Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 1 Getallenleer

Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom

Deel 1 Getallenleer

Begeleiding wiskunde Leerplancommissie wiskunde VVKSO Stuurgroep Hilde De Maesschalck, Maggy Van Hoof, Philip Bogaert, Michel Bogaerts, Geert Delaleeuw, Luc Gheysens, Andre Van der Spiegel, Johan Waterschoot Schooljaar 2005-2006

Actualisering leerplan eerste graad

-

Deel getallenleer: letterrekenen

1

Sessie 2: Letterrekenen Werken met letters Het leerplan van de eerste graad omschrijft de verschillende wijzen waarop letters in de wiskunde kunnen aangewend worden. Problemen met letters in een latere fase komen soms voort uit een te snelle invoering van verschillende types lettergebruik. In de beginfase van het rekenen met letters wordt hier best omzichtig mee omgesprongen. 1.1

Letters als onbekenden

Leerlingen van de basisschool zijn vertrouwd met oefeningen en spelletjes zoals: “Ik denk aan een getal. Tel ik er 12 bij, dan bekom ik 15. Welk is het oorspronkelijke getal?” De meeste leerlingen berekenen spontaan de oplossing met 15 – 12. Ze beseffen niet dat ze een vergelijking hebben opgelost. In feite lossen ze op: ... + 12 = 15 , een zogenaamde puntoefening. Een verder ‘gemathematiseerde vorm’ van deze ‘spontane’ werkwijze is de vergelijking x + 12 = 15 . Deze verdere mathematisering is nodig omdat spontane werkwijzen niet zullen werken bij meer complexe situaties. Werken met lege plaatsen zoals in puntoefeningen zal niet lukken bij hogere machten van de onbekende. Deze eenvoudige situatie biedt de gelegenheid om leerlingen te laten inzien hoe we in de wiskunde te werk gaan. Omdat de wiskundetaal kwalitatief beter wordt, kunnen we er later ook moeilijkere dingen mee beschrijven. In de eerste fase is het een ‘vorm’probleem. Toch legt een te snel overgaan op hogere vormen van vergelijkingen een drempel bij vele leerlingen. Een rustige instap is dus noodzakelijk. De onbekende x verschijnt dus als een soort plaatshouder voor het voorlopig onbekende getal dat de oplossing is. In deze vergelijking staat x voor een welbepaald getal. Het oplossen van de vergelijking bestaat erin de vergelijking zo om te vormen dat de waarde van dat bepaalde getal snel af te lezen is, i.c. x is geëxpliciteerd in een lid, de getalwaarde in het andere. Drie belangrijke bedenkingen hierbij. -

Bij de mathematisering hoort een goed inzicht van wat er met de letter bedoeld wordt. In de vergelijking x + 12 = 15 moet x zo gekozen worden dat de gelijkheid tussen rechter- en linkerlid gerealiseerd wordt. Daarvoor kunnen we doen alsof de vergelijking een gelijkheid is, en de regels van gelijkheden erop toepassen. (Een term overbrengen of een factor overbrengen; of een zelfde getal bij beide leden optellen of beide leden met een zelfde getal vermenigvuldigen). Het loont de moeite voor leerlingen die inzichtelijk willen werken van hen deze methodiek goed bij te brengen.

-

In de vergelijking 3 . x = 17 is de wiskundige oplossing: x =

17 . 3

Koppelen we dit echter aan de volgende situatie: “Ik heb € 17 op zak. Hoeveel kaarten van € 3 kan ik kopen?”, dan is de oplossing gelijk aan “5 kaarten”. Je moet immers de bekomen wiskundige oplossing afronden. De oplossing kan in deze situatie geen rationaal getal zijn, want een aantal. Is de situatie “17 leerlingen van een klas worden verdeeld over drie groepjes, hoeveel leerlingen telt elk groepje?”, dan helpt ook afronden en opronden niet. Noch 5 noch 6 biedt de oplossing. De meest voor de handliggende oplossing is: 6, 6 en 5.

2


-


Met andere woorden een situatie kan leiden tot een beperkende voorwaarde op de soort getallen die als oplossing kunnen aanvaard worden. Het is belangrijk deze ‘voorwaarden’ op een natuurlijke wijze te laten ontstaan. Inderdaad je zou ook kunnen stellen: “los op 3 . x = 17 in ` ”. Wiskundig maak je wellicht dezelfde denkstappen om de “oplossing” te berekenen, maar met het besluit dat het bekomen resultaat niet tot de natuurlijke getallen behoort, en dus dat de vergelijking geen oplossing heeft. Het is evident dat dit verhaal een paar abstractiestappen hoger ligt dan de realistische situaties. Daarom gaat men er vakdidactisch van uit dat leerlingen best een tijd geconfronteerd worden met die eenvoudige betekenisvolle situaties. -

De uitdrukking 3. x = 17 kan ook beschouwd worden als een zogenaamde uitspraakvorm. De letter x speelt dan niet de rol van een welbepaald getal, maar is een veranderlijke binnen een bepaalde gegeven verzameling. Merk dus de subtiele verandering die er gebeurt, en waarvoor vele leerlingen geen oog hebben. De vraag die bij een dergelijke uitdrukking gesteld wordt, is of de uitdrukking waar of niet waar is. De veranderlijke x moet daartoe wel gebonden worden. Een mogelijkheid is x een bepaalde waarde toe te kennen. Bijvoorbeeld voor x = 6 is 3. x = 17 onwaar. Een andere mogelijkheid is dat de veranderlijke x in de uitspraakvorm gekwantificeerd wordt. Dat leidt tot uitdrukkingen van de vorm: ∀ x ∈ R: 3. x = 17 of ∃ x ∈ R : 3. x = 17 (met R de referentieverzameling). Zo is de tweede vergelijking een

ware uitspraak als R = _ , maar uiteraard onwaar als R = ` . Deze aanpak staat nog veel verder af van de concrete (reken)situaties van hiervoor. Het vergt van leerlingen al een redelijk abstract denken om deze wiskunde te begrijpen. Het is een maatschappelijke keuze dat in de eerste graad vooral basisvorming wordt gegeven. Voor de wiskundevorming betekent dit dat ze die basisvorming moet ondersteunen met een meer algemene benadering. Wiskunde beschikt daarvoor over vele troeven. Een doorgedreven wiskundige abstracte vorming spoort daarmee echter niet helemaal samen. We kunnen wel een aantal abstractere denksporen aanbieden in verband met oriëntering. Leerlingen die later met het abstractere geconfronteerd zullen worden, kunnen dit op die leeftijd relatief gemakkelijk verwerven. De leerlingen die wat betreft abstract denkvermogen wat minder begaafd zijn, moeten hierdoor niet uitgesloten worden. 1.2

Letters in formules

Een tweede vorm van lettergebruik waar leerlingen in de basisschool al enigszins mee geconfronteerd werden is die van letters in formules. Zo kennen ze de formule voor de oppervlakte van een rechthoek, een driehoek en een cirkel. Ze drukken een algemeen verband uit tussen verschillende grootheden, bijvoorbeeld het verband tussen de oppervlakte van de rechthoek en de lengte en de breedte van de rechthoek. (Strikt genomen gaat het over het verband tussen de maatgetallen van deze grootheden bij vergelijkbare maateenheden, maar de ‘abus de langage’ is hier ondertussen wel ingeburgerd.) Vaak gebruiken leerlingen nog zogenaamde woordformules. Voorbeelden Oppervlakte rechthoek = basis x hoogte. Interest (op jaarbasis) = uitgezet kapitaal x jaarlijkse rentevoet x aantal jaar Woordformules hebben het voordeel dat ze voor leerlingen gemakkelijk hanteerbaar zijn. Ze gebruiken vaak de vlotte actieve taal, vaak dus gewoon dagelijkse taal met hier en daar al een wiskundig teken dat verschijnt, een soort tussentaal. Dit soort woordformules is een belangrijk tussenstadium in het verwoorden van wiskundige relaties en is ook be-


