Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 57. Bijlagen

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen

Bijlagen

57

58 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen

Bijlage 1 Betekenis van getallen

Uit de syllabus "Wiskunde, een brug tussen zesde leerjaar en eerste jaar secundair onderwijs". Nascholing Pedic 2003. Wiskunde heeft steeds te maken met de realiteit. Ook bij getallenkennis zorgen we voor contexten die betekenis geven aan getallen en waarbij kinderen zich wat kunnen voorstellen.

¾

In het kader van ‘het getal van de dag’ kunnen uitspraken met een of ander getal verzameld worden. Zo krijgen getallen betekenis voor kinderen. Het getal 210 bijvoorbeeld kan verwijzen naar het aantal pagina’s in een boek, het nummer van een hotelkamer, het aantal leerlingen op school, het nummer van een cijferslot, een huisnummer, de snelheid van een racewagen, ...

¾

Nog enkele voorbeelden: - Cijfergegevens over de schoolbevolking: aantal kleuters en kinderen in de lagere school, aantal ingeschreven leerlingen vorige schooljaren... - Bestellijsten van schoolbenodigdheden. - Werken met reclamefolders - Prijzen van meubelen - Prijzen van bouwgronden en/of woningen - Prijzen van auto’s, motors... - Werken met kijkcijfers: Telefacts 600 000, Journaal 821 000, Wittekerke 1 000 000 - Bevolkingscijfers van België: 1970: 9 650 944 1981: 9 854 589 1992: 9 986 975

Natuurlijke getallen

Noteer de getallen in de juiste kolom. (Uit: Zo gezegd, zo gerekend 5 p.14 ) Ruth Verbeeck zit in klas 5 B. Er zijn 28 leerlingen in de klas. In de klas heeft ze het volgnummer 26. Zij moet 3 km fietsen om naar school te komen. Daarvoor heeft ze 15 minuten nodig. Ze vertrekt steeds om 8 uur. De lessen beginnen om 9 uur. Ze heeft dan nog 45minuten tijd om met haar 4 beste vrienden te spelen.

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 59

getal als hoeveelheid

getal als rangorde

getal als code

getal als maatgetal als verhouding

………….. ………….. …………..

Noteer zes getallen en geef ze een verschillende functie. Plaats ze daarna in de tabel (zie hoger).. Gebruik de getallen in een rekenverhaal. Stel hierbij een vraag. Zoek de oplossing.

¾

Noteer de getallen. ........... 8TD 2D 3H 4T 1E

4D 3H

..........

¾

Vervang in de volgende getallen het cijfer 5 door een ander cijfer. Wat gebeurt er? 25 724 ........... .................................................................................. 16 857 ........... .................................................................................. 40 589 ........... ..................................................................................

¾

Met de zakrekenmachine cijfers poetsen. Zet het getal 3276 in het venster van je zakrekenmachine. Bij de volgende opgaven mag je alleen getallen optellen of aftrekken. a. Verander de 2 in een 5. b. Verander de 7 in een 0. c. Verander de 3 in een 0. Kun je verklaren wat er gebeurt?


Bijlage 2 Betekenis van breuken

Uit de syllabus "Wiskunde, een brug tussen zesde leerjaar en eerste jaar secundair onderwijs". Nascholing Pedic 2003. Breuken • •

•

Aanbevolen lectuur i.v.m. de ontwikkeling van het breukbegrip: ‘De Katholieke Schoolgids’ mei 98, september 98 en maart 99. Het nieuwe leerplan beklemtoont sterk het belang voor kinderen van het rekenen in betekenisvolle situaties. Voor breuken heeft dit als gevolg dat het breukbegrip zelf veel meer aandacht krijgt en dat het rekenen met breuken wordt afgezwakt. In de realiteit ontstaan breuken ook als resultaat van een eerlijke verdeling of als verfijning bij het meten. Leerlijn: 2de leerjaar

-

breuken herkennen in de omgangstaal

-

aanzet: breuken interpreteren en gebruiken als operator ( ...)

3de leerjaar

-

4de leerjaar

-

-

5de leerjaar

-

1 van 4

breuken interpreteren en gebruiken als operator (een stuk (deel) van, een verdeling, een vermenigvuldigingsfactor) ze herkennen in de omgangstaal breuken lezen en schrijven en gebruik maken van de termen breuk, teller, noemer, breukstreep, stambreuk breuken interpreteren en gebruiken - als operator - als getal met een plaats op de getallenas, als een quotiënt van 3 ) een deling (3 pizza’s verdelen in 4 gelijke delen, 3 : 4 = 4 breuken lezen en schrijven en gebruik maken van de termen breuk, teller, noemer, breukstreep, stambreuk breuken vergelijken, ordenen en onder meer aanduiden op een getallenas - stambreuken - breuken met dezelfde noemer en breuken met dezelfde teller - aanzet: eenvoudige breuken (na vereenvoudiging) - en gebruik maken van de term gelijkwaardige breuken aanzet: eenvoudige breuken gelijknamig maken om ze te vergelijken en te ordenen of om ze op te tellen of af te trekken en gebruik maken van de term gelijknamige breuken breuken (her)structureren alle kennis, vaardigheden en inzichten worden verder geïntegreerd, verdiept en/of verbreed breuken interpreteren als een verhouding (onder meer de aanduiding voor een kans) breuken vergelijken, ordenen en onder meer aanduiden op een getallenas c. eenvoudige breuken (na vereenvoudiging) eenvoudige breuken gelijknamig maken om ze te vergelijken en te ordenen of om ze op te tellen of af te trekken en gebruik ma-


6de leerjaar

-

ken van de term gelijknamige breuken vermenigvuldigen en delen bij breuken geen nieuwe leerstof in verband met breuken, wel aanzet breuk x breuk en natuurlijk getal delen door stambreuk.

