EERSTE GRAAD EERSTE LEERJAAR A

EERSTE GRAAD EERSTE LEERJAAR A (5 u / week) TWEEDE LEERJAAR (4 u / week)

V A K

WISKUNDE

ww-a 97169

I.

VISIE OP HET LEERVAK WISKUNDE

Wiskunde-onderwijs gaat uit van waarnemingen, ervaringen, problemen en hypothesen, maar besteedt ook aandacht aan abstrahering en structurering. Het wiskunde-onderwijs is een proces van geleidelijke, systematisch voortschrijdende en steeds herhalende opbouw, ook wel eens spiraalopbouw genoemd. Dit betekent dat niet elk aangevat onderdeel van de wiskunde meteen wordt afgewerkt. De overstap naar abstrahering moet steeds steunen op concrete voorbeelden. De leerlingen zullen hierin telkens een steunpunt vinden t.o.v. het abstracte (de theorie). Een communicatieve interactie tussen leraar en leerlingen en tussen leerlingen onderling bevordert inzicht, expliciteert en verfijnt de denkprocessen en noopt de leerling tot reflectie over zijn denkproces. Daardoor leert de leerling zijn handelen kritisch analyseren, wordt hij minder afhankelijk van anderen en wordt zijn denken planmatiger en flexibeler. Onze maatschappij overstelpt ons met informatie. De leerling moet leren kritisch omgaan met dit aanbod, maar moet er ook functioneel gebruik van leren maken. Het wiskunde-onderwijs mag de snelle evolutie in de micro-elektronica niet negeren. Een verantwoord en functioneel aanwenden hiervan kan tijdwinst creëren. Probleemoplossend denken is een noodzaak geworden. Onze snel evoluerende samenleving noopt immers tot soepelheid om snel en efficiënt problemen op te lossen. Bij de leerlingen zal de motivatie tot oplossen verhogen door de bruikbaarheid en de toepassingsgerichtheid van de aangeboden problemen, de aanpassing aan hun bevattingsvermogen en het inspelen op hun belevingswereld. Zelfvertrouwen kweekt bij de leerlingen vorsingsdrang naar oplossing van nieuwe en meer complexe opgaven. De aandacht voor het wiskundeverleden, gegroeid doorheen verschillende culturen, laat de leerlingen wiskunde als een dynamisch proces ervaren.

Eerste graad - leerplan wiskunde

pagina

2

II.

LESSENTABELLEN

EERSTE GRAAD - EERSTE LEERJAAR A 32 lesuren Basisvorming

28 lesuren

Godsdienst / Niet-confessionele zedenleer

2

Nederlands

5

Frans

4

Engels

2

Geschiedenis

1

Aardrijkskunde

2

Wiskunde

5

Biologie

1

Plastische opvoeding

1

Muzikale opvoeding

1

Lichamelijke opvoeding

2

Technologische opvoeding

2

Optioneel gedeelte

4 lesuren

Latijn

2 of 4.

Technologische opvoeding.

2 of 4

Wetenschappelijk werk

2


2


1

Muzikale opvoeding

1


pagina

3

EERSTE GRAAD - TWEEDE LEERJAAR 32 of 34 lesuren Basisvorming

26 lesuren

Godsdienst / Niet-confessionele zedenleer

2

Nederlands

5

Frans

3

Engels

2

Geschiedenis

2

Aardrijkskunde

1

Wiskunde

4

Fysica

1

Biologie

1


1


2

Technologische opvoeding

2

Basisoptie

6 of 8 lesuren

Agro-biotechniek

8

Artistieke vorming

8

Ballet

6

Goudsmeden-juwelen

8

Grafische technieken

8

Grieks-Latijn

6

Handel

6

Hotel-bakkerij-slagerij

8

Industriële wetenschappen

8

Hout-bouw

8

Latijn

6

Mechanica-elektriciteit

8

Moderne wetenschappen

6

Muzische vorming

6

Sociale en technische wetenschappen

8

Techniek-wetenschappen

6

Textiel-kleding

8


pagina

4

III. BEGINSITUATIE Leerlingen moeten worden toegelaten tot het eerste leerjaar A van het secundair onderwijs als zij het getuigschrift van basisonderwijs behaald hebben. Maar onder bepaalde voorwaarden kunnen zij echter ook toegelaten worden zonder dit getuigschrift. Dit betekent dat niet alle leerlingen die het eerste leerjaar A aanvatten over hetzelfde volume en dezelfde intensiteit voorkennis (beginsituatie) beschikken. In het lager onderwijs worden de nieuwe leerplannen geïmplementeerd, omdat de desbetreffende eindtermen een dwingende invloed hebben op deze leerplannen. Met het oog op slagen voor wiskunde in de eerste graad secundair onderwijs wordt van de leerlingen in het lager onderwijs verwacht dat zij de eindtermen van het vakgebied wiskunde zo maximaal mogelijk bereiken. Deze leerlingen ◊ kennen en begrijpen het bestaan van natuurlijke getallen, breuken en decimale getallen; ◊ kennen de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen en kunnen de eigenschappen van deze bewerkingen toepassen; ◊ kunnen delers en veelvouden van natuurlijke getallen vinden; ◊ kunnen gelijkwaardigheid tussen kommagetallen, breuken en procenten vaststellen en verduidelijken door omzettingen; ◊ kunnen procentberekeningen maken; ◊ kunnen de vier hoofdbewerkingen toepassen met decimale getallen en kunnen breuken optellen, aftrekken en vermenigvuldigen; ◊ zijn op de hoogte van schatprocedures die in veel omstandigheden toepasbaar zijn; ◊ moeten het resultaat van hun bewerkingen doelmatig kunnen controleren via gebruik van een rekentoestel; ◊ moeten beschikken over de nodige kennis inzake maateenheden en kunnen de meest functionele meetinstrumenten zelf hanteren; ◊ kennen punten, rechten, hoeken, vlakke figuren en ruimtelichamen en hun belangrijkste eigenschappen; ◊ onderscheiden soorten hoeken en veelhoeken; ◊ weten hoe de omtrek en de oppervlakte kan bepaald worden; ◊ kunnen de inhoud van een balk berekenen; ◊ hebben enige notie van temperatuurmeting, kunnen rekenen met geld en kunnen kloklezen; ◊ hebben leren tekenen met passer en liniaal; ◊ kunnen begrippen als symmetrie, gelijkvormigheid en gelijkheid ontdekken. Van deze leerlingen wordt verwacht: ◊ dat zij beschikken over een probleemoplossende reflex waardoor zij inzicht hebben in probleemstellingen; ◊ dat zij een probleem kunnen schematiseren en oplossingshypothesen kunnen voorstellen; ◊ dat zij over hun oplossingsproces kunnen reflecteren. Als gevolg van de eindtermen is het mogelijk dat in deze leerplannen de verzamelingen, de bewerkingen met verzamelingen en de relaties niet meer zijn opgenomen. Nieuw in deze leerplannen is het accent op schatprocedures, op het gebruik van de zakrekenmachine, op het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden, op het ruimtelijk inzicht en op het ontwikkelen van een kritische houding t.o.v. gegevens en resultaten. Voor deze vaardigheden wordt in het basisonderwijs een aanzet tot ontwikkeling gegeven. Het is dus meer dan wenselijk dat de leerkracht wiskunde van het eerste leerjaar A van het secundair onderwijs enerzijds kennis neemt van de leerplannen van het basisonderwijs en anderzijds de concrete leervakbeginsituatie van de leerlingen vaststelt.