-


3

langrijk in de wiskundetaalontwikkeling van leerlingen. Ze worden vaak als onnauwkeurig en slordig ervaren. Er is ook niet één vorm die als juist aangezien kan worden. Binnen wiskunde moeten we groeien naar een relatieve taal (er worden duidelijke wiskundige verbanden aangegeven tussen de gegeven items) of een functionele taal (er worden duidelijke wiskundig relaties tussen wiskundige items gelegd). Uiteindelijk zullen grootheden in de formules gaan functioneren met letters al of niet nog verwijzend naar de woordformules (bijv. de eerste letter). Dit is een moeizaam leerproces. In de verkenningsfase (uit de spiraal) zal meestal de actieve taal gebruikt worden en bij wiskundige relaties zal gewerkt worden met woordformules. Naarmate begrippen, eigenschappen … beter omschreven worden en beter in onderling verband gaan functioneren (dus op een hoger beheersingsniveau) zal ook een hogere taal gehanteerd worden. Het is dus niet correct te veronderstellen dat eens voor een onderdeel het correcte taalgebruik geleerd werd, dit automatisch in elk ander onderdeel zal overgenomen worden. Dit is waarschijnlijk verbonden met het beheersingsniveau waarop de kennis functioneert. Bij elk nieuw proces, nieuw onderdeel zal deze weg moeten afgelegd worden, al of niet in een versneld tempo. De letters, die in de formules voorkomen, staan voor een bepaalde grootheid, de hoeveelheid ervan, de grootte, …. In het kader van vraagstukken wordt relatief snel gedacht aan een bepaalde waarde, die aan de grootheid in dat kader kan toegekend worden, of moet berekend worden. Voorbeeld Bekijken we als voorbeeld het vraagstuk: “Een kapitaal van € 5 000 wordt op een spaarrekening geplaatst tegen een rentevoet van 2,5 %. Na een half jaar neemt men het geld terug op. Hoeveel zal men uitbetaald worden?” Bij het oplossen zal men in de formule I = k .i. t

spontaan de letters vervangen door de

in de opgave aangegeven waarden. De letters functioneren hier als ‘bepaalde waarden’, die weliswaar van situatie tot situatie verschillend kunnen zijn. De formule staat wel model voor telkens dezelfde berekening. Karakteristiek voor een dergelijk gebruik van formules is dat - ze meestal meer dan een letter bevatten, die meestal op een of andere wijze verbonden zijn met de context, - de geëxpliciteerde verbanden vaak lineair zijn (vertolking van recht evenredigheid) of uit omgekeerd evenredigheid voortkomen, - er weinig tekens in voorkomen, - en vaak machten hebben met kleine en positieve exponenten. Ook in de leersituatie met formules kunnen leerlingen de overstap maken naar onbekenden of veranderlijken. Voorbeeld In het voornoemde interestvraagstuk is I de ‘onbekende’. Maar de situatie is zo evident dat dit nauwelijks opgemerkt wordt. De idee van onbekende wordt gemakkelijker gezien als we de vraag zouden stellen naar een bepaalde rentevoet om een vooropgezette interest te bekomen. Dan is i de onbekende, en leidt de formule tot een “vergelijking”. Het begrip veranderlijke komt tot uiting als we bijvoorbeeld zouden vragen naar een tabel van de interesten bij verschillende beleggingstijden: t wordt dan veranderlijke. Enigszins vertrouwd vanuit de basisschool is het herkennen van patronen en regelmaat. Leerlingen kunnen hierbij bijvoorbeeld een volgende, of enkele volgenden in een rij vinden (op basis van gegeven getallen of meetkundige patronen). Het stapje verder dat hierbij kan gezet worden is het op zoek gaan naar een formule om de algemene situatie te beschrijven.

4


-


Voorbeeld Beschouwen we hier enkele eenvoudige voorbeelden: 2, 5, 8, 11, … of 2, 6, 12, 20, … Het is al snel duidelijk dat de volgenden in de rij respectievelijk 14, 17, … en 30, 42, 56 zijn. Een algemene formule voor het eerste voorbeeld is snel gevonden: bij elke stap wordt 3 bijgeteld bij het vorige. Algemeen: 2 plus 3 keer het aantal stappen, en dat laatste is dan 1 minder dan het rijnummer. Dat leidt in formulevorm tot 2 + 3.(n − 1) of na enig rekenwerk 3.n − 1 . Wiskundig sterkere leerlingen hebben dat mogelijk zelfs al in een keer vastgesteld. Het omzetten van het tweede voorbeeld naar formulevorm is wellicht moeilijker voor leerlingen, omdat de regelmaat eerder opvalt in zijn recursieve vorm: voorgaande plus 2 keer het plaatsnummer. En ze beschikken niet over technieken van rijen om hier helderheid in te brengen. Met enige getallenkennis ziet men echter vlot de rij 1.2, 2.3, 3.4, 4.5, … staan. De algemene term is dan vlot te schrijven als n.(n + 1) of n2 + n In deze formules is n duidelijk een veranderlijke, die alle waarden kan aannemen van een gegeven verzameling, hier in principe ` . Men zou bijvoorbeeld de rij kunnen beperken tot 20 termen (dan behoort n tot {1, 2, 3, ..., 20} ). Ook tabellen, eventueel opgesteld op basis van een gegeven grafiek, kunnen leiden het opstellen van formules. Meteen wordt een belangrijke stap in het denken duidelijk. Wil het algebraïsche rekenarsenaal goed functioneren in betekenisvolle situaties, dan zal ook ruimte moeten gemaakt worden voor het opstellen van de relatie tussen grootheden, gegeven getallen, …. Het algebraïsch rekenen zou op zichzelf kunnen functioneren, maar heeft maar zin in combinatie met het gebruik ervan bij het oplossen van problemen. Er moet dus veel aandacht besteed worden aan het onder algebra brengen van situaties. Onderdelen zoals veralgemenen van patronen, grafieken, tabellen en diagrammen bieden hiervoor uitgelezen kansen. 1.3

Letters in veralgemeningen

Een bijzondere vorm van formules is die van de formalisering van definities en eigenschappen. Deze vorm van wiskunde is vanuit de basisschool zo goed als onbekend bij de leerlingen. Ze kennen eigenschappen vanuit het geven van voorbeelden (en het ontbreken ervan vanuit tegenvoorbeelden). De commutativiteit (wisseleigenschap) van de optelling wordt geïllustreerd met concrete voorbeelden als 3 + 14 = 14 + 3 23 + 56 = 56 + 23 1 2 2 1 4 1 2 + = + , bijv. in een situatie zoals + + = 4 3 3 4 3 4 3 3, 25 + 4,72 = 4,72 + 3, 25 , bijv. in een situatie zoals 3, 25 + 4, 72 + 14,75 =

De lettervorm a + b = b + a is wellicht onbekend.


-


5

In de eerste leerfase zijn a en b in deze formule plaatshouders voor bepaalde getallen. Het is belangrijk dat leerlingen voldoende keren de weg van formule naar voorbeeld doorlopen, m.a.w. van formule overgaan op getallenvoorbeelden. De letter moet gaan functioneren als gegeneraliseerd getal, en eigenlijk als onbepaald getal dat op elk ogenblik kan geconcretiseerd worden door er een bepaald getal voor in te vullen. Andere voorbeelden van dit gebruik in het verdere curriculum (bijvoorbeeld tweede leerjaar): a2 . a3 = a5

2a .2b = 2a +b (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

Nog drie bedenkingen hierbij. -

Bij voorbeelden als 2 a + 3 a = 5 a wordt vaak als goedbedoelde ondersteunende concretisering gegeven dat “twee appels en drie appels samen toch vijf appels” zijn. Voorgaande uitleg toont dat men zich hiermee op het allerlaagste begripsniveau bevindt, veraf van de abstractie die men beoogt. (De abstractie is waarschijnlijk zelfs 2 + 3 = 5 .) Deze concretiseringen werken een goede begripsvorming dus niet in de hand, omdat de leerling bij de letters dan vaak aan concrete “dingen” blijft denken. Vaak merkt men al aarzeling bij de leerlingen als 2 a + 3 a = 5 a wat verderop plots staat voor “twee peren en drie peren …”. Het voorgaande toont dat het letterbegrip in deze situatie precies naar ‘onbepaaldheid’ (gegeneraliseerd getal) leidt. De leerling moet precies de concrete dingen overstijgen. De weg via getalwaarden ligt hier voor de hand.

-

Uitdrukkingen zoals a + b = b + a zijn weer uitspraakvormen. -

-

De vervanging van a en b door getallen leidt tot een ware uitspraak. Binding kan ook door kwantificering, in het bijzonder met de al-kwantoren. Uit het voorgaande is duidelijk dat de leerlingen alleszins inzicht moeten verwerven in een vorm van algemeenheid bij deze formule. In een aantal gevallen is het zinvol om deze algemeenheid vorm te geven in de formule zelf (door gebruik van de al-kwantor). Dat geldt misschien nog sterker als op die algemeenheid een beperking zou gelden (bijvoorbeeld dat een deler verschillend van nul moet zijn). Ervaring leert dat niet alle leerlingen dergelijke formalisering met kwantoren aankunnen. Het leidt vaak tot een stuntelig wiskundig taalgebruik zowel mondeling als formeel. Een prematuur gebruik van te formele taal brengt eerder schade toe aan het vlotte taalgebruik. Daarom is het slechts zinvol leerlingen daarmee te confronteren als ze gaan voor een doorstroming met sterke wiskunde.

