-GARCH a EGARCH neprokázala autokorelovanost ani heteroskedasticitu v nesystematické složce. Nejvhodnější se opět ukázaly být modely založené na předpokladu Studentova t rozdělení a GED rozdělení nesystematické složky. Ze srovnání výše uvedených modelů vyplývá (tabulky 3.16 a 3.17), že lineární model volatility GARCH-M je vhodnější než model GARCH a dále pak, že nelineární modely volatility jsou ekvivalentní tomuto modelu. Při detailním pohledu na hodnoty AIC a SBC modelů GARCH-M, GRJ-GARCH a EGARCH je patrné, že rozdíly jsou až na místech setin. Nejvhodnějším modelem pro časovou řadu výnosů logaritmů fondu ING akciový je v konečném důsledku model EGARCH se Studentovým t rozdělením (hodnota informačních kritérií je absolutně nejnižší). Rezidua modelu však podle KS testu takové rozdělení na hladině významnosti 0,1 nemají (tab. 19.6 přílohy). Důvodem je jejich vyšší špičatost (obr. 19.3 přílohy). Naproti rezidua modelu s GED rozdělením jsou s tímto shodná (p-hodnota KS testu je 0,7896). Z tohoto pohledu se jako vhodnější jeví modely založené na GED rozdělení. Odhadnuté parametry nelineárních modelů volatility odpovídají na otázku, zda časová řada skutečně obsahuje asymetrii v působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl. Parametry α1 a γ1 GRJ-GARCH modelu jsou statisticky významné a mají opačná znaménka. Jejich hodnoty jsou α1 = 0,13 a γ1 = -0,1. Vliv kladných šoků (vyjádřený parametrem α1) je tedy podle modelu vyšší než vliv šoků záporných, který je dán součtem obou parametrů. Graf NIC funkce modelu byl vypracován pro znázornění popisované asymetrie (obr. 3.12). V modelu EGARCH(1,1) nabývá parametr α1 hodnoty 0,18 a γ1 hodnotu -0,07 (tabulka 3.18). Kladná hodnota druhého parametru potvrzuje, že vliv kladných šoků je v této časové řadě větší než vliv šoků záporných. Oba modely tedy potvrzují závěry plynoucí z výsledků NSB a PSB testů. Významný nárůst ceny podílového listu vyvolává zvýšení volatility, tedy rizikovosti investice a v konečném důsledku i možnost velikého propadu nebo i nárůstu ceny. Odhadnutý parametr r GED rozdělení má v modelu EGARCH hodnotu 1,4 a v ostatních modelech časové řady se této hodnotě přibližuje. Rozdělení je špičatější a má tlustší konce než rozdělení normální. Tento závěr je shodný se závěry předchozích modelů. Parametr je však v porovnání s předchozími dvěma fondy nižší a také špičatost výnosů logaritmů časové řady ING akciový je ze všech fondů druhá nejvyšší, jak bylo zmíněno v úvodní analýze tvaru rozdělení akciových podílových fondů. Tuto špičatost však model dokázal zachytit. Detailnější pohled je věnován standardizovaným reziduím modelu EGARCH založeného na předpokladu normálního rozdělení nesystematické složky (příloha 19). Normalitu reziduí vyvrátily hned dva testy (JB test a KS test). Srovnání s dalšími rozděleními ukazuje, že špičatá 67

rozdělení jako je Laplaceovo a EP nejsou v tomto případě příliš vhodná. Podle informačního kritéria je nejvhodnější asymetrické LL3 rozdělení. Parametr zešikmení GL3 rozdělení je kladný s hodnotou 1,24. Kladné zešikmení je dáno vlivem odlehlé kladné hodnoty, která již byla komentována v souvislosti s rezidui modelu GARCH. Více informací o shodě s teoretickými rozděleními je v tabulce 19.8 a grafu 19.5 v příloze 19. Tato zjištění lze použít ke konstrukci vhodnějšího modelu časové řady založeného na asymetrickém rozdělení nesystematické složky. Tab. 3.16 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií Model

počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

GARCH(1,1) s normálním rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením GARCH-M(1,1) s normálním rozdělením GARCH-M(1,1) s t rozdělením GARCH-M(1,1) s GED rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením EGARCH(1,1) s normálním rozdělením EGARCH(1,1) s t rozdělením EGARCH(1,1) s GED rozdělením

AIC

SBC

4

4114,302

-6,524289

-6,507975

5

4148,008

-6,576204

-6,555812

5

4142,714

-6,567800

-6,547408

5

4118,863

-6,529941

-6,509549

6

4151,152

-6,579606

-6,555135

6

4147,146

-6,573248

-6,548777

5

4118,316

-6,529072

-6,508680

6

4152,854

-6,582308

-6,557837

6

4146,598

-6,572378

-6,547907

5

4124,263

-6,538513

-6,518120

6

4154,981

-6,585684

-6,561213

6

4149,690

-6,577286

-6,552815

Tabulka 3.17 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely GARCH(1,1) s t rozdělení vs. GARCH-M(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením

test věr. poměrem

df

p-hodnota

6,288

1

0,0122

9,692

1

0,0019

68

Obr. 3.12 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002

NIC GARCH 0,0001

NIC GRJ

0 -0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

εt

Tab. 3.18 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 -0,001453 0,000230 ω -0,851156 0,214017 α1 0,183478 0,040738 γ1 0,072561 0,023689 β1 0,924697 0,022133 v1 1,406596 0,051734 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

-6,328604 -3,977048 4,503812 3,063067 41,78003 27,18895

0,0000 0,0001 0,0000 0,0022 0,0000 0,0000

69

3.4.4 ISČS Eurotrend Analýzou autokorelační a parciální autokorelační funkce časové řady výnosů logaritmů fondu ISČS Eurotrend byla zjištěna významná autokorelace až od pátého zpoždění (příloha 14). Nalezení jednoduchého úrovňového modelu tedy nebylo snadné. Statisticky významné autoregresní parametry mají například modely AR(5) nebo AR(3,5), ovšem ani jeden z nich nesplňuje podmínku neautokorelované nesystematické složky. Tuto podmínku splňuje až model AR(5,10). Každopádně všechny navržené modely vykazují přítomnost podmíněné heteroskedasticity. Neautokorelovanou nesystematickou složku vykazuje model volatility ARCH(1), ve kterém je konstanta úrovňového modelu nulová. Tento model však také obsahuje heteroskedasticitu. Rezidua modelů typu GARCH(1,1) jsou neautokorelovaná a homoskedastická. U příslušného modelu však nemají normální rozdělení (p-hodnota JB testu je 0,0003). Rozdělení reziduí není zešikmené (-0,18) a jen mírně špičatější než normální rozdělení (3,42). Podle srovnání jsou modely s t rozdělením a GED rozdělením vhodnější, ale rozdíly hodnot informačních kritérií jsou menší než tomu bylo u předchozích fondů (tab. 3.19). Model GARCH-M není pro tuto časovou řadu vhodný v žádné ze svých forem. Podmíněná střední hodnota časové řady fondu ISČS Eurotrend tedy není přímo ovlivněna variabilitou výnosů. Podle testů vykazuje časová řada heteroskedasticitu nelineárního typu (tab. 20.4 přílohy 20). Statisticky významný NSB test naznačuje významné působení záporných reziduí a jejich výše. Vliv kladných reziduí na podmíněný rozptyl nebyl na hladině významnosti 0,01 podle PSB testu významný. Až na úrovňovou konstantu jsou všechny parametry modelu EGARCH(1,1) významné. Rezidua všech tří modelů lišících se rozdělením náhodné složky jsou neautokorelovaná a homoskedastická. Rezidua modelu s normálním rozdělením vykazují podle JB testu toto rozdělení na

hladině

významnosti

0,01

(p-hodnota

=

0,0188)

a

podle

KS

testu

také

(p-hodnota = 0,6708). Špičatost rozdělení reziduí je 3,28 a šikmost -0,14. Stupně volnosti t rozdělení byly odhadnuty nebývale vysoké (16,54) a jsou statisticky nevýznamné (p-hodnota = 0,0150). Parametr GED rozdělení r se blíží hodnotě 2, při které je rozdělení totožné s rozdělením normálním. Jeho hodnota 1,88. Rozdíly mezi informačními kritérii jsou velice nízké. Všechny tři modely typu EGARCH jsou si tedy rovnocenné. Takováto shoda se u předchozích časových řad neobjevila ani u lineárních ani nelineárních modelů volatility. Stejné závěry jako u EGARCH modelů platí i pro modely typu GRJ-GARCH. Rozdělení reziduí je dle JB testu normální (p-hodnota = 0,0103). Stupeň volnosti t rozdělení byl odhadnuty 70

ve výši 374,7035, ale tento parametr modelu je statisticky nevýznamný. Parametr GED rozdělení je statisticky významný a nabývá hodnoty 1,81, opět hodně blízké hodnotě 2. Protože lineární model GARCH je v porovnání s nelineárními modely volatility EGARCH a GRJ-GARCH méně vhodný, je to signál přítomnosti asymetrie volatility. Ke jejímu popisu bude použito nelineárních modelů vycházejících z normality náhodné složky. Parametr γ1 modelu EGARCH(1,1) v tabulce odhadů 3.21 je statisticky významný a má zápornou hodnotu -0,1. Parametr α1 byl odhadnut na 0,08. Podle tohoto modelu je v časové řadě přítomen pákový efekt a záporná rezidua mají větší vliv na volatilitu časové řady než rezidua kladná. Toto tvrzení podporují i parametry modelu GRJ-GARCH(1,1). Parametr α1 není statisticky významný a parametr γ1 je kladný s hodnotou 0,14 (tab. 20.2 přílohy 20). Závěry jsou v souladu s výsledky PSB a NSB testů. Vzhledem k potvrzené normalitě reziduí modelu EGARCH (obr. 3.13) nebude dále detailněji zkoumána shoda s jinými rozděleními, jako tomu bylo u předchozích časových řad. Tab. 3.19 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií Model

GARCH(1,1) s normálním rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením EGARCH(1,1) s normálním rozdělením EGARCH(1,1) s t rozdělením EGARCH(1,1) s GED rozdělením

počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

AIC

SBC

4

3765,151

-6,051731

-6,035238

5

3768,866

-6,056100

-6,035483

5

3769,237

-6,056696

-6,036079

5

3786,152

-6,083913

-6,063297

6

3786,373

-6,082659

-6,057919

6

3787,434

-6,084367

-6,059627

5

3789,519

-6,089331

-6,068715

6

3790,764

-6,089725

-6,064985

6

3790,514

-6,089322

-6,064582

Tab. 3.20 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely GARCH(1,1) s normálním rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením

test věr. poměrem

df.

p-hodnota

42,002

1

0,0000

71

Tab. 3.21 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s normálním rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,0002661 φ0 -0,000161 0,0002612 0,0293891 ω -0,171158 0,0406512 0,0163971 α1 0,079460 0,0230292 0,0146311 γ1 -0,101351 0,0143222 0,0027811 β1 0,988074 0,0031672 1) odhady metodou maximální věrohodnosti 2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti

t-test

p-hodnota

-0,606073 -0,616590 -5,823862 -4,210400 4,845991 3,450486 -6,927107 -7,076710 355,2851 312,0259

0,5445 0,5375 0,0000 0,0000 0,0000 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Obr. 3.13 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky 160 Series: Standardized Residuals Sample 1/03/2001 11/30/2005 Observations 1243

140 120 100 80 60 40 20 0 -5.00

-3.75

-2.50

-1.25

0.00

1.25

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.015979 0.013434 3.188597 -4.845082 1.001778 -0.135659 3.282473

Jarque-Bera Probability

7.945076 0.018826

2.50

72

3.4.5 ISČS Globalstocks Jednoduchý model podmíněné střední hodnoty časové řady se nalézt nepodařilo. Model AR(1) má statisticky nevýznamnou konstantu a funkce ACF a PACF reziduí vykazují autokorelaci náhodné složky ve vyšších zpožděních a navíc i heteroskedasticitu. Lineární model volatility AR(1)-ARCH(1) také vykazuje autokorelaci reziduí a jejich heteroskedasticitu. Až model AR(1)-GARCH(1,1) vykazuje neautokorelovanou a homoskedastickou nesystematickou složku, která však není normálně rozdělena. P-hodnota JB testu je 0,000. Rozdělení reziduí modelu je záporně zešikmené (parametr šikmosti -0,92) a špičaté 9,58. Na charakteristiky tvaru rozdělení může mít vliv odlehlá hodnota rezidua z 21. září 2001. V tento den došlo k významnému propadu ceny z 0,649 Kč na 0,597 Kč. Po pokusu, při kterém byla tato jediná hodnota z reziduí odstraněna, klesla šikmost na -0,32 a špičatost na hodnotu 3,94. Oba ukazatele tedy byly významně ovlivněny nalezenou odlehlou hodnotou. Ani její odstranění však nezměnilo výsledek JB testu, standardizovaná rezidua nadále neměla normální rozdělení. S ohledem na vlastnosti rozdělení reziduí modelu se jako logický jeví závěr, že modely s alternativním rozdělením nesystematické složky jsou vhodnější. Potvrzují to informační kritéria (tabulky 3.22 a 3.23). Odhad parametru λ modelů typu GARCH-M nebyl ani v jednom případě statisticky významný, takže podmíněná střední hodnota časové řady není ovlivněna podmíněným rozptylem. Již tradiční posouzení rozdílného působení kladných a záporných šoků na volatilitu časové řady prostřednictvím PSB a NSB testů naznačuje (viz. tabulka 21.4 přílohy 21), že by se v modelu mohla vyskytovat asymetrie. Testy odhalují přítomnost pákového efektu (PSB test p-hodnota = 0,8377 a NSB test p-hodnota = 0,0124). Nelineární modely AR(1)-EGARCH(1,1) resp. AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) jsou vhodnější než modely lineární. Modely s t rozdělením mají nepatrně nižší hodnoty informačních kritérií než modely s rozdělením GED (tabulky 3.22 a 3.23). Absolutně nejnižší hodnoty informačních kritérií má model AR(1)-EGARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky Odhadnutý parametr γ1 modelu typu EGARCH má hodnotu -0,07 (tab. 3.24). Záporná hodnota naznačuje přítomnost pákového efektu. Tomu nasvědčují i dohady parametrů modelu GRJ-GARCH (příloha 21). Parametr α1 statisticky významný není, ale parametr γ1 již ano, navíc je jeho odhadnutá hodnota kladná. Kladné šoky tedy podle modelu nemají na podmíněný rozptyl žádný vliv, záporné ano. V obou nelineárních modelech jsou ovšem odhadnuté parametry poměrně nízké, takže asymetrie vlivu záporných šoků nebude příliš výrazná. To může být také důvod výsledku NSB testu, který na hladině významnosti 0,01 přítomnost asymetrie zamítá. 73

Podle KS testu splňuje nesystematická složka modelu AR(1)-EGARCH(1,1) předpoklady rozdělení ve všech třech případech. Stejný závěr plyne pro GED a t rozdělení i z Q-Q grafů a histogramů (tab. 21.5 a obr. 21.4 až 21.6 v příloze 21). JB test normality však shodu u modelu s normálním rozdělením nepotvrdil. Příčinou takového výsledku je vysoká šikmost rozdělení standardizovaných reziduí, která je 6,28 (obr. 21.1). Rezidua modelu založeného na předpokladu normálního rozdělení mají velice podobné vlastnosti jako v ostatních modelech. Nemají normální rozdělení a nejsou ani tak špičatá jako Laplaceovo rozdělení. Podle informačních kritérií jsou nejvhodnější LL3 a GL3 rozdělení (tabulka 21.6). Odhadnutý parametr zešikmení GL3 rozdělení je blízký hodnotě 1 (jeho odhad je 1,00703), takže rozdělení reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) lze považovat symetrické. Tab. 3.22 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

AR(1)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1)-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1)-EGARCH(1,1) s t rozdělením AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením

počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

AIC

SBC

4

4167,412

-6,592892

-6,576610

5

4216,714

-6,669381

-6,649028

5

4207,304

-6,654480

-6,634126

5

4188,251

-6,624310

-6,603956

6

4222,485

-6,676936

-6,652512

6

4215,522

-6,665910

-6,641486

5

4204,423

-6,649918

-6,629565

6

4234,328

-6,671266

-6,695690

6

4226,966

-6,684032

-6,659608

Tab. 3.23 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely

test věr. poměrem

df.

p-hodnota

16,436

1

0,0001

11,542

1

0,0007

AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1)-GARCH(1,1) s t rozdělením vs. AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením

74

Tab. 3.24 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) a t rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ1 0,180395 0,027455 ω -0,220460 0,049377 α1 0,094014 0,024759 γ1 -0,076783 0,017102 β1 0,984810 0,004316 v1 7,990155 1,319250 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

6,570523 -4,464845 3,797230 -4,489852 228,1844 6,056587

0,0000 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

75

3.5 Závěrečné shrnutí vlastností akciových podílových fondů Co mají akciové podílové fondy společného a co je od sebe naopak odlišuje? Odlišují se nějakým způsobem od jiných fondů? Až porovnání s výsledky ostatních fondů (dluhopisové a peněžního trhu) a akcií, přinese komplexní dopovědi na výše uvedené otázky. Dílčí závěry analýzy však mohou být uvedeny již nyní. 1. Analyzované časové řady výnosů logaritmů cen podílových listů nemají normální rozdělení. Jejich rozdělení je symetrické a špičatější než rozdělení normální. V tomto ohledu se řady nijak neliší od ostatních finančních řad. Podařilo se prokázat shodu s Laplaceovým a Exponential Power rozdělením a také se zobecněným logaritmickologistickým rozdělením a tříparametrickým logistickým rozdělením. Zjištěný má velký význam jak pro případnou analýzu VaR, tak i pro stavbu modelů volatility. 2. Žádnou z časových řad nebylo možné popsat jen pomocí modelu podmíněné střední hodnoty typu AR, protože vykazují přítomnost heteroskedasticity nesystematické složky. 3. Ani v jednom případě nebyl k popisu postačující model typu ARCH. Tyto modely nedokázaly dostatečně zachytit volatilitu časové řady a obsahovaly heteroskedasticitu nesystematické složky stejně jako modely podmíněné střední hodnoty. 4. Modely GARCH(1,1) se ukázaly být schopné odstranit heteroskedasticitu nesystematické složky u všech analyzovaných fondů. Složitosti časových řad však přesto plně nevyhovovaly a byly vždy nahrazeny modely složitějšími. 5. U některých časových řad je podmíněná střední hodnota přímo ovlivněna podmíněným rozptylem. To popisují modely GARCH-M, které byly využity pro popis časových řad fondů ING International Český akciový fond a ISČS Sporotrend. U ostatních časových řad se přítomnost tohoto efektu prokázat nepodařilo. Jedná se tedy o vlastnost, která se liší fond od fondu. 6. Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (NSB a PSB a další) odhalily ve všech případech rozdílné vlivy působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl časové řady. Pouze jediný fond má podle těchto testů statisticky významný vliv kladných šoků a jejich výše (ING International Český akciový fond). Ostatní fondy vykazují tzv. pákový efekt, tedy vyšší vliv záporných šoků a jejich výše na podmíněný rozptyl časové řady. 76

7. Až na jedinou výjimku jsou nelineární modely volatility (ať již modely typu EGARCH nebo GRJ-GARCH) vhodnější pro popis časových řad akciových fondů než modely lineární. Rozdíly mezi oběma typy modelů jsou malé. Modely jsou tedy pro analyzovaná data ekvivalentní. Tou výjimkou je fond ISČS Sporotrend, pro který byl nejvhodnější lineární model typu GARCH-M. 8. Analýza odhadnutých parametrů nelineárních modelů volatility potvrdila závěry testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu. V časových řadách se skutečně vyskytuje pákový efekt, který byl popsán na časových řadách akcií. Vysoký propad ceny podílového listu způsobuje vyšší volatilitu časové řady než stejně velký cenový nárůst. Odhady odpovídajících parametrů jsou však nízké, takže asymetrie je poměrně slabá. Výjimkou je fond ING International Český akciový fond, ve kterém mají naopak větší vliv šoky kladné. 9. Není možné jednoznačně říci, který z nelineárních modelů volatility (EGARCH resp. GRJ-GARCH) je vhodnější pro popis akciových fondů. Blízké hodnoty informačních kritérií ve všech případech naznačují, že oba modely jsou ekvivalentní. 10. Odhady parametrů alternativních rozdělení (Studentovo t a GED) potvrzují předpoklad, že časové řady výnosů logaritmů akciových podílových fondů mají rozdělení špičatější a s tlustšími konci než je rozdělení normální. Modely založené na alternativních rozděleních byly, až na fond ISČS Eurotrend, vhodnější než modely vycházející z předpokladu normality nesystematické složky. Jen u nelineárních modelů volatility fondu ISČS Eurotrend nebyl rozdíl v rozděleních náhodné složky statisticky významný. Tyto modely tedy dokázaly zachytit vyšší špičatost analyzované časové řady. 11. Rezidua odhadnutých modelů založených na předpokladu GED rozdělení měla ve všech případech skutečně toto rozdělení. U reziduí odhadnutých modelů založených na předpokladu Studentova t rozdělení se nepodařilo vždy potvrdit, že toto rozdělení skutečně mají. Příčinou je jejich vyšší špičatost oproti teoretickému rozdělení. 12. U modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se až na výjimku (ISČS Eurotrend) nepodařilo tento předpoklad splnit. Rozdělení standardizovaných reziduí je špičaté a u některých fondů i zešikmené vlivem odlehlých pozorování. Porovnání s teoretickými rozděleními odhalilo, že jsou shodná jednak s tříparametrickým logaritmicko-logistickým a zobecněným logistickým rozdělením, ale i s rozdělením Exponential Power. Neprokázala se naopak shoda s Laplaceovým rozdělením, které je špičatější než testovaná rozdělení. 77

4 Analýza dluhopisových podílových fondů 4.1 Úvod Dalším analyzovaným investičním nástrojem jsou otevřené podílové fondy dluhopisové. Stejně jako na předchozí časové řady byly i na ně kladeny podmínky uvedené v kapitole 1, aby byla zajištěna jejich porovnatelnost. V tabulce jsou uvedeny nejstarší dluhopisové fondy v České republice. Některé z nich nebyly do analýzy zahrnuty, protože buď nebylo možné získat jejich hodnoty (IKS Plus Bondový) nebo nebyla jejich analýza doporučena samotným správcem fondu. To je případ fondu ČSOB Bond Mix, který prošel v roce 2003 významnými změnami (stejně jako ostatní fondy skupiny ČSOB), které zcela změnily ceny. Tab. 4.1 Základní informace o analyzovaných fondech Akciové podílové fondy Správce Založení Zdroj dat 1 ČSOB Bond mix ČSOB IS 1.12.1990 ISČS Bondinvest1 ISČS 20.2.1995 IKS Dluhopisový IKS KB 22.9.1997 www.iks-kb.cz ING International Český fond obligací ING 27.10.1997 www.ing.cz ISČS Sporobond ISČS 31.3.1998 www.iscs.cz KBC Renta Czechrenta KBC 7.4.1999 www.csob.cz IKS Plus Bondový1 IKS KB 14.3.2000 1 tyto časové řady byly z analýzy vynechány, protože nesplňovaly některou z podmínek na str. 7

Z grafů cen podílových listů všech fondů (příloha 2) je jasně viditelné, jak podobné si tyto řady jsou. V některých případech je jen těžko postřehnutelný rozdíl mezi jednotlivými řadami. Přitom některé časové řady mají podílové listy ohodnoceny v řádu korun (IKS Dluhopisový, ISČS Sporobond), jiné v řádu tisíců korun (KBC Renta Czechrenta, ING International Český fond obligací). Hodnota podílových listů ve sledovaném období neustále rostla. Výrazný propad nastal u šech fondů v polovině roku 2004. Patrná je i stagnace v roce 2005. Grafy výnosů logaritmů vykazují proměnlivost variability v čase, nalezneme v nich alespoň jednu extrémně nízkou hodnotu. Ve všech časových řadách je dobře patrný výskyt shluků.

4.2 Popisné charakteristiky Délka období sledování fondů je pět let (2001-2005). Vzhledem k rozdílům v oceňování portfolia fondů není délka časových řad úplně stejná. Stejné rozdíly se objevily i u analýzy akciových podílových fondů. Délka se tedy liší podle správce fondu. Například všechny fondy společnosti ISČS mají 1264 hodnot a společnosti ING 1260 hodnot. Střední hodnoty časových řad vyjádřené průměrem a mediánem jsou ve všech případech kladné a velice blízké nule. Oba ukazatele jsou si velice blízké. Z porovnání zjištěných minim a 78

maxim je zřejmé, že v extrémních hodnotách jsou řady vyrovnané, protože tyto si jsou v absolutní hodnotě velice blízké. Fond KBC Renta jako jediný vykazuje variační rozpětí o řád vyšší než zbylé dluhopisové fondy. Jeden z ukazatelů rizika investice do podílových fondů, směrodatná odchylka, se pohybuje kolem hodnoty 0,001 a u KBC Renta je 0,002. Pro připomenutí riskantnější investiční nástroje dosahovaly vyšších hodnot tohoto ukazatele. Směrodatná odchylka akcií se pohybovala kolem hodnoty 0,02 a stejný ukazatel u akciových podílových fondů nabýval hodnot v okolí 0,01. Tab. 4.2 Popisné charakteristiky časových řad výnosů logaritmů dluhopisových otevřených podílových fondů Charakteristika

Počet Průměr Medián Maximum Minimum Rozpětí Směrodatná odchylka Šikmost Špičatost Jarqueův-Berův test p-hodnota testu Kolmogorovův-Smirnovův p-hodnota testu

ISČS ING IKS KBC Renta SPOROBOND International dluhopisový Czechrenta Český fond obligací 1264 1260 1232 1145 0,000199 0,000225 0,000182 0,000259 0,000196 0,000188 0,000201 0,000194 0,005575 0,007321 0,006049 0,033309 -0,005920 -0,007424 -0,007259 -0,024438 0,011495 0,014745 0,013308 0,057747 0,001348 0,001488 0,001331 0,002009 -0,096934 0,081974 0,015444 2,256141 5,109526 5,352975 5,993415 86,670060 236,351400 0,000000

292,077000 0,000000

0,769960 0,000001

0,064301 0,000060

460,022900 334962,100000 0,000000 0,000000 0,077335 0,000001

0,109019 0,000000

Ukazatel zešikmení časových řad je velice blízký nule, ať již kladný nebo záporný. Výjimkou je opět fond společnosti KBC, jehož šikmost je kladná s hodnotou 2. Takto vysoké hodnoty se v analýze vyskytují pouze u podílových fondů peněžního trhu, u dluhopisových fondů jde o výjimku. Špičatost kolem hodnoty 5 je blízká akciovým fondům. Nejšpičatější jsou fondy peněžního trhu, které dosahují hodnoty ukazatele až 94. České akcie vykazují špičatost od 5 do 13. Extrémně vysoká špičatost fondu KBC Renta je dána extrémními výkyvy výnosů fondu ve druhé polovině roku 2001, které jsou dobře viditelné na obrázku 2.4 v příloze 2.

79

4.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů Aby bylo zjištěno více o tvaru rozdělení výnosů logaritmů cen podílových listů rt, byly metodou maximální věrohodnosti odhadnuty parametry teoretických rozdělení. Pro účely srovnání s těmito rozděleními byly vypracovány testy shody rozdělení. Ani jedna z časových řad nemá normální rozdělení. Z grafů (příloha 13) je patrné, že normální rozdělení není tak špičaté jako nepodmíněné rozdělení výnosů. Vysoká špičatost je důvodem pro vysoké hodnoty testového kritéria Jarqueova-Berova testu. Podle informačního kritéria AIC (příloha 6) je nejbližším Laplaceovo rozdělení a EP rozdělení jehož parametr špičatosti je 1 (příloha 9), takže je toto rozdělení shodné s Laplaceovým rozdělením (v grafech se překrývají). Pouze u fondu ISČS Sporobond je vhodnější EP rozdělení s parametrem špičatosti 0,82, takže toto rozdělení není tak špičaté jako Laplaceovo rozdělení. Jako nevhodná se jeví rozdělení s nižší špičatostí jako jsou LL3 a GL3 rozdělení, stejně jako zešikmené logaritmickonormální rozdělení. Kladná šikmost výnosů fondu KBC Renta se neodrazila ve shodě se zešikmeným rozdělením. Parametr zešikmení GL3 rozdělení je 0,95, což asymetrii rozdělení příliš nenasvědčuje. Výnosy fondů jsou špičaté a symetrické. K jejich popisu prostřednictvím modelů volatility bude tedy nutno použít alternativních rozdělení, jako tomu bylo u předchozích časových řad.

4.4 Modely dluhopisových otevřených podílových fondů V této kapitole jsou prezentovány závěry modelování časových řad výnosů dluhopisových fondů. Postup je v souladu s postupem popsaným v kapitole 2.4. Důležité grafy a tabulky jsou uvedeny v odpovídajících přílohách věnovaných jednotlivým fondům. Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce pro jednotlivé fondy jsou v příloze 15.