pagina

5

IV. DOELSTELLINGEN 1.

Algemene doelstellingen

Elk leerplan wiskunde in het secundair onderwijs moet zich inschrijven in de algemene en in feite funderende doelstellingen van dit leervak. Vanuit deze algemene doelstellingen vinden de leerplandoelstellingen hun concretisering per graad. Dit betekent voor de eerste graad secundair onderwijs dat de algemene doelstellingen moeten worden bereikt binnen het kader van de vooropgestelde eindtermen wiskunde. Deze algemene doelstellingen zijn te verwoorden als volgt: ◊ een wiskundig basisinstrumentarium verwerven: leren omgaan met symbolen, formules, begrippen en verbanden waarmee men getallenleer, algebra, meetkunde, analyse en combinoratiek, kansrekening en statistiek kan ontwikkelen; ◊ een aantal wiskundige denkmethoden verwerven: mogelijkheden verwerven om te ordenen en te structureren; ◊ cijfer- en beeldinformatie op een betekenisvolle manier hanteren; ◊ omgaan met de wiskunde als taal; ◊ vaardigheden ontwikkelen in het oplossen van problemen; ◊ verbanden leggen tussen wiskundige leerinhouden en andere vakdisciplines; ◊ technische hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken, om berekeningen uit te voeren of om wiskundige problemen te onderzoeken; ◊ ervaren dat wiskunde een dynamische wetenschap is; ◊ zelfvertrouwen en kritische zin ontwikkelen; ◊ ervaren dat wiskunde een belangrijke cultuurcomponent is.

2.

Vakoverschrijdende doelstellingen

Zoals voor elk leervak zal ook het wiskunde-onderwijs aandacht moeten hebben voor de vakoverschrijdende doelstellingen van leren leren, sociale vaardigheden, opvoeden tot burgerzin, gezondheids- en milieu-educatie. Bij het leren moeten leerlingen leerstrategieën, leeractiviteiten en leertechnieken kunnen gebruiken, kunnen sturen en kunnen controleren. Zij leren ook doelmatig gebruik maken van informatiebronnen. Vanuit een alzijdige betrokkenheid op anderen ontwikkelen leerlingen een voldoende ruim gamma van relatiewijzen. Zij leren het communicatief handelen beheersen in een omgaan met elkaar. Dit veronderstelt ook een bereidheid tot georganiseerd samenwerken en dus ook tot sociale organisatie. Opleiden tot zelfstandigheid en mededeelzaamheid, tot betrokkenheid bij het sociaal gebeuren, tot zin voor waardenanalyse en van waardenverheldering en tot een democratisch denkende, voelende en handelende persoon betekent opvoeden tot burgerzin. Ook in het wiskunde-onderwijs zal occasioneel en passend aandacht besteed worden aan gezondheid in het algemeen, aan hygiëne, aan veiligheid, aan relationele opvoeding, aan bestaan en beheersing van stress en emoties, aan rust, beweging en houding. Wiskunde-onderwijs zal niet los staan van milieu-educatie. O.a. bij probleemstellingen zal aandacht besteed worden aan de positieve interactie tussen mens en milieu en aan verantwoordelijkheidszin en respect t.o.v. het milieu. In concreto zal het wiskunde-onderwijs in de eerste graad van het secundair onderwijs zeker volgende vakoverschrijdende eindtermen expliciet nastreven:


pagina

6

“Leren leren” Het domein van de uitvoering De leerlingen kunnen VL 1

losse gegevens ordenen en inprenten door gepast gebruik te maken van mnemotechnische middeltjes;

VL 4

bij het instuderen van een behandelde leerinhoud de noodzakelijke voorkennis opnieuw opzoeken in leerboek, werkboek of notities;

VL 6

bij het oplossen van een probleem: ◊ het probleem herformuleren; ◊ onder begeleiding een oplossingsweg bedenken en verwoorden; ◊ de gevonden oplossingsweg toepassen en op correctheid inschatten.

Het domein van de regulering De leerlingen kunnen VL 9

zichzelf sturen met behulp van een antwoordblad, een correctiesleutel, de aanwijzingen van de leraar of de lesdoelstellingen;

VL10

de eigen werkwijze vergelijken met die van anderen, aangeven waarom iets fout gegaan is en hoe fouten vermeden kunnen worden.

Het domein van de attitudes, leerhoudingen, opvattingen en overtuigingen De leerlingen VL11

zijn bereid zelf naar oplossingen te zoeken en durven leer- en studieproblemen signaleren en uitleg of hulp vragen;

VL12

zijn bereid ordelijk, systematisch en regelmatig te werken;

VL13

beseffen dat leren reeds in de klas begint en niet alleen thuis gebeurt.

Het domein van de studiekeuze De leerlingen VL15

zijn bereid een onbevooroordeelde houding aan te nemen tegenover studierichtingen en beroepen;

VL17

tonen zich bereid om bij het kiezen van een studierichting rekening te houden met hun eigen (leer)mogelijkheden.

"Sociale vaardigheden" De leerlingen kunnen VS 2

respect en waardering voor anderen opbrengen: de eigenheid van de medeleerlingen accepteren en waarderen;

VS 3

zich dienstvaardig tegenover anderen opstellen: het bijstaan van medeleerlingen bij schooltaken en schoolactiviteiten;

VS 4

om hulp vragen en dankbaarheid betonen in probleemsituaties.


pagina

7

3.

