Virbo Krachtlijnen leerplan wiskunde
Redenen voor een nieuw leerplan •
De andere leerplannen zijn vernieuwd
•
Het huidig leerplan biedt weinig steun aan leraren
•
De resultaten op de OVSG-toetsen (vooral meten)
•
Kinderen ervaren wiskunde als moeilijk en saai
•
Huidig leerplan is niet conform 21-century-skills
Een hedendaags leerplan •
Wat voor een leerplan, huidig leerplan weinig houvast, niet gebruikt
•
Ankerdoelen, onderliggende doelen, opbouw, voorwaarden, diagnosticerend onderwijzen
•
Geen differentiële doelen - Wel een talentenkatern
•
Dicht bij de ODET, vb. hoofdrekenen
De eindtermen hoofdrekenen De leerlingen voeren opgaven uit het hoofd uit waarbij ze waarbij ze een doelmatige oplossingsweg kiezen op basis van inzicht in de eigenschappen van bewerkingen en in de structuur van getallen: • • •
optellen en aftrekken tot honderd
12 +23 =
optellen en aftrekken met grote getallen met eindnullen
14.000 + 7.000 =
vermenigvuldigen met en delen naar analogie met de tafels
360 : 60 =
Waar ligt de cesuur? In de structuur van de getallen? In het aantal mentale operaties?
333 : 3 = 100 + 10 + 1 = 111 720 : 60 = (600 +120) : 60 = 10 + 2 = 12
De leerlingen kunnen op concrete wijze de volgende eigenschappen van bewerkingen verwoorden en toepassen: van plaats wisselen, schakelen, splitsen en verdelen.
Inspiratiebronnen voor een nieuwe aanpak
Conrad Wolfram
Singapore Math
Wat is wiskunde?
Conrad Wolfram
Singapore Math
Dr. Yeap Ban Har
Wat is Singapore Math?
Tegen eigen wil onafhankelijk Geen natuurlijke rijkdommen Onderwijs er slecht aan toe Geen plaatselijke economie Economie afhankelijk van menselijk kapitaal
Wat is Singapore Math?
Aanleiding om onderwijs grondig te hervormen Curriculum dat haalbaar is elke leerling Traaglerenden voldoende leren om een maatschappelijke bijdrage te kunnen leveren Gemiddelde leerling moet op een heel hoog niveau kunnen presteren
Wat is Singapore Math?
Rond kijken in de wereld: Verenigd Koninkrijk, Verenigde Staten, Australië, Japan, China, enz. Synthese van die dingen die we van uit onderzoek zeker kunnen weten.
Wat is Singapore Math?
•
An agenda for Action (1982): recommendations for school mathematics (USA)
In 1992: Probleem-gestuurd curriculum
•
In 1997: Denk-school-curriculum
den
•
ighe
The Cockcroft Report (1982) Mathematics counts (UK)
rd Vaa
•
A
u t i tt
co
gn
Wiskundige Problemen Oplossen
iti
Concepteel inzicht
e
ced inzi ureel cht
Vind zijn origine in:
ta
Pro
•
s e d
Me
Wat is Singapore Math? s e d
Vind zijn origine in: The Cockcroft Report (1982) Mathematics counts (UK) • An agenda for Action (1982): recommendations for school mathematics (USA) In 1992: Probleem-gestuurd curriculum In 1997: Denk-school-curriculum •
A
u t i tt
den
•
ighe
rd Vaa
•
ta
co
Wiskundige Problemen Oplossen
gn
iti e
Pro ced inzi ureel cht
•
Me
Concepteel inzicht
Wat is Singapore Math? Me
ta
co
Wiskundige Problemen Oplossen
gn
iti e
den
Pro ced inzi ureel cht
A
u t i tt
ighe
Mathematics is a vehicle, it is not a destination. In a Singapore-mathematics-curriculum the focus is on problem solving, thinking, 21st century competenties. The mathematics itself is nearly a platform, a vehicle , a tool , a means for children to become more intelligent. That is the focus of mathematics in a Singapore curriculum.
s e d
rd Vaa
“Mathematics is an excellent vehicle for the development and improvement of a persons intellectual competence”
Concepteel inzicht
Wat is Singapore Math?
A
u t i tt
2
2
6
Maak twee 2-cijferige getallen waarvan de som zo groot mogelijk is.
63 + 22
62 + 32
den
3
ighe
rd Vaa
Spin 4 willekeurige cijfers.
ta
co
Wiskundige Problemen Oplossen
gn
iti e
Pro ced inzi ureel cht
s e d
Me
Concepteel inzicht
Wat is Singapore Math?