4.4.1 ISČS Sporobond Všechny modely volatility časové řady musejí mít model podmíněné střední hodnoty ve tvaru AR(1) s konstantou, jinak rezidua neplní podmínku neautokorelovanosti. V analýzách akciových podílových fondů se v několika případech ukázalo, že stačí zahrnout do úrovňového modelu pouze konstantu ϕ0. To v tomto případě neplatí. Podmínku homoskedasticity splňuje již model AR(1)-ARCH(1). Ljungova-Boxova Q statistika však odhalila statisticky významnou autokorelaci čtverců reziduí v 15. a vyšším zpoždění, tedy přítomnost heteroskedasticity. Zvýšením stupně ARCH procesu se tento efekt nepodařilo odstranit. Modely AR(1)-GARCH(1,1) podobný problém s heteroskedasticitou reziduí již neobsahují. 80

Z nelineárních modelů volatility je s ohledem na vlastnosti reziduí v pořádku model AR(1)-EGARCH(1,1), ale modely AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) (parametry obou v příloze 22) vykazují podle Ljungova-Boxova testu autokorelace čtverců reziduí stejný problém jako u ARCH modelů. Zvýšením stupně asymetrie modelu GRJ-GARCH na 2 se heteroskedasticitu reziduí podařilo odstranit. Proto byl tento neobvyklý model17, jehož parametry jsou statisticky významné, také zařazen do porovnání. Zajímavé je zjištění spojené s odhadnutými parametry rozdělení nesystematické složky modelů. Zatímco hodnota odhadnutého parametru GED rozdělení r se pohybuje kolem hodnoty 1,1, je stupeň volnosti v Studentova t rozdělení nezvykle vysoký, u některých modelů18 přesahuje i hodnotu 40. U modelů typu EGARCH je hodnota odhadu tohoto parametru pro změnu pouze 4. Takovéto výrazné rozdíly se u žádné z doposud analyzovaných časových řad nevyskytovaly. Ze srovnání pomocí informačních kritérií AIC a SBC a testů věrohodnostním poměrem (tab. 4.3 a 4.5) plynou následující závěry: 1. Modely s GED rozdělením nesystematické složky jsou vhodnější než modely s normálním nebo Studentovým rozdělením. 2. Nelineární modely EGARCH jsou vhodnější než lineární modely GARCH. 3. Nelineární modely GRJ-GARCH nejsou výrazně vhodnější než lineární modely GARCH. 4. Ani nelineární modely GRJ-GARCH s vyšším stupněm asymetrie nejsou na hladině významnosti 0,01 vhodnější než lineární modely GARCH (p-hodnota testu pro model s GED rozdělením je 0,039) i než nelineární modely GRJ-GARCH se stupněm asymetrie 1 (p-hodnota testu je 0,057). 5. Nejvhodnějším je model EGARCH s GED rozdělením nesystematické složky. Testy heteroskedasticity nelineárního typu odhalují nevýznamné působení kladných i záporných reziduí a jejich výše na podmíněný rozptyl (příloha 22). Modely EGARCH jsou podle informačních kritérií vhodnější než modely lineární. Parametr γ1 však není statisticky významný (viz. tab. 22.2). Podle tohoto modelu je působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl stejné. Parametr γ1 je u modelu GRJ-GARCH statisticky významný a kladný. U modelu s GED rozdělením (tab. 4.4) je jeho hodnota γ1 = 0,09. Model GRJ(2)-GARCH(1,1) má statisticky významné parametry α1, γ1 a γ2 (tab. 22.4). Jejich odhadnuté hodnoty jsou α1 = 0,05, γ1 = 0,20 a γ2 = -0,19. Asymetrie volatility tohoto modelu je níz-

17 18

Neobvyklý z toho důvodu, že v předchozích analýzách nebyl doposud použit. U modelu GRJ-GARCH je tento odhad 40 a u modelu GRJ-GARCH se stupněm asymetrie 2 dokonce 44.

81

ká. Záporné šoky sice působí více než šoky kladné, ale jejich vliv je snížen o šok v prvním zpoždění, protože parametr γ2 je záporný a přitom v absolutní hodnotě téměř stejně vysoký jako parametr γ1. Závěrem lze tedy konstatovat, že nelineární modely nejsou u tohoto fondu jednotné v popisu asymetrie volatility. Pokud časová řada výnosů logaritmů dluhopisového fondu skutečně vykazuje statisticky významnou asymetrii volatility a přítomnost pákového efektu, pak jde o efekt jen velice slabý. Vzhledem k tomu, že model GRJ(2)-GARCH nebyl doposud ani v jedné z předchozích analýz použit, budou detailně prozkoumána jeho rezidua. Standardizovaná rezidua modelu s GED rozdělením nesystematické složky mají podle KS testu i podle grafů (Q-Q graf a histogramy) opravdu toto rozdělení. Ostatní modely podmínku předpokládaného rozdělení nesplňují. Studentovo t rozdělení a normálního rozdělení jsou méně špičatá než rozdělení standardizovaných reziduí (tab. 22.6 a obr. 22.3 až 22.5 v příloze 22). Podle vypočtených charakteristik je rozdělení reziduí modelu založeného na předpokladu normality nesystematické složky symetrické a špičatější než rozdělení normální (špičatost je 5,12). Při srovnání s teoretickými rozděleními se potvrzuje, že rozdělení standardizovaných reziduí je symetrické a špičaté. Nejvhodnějším rozdělením je podle informačního kritéria AIC rozdělení Exponential Power, jehož parametr špičatosti byl odhadnut na hodnotu 0,72. Špičatost je tedy nižší než u Laplaceova rozdělení (viz. tab. 22.7 a obr. 22.7). Tab. 4.3 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením

test věr. df. poměrem

p-hodnota

2,896

1

0,0888

3,61

1

0,0574

6,506

2

0,0387

Tab. 4.4 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 0,000172 3,41E-05 φ1 0,154210 0,025384 ω 1,46E-07 4,99E-08 α1 0,077843 0,029461 γ1 0,093657 0,051138 β1 0,804755 0,044881 v1 1,143183 0,060994 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

5,060041 6,075126 2,917494 2,642213 1,831457 17,93071 18,74248

0,0000 0,0000 0,0035 0,0082 0,0670 0,0000 0,0000

82

Tab. 4.5 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

AR(1)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1)-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1)-EGARCH(1,1) s t rozdělením AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením

počet parametrů

logvěrohodnostní funkce

AIC

SBC

5

6602,216

-10,44690

-10,42654

6

6608,748

-10,45566

-10,43123

6

6658,225

-10,53401

-10,50958

6

6606,786

-10,45255

-10,42813

7

6661,528

-10,53765

-10,50916

7

6663,373

-10,54058

-10,51208

6

6603,208

-10,44689

-10,42246

7

6617,297

-10,46761

-10,43912

7

6659,673

-10,53472

-10,50622

7

6607,663

-10,45236

-10,42386

8

6619,142

-10,46895

10,43638

8

6661,478

-10,53599

-10,50343

83

4.4.2 KBC Renta Czechrenta Podle grafů ACF, PACF a podle Ljungovy-Boxovy Q statistiky se v této časové řadě nevyskytuje významná autokorelace (příloha 15). Odhadnutý úrovňový model AR(1) má statisticky nevýznamný autoregresní parametr φ1. Modely volatility však parametr φ1 v úrovňovém modelu obsahovat musejí. Ani v případě nelineárních modelů není přípustné zjednodušení modelu podmíněné střední hodnoty na pouhou konstantu. Rezidua jsou v takovém případě vzájemně korelována. Všechny modely i přesto vykazují významnou autokorelaci reziduí ve 22. zpoždění. Předpoklad, že příčinou tohoto neobvyklého jevu jsou významné výkyvy ceny podílových listů v srpnu roku 200119, se ukázal být mylným. Pokus založený na zkrácení časové řady naopak ukázal, že příčina se nachází mezi nejnovějšími pozorováními, nikoliv v roce 2001. Modely odhadnuté z dat za roky 2001 – 2004 žádnou autokorelaci totiž neobsahují. Rezidua všech modelů jsou pro taková data homoskedastická. Ze srovnání modelů plyne (tabulky 4.6 a 4.7), že nejvhodnější jsou modely založené na Studentovu t rozdělení a za nimi pak modely s GED rozdělením. Podle grafů v příloze 23, posuzujících shodu rozdělení, a KS testu nemají však rezidua t rozdělení (jsou špičatější než teoretické rozdělení). Stejnými nástroji byly prokázána shoda s GED rozdělením (tab. 23.6 a obr. 23.4-23.6 přílohy 23). Proto jsou do srovnání zahrnuty právě modely s GED rozdělením. Srovnáním ARCH a GARCH modelů vyplynulo, že modely GARCH nejsou významně vhodnější. Model GRJ-GARCH je vhodnějším modelem ve srovnání s ARCH, ale toto již neplatí při srovnání s GARCH. Nejvhodnějším modelem je model ve tvaru AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením (tab. 4.8). Odhady parametrů ostatních zmíněných modelů jsou v příloze 23. Vyskytuje se v modelu asymetrie působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl? Zde jsou závěry založené na testech a odhadnutých parametrech nelineárních modelů volatility. 1. Podle výsledků PSB a NSB testů je v časové řadě významný vliv kladných šoků a jejich výše. 2. Parametr γ1 modelu EGARCH je statisticky významný pouze na hladině významnosti 0,1. Jeho hodnota je kladná. Takže tento model závěr PSB testu potvrzuje. 3. Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH jsou α1 = 0,44, γ1 = -0,29 a oba jsou statisticky významné. Záporná hodnota parametru naznačuje stejně jako v předchozím

19

16.8.2001 vzrostal cena o 778 Kč a následující oceňovací den tj. 24.8.2001 klesla zpět o 573 Kč. Podobný extrémní výkyv se od té doby nikdy neopakoval.

84

modelu, že vliv kladných šoků je významný. To potvrzuje i graf NIC funkce (obr. 4.1). 4. Oba modely i testy tedy vedou k závěru, že v časové řadě se vyskytuje statisticky významný vliv kladných šoků na podmíněný rozptyl. Rozdělení standardizovaných reziduí modelu s normálním rozdělením nesystematické složky je natolik špičaté (špičatost je 10,44), že se shoduje s Laplaceovým nebo EP rozdělením s parametrem špičatosti 0,95. V žádném případě tedy není normální. Přehled výsledků testů shody je v tabulce 23.7 přílohy. Histogram rozdělení standardizovaných reziduí a hustotních funkcí vybraných teoretických rozdělení je zobrazen v grafu 23.7 přílohy. Tab. 4.6 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

počet parametrů

logvěrohodnostní funkce

AIC

SBC

AR(1)-ARCH(1) s normálním rozdělením

4

5718,754

-9,990828

-9,973197

AR(1)-ARCH(1) s t rozdělením

5

5862,417

-10,24024

-10,21820

AR(1)-ARCH(1) s GED rozdělením

5

5848,219

-10,21542

-10,19338

AR(1)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením

5

5724,009

-9,998267

-9,976229

AR(1)-GARCH(1,1) s t rozdělením

6

5864,511

-10,24215

-10,21571

AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením

6

5850,420

-10,21752

-10,19107

AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením

6

5740,606

-10,02553

-9,999089

AR(1)-EGARCH(1,1) s t rozdělením

7

5873,021

-10,25528

-10,22443

AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením

7

5856,646

-10,22665

-10,19580

AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením

6

5736,735

-10,01877

-9,992322

AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením

7

5866,420

-10,24374

-10,21289

AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

7

5852,550

-10,21949

-10,18864

85

Tab. 4.7 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely

test věr. df. poměrem

AR(1)-ARCH(1,1) s GED rozdělením vs. AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

p-hodnota

4,402

1

0,0359

4,26

1

0,0390

Tab. 4.8 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 0,000195 4,11E-05 φ1 0,236325 0,026546 ω -5,747357 1,390312 α1 0,466551 0,074010 γ1 0,084673 0,049161 β1 0,581454 0,106151 v1 1,004245 0,045853 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

4,740167 8,902569 -4,133862 6,303894 1,722352 5,477590 21,90156

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0850 0,0000 0,0000

Obr. 4.1 Funkce NIC modelu AR(1)-GARCH(1,1) a modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky 0,00003 0,000025 0,00002 0,000015 0,00001

NIC GARCH

0,000005

NIC GRJ 0 -0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

εt

86

0,004

0,006

0,008

0,01

4.4.3 IKS Dluhopisový Z grafů ACF, PACF je patrná silná autokorelace časové řady v 1. zpoždění (příloha 15). Model podmíněné stření hodnoty AR(1,8) nemá autokorelovaná, ale zato heteroskedastická rezidua. Jednodušší úrovňové modely AR(1) a AR(8) nesplňovaly podmínku neautokorelovanosti reziduí. Ani pokus se zkrácením časové řady nepřinesl důkaz o tom, že by autoregresní parametr φ8 byl v modelu nadbytečný. Heteroskedasticita reziduí již není patrná i u modelu AR(1,8)-ARCH(1). Tento model splňuje podmínky kladené na nesystematickou složku modelu. Stejné závěry plynou i z modelu AR(1,8)-GARCH(1). Zjednodušení úrovňového modelu na pouhou konstantu nepřipadá v úvahu z důvodu autokorelace reziduí a všechny modely volatility tak byly odhadnuty společně s modelem podmíněné střední hodnoty ve tvaru AR(1,8) (příloha 24). Lineární modely GARCH-M nebyly do srovnání zahrnuty, protože pro tuto časovou řadu nejsou vhodné. Statisticky významný rozdíl v testu věrohodnostním poměrem (tab. 4.11) je mezi lineárními modely ARCH a GARCH. Model GRJ-GARCH není pro daná data podle stejného testu vhodnější než jednodušší GARCH. Nejvhodnějším modelem je model AR(1,8)-EGARCH(1,1), rozdíly v hodnotách informačních kritérií AIC a SBC mezi modely s GED a Studentovým rozdělením jsou minimální (tab. 4.10). U druhého rozdělení jsou hodnoty informačních kritérií absolutně nejnižší. Podle Kolmogorova-Smirnova testu i z histogramů je však zjevné, že rozdělení reziduí modelu se Studentovým t rozdělením nesystematické složky je špičatější a nemá tlusté konce jako teoretické t rozdělení. Shoda naopak existuje u GED rozdělení. Detaily jsou v příloze 24 na obrázcích 24.2 až 24.4. Testy heteroskedasticity nelineárního typu (NSB, PSB v tab. 24.5 přílohy 24) neodhalily asymetrii v působení šoků. Ani jeden z nelineárních modelů volatility také nepotvrzuje, že by v časové řadě existovala asymetrie podmíněné heteroskedasticity. Parametry γ1 jsou v obou případech statisticky nevýznamné. V časové řadě se nevyskytuje ani pákový efekt, ani vliv kladných šoků na podmíněný rozptyl. Křivky NIC modelů AR(1,8)-GARCH(1,1) a AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) jsou téměř shodné (obr. 24.1. v příloze 24). Rezidua modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) založeného na předpokladu normálního rozdělení nesystematické složky toto rozdělení nemají. Rozdělení reziduí není sice zešikmené (charakteristika šikmosti je pouhých 0,04), ale je špičatější než rozdělení normální (obr. 24.5). To potvrzují i testy shody s alternativními teoretickými rozdělením, kde největší shoda je s Laplaceovým a EP rozdělením. Parametr špičatosti EP rozdělení byl odhadnut na 0,91, takže se toto rozdělení svou špičatostí blíží rozdělení Laplaceovu (viz. příloha 24). 87

Tab. 4.9 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 0,000191 3,03E-05 φ1 0,123705 0,025608 φ8 0,066526 0,022520 ω -0,934916 0,267525 α1 0,295663 0,049565 γ1 -0,001204 0,026320 β1 0,946202 0,018702 v1 1,078079 0,052294 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

6,320540 4,830743 2,954132 -3,494682 5,965114 -0,045751 50,59453 20,61592

0,0000 0,0000 0,0031 0,0005 0,0000 0,9635 0,0000 0,0000

Tab. 4.10 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

AR(1,8)-ARCH(1) s normálním rozdělením AR(1,8)-ARCH(1) s t rozdělením AR(1,8)-ARCH(1) s GED rozdělením AR(1,8)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1,8)-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(1,8)-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1,8)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1,8)-EGARCH(1,1) s t rozdělením AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

počet parametrů

logvěrohodnostní funkce

AIC

SBC

7

6428,467

-10,49586

-10,47499

6

6501,807

-10,61406

-10,58901

6

6508,376

-10,62480

-10,59975

6

6441,224

-10,51507

-10,49002

7

6521,978

-10,64539

-10,61617

7

6521,523

-10,64464

-10,61542

7

6456,419

-10,53827

-10,50904

8

6532,997

-10,66176

-10,62836

8

6532,453

-10,66087

-10,62747

7

6441,432

-10,51378

-10,48455

8

6522,224

-10,64416

-10,61076

8

6521,740

-10,64337

-10,60997

Tab. 4.11 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely AR(1,8)-ARCH(1) s GED rozdělením vs. AR(1,8)-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1,8)-GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

test věr. df. poměrem

p-hodnota

26,294

1

0,0000

0,434

1

0,5100

88

4.4.4 ING International Český fond obligací V příloze 15 je graf ACF a PACF řady výnosů logaritmů fondu ING. Úrovňový model AR(1) je dostatečný z toho důvodu, že zajišťuje neautokorelovanost reziduí. Rezidua však jsou tradičně heteroskedastická. U ARCH modelů volatility však již poměrně jednoduchý model podmíněné střední hodnoty nefunguje a nepopisuje dobře chování časové řady. Analýzou ACF a PACF standardizovaných reziduí spolu s porovnáním statistické významnosti odhadnutých parametrů se jako nejvhodnější model podmíněné střední hodnoty ukázal být model AR(1,4). Jeho rezidua jsou však heteroskedastická. Modely AR(1,4)-GARCH(1,1) heteroskedasticitu nesystematické složky odstraňují. Zjednodušení úrovňového modelu však není možné. Tento závěr platí i pro nelineární modely volatility. Opět platí, že modely s alternativním rozdělením jsou vhodnější než modely s rozdělením normálním.

Nejvhodnějším

modelem

je

podle

informačních

kritérií

model

AR(1,4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky. Rozdíl mezi hodnotami věrohodnostní funkce modelu GARCH a GRJ-GARCH není natolik velký, aby byl statisticky významný. Modely s GED rozdělením jsou vhodnější než modely se Studentovým t rozdělením (tabulky 4.13 a 4.14). Podle KS testu (p-hodnota = 0,005) nesplňují rezidua modelu EGARCH podmínku t rozdělení. Teoretické rozdělení není tak špičaté jako standardizovaná rezidua a má tlustší konce, což plyne z porovnání histogramů (obr. 25.2-25.4 a tab. 25.5 přílohy 25). Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu odhalují v časové řadě významný vliv působení záporných šoků (statisticky významný NSB test a obecný test v tab. 25.4). Odhady nelineárních modelů volatility však nic takového nepotvrzují. Parametr γ1 modelu GRJ-GARCH není statisticky významný, takže podle tohoto modelu je působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl stejné. Dobře je toto patrné i z grafu NIC funkce, kde se hodnoty nelineárního a lineárního modelu téměř překrývají (obr. 25.1 v příloze 25). V souvislosti s tímto je nutno připomenout, že model nebyl výrazně vhodnější než lineární model GARCH. Odhadnutý parametr γ1 modelu EGARCH je stejně jako v předchozím případě statisticky nevýznamný, ani v tomto případě se asymetrie v časové řadě nepotvrdila. K popisu časové řady stačí lineární model AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky (tab. 4.12). Odhadnuté parametry ostatních modelů jsou uvedeny v příloze 25. Špičatost rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky je opět vyšší než normální (5,16). Rozdělení reziduí se podle testů shoduje s EP rozdělením (tab. 25.6), protože jeho špičatost je nižší než u Laplaceova rozdělení. Parametr špičatosti EP rozdělení byl odhadnut na 0,65. Je symetrické, což 89

plyne z vypočteného ukazatele šikmosti, jehož hodnota je -0,003. Tvrzení lze podložit i odhadnutou hodnotou zešikmení GL3 rozdělení, která je blízká jedné, konkrétně nabývá hodnoty 0,96. Tab. 4.12 Odhadnuté parametry modelu AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 0,000189 4,51E-05 φ1 0,218311 0,024735 φ4 0,066900 0,024449 ω 1,47E-07 6,38E-08 α1 0,086902 0,024871 β1 0,843402 0,046315 v1 1,174465 0,059392 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

4,200753 8,825939 2,736322 2,299155 3,494124 18,21022 19,77472

0,0000 0,0000 0,0062 0,0215 0,0005 0,0000 0,0000

Tab. 4.13 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

AR(1,4)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1,4)-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1,4)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1,4)-EGARCH(1,1) s t rozdělením AR(1,4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

počet parametrů

logvěrohodnostní funkce

AIC

SBC

6

6475,410

-10,30161

-10,27707

7

6518,612

-10,36881

-10,34019

7

6523,543

-10,37666

-10,34804

7

6478,296

-10,30461

-10,27599

8

6520,774

-10,37066

-10,33795

8

6525,834

-10,37872

-10,34601

7

6475,481

-10,30013

-10,27151

8

6518,617

-10,36722

-10,33451

8

6523,553

-10,37508

-10,34237

Tab. 4.14 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely

test věr. df. poměrem

AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

0,02

90

1

p-hodnota

0,8875

4.5 Závěrečné shrnutí vlastností dluhopisových podílových fondů Dílčí závěry analýzy časových řad výnosů logaritmů cen podílových listů dluhopisových fondů mohou být uvedeny již nyní s tím, že kompletní porovnání všech skupin investičních nástrojů bude provedeno v samotném závěru této práce.

1. Analyzované výnosy rt dluhopisových podílových fondů nemají normální rozdělení. Jejich rozdělení je sice symetrické, ale zároveň špičatější než rozdělení normální. Nejvhodnějším rozdělením pro popis chování výnosů je Laplaceovo rozdělení. 2. Žádnou z časových řad není možné popsat pouze pomocí modelu podmíněné střední hodnoty typu AR, protože vykazují přítomnost heteroskedasticity nesystematické složky. 3. U žádné časové řady není při tvorbě modelů volatility možné zjednodušit úrovňový model na konstantu jako tomu bylo u fondů akciových. Rezidua modelů pak totiž vykazují autokorelaci. Vhodný úrovňový model má jeden nebo dva autoregresní parametry. 4. U fondů KBC Renta Czechrenta a IKS Dluhopisový stačí k popisu chování časové řady model typu ARCH. Již tento lineární model dokáže dostatečně zachytit volatilitu časové řady a rezidua nevykazují heteroskedasticitu. Zároveň je však nutno připomenout, že model GARCH je podle informačních kritérií i testu věrohodnostním poměrem vhodnější než model ARCH u všech analyzovaných dluhopisových fondů. 5. Modely GARCH(1,1) jsou schopné odstranit heteroskedasticitu nesystematické složky u všech časových řad. 6. U žádné z časových řad není podmíněná střední hodnota přímo ovlivněna podmíněným rozptylem, jak popisují modely GARCH-M. Ani v jednom případě nejsou odpovídající parametry takového modelu statisticky významné. Zvýšení variability časové řady tedy nemá přímý vliv na průměrnou cenu podílových listů analyzovaných dluhopisových fondů. 7. Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu není možné zobecnit, protože se fond od fondu liší. U některých řad neodhalily asymetrii vůbec (ISČS Sporotrend a IKS Dluhopisový). U fondu KBC Renta odhalily významný vliv kladných šoků a jejich výše na podmíněný rozptyl a u fondu ING naopak upozornily na přítomnost pákového efektu. 91

8. Nelineární modely volatility typu GRJ-GARCH se podle testů a informačních kritérií liší od lineárních modelů GARCH jen velice málo. Na hladině významnosti 0,01 byl u všech fondů rozdíl mezi oběma modely statisticky nevýznamný. 9. U fondu ISČS Sporobond byl navržen neobvyklý model GRJ-GARCH se stupněm asymetrie 2. Tento model odstranil problémy s heteroskedasticitou reziduí modelu GRJ-GARCH. Na hladině významnosti 0,01 však nebyl podle testu věrohodnostním poměrem lepší než lineární model GARCH. 10. Nelineární modely volatility typu EGARCH jsou vhodnější pro popis časových řad dluhopisových fondů než modely lineární a podle informačních kritérií jsou nejvhodnějšími modely pro všechny fondy bez rozdílu. 11. Analýza odhadnutých parametrů nelineárních modelů volatility došla k závěru, že v časových řadách výnosů logaritmů není přítomen ani pákový efekt ani významný vliv kladných šoků na podmíněný rozptyl, nebo je tento vliv jen velice slabý. Výjimkou je fond KBC Renta, ve kterém mají větší vliv šoky kladné než šoky záporné. Zvýšení volatility je vyvoláno významným nárůstem ceny podílového listu. Tento může v konečném důsledku znamenat velký propad nebo růst budoucích cen. 12. Odhady parametrů alternativních rozdělení (Studentovo t a GED) potvrzují předpoklad, že časové řady výnosů logaritmů dluhopisových podílových fondů mají rozdělení špičatější a s tlustšími konci než je rozdělení normální. Modely založené na alternativních rozděleních jsou vždy vhodnější než modely vycházející z předpokladu normality nesystematické složky. 13. Odhady parametrů GED rozdělení se pohybují kolem hodnoty 1. Odhady tohoto parametru reflektují vyšší špičatost nepodmíněného rozdělení výnosů a jsou odrazem zjištěné shody s Laplaceovým rozdělením20. 14. Testy shody neprokázaly, že by standardizovaná rezidua modelů založených na Studentovu t rozdělení nesystematické složky měla skutečně toto rozdělení. Detailní pohled na histogramy standardizovaných reziduí odhalil, že jejich rozdělení jsou špičatější a mají užší konce než Studentovo t rozdělení. Aplikaci modelů s t rozdělením nesystematické složky nelze pro modelování a předpovídání dluhopisových podílových fondů doporučit.

20

Pro připomenutí je GED rozdělení shodné s Laplaceovým pokud parametr r = 1 (více viz. kapitola 2.2.1).

92

15. Testy shody naopak prokázaly, že standardizovaná rezidua modelů založených na GED rozdělení nesystematické složky mají skutečně toto rozdělení. 16. U modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se bez výjimky nepodařilo tento předpoklad splnit. Rozdělení standardizovaných reziduí je špičaté a je symetrické. Porovnání s teoretickými rozděleními odhalilo, že svým tvarem se nejvíce blíží rozdělení Exponential Power a v některých případech (KBC Renta a IKS Dluhopisový) se dokonce blíží i Laplaceovu rozdělení. Toto zjištění je potvrzením vhodnosti použití modelu s GED rozdělením nesystematické složky.

93

5 Analýza podílových fondů peněžního trhu 5.1 Úvod Pouze pět českých otevřených fondů peněžního trhu splnilo podmínky pro zařazení do analýzy (viz. kapitola 1). Jedná se o nejstarší, stále udržované české fondy. Jejich výčet je uveden v tabulce 5.1. Tab. 5.1 Základní informace o analyzovaných fondech Akciové podílové fondy

Správce

Založení

Zdroj dat

ISČS Sporoinvest

ISČS

1.7.1996

www.iscs.cz

IKS Peněžní trh

IKS KB

26.5.1997

www.iks-kb.cz

Pioneer - Sporokonto

Pioneer

15.9.1997 www.pioneer.cz

ING český peněžní trh

ING

27.10.1997

www.ing.cz

KBC MultiCash ČSOB CZK

KBC

4.3.2000

www.csob.cz

Pohled na průběh časových řad cen podílových listů ukazuje (příloha 3), jak odlišné jsou peněžní fondy od ostatních fondů. Křivka časové řady je u všech pěti fondů hladká, výkyvy jsou minimální. Všechny fondy mají velice podobný vývoj, pozvolný růst během celého sledovaného období, který mírně ztrácí tempo. Co se výnosů logaritmů týká, opět lze rozlišit tzv. shluky, které však nejsou natolik výrazné jako u jiných fondů. Patrné je malé množství extrémně vysokých a nízkých hodnot. Odlehlé hodnoty mají zásadní vliv na tvar rozdělení výnosů, které bude komentováno dále v textu.