¾

Eerlijk verdelen Vier kinderen verdelen drie repen chocolade. Het verdelen kan veelzijdig gebeuren: eerst twee repen, dan de derde of één voor één. Voor het beschrijven van de porties gebruiken we termen uit de omgangstaal. Ieder krijgt een halve reep en dan nog een 1 1 reep en kwart reep erbij. Dit kan geleidelijk worden omgezet in rekensymbolen: 2 4 1 1 reep, r + r . Het laten staan van de r(eep) notatie zorgt ervoor dat de breuk be2 4 noemd blijft. Het is op die manier een concrete breuk.

¾

Werk per twee. Verdeel drie vierkanten op verschillende manieren eerlijk in vieren. Je probeert het zo goed mogelijk te tekenen. Opl 1

¾

Opl 2

Opl 3

Ontbijt- en andere situaties - Op tafel ligt een reep chocolade van 6 stukjes. Ik neem er 2, mijn broer 3. Hoe2 3 + veel porties zijn er weg? 6 6 - Met ons gezin verbruiken we op maandag 5 porties smeerkaas en op donderdag 5 4 9 + = , dus een nieuw doosje beginnen. 4. Hoeveel zijn dat er samen? 8 8 8 1 1 - Je knipt van een blad weg en dan nog eens . Hoeveel is er afgeknipt? 2 4


-

Een bak bier, cola, fruitsap... Een eerste klant neemt

1 van de flessen mee, een 2

1 . Hoeveel nemen ze mee? Hoeveel blijft er over? Voorstellen met con3 creet materiaal of tekeningen! Op een koude winterdag konden in de straat van Johan 2 auto’s van de 8 niet 2 1 van de auto’s starten niet.” Marijke zegt: “ van de auto’s starten. Dirk zegt: “ 8 4 starten niet.” Wie heeft gelijk? Leerlingen stellen oplossing voor door tekening en vergelijken tellers en noemers. Ze kunnen ook gebruik maken van de breukentafels. De breuken drukken dezelfde verhouding uit. Je werkt het probleem verder 1 van de geparuit. Stel dat er aan iedere kant van de straat 16 auto’s staan. 4 keerde wagens starten niet. Hoeveel zijn er dat? Druk dat uit in andere, maar gelijkwaardige breuken. Deze context kan voor verschillende oefeningen m.b.t. gelijkwaardigheid gebruikt worden. volgende

-

¾

De breuk als een verhouding - Mama komt laat thuis. Aan haar sleutelbos hangen 5 sleutels. Het is zo donker dat ze niet kan zien welke de juiste sleutel is. Hoe groot is de kans dat mama de juiste sleutel neemt? - Griet en Petra mogen kiezen uit 10 boeken. Griet is de jongste en mag eerst kiezen. Hoe groot is de kans dat Griet het boek kiest dat Petra ook wil? - Je gooit een dobbelsteen in een omkaderd vlak. Hoe groot is de kans dat de dobbelsteen op het grijze deel valt?


Bijlage 3 Betekenis van getallen, collage

Actie geldig van 05/01 tot en met 18/01/2006 Gewürztraminer 2004 Ingersheim - Collection privée droge, witte wijn uit de Elzas 6 x 75 cl

Prijs voor 6: € 30.36 Normale prijs per stuk: 7,59 Uw voordeel bij aankoop van 6 stuks: 15,18

Pinot gris 2001 Domaines Schlumberger droge, witte wijn uit de Elzas 6 x 75 cl

Prijs voor 6: € 39.60 Normale prijs per stuk: 9,90 Uw voordeel bij aankoop van 6 stuks: 19,80

Kersensneeuw

+30 min.

• • • • • •

10 cl verse room 2 eieren 50 g bloemsuiker 300 g rijpe zwarte kersen 1 soeplepel kersenlikeur (facultatief) 200 g kwark met een vetgehalte van 20%


29/12

Genetische test voorspelt hartstilstand bij sportbeoefenaars

Italiaanse onderzoekers hebben een genetische test ontwikkeld die het Long QT Syndroom (LQTS) kan voorspellen. Dat is een hartaandoening die leidt tot hartritmestoornissen met de dood tot gevolg. Ze is de doodsoorzaak van tal van ogenschijnlijk gezonde sportbeoefenaars. De onderzoekers van de S. Maugeri Fondazione in Pavia probeerden de test uit bij 430 LQTS-patiënten en 1.115 familieleden. Ze konden 235 mutaties die gelinkt zijn aan de ziekte identificeren, 138 mutaties waren nieuw. Ze kwamen voor bij 310 of 72 procent van de 430 patiënten. Een tweede test, bij een aparte groep van 75 LQTS-patiënten, bevestigde de bevindingen. De resultaten verschenen in The Journal of the American Medical Association op 21 december.

Een mediterraan getint recept dat liefhebbers van aubergines beslist zal aanspreken.