Over het algemeen gebruikt men letters voor getallen. In het tweede jaar worden leerlingen geconfronteerd met een stap verder. De rekenregels en formules die gelden voor getallen worden ook van toepassing voor algebraïsche uitdrukkingen. Bijzonder in trek daarbij zijn formules als (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab . (Merk op dat weinigen onder ons hier de behoefte voelen deze formule te gaan kwantificeren in deze situatie.) De letters a en b worden achtereenvolgens eentermen, tweetermen, … En als kers op de taart van de verwarring worden a en b ook nog lettervormen in a en b zelf? Merk op dat leerlingen dit bewust als een uitbreiding, als een verdere abstractie moeten ervaren binnen het wiskundige systeem. Op die wijze krijgen ze ook inzicht in hoe het systeem op zich wordt opgebouwd. Dat brengt hen op een wiskundig hoger beheersingsniveau. Belangrijk is echter te beseffen dat voor een goede abstractie de lager gelegen beheersingsniveaus voldoende moeten bereikt zijn, anders werkt die stap

6


-


alleen maar totaal zinloos functioneren van het algebra-apparaat in de hand, met een onvoorstelbaar arsenaal aan onbegrijpelijke fouten tot gevolg. 1.4

Letters als veranderlijke

In het voorgaande zijn al een aantal leersituaties aangegeven waarbij het begrip veranderlijke kan ontstaan, vanuit een onbekende in een vergelijking, vanuit formules. We voegen hieraan nog twee situaties toe. Zo kan men de leerlingen vragen een tabel op te stellen waarbij voor achtereenvolgende waarden voor de lengte van de ribbe het volume (of de oppervlakte) van een kubus wordt uitgedrukt (of zoals de kennis van de leerlingen al toelaat, een bouwwerkje van gelijke kubussen). Het is duidelijk dat de ribbe hier als “veranderlijke” zal functioneren. Merk op dat in eerste instantie hier getalwaarden worden berekend.

Voorbeeld Volume kubus, bouwwerk Ribbe

Kubus

Fig 1

Fig 2

Fig 3

Fig 4

1

1

25

45

16

30

2

8

200

360

128

240

3

27

675

1215

432

810

r

r3

25. r3

45. r3

16. r3

30. r3

Een ander voorbeeld biedt een vraagstuk zoals: “In een winkel kosten balpennen € 4 per stuk, vulpotloden € 3 per stuk. Hoeveel balpennen en potloden kan ik voor € 40 kopen?” Het vraagstuk leidt gemakkelijk tot de vergelijking 4.b + 3. v = 40 . Deze vergelijking heeft een aantal oplossingen: (1,12); (4, 8) en (7, 4). De letters in de vergelijking staan dus niet meer voor één bepaalde waarde, maar voor enkele getallen. De letters kunnen een veranderlijke waarde aannemen. Naast het begrip (bepaalde) onbekende in vergelijkingen en onbepaalde in veralgemeende eigenschappen moeten de leerlingen het begrip veranderlijke verwerven. Doorheen het werken met formules, zoals bij veralgemeningen, of bij het oplossen van problemen ontstaan de begrippen eenterm en veelterm. Zie de voorbeelden van pag. 4: 3.n − 1 , n.(n + 1) of n2 + n Zie het voorbeeld hierboven: a.r3 Ook deze uitdrukkingen krijgen een geabstraheerde wiskundige betekenis en gaan een eigen abstract leven leiden. Voor vervolgstudies met een wiskundige onderbouw is een vaardigheid in het werken met algebraïsche uitdrukkingen noodzakelijk. Nadat mathematisering geleid heeft tot nieuwe uitdrukkingen, is het te verantwoorden een beperkte training op te zetten om hiermee vlot te kunnen omgaan. Wel geldt hier hetzelfde inzicht als voor het rekenen


-


7

met getallen. We beschikken in de praktijk al over voldoende software om relatief ingewikkelde uitdrukkingen te manipuleren, vaardigheid betekent dus vlotheid in relatief eenvoudige situaties. Alleszins zullen de leerlingen het in dergelijke situaties veel gemakkelijker verwerven dan in overdreven complexe situaties. Leerlingen die in het hoger onderwijs andere technieken nodig hebben, zullen tegen die tijd ruim de mogelijkheid hebben die te verwerven. De leerfase in het begin, en voor alle leerlingen nog in dezelfde basisvorming, hoeft daardoor niet gehypothekeerd te worden. Vandaar dat het algebraïsche rekenwerk zonder problemen kan beperkt worden tot het rekenen met veeltermen in één veranderlijke en eentermen met maximaal twee veranderlijken. Het dient opgemerkt dat in principe de exponenten van eentermen positief zijn.

8


-


Leerplan eerste leerjaar 1 1.1

Uitbreiding getalbegrip Doelstellingen uit het leerplan

31

B

Letters gebruiken als middel om te veralgemenen.

32

B

In eenvoudige patronen en schema's regelmaat ontdekken en met formules beschrijven.

33

B

Letters gebruiken als onbekenden.

34

B

Vergelijkingen van de vorm x + a = b en a . x = b met a ∈ _\{0} en b ∈ _ oplossen.

1.2

Beginsituatie

De leerlingen hebben in het basisonderwijs over het algemeen geen letters gebruikt in de wiskundelessen. Ze hebben wel een aantal formules gehanteerd voor bijvoorbeeld de berekening van oppervlakten en inhouden. Ze zijn ook vertrouwd met zogenaamde puntoefeningen, waarbij het punt in feite de rol vervult van plaatshouder. Ze hebben die terminologie echter niet gebruikt.

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02, pag. 45: 1.2.12 Toepassingen 1 G39

Orde, regelmaat, verbanden, patronen en structuren tussen en met getallen opsporen, onderzoeken ontdekken en zelf voorbeelden bedenken.

Voorbeeldopgave uit de Interdiocesane proeven van 2003. IDP/2003/202

Wiskunde

Leerdomein

Getallenkennis

2

3

4

5

6


-

9


Moeilijkheidsgraad

** Wat moeilijker

Rubriek

Toepassingen

Leerplandoelcode

G39

Leerplandoel

Orde, regelmaat, verbanden, patronen en structuren tussen en met getallen opsporen, onderzoeken, ontdekken en zelf voorbeelden bedenken Welk getal staat op de plaats van Ξ ?

Opgave

1 Antwoord

A 15

Antwoord

B 16

2

4

7

B 16

Ξ

11

C 18

D 22

E 25

sleutel Antwoord

1 2 4 7 11

(tekening)

1+1=2

Ξ

2+2=4 4+3=7 7 + 4 = 11 11 + 5 = 16

Scores

A 7,32 %

B 84,45 %

C 4,14 %

in 2003

D 2,79 %

E 1,00 %

GA 0,30 %

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02, pag. 64 t.e.m. 67: 3.2.3.1 Lengte

MR 34

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

De waarde …. en de formule voor de omtrekberekening van de cirkel gebruiken ( π x 2 x r of π x d )

3.2.3.2 Oppervlakte

MR 42

De basisformule (basis x hoogte, b x h ) voor de

10


-


oppervlakteberekening van rechthoeken en vierkanten A begrijpen B paraat kennen en gebruiken. MR 43

Ervaren en inzien dat de oppervlakte van een parallellogram berekend kan worden via omstructurering naar een rechthoek en de formule b x h paraat kennen en gebruiken

MR 44

Ervaren en inzien dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan de helft is van de oppervlakte van een rechthoek met dezelfde basis en debxh zelfde hoogte en de formule paraat kennen 2 en gebruiken

MR 46

Ervaren … en dat de oppervlakte van de cirkel berekend wordt met de formule r x r x π

3.2.3.3 Inhoud en volume 1

MR 58

De basisformule (oppervlakte grondvlak x hoogte) voor de berekening van het volume van een balk en een kubus begrijpen (via …), kennen en gebruiken.

Voorbeeldopgaven uit een leerboek vijfde leerjaar basisonderwijs.

2

3

4

5

6


1.1

-


11

Actualisering leerplan

1.1.1

Doelstelling 31, 32 en 33

31

B

Letters gebruiken als middel om te veralgemenen.

32

B

In eenvoudige patronen en schema's regelmaat ontdekken en met formules beschrijven.

33

B

Letters gebruiken als onbekenden.