5.2 Popisné charakteristiky Stejně jako u ostatních podílových fondů se i u peněžních délka časových řad mění. Data nepocházejí ze stejného zdroje a správci neoceňují fondy ve stejných termínech. Střední hodnota výnosů logaritmů cen akcií je velice nízká, stejně jako medián. Tyto charakteristiky se nijak významně neliší od ostatních skupin fondů a akcií. Hodnoty se rozcházejí až na místech desetitisícin. Zatímco míry úrovně jsou u všech typů fondů stejné, významné odlišnosti lze nalézt ve variabilitě časových řad. Hodnoty variačního rozpětí se u fondů peněžního trhu pohybují v rozmezí 0,004 – 0,008. U akciových fondů je tato charakteristika kolem hodnoty 0,1 a u dluhopisových pak 0,01 (s jednou výjimkou 0,05 u fondu KBC Renta Czechrenta). Stejné závěry platí i pro výběrovou směrodatnou odchylku, která je nejnižší ze všech pozorovaných investičních nástrojů (fondy a akcie) a pohybuje se kolem hodnoty 0,0003. Oproti akciovým fondům je o

94

dva řády nižší a oproti fondům dluhopisovým o jeden řád. Tato zjištění odpovídají rizikovosti investice, která je i peněžních fondů nejnižší. Tab. 5.2 Popisné charakteristiky časových řad výnosů logaritmů dluhopisových otevřených podílových fondů Charakteristika

Počet Průměr Medián Maximum Minimum Rozpětí Směrodatná odchylka Šikmost Špičatost Jarqueův-Berův test p-hodnota testu

ISČS Sporoinvest

1264 0,000105 0,000105 0,001546 -0,002193 0,003739 0,000305 -0,895977 12,730070

KBC ING Intl. (II) Multicash Český fond peněžního trhu ČSOB CZK 1260 0,000092 0,000063 0,004732 -0,003494 0,008226 0,000306 1,749138 93,958790

5155,294000 435001,400000 0,000000 0,000000

IKS peněžní trh

1139 0,000119 8,76E-05 0,003549 -0,000798 0,004347 0,000231 4,307643 54,77479

1231 0,000124 0,000073 0,002155 -0,002619 0,004774 0,000271 0,043278 17,997040

Pioneer Sporokonto

1223 0,000106 0,000072 0,002263 -0,002568 0,004831 0,000287 -1,049697 24,736170

130740,7 11536,450000 24300,430000 0,000000 0,000000 0,000000

Kolmogorovův-Smirnovův

0,128959

0,247226

0,176653

0,107554

0,189904

p-hodnota testu

0,000000

0,000000

0,000000

0,000000

0,000000

Co se šikmosti týká, nelze nalézt společný charakter pro všechny fondy. Rozdělení dvou fondů jsou záporné (ISČS Sporoinvest a Pioneer) a dvou kladně (ING a KBC), přičemž u druhého jmenovaného je šikmost 4,3, což je hodnota velice vysoká a u jiných fondů doposud nepozorovaná. Také charakteristiky špičatosti jsou vyšší než u ostatních časových řad. Minimální špičatost má ISČS Sporoinvest (12,7) a maximální dosahuje fond ING (93,9). Extrémně vysoká špičatost je dána malým množstvím odlehlých pozorování.

5.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů Již z vlastností tvaru rozdělení je jasné, že rozdělení výnosů rt fondů peněžního trhu není normální. Potvrzují to Jarqueův-Berův i Kolmogorovův-Smirnovův test. Charakteristický tvar extrémně špičatého rozdělení je patrný i histogramů rozdělení v příloze 13. Rozdělení je natolik špičaté, že dokonce ani Laplaceovo nebo Exponential Power rozdělení se s ním neshodují. Testy shody v příloze 7 nenalezly ani žádné jiné vhodné rozdělení k popisu takto špičatých rozdělení. Kromě toho nabývají odhadnuté parametry teoretických rozdělení nezvyklých hodnot. Např. parametr měřítka λ Laplaceova rozdělení je u všech fondů peněžního trhu extrémně vysoký (v rozmezí 5000 – 7600). Odhadnuté EP rozdělení se ve všech případech shoduje s Laplaceovým, parametr tvaru je 1. Významné kladné zešikmení naznačují odhady parametrů zešikmení u zobecněného logistického rozdělení. U fondu KBC je tento parametr 1,8 a u IKS 95

1,3. Neznamená to však, že by toto rozdělení bylo pro řady vhodné. Ani jeden z testů jej neoznačil jako shodné s empirickým rozdělením. Zjištěné vlastnosti rozdělení časových řad výnosů logaritmů podílových fondů mohou přinést problémy při odhadování parametrů modelů volatility. Tyto modely sice dokáží popsat špičatá rozdělení, avšak je otázka, zda v takovém rozsahu. Některé výnosy jsou navíc kladně zešikmené. Pro odhad parametrů by bylo vhodné použít nějaké zešikmené rozdělení, to v této práci použitý program EViews 5.0 neumožňuje. Pro tento účel by tedy bylo vhodné použít např. aplikaci G@RCH 2.0.

5.4 Modely otevřených podílových fondů peněžního trhu Tradičně budou odhadnuty modely podmíněné střední hodnoty a lineární a nelineární modely volatility, ve snaze popsat co nejlépe chování řad a nalézt vhodný nástroj pro případné předpovídání a použití v analýze investic a portfolia.

5.4.1 ISČS Sporoinvest Z grafu autokorelační a parciální autokorelační funkce výnosů logaritmů fondu ISČS Sporoinvest (příloha 16) lze vypozorovat, že se významná autokorelace vyskytuje v pátém a ve vyšších zpožděních. Tento efekt se někdy vyskytuje ve finančních časových řadách, kde jsou výrazné změny cen investičních nástrojů po víkendu, kdy se neobchoduje. Vhodnou autokorelační strukturu reziduí má model AR(5) s konstantou. Vykazuje však přítomnost heteroskedasticity a nenormality standardizovaných reziduí. Heteroskedasticitu reziduí vykazuje i model ARCH, model GARCH však již ne. Zatímco u modelu založeného na normálním rozdělení nesystematické složky je nutné, aby úrovňový model obsahoval autoregresní parametr ϕ5, jinak jsou rezidua vzájemně korelována, u modelů s alternativními rozděleními (t a GED) lze redukovat úrovňový model pouze na konstantu. Model s normálním rozdělením nesplňuje podmínku normality reziduí, takže nebude do srovnání zahrnut. Zbylé dva modely ano. Ani jedna z variant modelu GARCH-M není pro časovou řadu vhodná, parametr λ není statisticky významný. Nelineární modely volatility GRJ-GARCH a EGARCH nejsou významně vhodnější než lineární model GARCH. Dokazuje to jednak test věrohodnostním poměrem (tab.5.4) pro modely s t i GED rozdělením a zároveň informační kritéria AIC a SBC v tabulce 5.3. Klíčové parametry nelineárních modelů γ1 nejsou statisticky významné (viz. příloha 26), takže tyto modely nepotvrzují závěr testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (statisticky významný

96

NSB test – viz. tabulka 26.1 přílohy 26) o přítomnosti pákového efektu. K popisu časové řady stačí lineární model GARCH(1,1) jehož odhadnuté parametry jsou v tabulce 5.5. U všech srovnávaných modelů jsou modely s t rozdělením nesystematické složky vhodnější než modely s GED rozdělením. Kolmogorovův-Smirnovův test a grafy však ukazují, že rezidua nemají t rozdělení, protože jsou špičatější (tab. 26.5 a obr. 26.3 a 26.4 v příloze 26). Rezidua alternativního modelu jsou shodná s GED rozdělením jen na hladině významnosti 0,01. Vzhledem k autokorelovanosti reziduí modelu GARCH s normálním rozdělením nesystematické složky nebude analyzováno rozdělení jeho reziduí. Tab. 5.3 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením EGARCH(1,1) s t rozdělením EGARCH(1,1) s GED rozdělením

AIC

SBC

5

8606,684

-13,61026

-13,58992

5

8585,130

-13,57615

-13,55581

6

8606,788

-13,60884

-13,58443

6

8585,248

-13,57476

-13,55035

6

8608,852

-13,61211

-13,58770

6

8585,562

-13,57526

-13,55085

Tab. 5.4 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely GARCH(1,1) s t rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

test věr. poměrem

df.

p-hodnota

0,208

1

0,6483

0,236

1

0,6271

Tab. 5.5 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 9,83E-05 6,14E-06 ω 3,41E-09 1,37E-09 α1 0,038905 0,010424 β1 0,918592 0,021578 v1 1,099195 0,038160 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

16,00122 2,482916 3,732206 42,57115 28,80472

0,0000 0,0130 0,0002 0,0000 0,0000

97

5.4.2 KBC Multicash ČSOB CZK Nalezení vhodného autoregresního úrovňového modelu není vůbec jednoduché. Z grafu ACF a PACF je patrná silná autokorelace v čtvrtém a pátém zpoždění (viz. příloha 16). Přesto modely AR(4) resp. AR(5) mají autokorelovaná rezidua. Tento nedostatek se podařilo odstranit až pomocí složitého autoregresního modelu AR(4,5,8), který má všechny parametry včetně konstanty statisticky významné (tab. 5.6). Překvapivě jsou rezidua homoskedastická (obr. 27.2 přílohy 27). Není tedy důvod pro hledání modelů volatility. Jediným nedostatkem takového modelu je nesplnění podmínky normality reziduí. Program EViews neumožňuje založit odhady modelu podmíněné střední hodnoty na alternativních rozděleních jako u modelů volatility, odhady směrodatných chyb odhadů založené na quasi metodě maximální věrohodnosti však potvrzují statistickou významnost všech parametrů. Rozdělení reziduí modelu AR(4,5,8) je velice špičaté. Charakteristika špičatosti je 5,85 a navíc je šikmost 4,36. Tvar rozdělení ovlivňuje malé množství extrémních hodnot. Zatímco minimum je -0,00084, maximum dosahuje hodnoty o řád vyšší 0,0034. Pokusem byla odstraněna maximální hodnota a špičatost klesla na 18,86 a šikmost na 1,97. Důkazy o nenormalitě rozdělení standardizovaných reziduí modelu poskytuje Jarqueův-Berův test (obr. 27.3 přílohy) i Q-Q diagram (obr. 27.4. přílohy). Testy neprokazují shodu ani s jinými teoretickými rozděleními. Na vině jsou právě těžké konce rozdělení reziduí, jak je vidět z tabulky testů shody s vybranými teoretickými rozděleními a histogramu (vše v příloze 27). Tab. 5.6 Odhadnuté parametry modelu AR(4,5,8) s konstantou v úrovňovém t-test Odhad směrodatné chyby odhadu 1,05E-051 11,30490 φ0 0,000119 1,06E-052 11,28489 0,0292071 3,059241 φ4 0,089353 0,0378102 2,363208 0,0290811 5,516717 φ5 0,160431 0,0369512 4,341750 0,0292161 3,935348 φ8 0,114973 0,0281912 4,078441 1) odhady metodou maximální věrohodnosti 2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti

Parametr

Odhad

98

p-hodnota

0,0000 0,0000 0,0023 0,0183 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000

5.4.3 Pioneer Sporokonto Rezidua modelů podmíněné střední hodnoty vykazují autokorelaci, heteroskedasticitu a nejsou normálně rozdělená. Nepodařilo se nalézt vhodný model, který by byl schopen odstranit alespoň vzájemnou korelaci reziduí. Modely volatility založené na t rozdělení se jako jediné dokázaly vypořádat se složitou korelační strukturou časové řady a zároveň odstranit její heteroskedasticitu. Naproti tomu modely založené na normálním nebo GED rozdělení neplnily podmínku neautokorelovanosti reziduí. Všechny modely s t rozdělením jsou spojeny s velice složitým úrovňovým modelem ve tvaru AR(2,4,5,20). Snahy o zredukování počtu autoregresních parametrů byly marné. Podle Ljungovy-Boxovy Q statistiky se při vypuštění byť jen jediného parametru objevila významná autokorelace reziduí. Vedle modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) je vhodný i model AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) (příloha 28). Podle informačních kritérií je model se směrodatnou odchylkou v úrovňovém modelu nepatrně vhodnější než model s rozptylem. Třetí alternativní GARCH-M model s logaritmem rozptylu měl korelovaná rezidua. Podmínky reziduí plní i nelineární modely volatility AR(2,4,5,20)-GRJ-GARCH(1,1) a AR(2,4,5,20)-EGARCH(1,1). Odhady parametrů obou modelů jsou v příloze 28. Porovnání čtyř alternativ ukazuje, že nastejno jsou modely GARCH a GRJ-GARCH a vhodnější jsou modely GARCH-M a EGARCH (tab. 5.7 a 5.8). To, že se v časové řadě pravděpodobně nevyskytuje asymetrický efekt lze vyčíst z odhadů parametrů nelineárních modelů volatility. Jak u modelu GRJ-GARCH, tak i u EGARCH není statisticky významný parametr γ1. Takový závěr potvrzují i výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (tab. 28.4. přílohy 28). Při analýze vlastností standardizovaných reziduí se však zjistilo, že tato nemají předpokládané t rozdělení s odhadnutými stupni volnosti. P-hodnota KS testu pro rezidua modelu GARCH-M je 0, stejně jako u modelu GARCH. Ze srovnání histogramů je patrné, že rozdělení standardizovaných reziduí je špičatější než t rozdělení (příloha 28 obr. 28.1 – 28.4). Charakteristika špičatosti je extrémně vysoká a je 47,5. Testy shody s vybranými rozděleními nenaznačují podobnost se žádným z navržených rozdělení. Ideální model splňující veškeré podmínky diagnostické kontroly se tedy nepodařilo nalézt. Pro analýzu takové řady bude třeba použít jiné, složitější modely, než ty uvažované v této disertační práci, nebo modely založit na velice špičatém rozdělení.

99

Tab. 5.7 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

logpočet parametrů věrohodnostní funkce

AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t rozdělením AR(2,4,5,20)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(2,4,5,20)-EGARCH(1,1) s t rozdělením

AIC

SBC

9

8666,214

-14,39271

-14,35461

10

8672,908

-14,40218

-14,35984

10

8666,231

-14,39107

-14,34874

10

8672,179

-14,40096

-14,35863

Tab. 5.8 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením vs. AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t rozdělením AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením vs. AR(2,4,5,20)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením

test věr. poměrem

df.

p-hodnota

13,388

1

0,0003

0,034

1

0,8537

100

5.4.4 IKS Peněžního trhu U časové řady výnosů logaritmů fondu IKS Peněžního trhu (ACF a PACF jsou v příloze 16) se nepodařilo vůbec nalézt vhodný model typu AR. Všechny navrhované modely od jednoduchého AR(1) až po velice komplikovaný AR(1,4,5,20) mají podle Ljungovy-Boxovy Q statistiky autokorelovaná rezidua ve vysokých zpožděních (19. nebo 20. a vyšší zpoždění). Rezidua jsou zároveň heteroskedastická. Nekonstantnost rozptylu sice odstraňuje model volatility GARCH, ale i takovýto model vykazuje autokorelaci reziduí. Model se nepodařilo odhadnout ani po provedení pokusu založeného na zkrácení časové řady. Model GARCH-M se směrodatnou odchylkou nebo rozptylem v úrovňovém modelu sice poněkud zlepšil vlastnosti reziduí ve smyslu jejich korelace, ale zase se v něm objevila heteroskedasticita. Stejné závěry platí pro nelineární modely volatility GRJ-GARCH a EGARCH. Rezidua vykazují heteroskedasticitu a významnou autokorelovanost ve vyšších zpožděních.

5.4.5 ING International Český fond peněžního trhu Složitá autokorelační struktura neumožňuje odhadnout jednoduchý úrovňový model. Jakékoliv pokusy selhávají, protože rezidua jsou významně korelována ve vyšších zpožděních. V případě modelů volatility ARCH, GARCH, GARCH-M, GRJ-GARCH, EGARCH je problém stejný. Tyto modely odstraňují pouze heteroskedasticitu časové řady. Jde tedy již o třetí řadu otevřených fondů peněžního trhu, kde se nepodařilo nalézt model postupem použitým pro jiné typy fondů a akcií.

101

5.5 Závěrečné shrnutí vlastností podílových fondů peněžního trhu Navržený postup analýzy výnosů časových řad byl u podílových fondů peněžního trhu jen zčásti úspěšný. Z původního počtu pěti fondů se podařilo nalézt vhodný statistický model popisující chování časové řady jen u dvou fondů. Proto je nutno brát některé z následujících závěrů s rezervou. 1. Analyzované časové řady výnosů logaritmů cen podílových listů nemají normální rozdělení. Jejich rozdělení je extrémně špičaté. Špičatost je absolutně nejvyšší ze všech analyzovaných investičních nástrojů. V některých případech je rozdělení navíc kladně zešikmené (fondy KBC a IKS). Vůbec se nepodařilo nalézt teoretické rozdělení, které by se shodovalo s nepodmíněným rozdělením výnosů logaritmů těchto časových řad. 2. Fondy peněžního trhu jsou ze všech porovnávaných skupin investičních nástrojů nejméně rizikové. Směrodatná odchylka, jako jeden z ukazatelů rizikovosti, je pouhých 0,0003, což je nejméně ze všech. 3. Fondy mají složitou autokorelační strukturu. Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce ukazují statisticky významnou korelaci ve vyšších zpožděních. Korelace v 10. nebo 20. zpoždění není výjimkou. 4. Nalezení jednoduchého úrovňového modelu není pro tyto řady jednoduché. Ve většině případů nepostačuje model s konstantou a jedním parametrem. U fondu KBC byl odhadnut model se třemi a u fondu Pioneer dokonce se čtyřmi autoregresními parametry. Jedině s těmito statisticky významnými parametry nejsou rezidua modelů vzájemně korelována. Redukce počtu parametrů není ani aplikaci modelů volatility možná. 5. Fond KBC Multicash je jediným ze všech fondů, k jehož popisu stačí úrovňový model AR. Ten totiž nevykazuje autokorelaci a heteroskedasticitu náhodné složky, a proto je odhadování modelů volatility zbytečné. 6. Lineární a nelineární modely volatility se ukázaly být schopné odstranit heteroskedasticitu nesystematické složky časových řad, ale nedokázaly zajistit neautokorelovanost reziduí. Z tohoto důvodu se nepodařilo nalézt ani jeden vhodný model pro fondy společností ING a IKS. Vlastnosti těchto časových řad se pomocí vybraných statistických modelů nepodařilo vůbec popsat. Neúspěch tak snižuje váhu závěrů celé analýzy fondů peněžního trhu, protože počet analyzovaných fondů se redukuje na tři.

102

7. V jednom případě se ukázalo, že by podmíněný rozptyl mohl mít vliv na podmíněnou střední hodnotu časové řady. U fondu Pioneer Sporokonto se podařilo odhadnout statisticky významné parametry modelu GARCH-M. Pouze u dvou alternativ modelu se však podařilo získat neautokorelovaná rezidua. Forma vlivu podmíněného rozptylu podle tohoto zjištění ovlivňovala autokorelační strukturu modelu. 8. Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (NSB a PSB a další) odhalily přítomnost pákového efektu u fondu ISČS Sporokonto, jejich závěr se však po odhadu parametrů nelineárních modelů volatility nepotvrdil. 9. Nelineární modely EGARCH a GRJ-GARCH nepopsaly ani v jednom případě rozdílné vlivy působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl časové řady. Klíčový parametr γ1, byl vždy odhadnut jako statisticky nevýznamný. 10. Modely založené na alternativních rozděleních (Studentovo t resp. GED) jsou vhodnější než modely vycházející z předpokladu normality nesystematické složky. Tento předpoklad nebyl navíc u žádného z modelů splněn. 11. V souvislosti s rozdělením nesystematické složky se objevil další, doposud nepozorovaný jev. Autokorelační struktura reziduí je závislá na jejich rozdělení. Zatímco rezidua modelů fondu Pioneer Sporokonto s t rozdělením nevykazovala autokorelaci, rezidua stejných modelů s normálním a GED rozdělením již ano. 12. Zatímco standardizovaná rezidua modelů jsou podle KS testu, analýzy Q-Q grafů a histogramů shodná s hypotetickým GED rozdělením s odhadnutým parametrem r, u Studentova t rozdělení toto neplatí. U časových řad ISČS Sporoinvest a Pioneer Sporokonto se ukázalo, že rozdělení reziduí modelu je ve skutečnosti špičatější než Studentovo t rozdělení s odhadnutými stupni volnosti v. 13. U modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se nepodařilo tento předpoklad splnit ani v jednom případě. Rozdělení standardizovaných reziduí je extrémně špičaté a u některých fondů i zešikmené vlivem odlehlých pozorování. Shodu s vybranými teoretickými rozděleními se nepodařilo nalézt.

103

6 Analýza akciových časových řad 6.1 Úvod Časové řady akcií se od ostatních v této části analyzovaných časových řad liší. Nesplňují hned první podmínku pro zařazení do analýzy, protože se nejedná o otevřené podílové fondy. Jde o zcela odlišné investiční nástroje než jsou podílové fondy. Do práce byly zahrnuty z jediného důvodu. Slouží ke srovnání s analyzovanými podílovými fondy a ke zjištění, jak se časové řady podílových fondů shodují nebo naopak odlišují od akciových časových řad. Vzhledem k tomu, že především akciové podílové fondy jsou založeny na investování do podnikových akcií, má toto srovnání smysl. Podobnost s jinými typy fondů (dluhopisové, peněžního trhu) je jednou z otázek, na kterou se tato práce snaží nalézt odpověď. Zahraniční autoři využívají modely volatility především k popisu akciových časových řad. Popis zahraničních a českých otevřených podílových fondů nebyl zatím dostatečně publikován. Případná podobnost mezi oběma investičními nástroji odhalená v této práci může rozšířit používání modelů volatility i na jiné finanční časové řady. Nesmíme totiž zapomínat na to, že ceny podílových listů jsou utvářeny jiným způsobem, než je vzájemná interakce nabídky a poptávky na burze a že tento způsob se výrazně liší podle typu fondu. Blíže o tomto pojednává kapitola 1. Do analýzy byly zahrnuty časové řady pěti společností (ČEZ, Komerční banka, Philip Morris, Český Telecom a Unipetrol). Data byla získána z RM systému. Stejně jako u otevřených podílových fondů se jedná o denní časové řady za období 1.1.2001 až 31.12.2005. Průběh časových řad by v tomto období mohl být podobný akciovým podílovým fondům, kde byl patrný podobný vývoj. Pokles nebo stagnace převládající od počátku sledování do druhé poloviny roku 2002 a následný růst hodnoty podílových listů, který přetrvává až do konce roku 2005. Některé akciové časové řady dodržují tento vývoj také. Jedná se o společnosti ČEZ a Unipetrol, které do druhé poloviny roku 2002 vykazují stagnaci a společnost Český Telecom, kde je do stejného období významný pokles ceny akcií. Akcie Philip Morris a Komerční banky vykazují nárůst ceny akcií v celém období. Grafy výnosů logaritmů zobrazují proměnlivost variability v čase, vyskytují se v nich alespoň jedna extrémně nízká hodnota. Ve všech časových řadách je dobře patrný výskyt shluků. Grafy jsou uvedeny v příloze 4.

6.2 Popisné charakteristiky Vzhledem k tomu, že data pocházejí z jednoho zdroje, je délka všech časových řad stejná. V tomto případě 1255 dní. Sledovací období je stejné jako u všech ostatních časových řad, aby byla možná porovnatelnost s fondy. Střední hodnoty – průměr a medián transformova104

ných časových řad se blíží nule a mají kladnou hodnotu, v tomto směru si jsou všechny řady podobné. Minimální hodnoty jsou ve všech případech v absolutní hodnotě vyšší než maxima. U společnosti ČEZ je záporná hodnota dokonce téměř třikrát vyšší než hodnota maxima. Maximální záporné výnosy akcií dosáhly ve sledovaném období vyšších hodnot než maximální výnosy kladné. Tento závěr je patrný i z grafů výnosů logaritmů, kde má každá řada alespoň jeden výrazný propad. Velký počet v propadů je patrný na časové řadě Philip Morris. Nejnižší variační rozpětí dosahuje Komerční Banka (0,19), nejvyšší pak Unipetrol (0,35). Směrodatná odchylka je jedním z ukazatelů rizika investice do akcií. Ve vybraných titulech se pohybuje okolo hodnoty 0,02. Směrodatná odchylka časových řad akciových podílových fondů pohybuje v okolí hodnoty 0,01 a u podílových fondů peněžního trhu 0,0002 – 0,0003. Pohled na směrodatnou odchylku potvrzuje předpoklad, že akcie jsou ze všech porovnávaných investic nejrizikovější a fondy peněžního trhu nesou riziko nejnižší. Tab. 6.1 Popisné charakteristiky časových řad výnosů logaritmů akciových otevřených podílových fondů Charakteristika

ČEZ

Počet Průměr Medián Maximum Minimum Rozpětí Směrodatná odchylka Šikmost Špičatost

1255 0,001593 0,002227 0,070796 -0,198337 0,269133 0,019903 -1,011774 12,056100

1255 0,001064 0,001020 0,089445 -0,107459 0,196904 0,019825 -0,183925 4,992664

1255 0,000900 0,000000 0,091304 -0,134556 0,225860 0,018756 -0,638428 9,541780

1255 0,000033 0,000000 0,100521 -0,161663 0,262184 0,023940 -0,300660 7,308421

1255 0,001052 0,001026 0,141117 -0,212868 0,353985 0,024336 -0,583821 12,661190

4502,713000 0,000000

214,710800 0,000000

2323,070000 0,000000

989,571300 0,000000

4952,123000 0,000000

0,069686 0,000010

0,043579 0,017015

0,083327 0,000000

0,082926 0,000001

0,109984 0,000000

Jarqueův-Berův test p-hodnota testu Kolmogorovův-Smirnovův p-hodnota testu

Komerční banka

Philip Morris

Český Telecom

Unipetrol

Špičatost časových řad se pohybuje v rozmezí 9 až 12 (jedinou výjimkou je Komerční banka se špičatostí 5). V porovnání s akciovými fondy jsou hodnoty vyšší, ukazatel se u vybraných fondů pohybuje v rozmezí 4,5 – 8,5.

6.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů Ve všech případech je šikmost záporná. Potvrzuje se tak vliv vysokých záporných výnosů. Nejvyšší šikmosti dosahuje ČEZ (-1), nejnižší pak Komerční banka (-0,18). 105

Metodou maximální věrohodnosti byly odhadnuty parametry teoretických rozdělení (příloha 9) a pomocí testů dobré shody je posuzována jejich shoda s rozdělením časových řad (příloha 8). Opět se prokázalo, že rozdělení ani jedné časové řady není normální. Zcela nevhodná jsou i logaritmicko-normální a Cauchyho rozdělení. Podle informačního kritéria AIC se jako nejvhodnější jeví u většiny časových řad Laplaceovo nebo Exponential Power rozdělení. Tedy symetrická a velmi špičatá rozdělení. Odhadnutý parametr EP rozdělení se ve většině případů blíží jedné, takže tato dvě rozdělení jsou téměř totožná. Tento závěr lze vypozorovat i z grafů hustotních funkcí, které jsou spolu s hustotními funkcemi jmenovaných rozdělení zobrazeny v příloze 10. Výjimkou je časová řada výnosů logaritmů akcií Komerční banky. Její špičatost je ze všech akcií nejnižší (4,99) a podle informačního kritéria je nejvhodnější zobecněné logistické rozdělení. Odhad parametru zešikmení tohoto rozdělení je však blízký 1, konkrétně je 0,92. Takže i toto rozdělení lze považovat za symetrické (charakteristika šikmosti časové řady nabývá hodnoty -0,18) a méně špičaté než by popisovalo Laplaceovo rozdělení. GL3 rozdělení není u žádné další časové řady výnosů akcií vhodnější než špičatá exponenciální rozdělení.

6.4 Modely akcií Postup pro nalezení vhodného modelu časových řad výnosů akcií, popis jejich vlastností a vlastností reziduí odhadnutých modelů je stejný jako v předchozích studiích. Detailně jsou jeho kroky rozepsány v kapitole 2.4. V příloze 17 jsou grafy autokorelačních (ACF) a parciálních autokorelačních funkcí (PACF) časových řad.