-

3 aubergines 4 tomaten 250 g champignons 80 g ontpitte groene olijven 50 g hazelnoten 1 sjalot 500 g ricotta 3 eetl. paneermeel 1 ei 1 eetl. boter olijfolie 3 takjes tijm (vers) 1/2 bieslookplantje (vers) 1/2 basilicumplantje (vers) 1 koffiel. oregano (Topaz) peper en zout

Mobistar Selection Pack Nokia 3120

• •

Tri-band (900/1.800/1.900 MHz), trilfunctie en lithium-ion batterij Grafisch kleurenscherm

MMS compatibel. Polyfone beltonen, kleurrijke achtergronden en screensavers. GPRS-functie voor toegang tot het internet. Autonomie: 170 tot 410 h in stand-by, 2 tot 6 h in gesprek. Gewicht: 84 g. 2 jaar herstelgarantie (enkel op de gsm). 370837


Aardbeienbavaroisterrine Tip(s):

Ingrediënten voor 8 personen:

• • • • • • • • •

½ eetlepel (zonnebloem)olie 1 kg aardbeien 9 blaadjes witte gelatine ¼ l slagroom 125 g poedersuiker 1 sinaasappel 8 eetlepels aarbeienlikeur glazen of met teflon beklede cakevorm, lengte 28½ cm plasticfolie

Limoensorbet Ingrediënten voor 4 personen:

• • • • •

4½ dl limoen- of citroensap ± 250 g suiker 4 (lege) limoenen ijslaatje of diepvriesbakje citrustrekker

Aardappelamandeltjes Ingrediënten voor 6 personen:

• • • • • •

1½ pakje aardappelpuree met kaas 4½ dl melk 1 ei 80 g amandelschaafsel 4 eetlepels paneermeel 25 g bloem


Cocktail Alcoholvrije punch Ingrediënten: 2/8 Granini Roze pompelmoes nectar 4/8 sinaasappelsap 2/8 multifruit nectar .

05/01 Verbrandingsinstallatie Houthalen draait op maximumcapaciteit De afvaloven in Houthalen heeft vorig jaar 91.599 ton huishoudelijk afval verbrand. Dat is zo maar eventjes 32 procent meer dan in 2004 toen er 69.195 ton werd verbrand. 2005 was dan ook een absoluut recordjaar voor de verbrandingsinstallaties, die nagenoeg continu bolden, en hun maximumcapaciteit hebben bereikt. De verwerkingsinstallatie van Regionale Milieuzorg in Houthalen had in 2005 een bedrijfsefficiëntie van 91 procent. In mensentaal betekent dit dat ze 91 procent van de tijd werkte. Opmerkelijk, want andere vergelijkbare fabrieken en installaties halen niet meer dan 80 à 85 procent. “Onze installatie was in 2005 zo efficiënt dat we zelfs op Europees niveau tot de beste behoren,” zegt voorzitter Theo Schuurmans. “Beter dan dit kan bijna niet. Een sterk management dat de juiste beleidskeuzes maakt en investeringen doet, ligt aan de basis. Maar de grootste pluim gaat naar al onze medewerkers die nog maar eens bewijzen competent en onmisbaar te zijn.” De verbrandingsoven in Houthalen telt twee productielijnen die in principe 24 uur op 24 en 7 dagen op 7 draaien. Maar het verbrandingsproces is zo intensief dat de installatie regelmatig wordt stilgelegd voor onderhoud en vernieuwingen. In 2005 werkte de oven zo’n 8.000 uur, oftewel 91 procent van de beschikbare tijd. Volgens directeur Hugo Knevels wordt er goed op gelet dat enkel laagcalorisch afval wordt aangevoerd. “Dat betekent dus geen plastic, rubber, of zo, want de hoogcalorische grondstoffen doen de temperatuur in de oven te hoog oplopen. Deze afvalstoffen moeten naar een wervelbed of, nog beter, naar een recyclagebedrijf.” (deel uit het originele artikel)

Weerbericht voor de volgende uren Vrijdag 06 Januari om 08 uur 45 Het weer nu : In de meeste streken is het vrij koud, mooi en droog. Plaatselijk nevel en lage bewolking vooral op de Ardense Hoogten. Temperaturen van -3 tot -5° in de Ardennen en tussen 0 en -2° ten noorden van Samber en Maas en langs de kust. Zwakke en aan zee matige wind uit oostelijke richtingen. Voorspellingen voor de volgende uren : Weinig verandering. Het weer blijft mooi, droog en vrij koud. Over het oosten van de Ardennen kunnen zich wolkenvelden van lage bewolking handhaven. Deze morgen temperaturen tussen 1 en -3° in Hoog-België en van 0 tot 2° ten noorden van Samber en Maas. Zwakke en aan zee tijdelijk matige wind uit oostelijke richtingen. Volgend bericht : omstreeks 11.30u. (www.kmi.be)


Prijs per kamer met het ontbijt inbegrepen

Dubbele kamer 1 of 2 personen

75 euros

Suite 1 of 2 personen

89 euros

Extra persoon

30 euros

Duplex 1 of 2 personen

75 euros

Duplex 3 of 4 personen

135 euros

Sport- en cultuurevenementen : prijzen enkel op aanvraag. Supplement 15 euros per kamer indien verblijf van 1 enkele nacht op zaterdag. Supplement 10 euros per kamer indien verblijf van 1 enkele nacht op vrijdag of op zondag. Supplement 5 euros per kamer indien verblijf van 1 enkele nacht in de week. Korting voor lang verblijf - Dieren toegelaten op aanvraag - Private parkeerplaats op het eigendom. Toeristenbelasting v/d Stad Spa : 0,75 euro per volwassene en per nacht. Wordt als een supplement gerekend. Het totale saldo van het verblijf wordt aan de overhandiging van de sleutels en toegangscodes gevraagd. Voor elke reservering wordt een voorschot van 50% gevraagd : zonder voorafgaande ontvangst van dat voorschot zal geen reservering definitief opgenomen worden.