Leerplandoelstellingen

Rekening houdend met de spiraalopbouw steunt het wiskunde-onderwijs, meer nog in het eerste dan in het tweede leerjaar van het secundair onderwijs, op de aangeleerde kennis uit het basisonderwijs. In belangrijke mate is het ook een verlengstuk ervan. Wat in het basisonderwijs is verworven, wordt verder uitgediept en aangevuld met nieuwe inhouden. Alhoewel wiskunde voor de eerste graad van het secundair onderwijs kan onderverdeeld worden in getallenleer, algebra en meetkunde bevat dit leervak inhoudelijk toch drie grote componenten: het numeriek en algebraïsch karakter van de getallenleer, het meetkundig inzicht en tenslotte de onderlinge samenhang tussen de getallenverzamelingen en tussen getallenleer en meetkunde. Nochtans zal elk onderdeel aandacht schenken aan het verwerven van feitenkennis en begripsvorming, aan de procedures die op feiten en begrippen worden toegepast en aan de samenhang tussen de begrippen. Zo is het, bijvoorbeeld bij het kennen van de tekenregel, noodzakelijk dat men hoofdbewerkingen kan uitvoeren, anders heeft deze feitenkennis geen doel. Maar even noodzakelijk is het te weten welk verband er bestaat tussen bewerkingen als optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dit weten kweekt inzicht bij het uitvoeren van deze hoofdbewerkingen. Zoals bij de leerinhouden uitdrukkelijk wordt herhaald, zullen een aantal begrippen uit de verzamelingenleer en de logica als instrument gebruikt worden ten behoeve van het verhelderend effect. Een systematische studie van de verzamelingenleer en de logica is verboden: deze begrippen zijn slechts een middel, geen doel. In het eerste leerjaar worden binnen de getallenleer de uit het basisonderwijs gekende natuurlijke getallen en breuken ook voorzien van een minteken, waardoor men tot de verzamelingen van de gehele en rationale getallen komt. In elk van deze getallenverzamelingen worden, naast aandacht voor enkele basisbegrippen, de vier hoofdbewerkingen en de machten bestudeerd. Hierbij wordt telkens aandacht besteed aan de volgorde van bewerkingen. Het is wel de bedoeling dat natuurlijke en gehele getallen samen worden behandeld. De overstap op letters laat toe enerzijds bewerkingen en eigenschappen meer algemeen te schrijven en anderzijds te komen tot algebraïsch rekenen en oplossen van vergelijkingen. Teneinde de leerlingen te leren omgaan met cijfermateriaal wordt in het tweede leerjaar ook bijzondere aandacht besteed aan initiatie in beschrijvende statistiek. In het tweede leerjaar komen ook verhoudingen en evenredigheden sterk aan bod naast aandacht voor machten en vierkantswortels met rationale grondtallen. In de verzamelingen natuurlijke, gehele en rationale getallen worden de eigenschappen van de hoofdbewerkingen meer algemeen benaderd. Uiteraard wordt de aandacht voor vergelijkingen gaande gehouden en wordt de confrontatie van de leerlingen met lettervormen nu uitgebreid tot veeltermen. Ook nemen de merkwaardige producten hier een bijzondere plaats in. Meetkundige begrippen worden zo veel mogelijk benaderd vanuit concrete situaties. De overstap van de ruimte naar het vlak maakt ook de band duidelijk tussen lichamen in de ruimte en vlakke figuren. Via de studie van symmetrie worden in het eerste leerjaar begrippen gesticht, die een verder onderzoek van eigenschappen van merkwaardige lijnen in driehoeken en vierhoeken vergemakkelijken. In het basisonderwijs werd een aanzet gegeven tot het berekenen van omtrek en oppervlakte. Het berekenen wordt nu uitgebreid tot driehoeken, vierhoeken en schijven. In het tweede leerjaar wordt meer expliciet aandacht besteed aan de lichamen in de ruimte, aan de transformaties van een vlak, aan congruentie en gelijkvormigheid.


pagina

8

Voor de GETALLENLEER worden concreet volgende doelstellingen nagestreefd: Begripsvorming - feitenkennis De leerlingen W1

kunnen natuurlijke, gehele en rationale getallen associëren met realistische en betekenisvolle contexten;

W2

kennen de tekenregels bij gehele en rationale getallen;

W3

weten dat de eigenschappen van bewerkingen in de verzameling van natuurlijke getallen geldig blijven en kunnen worden uitgebreid in de verzamelingen van de gehele en rationale getallen (breuken decimale notatie);

W4

onderscheiden en begrijpen de verschillende notaties van rationale getallen (breuk-, decimale en wetenschappelijke notatie);

W5

hanteren de gepaste terminologie in verband met bewerkingen: optelling, som, termen van een som, aftrekking, verschil, vermenigvuldiging, product, factoren van een product, deling, quotiënt, deeltal, deler, rest, percent, kwadraat, vierkantswortel, macht, grondtal, exponent, tegengestelde, omgekeerde, absolute waarde, gemiddelde.

Procedures De leerlingen W6

passen afspraken in verband met de volgorde van bewerkingen toe;

W7

voeren de hoofdbewerkingen (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling) correct uit in de verzamelingen van de natuurlijke, de gehele en de rationale getallen;

W8

rekenen handig door gebruik te maken van eigenschappen en rekenregels van bewerkingen;

W9

gebruiken doelgericht een rekentoestel;

W10

ordenen getallen en gebruiken de gepaste symbolen ( < , D , > , C , = , F );

W11

berekenen machten met grondtal 10 en 2 met gehele exponent. Zij passen hierop de rekenregels van machten toe;

W12

kunnen: - de uitkomst van een bewerking schatten; - een resultaat oordeelkundig afronden;

W13

gebruiken procentberekeningen in zinvolle contexten.

Samenhang tussen begrippen. De leerlingen W14

interpreteren een rationaal getal als een getal dat de plaats van een punt op een getallenas bepaalt;

W15

kunnen het verband uitleggen tussen optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen;

W16

herkennen het recht evenredig en omgekeerd evenredig zijn van twee grootheden in tabellen en in het dagelijks leven;

W17

kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde en de mediaan (voor niet-gegroepeerde gegevens) berekenen en hieruit relevante informatie afleiden.


pagina

9

Voor de ALGEBRA worden volgende concrete doelstellingen beoogd: Begripsvorming-feitenkennis De leerlingen W18

gebruiken letters als middel om te veralgemenen en als onbekenden;

Procedures. De leerlingen W19

kunnen tweetermen vereenvoudigen;

en

drietermen

optellen

en

vermenigvuldigen

en

het

resultaat

W20

kennen de formules voor de volgende merkwaardige producten (a+b)² en (a+b)(a-b); ze kunnen ze verantwoorden en in beide richtingen toepassen;

W21

kunnen vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen;

W22

kunnen eenvoudige vraagstukken die te herleiden zijn tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende oplossen.