12


-


Deze doelstellingen dekken bijna alle ladingen van het letterbegrip. Het begrip veranderlijke wordt niet expliciet genoemd, maar is uiteraard inherent aanwezig. Leerlingen moeten op een rustige wijze vertrouwd worden met het gebruik van letters. Zoals hiervoor beschreven zal dit starten in vele eenvoudige situaties, waar een letter de rol van een grootheid, een getal, een onbekende zal overnemen in een te berekenen uitdrukking, in een veralgemening (definitie of eigenschap) of in een berekeningsformule of woordformule. Naarmate het leerjaar vordert, zal men meer en rechtstreekser gebruik kunnen maken van letters en zal de context vervagen. Veralgemenen tot een lettervorm

Zoals hiervoor beschreven kan het gaan om een veralgemeende formulering van definities of eigenschappen die bij bewerkingen met getallen optreden, bijv. de commutatieve eigenschappen, de definitie bij machten, … In een eerste fase zal men zich hier beperken tot de letterformule zelf waarbij de letters willekeurige getallen voorstellen. Men zal daarbij vanuit voldoende voorbeelden onderbouwen dat letters voor ‘willekeurige’ getallen staan. Hier ligt een schat aan oefeningen op het berekenen van ‘getalwaarden’. Een stap die nodig is om leerlingen de betekenis van ‘veralgemening’ te laten inzien. Bijzondere aandacht verdient het verwoorden van eigenschappen. Uit ervaring blijkt dat het telkens in woorden formuleren van de betekenis van eigenschappen, het begrijpen ervan meer ondersteunt dan het louter memoriseren van de formulevorm. Bijvoorbeeld: “het kwadraat van een tweeterm is gelijk aan het kwadraat van de eerste term …”. Voor bepaalde formules zal blijken dat soms niet zomaar alle getallen kunnen gebruikt worden (bijvoorbeeld delen door nul), dus dat er voor bepaalde formules toch begrenzingen zijn. Dat is uiteraard de geschikte gelegenheid om ook de begrenzing in de formele schrijfwijze van de eigenschap in te brengen. In de klasrealiteit is vast te stellen dat niet alle leerlingen de notaties met kwantoren vlot aankunnen. Daarom worden ze als verdieping opgenomen.

U

Beheersingsniveau Basis

Eigenschappen van bewerkingen kennen in lettervorm.

U

Beheersingsniveau Verdieping

Eigenschappen van bewerkingen noteren met gekwantificeerde lettervormen.

Regelmaat ontdekken en met formules beschrijven

In eenvoudige patronen en schema’s regelmaat ontdekken en met formules beschrijven is een belangrijke doelstelling omwille van de vele mogelijkheden om leerlingen (vanuit een vaak visuele situatie) te leren veralgemenen, een (woord)formule te ontdekken en met deze formule verder te werken. Deze doelstelling hangt samen met het leren vinden en noteren van verbanden (in functie van een veranderlijke) die in elke vervolgopleiding aan bod komen bij het bepalen van functievoorschriften bij een gegeven situatie. Toepassingen verlopen meestal vanuit eenzelfde stramien. - Leerlingen krijgen de eerste drie (eventueel vier) elementen van een rij, ze gaan op zoek naar één of twee volgende elementen. - Een tabel kan dan ondersteunen om een patroon te ontdekken en dit uit te drukken in een (woord)formule. - Vervolgens worden vragen gesteld waarbij een willekeurig element uit de rij kan berekend worden vanuit de formule of omgekeerd, wordt een element uit de rij gegeven en wordt er gevraagd het hoeveelste element uit de rij gegeven is. - Er kan ook gevraagd worden of een bepaald getal in een gegeven rij zal voorkomen. Dat kan dan leiden tot een vergelijking.


-


13

Voorbeeld In het voorbeeld van pagina 4 2, 5, 8, 11, …, 3.n − 1 (met afgeleide formule) Men kan zich de vraag stellen of 112 tot de rij zal behoren. M.a.w. is er een rangnummer, een natuurlijk getal, waarvoor 3.n − 1 = 112 ? 112 + 1 de wiskundige oplossing zou zijn, 3 maar vermits 113 geen drievoud is, is deze uitdrukking geen natuurlijk getal. Dat betekent dat 112 niet in de rij zal voorkomen.

Oplossing naar n laat zien dat n =

Daar er zowel vanuit heel eenvoudige als met meer complex opgebouwde rijen en formules kan gewerkt worden, biedt deze doelstelling vele mogelijkheden voor verwerking op een verschillend niveau naargelang de mogelijkheden van de leerlingen. Voor het leren werken met formules vertrekt men van situaties die beschreven worden met behulp van een woordformule waarbij leerlingen dan vraagjes beantwoorden. Geleidelijk aan kan de stap gezet worden naar een formule met letters die verwijzen naar onbekenden of veranderlijken. Aan bepaalde formules kan een grafiek gekoppeld worden of kan de formule afgeleid worden vanuit een gegeven grafiek. Zie verder bij de bespreking van ‘grafieken en diagrammen’. Voorbeelden Gebruik van schema’s en regelmaat: zie bijlagen 1, 2 en 3

Bijlagen 1, 2 & 3

Lettervormen bij schema’s en herkennen van regelmaat

Elke letterformule is in feite een veralgemening van vastgestelde verbanden. Om de ‘veralgemening’ te laten werken zal men voldoende voorbeeldsituaties koppelen aan een welbepaalde formule. Veralgemening wil inderdaad zeggen dat het verband ‘algemeen’ geldig is, er zijn dus heel wat voorbeelden te geven. Ook leerlingen kunnen nieuwe voorbeelden aanreiken. In deze contextgerichte situaties zal het aantal gebruikte letters relatief beperkt zijn. Bij het veralgemenen van relaties tussen grootheden zal men zich in een eerste fase beperken tot de recht evenredigheid en de omgekeerd evenredigheid. Precies deze begrippen spelen een grote rol in toepassingen uit de leefwereld. Het is aan te bevelen zeker in de eerste graad (en dus ook in het tweede leerjaar, zie o.m. voorbeelden) formules te gebruiken, waarbij de leerlingen de betekenis van de grootheden kennen. Met andere woorden men zal formules gebruiken die voorkomen in zinvolle contexten, bijvoorbeeld -

oppervlakten, inhouden,

-

verbanden uit wetenschappen, bijv. verband tussen temperatuurschalen, eenparige beweging, afstand, snelheid, wetten over valbeweging, gastoestand,

-

relaties vanuit maatschappelijke of economische context: bijv. aantallen, inkomsten, uitgaven, interest, kosten treinkaartje en verband met het aantal afgelegde kilometer, huurkosten met vast recht en verband met verbruik

-

technische relaties.

14


-


Het heeft zeker geen zin leerlingen eenzelfde formule in verschillende vormen te laten memoriseren. Bijvoorbeeld voor I = k.i.t, kan men telkens als drie grootheden gegeven zijn de vierde berekenen. De eenvoudigste weg voor leerlingen om formules om te rekenen bestaat uit twee stappen, zoals al in het leerplan aangegeven: - het invullen van de bekende grootheden in de formule - en daarna het oplossen van de vergelijking (zo mogelijk). Het omvormen door gebruik te maken van letterrekenen is voor een aantal leerlingen een heel wat moeilijkere stap, ook al komt de rekentechnische werkwijze op hetzelfde neer.

U


Een grootheid berekenen uit een gegeven formule, door de waarden van de andere grootheden eerst in te vullen en dan de vergelijking oplossen.

U


Een formule omvormen door ze op te lossen naar een veranderlijke.

Het is zinvol van de aanbreng van de werkwijze (met invullen van de gekende grootheden) in één bepaalde leereenheid te voorzien, vaardigheid echter verwerven leerlingen niet meer op korte tijd. Daarom is een over het jaar gespreide oefentijd noodzakelijk. Men zal geregeld terug enkele oefeningen hierop aanbieden. Daarbij is het zinvol van het gebruik van formules te koppelen aan het gebruik van grafieken, diagrammen en tabellen. Geïsoleerde oefeningen zonder context hebben weinig effect. Zo is een formule niet slechts een abstract gegeven, maar krijgt ze een zintuiglijke voorstelling. Zo gaan ze een integrerend deel uitmaken van de dagelijkse kennis. Het vlot kunnen overgaan van de ene vorm naar de andere is van belang voor de vervolgopleiding.

Voorbeeld


-


15

Website: www.examenbundel.nl, vmbo-bb, 2004

Bijlage 4

1.1.2

34

Lettervormen vanuit tabellen en grafieken

Doelstellingen 34

B

Vergelijkingen van de vorm x + a = b en a . x = b met lossen.

a,b ∈ _ en a ≠ 0 op-

De leerplancommissie en de begeleiding vinden het belangrijk dat het oplossen van vergelijkingen gefaseerd aangepakt wordt zoals aangegeven in het leerplan. In het verleden behoorde het oplossen van vergelijkingen tot de leerinhouden van het tweede en het derde jaar. Er is geen enkele reden om het hele verhaal (in zijn geheel dus) nu een jaar te vervroegen, net op een moment dat we proberen met de leerlingen uit de rekenproblematiek, die zo belangrijk is bij het oplossen van vergelijkingen, te komen. Te complexe situaties werken bij vele leerlingen alleen maar averechts. De opties die hier in het leerplan genomen zijn, hebben precies tot doel de tijd die aan vergelijkingen kan besteed worden te verruimen. Daardoor krijgt de trapsgewijze aanpak, die mogelijk meer garantie biedt op een degelijke verwerking, meer kansen op slagen. Deze optie gaat er vanuit dat werken over een langere tijd met de enkelvoudige rekenregels meer resultaat zal opleveren dan een te snelle koppeling van de moeilijkheden. Leraren die meteen de samengestelde vormen invoegen, ondergraven mogelijk de voordelen van deze aanpak. Te ingewikkelde oefeningen worden in het eerste jaar best geschrapt uit de leerteksten. Belangrijker dan het zo vlug mogelijk overgaan naar de ingewikkelde vormen van vergelijkingen is tijd besteden aan het proces van mathematisering, m.n. op welke wijze worden gegeven situaties en gegeven opgaven vertaald naar een vergelijkingsvorm. De bevraging van leraren geeft aan dat leerlingen hier heel veel moeite mee hebben. Precies een veelheid aan relatief eenvoudige haalbare problemen moeten leerlingen er toe brengen deze drempel te overschrijden. Bij deze eenvoudige doelstelling op het vlak van algebra hoort dus een heel wat moeilijker te realiseren doelstelling over het mathematiseren. Leerlingen kunnen ervaren dat ze vanuit een redelijk intuïtief werken in de basisschool nu over een veel doeltreffender middel gaan beschikken om problemen onder wiskunde te brengen. Deze doelstelling kan dus niet losgekoppeld worden van doelstelling 35 over vraagstukken. Anderzijds is doelstelling 35 algemener dan het oplossen van

16


-


vraagstukken met vergelijkingen. Er moet dus niet gewacht worden met vraagstukken oplossen tot de leerlingen vergelijkingen kunnen oplossen. In betekenisvolle situaties is het ook evident dat de onbekende niet altijd automatisch x zal worden genoemd.