BESCHRIJVING 3 dubbele slaapkamers : elk met badkamer (douche), privé toilet, King Size bed, kleuren TV, video en/of DVD-speler, minibar-koelkast, safe, radiowekker, haardroger, thee, koffie. 1 suite : privé ingang door een terras, comfortabele woonkamer met divanbed 1 persoon, minibar-koelkast, thee, koffie, kamer met King Size bed, kleuren TV, video-, DVD-, CD-speler, radiowekker, badkamer met bad en douche, privé toilet. 1 duplex voor gezinsaccommodatie : privé ingang, 1 slaapkamer met een groot bed, kleuren TV, DVD-speler, minibar-koelkast, badkamer met bad en douche, privé toilet. Verdieping toegankelijk door een spiraalvormige trap : 1 kamer met 2 éénpersoonsbedden, kleuren TV, video. Ontbijt met boerenproducten (boter, kazen, Luikse stroop en honig) en streekprodukten (dikke worst van Verviers, Gaumais, kopkast van Aubel). Traditionele Kellogg's en Muesli met gedroogde vruchten. Talrijke en gevarieerde huis gebakken marmelades. Vruchtensla. Park met gebloemde terrassen en tuinmeubilair. Speelterreinen voor kinderen : glijbanen, hut, zandbak.

Copyright © Villa des Fagnes - 2000-2005 Alle Rechten Voorbehouden

Optimisatie voor Internet Explorer met een resolutie van 800 x 600

VOORTDUREND BIJGEHOUDEN Website Design by Places To Be


Tekst jongens en wetenschap deel 2 p. 82-85,



Bespreking Uit deze voorbeelden, te vinden via het internet of via kranten en tijdschriften, kan je allerlei vragen over getallen en bewerkingen met getallen, over procenten en berekeningen formuleren. Deze collage is een idee om zelf in je klas met getallen om te gaan. Je kan een dergelijke collage het hele jaar door gebruiken en er telkens op terugvallen als je een nieuw onderwerp i.v.m. getallen aansnijdt. Een andere mogelijkheid is de leerlingen zelf voorbeelden van artikels, reclamefolders te laten meebrengen en hierbij vragen te stellen. Enkele voorbeeldvragen vind je hieronder. 1 Getallen gebruiken. Teksten 4+2 gratis wijn (p.1), mediterraan recept (p.2), Mobistar (p.2), verbrandingsinstallatie (p.4)

Noteer de getallen in de juiste kolom. Getal heid

als

hoeveel-

Getal als rangorde

Getal als code

Getal als maatgetal Getal als verhouding

… … Bijkomende opdracht: Noteer 6 getallen en geef ze een verschillende functie. Plaats ze vervolgens in de tabel. Gebruik ze in een rekenverhaal. Stel hierbij een vraag en beantwoord de vraag. 2 Bewerkingen met getallen. Tekst Kersensneeuw (p.1)

Vul in hoeveel je nodig hebt om het recept kersensneeuw te maken voor 6 personen. Bereken ook de prijs voor dit recept (zoek dit op tegen morgen). Ingrediënt

Hoeveelheid

Kostprijs

Room Eieren Bloemsuiker Kersen Likeur Kwark TOTAAL:


3 Reuzegetallen kennen. Tekst Jongens en Wetenschap deel 2 (p.6-7).

Haal alle getallen uit de tekst en schrijf ze op in de tabel in de volgorde: je begint met de eenheden, tientallen, honderdtallen, … Je mag ook buiten de tabel schrijven. (is dit goed gefromuleerd?) M

HD

TD

D

H

T

E

1 3

6

4 Breuken. Tekst alcoholvrije punch (p. 4)

Ik wil voor mijn verjaardag een alcoholvrije punch maken voor mijn 12 vrienden. Hoeveel flessen pompelmoes nectar, sinaasappelsap en multifruit nectar zal ik nodig hebben? 5 Negatieve getallen. Tekst weerbericht (p.4-5)

Zet de getallen uit de tekst op een getallenas. Beantwoord de volgende vragen: 1

Waar in België was het het koudst op vrijdag 6 januari 2006 om 8.45 uur? En hoe koud?

2

Werd het de volgende uren warmer? Hoe kan je dit uit de tekst begrijpen? Leg uit. Met hoeveel °C kon de temperatuur maximaal stijgen?

6 Procenten en eenheden. Tekst verbrandingsinstallatie Houthalen (p.4)

1

Controleer je even of de volgende uitspraak correct is in de tekst 91 599 ton huishoudelijk afval is ongeveer 32% meer dan 69 195 ton. Extra suggestie: Op hoeveel manieren kan je dit berekenen?

Hoeveel kg huishoudelijk afval is dit wel? 2

Hoeveel procent bedrijfsefficiëntie meer haalt de verwerkingsinstallatie in Houthalen t.o.v. andere installaties?

3

Hoeveel uren werkte één productielijn van de oven in 2005? Hoe bereken je dit? Hoeveel uren lag de lijn stil in 2005? Hoeveel procent van de tijd is dit? Geef verschillende werkwijzen aan.


7 Procenten. Tekst hotel Villa des Fagnes (p.5-6).

Verifieer. 1

60% van de kamers bestaat uit dubbele slaapkamers. Hoe ga je tewerk?

2

Het hotel biedt plaats aan 15 personen.

Twee van de vijf kamers hebben badkamer met bad en douche. Hoeveel procent is dit? Ik boek één duplex voor twee volwassenen en twee kinderen van 14 en 16 jaar voor het weekend van 4 en 5 maart. We vertrekken zaterdag 4 maart. Hoeveel voorschot moet ik betalen?