Samenhang tussen begrippen De leerlingen W23

ontdekken regelmaat in eenvoudige patronen en kunnen ze beschrijven met formules;

W24

kunnen vanuit tabellen recht evenredige verbanden met formules uitdrukken;

W25

kunnen functioneel gebruik maken van eenvoudige schema's, figuren, tabellen en diagrammen.

Voor de MEETKUNDE worden volgende concrete doelstellingen nagestreefd: Begripsvorming-feitenkennis De leerlingen W26

kennen en gebruiken de meetkundige begrippen diagonaal, bissectrice, hoogtelijn, middelloodlijn, straal, middellijn, overstaande hoeken, nevenhoeken, aanliggende hoeken, middelpuntshoeken;

W27

herkennen evenwijdige stand, loodrechte stand en symmetrie in vlakke figuren en ze herkennen gelijkvormigheid en congruentie tussen vlakke figuren;

W28

herkennen figuren in het vlak, die bekomen zijn door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing;

W29

weten dat in een tweedimensionale voorstelling van een driedimensionale situatie informatie verloren gaat;

W30

herkennen kubus, balk, recht prisma, cilinder, piramide, kegel en bol aan de hand van een schets, tekening en dergelijke;

W31

kennen meetkundige eigenschappen zoals: de hoekensom in driehoeken en vierhoeken, eigenschappen van gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken, eigenschappen van zijden, hoeken en diagonalen in vierhoeken.

Procedures De leerlingen W32

kiezen geschikte eenheden en instrumenten om afstanden en hoeken te meten of te construeren met de gewenste nauwkeurigheid;

W33

gebruiken het begrip schaal om afstanden in meetkundige figuren te berekenen;

W34

berekenen de omtrek en oppervlakte van driehoek, vierhoek en schijf en de oppervlakte en het volume van kubus, balk en cilinder;


pagina

10

W35

kunnen: - het beeld bepalen van een eenvoudige vlakke meetkundige figuur door een verschuiving, spiegeling, draaiing; - symmetrie-assen van vlakke figuren bepalen; - loodlijnen, middelloodlijnen en bissectrices construeren;

W36

kunnen zich vanuit diverse vlakke weergaven een beeld vormen van een eenvoudige ruimtelijke figuur met behulp van allerlei concreet materiaal.

Samenhang tussen begrippen De leerlingen W37

beschrijven en classificeren de soorten driehoeken en de soorten vierhoeken aan de hand van eigenschappen;

W38

bepalen punten in het vlak door middel van coördinaten;

W39

stellen recht evenredige verbanden tussen grootheden grafisch voor;

W40

begrijpen een gegeven eenvoudige redenering of argumentatie in verband met eigenschappen van meetkundige figuren.

Behalve voor getallenleer, algebra en meetkunde worden ook nog concrete doelstellingen nagestreefd inzake VAARDIGHEDEN: De leerlingen AW41 begrijpen en gebruiken wiskundige taal in eenvoudige situaties; AW42 passen communicatieve vaardigheden toe in eenvoudige wiskundige situaties; AW43 passen probleemoplossende vaardigheden toe, zoals: - het herformuleren van een opgave; - het maken van een goede schets of een aangepast schema; - het invoeren van notaties, het kiezen van onbekenden; - het analyseren van eenvoudige voorbeelden.

Naast vaardigheden worden ook concrete doelstellingen nagestreefd inzake ATTITUDES: De leerlingen AW44 ontwikkelen bij het aanpakken van problemen zelfstandigheid en doorzettingsvermogen; AW45 ontwikkelen zelfregulatie: oriëntatie, planning, bewaking, zelftoetsing en reflectie; AW46 ontwikkelen een kritische houding tegenover het gebruik van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen en grafische voorstellingen; AW47 beseffen dat in de wiskunde niet enkel het eindresultaat belangrijk is, maar ook de manier waarop het antwoord wordt bekomen.


pagina

11

V.

LEERINHOUDEN, PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN EN DIDACTISCHE MIDDELEN

Eindterm

Vooraf Bij de leerinhouden wordt telkens verwezen naar de leerplandoelstellingen (eindtermen), vermeld in IV.3., die hierop van toepassing zijn. Bij leerinhouden die niet expliciet maar eerder impliciet zijn af te leiden uit de eindtermen, werden de betreffende eindtermen niet vermeld. Bij de leerinhouden is de opsomming van de leerstof niet bindend voor de volgorde van behandeling. Leerkrachten kunnen van deze volgorde afwijken op voorwaarde dat de verantwoording hiervoor duidelijk tot uiting komt in hun jaarplan.

VL1 VL4 VL6 VL9 VL10 VL11 VL12 VL13 VL15 VL17 VS2 VS3 VS4

Leerkrachten zullen erover waken dat bij elke gelegenheid in de les en bij de pedagogisch-didactische verwerking van de leerinhouden, de vakoverschrijdende leerplandoelstellingen (eindtermen), vermeld onder IV.2., maximaal worden nagestreefd.

AW45

Bij het oplossen van oefeningen en vraagstukken wordt bij de leerlingen doorzettingsvermogen ontwikkeld en aangemoedigd. Teneinde het vertrouwen en het inzicht in de wiskunde te bevorderen, worden de leerlingen aangezet tot een zo groot mogelijke zelfregulatie waarin planning, zelftoetsing en reflectie sterk aan bod komen.

AW47 AW44

Om de leerlingen te motiveren tot probleemoplossend denken, wordt hen het besef bijgebracht dat de redenering ten minste even belangrijk is als het resultaat zelf. Zij worden ook aangezet tot zelfstandig denken en zelfstandig werken.