6.4.1 ČEZ Vhodný úrovňový model pro časovou řadu akcí společnosti ČEZ je model AR(2) s konstantou. Rezidua modelu sice nejsou autokorelovaná, ale vyskytuje se v nich heteroskedasticita. Nejlepším modelem typu ARCH je model ARCH(1) s konstantou v úrovňovém modelu. Model AR(2)-ARCH(1) má statisticky významné parametry φ0 a φ2, rezidua však vykazují autokorelaci. Model ARCH(1) neobsahuje autokorelovanou náhodnou složku, ale opět se zde vyskytuje heteroskedasticita. Podmínku homoskedasticity reziduí splňují až modely typu GARCH, pro tuto řadu konkrétně GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu. Nejvhodnějším modelem je ten, který je založen na Studentovu t rozdělení. Hodnoty informačních kritérií jsou u něj ze všech tří modelů alternativního rozdělení nesystematické složky nejnižší, i když rozdíl oproti modelu s GED rozdělením je až na místě setin (tab. 6.3). KS testy potvrdily shodu rozdělení standardizovaných reziduí s GED rozdělením. Stejné tvrzení však neplatí pro Studentovo t rozdělení. 106

Z histogramů obou rozdělení je patrné, že rozdělení reziduí modelu je špičatější než Studentovo rozdělení s odhadnutými stupni volnosti (grafy příloze 29). Modely typu GARCH-M jsou pro popis řady nevhodné. Parametr λ zachycující vliv podmíněného rozptylu na podmíněnou střední hodnotu není statisticky významný. Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního

typu vycházejí z reziduí modelu

GARCH(1,1) s GED rozdělením (odhady parametrů v tab. 6.2). Odhalují významný vliv záporných reziduí na podmíněný rozptyl, tedy tzv. pákový efekt (viz. tab. 29.4 přílohy 29). Odhadnuté parametry nelineárních modelů volatility (příloha 29) naznačují, že asymetrie v modelu není příliš velká. Parametr γ1 modelu EGARCH(1,1) není ani v jednom z modelů s alternativním rozdělením na hladině významnosti 0,05 staticky významný. Pokud tedy tento model naznačuje přítomnost pákového efektu (odhad parametru má záporné znaménko a je velmi nízký), je tento vliv pouze slabý. Stejně tak není statisticky významný parametr γ1 u modelů typu GRJ-GARCH(1,1). Parametr α1 významný je, takže vliv kladných šoků je podle tohoto modelu stejný jako vliv šoků záporných, což potvrzuje i grafické zobrazení funkce NIC (obr. 29.3 přílohy 29). Odhady parametrů asymetrických modelů volatility tedy nesouhlasí se závěry NSB a příbuzných testů. Navíc porovnání dle informačních kritérií nenaznačuje, že by nelineární modely byly vhodnější než modely lineární (především modely typu GRJGARCH). Test věrohodnostním poměrem toto potvrzuje (tabulky 6.3 a 6.4). Nejvhodnějším modelem pro popis chování časové řady zůstává GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky. Detailní pohled na standardizovaná rezidua modelu GARCH(1,1) založeného na normalitě nesystematické složky ukazuje, že díky jejich vysoké špičatosti (12,76) a záporné šikmosti (-1,08) podmínku normality nesplňují. To potvrzuje i KS test jehož p-hodnota je 0,0015. Záporná šikmost rozdělení reziduí se již vyskytla v předchozích studiích. Většinou tuto charakteristiku ovlivňovalo jedno odlehlé reziduum, které bylo způsobeno extrémním výkyvem v časové řadě. I zde se zdá, že by jím mohla být hodnota z 16.7.2001. Po jejím odstranění klesla hodnota šikmosti na -0,25 a špičatost na 4,39. JB test však nadále potvrzuje nenormalitu, takže výsledek testu nebyl touto odlehlou hodnotou ovlivněn, zatímco tvar rozdělení ano. Podle informačního kritéria AIC je pro popis rozdělení standardizovaných reziduí nejvhodnější zešikmené rozdělení GL3. Parametr zešikmení byl odhadnut na 0,79, takže se potvrzuje že rozdělení reziduí modelu je záporně zešikmené. Doposud žádný z odhadnutých modelů takovéto výrazné zešikmení nevykazoval. Příčina zešikmení byla již odhalena. Shoda byla prokázána i s EP a LL3 rozdělením. Nebyla prokázána shoda s t rozdělením s 13,2 stupni vol-

107

nosti (tab. 29.6 a obr. 29.7 přílohy), což je hodnota získaná maximalizací věrohodnostní funkce. Tab. 6.2 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 0,002259 0,000414 ω 2,31E-05 8,32E-06 α1 0,121260 0,028870 β1 0,824338 0,034181 v1 1,168328 0,041527 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

5,453806 2,773037 4,200177 24,11677 28,13385

0,0000 0,0056 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 6.3 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

GARCH(1,1) s normálním rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením EGARCH(1,1) s normálním rozdělením EGARCH(1,1) s t rozdělením EGARCH(1,1) s GED rozdělením

počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

AIC

SBC

4

3192,120

-5,080669

-5,064303

5

3268,955

-5,201521

-5,181063

5

3262,915

-5,191897

-5,171439

5

3195,971

-5,085212

-5,064755

6

3270,149

-5,201831

-5,177282

6

3264,064

-5,192134

-5,167585

5

3201,620

-5,094215

-5,073758

6

3272,097

-5,204936

-5,180386

6

3266,865

-5,196597

-5,172048

Tab. 6.4 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením

test věr. poměrem

df.

p-hodnota

2,298

1

0,1295

2,388

1

0,1223

108

6.4.2 Unipetrol Pouhý autoregresní model podmíněné střední hodnoty není pro popis časové řady vhodný. Rezidua modelu AR(1) nejsou vzájemně korelovaná, ale vykazují heteroskedasticitu. Stejnou vlastnost mají i rezidua modelů typu ARCH. S ohledem na významnost parametrů a tvar ACF a PACF je nejlepší model ARCH(1) s konstantou v úrovňovém modelu, která je ovšem statisticky nevýznamná. Až model AR(1)-GARCH(1,1) splňuje předpoklad homoskedasticity a neautokorelovanosti nesystematické složky (viz. obr. 30.1 a 30.2 přílohy 30). Odhad směrodatné chyby odhadu autoregresního parametru φ1 založené na quasi metodě maximální věrohodnosti je však příliš vysoký, takže t test založený na tomto odhadu dochází k závěru, že parametr je statisticky nevýznamný. U modelu však není splněna podmínka normality reziduí. Modely GARCH s GED a Studentovým t rozdělením překvapivě nesplňují podmínku neautokorelovanosti. Autoregresní parametr φ1 není v obou případech staticky významný. Autokorelovaná rezidua mají i modely, ve kterých byl autoregresní parametr nahrazen konstantou. Ta je sice statisticky významná, ovšem Ljungův-Boxův test odhaluje na hladině významnosti 0,01 autokorelaci až do třetího zpoždění. Ani zvýšení stupně procesu AR nepřineslo hledané zlepšení. Modely EGARCH(1,1) s konstantou a autoregresním parametrem φ1 mají tento parametr nevýznamný a opět vykazují autokorelaci nesystematické složky. Stejný závěr poskytují i modely GRJ-GARCH(1,1). Žádný z uvažovaných nelineárních modelů tedy není optimální a nedokáže řádně popsat autokorelační strukturu řady časové řady. Jediný model AR(1)-GARCH(1,1) (tab. 6.5) splňuje, až na předpoklad normality reziduí, podmínky kladené na nesystematickou složku modelu. Rozdělení reziduí je špičaté, charakteristika špičatosti standardizovaných reziduí je 10,7. Podle kritéria AIC se rozdělení reziduí nejvíce shodují s Laplaceovým a EP rozdělením (s parametrem špičatosti 0,99). Méně špičatá rozdělení nebyla tolik vhodná, přestože se shodu s takovými také podařilo prokázat. Šikmost rozdělení reziduí je poměrně nízká (-0,29), takže je lze považovat za symetrická (obr. 30.3 a tab. 30.2 přílohy 30). Situace s volbou modelu pro popis výnosů logaritmů časové řady akcií společnosti Unipetrol je v porovnání s ostatními výsledky této práce unikátní. Pouze u některých fondů peněžního trhu se nedařilo nalézt vhodné modely. U jiných časových řad, vždy existovala skupina modelů, která diagnostickou kontrolou prošla. Důvodem může být specifické chování řady, které je buďto nutné popsat jinými modely volatility nebo stávající modely založit na jiném podmíněném rozdělení nesystematické složky. 109

Tab. 6.5 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s normálním rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrot-test datné chyby odhadu 0,0005501 2,557123 φ0 0,001407 0,0005102 2,760278 0,0297581 1,657424 φ1 0,049322 0,0479822 1,027923 2,25E-061 7,675523 ω 1,73E-05 6,72E-062 2,571985 0,0141371 11,32744 α1 0,160139 0,0370362 4,323865 0,0127641 65,10949 β1 0,831053 0,0314802 26,39927 1) odhady metodou maximální věrohodnosti 2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti

110

p-hodnota

0,0106 0,0058 0,0974 0,3040 0,0000 0,0101 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

6.4.3 Komerční banka ACF a PACF časové řady výnosů logaritmů cen akcií společnosti Komerční banka vykazují významnou autokorelaci až od čtvrtého zpoždění (příloha 17). Úrovňový model AR(1) nevykazuje autokorelaci náhodné složky na hladině významnosti 0,01, model AR(4) pak ani na hladině významnosti 0,1. Rezidua ani jednoho modelu však nejsou homoskedastická. Náhodná složka modelu volatility AR(4)-ARCH(1) také není homoskedastická. Tento model má jako jeden z mála všechny parametry statisticky významné. Až modely volatility AR(4)-GARCH(1,1) nevykazují autokorelaci ani heteroskedasticitu ve všech třech alternativách hypotetického rozdělení nesystematické složky. Model založený na předpokladu normality tuto podmínku nesplňuje. Skupina lineárních modelů typu GARCH-M není pro analyzovanou řadu vhodná. Asymetrické modely volatility splňují podmínky neautokorelovanosti a homoskedasticity reziduí. Ljungův-Boxův test autokorelace druhých mocnin reziduí však odhalil statisticky významnou autokorelaci od 15. zpoždění, a to jak u modelů GRJ-GARCH, tak i EGARCH. Na působení pákového efektu v časové řadě poukazuje statisticky významný výsledek NSB testu a obecného testu podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu. Parametru α1 modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) popisuje vliv kladných šoků a hodnota jeho odhadu není statisticky významná. Odhad parametru γ1 nabývá hodnoty 0,17. To potvrzuje, že v časové řadě je významný vliv záporných šoků na podmíněný rozptyl, zatímco vliv šoků kladných statisticky významný není. Podle modelu GRJ-GARCH tak časová řada vykazuje působení pákového efektu na podmíněný rozptyl (viz. NIC funkce na obr. 6.1). Parametr γ1 modelu EGARCH(1,1) je statisticky významný a má zápornou hodnotu -0,11. Parametr α1 byl odhadnut na 0,21 a je taktéž významný (tab. 31.2 v příloze 31). Také podle tohoto modelu je přítomen pákový efekt a záporná rezidua mají větší vliv na volatilitu časové řady než rezidua kladná. Závěry obou modelů jsou v souladu s výsledky předchozích testů asymetrie. Podle informačních kritérií a testu věrohodnostním poměrem je pro analyzovaná data nejvhodnější model AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) se Studentovým t rozdělením nesystematické složky (odhadnuté parametry jsou v tabulce 6.8). Rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) bylo podrobeno detailnímu zkoumání (obr. 31.4 – 31.6 a tab. 31.5). KS test potvrzuje shodu rozdělení reziduí odpovídajícího modelu s normálním a GED rozdělením. Shoda se Studentovým t rozdělením se potvrdila pouze na nižší hladině významnosti (p-hodnota testu je 0,0145). Výsledky KS testu pro normální rozdělení jsou v rozporu s JB testem normality, který tuto skutečnost vyvrací. 111

Rozdělení standardizovaných reziduí modelu založeného na předpokladu normality dosahuje, obdobně jako v dalších doposud zkoumaných modelech, vysoké špičatosti (5,07) a nízké hodnoty zešikmení (-0,2). Detailní srovnání s alternativními rozděleními napoví více o tvaru rozdělení těchto reziduí. Nejvhodnějším rozdělením je podle informačních kritérií GL3 rozdělení. Neznamená to však, že by rozdělení reziduí bylo zešikmené, protože odhadnutý parametr zešikmení je 1. Jedná se tedy o rozdělení symetrické s nižší špičatostí než popisuje Laplaceovo rozdělení, ale stále vyšší než má rozdělení Studentovo s 15,9 stupni volnosti (odhadnuto metodou maximální věrohodnosti). Zmíněné Laplaceovo rozdělení se podle testů neshoduje s rozdělením reziduí, důvodem je jeho vysoká špičatost. Detaily jsou uvedeny v příloze 31. Tab. 6.6 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

AR(4)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(4)-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(4)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením AR(4)-EGARCH(1,1) s t rozdělením AR(4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením

počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

AIC

SBC

5

3172,507

-5,063960

-5,043450

6

3206,136

-5,116124

-5,091512

6

3200,650

-5,107354

-5,082742

6

3184,492

-5,081522

-5,056910

7

3214,482

-5,127869

-5,099155

7

3208,938

-5,119006

-5,090291

6

3185,075

-5,082454

-5,057841

7

3214,231

-5,127468

-5,098753

7

3208,997

-5,119100

-5,090386

Tab. 6.7 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely AR(4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením AR(4)-GARCH(1,1) s t rozdělením vs. AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením

test věr. poměrem df. p-hodnota

16,576 1

0,0000

16,692 1

0,0000

112

Tab. 6.8 Odhadnuté parametry modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s t rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 0,000965 0,000537 φ4 0,088475 0,027556 ω 4,11E-05 1,28E-05 α1 0,030121 0,029044 γ1 0,168470 0,051929 β1 0,782769 0,050618 v1 6,910096 1,171873 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

1,796839 3,210777 3,207972 1,037115 3,244205 15,46437 5,896625

0,0724 0,0013 0,0013 0,2997 0,0012 0,0000 0,0000

Obr. 6.1 Funkce NIC modelu AR(4)-GARCH(1,1) a modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky 0,0015 0,0013 0,0011 0,0009 0,0007 0,0005

NIC GARCH

0,0003

NIC GRJ 0,0001 -0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

εt

113

0,04

0,06

0,08

0,1

6.4.4 Český Telecom Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce nevykazují významnou autokorelaci (viz. příloha 17). Jednoduché úrovňové modely mají nevýznamné parametry, a to jak konstantu, tak i parametry autoregresní. Rezidua modelů jsou heteroskedastická. Ani model ARCH(1) s konstantou v úrovňovém modelu (ta je ovšem statisticky nevýznamná) není pro popis časové řady vhodný. Heteroskedasticita reziduí ve vyšších zpožděních je stále přítomna. Až model GARCH(1,1) heteroskedasticitu reziduí odstraňuje. Konstanta v úrovňovém modelu není ani v jednom případě statisticky významná. Jako nejvhodnější se opět jeví model založený na t rozdělení náhodné složky. Spolu s GED rozdělením je vhodnější než model s rozdělením normálním, jehož rezidua podle JB testu toto rozdělení nemají (phodnota = 0,0000). KS test potvrdil GED rozdělení standardizovaných reziduí (p-hodnota 0,0998). P-hodnota tohoto testu pro standardizovaná rezidua s t rozdělením je nulová a shoda s hypotetickým t rozdělením prokázána nebyla (obr. 32.4 - 32.6 a tab. 32.4 přílohy 32). Příčinou je opět vysoká špičatost rozdělení reziduí. Modely typu GARCH-M nejsou vhodné. Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu odhalují vliv jak kladných, tak i záporných šoků a jejich výše (viz. příloha 32). Všechny nelineární modely volatility mají neautokorelovaná a homoskedastická rezidua. Modely typu GRJ-GARCH nejsou podle informačních kritérií vhodnější než lineární modely GARCH. Hodnoty kritéria SBC jsou dokonce u nelineárního modelu vyšší než u modelu lineárního. Modely EGARCH vhodnější jsou, ze všech sledovaných variant mají nejnižší hodnoty informačních kritérií. Nejvhodnější jsou pak ty s GED a t rozdělením (tab. 6.9 a 6.10). Hodnota parametru γ1 modelu EGARCH je však statisticky nevýznamná (tab. 32.3 přílohy 32). Tento model je sice vhodnější než modely lineární, ale žádnou asymetrii nenaznačuje. Závěry plynoucí z odhadu parametrů modelu jsou v souladu s výsledky NSB a PSB testů. Ty totiž odhalily významný vliv jak kladných, tak i záporných šoků na hodnotu podmíněného rozptylu časové řady (tab. 32.3 přílohy 32). Nelineární modely volatility neprokázaly přítomnost podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu. Podle grafu NIC funkce (příloha 32) modelu GRJ-GARCH (odhad parametrů modelu je v tab. 32.2) je sice patrný vliv záporných šoků, ale podle testu věrohodnostním poměrem není tento model vhodnější než lineární model GARCH. Parametr γ1 modelu EGARCH statisticky významný není. U této časové řady není nutné popisovat chování složitějšími nelineárními modely. Postačuje model GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky. Rezidua modelu GARCH(1,1) vycházejícího z normality nesystematické složky normální nejsou. Jsou symetrická, neboť vypočtená hodnota parametru špičatosti je velice blízká nule 114

(0,05) a odhadnutý parametr zešikmení GL3 rozdělení je blízký jedné (0,99). Navíc je toto rozdělení méně vhodné, než alternativní symetrická rozdělení. Špičatost rozdělení reziduí je tradičně vysoká (8,8). Odhadnutý parametr špičatosti EP rozdělení (podle AIC nejvhodnější pro popis rozdělení reziduí – viz. tab. 32.5) je 0,83, takže rozdělení se špičatostí blíží Laplaceovu rozdělení. Tab. 6.9 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

GARCH(1,1) s normálním rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením EGARCH(1,1) s normálním rozdělením EGARCH(1,1) s t rozdělením EGARCH(1,1) s GED rozdělením

AIC

SBC

4

3089,798

-4,917606

-4,901240

5

3194,359

-5,082644

-5,062187

5

3183,238

-5,064921

-5,044463

5

3090,026

-4,916376

-4,895918

6

3197,239

-5,085640

-5,061091

6

3184,735

-5,065713

-5,041164

5

3109,411

-4,947268

-4,926810

6

3205,400

-5,098645

-5,074096

6

3191,720

-5,076845

-5,052295

Tab. 6.10 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením

test věr. poměrem

df.

p-hodnota

2,994

1

0,0836

Tab. 6.11 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 2,08E-06 0,000270 ω 6,96E-07 3,04E-07 α1 0,180621 0,025827 β1 0,851116 0,015961 v1 1,085703 0,042801 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

0,007729 2,292056 6,993503 53,32541 25,36618

0,9938 0,0219 0,0000 0,0000 0,0000

115

6.4.5 Philip Morris Pro časovou řadu Philip Morris byl po analýze ACF a PACF (příloha 17) navržen úrovňový model AR(2) s konstantou, kde jsou oba parametry statisticky významné. Rezidua modelu nevykazují autokorelaci, ale heteroskedasticitu již ano. Stejně jako v ostatních případech není úrovňový model dostatečný k úplnému popisu chování výnosů v čase. Model volatility ve tvaru AR(2)–ARCH(1) má statisticky významné parametry včetně obou konstant, nevykazuje autokorelaci ani heteroskedasticitu nesystematické složky. Jedná se o jediný model akciových časových řad, kde již model ARCH dokázal podmíněnou heteroskedasticitu reziduí odstranit. Rozdělení nesystematické složky modelu však není normální. Stejné vlastnosti reziduí má i jednodušší model ARCH s konstantou v úrovňovém modelu. Podle informačních kritérií je navíc tento model vhodnější než model AR(4)-ARCH(1). Toto platí pro modely založené na GED a t rozdělení nesystematické složky. Je model GARCH v tomto případě nutný? Podle testu věrohodnostním poměrem jsou všechny tři modely GARCH vhodnější než modely ARCH s odpovídajícím rozdělením nesystematické složky. Modely GARCH také vykazují neautokorelovaná a homoskedastická rezidua (obr. 33.1 a 33.2 přílohy 33). Modely alternativních rozdělení jsou vhodnější než model s normálním rozdělením nesystematické složky (tab. 6.12). Jako v předchozích případech je model se Studentovým t rozdělením nepatrně vhodnější než model s GED rozdělením. Podle KS testu jsou však pouze rezidua modelu s GED rozdělením s tímto rozdělením shodná (p-hodnota = 0,0846). Rezidua zbylých dvou modelů toto rozdělení nemají. Studentovo t rozdělení je méně špičaté než standardizovaná rezidua odpovídajícího modelu, jak je vidět z histogramu (obr. 33.6 přílohy 33). Působení přímého vlivu podmíněného rozptylu na podmíněnou střední hodnotu se prokázat nepodařilo, model GARCH-M(1,1) nemá statisticky významné odpovídající parametry. Podle testů se v modelu vyskytuje podmíněná heteroskedasticita nelineárního typu. Test NSB poukazuje na významný vliv záporných šoků, tedy na přítomnost pákového efektu. Hodnota parametru γ1 modelu EGARCH(1,1) je u všech modelů alternativního rozdělení statisticky nevýznamná (tab. 33.3 přílohy). Stejně tak je odhadnutý parametr γ1 modelu GRJ-GARCH(1,1) statisticky nevýznamný a parametr α1 velice nízký. Pro model založený na GED rozdělení je hodnota α1 = 0,066 statisticky významná (tab. 33.2 přílohy). Vlivy kladných a záporných šoků jsou tedy v časové řadě stejné, což potvrzují oba nelineární modely volatility. Závěry plynoucí z obou modelů nejsou v souladu s výsledky NSB a PSB testů. Nejvhodnějším modelem pro analyzovanou časovou řadu je tedy lineární model GARCH(1,1) s GED rozdělením (tab. 6.13). 116

Rozdělení reziduí modelu GARCH založeného na normalitě náhodné složky je špičatější (10,9) než normální rozdělení. To je důvodem, proč se shoduje s rozdělením Laplaceovým. Zároveň jsou i záporně zešikmená (-0,94). V souboru převládá více záporných reziduí s velice nízkou hodnotou. Šikmost rozdělení však není příliš významná, rozdíly v AIC zešikmeného GL3 rozdělení a symetrických Laplaceova a EP rozdělení jsou vysoké a navíc je parametr zešikmení GL3 rozdělení blízký jedné (0,98). Rozdělení standardizovaných reziduí tedy nelze považovat za zešikmené, ale za špičaté ano. Závěry o reziduích plynou z tab. 33.6 v příloze 33. Tab. 6.12 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií model

počet logparamet- věrohodnostní rů funkce

ARCH(1) s normálním rozdělením ARCH(1) s t rozdělením ARCH(1) s GED rozdělením GARCH(1,1) s normálním rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením EGARCH(1,1) s normálním rozdělením EGARCH(1,1) s t rozdělením EGARCH(1,1) s GED rozdělením

AIC

SBC

3

3229,456

-5,141762

-5,129487

4

3348,415

-5,329745

-5,313379

4

3349,347

-5,331231

-5,314864

4

3250,525

-5,173745

-5,157379

5

3372,852

-5,367095

-5,346638

5

3367,955

-5,359291

-5,338833

5

3251,525

-5,173744

-5,153287

6

3373,005

-5,365745

-5,341196

6

3368,297

-5,358243

-5,333694

5

3258,382

-5,184672

-5,164214

6

3376,378

-5,371120

-5,346571

6

3371,793

-5,363814

-5,339265

Tab. 6.13 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu φ0 -6,30E-08 0,000347 ω 2,06E-05 7,96E-06 α1 0,083539 0,025110 β1 0,858606 0,037663 v1 0,989078 0,039318 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

t-test

p-hodnota

-0,000182 2,586223 3,326934 22,79695 25,15616

0,9999 0,0097 0,0009 0,0000 0,0000

117

Tab. 6.14 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem Srovnávané modely ARCH(1) s GED rozdělením vs. GARCH(1,1) s GED rozdělením ARCH(1,1) s t rozdělením vs. GARCH(1,1) s t rozdělením GARCH(1,1) s GED rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením GARCH(1,1) s t rozdělením vs. GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením

test věr. poměrem

df.

p-hodnota

37,216

1

0,0000

48,874

1

0,0000

0,684

1

0,4082

0,306

1

0,5801

118

6.5 Závěrečné shrnutí vlastností akciových časových řad Co mají akciové časové řady společného a co je od sebe naopak odlišuje? Závěry jsou sestaveny podle stejného klíče jako u podílových fondů. 1. Analyzované časové řady výnosů logaritmů cen akcií nemají normální rozdělení. Jejich nepodmíněné rozdělení je symetrické a špičatější než rozdělení normální. Špičatost ve většině případů postihuje nejlépe Laplaceovo rozdělení, se kterým se podařilo prokázat statisticky významnou shodu. 2. Akcie jsou ze všech porovnávaných skupin investičních nástrojů nejrizikovější. Směrodatná odchylka výnosů se pohybuje v okolí hodnoty 0,02. V tomto ohledu jsou akcie nejvíce příbuzné akciovým podílovým fondům, u kterých se hodnota ukazatele pohybuje kolem hodnoty 0,01. 3. Žádnou z časových řad nebylo možné popsat jen pomocí modelu podmíněné střední hodnoty typu AR, protože vykazují přítomnost heteroskedasticity nesystematické složky. 4. Jen v jednom případě stačil k popisu volatility časové řady model typu ARCH. Jde o časovou řadu akcií Philip Morris. V ostatních případech tato skupina modelů nedokázala dostatečně zachytit volatilitu časové řady a obsahovala heteroskedasticitu nesystematické složky stejně jako modely podmíněné střední hodnoty. 5. Modely GARCH(1,1) se ukázaly být schopné odstranit heteroskedasticitu nesystematické složky ve všech případech. A u čtyř z pěti řad jsou nejvhodnějším modelem pro popis chování časové řady. 6. U žádné časové řady se nepodařilo prokázat, že by podmíněná střední hodnota přímo ovlivňovala podmíněný rozptyl, jak to popisují modely GARCH-M. 7. Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (NSB a PSB a další) odhalily ve všech případech rozdílné vlivy působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl časové řady a přítomnost pákového efektu. Prokázaly vyšší vliv záporných šoků a jejich výše na podmíněný rozptyl časové řady. Pouze u řady akcií společnosti Český Telecom je podle testů významný vliv jak záporných, tak i kladných šoků. 8. Až na řadu společnosti Komerční banka se však předpoklad o přítomnosti pákového efektu ani jiného typu asymetrie volatility nepotvrdil. Analýza odhadnutých parametrů 119

nelineárních modelů volatility nevedla k závěrům o její přítomnosti. Odpovídající odhady parametrů byly buď statisticky nevýznamné (modely EGARCH) nebo nebyl nelineární model podle testu věrohodnostním poměrem vhodnější než model lineární (model GRJ-GARCH). Pouze výnosy akcií Komerční banky vykazují pákový efekt, což potvrdily odhady parametrů jak modelu EGARCH, tak i GRJ-GARCH. Závěr je v porovnání se zahraničními akciemi zvláštní, protože právě kvůli snaze popsat pákový efekt u akcií byly nelineární modely navrženy. Nesoulad mezi tvrzením odvozeným z modelů volatility a testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu může být dán i tím, že asymetrie volatility akciových časových řad může mít jiný charakter než jaký popisují použité modely. 9. Modely založené na alternativních rozděleních (Studentovo t a GED) jsou vhodnější než modely vycházející z předpokladu normality nesystematické složky. Předpoklad normality nebyl navíc u žádného z odhadnutých modelů splněn. Podle informačních kritérií jsou modely s t rozdělením nepatrně vhodnější než modely s GED rozdělením nesystematické složky. 10. Odhady parametrů alternativních rozdělení (Studentovo t a GED) potvrzují předpoklad, že časové řady výnosů rt mají rozdělení špičatější a s tlustšími konci než je rozdělení normální. Odhady parametrů r GED rozdělení se pohybují kolem hodnoty 1, což je nižší hodnota než u akciových podílových fondů (zde se hodnota pohybuje kolem 1,5). Hodnota odhadu reflektuje vyšší špičatost výnosů akciových časových řad a jejich statisticky významnou shodu s Laplaceovým rozdělením. 11. Zatímco standardizovaná rezidua modelů jsou podle KS testu a z analýzy Q-Q grafu a histogramu shodná s hypotetickým GED rozdělením, u Studentova t rozdělení toto vždy neplatí. U časových řad ČEZ, Český Telecom a Philip Morris se ukázalo, že rezidua modelu jsou ve skutečnosti špičatější než Studentovo t rozdělení s odhadnutými stupni volnosti. 12. U modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se nepodařilo tento předpoklad splnit ani v jednom případě. Rozdělení standardizovaných reziduí je špičaté a u některých fondů i záporně zešikmené vlivem odlehlých pozorování. Porovnání s teoretickými rozděleními neodhalilo jednoznačnou shodu s některým typem rozdělení. U některých časových řad jsou rezidua natolik špičatá, že se shodují s Laplaceovým rozdělením (Unipetrol, Philip Morris, Český Telecom). Takovéto zjištění je potvrzením vhodnosti použití modelů s GED rozdělením nesystematické slož120

ky. U akcií ČEZ a Komerční banky je špičatost nižší, takže shoda s Laplaceovým rozdělením prokázána nebyla. Standardizovaná rezidua modelu ČEZ jsou navíc záporně zešikmena. Nejvhodnějším teoretickým rozdělením je zde zobecněné logistické rozdělení. To je signál k hledání jiného rozdělení náhodné složky pro výstavbu modelů volatility.

121

7 Závěrečné srovnání investičních nástrojů Po detailním prostudování 19 finančních časových řad otevřených podílových fondů a akcií, je nyní možné shrnout dílčích závěry. Hlavním cílem bylo najít společné a rozdílné prvky ve vlastnostech jednotlivých skupin investičních nástrojů. Během práce se objevila další zajímavá zjištění týkající se modelů časových řad, jejich nepodmíněného a podmíněného rozdělení nebo aplikovaných statistických metod. Ta jsou v následujícím textu také zahrnuta.