Voorbeelden -

Men telt 37 op bij een getal en vindt 135. Welk is dat getal? Vergelijking: g+37=135

-

De formule voor de omtrek van een cirkel 2 π r . Maak een tabel voor de omtrek bij verschillende waarden van de straal tussen 2 en 4, toename 0,2. Welk is de straal van een cirkel met omtrek gelijk aan 20?

-

Mijn krant kost per dag € 0,95. Een jaarabonnement (gemiddeld 312 kranten) kost € 229. Wat kost een krant per dag bij een abonnement? Welke besparing maak ik per dag als in me abonneer? Per jaar? Welk percentage korting krijg ik daarmee?

-

Zeven vrienden winnen bij het lottospel € 2492. Wat is het deel van ieder?

-

Een benzine tank van een auto kan maximaal 58 liter brandstof bevatten. De auto heeft sinds de laatste tankbeurt 566 kilometer gereden. De benzinemeter wijst op drie achtste gevuld. Hoeveel brandstof is er nog in de tank? Hoeveel liter benzine is er al verbruikt sinds de tankbeurt? Hoe groot is het verbruik per kilometer? Hoe groot is het verbruik per honderd kilometer?

-

An kocht een boek van € 17,75. Ze betaalde met een briefje van € 20. Het weergekregen bedrag telde ze niet na en stak het zomaar weg. Bij het nemen van haar zakdoek op de tram rolde het geld uit haar zak. Thuisgekomen telde ze de muntjes in haar zak: € 1,17. Hoeveel betaalde ze het boek in werkelijkheid? Hoeveel te veel is dat? Welk percentage duurder is dat? Welk bedrag speelde ze kwijt door onoplettendheid of door slordigheid?

Websites met eenvoudige trainingsoefeningen http://users.belgacom.net/annuntiawisk/get2-7b.htm http://wims.math.leidenuniv.nl/wims/ (ook bij equations 2, 3, 4) Voorbeelden http://wims.math.leidenuniv.nl/wims/ Los de volgende vergelijkingen op • • •

Geef het liefst exacte antwoorden noteer je antwoord als x = 3/5 of k = 22 of zo... Je hoeft geen berekeningen te laten zien,


•

-


17

alleen het eindantwoord, dus. Kijk voor help en advies op deze pagina

De eerste opgave:

Anderzijds toont de praktijk van goedzoekende leraren en in de leerboeken aan dat de voorraad vraagstukjes in verband met deze enkelvoudige vormen relatief snel uitgeput is. Twee bedenkingen toch. Enerzijds kunnen leerlingen bepaalde vraagstukken ook oplossen zonder vergelijking. Ze deden dat al in de basisschool. Deze ‘intuïtievere’ aanpak mag nu nog behouden blijven. Anderzijds hebben we begrip voor de problematiek. Daarom begrijpen we dat voor leerlingen of klasgroepen, die al relatief vlot kunnen omgaan met de enkelvoudige vormen, de stap gezet wordt naar samengestelde vormen om ook die leerlingen nog uitdaging te bieden. Het is dan geen streefdoel voor alle leerlingen.

Voorbeelden -

Men vermeerdert het tweevoud van een getal met 7, de som is 33. Welk is dit getal? Vergelijking: 2 g + 7 = 33

-

Men trekt 12 af van het vijfvoud van een getal. Het bekomen verschil is 7. Welk is dit getal?

-

Nadat men van het drievoud van een getal 15 heeft afgetrokken, blijft er 66 over. Welk is dit getal?

-

Men trekt van het vijfde van een getal 12 af. Dat geeft 7 als resultaat. Welk getal is het?

Toch bevelen we hier andere mogelijkheden aan om die uitdaging aan te reiken. Precies de vraagstukken en problemen die niet noodzakelijk tot een vergelijking leiden kunnen hier nog een ruime keuze bieden. Zoals hiervoor al aangegeven is de werkomgeving van vraagstukken de ideale plaats om het mathematiseren te introduceren. Het valt aan te bevelen het mathematiseren als specifiek doel te nemen. Het antwoord op de vraag is dan niet het berekende resultaat, hoewel leerlingen dat uiteraard ook moeten kunnen, maar wel de vergelijking, de formule, het plan waarmee het probleem kan aangepakt worden. Zo brengt men leerlingen een beetje af van dat onmiddellijk willen rekenen, en confronteert men hen met de werkelijke doelstellingen van wiskunde, m.n. met wiskunde beschrijven, met redeneringen onderbouwen, oplossingsmethoden verwerven.

18


-


Leerplan Tweede leerjaar 1

Algebraïsch rekenen

1.1 1.1.1

Doelstellingen van het leerplan Leerplan a

7

B

De getalwaarde van een veelterm met ten hoogste drie termen berekenen.

8

B

Twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

9

B

Het quotiënt van twee eentermen berekenen.

10

B

Machten met een natuurlijke exponent van een eenterm berekenen.

11

B

De formules voor de merkwaardige producten (a + b)2 en (a + b).(a − b) kennen, verklaren en toepassen.

12

B

Eenvoudige veeltermen ontbinden in factoren door gebruik te maken van: de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling; de formules voor de merkwaardige producten (a + b).(a − b) en (a + b)2 .

1.1.2

Leerplan b

6

B


7

B

Een-, twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

8

B


9

B


1.2

Actualisering van het leerplan

Over het algemeen zullen de meeste leerlingen in hun verdere studieloopbaan maar geconfronteerd worden met een beperkt gebruik van de algebraïsche rekenvaardigheid. Daartegenover staat dat ze veel meer geconfronteerd zullen worden met situaties waarin gegevens worden aangereikt met behulp van allerlei informatie, in het bijzonder door middel van tabellen, grafieken en diagrammen, door in teksten verspreide wiskundige ‘woord’informatie enz. Daarom is het belangrijk precies aan het mathematiseren van deze situaties aandacht te besteden. Dat wil zeggen aan het onderzoeken, analyseren en vertolken van wiskundige relaties in gegeven situaties (bijvoorbeeld in woordformules, het herkennen van patronen in getallenrijen en figuren). Precies een betekenisvolle ontwikkeling van wiskundige begrippen zal het herkennen van modellen stimuleren. Hieraan moet dus zeer veel aandacht besteed worden.