De volgende begrippen uit de verzamelingenleer en de logica worden als instrument gebruikt indien ze verhelderend werken. Een systematische studie is hier niet op zijn plaats! 1. De begrippen verzameling en deelverzameling. 2. De symbolen = , F , ∈,∉ , ⊂ , ⊄ zinvol gebruiken. 3. De doorsnede (symbool = ) en de vereniging (symbool > ) van twee verzamelingen. 4. Het zinvol hanteren van “en”, “of” en “niet” in uitdrukkingen. 5. Verbanden tussen verzamelingen voorstellen met behulp van venndiagrammen. 6. De logische symbolen ∀ ( voor alle ) ∃ ( er bestaat ) en ⇔ ( als ... dan ... en omgekeerd ) zinvol gebruiken. 7. In concrete gevallen kunnen werken met koppels, relaties, voorstellingen van relaties en soorten relaties.


pagina

12

A. EERSTE LEERJAAR A a. Getallenleer Eindterm

Vooraf

W9

De leerlingen moeten een zakrekenmachine zinvol en functioneel leren gebruiken. Telkens de gelegenheid zich voordoet oefenen zij: ◊ het uitvoeren van de vier hoofdbewerkingen, alsook van machtsverheffingen en worteltrekkingen, inclusief bewerkingen met haken; ◊ het gebruik van de geheugentoetsen.

Leerinhouden 1.

De natuurlijke en de gehele getallen

1.1

Basisbegrippen

W1 W5 W18

1.1.1.

Schrijfwijze en leeswijze, lettervoorstelling, absolute waarde, tegengestelde getallen, de verzamelingen !, ' , $, *, (, ), +, ,

W14

1.1.2.

Voorstelling op een getallenas

W10

1.1.3. Onderling vergelijken: werken met de relaties =, F, <, >, D en C

1.1.4. W38

Afbeelden van ! x ! en ' x ' in het geijkte vlak het begrip coördinaat


Pedagogisch-didactische wenken en didactische middelen Het samen behandelen van de natuurlijke en de gehele getallen heeft vooral tot doel een tijdwinst te realiseren. Tevens worden de leerlingen veel vroeger geconfronteerd met de bewerkingen met gehele getallen, zodat deze gedurende een langere periode van het schooljaar kunnen ingeoefend worden. Voortbouwend op de kennis van de natuurlijke getallen die de leerlingen in de basisschool hebben verworven, moeten hier zeker aan bod komen: ◊ de notatie in ons tientallig positiestelsel; ◊ de voorstelling van de gehele getallen op een geijkte rechte; abscis van een punt. (het is wenselijk de coördinatenmeetkunde niet uit te stellen tot het einde van het schooljaar, doch dit deel over het gehele schooljaar te spreiden); ◊ de orde van de gehele getallen: we zullen zeker aandacht schenken aan een goed begrip van de symbolen < en >, daar deze symbolen niet voorkomen in de eindtermen van het basisonderwijs; ◊ de voorstelling van koppels gehele getallen in een geijkt vlak: het koppel wordt de coördinaat van het corresponderend punt genoemd, het eerste getal is de abscis en het tweede getal is de ordinaat; abscis en ordinaat zijn de coördinaatgetallen van een punt. In het licht van de vergelijkingen die later aan bod komen en van een doelstelling op langere termijn, het rekenen met lettervormen, is het belangrijk de leerlingen eveneens vanaf het begin gaandeweg vertrouwd te maken met het voorstellen van getallen door letters. Het is uiteraard aangewezen daarbij niet uitsluitend gebruik te maken van de letter x: later te hanteren formules bevatten immers ook andere letters! We zullen er ons voor hoeden een systematische behandeling te geven van de verzamelingenleer! De taal van de verzamelingen blijft echter als symbolentaal pagina

13

een essentieel hulpmiddel. 1.2.

De vier hoofdbewerkingen

W7 W5

1.2.1. Terminologie: optelling, som, termen van een som, aftrekking, verschil, vermenigvuldiging, product, factoren van een product, deling, quotiënt, deeltal, deler, rest

De leerlingen moeten voor een opgaande en een niet–opgaande deling in ! de betrekkingen kunnen opstellen tussen deeltal a, deler b, quotiënt q en rest r: a = b . q + r en r
W8 W2

1.2.2.

W3

1.2.3. Onderzoek naar ◊ het commutatief-zijn ◊ het “overal gedefinieerd-zijn” in ! en in ' ◊ het associatief-zijn ◊ de rol van 0 en 1; eventueel het begrip neutraal element ◊ de som van een getal en zijn tegengestelde; eventueel het begrip symmetrisch element

AW41 AW42

1.2.4.

De eigenschappen verwoorden

De frequent voorkomende uitspraak “min en min is plus” moet in de klas bestreden worden. Leerlingen moeten een duidelijk onderscheid maken tussen de tekenregels voor optellen en aftrekken enerzijds en vermenigvuldigen en delen anderzijds. Bij het onderzoek naar eigenschappen bij de vier hoofdbewerkingen is het belangrijk dat de leerlingen inzien dat één tegenvoorbeeld voldoende is om te concluderen dat de eigenschap niet geldt, doch dat het geven van voorbeelden geen bewijs levert voor de algemene geldigheid. Bij een bewerking in ! of in ' stellen we ons eerst de vraag: “Kunnen we die bewerking voor elk koppel elementen van de gegeven verzameling uitvoeren?” Het voorstellen met letters van het commutatief-zijn en het associatief-zijn van de bewerkingen is eveneens een stap in het vertrouwd worden met lettervormen. Facultatief kan de leerkracht deze eigenschappen in het eerste leerjaar reeds noteren met gebruik van de kwantor. De leerlingen moeten echter wel reeds attent gemaakt worden op de inhoud van de termen “voor alle” en “er bestaat”. De leerkracht kan zich eventueel beperken tot het laten verwoorden van de rol van 0 en 1, alsook van de som van een geheel getal en zijn tegengestelde, dit dus zonder gebruik te maken van de termen “neutraal element” en “symmetrisch element”. Het accent moet in het eerste leerjaar gelegd worden op het correct kunnen verwoorden en op het kunnen toepassen van deze eigenschappen. We moeten er hier immers op letten dat geen schijnkennis wordt verworven, doch een inzicht gestoeld op een voldoend aantal voorbeelden.

W15

1.2.5.

Verklaring van de uitbreiding van ! naar ' Verband tussen optellen en aftrekken Het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking

1.2.6. W3

1.2.7.

Rekenregels en tekenregels


Bij het toepassen van het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking dient ook het “andersomaspect” de nodige aandacht te krijgen: voorbeeld: 2.a + 2.b = 2.(a + b) Na het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking kan facultatief ook het rechts-

pagina

14

W8

W8 W12

distributief-zijn van de deling t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking worden behandeld. Door het tweemaal na elkaar toepassen van het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling komen we tot de regel voor het vermenigvuldigen van een som met een som. Het kan verhelderend werken als de eigenschappen voor bewerkingen met getallen in verband worden gebracht met een visuele ondersteuning uit de meetkunde. Voorbeeld: (a + b) . c = a.c + b.c De oppervlakte van een rechthoek met afmetingen (a + b) en c zien als de som van de oppervlakten van twee rechthoeken met afmetingen a en c en met afmetingen b en c. Tenslotte moet er voor gezorgd worden dat de leerlingen de “ als ... dan ... en omgekeerd ”vorm kunnen hanteren en dat zij weten dat een implicatie niet zomaar mag worden omgekeerd. 1.2.8.