7.1 Nepodmíněné rozdělení výnosů 1. Charakteristiky míry výnosnosti (aritmetický průměr a medián) jsou nulové u všech analyzovaných časových řad. 2. Směrodatná odchylka je jedním z ukazatelů rizikovosti investice. Otevřené podílové fondy peněžního trhu vykazují její hodnotu v rozmezí 0,0002 – 0,0003, u dluhopisových podílových fondů se pohybuje mezi 0,001 a 0,002 a u akciových fondů pak kolem 0,01. U českých akcií, jejichž rizikovost je v porovnání s fondy vyšší, nabývá směrodatná odchylka hodnoty kolem 0,02. Akciové podílové fondy se svou rizikovostí blíží více akciím, než ostatním podílovým fondům. Což je logické zjištění s ohledem na skladbu jejich portfolia, kde právě akcie musejí tvořit nejméně 2/3 z celkové hodnoty aktiv. 3. Ani v jednom případě se nepotvrdil předpoklad, že by nepodmíněné rozdělení výnosů bylo normální. Na vině je především vysoká špičatost a tloušťka konců empirického rozdělení. Hodnoty špičatosti se mění podle typu investičního nástroje. Velice blízké si jsou akciové a dluhopisové podílové fondy, které mají charakteristiky špičatosti ze všech porovnávaných skupin nejnižší. Mírně vyšší je špičatost akcií a extrémně vysoké jsou v porovnání s ostatními charakteristiky špičatosti fondů peněžního trhu. 4. Ve většině případů jsou charakteristiky šikmosti blízké nule, takže empirická rozdělení jsou symetrická. Vypočtené hodnoty jsou v rámci jedné skupiny kladné i záporné, pouze u akcií byly všechny záporné, ovšem velice blízké nule. Vysoké hodnoty zešikmení se výjimečně objevily u dvou fondů peněžního trhu a jednoho dluhopisového a všechny byly kladné. Tato rozdělené nejsou symetrická, převládají v nich nižší hodnoty výnosů a obsahují malý počet extrémně vysokých výnosů. Významně záporně zešikmené výnosy se nalézt nepodařilo. 5. K popisu vlastností tvaru rozdělení byly použity odhady parametrů teoretických rozdělení a testy shody. Rozdělení podílových fondů akciových, dluhopisových a akcií se 122

nejvíce shodovalo s Laplaceovým a Exponential Power rozdělením. Důvodem shody je vyšší než normální špičatost. U řad s vyšší špičatostí vyhovovalo více Laplaceovo, u řad s nižší špičatostí pak Exponential Power rozdělení s parametrem špičatosti menším než 1. U akcií a akciových fondů byla ve všech případech navíc zjištěna významná shoda se zobecněným logistickým a logaritmicko-logistickým rozdělením. Vzhledem k tomu, že se o těchto rozděleních v souvislosti s finančními časovými řadami příliš nehovoří, jde jistě o zajímavé zjištění. Odhadnuté parametry těchto rozdělení však neodhalily významné zešikmení časových řad. Tato zjištění mají význam např. pro analýzu VaR nebo jako podklad při volbě rozdělení nesystematické složky modelů volatility. Jako mylný se ukázal předpoklad o podobnosti s Cauchyho nebo logaritmickonormálním rozdělením. U podílových fondů peněžního trhu se nepotvrdila shoda s vyjmenovanými hypotetickými rozděleními ani v jednom případě. To významně ovlivňuje mj. výstavbu modelů volatility této skupiny investičních nástrojů. Pro jejich popis bude nutno použít jiné, velice špičaté rozdělení.

7.2 Modely časových řad 1. Jen v jednom jediném případě stačil k popisu výnosů autoregresní model AR, protože tento splnil podmínku neautokorelovanosti a homoskedasticity reziduí. Šlo o fond peněžního trhu KBC Multicash. Všechny ostatní modely vykazovaly přítomnost heteroskedasticity reziduí a tedy vhodnost aplikace modelů volatility. 2. Odhadnuté modely typu ARCH vykazovaly heteroskedasticitu reziduí u valné většiny fondů. Výjimkou je dluhopisový fond ING a akcie Philip Morris, ale i u nich byl podle informačních kritérií vhodnější model GARCH. Ve všech ostatních případech muselo dojít k následnému odhadu modelů typu GARCH, které heteroskedasticitu reziduí odstranily. Stačily jednoduché modely GARCH(1,1). 3. Přímé působení podmíněného rozptylu na podmíněnou střední hodnotu ve formě, jak jej popisují modely GARCH-M, se objevuje zřídka kdy. Vůbec nebylo pozorováno u akcií a dluhopisových fondů. Významné parametry modelu byly odhadnuty u dvou fondů akciových a jednoho peněžního. Každý model měl navíc jinou formu vlivu podmíněného rozptylu, takže pro zobecnění závěrů ohledně výskytu této vlastnosti ve finančních časových řadách není dostatek důkazů. 4. Nelineární modely volatility nalezly uplatnění především u akciových fondů. Zde se podařilo potvrdit výskyt pákového efektu, tedy významný vliv záporných reziduí na podmíněný rozptyl a v jednom případě vliv opačný. U ostatních fondů a akcií byl vý123

skyt podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu sporadický. Vždy se však našel jeden fond, který jej alespoň v malé míře obsahoval, ať již šlo o pákový efekt nebo významný vliv kladných reziduí. Ve většině časových řad byla asymetrie volatility relativně malá. Pro investory do podílových listů akciových fondů je to signál, že významné poklesy ceny vedou ke zvýšení rizika ve větší míře než v případě cenového nárůstu. U fondů s významným vlivem kladných šoků je tento proces opačný. Výskyt takových efektů lze však očekávat i u jiných fondů. 5. Závěry testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu, tedy SB, NSB, PSB a obecného testu, byly především u akcií mylné. Jimi odhalenou asymetrii se pomocí nelineárních modelů buď nepodařilo prokázat nebo naopak modely popsaly asymetrii testy předem neodhalenou. Takové zjištění nemusí znamenat, že testy na analyzované časové řady „nefungují“, ale spíše, že popisují jiný typ asymetrie než modely EGARCH a GRJ-GARCH. Cílem analýzy nebylo věnovat se schopnostem testů heteroskedasticity nelineárního typu. Tato zjištění se objevila až během samotné práce. Nelze tedy doporučit spoléhat se pouze na závěry těchto testů. K testování lze navíc využít porovnání modelu GARCH a GRJ-GARCH prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem. 6. Lineární a nelineární modely volatility umožňují redukci modelu podmíněné střední hodnoty na pouhou konstantu. Takovýto závěr platí pro akcie a akciové fondy. V krajním případě je pro splnění podmínky neautokorelovanosti reziduí nutno do úrovňového modelu zahrnout i další parametr. Doplněním úrovňového modelu o model volatility, lze tento velice zjednodušit. U dluhopisových a peněžních fondů však již takové zjednodušení není možné, rezidua pak byla vzájemně korelována. Vedle konstanty bylo v úrovňovém modelu nutno použít minimálně jeden nebo dva autoregresní parametry (dluhopisové fondy), někdy i tři či čtyři (peněžní fondy). Ani v takovém případě se někdy vhodné modely podmíněné střední hodnoty nalézt nepodařilo, což platí právě pro peněžní podílové fondy. 7. K odstranění heteroskedasticity postačují lineární a nelineární modely volatility s parametry v prvním zpoždění, tedy typu (1,1). 8. Modely založené na předpokladu Studentova t rozdělení a GED rozdělení nesystematické složky jsou vhodnější než modely s normálním rozdělením. Vyplynulo to ze srovnání modelů pomocí testu věrohodnostním poměrem. Odráží se tak vyšší špičatost nepodmíněného rozdělení výnosů analyzovaných časových řad, se kterou si tato roz124

dělení umějí poradit lépe než klasické normální rozdělení. Pokud byly oba modely vhodné a splňovaly nároky na rezidua, byly podle informačních kritérií modely s t rozdělením většinou vhodnější, rozdíly mezi modely však byly velice malé. 9. Testy o statistické významnosti parametrů modelů volatility založené na směrodatných chybách získaných pomocí quasi metody maximální věrohodnosti zamítají nulovou hypotézu stejně nebo více jak testy založené na směrodatných chybách odhadů v modelech se Studentovým t nebo GED rozdělením nesystematické složky. Pokud se prokáže nesplnění podmínky normality reziduí, nejsou podle tohoto zjištění odhady quasi metodou dostatečné pro popis chování analyzovaných časových řad. V některých případech testy založené na quasi odhadech kovarianční matice zamítly přítomnost asymetrie podmíněné volatility tam, kde ji modely s alternativním rozdělením odhalily. I z tohoto pohledu má modelování s pomocí jiného než normálního rozdělení nesystematické složky význam, protože vede k získání přesnějších informací o chování časových řad. Tvorba takových modelů není samoúčelná a statistický software, který takové odhady modelů provádí, lze k analýze podílových fondů skutečně doporučit.

7.3 Vlastnosti reziduí modelů volatility 1. Až na jedinou výjimku se neprokázalo, že by rezidua modelu založeného na normalitě nesystematické složky byla skutečně normální. Rezidua jsou ve skutečnosti špičatější než normální rozdělení a v některých případech i zešikmená vlivem malého počtu extrémně vysokých nebo nízkých reziduí (někdy i jen jednoho jediného). Výjimkou je akciový fond ISČS Eurotrend, jehož standardizovaná rezidua podmínku normality splnila a aplikace složitějších modelů s nenormálním rozdělením nesystematické složky nebyla nutná. 2. Hodnoty odhadů parametru r GED rozdělení a stupňů volnosti v Studentova t rozdělení potvrzují vyšší špičatost a tlustší konce nesystematické složky modelů volatility. 3. U všech modelů s GED rozdělením se podařilo prokázat, že standardizovaná rezidua mají GED rozdělení s odhadnutým parametrem r. Potvrdil to KolmogorovůvSmirnovův test i grafy histogramů a Q-Q grafy. 4. Závěry o reziduích modelů se Studentovým t rozdělením již nejsou tak jasné. U některých modelů s ukázalo, že standardizovaná rezidua nemají t rozdělení s odhadnutými stupni volnosti v. Analýzou histogramů se následně ukázalo, že rozdělení reziduí je špičatější než rozdělení hypotetické. U dluhopisových podílových fondů se tento jev 125

projevil ve všech případech. Z tohoto důvodu se jeví jako vhodnější upřednostňovat při odhadování parametrů lineárních a nelineárních modelů volatility GED před t rozdělením. Jak již bylo uvedeno výše, jsou podle informačních kritérií rozdíly mezi modely obou rozdělení minimální. 5. Doporučení o výstavbě modelů s GED rozdělením nesystematické složky nevede jen ve zvýšení kvality odhadovaných parametrů a směrodatných chyb odhadů. Je též stěžejním bodem konstrukce předpovědních intervalů, založených na odhadnutých modelech. 6. Při detailní analýze standardizovaných reziduí modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se potvrdilo, že jejich špičatost je vysoká. Při hledání vhodného rozdělení, které by se s nimi shodovalo, se ukázaly významné rozdíly mezi jednotlivými investičními nástroji. U akcií a dluhopisových fondů byla významná shoda s Laplaceovým nebo Exponential Power rozdělením. To je důkaz vhodnosti aplikace modelů s GED rozdělením, které je obecnou formou zmiňovaných rozdělení. Rezidua akciových podílových fondů mají špičatost nejnižší a pro jejich popis se nejlépe hodí logaritmicko-logistické nebo zobecněné logistické rozdělení. Zlepšení odhadů parametrů a jejich směrodatných chyb by v takových případech mohly přinést modely volatility s asymetrickými rozděleními nesystematické složky. Extrémně špičatá jsou rezidua fondů peněžního trhu, takže významnou shodu s vybranými rozděleními se nepodařilo nalézt vůbec.

126

Závěr Cílem práce je empirická analýza chování časových řad českých otevřených podílových fondů a akcií. Práce se zaměřila na zkoumání vlastností nepodmíněného rozdělení výnosů českých otevřených podílových fondů a akcií, jejich modelování prostřednictvím modelů podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu. Sledovány byly i vlastnosti rozdělení reziduí odhadnutých modelů za účelem nalezení nejvhodnějšího modelu časové řady. V první kapitole je vedle popisu analyzovaných investičních nástrojů navrženo i několik oblastí využití závěrů modelování časových řad v ekonomické praxi a to jak na straně manažerů fondů, tak i na straně investorů. Ve druhé kapitole je zpracován přehled rozdělení, která jsou v souvislosti s finančními časovými řadami nejvíce zmiňována. Navíc se v empirické části práce podařilo nalézt i další dvě vhodná rozdělení, která se v souvislosti s nepodmíněným rozdělením finančních časových řad v literatuře neobjevují. Výčet rozdělení jistě není konečný, protože téma popisu nepodmíněného rozdělení finančních časových řad je stále aktuální a snaha po nalezení ideálního teoretického rozdělení přetrvává. Vzhledem k tomu, že ne všechna popsaná rozdělení jsou implementována do statistických programů, je nutno na jejich širší praktické využití ještě počkat. Jde především o nesymetrická rozdělení jako je například zešikmené Generalized Error Distribution (GED) rozdělení, které by uplatnění jistě nalezlo. Už i vzhledem k tomu, že ze závěrů této práce jasně vyplývá doporučení, používat modely se symetrickým GED rozdělením nesystematické složky. To sice dobře popisuje špičatost a tlusté konce, ale se šikmostí rozdělení reziduí modelů některých časových řad si poradit nedokáže. V teoretické části disertační práce se podařilo vytvořit rozsáhlý přehled lineárních a nelineárních modelů volatility. Celkem jich bylo v odborné literatuře nalezeno 33. Popis některých z nich je poměrně strohý, ale u každého je čtenáři k dispozici minimálně jeden odkaz na publikaci, která o modelech poskytuje detailnější informace a to včetně jejich aplikací v oblasti finančních časových řad. Empirické části práce jsou věnovány kapitoly 3. až 7. Je v nich popsána většinu významných a historicky nejstarších českých otevřených podílových fondů. Ukázalo se, že modely volatility lze s úspěchem aplikovat i na otevřené podílové fondy a s jejich pomocí popsat jejich chování. Překážkou nebyla ani rozdílná forma tvorby cen srovnávaných investičních nástrojů, ani odlišná struktura portfolií jednotlivých podílových fondů. Za neúspěšné považuji modelování výnosů peněžních podílových fondů. Kvůli neschopnosti nalézt vhodné nepodmíněné rozdělení výnosů a následně pak i modely pro některé fondy z této skupiny, nebylo možno dosáhnout obecnějších závěrů o jejich vlastnostech. Důležitým zjištěním však zůstává, že modelo127

vání peněžních podílových fondů není jednoduché a že použité modely podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu nejsou schopny chování takových časových řad řádně popsat. Významným důvodem je vysoká špičatost rozdělení výnosů, takže po vyřešení tohoto problému bude možné parametry modelů řad peněžních podílových fondů také odhadovat. Předkládaná práce přináší potvrzení, že vlastnosti řad podílových fondů se významně neliší od ostatních finančních časových řad. Navrhuje jak využít současné statistické programy k řešení některých problémů z toho plynoucích. Práce může být inspirací pro manažery fondů a investory, protože naznačuje, jak aplikovat statistické modely jako podporu při rozhodování o skladbě portfolia fondu nebo na druhé straně o investici do podílového fondu. Modely zároveň popisují chování cen podílových listů a přinášejí informace o vývoji rizika v historii fondu. Bodové a intervalové odhady podmíněného rozptylu jsou vhodné pro zobrazení volatility časové řady, tedy vyjádření rizikovosti investice. Využití mají i při konstrukci předpovědních intervalů, které mohou posloužit ke kontrole vývoje výkonnosti fondů a výnosnosti investice. Využití modelů v analýze Value at Risk naznačuje první kapitola. Zde publikované zvěry o chování podílových fondů mohou být porovnány se stejnými časovými řadami v zahraničí s cílem zjistit, jak se tyto vyvíjejí v podmínkách jiných ekonomik. Pro investory se pak může jednat o další možný návod, jak zvolit vhodnou investici, protože dostupnost zahraničních podílových fondů (a to nejen evropských) je v současné době velice dobrá i pro české investory.. Během práce se objevilo několik námětů pro další statistický výzkum ve sledované oblasti. Byly uvedeny v samotném textu a nyní připomínám ty nejdůležitější z nich. 1. Do srovnání by bylo vhodné zahrnout i skupinu integrovaných a frakcionálně integrovaných modelů volatility typu IGARCH a FIGARCH. Takovéto modely by mohly pomoci k odhalení případné perzistence rozptylu, tedy míru citlivosti dlouhodobé předpovědi podmíněného rozptylu ve všech horizontech na počáteční podmínky. Zároveň by mohly napomoci v oblastech, kde se vhodné modely volatility nepodařilo nalézt. K odhadu parametrů modelů bude však nutno použít jiný program než je EViews, např. SAS nebo PCGive. 2. Do srovnání navrhuji navíc zahrnout model typu CGARCH a prozkoumat tak krátkodobé a dlouhodobé pohyby volatility časových řad. Odhady parametrů provádí program EViews 5.0. 3. Doporučuji založit již aplikované modely volatility na předpokladu asymetrie nesystematické složky, která se u některých modelů zdála být významně zešikmená. Takovými rozděleními by mohly být zešikmené Studentovo t rozdělení, zešikmené zobec128

něné Studentovo t rozdělení, zešikmené GED rozdělení nebo i zobecněné logistické rozdělení. K odhadu parametrů by mohl posloužit program EViews 5.0, nebo jiné programy umožňující odhad parametrů modelu založeného na libovolné věrohodnostní funkci. K tomu je ale nutné znát nebo odvodit tvary věrohodnostních funkcí nových modelů. Jednodušší alternativou by mohlo být hledání jiného statistického programu, který by použití takových rozdělení umožňoval (např. již několikrát zmiňovaný modul G@RCH 2.0 se zešikmeným t rozdělením). Právě implementace v komerčních programech je cestou k využití nových modelů v manažerské praxi. 4. Pro výnosy podílových fondů peněžního trhu je třeba nalézt vhodné nepodmíněné rozdělení, které by bylo schopno popsat jejich extrémní špičatost. Hledání se nemusí soustředit pouze na oblast financí, ale např. na fyziku nebo jiné přírodní vědy. 5. Pro časové řady podílových fondů peněžního trhu je nutné nalézt vhodný úrovňový model, který by zajistil neautokorelovanost reziduí a tím i následnou analýzu pomocí modelů volatility. 6. Vhodné by též bylo posouzení proměnlivosti odhadnutých parametrů v čase. Oblast diagnostické kontroly, která překročila meze pro tuto práci vytyčené, je významná pro zobecnění závěrů o chování finančních časových řad. Zda zjištěné vlastnosti přetrvávají, nebo zda jsou typické jen pro sledované období počátku 21. století. Všechny výše uvedené návrhy by měly vést ke zlepšení kvality odhadovaných modelů časových řad a tím i k lepšímu pochopení jejich chování, ke srovnání s jinými investičními nástroji i mezi sebou a možná i k predikci budoucího vývoje.

129

Seznam použité literatury AFAM ČR (2006a): Tisková zpráva - Aktuality AFAM ČR - říjen 2006 [online]. 2006, [cit. 2006-12-20]. Dostupné z: < http://www.afamcr.cz/public/vypisZpravy.do>. AFAM ČR (2006b): Metodika klasifikace [online]. 2006, [cit. 2006-12-20]. Dostupné z: . AFAM ČR (2006c): Doporučení pro členy AFAM ČR jak postupovat při správě fondů kolektivního investování období [online]. 2006, [cit. 2006-12-20]. Dostupné z: . AKGIRAY, V. - BOOTH, G.G. - HATEM, J.J. - MUSTAFA, C. (1991): Conditional dependence in precious metal prices. Financial Review, 1991, vol. 26, s.367-386. ARLT, J. - RADKOVSKÝ, Š. (1999): Význam modelování a předpovídání volatility časových řad pro tvorbu měnové politiky centrální banky. Výzkumné práce, 1999, č.13, Praha, ČNB. ARLT, J. - ARLTOVÁ, M. (2003): Finanční časové řady. Vlastnosti, metody modelování, příklady a aplikace. 1. vyd., Praha: Grada Publishing, 2003. ISBN 80-247-0330-0. BAILLIE, R.T. – BOLLERSLEV, T. (1989): The Message in Daily Exchange Rates: A Conditional Variance Tale. Journal of Business and Economic Statistics, 1989, vol. 7, s. 297-305. BAILLIE, R.T. – BOLLERSLEV, T. – MIKKELSEN, H.O. (1996): Fractionally Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 1996, vol. 74, iss. 1, s. 3-30. BERNDT, E.R. - HALL, B.H. - HALL, R.E. - HAUSMAN, J.A. (1974): Estimating an Inference in Nonlinear Statistical Models. Annals of Economic and Social Measurement, 1974, vol. 3, s. 653-665. BLACK, F. (1976): Studies of Stock Market Volatility Changes. Proceedings of the American Statistical Association, Business and Economic Statistics Section, 1976, s. 177-181. BOLLERSLEV, T. (1986): Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 1986, vol. 31, iss. 3, s. 307–327. BOLLERSLEV, T. (1987): A Conditional Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return. Review of Economics and Statistics, 1978, vol. 69, no. 3, s. 542– 547. BOLLERSLEV, T. - Wooldridge, J.M. (1992): Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time Varying Covariances. Econometric Reviews, 1992, vol. 11, no. 2, s.143–172. BOLLERSLEV, T. - ENGLE, R.F. - NELSON, D.B. (1994): ARCH Models. Handbook of Econometrics, 1994, vol. 4, chap. 49, s. 2959-3038.

130

BOLLERSLEV, T. – MIKKELSEN, H.O. (1996): Modeling and Pricing Long-Memory in Stock Market Volatility. Journal of Econometrics, 1996, vol. 73, iss. 1, s. 151-184. BOX, G.E.P. – COX, D.R. (1964): An Analysis of Transformations. Journal of the Royal Statistical Society, 1964, Series B, vol. 26, s. 211-243. BOX, G.E.P. – TIAO, G.C. (1973): Bayesian inference in statistical analysis. MA: AddisonWesley, 1973. ISBN 0201006227. COX, D.R. (1972): Regression Models and Life Tables. Journal of the Royal Statistical Society, 1972, Series B, vol. 34, no. 2, s. 187-220. ČERMÁK, V. (1993): Diskrétní a spojitá rozdělení. Vzorce, grafy, tabulky. Praha, VŠE (Fakulta informatiky a statistiky), 1993. ISBN 80-7079-711-8. DAVIDSON J. (2004): Moment and Memory Properties of Linear Conditional Heteroscedasticity Models, and a New Model. Journal of Business & Economic Statistics, 2004, vol. 22, iss. 1, s. 16-29. DEGINANNAKIS, S.A. (2004): Volatility forecasting: evidence from a fractional integrated asymmetric power ARCH skewed-t model. Applied Financial Economics, 2004, vol. 14, issue 18, s. 1333-1342. DEGIANNAKIS, S.A. – XEKALAKI, E. (2004): Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) models: A Review. Quality Technology and Quantitative Management, 2004, vol. 1, no. 2, s 271-324. DING, Z. - GRANGER, C.W. J. - ENGLE, R.F. (1993): A Long Memory Property of Stock Market Returns and a New Model. Journal of Empirical Finance, 1993, vol. 1, iss. 1, s. 83– 106. DOTTORATO, S. (2006): On Internet Traffic Measurements, Characterization and Modelling. Torino: Politecnico Di Torino, 2006. PhD Thesis. DVOŘÁK, V. (2004): Kolektivní investování v České republice a Evropě Regulace subjektů kolektivního investování v České republice a Evropě. Univerzita Karlova, Fakulta sociálních věd, 2004. Diplomová práce. ENGLE, R.F. (1982): Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. Inflation. Econometrica, 1982, vol. 50, no. 4, s. 987–1008. ENGLE, R.F. (1990): Discussion: Stock Market Volatility and the Crash of ’87. Review of Financial Studies, vol. 3, no. 1, s. 103-106. ENGLE, R.F. - BOLLERSLEV, T. (1986): Modeling the Persistence of Conditional Variances. Econometric Reviews, 1986, vol. 5, iss. 1, s. 1-50. ENGLE, R.F. - LEE, G.G.J. (1993): A Permanent and Transitory Component Model of Stock Return Volatility. San Diego: University of California (Department of Economics), 1993, Discussion Paper, no. 92-44r. ENGLE, R.F. - NG, V.K. (1993): Measuring and Testing the Impact of News on Volatility. Journal of Finance, 1993, vol. 48, no. 5, s. 1749-1778. 131

FAMA, E.F. (1963): The Behavior of Stock Market Prices. Journal of Business, 1963, vol. 38, no. 1, s. 34-105. FERNÁNDEZ, C. - STEEL, M. (1998): On Bayesian modeling of fat tails and skewness, Journal of the American Statistical Association, 1998, vol. 93, no. 441, s. 359–71. FORNARI, F. - MELE A. (1996): Modeling the Changing Asymmetry of Conditional Variances. Economics Letters, 1996, vol. 50, no. 2, s. 197-203. FORNARI, F. - MELE A. (1997): Sign- and Volatility-Switching ARCH Models: Theory and Applications to International Stock Markets. Journal of Applied Econometrics, 1997, vol. 12, iss. 1, s. 49-65. GEWEKE, J. (1986): Modeling the Persistence of Conditional Variances: A Comment. Econometric Reviews, 1986, vol. 5, s. 57-61. GLOSTEN, L. - JAGANNATHAN, R. - RUNKLE D. (1993): On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks. Journal of Finance, 1993, vol. 48, no. 5, s. 1779–1801. GONZÁLEZ-RIVERA, G. (1996): Smooth Transition GARCH Models. Riverside: University of California (Department of Economics), 1996. Working Paper. HAGERUD, G.E. (1996): A Smooth Transition Arch Model for Asset Returns. Working Paper Series in Economics and Finance, 1996, vol. 162. HAMILTON, J. D. (1989): A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series Subject to Changes in Regime. Econometrica, 1989, vol. 57, no. 2, s. 357-385. HAMILTON, J. D. (1994): Time Series Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1994. ISBN 978-0691042893. HSIEH, D. (1989): Modeling Heteroskedasticity in Daily Foreign Exchange Rates. Journal of Business and Economic Statistics, 1989, vol. 7, no. 3, s. 307-317. HWANG, Y. (2001): Asymmetric Long Memory GARCH in Exchange Return. Economics Letters, 2001, vol. 73, no. 1, s. 1-5. INSIGHTFUL (2002): S+FinMetrics Reference Manual, [CD-ROM]. USA: Insightful Corporation, Seattle, 2002. KOUTMOS, G. - THEODOSSIOU, P. (1994): Time-Series Properties and Predictability of Exhange Rates. Managerial and Decision Economics, 1994, vol. 15, s. 159-167. LAMBERT, P. - LAURENT, S. (2000): Modeling skewness dynamics in series of financial data. Louvainla-Neuve: Institut de Statistique, 2000. Discussion Paper. LAMBERT, P. - LAURENT, S. (2001): Modeling financial time series using GARCH-type models and a skewed student density. Mimeo: Universite de Liege, 2001. Discussion Paper. LAURENT, S. - PETERS, J.-P. (2002) : G@RCH 2.2: an ox package for estimating and forecasting various arch models. Journal of economic surveys, 2002, vol. 16(3), p. 447-85. 132

LEVY, P. (1924): Théorie des Erreurs. La Loi des Gauss et Les Lois Exceptionelles. Bull. Soc. Math, vol. 52, s. 49-85. MANDELBROT, B. (1963): The Variation of Certain Speculative Prices. Journal of Business, vol. 36, no. 4, s. 394-419. MILHǿJ, A. (1987): A Multiplicative Parameterization of ARCH Models. Mimeo Econometrica, 1987. University of Copenhagen, Department of Statistics. NELSON, D.B. (1991): Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach. Econometrica, 1991, 59:2, s. 347-370. NOWICKA-ZAGRAJEK, J. – WERON, A. (2001): Dependence Structure of Stable RGARCH Processes. Probability and Mathematical Statistics, 2001, vol. 21, s. 371-380 PANTULA, S.G. (1986): Modeling the Persistence of Conditional Variances: A Comment. Econometric Reviews, 1986, vol. 5, s. 71-73. QUANTITATIVE (2004a): EViews 5 User’s Guide [CD-ROM]. USA: Quantitative, 2004. QUANTITATIVE (2004b): EViews 5 Command and Programming Reference [CD-ROM]. USA: Quantitative, 2004. POPELKA, J. (2000): Využití předpovědních metod v manažerské praxi. Jindřichův Hradec: Vysoká škola ekonomická, Fakulta managementu, 2000. Diplomová práce. POPELKA, P. (2003): Komparace ekonomických indikátorů vybraných otevřených podílových fondů v ČR. Liberec: Technická univerzita v Liberci, Hospodářská fakulta, 2003. Diplomová práce. RABEMANANJARA, R. – ZAKOIAN, J.M. (1993): Threshold ARCH Models and Asymmetries in Volatility. Journal of Applied Econometrics, 1993, vol. 8, iss. 1, s. 31-49. SENTANA, E. (1995): Quadratic ARCH Models. Review of Economic Studies, 1995, vol. 62, iss. 4, s. 639-661. SCHWERT, G.W. (1989a): Why Does Stock Market Volatility Changes Over Time. Journal of Finance, 1989, vol. 44, no. 5, s. 1115-1153. SCHWERT, G.W. (1989b): Business Cycles, Financial Crisis, and Stock Volatility. In Carnegie Rochester Conferecne Series on Public Policy, 1989, no. 39, s. 83-126. STATPOINT (2005): Probability Distributions [CD-ROM]. USA: StatPoint, 2005. STEGAUF, S. (1999): Investiční matematika. 1. vyd., Praha: Grada Publishing, 1999. ISBN 80-7169-429-0. ŠPIČKA, J. (1993): Investiční společnosti a investiční fondy. Praha: Management Press, 1993. TAYLOR, S.J. (1986): Modeling Financial Time Series. New York: Wiley, 1986. ISBN 9780471909934. TEPPER, T. - KÁPL, M. (1994): Peníze a Vy. 2. vyd., Praha: Prospektrum, 1994. ISBN 8085431-96-3. 133

THEODOSSIOU, P. (1994): The Stochastic Properties of Major Canadian Exchange Rates. The Financial Review, 1994, vol. 29, iss. 2, s.193 – 221. THEODOSSIOU, P. (1998): Financial Data and the Skewed Generalized t Distribution. Management Science, 1998, vol. 44, no. 12-1, s. 1650-1661. THEODOSSIOU, P. (2001): Distribution of Financial Asset Prices, the Skewed Generalized Error Distribution, and the Pricing of Options. Rutgers University, School of Business, 2001. Working Paper. TSAY, R.S. (2002): Analysis of Financial Time Series. New York: Wiley, 2002. ISBN 9780471415442. TSE, Y.K. (1998): The Conditional Heteroskedasticity of the Yen-Dollar Exchange Rate. Journal of Applied Econometrics, 1989, vol. 193, s. 49-55. ZAKOIAN, J.M. (1990): Threshold Heteroskedastic Models. Paris: CREST, INSEE, 1998. Manuscript.