-


19

Uiteraard zullen leerlingen de opgestelde relatie, vergelijking, … wiskundig moeten kunnen verwerken. Hierin spelen de algebraïsche vaardigheden hun rol. Naarmate de studieloopbaan meer wiskunde zal bevatten moeten leerlingen deze vlotter en efficiënter beheersen. De vlotheid waarmee ze kunnen omgaan met deze rekenvaardigheid is dan ook een van de maatstaven in de oriëntering van leerlingen. Maar zoals in het vorige deel voor bewerkingen met getallen is aangegeven wordt deze vlotheid niet bereikt door complexe, gezochte oefeningen. Veeleer zal men zich concentreren op eenvoudige vlotte oefeningen, waar precies de snelheid waarmee oefeningen opgelost kunnen worden, motiverend zal werken. Ervaring leert dat leerlingen, in het bijzonder leerlingen met een wiskundig zwakkere basis (bijv. vanuit leerplan b) gebaat zijn met het telkens goed illustreren (zichtbaar maken) van de rekenregel of formule in de toepassing. Dat kan zowel met de verwoording van de formule, als met de formule in symbolen. In de praktijk zullen de meeste leerlingen in hun verdere studieloopbaan slechts geconfronteerd worden met uitdrukkingen in één letter wat betreft het omgaan met vergelijkingen en functievoorschriften. Wat betreft stelsels zal dit wellicht beperkt blijven tot een beperkt aantal letters (veelal twee), maar dan in vergelijkingen van de eerste graad. In voor de gemiddelde leerling haalbare formules kunnen meer letters voorkomen, maar dan in een eenvoudige vorm. Dat betekent concreet geen negatieve exponenten, of zeker geen negatieve exponenten in de noemers. Met andere woorden, de algebraïsche rekenvaardigheid moet geen overmatige moeilijkheidsgraad hebben. In contexten zal ze eerder beperkt zijn tot relatief eenvoudige situaties. Niet alle rekenregels moeten tot een afzonderlijk automatisme opgevoerd worden. Sommige werkwijzen zijn maar ondersteunend voor bepaalde andere meer voorkomende vormen. Het oefenen van het algebraïsche rekenen leidt vaak tot vrij stereotiepe oefeningen (bereken: ). Het is uiteraard correct dat een vaardigheden verkregen worden door ze veelvuldig uit te voeren. Maar daarom moet dit nog niet tot stereotiepe, nauwelijks motiverende oefeningen leiden. Ze kunnen ook op een creatievere wijze aangepakt worden, waarbij ook meer naar het inzicht gewerkt wordt. (Zie bijlage 6.) Voor leerlingen die wiskundig meer aankunnen zullen in een gedifferentieerde aanpak, en dus als verdieping en als uitbreiding, moeilijkere vormen aangeboden worden. Ook hier geldt de regel dat deze leerlingen wellicht meer gebaat zijn met het onderzoeken en analyseren van complexere situaties, dan wel met complexe en gezochte rekenoefeningen. Voor een beperkt aantal leerlingen biedt het algebraïsche rekenen geen enkel probleem. Hiervoor kan al een verdere verdieping aangeboden worden door middel van het rekenen met machten en veeltermen met letterexponenten. Let wel, dit is een abstractieniveau hoger, want ook de exponent wordt nu een ‘onbepaalde’ (een gegeneraliseerd getal). Men zal hier dus niet overhaast te werk gaan en dit rustig aan laten opbouwen. 1.2.1

Leerplan a

1.2.1.A

7

Doelstelling 7

B


Voor het elementaire niveau kan men zich beperken tot veeltermen in één letter met lage exponenten bij de veranderlijke. Het gaat dus om het louter kennen van het principe van een getalwaarde berekenen. Is dit niet aanwezig, dan wordt verder doorgroeien in wiskunde met meer lestijden moeilijk. Het leerplan geeft hier als basis al een duidelijke begrenzing aan (met name ten hoogste drie termen). Men zal zich hier verder beperken tot twee letters. Het berekenen van getalwaarden kan best niet los gekoppeld worden van contextsituaties. Dat geeft een zeke-

20


-


re realiteitswaarde aan de berekeningen (waardoor artificiële vormen vermeden worden), en laat de leerlingen toe ook een realiteitcontrole op hun resultaat uit te voeren. Voorbeeld -

Waterverbruik Het waterverbruik van een gezin wordt aangerekend per m³ verbruik. Per m³ betaalt men € 1,2147. De vaste jaarlijkse kost voor bevoorrading is € 42,76, de watermeterhuur kost jaarlijks € 11,85. De bedragen zijn 6 % BTW inbegrepen. Wat betaalt een gezin dat jaarlijks 125 m³ water verbruikt? Wat is de prijs zonder BTW? Stel een formule op voor de berekening van de waterkosten. Maak een tabel om de waterkosten te schatten voor een verbruik tussen 100 m³ en 200 m³, met een tussenstap van 10 m³.

-

Kaars Een kaars (mooi cilindervormig) wordt na elk uur branden 7 cm korter. De lengte van een kaars is 30 cm. Stel een tabel op waarin de lengte van de kaars wordt weergegeven in functie van het opbranden. (Gebruik een half uur als tijdseenheid.) Na hoeveel tijd is de kaars zeker opgebrand? Stel een tabel op die (om het kwartier) weergeeft hoe groot de kaars nog is.

-

Torenblokjes Van een groot aantal gelijk kubusvormige blokjes kunnen piramides worden gebouwd. De piramides zijn opgebouwd uit lagen, die allemaal vierkant zijn.

a. Neem volgende tabel over en vul in. aantal lagen (L) aantal blokjes in de onderste laag aantal blokjes totaal (T)

1

2

3

4

5

6

7

8

b. Het totaal aantal blokjes T bij L lagen wordt gegeven door de formule 1 1 1 T = L3 + L2 + L . 3 2 6 Laat met een berekening zien dat deze formule klopt voor L = 1 en voor L = 5. c. Waaraan is het totaal aantal blokjes gelijk bij 10 lagen?


-

-


21

Toltunnel Het aantal personenauto's (A) dat per dag van een nieuw aan te leggen toltunnel gebruik zal maken, is volgens een verkeersdeskundige te berekenen met de formule: A = 400T2 - 9150T + 46800 Daarin is T het toltarief in euro. Bereken de totale dagopbrengst aan tolgeld voor personenauto's bij een tarief van €3.

Leerlingen moeten deze technische vaardigheid bezitten op handmatig niveau voor relatief eenvoudige veeltermen, en met gebruik van de rekenmachine. Bij dat laatste zal men best nog even herhalen hoe bepaalde situaties worden ingegeven, bijv in verband met het toestandsteken: −23 , (−2)3 , − 24 , (−2)4 , ... Bepaalde dergelijke opdrachten geven gelijke resultaten, andere niet. Leerlingen moeten dit kunnen verklaren en gebruiken om fouten op te sporen. Uit het voorgaande is al duidelijk dat het berekenen van getalwaarden voldoende moet ingeoefend worden, waarbij ook aandacht besteed wordt aan het vormen van het begrip ‘veranderlijke’. 1.2.1.B

8

Doelstelling 8

B

Twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

Ook hier geeft het leerplan al een goede begrenzing aan. Daarbij heeft het op dit niveau (basisvorming) geen zin al met meer dan één letter te werken. Deze doelstelling houdt in dat men eventueel afzonderlijk, als toepassing van de distributieve eigenschap, eentermen leert optellen (gelijksoortige) en vermenigvuldigen. Eens de werkwijze enigszins verworven zal men de inoefening koppelen aan bewerkingen met veeltermen.

U


Twee- en drietermen in een letter optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

U


Twee- en drietermen in twee letters optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

Voor deze bewerkingen bestaan zogenaamde praktische schikkingen. Vraag is of je voor de som van 2 x3 + x2 + 5 en − x3 + 4 x − 7 een praktische schikking nodig hebt. Men kan net zo goed, en misschien sneller werken met aanstrepen van de overeenkomstige termen die men samenneemt. Wiskundig zwakke leerlingen zijn wellicht wel gebaat met het ordelijk werken volgens een vaste schikking, waar ook rekening gehouden is met ontbrekende machten. De praktische schikking op zich kan zowel bij de optelling als de vermenigvuldiging het inzichtelijk werken ondersteunen. In feite gaat het om het inzicht in het systeem van het algebraïsch rekenen dat overeenstemt met de werkwijze die voor het cijferen is aangeleerd in de basisschool. Ook hier zal men geregeld oefenen, waarbij enkele oefeningen op geregelde tijdstippen gespreid over langere tijd meer zal opleveren dan een intense periode na elkaar. De normale basisoefeningen zullen ook een normaal gebruik van breuken bevatten. Het is een gelegenheid om in ‘zinvolle wiskundesituaties’ de rekenregels daarvan te onderhou-

22


-


den (cf. doelstelling 1 van het tweede leerjaar). Let wel, in het eerste leerjaar werd het manueel rekenen met breuken beperkt tot eenvoudige breuken (met noemers tot 20 en/of gemakkelijk factoriseerbaar). Bij het algebraïsch rekenen is afwisseling in de opgaven van belang. In een eerste periode zal men één bepaalde techniek aanleren en specifiek inoefenen. Daarbij is een snelle correctie en bijsturing noodzakelijk zodat geen foutieve training ontstaat. Daarna zal men redelijk snel met herhalingsoefeningen werken, waarbij gemengde oefeningen optreden, waardoor de eentonigheid in de oefeningen doorbroken wordt. De leerlingen moeten zich telkens opnieuw instellen op de opdracht. Ook hier is een goede foutenanalyse noodzakelijk: leerlingen moeten leren hun fout aan te wenden om hun vaardigheid bij te sturen. In de eerste graad kan de leraar hier nog een aantal sturende functies opnemen, toch is het belangrijk dat de leerling zich ook voor de foutenanalyse en bijsturing engageert. Dergelijke aanpak vraagt extra aandacht, want niet alle leerboeken voorzien voldoende dergelijke oefeningenreeksen. Dergelijke reeksen kunnen een goede bron zijn voor huistaken, waarbij de afwisseling in de opdrachten belangrijker is dan de complexiteit van de oefeningen.

U


Twee- en drietermen in één letter en met eenvoudige letterexponenten optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

Voorbeelden (3 xm + 2)(xn − 5) =

1.2.1.C

(y2n − 4)2 =

Doelstellingen 9 en 10

9

B

Het quotiënt van twee eentermen berekenen.