Stappen in het rekenwerk verantwoorden door de gebruikte eigenschappen te vermelden 1.2.9. De eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen 1.2.10. Technieken van schatten toepassen 1.3.

Machten

W5

1.3.1.

W11

1.3.2.

Schrijfwijze, leeswijze, terminologie: machtsverheffing, macht, grondtal, exponent, kwadraat Machten berekenen met gehele grondtallen en natuurlijke exponenten Verband tussen kwadratering en vierkantsworteltrekking

1.3.3.

W6 W9

1.4.

Volgorde van de bewerkingen

1.4.1.

Regels in verband met de volgorde van de bewerkingen Gebruik van de haakjes


Trek zeker de aandacht op het onderscheid tussen de opdrachten: ″ bepaal de gehele getallen x die voldoen aan “ x2 = 36 ″ en ” bereken 36 ”. Let op: de vierkantsworteltrekking is geen bewerking; we spreken dan ook van het berekenen van een vierkantswortel.

De afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen worden progressief ingevoerd: we wachten dus niet tot alle bewerkingen behandeld zijn. Bij deze afspraken worden de vermenigvuldigingen en de delingen uitgevoerd van links naar rechts. Voorbeeld: 18 : 2 . 9 = 9 . 9 = 81 De zakrekenmachine heeft een vaste plaats verworven in het leerplan. Er wordt eerst op gewezen dat er een type zakrekenmachine bestaat dat de bewerkingen uitvoert in de pagina

15

volgorde dat ze voorkomen. Daarna kunnen wij ons in klas beperken tot een zakrekenmachine die de volgorde van de bewerkingen respecteert. De leerkracht moet er echter over waken dat de leerlingen het toestel verantwoord en efficiënt gebruiken, dat er niet naar de zakrekenmachine wordt gegrepen als het antwoord uit het hoofd te berekenen is en dat gebruik wordt gemaakt van de mogelijkheden die het toestel heeft. Het doordacht gebruik van een zakrekenmachine is veel meer dan “op enkele toetsen drukken”: het vergt een voorafgaand nadenken over wat er moet gedaan worden en in welke volgorde. Inzicht zal primeren op handigheid bij ingewikkelde berekeningen! Het begrijpen van hetgeen gevraagd wordt, het selecteren van de relevante informatie, het kiezen van de uit te voeren bewerkingen, alsmede in staat zijn het antwoord te schatten, dit alles vergt inzicht en staat los van moeilijk rekenwerk. Aansluitend bij de “spiraal-opbouw” van het werken met letters, dienen er tevens problemen aan bod te komen die te maken hebben met het ontdekken van een regelmaat in getallenrijen (patronen) en waarbij gezocht wordt naar een algemene formule voor het nde getal in de rij. Voorbeeld: de som van de eerste n natuurlijke getallen, steunend op de “driehoeksgetallen” van de Grieken. Wees in elk geval steeds indachtig dat praktische vraagstukken en toepassingen, alsook concrete voorbeelden die aansluiten bij de belevingswereld van de leerlingen de motivatie slechts kunnen verhogen.

W23 W18

1.4.2.

Regelmaat ontdekken in eenvoudige patronen en schema’s en ze beschrijven met formules

W23

1.4.3.

Getalwaarde van lettervorm berekenen

2.

De rationale getallen

W1

2.1.

Basisbegrippen

W4 W18

2.1.1.

W14

2.1.2.

Schrijfwijze in breukvorm, decimaal getal, decimale benadering, leeswijze, lettervoorstelling, absolute waarde, tegengestelde getallen, het omgekeerde van een getal, de verzamelingen -, 0, ., /, 1, 2 Voorstelling op een getallenas. Afbeelden van - x - op het geijkte vlak

W10

2.1.3. Onderling vergelijken: werken met de relaties =, F ,<, >, D, C


een

Breuken ontstonden in de geschiedenis naar aanleiding van verdeling van oogst, visvangst, stoffen, percelen. Diverse modellen (lijnstuk, strook, oppervlakte, inhoud, tabellen) bieden een houvast als denkmiddel. Vanuit een confrontatie met de media is de leerling vertrouwd met decimale getallen. Deze decimale getallen kunnen gemakkelijk in breukvorm worden genoteerd. De plaats van een rationaal getal (zowel in decimale vorm als in breukvorm) op een getallenas moet slechts bij benadering worden bepaald. Een nauwkeurige constructie is hier niet noodzakelijk. De leerlingen moeten de gelijkwaardigheid zien tussen de breuk, de decimale waarde, de

pagina

16

verhouding (het verband tussen twee grootheden uitgedrukt in breukvorm) en het procent (gestandaardiseerde verhouding met noemer 100). Dit leidt tot een geschikte keuze bij berekeningen in functie van gegevens: ◊ 21 % BTW op een bedrag van 80 000 BEF is vlug gevonden met: ◊

W4 W13 2.1.4.

De begrippen verhouding, schaal, procent en kans

2.1.5.

Vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde berekenen en hieruit relevante informatie afleiden

2.2.

De vier hoofdbewerkingen

2.2.1.

Rekenregels voor getallen in breukvorm en in decimale vorm Tekenregel

W17

W7 W2 W8

W3

2.2.2. ◊ ◊ ◊ ◊

Onderzoek naar: het “overal gedefinieerd zijn“ in het commutatief-zijn het associatief-zijn de rol van 0 en 1 (eventueel het begrip neutraal element)


2 1 .80 000 BEF + .80 000 BEF = 10 100

16 800 BEF ◊ voor het berekenen van de jaarlijkse intrest van een kapitaal van 3 500 000 BEF aan 5,375 % zal men eerder grijpen naar de zakrekenmachine via de bewerking: 3 500 000 BEF . 0,05375 = 188 125 BEF Eveneens zal de onderlinge samenhang worden belicht tussen de begrippen: ◊ verhouding ◊ procent ◊ schaal (verhouding tussen de maatgetallen van de lengte van gelijkstandige lijnstukken van gelijkvormige figuren) ◊ kans (getal van ten minste 0 en ten hoogste 1 dat de waarschijnlijkheid van het optreden van een gebeurtenis aangeeft). Merk op dat verhoudingen soms verscholen zijn in uitdrukkingen zoals: ◊ een prijs van 2000 BEF/m² i.p.v. 2000 BEF/1 m² ◊ een benzineverbruik van 8,5 liter waarmee bedoeld wordt 8,5 liter / 100 km ◊ een neerslag van 25 l = 25 l / 1 m².