134

Seznam použitých zkratek a symbolů AFAM ČR

Asociace fondů a asset managementu České republiky

ČSOB

Československá obchodní banka

df.

degrees of freedom – stupně volnosti

EP

Exponential Power rozdělení

GED

Generalized Error Distribution rozdělení

GL3

tříparametrické zobecněné logistické rozdělení

ISČS

Investiční společnost České spořitelny

JB test

Jarqueův-Berův test

kap.

kapitola

KB

Komerční banka

KS test

Kolmogorovův-Smirnovův test

LL3

tříparametrické logaritmicko-logistické rozdělení

obr.

obrázek

OPF

otevřený podílový fond

PF

podílový fond

PL

podílový list

str.

strana

tab.

tabulka

135

Seznam příloh Příloha č.1 Grafy časových řad cen akciových podílových fondů a logaritmických výnosů akciových podílových fondů Příloha č.2 Grafy časových řad cen dluhopisových podílových fondů a logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů Příloha č.3 Grafy časových řad cen podílových fondů peněžního trhu a logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu Příloha č.4 Grafy časových řad cen akcií a logaritmických výnosů akcií Příloha č.5 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů akciových podílových fondů Příloha č.6 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů Příloha č.7 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu Příloha č.8 Testy shody rozdělení pro logaritmické výnosy akcií Příloha č.9 Odhady parametrů významných rozdělení pro časové řady logaritmických výnosů Příloha č.10 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů akcií a hustoty pravděpodobnosti vybraných rozdělení Příloha č.11 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů akciových podílových fondů a hustoty pravděpodobnosti vybraných rozdělení Příloha č.12 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů a hustoty pravděpodobnosti vybraných rozdělení Příloha č.13 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu a hustoty pravděpodobnosti vybraných rozdělení Příloha č.14 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů akciových podílových fondů Příloha č.15 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů Příloha č.16 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu Příloha č.17 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů akcií Příloha č.18 Analýza fondu Pioneer Akciový Příloha č.19 Analýza fondu ING International Český akciový fond Příloha č.20 Analýza fondu ISČS Eurotrend Příloha č.21 Analýza fondu ISČS Globalstocks Příloha č.22 Analýza fondu ISČS Sporobond Příloha č.23 Analýza fondu KBC Renta Příloha č.24 Analýza fondu IKS Dluhopisový Příloha č.25 Analýza fondu ING International Český fond obligací Příloha č.26 Analýza fondu ISČS Sporoinvest 136

Příloha č.27 Analýza fondu KBC Multicash ČSOB CZK Příloha č.28 Analýza fondu Pioneer Sporokonto Příloha č.29 Analýza akcií ČEZ Příloha č.30 Analýza akcií Unipetrol Příloha č.31 Analýza akcií Komerční banka Příloha č.32 Analýza akcií Český Telecom Příloha č.33 Analýza akcií Philip Morris

137

Příloha č.1 Grafy časových řad cen akciových podílových fondů a logaritmických výnosů akciových podílových fondů Obr. 1.1 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Sporotrend

2.0 1.6 1.2 0.8 0.4 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 1.2 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Sporotrend

.06 .04 .02 .00 -.02 -.04 -.06 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 1.3 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Globalstocks FF

.9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 1.4 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Globalstocks FF

.05

.00

-.05

-.10 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 1.5 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Eurotrend

.9 .8 .7 .6 .5 .4 .3 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 1.6 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Eurotrend

.08 .04 .00 -.04 -.08 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 1.7 Denní časová řada ceny podílových listů fondu Pioneer akciový

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 2001

2002

2003

2004

2005

Obr.1.8 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu Pioneer akciový

.08 .04 .00 -.04 -.08 2001

2002

2003

2004

2005

Obr.1.9 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ING International Český akciový fond

4000 3000 2000 1000 0 2001

2002

2003

2004

2005

Obr.1.10 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS ING International Český akciový fond

.08 .04 .00 -.04 -.08 2001

2002

2003

2004

2005

Příloha č.2 Grafy časových řad cen dluhopisových podílových fondů a logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů Obr. 2.1 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Sporobond

1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 2.2 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Sporobond

.008 .004 .000 -.004 -.008 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 2.3 Denní časová řada ceny podílových listů fondu KBC Renta Czechrenta

32000 30000 28000 26000 24000 22000 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 2.4 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu KBC Renta Czechrenta

.04 .02 .00 -.02 -.04 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 2.5 Denní časová řada ceny podílových listů fondu IKS Dluhopisový

1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 2.6 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu IKS Dluhopisový

.008 .004 .000 -.004 -.008 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 2.7 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ING International Český fond obligací

2200 2000 1800 1600 1400 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 2.8 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ING International Český fond obligací

.008 .004 .000 -.004 -.008 2001

2002

2003

2004

2005

Příloha č.3 Grafy časových řad cen podílových fondů peněžního trhu a logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu Obr. 3.1 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Sporoinvest

1.76 1.72 1.68 1.64 1.60 1.56 1.52 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 3.2 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Sporoinvest

.002 .001 .000 -.001 -.002 -.003 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 3.3 Denní časová řada ceny podílových listů fondu KBC Multicash ČSOB CZK

120 116 112 108 104 100 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 3.4 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu KBC Multicash ČSOB CZK

.004 .003 .002 .001 .000 -.001 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 3.5 Denní časová řada ceny podílových listů fondu IKS peněžní trh

1.60 1.55 1.50 1.45 1.40 1.35 1.30 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 3.6 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu IKS peněžní trh

.003 .002 .001 .000 -.001 -.002 -.003 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 3.7 Denní časová řada ceny podílových listů fondu Pioneer - Sporokonto

1.48 1.44 1.40 1.36 1.32 1.28 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 3.8 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu Pioneer - Sporokonto

.003 .002 .001 .000 -.001 -.002 -.003 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 3.9 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ING International Český fond peněžního trhu

1500 1450 1400 1350 1300 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 3.10 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ING International Český fond peněžního trhu

.006 .004 .002 .000 -.002 -.004 2001

2002

2003

2004

2005

Příloha č.4 Grafy časových řad cen akcií a logaritmických výnosů akcií Obr. 4.1 Denní časová řada ceny akcí ČEZ

800 600 400 200 0 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 4.2 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií ČEZ

.2 .1 .0 -.1 -.2 -.3 2001

2002

2003

2004

2005

2004

2005

Obr. 4.3 Denní časová řada ceny akcí Unipetrol

300 250 200 150 100 50 0 2001

2002

2003

Obr. 4.4 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií Unipetrol

.1 .0 -.1 -.2 -.3 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 4.5 Denní časová řada ceny akcí Komerční banka

4000 3000 2000 1000 0 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 4.6 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií Komerční banka

.10 .05 .00 -.05 -.10 -.15 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 4.7 Denní časová řada ceny akcí Český Telecom

600 500 400 300 200 100 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 4.8 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií Český Telecom

.2 .1 .0 -.1 -.2 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 4.9 Denní časová řada ceny akcí Philip Morris

24000 20000 16000 12000 8000 4000 2001

2002

2003

2004

2005

Obr. 4.10 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií Philip Morris

.10 .05 .00 -.05 -.10 -.15 2001

2002

2003

2004

2005

Příloha č.5 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů akciových podílových fondů Tab. 5.1 Testy shody rozdělení pro časovou řadu ISČS Sporotrend Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Exponential Power 3 -7790,42 11,5930** 0,0274*** 0,0376*** 0,0909*** 0,0692*** 0,6435*** Generalized Logistic 3 -7784,66 10,4646** 0,0280*** 0,0488 0,1728*** 0,1723** 0,9444*** Laplace 2 -7780,14 17,2368* 0,0426** 0,0601 0,2376*** 0,2056* 1,4489*** Loglogistic (3-Par.) 3 -7775,96 19,1713 0,0240*** 0,0464 0,1752*** 0,1746** 1,2449*** Normal 2 -7708,36 72,9218 0,0553 0,0937 1,0719 1,0315 6,2733 Lognormal (3-Par.) 2 -7705,38 72,9862 0,0564 0,0944 1,1028 1,0536 6,4668 Cauchy 2 -7510,96 178,9160 0,0605 0,1112 0,7601 0,7599 10,3048 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Tab. 5.2 Testy shody rozdělení pro časovou řadu ING International Český akciový fond Distribution

Par. AIC

Kolmogorov Modified Kuiper CramerWatson Anderson-Smirnov Kolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Loglogistic (3-Par.) 3 -8218,76 4,2590*** 0,0160*** 0,0308*** 0,0636*** 0,0635*** 0,3903*** Generalized Logistic 3 -8216,32 5,5140** 0,0171*** 0,0337*** 0,0786*** 0,0785*** 0,4977*** Exponential Power 3 -8205,02 11,6762 0,0206*** 0,0402*** 0,1042*** 0,0902*** 0,9448*** Laplace 2 -8190,24 14,4951 0,0381** 0,0629 0,3553** 0,3097 2,3556** Normal 2 -8092,26 56,1941 0,0543 0,0959 1,1364 1,0711 6,7744 Cauchy 2 -7933,64 144,6750 0,0673 0,1204 1,0274 0,9302 12,3773 Lognormal (3-Par.) 2 2,52E+12 0,0513 0,0942 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Tab. 5.3 Testy shody rozdělení pro časovou řadu ISČS Eurotrend Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Laplace 2 -7185,58 3,3588*** 0,0205*** 0,0354*** 0,0998*** 0,0490*** 0,6793*** Exponential Power 3 -7183,56 3,3604*** 0,0212*** 0,0360*** 0,0998*** 0,0481*** 0,6817*** Generalized Logistic 3 -7135,44 49,5069 0,0364** 0,0716 0,4852** 0,4843 2,8726** Loglogistic (3- Par.) 3 -7131,86 47,0882 0,0380** 0,0727 0,5461** 0,5459 3,2640** Normal 2 -7016,94 103,8400 0,0690 0,1342 2,1622 2,1606 12,1134 Lognormal (3-Par.) 3 -6974,84 138,0740 0,0752 0,1451 2,5153 2,5090 14,4765 Cauchy 2 -6966,20 134,6650 0,0480 0,0931 0,5295 0,4919 7,5984 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Tab. 5.4 Testy shody rozdělení pro časovou řadu Pioneer - akciový fond Distribution

Par. AIC

Kolmogorov Modified Kuiper CramerWatson Anderson-Smirnov Kolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Laplace 2 -8082,56 2,1356*** 0,0233*** 0,0286*** 0,1301*** 0,0570*** 0,8591*** Exponential Power 3 -8080,04 2,1278*** 0,01971*** 0,0386*** 0,0693*** 0,0693*** 0,4693*** Generalized Logistic 3 -8039,12 34,5734 0,0334*** 0,0611 0,4781* 0,4610 2,9156* Loglogistic (3-Par.) 3 -8038,80 31,7761 0,0316*** 0,0606 0,4413** 0,4413 2,8232* Normal 2 -7902,26 72,3423 0,0651 0,1270 2,1936 2,1935 12,6689 Lognormal (3-Par.) 3 -7900,04 72,5241 0,0688 0,1264 2,1864 2,1689 12,6606 Cauchy 2 -7875,52 131,4580 0,0480 0,0934 0,5577* 0,5549 7,8765 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Tab. 5.5 Testy shody rozdělení pro časovou řadu ISČS Globalstocks FF Distribution

Par. AIC

Exponential Power Laplace Generalized Logistic Loglogistic (3-Par.) Normal Lognormal (3-Par.) Cauchy

3 2 3 3 2 3 2

ChiSquared

Modified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 -8214,52 6,2711*** 0,0207*** 0,0404*** 0,1107*** 0,0997*** 0,8547*** -8213,52 7,4425*** 0,0271*** 0,0516* 0,1829*** 0,1731** 1,2550*** -8205,44 5,4458*** 0,0274*** 0,0515* 0,1758*** 0,1745** 0,9644*** -8192,56 9,4101 0,0340*** 0,0558* 0,2695*** 0,2694 1,6747*** -8070,00 38,0410 0,0599 0,1073 -8066,38 42,5521 0,0576 0,1036 -7958,82 133,8890 0,0580 0,1072 0,8034 0,7229 10,3429

Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Příloha č.6 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů Tab. 6.1 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu ISČS Sporobond Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Exponential Power 3 -13246,0 10,7842** 0,0368** 0,0666 Laplace 2 -13245,0 14,8996* 0,0422* 0,0703 Generalized Logistic 3 -13215,2 21,7339 0,0490 0,0943 Loglogistic (3-Par.) 3 -13207,0 23,8040 0,0607 0,0953 Normal 2 -13119,8 56,0609 0,0770 0,1367 Lognormal (3-Par.) 3 -13117,7 133,1010 0,0778 0,1372 Cauchy 2 -13006,6 221,5350 0,0524 0,1022 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson AndersonVon Mises U^2 Darling W^2 A^2 0,1378*** 0,1372*** 0,6884*** 0,1634*** 0,1629 0,8285*** 0,4808* 0,4805 2,5802* 0,5656* 0,5363 3,1019* 1,7621 1,7611 9,5337 1,7765 1,7739 9,6016 0,6401* 0,6320 8,6039

Tab. 6.2 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu KBC Renta Czechrenta Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Laplace 2 -11567,1 4,28141*** 0,0269*** 0,0349*** 0,1684*** 0,0806 1,2215*** Exponential Power 3 -11565,1 4,1824*** 0,0264*** 0,0346*** 0,1602*** 0,0807*** 1,1702*** Loglogistic (3-Par.) 3 -11494,5 18,5757 0,0473* 0,0867 0,6859* 0,6855 3,7937* Generalized Logistic 3 -11492,6 16,8900 0,0474* 0,0858 0,6885* 0,6882 Cauchy 2 -11442,1 69,0223 0,0538 0,0980 0,5375* 0,4874 7,2622 Lognormal (3-Par.) 3 -10988,1 146,4320 0,1055 0,2077 Normal 2 -10969,3 153,1530 0,1090 0,2109 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Tab. 6.3 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu IKS Dluhopisový Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Laplace 2 -13022,4 10,1908*** 0,0257*** 0,0357*** 0,0802*** 0,0424*** 0,4609*** Exponential Power 3 -13020,4 10,1955*** 0,025733 0,035714 0,080805 0,042527 0,463796 Generalized Logistic 3 -12953,7 65,2204 0,0461* 0,0884 0,7196* 0,7191 4,0139 Loglogistic (3-Par.) 3 -12952,0 67,0000 1,0469 0,0883 0,7398* 0,7398 4,0865 Cauchy 2 -12824,7 128,4770 0,0435* 0,0843 0,3758 0,3744 6,2724 Normal 2 -12817,1 191,9210 0,0773 0,1523 2,6234 2,6230 14,4692 Lognormal (3-Par.) 3 -12815,1 192,2100 0,0779 0,1523 2,6196 2,6180 14,4459 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Tab. 6.4 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu ING International Český fond obligací Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Exponential Power 3 -13020,4 10,1955*** 0,0257*** 0,0357*** 0,0808*** 0,0424*** 0,4609*** Laplace 2 -12961,2 10,1908*** 0,0193*** 0,0280*** 0,0924*** 0,0535*** 0,6532*** Loglogistic (3-Par.) 3 -12922,8 67,7870 0,0381** 0,0751 0,4873* 0,4872 2,4411** Generalized Logistic 3 -12922,5 65,2204 0,0382* 0,0760 0,5022* 0,5022 2,5141* Normal 2 -12827,5 191,9210 0,0643 0,1285 1,7267 1,7231 8,9711 Lognormal (3-Par.) 3 -12826,1 207,7560 0,0646 0,1278 1,7075 1,7051 8,8630 Cauchy 2 -12718,1 128,4770 0,0549 0,1043 0,5045* 0,4792 7,9356 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Příloha č.7 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu Tab. 7.1 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu KBC Multicash ČSOB CZK Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Laplace 2 -16428,1 76,4573 0,1354 0,2363 Exponential Power 3 -16426,1 76,5048 0,1349 0,2357 Loglogistic (3-Par.) 3 -16377,6 61,2707 0,1374 0,2719 Generalized Logistic 3 -16336,2 74,4616 0,1421 0,2779 Cauchy 2 -16282,0 150,773 0,1498 0,2557 Lognormal (3-Par.) 3 -16125,3 0,1716 0,3189 Normal 2 -15841,7 71,0038 0,1766 0,3481 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 3,5704 3,0625 3,5677 3,0633 3,4033 3,4032 3,6284 3,5797 4,4637 3,5233 5,8363 5,7796 8,9983 8,5913

AndersonDarling A^2 20,6594 20,6550 17,5030 18,4143 27,0924 -

Tab. 7.2 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu IKS peněžní trh Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Laplace 2 -17120,2 66,6158 0,1442 0,1481 Exponential Power 3 -17118,2 66,6272 0,1442 0,1480 Generalized Logistic 3 -17044,2 80,0849 0,1056 0,1981 Loglogistic (3-Par. 3 -17041,7 86,5732 0,1076 0,1970 Cauchy 2 -17001,5 90,6589 0,0954 0,1563 Normal 2 -16743,1 224,8450 0,1340 0,2610 Lognormal (3-Par. 3 -16741,1 0,1347 0,2609 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 4,8543 1,4462 4,8562 1,4466 2,0764 2,0683 2,0376 2,0370 2,0820 1,4980 -

AndersonDarling A^2 26,2745 26,2835 11,1358 11,3531 14,7078 -

Tab. 7.3 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu Pioneer - Sporokonto Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Cauchy 2 -17232,9 105,0790 0,1284 0,2141 Laplace 2 -17224,8 139,4350 0,1724 0,2191 Exponential Power 3 -17222,8 139,4320 0,1724 0,2191 Generalized Logistic 3 -17008,1 288,1980 0,1370 0,2506 Loglogistic (3-Par. 3 -17005,5 215,9100 0,1352 0,2483 Normal 2 -16479,2 534,0090 0,1899 0,3461 Lognormal (3-Par) 3 -16477,1 534,3950 0,1889 0,3459 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 2,9797 2,3023 5,1952 2,6509 5,1952 2,6509 4,3509 4,3470 4,2307 4,2302 -

AndersonDarling A^2 17,1429 27,6299 27,6300 24,2857 23,4146 -

Tab. 7.4 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu ISČS Sporoinvest Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Laplace 2 -17179,1 164,697 0,0981 0,1938 Exponential Power 3 -17177,0 165,299 0,0985 0,1947 Generalized Logistic 3 -17107,3 152,506 0,1033 0,1938 Loglogistic (3-Par.) 3 -17105,1 139,316 0,1029 0,1938 Cauchy 2 -16936,2 178,305 0,1062 0,2018 Normal 2 -16876,6 239,702 0,1286 0,2547 Lognormal (3-Par.) 3 -16874,6 149,415 0,1287 0,2550 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 2,0789 2,0613 2,10965 2,09225 2,0915 2,0910 2,0644 2,0634 2,6691 2,6254 4,1152 4,1150 4,1330 4,1327

AndersonDarling A^2 10,4462 10,5829 10,8841 10,5940 18,7280 22,9166 23,0215

Tab. 7.5 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu ING International Český fond peněžního trhu Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Cauchy 2 -18610,9 70,3326 0,0978 0,1155 Laplace 2 -18272,0 177,8140 0,1662 0,1889 Exponential Power 3 -18270,0 177,7190 0,1661 0,1888 Loglogistic (3-Par.) 3 -17944,9 233,2540 0,1540 0,2596 Generalized Logistic 3 -17943,4 260,2560 0,1586 0,2612 Lognormal (3-Par.) 3 -16821,7 0,2477 0,4477 Normal 2 -16811,8 546,9320 0,2472 0,4495 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 3,0319 0,9059 5,7079 3,7365 5,7001 3,7357 7,4624 7,4598 7,5755 7,5735 -

AndersonDarling A^2 18,9589 33,0975 33,0058 22,9166 23,0215

Příloha č.8 Testy shody rozdělení pro logaritmické výnosy akcií Tab. 8.1 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií ČEZ Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Exponential Power 3 -6442,62 1,8498*** 0,0189*** 0,0288*** 0,0001*** Laplace 2 -6442,30 2,9065*** 0,0232*** 0,0385*** 0,0849*** 0,0663*** 0,5774*** Generalized Logistic 3 -6425,36 21,9582 0,0283*** 0,0525* 0,2763*** 0,2742 1,6839*** Loglogistic (3-Par.) 3 -6415,52 22,0485 0,0301*** 0,0570 0,3128*** 0,3127 1,9266*** Normal 2 -6266,80 86,0305 0,0697 0,1243 Lognormal (3-Par.) 3 -6264,78 85,9586 0,0698 0,1245 Cauchy 2 -6213,14 124,4120 0,0520 0,0989 0,6051 0,5962 8,7090 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Tab. 8.2 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií Komerční banka Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Generalized Logistic 3 -6340,62 5,9981*** 0,0211*** 0,0370*** 0,0642*** 0,0642*** 0,3765*** Loglogistic (3-Par.) 3 -6339,18 8,9470** 0,0187*** 0,0339*** 0,0481*** 0,0481*** 0,3138*** Exponential Power 3 -6338,82 7,7523*** 0,0155*** 0,0304*** 0,0439*** 0,0394*** 0,3455*** Laplace 2 -6314,88 22,0741 0,0336*** 0,0601 0,3306*** 0,3268 2,0406** Normal 2 -6276,74 16,2577 0,0436* 0,0746 0,6068* 0,6030 3,6709* Lognormal (3-Par.) 3 -6272,90 17,7391 0,0411* 0,0748 0,6073* 0,6069 3,6923* Cauchy 2 -6033,40 182,3280 0,0616 0,1225 0,9269 0,9135 11,9928 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Tab. 8.3 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií Philip Morris Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Laplace 2 -6676,26 6,2160*** 0,0418* 0,0503* Exponential Power 3 -6674,26 6,2073* 0,0418* 0,0503* Generalized Logistic 3 -6620,52 29,434 0,0412* 0,0804 Loglogistic (3-Par.) 3 -6615,78 26,6992 0,0397* 0,0744 Cauchy 2 -6474,60 110,7800 0,0491 0,0960 Normal 2 -6415,84 66,2974 0,0833 0,1485 Lognormal (3-Par.) 3 -6413,68 66,9295 0,0825 0,1479 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson AndersonVon Mises U^2 Darling W^2 A^2 0,5271* 0,1272*** 3,0700* 0,5272* 0,1271*** 3,0668* 0,5928* 0,5910 3,4929* 0,5525* 0,5504 3,2301* 0,7113* 0,6218 8,8142 2,8124 2,8053 16,2358 2,7810 2,7764 16,0574

Tab. 8.4 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií Český Telecom Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Laplace 2 -6059,22 8,4647*** 0,0243*** 0,0405*** 0,1081*** 0,1009*** 0,6446*** Exponential Power 3 -6057,12 8,4228** 8,4228** 0,0237*** 0,0403*** 0,1051*** 0,0997*** Generalized Logistic 3 -5964,66 54,4828 0,0521 0,0999 1,0497 1,0479 5,8430 Loglogistic (3-Par.) 3 -5960,20 52,0969 0,0521 0,0994 1,0928 1,0925 6,0437 Cauchy 2 -5872,70 123,0510 0,0420** 0,0812 0,3021*** 0,2982 5,3955 Normal 2 -5803,26 134,4970 0,0829 0,1596 3,3951 3,3942 17,9897 Lognormal (3-Par.) 3 -5801,26 134,6290 0,0830 0,1595 3,3892 3,3880 17,9600 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Tab. 8.5 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií Unipetrol Distribution

Par. AIC

ChiSquared

Modified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Laplace 2 -6191,00 16,6196 0,0362** 0,0624 Exponential Power 3 -6189,00 15,6200 0,0362** 0,0624 Cauchy 2 -6085,86 88,4287 0,0349** 0,0672 Generalized Logistic 3 -6052,54 66,6637 0,0682 0,1290 Loglogistic (3-Par.) 3 -6044,50 91,0523 0,0672 0,1304 Normal 2 -5762,12 116,0900 0,1100 0,2072 Lognormal (3-Par.) 3 -5760,08 116,8490 0,1109 0,2076 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 0,3174*** 0,3096 0,3174*** 0,3096 0,2331 0,2099 1,8079 1,7995 1,8463 1,8460 -

AndersonDarling A^2 1,8504*** 1,8503*** 4,1424 9,9079 9,9856 17,9897 17,9600

Příloha č.9 Odhady parametrů významných rozdělení pro časové řady logaritmických výnosů Tab. 9.1 Odhady parametrů významných rozdělení logaritmických výnosů akciových podílových fondů Rozdělení Parametr

Lapalce Exponential Power (EP) Generalized Logistic (GL3) 3 Param. Loglogistic (LL3)

mean scale mean scale shape location scale shape median shape lower thrs.

ISČS Sporotrend

0,0006 118,1930 0,0006 0,0061 0,6457 0,0029 0,0056 0,7855 1,7183 0,0036 -1,7175

ING International Český akciový fond -0,0014 140,4470 -0,00128344 0,0051607 0,633126

-0,0032 0,0056 1,2931 0,1465 0,0351 -0,14782

ISČS Eurotrend

Pioneer ISČS akciový fond Globalstocks FF

0,0000 0,0001 98,0207 147,0970 0,0001 -0,0000741184 0,0051 0,00363083 0,9976 0,935 0,0013 -0,0002 0,0071 0,0050 0,8575 0,9944 1,3959 0,8076 0,0054 0,0062 -1,3963 -0,8077

0,0000 140,2950 0,0001 0,0043 0,8229 0,0021 0,0046 0,7398 2,7429 0,0019 -2,7431

Tab. 9.2 Odhady parametrů významných rozdělení logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů Rozdělení Parametr

Lapalce Exponential Power (EP) Generalized Logistic (GL3) 3 Param. Loglogistic (LL3)

mean scale mean scale shape location scale shape median shape lower thrs.

ISČS Sporobond

0,0002 1026,6400 0,0002 0,0006 0,8207 0,0003 0,0007 0,8990 0,0278 0,0257 -0,0276

ING International Český fond obligací 0,0002 932,6870 0,0002 0,0005 1,0000 0,0002 0,0008 0,9908 0,0657 0,0120 -0,0655

IKS dluhopisový

0,0002 1074,7500 0,0002 0,0005 1,0000 0,0003 0,0007 0,9097 0,0780 0,0088 -0,0778

KBC Renta Czechrenta 0,0002 850,6650 0,0002 0,0006 1,0000 0,0003 0,0008 0,9509 0,1162 0,0074 -0,1160

Tab. 9.3 Odhady parametrů významných rozdělení logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu Rozdělení Parametr

Laplace Exponential Power (EP) Generalized Logistic (GL3) 3 Param. Loglogistic (LL3)

ISČS ING International Sporoinvest Český fond peněžního trhu 0,0001 mean 0,0001 7673,5400 scale 4867,1500 0,0001 mean 0,0001 0,0001 scale 0,0001 1,0000 shape 0,9999 0,0001 location 0,0001 0,0001 scale 0,0001 0,9377 shape 0,9204 0,0229 median 0,0519 0,0043 shape 0,0029 -0,0228 lower thrs. 0,0000

KBC IKS Multicash peněžní trh ČSOB CZK 0,0001 0,0001 7380,0400 5669,7600 0,0001 0,0001 0,0001 0,00001 1,0000 1,0000 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 1,8853 1,2640 0,0013 0,0077 0,0754 0,0166 -0,0012 -0,0076

Pioneer Sporokonto 0,0001 6228,0800 0,0001 0,0001 1,0000 0,0001 0,0001 0,9184 0,0584 0,0021 -0,0583

Tab. 9.4 Odhady parametrů významných rozdělení logaritmických výnosů akcií Rozdělení Parametr

Laplace Exponential Power (EP) Generalized Logistic (GL3) 3 Param. Loglogistic (LL3)

mean scale mean scale shape location scale shape median shape lower thrs.