Bijlage 4 Talstelsels in andere culturen. De natuurlijke getallen

Talstelsels

Met dank aan Chris Standaert voor het gebruik van deze tekst. Als we de leerlingen het nut en de werking van het tiendelige talstelsel willen laten inzien, kan het tonen van andere (soms minder handige) stelsels dit inzicht doen groeien. Met exotisch aandoende cijfers en getallen kan je dit op een leuke manier doen. Uit enkele overgebleven papyrus fragmenten, en door wat via de Grieken tot ons gekomen is, blijkt dat Egypte één van de centra geweest is waar al een paar duizend jaar voor Christus wiskunde werd beoefend. Aristoteles (384 -322 v.C.) verklaart waarom het net daar en toen was: de priesters hadden er de nodige vrije tijd! Een andere, meer plausibele verklaring is het jaarlijks overstromen van de Nijl, waardoor grenzen van overspoelde akkers telkens weer opnieuw moesten worden uitgezet. Er waren dus landmeters nodig die voldoende praktische kennis van meetkunde en rekenen bezaten. Het praktische karakter van de wiskunde (geen bewijzen of verklaringen, wel regels en voorschriften) is dan ook typisch voor de Egyptische wiskunde. Hun talstelsel was een zuiver tiendelig additief stelsel. Het aspect ‘tiendelig’ uit zich in het feit dat zij symbolen hadden voor opeenvolgende machten van 10. In hiërogliefen zien die machten er als volgt uit:

1

10

100

1 000

10 000

100 000

Men beweert dat het symbool voor 1 000, een lotusbloem voorstelt. Twijfels bestaan er over het opgerolde touw, de gebogen vinger en het kikkervisje (10, 10 000 en 100 000). Andere getallen worden eenvoudig gevormd door tekens op te schrijven waarvan de som (additief stelsel) gelijk is aan het bedoelde getal.

2=

9=

352 =

Voorbeeld: De Egyptenaren schreven getallen meestal van rechts naar links, zoals hun teksten. Hier staan ze op een voor ons meer ‘gewone” manier genoteerd. Aangezien men aantallen telt vanaf 1, hadden zij geen symbool voor 0. Er was ook geen behoefte aan: het ontbreken van bijvoorbeeld de tientallen is geen probleem:


302 =

De nadelen van een additief stelsel blijken al vlug. Moet je dan telkens nieuwe symbolen bij vinden om grotere machten van 10 voor te stellen? Het noteren van bepaalde getallen is wel erg omslachtig (denk maar aan het niet zo grote getal 99). Het rekenen met zulke getallen vergt bijzondere technieken of gebeurt niet echt. De getallen wordt dan eerder op een telraam of abacus geplaatst, om na berekening opnieuw ‘vertaald’ te worden. In het oude China lijkt het of men bijna de stap gezet had naar een echt positiestelsel. In de redenering lijkt alleen de laatste “frank” niet gevallen. Opnieuw waren er symbolen voor de opeenvolgende machten van 10, en symbolen voor de cijfers 1 tot en met 9: 1

2

3

10

4

5

6

7

100

8

9

1 000

Net zoals in een positiestelsel krijgt een cijfer een andere waarde, afhankelijk van de plaats die het inneemt in de term. Zo kan een 9 staan voor 9 eenheden of 9 tientallen of… Om duidelijk te maken over welke rang het ging werd het er bij horend symbool toegevoegd:

352 =

302 =

Indien wij ‘languit’ schrijven in ons tiendelig positiestelsel krijgen we iets dergelijks (wij schrijven er nog bewerkingstekens bij): 352 = 3.102 + 5.10 + 2

302 = 3.102 + 2

Ook hier ontbreekt een symbool voor 0, en opnieuw is er geen bezwaar! In het 3° millennium voor Christus ontwikkelden de Sumeriërs in Mesopotamië het spijkerschrift en een echt positiestelsel voor getallen. De rekenkunde die zij, en de Babyloniers (hun “erfgenamen”) ontwikkelden bleef van praktische aard maar stond op een veel hoger niveau dan de Egyptische. De Babyloniërs konden stelsels vergelijkingen en vierkantsvergelijkingen oplossen, vierkantswortels zeer goed benaderen, werken met breuken,… omdat hun talstelsel hen toeliet de basisbewerkingen gemakkelijk te hanteren. Zoals we zullen zien zit er slechts één fundamenteel gebrek in hun manier van werken. Ze maakten gebruik van een zestigtallig positiestelsel. In principe houdt dit het kiezen van 60 symbolen (voor alle mogelijke cijfers) in. De klus werd echter met 2 symbolen geklaard, die met een “spijker” gemakkelijk aangebracht konden worden op een kleitablet:


1 =

10 =

De andere ‘cijfers’: 2, 3,…, 9, 11, 12, …, 59 werden hiermee opgebouwd. Volgende voorbeelden maken duidelijk hoe dit gebeurde:

1=

10 =

2=

11 =

3=

20 =

4=

24 =

5=

30 =

6= 40 = 7= 50 = 8=

59 =

9=

Eenmaal over de zestig duikt een tweede rang op, en een zelfde symbool stelt automatisch een andere waarde voor. Om verwarring te vermijden werd er tussen verschillende rangen een ‘;’ geplaatst. Op de teruggevonden originele kleitabletten kon dit onderscheid ook duidelijk gemaakt worden:

61 =

;

Proberen we opnieuw met de getallen 352 en 302:

352 =

;

302 =

Plots hebben we nood aan wat rekenen: 352 = 300 + 52 = 5.60 + 52

302 = 5.60 +2

;

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 77 De cijfers van de 2° rang geven dus zestigtallen aan (i.p.v. tientallen); op de volgende rang staan dus het aantal 602-tallen, enz. Waarom niet eens proberen met nog grotere getallen: 3734 en 3614…

3734 =

;

;

3614 =

;