A
ighe
rd Vaa
Dobbelstenen
u t i tt
ta
co
Wiskundige Problemen Oplossen
gn
iti e
den
Pro ced inzi ureel cht
s e d
Me
Concepteel inzicht
Wat is Singapore Math? •
Singapore Math bestaat niet (Didactiek is Westers)
•
Singapore Math is geheel van: •
De Manier Waarop (Leertheorieën), bv. gebruik van concrete materialen
•
Centrale Methodes (Approved textbook List)
•
Centrale Lerarenopleiding (pre-service)
Wat is Singapore Math? •
Zo’n 20 jaar later blijkt dat de aanpak gewerkt heeft.
•
Singapore doet het consistent goed internationale benchmarking-studies (TIMMS - PISA).
•
TIMMS: Ongeveer 40% van de leerlingen in het vierde leerjaar in Singapore behalen de geavanceerde internationale benchmark. Ter vergelijking, het internationale gemiddelde was 5%.
•
PISA: Het aandeel van leerlingen dat erin slaagt om de twee hoogste beheersingsniveaus te halen, is ver boven het internationale gemiddelde.
De leertheorieën •
CPA-model (Jerome Bruner)
•
Theorie of Variability (Zoltan Dienes)
•
Theory of Conceptual Understanding (Richard Skemp)
•
Spiral Approach (Jerome Bruner)
CPA-model •
Concreet - Picturaal - Abstract
•
Om kinderen een abstract concept te leren: • moet je altijd beginnen met een concrete representatie van dat concept (hands on) • vervolgens een picturale representatie van dat abstract concept • te eindigen met de abstracte representatie van dat concept
•
Niet enkel van toepassing op het leren van wiskunde, van toepassing het leren van alles wat abstract is
11 + 23 = 34
CPA-model •
Concreet - Picturaal - Abstract
•
Om kinderen een abstract concept te leren: • moet je altijd beginnen met een concrete representatie van dat concept (hands on) • vervolgens een picturale representatie van dat abstract concept • te eindigen met de abstracte representatie van dat concept
•
Niet enkel van toepassing op het leren van wiskunde, van toepassing het leren van alles wat abstract is
32 - 11 = 21
CPA-model •
Concreet - Picturaal - Abstract
•
Om kinderen een abstract concept te leren: • moet je altijd beginnen met een concrete representatie van dat concept (hands on) • vervolgens een picturale representatie van dat abstract concept • te eindigen met de abstracte representatie van dat concept
•
Niet enkel van toepassing op het leren van wiskunde, van toepassing het leren van alles wat abstract is
32 - 15 = 17 20
12
CPA-model • •
•
Concreet - Picturaal - Abstract Om kinderen een abstract concept te leren: • moet je altijd beginnen met een concrete representatie van dat concept (hands on) • vervolgens een picturale representatie van dat abstract concept • te eindigen met de abstracte representatie van dat concept Niet enkel van toepassing op het leren van wiskunde, van toepassing het leren van alles wat abstract is
CONCEPT Plaatswaarde
13
CPA-model •
Concreet - Picturaal - Abstract
•
Om kinderen een abstract concept te leren: • moet je altijd beginnen met een concrete representatie van dat concept (hands on) • vervolgens een picturale representatie van dat abstract concept • te eindigen met de abstracte representatie van dat concept
•
Niet enkel van toepassing op het leren van wiskunde, van toepassing het leren van alles wat abstract is
tienen
enen
1
3
CPA-model •
Concreet - Picturaal - Abstract
•
Om kinderen een abstract concept te leren: • moet je altijd beginnen met een concrete representatie van dat concept (hands on) • vervolgens een picturale representatie van dat abstract concept • te eindigen met de abstracte representatie van dat concept
•
Niet enkel van toepassing op het leren van wiskunde, van toepassing het leren van alles wat abstract is
tienen
enen
3
10 103
CPA-model •
Concreet - Picturaal - Abstract
•
Om kinderen een abstract concept te leren: • moet je altijd beginnen met een concrete representatie van dat concept (hands on) • vervolgens een picturale representatie van dat abstract concept • te eindigen met de abstracte representatie van dat concept
•
Niet enkel van toepassing op het leren van wiskunde, van toepassing het leren van alles wat abstract is
13
CPA-model
10 103
13
tienen
enen
1
3
3 tienen
enen
Theory of Variability •
Zoltan Dienes maakt een onderscheid tussen: •
perceptuele variabiliteit (je kan 23 op verschillende manieren representeren)
•
wiskundige variabiliteit
Theory of Variability 2 2 −+ − 5 5 •
Zoltan Dienes maakt een onderscheid tussen: •
•
perceptuele variabiliteit (je kan 23 op verschillende manieren representeren) wiskundige variabiliteit
2 2 −+ − 3 3 1 1 −+ − 8 8 Het zijn allemaal symbolische representaties van het optellen van breuken. Is er wiskunde gezien een verschil?