Zie ook a.1.2.2. Om een breuk te vereenvoudigen kan men teller en noemer schrijven als een product en gemeenschappelijke factoren opsporen. 26 2.13 2 Voorbeeld: 39 = 3.13 = 3 Vermenigvuldigen van een breuk met een breuk en delen van een breuk door een breuk zijn niet aangegeven in de eindtermen van het basisonderwijs. Deze bewerkingen en in het bijzonder de rekenregels zijn dus voor veel leerlingen nieuwe leerstof. Het onderzoek van de eigenschappen van de bewerkingen in - is een van de mooie voorbeelden van de spiraalmethode, die in het wiskunde-onderwijs gehanteerd wordt. De symbolische voorstelling van de eigenschappen van de hoofdbewerkingen kan

pagina

17

AW41 AW42 W15 W3 W8

W8 W12

◊ de som van een getal en zijn tegengestelde, het product van een getal en zijn omgekeerde (eventueel het begrip symmetrisch element) 2.2.3. De eigenschappen verwoorden 2.2.4. Verklaring van de uitbreiding van ' naar 2.2.5. Verband tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen 2.2.6. Het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en t.o.v. de aftrekking 2.2.7. Stappen in het rekenwerk verantwoorden door de te gebruiken eigenschappen te vermelden 2.2.8. De eigenschappen handig toepassen bij hoofdrekenen 2.2.9. De uitkomst van een bewerking schatten; een resultaat oordeelkundig afronden; een afgerond resultaat evalueren en interpreteren in functie van het gestelde probleem 2.3.

Machten

W5

2.3.1.

Machten berekenen met rationale grondtallen en natuurlijke exponenten

W5

2.3..2. Vierkantswortel; vierkantsworteltrekking 2.4. Volgorde van de bewerkingen 2.4.1. Regels in verband met de volgorde van de bewerkingen; gebruik van de haakjes 2.4.2 Getalwaarde van een lettervorm berekenen

W6 W6 W18

W21

3.

Vergelijkingen

3.1.

Verenigbaarheid van de gelijkheden met de hoofdbewerkingen

3.2.

Oplossen van eenvoudige vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende


op analoge manier als in ! en in ' worden behandeld.

De begrippen werden reeds gesticht in a.1.3. Hier primeert inzicht op rekenwerk! Wellicht vragen sommige leerlingen zich af of de exponent ook uit een andere verzameling kan komen. Zie eveneens punt a.1.4. De afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen in ! en ' worden overgenomen in -.

Gelijkheden zijn als een balans in evenwicht. We voeren op beide leden een zelfde bewerking uit. ( balansmethode ). De leerkracht zal waakzaam toezien op het correct gebruik van gelijktekens. Vergelijkingen ontstaan uit concrete situaties en vertalen een gelijkheid die voortkomt uit verbanden tussen wat we moeten zoeken (de onbekende) en wat we weten (het gegeven). Op dit niveau beschouwen we een vergelijking als een gelijkheid waarin een letter voorkomt. Om vergelijkingen op te lossen steunen we dus op de eigenschappen van gelijkheden. Deze eigenschappen verantwoorden de oplossingstechniek. Het gebruik van het gelijkwaardigheidsteken

pagina

18

W22 AW43

3.3.

Oplossen van eenvoudige vraagstukken die leiden tot vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende


(⇔) is hier nog niet essentieel. Als oplossingsmethode verdient de balansmethode onze voorkeur. De frequent voorkomende uitspraak: “Veranderen van lid is veranderen van (bewerkings)teken” moet in de klas bestreden worden ! Op elke vergelijking wordt de proef gemaakt. In het eerste leerjaar beperken we ons tot het oplossen van vergelijkingen van de eerste graad zonder breuken in de vergelijking. De oplossing van de vergelijking kan een rationaal getal zijn. Bij het oplossen van vraagstukken kunnen we vijf stappen onderscheiden: 1. Het vertalen van de opgave in wiskundetaal en het zoeken naar een gelijkheid en het kiezen van een onbekende. 2. Het opstellen van een vergelijking die het vraagstuk weergeeft. 3. Het oplossen van de vergelijking en de proef op de vergelijking. 4. Het formuleren van een antwoord met aandacht voor de eenheden. 5. De proef op het vraagstuk. Bij het oplossen van vraagstukken ondervinden leerlingen vaak moeilijkheden bij het opsporen van een gelijkheid en ze missen dikwijls de handigheid in het vertalen naar wiskundetaal. Dit vertalen in wiskundetaal dient dus heel het schooljaar door ingeoefend te worden.

pagina

19

b. Meetkunde Eindterm

Vooraf 1. De leerstof meetkunde zal niet door middel van een axiomatische opbouw aangeboden worden. Een aantal begrippen zoals ruimte, vlak en rechte kunnen leerlingen intuïtief begrijpen omdat zij zich daarvan een voorstelling kunnen maken. Via een intuïtieve instap, vaak te vinden in een ludieke toepassing, zal het intuïtief aanvoelen, ook bij begrippen die nadien correct gedefinieerd worden, een ondersteunende rol spelen. 2. Vanaf het eerste jaar zal zoveel mogelijk aandacht besteed worden aan “zien in de ruimte”. Het is de bedoeling om het ruimtelijk zien, waarvan de aanzet reeds gegeven werd in de basisschool, verder te ontwikkelen. Door middel van concrete voorwerpen en ruimtelichamen, die in de klas aanwezig zijn of die er door de leerkracht als model geplaatst zijn, kunnen leerlingen tot begripsvorming komen van o.a. veelvlak, veelhoek, vlak, rechte, evenwijdige rechten, kruisende rechten, ....