Kwam een macht van 60 niet voor, dan werd hij gewoon niet geschreven: er was geen symbool voor 0. In plaats van een voorstelling van 3614, kan hierboven evengoed de vertaling staan voor 74 (1.60 + 14), of voor 216014 (1.603 + 14), of voor…. De Babylonieërs beschikten niet over iets wat wij nu algebra noemen, en hun wiskunde was beschrijvend, verhalend. Het ontbreken van de nul leidde dus niet echt tot problemen, omdat men uit de context kon opmaken welke rangen voorgesteld werden. Los van een begeleidende tekst worden de getallen echter … waardeloos? Uit het paar voorbeelden blijkt ook hoe zij erin slaagden om grote getallen door een handige, korte term voor te stellen. De op het eerste zicht eigenaardige en moeilijke keuze van de basis 60 (ga maar eens je tafels van vermenigvuldigen leren!) sluit toch nauw aan met onze wereld: hoe komt het immers dat wij een uur verdelen in 60 minuten, dat we een cirkel verdelen in 360 ° graden, 1 graad is 60 minuten… Door hun hoogstaande rekenkunde boekten de Babyloniërs imposante resultaten in de astronomie, waardoor o.a. de Grieken geneigd waren om hun technieken over te nemen. Onze erfenis wordt op die manier duidelijker. Ook voor breuken bleek hun stelsel handig: zij gebruikten enkel zestigtallige breuken. Aangezien de noemer telkens 60 is, volstaat het de teller te schrijven. Het is dus goed mogelijk dat we het in het laatste voorbeeld niet hadden over 3614 of één van de andere opgesomde mogelijkheden, maar wel over 1 geheel en 1/60. Je kunt dit vergelijken met onze decimale schrijfwijze. Wij gebruiken echter tiendelige breuken en een komma om de eenheden van de tienden van elkaar te scheiden. Het kiezen van een zelfde getal als basis van het talstelsel en als noemer in de breuken kan altijd leiden tot zo’n “decimale” voorstellingen. Het lijkt dus evident om zo’n keuze te maken. Des te groter is de verdienste van de Babyloniërs, wanneer je weet dat de Europese wiskundigen, toen ze eenmaal het tiendelige positiestelsel onder de knie hadden, nog eeuwen nodig hadden om de raad van Simon Stevin (1548 - 1620) op te volgen en ook consequent te werken met tiendelige breuken. Pas toen men in de 18° eeuw zocht naar universele eenheden voor metingen slaagde Louis Lagrange (1736 - 1813) erin de onderverdeling van de eenheid te laten baseren op 10 (i.p.v. de voorgestelde 12) Wanneer je de decimale voorstelling van breuken behandelt, kom je tot het besluit dat er eindigende en repeterende decimale vormen zijn. De breuken die na vereenvoudiging enkel factoren 2 en/of 5 in de noemer overhouden leiden tot exacte decimale voorstelling, alle andere leiden noodzakelijk tot benaderingen. De keuze van de basis 60 lijkt nu plots niet meer zo eigenaardig: 60 heeft veel delers (alleszins meer dan 10) zodat de kans groter is dat delen van de eenheid exact kunnen worden voorgesteld. Aan de andere kant van de wereld ontwikkelde een volk volledig zelfstandig een bijna perfect positiestelsel met inbegrip van een symbool voor nul. De resultaten die de Maya’s boekten (eind 4° eeuw) op gebied van tijdsrekening en astronomie zijn dan ook fenomenaal. Ze kozen 20 als basis en gebruikten twee symbolen om de cijfers voor te stellen. Voor nul hadden ze een derde symbool:


0

5

10

15

1

6

11

16

2

7

12

17

3

8

13

18

4

9

14

19

Ze plaatsen de verschillende rangen niet naast maar onder elkaar, met de eenheden onderaan:

20 =

33 =

512 =

Vlugge rekenaars hebben nu al de ‘fout’ ontdekt in het laatste voorbeeld: 512 = 500 + 12 = 25.20 + 12 = (20 + 5).20 + 12 = 1.202 + 5.20 + 12 Meteen is het enige schoonheidsvlekje gevonden in het stelsel van de Maya’s: ze doorbraken de basis twintig bij de overgang van de twintigtallen naar de hogere rang. De verklaring is te vinden in hun grote belangstelling voor tijdrekenen en kalenders. De eenheden worden gegroepeerd in twintigtallen, maar deze worden samen genomen in groepjes van 18. Vervolgens wordt weer overgeschakeld naar basis 20. Deze rare kronkel wordt begrijpelijk als je beseft dat 20.18 = 360 het aantal dagen in een jaar is. Een jaar was dan ook verdeeld in 18 maanden van 20 dagen. De ontbrekende 5 dagen hadden volgens hen een grote kans op ongeluk en werden als extra maand toegevoegd. De fout van een kwart dag (2422 tienduizendste van een dag) losten ze op door een gelijkaardige ingreep als in de Gregoriaanse kalender. In scheppingsverhalen geeft hun kalender jaartallen op die in onze tijdsrekening overeenstemmen met het jaar 3133 v.C.! Het kan niet de bedoeling zijn al deze talstelsels te bekijken met leerlingen van de 1° graad. Door een bewuste keuze te maken, kan je echter de nadelen van het additiestelsel t.o.v. het positiestelsel leren inzien op een “leuke” manier. Ervaring leert dat humor nooit ver weg is (naast het effectief redeneren en rekenen) wanneer je een leerling kunt feliciteren met een perfect vertolkt Chinees of Babylonisch getal, maar hem tezelfdertijd kunt terecht wijzen i.v.m. zijn lamentabel “handschrift”… Ook als alternatieve huistaak zijn er mogelijkheden.


Egyptische rekenen


Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 81 Websites

Soortgelijke informatie is te vinden op de volgende websites: -

http://www.wiskundeweb.nl/Wiskundegeschiedenis/index.html en kies bij ‘fragmenten’ : Getallen door de eeuwen heen

-

http://www.math.uu.nl/people/hogend/faros.html vijf radiopraatjes over de geschiedenis van het getal

-

http://www.wisfaq.nl en kies ‘vragen bekijken’, ‘geschiedenis’

-

http://www.eyelid.co.uk/calc.htm hier kan je met een virtuele rekenmachine getallen intikken, die dan automatisch worden omgezet in het Egyptisch talstelsel. Ook bewerkingen zijn mogelijk.