Theory of Variability •
Zoltan Dienes maakt een onderscheid tussen: •
•
perceptuele variabiliteit (je kan 23 op verschillende manieren representeren) wiskundige variabiliteit
2 2 −+ − 5 5
Opgaven bevatten wiskundige variabiliteit
2 2 −+ − 3 3
Onechte breuk (teller > noemer) Gemengd getal (3 1/2)
1 1 −+ − 8 8
Gelijkwaardige breuken
Veronderstelt kennis van:
Elke variatie behoeft een systematische aanpak.
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 6 6 3 1 6 − = −x − = = 2 1 2
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 6
Hoeveel groepjes van 4 gaan er in 12? Er gaan 3 groepjes van 4 in 12. Dus, 12 gedeeld door 4 is 3.
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 6
Hoeveel groepjes van 4 gaan er in 12? Er gaan 3 groepjes van 4 in 12. Dus, 12 gedeeld door 4 is 3.
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 6
Hoeveel groepjes van 4 gaan er in 12? Er gaan 3 groepjes van 4 in 12. Dus, 12 gedeeld door 4 is 3.
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 6
Hoeveel groepjes van 4 gaan er in 12? Er gaan 3 groepjes van 4 in 12. Dus, 12 gedeeld door 4 is 3.
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 6
Hoeveel groepjes van 4 gaan er in 12? Er gaan 3 groepjes van 4 in 12. Dus, 12 gedeeld door 4 is 3.
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 3 3 1 3 − = − x − = = 1,5 2 1 2
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 3
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 3
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 3
In 1/2 past 1/3 en nog eens de helft van 1/3. Dus 1/3 gaat anderhalf keer in 1/3.
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 3
In 1/2 past 1/3 en nog eens de helft van 1/3. Dus 1/3 gaat anderhalf keer in 1/3.
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1 :1 − − 2 3
In 1/2 past 1/3 en nog eens de helft van 1/3. Dus 1/3 gaat anderhalf keer in 1/3.
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1x − 2 3 2 1 2 − −x − = 3 1 3
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1x − 2 3
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1x − 2 3
Theory of Conceptual Understanding •
•
Richard Skemp maakt een onderscheid tussen verschillende soorten inzicht: •
Conceptueel inzicht
•
Procedureel inzicht
Alle procedurele kennis moet goed onderbouwd zijn door conceptuele kennis. Kinderen moeten kunnen uitleggen wat ze precies aan het doen zijn.
1x − 2 3
Spiraal-aanpak
•
De spiraal-aanpak is gebaseerd op de ideeën van Jerome Bruner: met kinderen herhaaldelijk werken aan de kernconcepten maar telkens op een hoger niveau tot uiteindelijk de abstracte representatie verworven is.
Strookmodel 110g 180
Ben doet bruine suiker in een kom. Het totale gewicht van de kom en de bruine suiker is 110g. An doet drie keer zo veel bruine suiker in een identieke kom. Het totale gewicht van de kom en de bruine suiker is 290g. Wat is het gewicht van de bruine suiker in de kom van An.
290g 2 delen = 180 g 1 deel = 90 g 3 delen = 270 g
x + y = 120 x + 3y = 290
Drie basismodellen
•
Deel-geheel-model
•
Vergelijking-model
•
Voor-na-model
Drie basismodellen Ben heeft al 20km van de reis afgelegd. De totale reisafstand bedraagt 50 km. Hoeveel km moet Ben nog afleggen? •
Deel-geheel-model
•
Vergelijking-model
•
Voor-na-model
20 + x = 50 x = 50 - 20 x = 30
Drie basismodellen
•
Deel-geheel-model
•
Vergelijking-model
•
Voor-na-model
Additief Yves en Ben zijn samen 100 jaar oud. Yves is 20 jaar ouder dan Ben. Hoe oud is Ben.
2x - 20 = 100 2x = 80 x = 80 : 2 x = 40
Drie basismodellen
•
Deel-geheel-model
•
Vergelijking-model
•
Voor-na-model
Multiplicatief Yves en Ben zijn samen 90 jaar oud. Yves is 3 keer zo oud als Ben. Hoe oud is Ben.