10

B

Machten met een natuurlijke exponent van een eenterm berekenen.

Het elementaire niveau beperkt zich tot werken met één letter en in teller en noemer positieve exponenten. Merk op dat eentermen in feite altijd positieve exponenten hebben, zodat de interpretatie van de doelstelling kan beperkt worden. Bij een aantal leraren blijkt enige verwarring te bestaan over de interpretatie van een uitdrukking als 3 a4 b3 : 4 a2 b . De afgesproken regels voor de volgorde van bewerkingen zijn nochtans duidelijk en spelen hier ten volle: vermenigvuldigingen en delingen in volgorde van links naar rechts. In de praktijk zal men dus haakjes gebruiken of de uitdrukking met een breukstreep 3 a4 b3 schrijven: (3 a4 b3 ) : (4 a2 b) (waarbij de eerste niet echt nodig zijn) of 4 a2 b

U


1.2.1.D

Machten met een natuurlijke exponent berekenen van eentermen met ten hoogste twee letters en waarin letterexponenten voorkomen.



-


23

11

B


12

B


Doelstelling 11 geeft zelf al drie beheersingniveaus aan: de formule kennen (dat is onbetwistbaar), ze verklaren (is voor interpretatie vatbaar), ze toepassen (dus gebruiken). De formule verklaren zou in eerste instantie kunnen betekenen: er voorbeelden van kunnen geven (dus het doorlopen veralgemeningproces uitleggen). Gezien de eenvoud van de formule willen we hier toch de berekening met letters op basis van rekenregels vooropstellen. Dat belet niet dat een vraag naar illustratie van de formule met voorbeelden niet zinvol zou kunnen zijn. De verklaring koppelen aan het gekende gebruik van oppervlakten (met in elkaar liggende vierkanten) zal het inzicht alleen maar versterken, en vooral de rol van het dubbelproduct verhelderen. Deze werkwijze kan ook het formuleren van de formule in woorden ondersteunen. Voorbeeld

Zie website “Wageningse methode”.

24


-


De merkwaardige producten die hier worden aangegeven zijn slechts een snelle, heldere schrijfwijzen van de regel van de distributieve eigenschap. Leerlingen kunnen het niet gememoriseerd hebben van de formule altijd ondervangen door de rechtstreekse berekening. Dit is gewoon zelfredzaamheid. Ze zullen hierbij echter ondervinden dat dit meer tijd vergt en zo misschien gemotiveerd zijn de formule te verwerken. Een mogelijke werkwijze voor het ondersteunen van het memoriseren is hen de formule te laten opnemen in een formularium, dat ook doorheen de volgende jaren kan functioneren (hierover afspraken in de vakgroep maken). Telkens geconfronteerd worden met de noodzaak tot opzoeken zal hen eventueel motiveren de formule te memoriseren. Het gebruik van een formularium dient een veel ruimere doelstelling (als het ruimer is dan deze formules). Het leert leerlingen hun kennis eventueel te controleren, (terug) op te zoeken en bij te sturen. Dit is een vaardigheid (en een attitude) die veel ruimer rendeert dan alleen in wiskunde. Het bezwaar dat het kennen dan niet kan getoetst worden kan opgevangen worden door die kennis afzonderlijk te toetsen. De vaardigheid zelf wordt best gespreid getoetst doorheen het trimester of het jaar. Het gebruik van merkwaardige producten en ontbinding in factoren krijgt in het curriculum van de meeste leerlingen één welbepaalde toepassing: het aanvullen van een drieterm tot een volkomen kwadraat (bijv. bij de tweedegraadsfunctie). Bij de oefeningen kan men hier al aandacht aan besteden. Voorbeeld 4 x2 − 12 x + 13 kan geschreven worden als 4 x2 − 12 x + 9 + 4 of dus (2 x − 3)2 + 4

In de formules kunnen de letters staan voor bijvoorbeeld eentermen of tweetermen. Bijv. (s2 − 1)2 − 4s6 . Vormen zoals (2 x y2 z − 5 x2 z3 )2 worden vermeden. Nog weinig leerlingen zullen hier verderop mee geconfronteerd worden. Door de beschikbaarheid van software (computeralgebrasystemen) is het ontbinden in factoren veel van zijn belang verloren. In de praktijk wordt het niet meer gehanteerd en zal men veel sneller grijpen naar numerieke benaderingsmethoden, ook al gezien de complexiteit van sommige realiteitsgebonden situaties. Toch lijkt het verantwoord het ontbinden in factoren nog aan te leren in functie van het snel bepalen van nulpunten van eenvoudige functies. Het is vergelijkbaar met het hoofdrekenen. Wie het vlot kan, heeft er alleen maar voordeel bij. Zoals eerder gezegd beperkt men zich in de praktijk tot vormen in één letter. Vlotheid krijgt weer de bovenhand op ingewikkelde vormen. Training met meer letters heeft voor het overgrote deel van de leerlingen geen enkele zin.

U


Ontbinden in factoren met machten waarin letterexponenten voorkomen.

Voorbeelden (xn + 5)(xn − 5) = x 4n − 16 = y2n − 4y2 =

Tegenvoorbeelden worden dus best vermeden, want voor de meeste leerlingen van geen rendement op korte of lange termijn x 4n − y2m =


-


4 x2n − 4xn + 1 =

Bijlage 5

Planning voor een concrete leerlijn algebraïsch rekenen

Bijlage 6

Alternatieve oefenvormen voor het letterrekenen.

ICT-gebruik

De leerlingen kunnen het oplossen van vergelijkingen trainen met kale oefeningen.

Voorbeeld http://www.aaamath.com/g725-equation6.html

Software Mathelp http://www.ircc.edu/portal/layout_web1.aspx?AdminEdit=False&PortalPageID=324$ EQUAL.EXE voor het oplossen van vergelijkingen EVAL.EXE voor het rekenen met letters FACTORS.EXE voor het ontbinden in factoren MOPOWER.EXE voor het werken met machten (vooral negatieve exponenten)

25


26

-


POLYMULT.EXE voor bewerkingen met veeltermen

1.2.2

Leerplan b

Dit leerplan b kan gekozen worden voor bepaalde basisopties eerste graad, waarvan de leerlingen toch kunnen doorstromen naar studierichtingen tweede graad met een uitgebreider leerplan wiskunde (4 of 5 wekelijkse lestijden) bijv. Biotechnische wetenschappen, Elektromechanica, Elektriciteit-elektronica, Grafische wetenschappen, Houtbouwkunde. Het ligt voor de hand dat voor deze leerlingen een minimale invulling van het leerplan niet volstaat. Deze leerlingen moeten de basisdoelstellingen op een behoorlijk niveau verwerken. Dit vormt een element in de oriëntering van de leerlingen. 1.2.2.A

6

Doelstelling 6

B


Men kan zich beperken tot veeltermen in één letter met lage exponenten bij de veranderlijke. Het gaat dus om het louter kennen van het principe van een getalwaarde berekenen. Het leerplan geeft hier als basis al een duidelijke begrenzing aan (met name ten hoogste drie termen). Men zal zich hier verder beperken tot veeltermen in één letter. In hun verdere studieloopbaan zullen deze leerlingen geen ingewikkelde vormen tegenkomen. Het berekenen van getalwaarden kan best niet los gekoppeld worden van contextsituaties. Dat geeft een zekere realiteitswaarde aan de berekeningen (waardoor artificiële vormen vermeden worden), en laat de leerlingen toe ook een realiteitscontrole op hun resultaat uit te voeren. Zie voorbeelden bij leerplan a. Leerlingen moeten deze beperkte technische vaardigheid bezitten op handmatig niveau voor relatief eenvoudige veeltermen (in functie van toepassingen in technische vakken). Voor het overige gebruiken ze een rekenmachine. Bij dat laatste zal men nog even herhalen hoe bepaalde situaties worden ingegeven, bijv in verband met het toestandsteken: −23 , (−2)3 , − 24 , (−2)4 , ... Bepaalde dergelijke opdrachten geven gelijke resultaten, andere niet. Uit het voorgaande is al duidelijk dat het berekenen van getalwaarden voldoende moet ingeoefend worden, waarbij ook aandacht besteed wordt aan het vormen van het begrip ‘veranderlijke’. 1.2.2.B

7

Doelstelling 7

B

Een-, twee- en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat herleiden.