Bijlage 5 Voorbeelden van schattend rekenen uit de interdiocesane proeven basisonderwijs










Bijlage 6 Voorbeelden van bewerkingen met breuken uit de interdiocesane proeven basisonderwijs









100Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen

Bijlage 7 Vergelijking leerplandoelen getallenkennis en bewerkingen

DOELSTELLINGEN BASISONDERWIJS

DOELSTELLINGEN SO A

Doelen waaraan in het 6de leerjaar systema- (B) basisleerstof tisch gewerkt wordt en doelen die grondig (U) uitbreidingsleerstof gewijzigd of nieuw zijn Andere doelen Getallenkennis en bewerkingen

Getallenleer

Hoeveelheden vergelijken en ordenen

Uitdieping getalbegrip

G1 Gestructureerde en ongestructureerde 1 (B) Natuurlijke, gehele en rationale geaantallen vergelijken en sorteren, en de tallen associëren met situaties die voorkovergelijking verwoorden men in het dagelijkse leven 2 (B) De relatieve waarde van een cijfer in decimale vorm van een rationaal getal G6 Tellen, terugtellen en doortellen met aangeven o.m. sprongen van één, van twee, van vijf, van machten van tien 3 (B) Een breukvorm van een rationaal getal omzetten in de decimale vorm Natuurlijke getallen 4 (B) Rationale getallen met een begrensG11 De natuurlijke getallen lezen en schrijde decimale vorm in breukvorm schrijven ven tot 1 000 000 000 5 (B) De absolute waarde, het tegengeG13 Natuurlijke getallen (her)structureren stelde en het omgekeerde van een getal om vlot bewerkingen uit te voeren bepalen en de bijbehorende terminologie Breuken correct gebruiken Tellen

G18 Breuken herstructureren Kommagetallen

6 (B) Getallen ordenen en voorstellen op een getallenas.

7 (B) De symbolen =, ≠ , ≤ , ≥ , < en > G20 Kommagetallen interpreteren en gegebruiken. bruiken als een uitbreiding van het getallenbereik in het tiendelig plaatswaardesys- 8 (B) Begrippen en bewerkingen in verteem band met G22 Kommagetallen met hoogstens drie verzamelingen en de symbolen ∈, ∉, ⊂, ⊄, decimalen vergelijken en ordenen en o.m. ∪, ∩, \ gebruiken aanduiden op een getallenas G24 Kommagetallen (her)structureren



DOELSTELLINGEN SO A

Percenten

G25 Een percent interpreteren en gebruiken ¾

als een operator

¾

als een verhouding

en de term percent gebruiken Negatieve getallen Delers en veelvouden

Deelbaarheid

G31 De kenmerken van deelbaarheid door 9 (B) Delers en veelvouden van een natuurlijk getal bepalen 2, 4, 5, 10,

10 (U) De eigenschappen van de deelbaarheid in verband met som en veelvoud ver3 en 9 gebruiken (bijv.om de rest te bepawoorden en toepassen len) 11 (U) De kenmerken van deelbaarheid Andere talstelsels door 2, 4, 5, 25, 3, 9 door voorbeelden G34 Met concrete voorbeelden aanduiden verklaren dat er verschillende talstelsels zijn 12 (U) De definitie van priemgetal formuleGetallen schatten en afronden ren 25, 100, 1 000

G35 De relatieve grootte van getallen in- 13 (B) Natuurlijke getallen ontbinden in schatten priemfactoren G36 Getallen afronden (de graad van 14 (B) De grootste gemeenschappelijke nauwkeurigheid wordt bepaald door het deler en het kleinste gemeenschappelijk doel van het afronden en door de situatie) veelvoud van twee of meer getallen berekenen Toepassingen G37 Hoeveelheden handig tellen door schatprocedures te gebruiken bij niet exact bepaalde of niet exact te bepalen gegevens G39 Orde, regelmaat, verbanden, patronen en structuren tussen en met getallen opsporen, onderzoeken, ontdekken en zelf voorbeelden bedenken G41 In concrete situaties eenvoudige verhoudingen vaststellen en vergelijken



DOELSTELLINGEN SO A

Bewerkingen Van situaties naar bewerkingen en om- 15(B) Natuurlijke, gehele en rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvulgekeerd digen en delen. B2 Eenvoudige situaties omzetten in formules met natuurlijke getallen, breuken, per- 16(B) De tekenregels bij gehele en ratiocenten en kommagetallen, en omgekeerd nale getallen toepassen. (van formule naar situatie) door: 17(B) Terminologie in verband met bec) bij formules situaties te bedenken en die werkingen met getallen gebruiken: optelling, som, term, aftrekking,verschil, versituaties te verwoorden menigvuldiging, product, factor, deling, B3 De geleerde symbolen, notatiewijzen en quotiënt, deeltal, deler, rest. conventies in verband met bewerkingen 18(U) De formule van de niet-opgaande met getallen deling in IN uitleggen. ¾ kennen en gebruiken in verschillende 19(B) Afspraken in verband met de volgsituaties orde van de bewerkingen toepassen. ¾ en de structuur van formules begrijpen 20(B) Het verband tussen aftrekken en en de formules correct toepassen optellen en tussen delen en vermenigvulInzicht in de eigenschappen van en de digen verwoorden. relaties tussen bewerkingen 21(B) De rol van 0 en 1 bij de bewerkinB7 Ervaren en toepassen dat: gen verwoorden. ¾ de som van twee getallen niet verandert 22(B) De betekenis van de commutativials bij één term een getal wordt opgeteit en de associativiteit van de optelling teld en van de andere term hetzelfde en de vermenigvuldiging verwoorden. getal afgetrokken wordt 23(B) De betekenis van de distributiviteit ¾ het verschil van twee getallen niet vervan de vermenigvuldiging ten opzichte van andert als bij beide termen hetzelfde de optelling verwoorden. getal opgeteld wordt of van beide ter24(B) Machten met een natuurlijke exmen hetzelfde getal afgetrokken wordt ponent van een getal berekenen. ¾ het product van twee getallen niet verandert als één factor vermenigvuldigd 25(B) Terminologie in verband met gebruiken: macht, wordt met een getal en de andere factor machtsverheffing grondtal, exponent, kwadraat, vierkantsgedeeld wordt door hetzelfde getal wortel. ¾ het quotiënt van een deling niet verandert als beide factoren met hetzelfde getal vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld worden