Zoveel keer meer/minder (Yves is 2 keer zo oud als Ben) Breuk (Ben is half zo oud als Yves) Ratio (De leeftijd van Yves en Ben staan in verhouding 2:1) Procenten (De leeftijd van Ben is 50% van die van Yves)
4x = 120 x = 120 : 4 x = 30
Drie basismodellen
•
Deel-geheel-model
•
Vergelijking-model
•
Voor-na-model
Multiplicatief Yves en Ben zijn samen 90 jaar oud. Yves is 3 keer zo oud als Ben. Hoe oud is Ben.
Beperkt: H1 en H2 als OB en niet Som of Verschil
Ben
1
?
30
Yves
3
90
?
Drie basismodellen Eerst telde de school 100 leerlingen. Vorig schooljaar is het aantal leerlingen met 20% toegenomen. Dit schooljaar is het aantal met de helft toegenomen? Hoeveel leerlingen zijn er dit schooljaar? •
Deel-geheel-model
•
Vergelijking-model
•
Voor-na-model
Strookmodel € 4,95
€ 1,25
Bereken de prijs van:
€ 7,20
en
.
Gebruik afzonderlijke stroken om de prijs van …, de prijs van … en de prijs van …. te representeren.
Strookmodel
175 g
195 g
Hoeveel weegt:
270 g
?
Strookmodel C A
B
3 kg
C 1 kg
A
Bereken het gewicht van: A Welke is zwaarder,
A of
B ?
14 kg
A
B
Strookmodel A
C
C
B
72 g 156 g
A is 4 keer zo zwaar als B.
Hoe zwaar is C?
Strookmodel Het aantal toeristen dat in februari een attractie heeft bezocht, is met 25% toegenomen in vergelijking met januari. In maart bezochten 60.000 toeristen de attractie. Dit was een afname van 40% van het aantal toeristen in vergelijking met februari. Bereken het aantal toeristen dat de attractie in januari (a) en februari (b) bezocht.
Geometrische problemen
•
Leg met de rietjes volgende figuur
•
Verplaats drie rietjes en eindig met drie vierkanten
Geometrische problemen
•
Leg met de rietjes volgende figuur
•
Verplaats drie rietjes en eindig met drie vierkanten
Geometrische problemen
•
Leg met de rietjes volgende figuur
•
Verplaats drie rietjes en eindig met drie vierkanten
Geometrische problemen
•
Leg met de rietjes volgende figuur
•
Verplaats drie rietjes en eindig met drie vierkanten
Verplaats drie rietjes en eindig met 2 vierkanten
d
•
d
Leg met de rietjes volgende figuur
d
•
d
Geometrische problemen
Geometrische problemen
•
Leg met de rietjes volgende figuur
•
Verplaats drie rietjes en eindig met 2 vierkanten
Geometrische problemen
•
Leg met de rietjes volgende figuur
•
Verplaats drie rietjes en eindig met 2 vierkanten
Geometrische problemen Ben heeft 1,5 meter koperdraad. Hij knipt en plooit de draad in volgende vorm. In die vorm zitten 6 gelijkzijdige driehoeken. De lengte van het lijnstuk XY os 21 cm. Hoeveel koperdraad had Ben over?
Geometrische problemen Ben heeft 1,5 meter koperdraad. Hij knipt en plooit de draad in volgende vorm. In die vorm zitten 6 gelijkzijdige driehoeken. De lengte van het lijnstuk XY os 21 cm.
9
Hoeveel koperdraad had Ben over?
6 21 : 7 = 3
3
Geometrische problemen
Welk deel (breuk) van het vierkant is gearceerd?
Geometrische problemen
Welk deel (breuk) van het vierkant is gearceerd?
3/8
Geometrische problemen ABCD is een vierkant. De grijze delen X en Y zijn twee vierkanten met een verschillende oppervlakte. De hoekpunten van de vierkanten X en Y liggen ofwel op de zijden van het vierkant ABCD of op het lijnstuk AC.
A
B
1/4 Welke fractie (breuk) van het vierkant is grijs?
D
C
Geometrische problemen ABCD is een vierkant. De grijze delen X en Y zijn twee vierkanten met een verschillende oppervlakte. De hoekpunten van de vierkanten X en Y liggen ofwel op de zijden van het vierkant ABCD of op het lijnstuk AC.
A
B
4/9
1/4 Welke fractie (breuk) van het vierkant is grijs?
D 4/9 + 1/4 =
C