Op het niveau basisvorming heeft het geen zin met meer dan één letter te werken. Deze doelstelling houdt in dat men eventueel afzonderlijk, als toepassing van de distributieve eigenschap, eentermen leert optellen en vermenigvuldigen. Voor deze bewerkingen bestaan zogenaamde praktische schikkingen. Wiskundig zwakke leerlingen zijn wellicht gebaat met het ordelijk werken volgens een vaste schikking, waar ook rekening gehouden is met ontbrekende machten. Dit mag echter geen dwingend


-


27

harnas worden. Ook een berekening met een netjes onder elkaar geschreven uitwerking is zinvol. Voorbeeld (x − 4) (x3 − 2 x2 + 6)

= x 4 − 2x3 + 6x − 4x3 + 8x2 − 24 = x 4 − 6x3 + 8x2 + 6x − 24

Ook hier zal men geregeld oefenen, waarbij enkele oefeningen op geregelde tijdstippen gespreid over langere tijd meer zal opleveren dan een intense periode na elkaar. De normale basisoefeningen zullen ook een normaal gebruik van breuken bevatten. Let wel, in het eerste leerjaar werd het manueel rekenen met breuken beperkt tot eenvoudige breuken (met noemers tot 20 en/of gemakkelijk factoriseerbaar). Men dient zich dus te realiseren dat bewerkingen met breuken voor deze leerling een ernstige verhoging van de moeilijkheidsgraad inhoudt. Men kan ze bijvoorbeeld wel in oefeningen aanbieden als training en herhaling, maar zal bijvoorbeeld dergelijke situaties in toetsen beperken. Het oefenen met veeltermen is een gelegenheid om in ‘zinvolle wiskundesituaties’ de rekenregels van bewerkingen te onderhouden (cf. doelstelling 1 van het tweede leerjaar). Bij het algebraïsch rekenen is afwisseling in de opgaven van belang. In een eerste periode zal men een bepaalde techniek aanleren en specifiek inoefenen. Daarbij is een snelle correctie en bijsturing noodzakelijk zodat geen foutieve training ontstaat. Daarna zal men geregeld met herhalingsoefeningen werken, waarbij gemengde oefeningen optreden, waardoor de eentonigheid in de oefeningen doorbroken wordt. De leerlingen moeten zich telkens opnieuw instellen op de opdracht. Ook hier is een goede foutenanalyse noodzakelijk: leerlingen moeten leren hun fout aan te wenden om hun vaardigheid bij te sturen. In de eerste graad kan de leraar hier nog een aantal sturende functies opnemen, toch is het belangrijk dat de leerling zich ook voor de foutenanalyse en bijsturing engageert. Dergelijke aanpak vraagt extra aandacht, want niet alle leerboeken voorzien voldoende dergelijke oefeningenreeksen. Dergelijke reeksen kunnen een goede bron zijn voor huistaken, waarbij de afwisseling in de opdrachten belangrijker is dan de complexiteit van de oefeningen. 1.2.2.C


8

B


9

B


Doelstelling 9 geeft drie beheersingniveaus aan: de formule kennen (dat is onbetwistbaar), ze verklaren (is voor interpretatie vatbaar), ze toepassen (dus gebruiken). De formule verklaren betekent hier concreet: voorbeelden geven en de formule kunnen berekenen bijv. met de distributieve eigenschap uitgaande van een lid rekenen naar het andere. De verklaring koppelen aan het gekende gebruik van oppervlakten (met in elkaar liggende vierkanten) zal het inzicht alleen maar versterken, en vooral de rol van het dubbelproduct verhelderen. Deze werkwijze kan ook het formuleren van de formule in woorden ondersteunen. Een mogelijke werkwijze voor het ondersteunen van het memoriseren is hen de formule te laten opnemen in een formularium, dat ook doorheen de volgende jaren kan functioneren (hierover afspraken in de vakgroep maken). Telkens geconfronteerd worden met


28

-


de noodzaak tot opzoeken zal hen eventueel motiveren de formule te memoriseren. Het gebruik van een formularium dient een veel ruimere doelstelling (als het ruimer is dan deze formules). Het leert leerlingen hun kennis eventueel te controleren, (terug) op te zoeken en bij te sturen. Dit is een vaardigheid (en een attitude) die veel ruimer rendeert dan alleen in wiskunde. Het bezwaar dat het kennen dan niet kan getoetst worden kan opgevangen worden door die kennis afzonderlijk te toetsen. De vaardigheid zelf kan overigens zelf best gespreid worden getoetst doorheen het trimester of het jaar. In de oefeningen zal men zich hier beperken tot standaardvormen met een letter. Voorbeeld (x − 3) (x + 3) = (x − 7)2 =

(x2 + 5) (x2 − 5) =

2

Vergelijking van de eerste graad met één onbekende

2.1 2.1.1

Doelstellingen van het leerplan Leerplan a

13

B

Eigenschappen in verband met gelijkheden kennen.

14

B

Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen.

2.1.2

10

2.2 2.2.1

Leerplan b

B

Actualisering van het leerplan Leerplan a Doelstelling 13

2.2.1.A

13


B

Eigenschappen in verband met gelijkheden kennen.

Het gaat om de twee gekende regels die vaak foutief samengevat worden tot “van lid veranderen”. Beter is de leerlingen tenminste volledige en zinvolle gehelen te laten memoriseren: bijv. “beide leden van een gelijkheid met eenzelfde factor vermenigvuldigen”. Zo worden wellicht een hele reeks fouten vermeden. Als men bij vergelijkingen de balansmethode wil gebruiken, kan men ze best al hier inleiden. Hier heeft ze zin. De balans blijft in evenwicht door aan beide kanten dezelfde operatie uit te voeren. Verschillende operaties verstoren het evenwicht. Deze methodiek kan dan achteraf toegepast worden op vergelijkingen, waarbij men handelt met een vergelijking (met een onbekende erin) alsof het een gelijkheid is (het moet een gelijkheid worden).

Actualisering leerplan eerste graad 2.2.1.B

14

-


29

Doelstelling 14

B


Het elementaire niveau blijft beperkt. Het gaat om de twee standaardoperaties uit het eerste jaar en eenvoudige samengestelde vormen. Het oplossen van vergelijkingen moet op zeer vlotte wijze uitgevoerd kunnen worden. Omwille van de ruime toepassing van de techniek van het oplossen van (eerstegraads)vergelijkingen, kan binnen de basis in principe elke vorm aan bod komen, zij het dat men best uitgaat van modellen die in toepassingsituaties voorkomen. Ze zullen dan eerder een beperkte moeilijkheidsgraad hebben. Artificiële en gezochte vormen blijven achterwege. Voorbeeld en dus eigenlijk tegenvoorbeeld:

x + 12 x − 5 1 7 3−x − = x+ − . 3 5 2 6 7 Oefeningen van dit type worden vermeden. Ze refereren nauwelijks aan een vaardigheid die leerlingen effectief moeten bezitten. Als de leerlingen de technieken voor het oplossen van vergelijkingen volledig onder de knie hebben, dan zullen ze die ook relatief gemakkelijk kunnen toepassen bij het omvormen van formules (zie inleiding pag. 3-4). Toch mag men de moeilijkheidsgraad hiervan niet onderschatten. Het vlot hiermee omkunnen is een element bij de oriëntering van de leerlingen.

Vergelijkingen van het type x + a = b , a x = b , a x + b = c

U

Beheersingsniveau Elementair

oplossen.

U



U


Formules omvormen door een van de letters uit te drukken in functie van de andere met behulp van technieken van het oplossen van vergelijkingen.

Voorbeeld Met de formule T = G -

h kun je een benadering vinden van de temperatuur op ver300

schillende hoogtes. G is de temperatuur op de grond in °C. h is de hoogte in meter T is de temperatuur op h meter hoogte in °C. a G = 14 en h = 1850. Bereken T (op één decimaal nauwkeurig). b T = 11 en h = 1030. Bereken G (op één decimaal nauwkeurig). c T = 9 en G = 15. Bereken h (op één decimaal nauwkeurig). En als verdieping: d Druk G uit in T en h (dus G = …….).

30


-


e Druk h uit in G en T.

2.2.2

Leerplan b Doelstelling 10

2.2.2.A

10

B


Het elementaire beheersingsniveau beslaat hier alle vergelijkingen van de twee standaardvorm en de samengestelde vorm a x + b = c . U

Beheersingsniveau Elementair

Vergelijkingen van het type x + a = b , a x = b , a x + b = c oplossen.

De andere vormen worden behandeld in functie van toepassingssituaties. Een specifieke training op het oplossen van geïsoleerde vergelijkingen heeft een laag rendement. Beter is vergelijkingen telkens te koppelen aan betekenisvolle situatie. Vele leerlingen zullen vergelijkingen slechts in praktische situaties nodig hebben. De realiteitscontrole kan leerlingen een bijkomend controlemiddel geven. Voorbeelden van basisvormen 2 (x − 3) + 4 = 15 5x − 7 = 3x + 4

Vormen van het tweede type zullen nog in het curriculum van de leerlingen voorkomen bij de gelijkstellingmethode bij stelsels. Het omvormen van formules wordt zoals voorzien in het leerplan beperkt tot de werkwijze van het invullen van de gegevens en het oplossen van de bekomen vergelijking. Voor leerlingen die doorstromen in wiskundig sterkere studierichtingen (zie opmerking pag. 26 zal men toch proberen het omvormen ook op de andere wijze (met letterrekenen) aan te leren.

Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 1 Getallenleer

Recommend Documents