Er worden nieuwe termen gebruikt: ‘van plaats wisselen’, ‘schakelen’ en ‘splitsen en verdelen’



DOELSTELLINGEN SO A

Hoofdrekenen

Toepassingen getallen

op

bewerkingen

met

B11 – B 14 – B18 – B22 rond 4 hoofdbewerkingen 26(B) Handig rekenen door gebruik te maken van eigenschappen van de bewerkinBij eenvoudige optellingen (aftrekkingen. gen…)flexibel een doelmatige oplossingsmethode kiezen op basis van inzicht in de 31(B) Letters gebruiken als middel om te structuur van de getallen en in de eigen- veralgemenen schappen van de optelling (aftrekkingen…) 32(B) In eenvoudige patronen en schema’s en de optellingen (aftrekkingen…)correct regelmaat ontdekken en met formules beuitvoeren, verwoorden en noteren: schrijven Som (aftrektal) ≤1 000 000 000 (met grote 33(B) Letters gebruiken als onbekenden getallen en met eindnullen) 34(B) Vergelijkingen van de vorm Breuken x + a = b en a.x = b met a ∈ Q 0 en b∈ Q B26 – B29 oplossen. Bewerkingen met breuken worden beperkt tot bewerkingen met eenvoudige breuken in praktische gevallen met inzicht. Daarom worden de vermenigvuldiging van een breuk met een breuk en de deling van een natuurlijk getal door een stambreuk enkel in het 6de leerjaar aangezet. Kommagetallen

B30 – B34 Bewerkingen met kommagetallen worden beperkt tot eenvoudige kommagetallen (max. 3 decimalen) in praktische situaties Percenten B35 In eenvoudige en praktische gevallen 30(B) Procentberekeningen in zinvolle conpercenten van een grootheid of van een texten gebruiken getal nemen



DOELSTELLINGEN SO A

Schattend rekenen

B36 Schattend rekenen om: ¾

de uitkomst van een berekening bij benadering te bepalen

¾

de grootteorde van de uitkomst van een berekening (o.m. op de zakrekenmachine) globaal te controleren

29(B) Het hoofdrekenen integreren in het schatten van resultaten

B37 Schatprocedures vinden en aanwenden als de gegevens voor een exacte berekening ontbreken of onvolledig zijn, niet exact bepaald of niet exact te bepalen zijn. Cijferen

B45 De procedures om te cijferen (cijferalgoritmes) Begrijpen

B46 De uitgevoerde bewerkingen controleren: ¾

door de uitkomsten te vergelijken met de schatting

¾

door omgekeerde bewerking te maken (+ en -)

¾

door de zakrekenmachine te gebruiken

Zakrekenmachine gebruiken

B47 De zakrekenmachine efficiënt gebrui- 27(B) Een rekenmachine doelgericht geken om op te tellen, af te trekken, te verbruiken. menigvuldigen en te delen en procenten te 28(B) Het resultaat van een berekening berekenen op een verantwoorde wijze afronden. B48 De zakrekenmachine gebruiken om meer inzicht te verwerven in de structuur van de getallen en in de eigenschappen van de bewerkingen en in de relaties tussen procenten, kommagetallen en breuken



DOELSTELLINGEN SO A

Toepassingen

B50 Enkelvoudige vraagstukken oplossen 35(B) Het rekenen in Q toepassen in over optellen en aftrekken in verschillende vraagstukken situaties met ¾

natuurlijke getallen

¾

breuken

¾

kommagetallen

Grafieken en diagrammen

36(B) Punten in het vlak door middel van coördinaten bepalen

B51 Samengestelde vraagstukken oplossen 37(B) Eenvoudige vragen in verband met over optellen, aftrekken, vermenigvuldigen gegeven, tabellen, schema’s en diagrammen beantwoorden en delen met: ¾

natuurlijke getallen

¾

breuken (aanzet)

¾

kommagetallen (aanzet)

38(B) Cijfergegevens aanschouwelijk voorstellen onder andere door middel van diagrammen en grafieken

39(B) Van een reeks getallen het rekenB52 De meest geschikte rekenwijzen kiezen kundig gemiddelde en de mediaan bepalen (cijferen, hoofdrekenen, een zakrekenmachine gebruiken, schattend rekenen) B53 Verhoudingen bepalen via berekeningen B55 In eenvoudige situaties het ontbrekend verhoudingsgetal berekenen om: ¾

gelijkwaardige verhoudingen in verdeelsituaties te bepalen

¾

te mengen volgens een gegeven verhouding

¾

te wisselen

B56 Het (groei)percentage berekenen (ook met de zakrekenmachine) en gebruiken in eenvoudige praktische toepassingssituaties als prijsberekeningen, het vergelijken van aantallen(bijv.bevolkingstoename), eenvoudige intrestvraagstukken…

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 57. Bijlagen

Recommend Documents