ČEZ

0,0022 70,9089 0,0022 0,0082 0,8524 0,0057 0,0093 0,7717 12,323 0,0008 -12,3217

Komerční banka 0,0010 67,3991 0,0010 0,0120 0,5159 0,0024 0,0104 0,9224 2,4577 0,0044 -2,4565

Philip Morris

0,0000 77,83620 0,0000 0,0064 0,9999 0,0029 0,0089 0,8640 2,6413 0,0036 -2,6403

Český Telecom 0,0000 60,8781 0,0000 0,0082 1,0000 0,0027 0,0115 0,8599 2,4557 0,0050 -2,4556

Unipetrol

0,0010 64,1535 0,0010 0,0078 1,0000 0,0044 0,0108 0,8178 7,9318 0,0015 -7,9305

Příloha č.10 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů akcií a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení Histogram for Český Telecom

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter)

400

frequency

300 200 100 0 -0,18

-0,13

-0,08

-0,03 rt

0,02

Histogram for Philip Morris

0,12

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter)

500 400 frequency

0,07

300 200 100 0 -0,15

-0,1

-0,05

0 rt

Histogram for Unipetrol

0,1

0,15

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter)

600 500 frequency

0,05

400 300 200 100 0 -0,24

-0,14

-0,04 rt

0,06

0,16

Histogram for ČEZ Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter)

600

frequency

500 400 300 200 100 0 -0,22

-0,12

-0,02

0,08

0,18

rt

Histogram for Komerční banka Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter)

frequency

400 300 200 100 0 -0,12

-0,08

-0,04

0 rt

0,04

0,08

0,12

Příloha č.11 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů akciových podílových fondů a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení Histogram for ISČS Globalstocks 1200

frequency

1000 800

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

600 400 200 0 -0,1

-0,07

-0,04

-0,01

0,02

0,05

rt Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

Histogram for ISČS Sporotrend

frequency

800 600 400 200 0 -0,06 -0,04 -0,02

0 rt

0,02

0,04

Histogram for Pioneer – akciový 1200

frequency

1000 800

0,06

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

600 400 200 0 -0,08

-0,04

0 rt

0,04

0,08

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

Histogram for ING akciový 1200

frequency

1000 800 600 400 200 0 -0,08

-0,04

0 rt

0,04

Histogram for ISČS Eurotrend

frequency

800 600

0,0 8

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

400 200 0 -0,08

-0,04

0 rt

0,04

0,08

Příloha č.12 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

frequency

Histogram for ISČS Sporobond Distribution 400 Exponential Power Generalized Logistic Laplace 300 Loglogistic (3-Parameter) Normal 200 100 0 -8

1200

-4

0 rt

4

Histogram for KBC Renta Czechrenta

frequency

1000 800

8 (X 0,001)

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

600 400 200 0 -29

-9

11

31 rt

51

71 (X 0,001)

Histogram for ING International Český fond obligací

frequency

400 300

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

200 100 0

frequency

-9

-6

-3

0 rt

3

6

9 (X 0,001)

Histogram for IKS Dluhopisový Distribution 400 Exponential Power Generalized Logistic Laplace 300 Loglogistic (3-Parameter) Normal 200 100 0 -8

-4

0 rt

4

8 (X 0,001)

frequency

Příloha č.13 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení Histogram for ISČS Sporoinvest Distribution 600 Exponential Power Generalized Logistic 500 Laplace Loglogistic (3-Parameter) 400 Normal 300 200 100 0 -24

-14

-4

6

16

rt

26 (X 0,0001)

Histogram for IKS peněžní trh Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

600 frequency

500 400 300 200 100 0 -29

-19

-9

1 rt

11

21

31 (X 0,0001)

Histogram for KBC Multicash Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

frequency

800 600 400 200 0 -11

-1

9

19 rt

29

39 (X 0,0001)

Histogram for ING Intl. (II) Český fond peněžního trhu 1500

frequency

1200 900

Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Normal

600 300 0

frequency

-4

-2

0 rt

2

4

6 (X 0,001)

Histogram for Pioneer Sporokonto Distribution 800 Exponential Power Generalized Logistic Laplace 600 Loglogistic (3-Parameter) Normal 400 200 0 -29

-19

-9

1 rt

11

21

31 (X 0,0001)

Příloha č.14 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů akciových podílových fondů Obr. 14.1 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ISČS Sporotrend a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 14.2 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ISČS Globalstocks FF a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 14.3 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ISČS Eurotrend a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 14.4 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu Pioneer akciový a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 14.5 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ING International Český akciový fond a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Příloha č.15 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů Obr. 15.1 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ISČS Sporobond a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 15.2 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu KBC Renta Czechrenta a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 15.3 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu IKS Dluhopisový a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 15.4 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ING International Český fond obligací a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Příloha č.16 Grafy ACF a PACF logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu Obr. 16.1 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ISČS Sporoinvest a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 16.2 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu KBC Multicash ČSOB CZK a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 16.3 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu IKS peněžní trh a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 16.4 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu Pioneer - Sporokonto a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 16.5 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ING International Český fond peněžního trhu a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Příloha č.17 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů akcií Obr. 17.1 ACF a PACF logaritmických výnosů akcií ČEZ a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 17.2 ACF a PACF logaritmických výnosů akcií Unipetrol a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 17.3 ACF a PACF logaritmických výnosů akcií Komerční banka a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 17.4 ACF a PACF logaritmických výnosů akcií Český Telecom a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 17.5 ACF a PACF logaritmických výnosů akcií Philip Morris a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Příloha č.18 Analýza fondu Pioneer Akciový Tab. 18.1 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 3,91366 0,0001 -6,79615 0,0000 -0,02709 0,9784 51,5770 0,0000

Tab. 18.2 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000189 3,32E-07 0,015737 0,015836 0,070420

t-test

p-hodnota

φ0 0,000272 1,441089 ω 5,56E-07 1,675607 α1 0,081928 5,205991 β1 0,914556 57,75019 v1 1,462157 20,76348 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,1496 0,0938 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 18.3 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000189 2,07E-07 0,006826 0,020547 0,010887 0,075048

t-test

p-hodnota

φ0 7,71E-05 0,408786 ω 4,53E-07 2,187409 α1 -0,003772 -0,552546 γ1 0,116701 5,679679 β1 0,940341 86,37116 v1 1,534949 20,45291 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,6827 0,0287 0,5806 0,0000 0,0000 0,0000

Obr. 18.1 ACF a PACF modelu GRJGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 18.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu GRJGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 18.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,534949 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 9,649730 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile 6

4

4

2

2 TDIST

GED_POINEER

Empirical Quantile-Quantile 6

0

0

-2

-2

-4

-4

-6

-6 -6

-4

-2

0

2

4

6

-6

-4

-2

RESID_GED

0

2

4

6

RESID01

Obr. 18.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení Theoretical Quantile-Quantile 6

Normal Quantile

4 2 0 -2 -4 -6 -6

-4

-2

0

2

4

6

RESID_N

Obr. 18.5 Histogram standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,534949 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 9,649730 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

330

300

230

200

130

100

frequency

frequency

Histogram for standardized residuals

30 70

0 100 200

170

300

270 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

-8

-5

-2 1 4 7 Histogram for t distribution

10

Obr. 18.6 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky 160

Series: Standardized Residuals Sample 1/05/2001 12/30/2005 Observations 1226

140 120 100 80 60 40 20 0 -2.5

0.0

2.5

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.011371 0.024102 5.250237 -4.316417 0.999422 -0.050308 4.126800

Jarque-Bera Probability

65.37658 0.000000

5.0

Tab. 18.4 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu GRJ-GARCH(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (9,65) GED (1,53)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0282 0,1070 0,0400

0,2846 0,2024 0,2659

Tab. 18.5 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Generalized Logistic 3 3461,34 8,6682** 0,0223*** 0,0367*** 0,0922*** 0,0869*** 0,5105*** Loglogistic (3-Par.) 3 3461,90 9,2086** 0,0192*** 0,0366*** 0,0836*** 0,0834*** 0,5396*** Exponential Power 3 3462,22 6,7799*** 0,0204*** 0,0343*** 0,0812*** 0,0765*** 0,4404*** Student's t 1 3467,12 12,9596* 0,0293*** 0,0584 0,3061*** 0,3039 1,9674** Laplace 2 3515,78 36,3209 0,0506 0,0778 0,6243* 0,5577 4,0249 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Obr. 18.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter)

frequency

800 600 400 200 0 -5

-2

1 4 7 Standardized residuals

10

Příloha č.19 Analýza fondu ING International Český akciový fond Tab. 19.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000229 1,47E-06 0,019479 0,026752 0,054204

t-test

p-hodnota

φ0 -0,001538 -6,716397 ω 3,76E-06 2,562555 α1 0,089311 4,585094 β1 0,870735 32,54887 v1 1,377980 25,42189 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0104 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 19.2 Porovnání alternativních modelů GARCH-M(1,1) lišících se členem charakterizujícím podmíněný rozptyl v úrovňovém modelu GARCH-M(1,1) st.deviation var log(var)

log-věrohodnostní funkce 4117,232 4115,622 4118,863

AIC

SBC

-6,527353 -6,524797 -6,529941

-6,506961 -6,504404 -6,509549

Tab. 19.3 Odhadnuté parametry modelu GARCH-M(1,1) s konstantou a logaritmem podmíněného rozptylu v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000620 0,005936 1,31E-06 0,019758 0,024337 0,054872

t-test

p-hodnota

φ0 0,001600 2,580867 λ 0,013738 2,314310 ω 3,37E-06 2,579149 α1 0,095556 4,836237 β1 0,870094 35,75119 v1 1,365298 24,88128 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0099 0,0207 0,0099 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 19.4 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000230 0,214017 0,040738 0,023689 0,022133 0,051734

t-test

p-hodnota

φ0 -0,001453 -6,328604 ω -0,851156 -3,977048 α1 0,183478 4,503812 γ1 0,072561 3,063067 β1 0,924697 41,78003 v1 1,406596 27,18895 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0001 0,0000 0,0022 0,0000 0,0000

Tab. 19.5 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota -3,1550 0,0016 1,5980 0,1100 7,1113 0,0000 50,4252 0,0000

Tab. 19.6 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (7,55) GED (1,41)

Normální Studentovo t GED

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0416 0,0506 0,0304

0,0256 0,0793 0,6056

Tab. 19.7 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000231 2,02E-06 0,029080 0,034168 0,035087 0,051083

t-test

p-hodnota

φ0 -0,001436 -6,220092 ω 6,49E-06 3,221351 α1 0,131342 4,516618 γ1 -0,096409 -2,821639 β1 0,839109 23,91511 v1 1,387794 27,16716 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0013 0,0000 0,0048 0,0000 0,0000

Obr. 19.1 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) se Studentovým t rozdělením a Studentova t rozdělení s 7,548220 stupni volnosti Theoretical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile

8

12 8

4 TDIST_ING

Normal Quantile

6

2 0

4 0 -4

-2 -4

-8 -4

-2

0

2

4

6

8

RESID_EGARCH_NORM

-4

-2

0

2

4

6

8

RESID05

Obr. 19.2 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,406596 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile 8 6

GED_ING

4 2 0 -2 -4 -6 -4

-2

0

2 RESID04

4

6

8

Obr. 19.3 Histogram standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,406596 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 7,548220 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

310

300

210

200

110

100

frequency

frequency

Histogram for standardized residuals

10 90 190

0 100 200

290

300 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

-8

-4 0 4 Histogram for t distribution

8

Obr. 19.4 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky 300

Series: Standardized Residuals Sample 1/04/2001 12/30/2005 Observations 1260

250 200 150 100 50 0 -2

0

2

4

6

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.028924 -0.002281 7.735911 -3.106341 1.001546 0.539057 6.267140

Jarque-Bera Probability

621.4179 0.000000

8

Tab. 19.8 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Loglogistic (3-Par.) 3 3521,52 8,0442* 0,0171*** 0,0330*** 0,0448*** 0,0448*** 0,3582*** Generalized Logistic 3 3524,34 8,1863* 0,0185*** 0,0339*** 0,0469*** 0,0468*** 0,3344*** Exponential Power 3 3535,16 6,3921* 0,0250*** 0,0395*** 0,0714*** 0,0703*** Student's t 1 3546,82 12,1820* 0,0446* 0,0719 0,6322* 0,6110 3,9759 Laplace 2 3575,38 30,2812 0,0401* 0,0760 0,4925* 0,4737 3,0309* Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Obr. 19.5 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter)

1000

frequency

800 600 400 200 0 -4

-1

2 5 8 Standardized residuals

11

Příloha č.20 Analýza fondu ISČS Eurotrend Tab. 20.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s normálním rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad t-test směrodatné chyby odhadu 0,0002731 0,636869 φ0 0,000174 0,0002642 0,659065 1,909137 3,09E-071 ω 5,90E-07 2,78E-072 2,118793 0,0099001 7,001780 γ1 0,069319 0,0168272 4,119491 99,37592 0,0093451 β1 0,928641 59,46009 0,0156182 1) odhady metodou maximální věrohodnosti 2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti

p-hodnota 0,5242 0,5099 0,0562 0,0341 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 20.2 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s normálním rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad t-test směrodatné chyby odhadu -0,792659 0,0002751 φ0 -0,000218 0,0002542 -0,860440 3,40E-071 4,153280 ω 1,41E-06 2,90E-072 4,865985 -0,988025 0,0116281 α1 -0,011489 0,0139112 -0,825840 6,011078 0,0226541 γ1 0,136174 0,0228562 5,957920 0,0095651 97,52062 β1 0,932782 0,0146552 63,64764 1) odhady metodou maximální věrohodnosti 2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti

p-hodnota 0,4280 0,3895 0,0000 0,0000 0,3231 0,4089 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 20.3 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s normálním rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad t-test směrodatné chyby odhadu 0,0002661 -0,606073 φ0 -0,000161 0,0002612 -0,616590 0,0293891 -5,823862 ω -0,171158 0,0406512 -4,210400 0,0163971 4,845991 α1 0,079460 0,0230292 3,450486 0,0146311 -6,927107 γ1 -0,101351 0,0143222 -7,076710 0,0027811 355,2851 β1 0,988074 0,0031672 312,0259 1) odhady metodou maximální věrohodnosti 2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti

p-hodnota 0,5445 0,5375 0,0000 0,0000 0,0000 0,0006 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 20.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 1,0808 0,2798 -5,9355 0,0000 2,4620 0,0138 56,7863 0,0000

Tab. 20.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) GED (1,83)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0205 0,0259

0,6708 0,7684

Obr. 20.1 ACF a PACF modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s normálním rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 20.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s normálním rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr 20.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) se GED rozdělením a GED s 1,831579 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile

4

4

3

3

2

2

GED_EGARCH_EURO

Normal Quantile

Theoretical Quantile-Quantile

1 0 -1 -2 -3 -4

1 0 -1 -2 -3 -4

-5

-5 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

EURO_RESID_EGARCH_N

3

4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

EURO_RESID_EGARCH_GED

4

Příloha č.21 Analýza fondu ISČS Globalstocks Tab. 21.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,027728 2,90E-07 0,013920 0,013201 0,915489

t-test

p-hodnota

φ1 0,178993 6,455359 ω 5,52E-07 1,899219 α1 0,059548 4,277909 β1 0,934605 70,80031 v1 6,882262 7,517579 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0575 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 21.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,028227 3,34E-07 0,017608 0,023267 0,014277 1,149083

t-test

p-hodnota

φ1 0,180357 6,389510 ω 8,98E-07 2,689244 α1 0,020294 1,152564 γ1 0,075854 3,260155 β1 0,928193 65,01254 v1 7,439272 6,474092 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0072 0,2491 0,0011 0,0000 0,0000

Tab. 21.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) a t rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,027455 0,049377 0,024759 0,017102 0,004316 1,319250

t-test

p-hodnota

φ1 0,180395 6,570523 ω -0,220460 -4,464845 α1 0,094014 3,797230 γ1 -0,076783 -4,489852 β1 0,984810 228,1844 v1 7,990155 6,056587 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

Obr. 21.1 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky 300

Series: Standardized Residuals Sample 1/04/2001 12/30/2005 Observations 1263

250 200 150 100 50 0 -8

-6

-4

-2

0

2

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.024437 0.000000 2.829207 -7.883991 0.994823 -0.583909 6.283927

Jarque-Bera Probability

639.2873 0.000000

Tab. 21.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 2,04442 0,0409 -2,4997 0,0124 -0,2048 0,8377 4,4204 0,2195

Obr. 21.3 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu AR(1)EGARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 21.2 ACF a PACF modelu AR(1)EGARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Tab. 21.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (7,99) GED (1,42)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0303 1,2137 0,8954

0,1922 0,1051 0,4041

Obr. 21.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 7,990155 stupni volnosti Theoretical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile

4

8 4

0 -2

TDIST

Normal Quantile

2

-4

0 -4

-6 -8

-8 -10 -8

-6

-4

-2

0

GLOB_RESID_EGARCH

2

4

-12 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

GLOB_RESID_EGARCH_T

4

Obr. 21.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,416750 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile 4 2

GED

0 -2 -4 -6 -8 -10 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

GLOB_RESID_EGARCH_GED

Obr. 21.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,416750 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 7,990155 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

460

430

260

230 frequency

frequency

Histogram for standardized residuals

60

30 170

140

370

340 -8

-5 -2 1 4 7 Histogram for GED distribution

10

-11

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Tab. 21.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Loglogistic (3-Par.) 3 3528,00 6,4884** 0,0185*** 0,0355*** 0,0739*** 0,0737*** 0,5607*** Generalized Logistic 3 3528,26 7,0189** 0,0263*** 0,0390*** 0,1573*** 0,1109*** 0,8415*** Exponential Power 3 3533,74 6,3645* 0,0193*** 0,0367*** 0,0001*** Student's t 1 3543,20 27,0718 0,0367** 0,0637 0,5078* 0,5040 3,5642* Laplace 2 3573,34 25,0001 0,0401* 0,0785 0,5825* 0,5816 3,6668* Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Obr. 21.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter)

(X 1000,0) 1

frequency

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -9

-5 -1 3 Standardized residuals

7

Příloha č.22 Analýza fondu ISČS Sporobond Tab. 22.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 3,40E-05 0,024821 2,81E-08 0,021566 0,028758 0,060156

t-test

p-hodnota

φ0 0,000176 5,175085 φ1 0,152860 6,158442 ω 7,38E-08 2,630797 α1 0,087527 4,058508 β1 0,875624 30,44800 v1 1,145731 19,04607 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0085 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 22.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 3,37E-05 0,024775 0,262533 0,039396 0,024639 0,018652 0,060282

t-test

p-hodnota

φ0 0,000168 4,987672 φ1 0,155935 6,293999 ω -0,895675 -3,411671 α1 0,201219 5,107665 γ1 -0,017312 -0,702614 β1 0,943683 50,59358 v1 1,148718 19,05572 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0006 0,0000 0,4823 0,0000 0,0000

Tab. 22.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 3,41E-05 0,025384 4,99E-08 0,029461 0,051138 0,044881 0,060994

t-test

p-hodnota

φ0 0,000172 5,060041 φ1 0,154210 6,075126 ω 1,46E-07 2,917494 α1 0,077843 2,642213 γ1 0,093657 1,831457 β1 0,804755 17,93071 v1 1,143183 18,74248 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0035 0,0082 0,0670 0,0000 0,0000

Tab. 22.4 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 3,42E-05 0,025640 2,12E-08 0,019569 0,091605 0,087371 0,026067 0,061553

t-test

p-hodnota

φ0 0,000172 5,032336 φ1 0,147248 5,742820 ω 4,40E-08 2,081046 α1 0,055245 2,823065 γ1 0,204880 2,236558 γ2 -0,187852 -2,150048 β1 0,915497 35,12142 v1 1,154923 18,76316 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0374 0,0048 0,0253 0,0316 0,0000 0,0000

Tab. 22.5 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 1,5145 0,1299 -17,4496 0,0000 26,1501 0,0000 2,2903 0,5144

Tab. 22.6 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (44,25) GED (1,15)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0479 0,0620 0,0229

0,0058 0,0155 0,8954

Obr. 22.1 ACF a PACF modelu AR(1)GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 22.2 AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 22.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,154923 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)GRJ(2)-GARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 44,25844 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile 6

4

4 TDIST_SPOROBOND

GED_SPOROBOND

Empirical Quantile-Quantile 6

2 0 -2 -4

2 0 -2 -4

-6

-6 -6

-4

-2

0

2

4

RESID_SPOROBOND_GED

6

-6

-4

-2

0

2

4

RESID_SPOROBOND_T

6

Obr. 22.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení Theoretical Quantile-Quantile 6 4 Normal Quantile

2 0 -2 -4 -6 -6

-4

-2

0

2

4

6

RESID_SPOROBOND_N

Obr. 22.5 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,154923 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 44,25844 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

Histogram for standardized residuals 570

480

370 frequency

frequency

280 80 120

170 30 230 430

320 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

-11

8

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Obr. 22.6 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky 200

Series: Standardized Residuals Sample 1/04/2001 12/30/2005 Observations 1263

160 120 80 40 0 -5.0

-2.5

0.0

2.5

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.000331 -0.031323 3.973976 -5.080216 1.000079 0.001559 5.119045

Jarque-Bera Probability

236.3052 0.000000

Tab. 22.7 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Exponential Power 3 3483,92 16,6088*** 0,0179*** 0,0339*** 0,0842*** 0,0469*** 0,5192*** Laplace 2 3489,62 22,4181*** 0,0319*** 0,0478*** 0,1934*** 0,1198*** 1,1618*** Loglogistic (3-Par.) 3 3503,18 27,5372* 0,0303*** 0,0565 0,2519*** 0,2516* 1,3466*** Generalized Logistic 3 3503,24 28,9979* 0,0289*** 0,0572 0,2639*** 0,2634* 1,4279*** Student's t 1 3548,26 77,9221 0,0540 0,1053 1,6399 1,6366 9,1960 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Obr. 22.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

frequency

400 300 200 100 0 -6

-3

0 3 6 Standardized residuals

9

Příloha č.23 Analýza fondu KBC Renta Tab. 23.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-ARCH(1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 4,04E-05 0,026156 1,56E-07 0,062790 0,042173

t-test

p-hodnota

φ0 0,000183 4,533102 φ1 0,225990 8,639979 ω 1,93E-06 12,41826 α1 0,313960 5,000161 v1 0,981319 23,26865 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 23.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 4,03E-05 0,026925 2,37E-07 0,061919 0,101963 0,042311

t-test

p-hodnota

φ0 0,000185 4,585576 φ1 0,224948 8,354741 ω 1,14E-06 4,813282 α1 0,319922 5,166743 β1 0,298092 2,923521 v1 0,991406 23,43116 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0035 0,0000

Tab. 23.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 4,11E-05 0,026546 1,390312 0,074010 0,049161 0,106151 0,045853

t-test

p-hodnota

φ0 0,000195 4,740167 φ1 0,236325 8,902569 ω -5,747357 -4,133862 α1 0,466551 6,303894 γ1 0,084673 1,722352 β1 0,581454 5,477590 v1 1,004245 21,90156 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0850 0,0000 0,0000

Tab. 23.4 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 4,08E-05 0,026396 2,58E-07 0,087377 0,104782 0,108892 0,046091

t-test

p-hodnota

φ0 0,000191 4,670240 φ1 0,224741 8,514316 ω 1,35E-06 5,222834 α1 0,442020 5,058748 γ1 -0,288443 -2,752782 β1 0,227340 2,087754 v1 0,997743 21,64704 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0059 0,0368 0,0000

Tab. 23.5 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota -1,47826 0,1393 -0,0429347 0,9657 21,6898 0,0000 388,2800 0,0000

Obr. 23.1 ACF a PACF modelu AR(1)EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 23.2 AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Tab. 23.6 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (3,48) GED (1,00)

Normální Studentovo t GED

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0750 0,1052 0,0425

0,0000 0,0000 0,2525

Obr. 23.3 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky 350

Series: Standardized Residuals Sample 1/03/2001 12/30/2005 Observations 1144

300 250 200 150 100 50 0 -4

-2

0

2

4

6

8

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.015971 -0.043950 8.374914 -4.745076 1.000477 0.537300 10.44369

Jarque-Bera Probability

2696.184 0.000000

Obr. 23.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,004245 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)EGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 3,476410 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile

15

20 15

TDIST_KBC

GED_KBC

10

5

10 5 0

0 -5 -5

-10 -5

0

5

10

15

-5

RESID_EGRACH_GED

0

5

10

15

RESID_EGARCH_T

Obr. 23.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení Theoretical Quantile-Quantile 10 8

Normal Quantile

6 4 2 0 -2 -4 -6 -6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

RESID_EGARCH_N

Obr. 23.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,004245 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,476410 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

Histogram for standardized residuals

490

580 380 frequency

frequency

290 90 110

180 20 220

310

420 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

-11

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Tab. 23.7 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Laplace 2 3033,12 36,3483 0,0349*** 0,0502*** 0,2486*** 0,1887*** 1,5016*** Exponential Power 3 3034,88 36,7657 0,0326*** 0,0469*** 0,2265*** 0,1707*** 1,4068*** Loglogistic (3-Par.) 3 3061,18 63,6344 0,0386** 0,0656 0,3329*** 0,3329 2,2886** Generalized Logistic 3 3062,7 62,7232 0,0406* 0,0651 0,3382*** 0,3324 2,2819*** Student's t 1 3143,72 141,2590 0,0814 0,1624 3,1399 3,0932 19,1437 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Obr. 23.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

500

frequency

400 300 200 100 0 -7

-4

-1 2 5 Standardized residuals

8

11

Příloha č.24 Analýza fondu IKS Dluhopisový Tab. 24.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-ARCH(1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 3,20E-05 0,026872 0,019684 9,28E-08 0,082750 0,054696

t-test

p-hodnota

φ0 0,000205 6,405177 φ1 0,122760 4,568342 φ8 0,074641 3,792040 ω 1,21E-06 13,01405 α1 0,345319 4,173020 v1 1,033662 18,89845 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 24.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 3,10E-05 0,025291 0,022472 2,61E-08 0,032287 0,033565 0,051469

t-test

p-hodnota

φ0 0,000198 6,378094 φ1 0,124079 4,906000 φ8 0,072975 3,247347 ω 7,12E-08 2,728963 α1 0,147078 4,555389 β1 0,826938 24,63658 v1 1,055005 20,49776 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0012 0,0064 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 24.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 3,03E-05 0,025608 0,022520 0,267525 0,049565 0,026320 0,018702 0,052294

t-test

p-hodnota

φ0 0,000191 6,320540 φ1 0,123705 4,830743 φ8 0,066526 2,954132 ω -0,934916 -3,494682 α1 0,295663 5,965114 γ1 -0,001204 -0,045751 β1 0,946202 50,59453 v1 1,078079 20,61592 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0031 0,0005 0,0000 0,9635 0,0000 0,0000

Tab. 24.4 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 3,11E-05 0,025303 0,022418 2,76E-08 0,037140 0,043283 0,034802 0,051725

t-test

p-hodnota

φ0 0,000197 6,317514 φ1 0,124428 4,917472 φ8 0,073001 3,256357 ω 7,53E-08 2,726251 α1 0,134039 3,609075 γ1 0,029374 0,678664 β1 0,823118 23,65117 v1 1,054672 20,39007 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0011 0,0064 0,0003 0,4974 0,0000 0,0000

Tab. 24.5 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu AR(1,8)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 0,3204 0,7487 -4,6019 0,0000 3,5352 0,0004 49,2860 0,0000

Obr. 24.1 Funkce NIC modelu AR(1,8)-GARCH(1,1) a modelu AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky 0,00001 0,000009 0,000008 0,000007 0,000006 0,000005 0,000004 0,000003 0,000002

NIC GARCH

0,000001

NIC GRJ

0 -0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

εt

Obr. 24.2 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,078079 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)EGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 3,927485 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile

6

8

TDIST_DLUHOPISOVY

GED_DLUHOPISOVY

4 2 0 -2 -4 -6

4 0 -4 -8 -12

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6

-4

RESID_DLUHOPISOVY_GED

-2

0

2

4

6

RESID_DLUHOPISOVY_T

Tab. 24.6 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (3,93) GED (1,08)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0549 0,0899 0,0413

0,0012 0,0000 0,2456

Obr. 24.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení Theoretical Quantile-Quantile 6 4 Normal Quantile

2 0 -2 -4 -6 -6

-4

-2

0

2

4

6

RESID_DLUHOPISOVY_N

Obr. 24.4 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,078079 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,927485 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

300

560

200

360

100

frequency

frequency

Histogram for standardized residuals

0 100

160 40 240

200

440

300 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

-11

-7

-3 1 5 Histogram for t distribution

9

Obr. 24.5 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky 320

Series: Standardized Residuals Sample 1/18/2001 12/29/2005 Observations 1224

280 240 200 160 120 80 40 0 -6

-4

-2

0

2

4

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.003220 0.000340 4.823144 -5.704718 1.000598 0.040469 6.390640

Jarque-Bera Probability

586.6525 0.000000

Obr. 24.6 ACF a PACF modelu AR(1,8)EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 24.7 AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Tab. 24.7 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Laplace 2 3300,22 42,8048 0,0364** 0,0539* Exponential Power 3 3301,26 43,4144 0,0329*** 0,0476** Loglogistic (3-Par.) 3 3322,98 67,5349 0,0351** 0,0610 Generalized Logistic 3 3324,28 65,1071 0,0380** 0,0616 Student's t 1 3418,62 154,805 0,0811 0,1622 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 0,2971*** 0,2313* 0,2564*** 0,1893* 0,2962*** 0,2957 0,3147*** 0,3101 3,39104 3,34396

AndersonDarling A^2 1,7781*** 1,6050*** 2,1164** 2,1737** 20,9055

Obr. 24.8 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

500

frequency

400 300 200 100 0 -7

-4

-1 2 5 Standardized residuals

8

11

Příloha č.25 Analýza fondu ING International Český fond obligací Tab. 25.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 4,51E-05 0,024735 0,024449 6,38E-08 0,024871 0,046315 0,059392

t-test

p-hodnota

φ0 0,000189 4,200753 φ1 0,218311 8,825939 φ4 0,066900 2,736322 ω 1,47E-07 2,299155 α1 0,086902 3,494124 β1 0,843402 18,21022 v1 1,174465 19,77472 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0062 0,0215 0,0005 0,0000 0,0000

Tab. 25.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 4,44E-05 0,024303 0,024157 0,261536 0,035568 0,018794 0,019025 0,059990

t-test

p-hodnota

φ0 0,000184 4,141993 φ1 0,215139 8,852228 φ4 0,061934 2,563772 ω -0,672010 -2,569478 α1 0,146103 4,107667 γ1 0,019660 1,046070 β1 0,957163 50,31152 v1 1,179312 19,65838 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0104 0,0102 0,0000 0,2955 0,0000 0,0000

Tab. 25.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 4,51E-05 0,024837 0,024462 6,73E-08 0,031150 0,034613 0,048634 0,059688

t-test

p-hodnota

φ0 0,000189 4,179700 φ1 0,218273 8,788343 φ4 0,067179 2,746246 ω 1,55E-07 2,306014 α1 0,087223 2,800080 γ1 0,005577 0,161133 β1 0,836428 17,19860 v1 1,174440 19,67636 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0000 0,0060 0,0211 0,0051 0,8720 0,0000 0,0000

Tab. 25.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota -1,29867 0,1941 -1,57511 0,1152 4,53802 0,0000 31,8966 0,0000

Tab. 25.5 Výsledky Kolmogorovova-Smirnovova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (4,92) GED (1,18)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0528 0,0689 0,0493

0,0017 0,0050 0,0932

Obr. 25.1 Funkce NIC modelu AR(1,4)-GARCH(1,1) a modelu AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky 0,000008 0,000007 0,000006 0,000005 0,000004 0,000003 0,000002

NIC GARCH

0,000001

NIC GRJ

0 -0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

εt

Obr. 25.2 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,179312 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)EGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 4,923303 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile

6

8 6

4

4 TDIST_ING

GED_ING

2 0 -2

2 0 -2 -4

-4

-6

-6

-8 -6

-4

-2

0

2

RESID_ING_OBL_GED

4

6

-6

-4

-2

0

2

RESID_ING_OBL_T

4

6

Obr. 25.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení Theoretical Quantile-Quantile 6 4 Normal Quantile

2 0 -2 -4 -6 -6

-4

-2

0

2

4

6

RESID_ING_OBL_N

Obr. 25.4 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,179312 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 4,923303 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

Histogram for standardized residuals

480

560 360 frequency

frequency

280 80 120

160 40 240

320

440 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

-11

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Obr. 25.5 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky 320

Series: Standardized Residuals Sample 1/10/2001 12/30/2005 Observations 1256

280 240 200 160 120 80 40 0 -4

-2

0

2

4

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

0.007964 -0.007381 5.398656 -4.869420 1.000591 -0.004368 5.158041

Jarque-Bera Probability

243.7277 0.000000

Tab. 25.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Exponential Power 3 3480,28 10,4245*** 0,0149*** 0,0253*** 0,0284*** 0,0219*** 0,1882*** Laplace 2 3490,22 22,9966*** 0,0298*** 0,0427*** 0,1509*** 0,1274*** 0,9810*** Generalized Logistic 3 3493,32 19,0170*** 0,0254*** 0,0496* 0,1826*** 0,1826** 0,9158*** Loglogistic (3-Par.) 3 3493,70 18,6220*** 0,0261*** 0,0491* 0,1807*** 0,1807** 0,9075*** Student's t 1 3532,00 55,6327 0,0569 0,1015 1,3375 1,3319 7,5182 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Obr. 25.6 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

frequency

400 300 200 100 0 -7

-4

-1 2 5 Standardized residuals

8

Příloha č.26 Analýza fondu ISČS Sporoinvest Tab. 26.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 6,14E-06 1,37E-09 0,010424 0,021578 0,038160

t-test

p-hodnota

φ0 9,83E-05 16,00122 ω 3,41E-09 2,482916 α1 0,038905 3,732206 β1 0,918592 42,57115 v1 1,099195 28,80472 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0130 0,0002 0,0000 0,0000

Tab. 26.2 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 6,13E-06 0,254727 0,025047 0,016371 0,015159 0,037535

t-test

p-hodnota

φ0 9,57E-05 15,60698 ω -0,573156 -2,250082 α1 0,102994 4,111964 γ1 0,007389 0,451327 β1 0,969521 63,95780 v1 1,094612 29,16234 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0244 0,0000 0,6518 0,0000 0,0000

Tab. 26.3 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 6,15E-06 1,33E-09 0,017853 0,018113 0,021857 0,038342

t-test

p-hodnota

φ0 9,81E-05 15,95413 ω 3,27E-09 2,459055 α1 0,043153 2,417128 γ1 -0,008850 -0,488629 β1 0,920418 42,11085 v1 1,099443 28,67472 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0139 0,0156 0,6251 0,0000 0,0000

Tab. 26.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 2,4798 0,0131 -2,7012 0,0069 0,148119 0,8822 12,8225 0,0050

Tab. 26.5 Výsledky Kolmogorovova-Smirnovova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Studentovo t (3,77) GED (1,10)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,1122 0,0605

0,0000 0,0197

Obr. 26.1 ACF a PACF modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace

Obr. 26.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 26.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,099195 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,773493 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile 12

4

8 TDIST_SPOROINVEST

GED_SPOROINVEST

Empirical Quantile-Quantile 6

2 0 -2 -4 -6

4 0 -4 -8 -12

-8 -10 -12

-8

-4

0

4

-16 -10

8

SPOROINVEST_RESID_GED

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

SPOROINVEST_RESID_T

Obr. 26.4 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,099195 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,773493 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

Histogram for standardized residuals

470

580 380 frequency

frequency

270 70 130

180 20 220

330

420 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

-11

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Příloha č.27 Analýza fondu KBC Multicash ČSOB CZK Tab. 27.1 Odhadnuté parametry modelu AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad t-test směrodatné chyby odhadu 1,05E-051 11,30490 φ0 0,000119 1,06E-052 11,28489 0,0292071 3,059241 φ4 0,089353 0,0378102 2,363208 5,516717 0,0290811 φ5 0,160431 0,0369512 4,341750 0,0292161 3,935348 φ8 0,114973 0,0281912 4,078441 1) odhady metodou maximální věrohodnosti 2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti

Obr. 27.1 ACF a PACF modelu AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

p-hodnota 0,0000 0,0000 0,0023 0,0183 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000

Obr. 27.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 27.3 Histogram reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky 600

Series: Residuals Sample 2/14/2001 12/30/2005 Observations 1131

500 400 300 200 100 0 0.00000

0.00125

0.00250

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

1.25e-17 -1.96e-05 0.003374 -0.000839 0.000225 4.367917 56.85058

Jarque-Bera Probability

140253.4 0.000000

Obr. 27.4 Q-Q graf reziduí modelu AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky a normovaného normálního rozdělení Theoretical Quantile-Quantile 20

Normal Quantile

16 12 8 4 0 -4 -8 -.001

.000

.001

.002

.003

.004

RESID_AR

Tab. 27.2Testy shody rozdělení pro rezidua AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Laplace 2 -16331,1 27,3002 0,0451* 0,0762 Loglogistic (3-Par.) 3 -16317,0 52,0980 0,0566 0,0991 Exponential Power 3 -16300,6 37,5734 0,0833 0,1119 Generalized Logistic 3 -16238,2 90,8273 0,0791 0,1227 Student's t 1 2080,64 0,4997 0,9983 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 0,4290* 0,3594 0,7554 0,7554 2,2529 1,3140 1,9768 1,5696 94,202 94,2024

AndersonDarling A^2 3,8213* 4,5594 10,590 10,2848 436,7090

Obr. 27.5 Histogram rozdělení reziduí modelu AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

frequency

800 600 400 200 0 -11

-1 9 19 29 Standardized residuals

39 (X 0,0001)

Příloha č.28 Analýza fondu Pioneer Sporokonto Tab. 28.1 Odhadnuté parametry modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky Parametr φ0 φ2 φ4 φ5 φ20 ω α1 β1 v1

Odhad 7,28E-05 0,061731 0,087910 0,167989 0,081367 3,45E-10 0,063849 0,942117 2,741336

Odhad směrodatné chyby odhadu 5,68E-06 0,023283 0,022599 0,022177 0,020707 1,39E-10 0,016171 0,008564 0,214764

t-test

p-hodnota

12,83161 2,651339 3,890068 7,575027 3,929328 2,488126 3,948286 110,0145 12,76441

0,0000 0,0080 0,0001 0,0000 0,0001 0,0128 0,0001 0,0000 0,0000

1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

Tab. 28.2 Odhadnuté parametry modelu AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s podmíněnou směrodatnou odchylkou v úrovňovém modelu a t rozdělením nesystematické složky Parametr φ0 φ2 φ4 φ5 φ20 λ ω α1 β1 v1

Odhad 5,60E-05 0,048520 0,074848 0,157816 0,073599 0,157143 2,79E-10 0,059906 0,945491 2,760140

Odhad směrodatné chyby odhadu 7,63E-06 0,023438 0,022610 0,022295 0,020853 0,049083 1,16E-10 0,014429 0,007558 0,216873

t-test

p-hodnota

7,341340 2,070176 3,310470 7,078496 3,529497 3,201589 2,415800 4,151679 125,1023 12,72701

0,0000 0,0384 0,0009 0,0000 0,0004 0,0014 0,0157 0,0000 0,0000 0,0000

1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

Tab. 28.3 Odhadnuté parametry modelu AR(2,4,5,20)-GRJ-GARCH s t rozdělením nesystematické složky Parametr φ0 φ2 φ4 φ5 φ20 ω α1 γ1 β1 v1

Odhad 7,27E-05 0,062092 0,088312 0,168206 0,081516 3,43E-10 0,062601 0,003711 0,941931 2,742793

Odhad směrodatné chyby odhadu 5,69E-06 0,023296 0,022607 0,022179 0,020712 1,41E-10 0,018515 0,019953 0,008640 0,214958

t-test

p-hodnota

12,77385 2,665376 3,906486 7,583979 3,935613 2,436379 3,381172 0,186005 109,0149 12,75965

0,0000 0,0077 0,0001 0,0000 0,0001 0,0148 0,0007 0,8524 0,0000 0,0000

1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

Tab. 28.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 2,4798 0,0131 -2,7012 0,0069 0,148119 0,8822 12,8225 0,0050

Tab. 28.5 Odhadnuté parametry modelu AR(2,4,5,20)-EGARCH s t rozdělením nesystematické složky Parametr φ0 φ2 φ4 φ5 φ20 ω α1 γ1 β1 v1

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 5,68E-06 0,023440 0,022863 0,021981 0,020182 0,084645 0,029029 0,016205 0,004610 0,218627

7,18E-05 0,058022 0,084054 0,167619 0,080215 -0,315767 0,181683 -0,017400 0,987729 2,753682

t-test

p-hodnota

12,65236 2,475318 3,676383 7,625786 3,974617 -3,730491 6,258765 -1,073711 214,2446 12,59535

0,0000 0,0133 0,0002 0,0000 0,0001 0,0002 0,0000 0,2830 0,0000 0,0000

1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

Obr. 28.1 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCHM(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 2,760140 stupni volnosti

Obr. 28.2 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 2,760140 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

Empirical Quantile-Quantile 20

600 400 frequency

TDIST_RSPOR

10

0

-10

200 0 200 400

-20

600 -30 -15

-11 -10

-5

0

5

10

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

RESID01

Obr. 28.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 2,753682 stupni volnosti

Obr. 28.4 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 2,753682 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

Empirical Quantile-Quantile 20

600 400 frequency

TDIST_RSPOR

10 0 -10

200 0 200 400

-20

600 -30 -15

-11 -10

-5

0

RESID_GARCH_T

5

10

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Obr. 28.5 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t rozdělením nesystematické složky 600

Series: Standardized Residuals Sample 2/02/2001 12/30/2005 Observations 1203

500 400 300 200 100 0 -15

-10

-5

0

5

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.036342 -0.078497 9.032277 -14.03710 1.042159 -2.220719 47.51675

Jarque-Bera Probability

100323.6 0.000000

10

Tab. 28.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Laplace 2 -1444,36 33,0355 0,0493 0,0563* Exponential Power 3 -1444,37 33,0687 0,0495 0,0564* Generalized Logistic 3 -1492,91 77,7940 0,0551 0,1092 Loglogistic (3-Par.) 3 -1493,9 52,6104 0,0535 0,1059 Student's t 1 -1575,87 147,3290 0,1197 0,2341 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 0,3687** 0,2009* 0,0001*** 1,0691 1,0674 1,0219 1,0217 7,7867 7,6147

AndersonDarling A^2 3,1048* 6,7803 6,3851 45,394

Obr. 28.6 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

1000

frequency

800 600 400 200 0 -16

-6 4 14 Standardized residuals

24

Příloha č.29 Analýza akcií ČEZ Tab. 29.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000414 8,32E-06 0,028870 0,034181 0,041527

t-test

p-hodnota

φ0 0,002259 5,453806 ω 2,31E-05 2,773037 α1 0,121260 4,200177 β1 0,824338 24,11677 v1 1,168328 28,13385 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0056 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 29.2 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000419 9,50E-06 0,034240 0,046650 0,036857 0,044723

t-test

p-hodnota

φ0 0,002199 5,253543 ω 2,86E-05 3,009368 α1 0,089122 2,602887 γ1 0,065638 1,407023 β1 0,805941 21,86655 v1 1,172621 26,21980 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0026 0,0092 0,1594 0,0000 0,0000

Tab. 29.3 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000419 0,243352 0,048699 0,029807 0,029035 0,045509

t-test

p-hodnota

φ0 0,002222 5,299537 ω -0,894768 -3,676854 α1 0,243016 4,990146 γ1 -0,056454 -1,894019 β1 0,910570 31,36063 v1 1,182712 25,98848 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0000 0,0002 0,0000 0,0582 0,0000 0,0000

Tab. 29.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 1,93917 0,0525 -4,56706 0,0000 0,18864 0,8504 24,0794 0,0000

Tab. 29.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (4,93) GED (1,16)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0534 0,0779 0,0265

0,0015 0,0009 0,7708

Obr. 29.1 ACF a PACF modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 29.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 29.3 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH (1,1) s GED rozdělením nesystematické složky 0,0015 0,0013 0,0011 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003

NIC GARCH

0,0001

NIC GRJ

-0,0001-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

εt

Obr. 29.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,168328 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 4,937872 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile

8

10

6 5

TDIST_RCEZ

GED_RCEZ

4 2 0 -2 -4

0

-5

-6 -8

-10 -8

-4

0

4

RTEL_RESID_GED

8

-8

-4

0 RTEL_RESID_T

4

8

Obr. 29.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení Theoretical Quantile-Quantile 4 2

Normal Quantile

0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -12 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

RESID_CEZ_N

Obr. 29.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,168328 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 4,937872 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

Histogram for standardized residuals

270

370 frequency

570

frequency

470

70 130

170 30 230

330 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

430 -11

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Obr. 29.7 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky 300

Series: Standardized Residuals Sample 1/03/2001 12/30/2005 Observations 1255

250 200 150 100 50 0 -10.0

-7.5

-5.0

-2.5

0.0

2.5

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.037360 -0.005186 3.235799 -10.35456 0.998555 -1.080652 12.76250

Jarque-Bera Probability

5227.997 0.000000

Tab. 29.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson Kolmogorov V Von Mises U^2 -Smirnov D W^2 Generalized Logistic 3 0,04745*** 0,1262*** 0,1256*** 3423,52 2,4416*** 0,0247*** Exponential Power 3 0,0155*** 0,02912*** 0,0001*** 3425,14 4,6628** Loglogistic (3-Parameter) 3 0,0246*** 0,0434*** 0,1471*** 0,1471*** 3432,3 6,1277* Laplace 2 0,0272*** 0,0504* 0,1899*** 0,1715* 3433,2 1,4785** Student's t 1 0,0598 0,1165 1,6955 1,6578 3479,38 19,0079 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

AndersonDarling A^2 0,7730*** 0,9656*** 1,2641*** 10,1234

Obr. 29.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

1200 frequency

1000 800 600 400 200 0

-13

-10

-7 -4 -1 2 Standardized residuals

5

Příloha č.30 Analýza akcií Unipetrol Tab. 30.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s normálním rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad t-test směrodatné chyby odhadu 0,0005501 2,557123 φ0 0,001407 0,0005102 2,760278 1,657424 0,0297581 φ1 0,049322 0,0479822 1,027923 2,25E-061 7,675523 ω 1,73E-05 6,72E-062 2,571985 11,32744 0,0141371 α1 0,160139 4,323865 0,0370362 0,0127641 65,10949 β1 0,831053 0,0314802 26,39927 1) odhady metodou maximální věrohodnosti 2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti

Obr. 30.1 ACF a PACF modelu AR(1)GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s t rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

p-hodnota 0,0106 0,0058 0,0974 0,3040 0,0000 0,0101 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Obr. 30.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu AR(1)GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s t rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 30.3 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu AR(1)-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky 360

Series: Standardized Residuals Sample 1/04/2001 12/30/2005 Observations 1254

320 280 240 200 160 120 80 40 0 -6

-4

-2

0

2

4

6

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.020958 -0.022749 7.405197 -7.321412 1.000363 -0.288401 10.71747

Jarque-Bera Probability

3129.359 0.000000

Tab. 30.2 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Laplace 3 3268,62 4,9637*** 0,0174*** 0,0293*** 0,0432*** 0,0393*** 0,4136*** Exponential Power 3 3271,00 5,2993** 0,0186*** 0,0340*** 0,0718*** 0,0625*** 0,4966*** Generalized Logistic 3 3337,16 24,5393 0,0452* 0,0887 0,7149* 0,7126 4,0663 Loglogistic (3-Par.) 2 3341,44 31,5564 0,0441* 0,0880 0,7002* 0,7001 3,9259 Student's t 1 3436,24 46,5460 0,0845 0,1627 4,1800 4,1565 23,8980 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Obr. 30.4 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

1500 frequency

1200 900 600 300 0

-9

-6

-3 0 3 6 Standardized residuals

9

Příloha č.31 Analýza akcií Komerční banka Tab. 31.1 Odhadnuté parametry modelu AR(4)-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a t rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000533 0,027774 1,29E-05 0,032041 0,051357 1,064678

t-test

p-hodnota

φ0 0,001316 2,470073 φ4 0,089200 3,211609 ω 3,47E-05 2,699978 α1 0,123109 3,842192 β1 0,792407 15,42949 v1 6,485694 6,091695 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0135 0,0013 0,0069 0,0001 0,0000 0,0000

Tab. 31.2 Odhadnuté parametry modelu AR(4)-EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a t rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000531 0,027871 0,254907 0,049599 0,028884 0,029881 1,206057

t-test

p-hodnota

φ0 0,000841 1,583842 φ4 0,087287 3,131845 ω -0,908296 -3,563248 α1 0,211762 4,269463 γ1 -0,109201 -3,780740 β1 0,905876 30,31592 v1 6,992088 5,797477 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,1132 0,0017 0,0004 0,0000 0,0002 0,0000 0,0000

Tab. 31.3 Odhadnuté parametry modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s t rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000537 0,027556 1,28E-05 0,029044 0,051929 0,050618 1,171873

t-test

p-hodnota

φ0 0,000965 1,796839 φ4 0,088475 3,210777 ω 4,11E-05 3,207972 α1 0,030121 1,037115 γ1 0,168470 3,244205 β1 0,782769 15,46437 v1 6,910096 5,896625 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,0724 0,0013 0,0013 0,2997 0,0012 0,0000 0,0000

Tab. 31.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu AR(4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 1,2352 0,2168 -4,37422 0,0000 -0,1037 0,9174 22,6394 0,0000

Obr. 31.1 ACF a PACF modelu AR(4)-GRJGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s t rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 31.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu AR(4)-GRJGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s t rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 31.3 Funkce NIC modelu AR(4)-GARCH(1,1) a modelu AR(4)-GRJ-GARCH (1,1) s GED rozdělením nesystematické složky 0,0015 0,0013 0,0011 0,0009 0,0007 0,0005

NIC GARCH

0,0003

NIC GRJ 0,0001 -0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

εt

Tab. 31.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (6,91) GED (1,39)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0313 1,5698 0,8981

0,1696 0,0145 0,4000

Obr. 31.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,391827 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 6,910096 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile

6

8

4

4

TDIST

GED

2 0

0

-4

-2 -8

-4 -6

-12 -6

-4

-2

0

2

4

6

-6

-4

-2

RESID

0

2

4

6

RESID

Obr. 31.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení Theoretical Quantile-Quantile 6

Normal Quantile

4 2 0 -2 -4 -6 -6

-4

-2

0

2

4

6

RESID

Obr. 31.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,391827 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 6,910096 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

310

310

210

210

110

110

frequency

frequency

Histogram for standardized residuals

10 90 190

10 90 190

290

290 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

-8

-5

-2 1 4 7 Histogram for t distribution

10

Obr. 31.7 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky 300

Series: Standardized Residuals Sample 1/09/2001 12/30/2005 Observations 1251

250 200 150 100 50 0 -6

-4

-2

0

2

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.000420 -0.006684 5.106845 -5.689244 1.000910 -0.202217 5.074666

Jarque-Bera Probability

232.8844 0.000000

4

Tab. 31.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Generalized Logistic 3 3502,8 7,4076** 0,0190*** 0,0298*** 0,0425*** 0,0381*** 0,3197*** Loglogistic (3-Par.) 3 3503,08 7,9462* 0,0169*** 0,0305*** 0,0384*** 0,0384*** 0,2951*** Exponential Power 3 3509,82 12,6866 0,0211*** 0,0320*** 0,0605*** 0,0569*** 0,5102*** Student's t 1 3524,6 29,4712 0,0363** 0,0649 0,554* 0,5508 3,8985 Laplace 2 3545,72 39,2828 0,0392* 0,0664 0,5049* 0,4910 3,2202* Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Obr. 31.8 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

1200 frequency

1000 800 600 400 200 0

-8

-4 0 4 Standardized residuals

8

Příloha č.32 Analýza akcií Český Telecom Tab. 32.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000270 3,04E-07 0,025827 0,015961 0,042801

t-test

p-hodnota

φ0 2,08E-06 0,007729 ω 6,96E-07 2,292056 α1 0,180621 6,993503 β1 0,851116 53,32541 v1 1,085703 25,36618 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,9938 0,0219 0,0000 0,0000 0,0000

Tab. 32.2 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000284 4,42E-07 0,027757 0,050936 0,016276 0,042891

t-test

p-hodnota

φ0 6,39E-06 0,022515 ω 1,02E-06 2,316433 α1 0,147442 5,311804 γ1 0,090166 1,770157 β1 0,843783 51,84203 v1 1,103442 25,72639 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,9820 0,0205 0,0000 0,0767 0,0000 0,0000

Tab. 32.3 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000299 0,064455 0,035912 0,028956 0,006112 0,047413

t-test

p-hodnota

φ0 2,46E-06 0,008236 ω -0,398974 -6,190007 α1 0,317123 8,830672 γ1 -0,043256 -1,493860 β1 0,978538 160,1126 v1 1,099015 23,17957 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,9934 0,0000 0,0000 0,1352 0,0000 0,0000

Tab. 32.3 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota -0,24112 0,8095 -3,65783 0,0003 4,09545 0,0000 43,2577 0,0000

Tab. 32.4 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (3,91) GED (1,08)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0641 0,0970 0,0346

0,0000 0,0000 0,4482

Obr. 32.1 ACF a PACF modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 32.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 32.3 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH (1,1) s GED rozdělením nesystematické složky 0,0015 0,0013 0,0011 0,0009 0,0007

NIC GARCH 0,0005

NIC GRJ

0,0003 -0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

εt

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

Obr. 32.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 1,085703 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 3,908461 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile

8

12

6

8

TDIST_RTEL

GED_RTEL

4 2 0 -2

4 0 -4

-4 -8

-6 -8

-12 -8

-4

0

4

8

-8

-4

RTEL_RESID_GED

0

4

8

RTEL_RESID_T

Obr. 32.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení Theoretical Quantile-Quantile 8 6

Normal Quantile

4 2 0 -2 -4 -6 -8 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

RTEL_RESID_N

Obr. 32.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,085703 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,908461 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

Histogram for standardized residuals 570

480

370 frequency

frequency

280 80

170 30

120

230

320

430

-8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

-11

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Obr. 32.7 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky 350

Series: Standardized Residuals Sample 1/03/2001 12/30/2005 Observations 1255

300 250 200 150 100 50 0 -6

-4

-2

0

2

4

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.008592 -0.026433 5.827912 -7.443858 0.998710 0.051135 8.797154

Jarque-Bera Probability

1757.913 0.000000

6

Tab. 32.5 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper CramerWatson AndersonKolmogorov V Von Mises U^2 Darling -Smirnov D W^2 A^2 Exponential Power 0,0201*** 0,0368*** 0,1098*** 0,1054*** 0,9755*** 3 3381,48 24,0567 Laplace 0,0273*** 0,0494* 0,2098*** 0,2020* 1,4961*** 2 3382,68 22,9108 Loglogistic (3-Par.) 0,0223*** 0,0404*** 0,1281*** 0,1281*** 1,0159*** 3 3392,58 30,1498 Generalized Logistic 3 3393,3 37,9011 0,0233*** 0,0416*** 0,1347*** 0,1343*** 1,1021*** Student's t 83,6217 0,0710 0,1298 2,3645 2,3293 15,2693 1 3465,3 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

Obr. 32.8Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

1200 frequency

1000 800 600 400 200 0

-9

-5 -1 3 Standardized residuals

7

Příloha č.33 Analýza akcií Philip Morris Tab. 33.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000347 7,96E-06 0,025110 0,037663 0,039318

t-test

p-hodnota

φ0 -6,30E-08 -0,000182 ω 2,06E-05 2,586223 α1 0,083539 3,326934 β1 0,858606 22,79695 v1 0,989078 25,15616 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,9999 0,0097 0,0009 0,0000 0,0000

Tab. 33.2 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000347 7,61E-06 0,027497 0,037479 0,036258 0,039956

t-test

p-hodnota

φ0 1,44E-06 0,004151 ω 2,04E-05 2,682937 α1 0,066623 2,422946 γ1 0,033043 0,881628 β1 0,858762 23,68444 v1 1,006675 25,19466 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,9967 0,0073 0,0154 0,3780 0,0000 0,0000

Tab. 33.3 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED rozdělením nesystematické složky Parametr

Odhad

Odhad směrodatné chyby odhadu 0,000339 0,205359 0,046248 0,028559 0,023452 0,040686

t-test

p-hodnota

φ0 1,01E-06 0,002994 ω -0,616411 -3,001631 α1 0,196721 4,253631 γ1 -0,027198 -0,952345 β1 0,940707 40,11163 v1 0,997934 24,52777 1) v je parametr odpovídajícího rozdělení

0,9976 0,0027 0,0000 0,3409 0,0000 0,0000

Tab. 33.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky Typ testu SB Test NSB test PSB test Obecný test

testové kritérium p-hodnota 0,59145 0,5542 -3,84863 0,0001 0,33321 0,7390 18,5316 0,0003

Obr. 33.1 ACF a PACF modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 33.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky, hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace

Obr. 33.3 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH (1,1) s GED rozdělením nesystematické složky 0,0015 0,0013 0,0011 0,0009 0,0007 0,0005

NIC GARCH

0,0003

NIC GRJ 0,0001 -0,1

-0,05

0

0,05

0,1

εt

Tab. 33.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s alternativními rozděleními Předpokládané rozdělení modelu Normální Studentovo t GED

Hypotetické rozdělení (parametry rozdělení) Normální (0;1) Studentovo t (3,61) GED (0,99)

KolmogorovSmirnovův test

p-hodnota

0,0704 0,1018 0,0498

0,0000 0,0000 0,0888

Obr. 33.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s normálním rozdělením a normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) se t rozdělením a t rozdělení s 3,610320 stupni volnosti Theoretical Quantile-Quantile

Empirical Quantile-Quantile

6

10

4

5

0

TDIST_RPM

Normal Quantile

2

-2 -4

0 -5 -10

-6 -15

-8 -10

-20 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-8

-6

RESID

-4

-2

0

2

4

6

RESID

Obr. 33.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED rozdělení s 0,989078 stupni volnosti Empirical Quantile-Quantile 6 4

GED_RPM

2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

RESID

Obr. 33.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram GED rozdělení s 0,989078 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,610320 stupni volnosti Histogram for standardized residuals

480

550

280

350 frequency

frequency

Histogram for standardized residuals

80 120

150 50 250

320 -8

-4 0 4 Histogram for GED distribution

8

450 -11

-7 -3 1 5 Histogram for t distribution

9

Obr. 33.7 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky 400

Series: Standardized Residuals Sample 1/03/2001 12/30/2005 Observations 1255

300

200

100

0 -8

-6

-4

-2

0

2

Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis

-0.003575 -0.049065 4.427874 -7.762184 1.000318 -0.940584 10.89106

Jarque-Bera Probability

3441.186 0.000000

4

Tab. 33.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky Distribution

Par. AIC

Chi-squaredModified Kuiper Kolmogorov V -Smirnov D Laplace 2 3332,66 12,7666* 0,0410* 0,0465** Exponential Power 3 3340,38 6,18114*** 0,0383* 0,0597 Generalized Logistic 3 3371,54 15,7452 0,0380** 0,0644 Loglogistic (3-Par) 3 3372 15,0607 0,0337*** 0,0656 Student's t 1 3449,92 58,2980 0,0780 0,1427 Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)

CramerWatson Von Mises U^2 W^2 0,5026* 0,1433** 0,1711*** 0,1712** 0,4135** 0,3741 0,3872** 0,3871 3,0136 3,0108

AndersonDarling A^2 3,0159* 1,0527*** 2,5563* 2,2943** 18,0848

Obr. 33.8 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení

Histogram for Standardized residuals Distribution Exponential Power Generalized Logistic Laplace Loglogistic (3-Parameter) Student's t

1200 frequency

1000 800 600 400 200 0

-9

-5 -1 3 Standardized residuals

7