W32

3. Meetkunde biedt bij uitstek de mogelijkheid tot ontwikkelen van tekenvaardigheid, zin voor precisie en correct gebruik van tekeninstrumenten (motoriek). Eigenschappen van vlakke figuren worden geformuleerd na gericht waarnemen. Bij voorkeur laat de leerkracht in de praktijk alle leerlingen een gepaste (grote) figuur tekenen waarop lijnstukken met dezelfde lengte en hoeken met dezelfde grootte aangeduid worden, zonder er bijzondere gegevens bij te veronderstellen: ◊ niet elke rechte loopt evenwijdig met een rand van het blad; ◊ niet elke veelhoek (driehoek, vierhoek) heeft een zijde evenwijdig met de rand van het blad; ◊ niet elke vierhoek is een vierkant of een rechthoek; ◊ niet alle snijdende rechten staan loodrecht op elkaar. 4. Het veralgemenen van eigenschappen van vlakke figuren mag in geen geval gebeuren op basis van een beperkt aantal voorbeelden. Enkel onderzoek op heel veel voorbeelden laat toe vaststellingen te veralgemenen en een hypothese te formuleren. De vastgestelde eigenschappen worden eventueel met symbolen genoteerd. Bij deze notatie zijn nauwkeurigheid en volledigheid noodzakelijk. 5. Bij het verwoorden van eigenschappen zal de voorkeur uitgaan naar de “als ... dan ...” vorm en zal de goede gewoonte aangekweekt worden om het “andersom-aspect” te onderzoeken zodat het verschil tussen een kenmerk en een eigenschap duidelijk wordt. Opmerking: in deze voorbeelden werken we in één vlak. Voorbeeld 1: Als een punt op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, dan ligt dat punt even ver van de grenspunten van dat lijnstuk. Als een punt even ver van de grenspunten van een lijnstuk ligt, dan ligt dat punt op de middelloodlijn van dat lijnstuk. Kenmerk: De middelloodlijn van een lijnstuk is de verzameling van alle punten die even ver van de grenspunten van het lijnstuk liggen. Voorbeeld 2: Als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan ligt dat punt even ver van de dragers van de benen van de hoek. Er bestaan punten die even ver van de dragers van de benen van een hoek liggen


pagina

20

en niet op de bissectrice van die hoek liggen. (Deze punten bevinden zich op een rechte die in het hoekpunt loodrecht op de bissectrice staat).

W40

6. Oefeningen en eigenschappen zullen opgesplitst worden in: gegeven, gevraagd, tekening en eventueel een verklaring / bewijs. Leerlingen zullen een uitspraak zoveel mogelijk door middel van tekeningen toetsen op het “waar” of “niet waar” zijn. De leerkracht zal telkens de aandacht vestigen op het feit dat dit toetsen geen bewijskracht heeft bij het “waar” zijn, maar wel een bewijs is bij het “niet waar” zijn (bewijskracht van een tegenvoorbeeld). Bij het noteren wordt een onderscheid gemaakt tussen een vaststelling en een verklaring / bewijs. 7. Net zoals in Wallonië en in het buitenland zal de naam van een punt geschreven worden met een hoofdletter en de naam van een rechte met een kleine letter. Leerinhouden 1.

De ruimte - een vlak

1.1.

De ruimte

1.2. Een vlak 1.2.1. Vlak 1.2.2. Vlakke figuur

1.3. 1.3.1 1.3.2 1.3.3

Een rechte Rechte Halfrechte Drager van een halfrechte

1.4. Een lijnstuk 1.4.1. Lijnstuk 1.4.2. Drager van een lijnstuk 1.4.3 Lengte van een lijnstuk - lengtematen - afstand tussen twee punten


Pedagogisch-didactische wenken en didactische middelen

De begrippen ruimte en vlak zijn grondbegrippen die leerlingen intuïtief begrijpen. Een vlakke figuur wordt aan de hand van voorwerpen in de ruimte gesitueerd en omschreven als deel van een vlak. Dit kan een gelegenheid zijn om het begrip deelverzameling aan te brengen. De begrippen rechte, halfrechte en drager van een halfrechte zijn begrippen die in de ruimte gesitueerd worden. Leerlingen begrijpen deze begrippen intuïtief. Opmerking: Met halfrechte wordt hier de gesloten halfrechte bedoeld. Het begrip “collineaire punten” kan hier eventueel besproken worden. De begrippen lijnstuk en drager van een lijnstuk zijn begrippen die in de ruimte gesitueerd worden. Leerlingen begrijpen deze begrippen intuïtief. Leerlingen weten intuïtief wat de lengte van een lijnstuk is. Het is belangrijk een duidelijk onderscheid te maken tussen: ◊ de figuur: voorbeeld: het lijnstuk [ AB ] ◊ de lengte van het lijnstuk met de nodige aandacht voor de gepaste eenheid: voorbeeld: AB  = 10 cm In deze context wordt ook aandacht besteed aan het onderscheid tussen even lange lijnstukken en gelijke lijnstukken. Lijnstukken zijn verzamelingen van punten en zijn slechts gelijk indien ze dezelfde elementen bevatten. Lijnstukken zijn dus slechts gelijk als ze samenvallen.

pagina

21

1.4.4. Midden van een lijnstuk

1.5.

W26

Cirkel en schijf

1.5.1. Middellijn middelpunt diameter straal boog koorde

2.

Lichamen in de ruimte vlakke figuren

2.1. Veelvlakken en veelhoeken 2.1.1. Veelvlakken

2.1.2. Veelhoek

2.2.

Met lijnstuk wordt hier het gesloten lijnstuk bedoeld. De afstand tussen twee punten wordt gedefinieerd als lengte van het lijnstuk dat door die twee punten begrensd wordt. Leerlingen moeten de definitie van het midden van een lijnstuk kunnen verwoorden en eventueel noteren met symbolen. De begrippen cirkel en schijf worden bij het begin van het eerste jaar gedefinieerd. Een cirkel met middelpunt M en straal r wordt gedefinieerd als de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van M liggen. Een schijf met middelpunt M en straal r wordt gedefinieerd als de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand kleiner dan of gelijk aan r van M liggen. Aan de hand van een tekening kunnen, via zinvol gebruik van kleuren, de volgende benamingen duidelijk gemaakt worden: middellijn, middelpunt, boog, koorde. Deze begrippen worden in de volgende lessen gebruikt bij de verklaring van constructies. Opmerkingen : De straal van een cirkel is de lengte van elk lijnstuk begrensd door het middelpunt van de cirkel en een punt dat op de cirkel ligt. De diameter van een cirkel is de lengte van elke koorde die door het middelpunt gaat.

Onderlinge ligging van twee rechten

2.2.1. Snijdende rechten 2.2.2. Strikt evenwijdige en kruisende rechten 2.2.3. Evenwijdige rechten


Het begrip veelvlak kan intuïtief begrepen worden als een lichaam dat geen gebogen grensvlakken heeft. Leerlingen zien dat een veelvlak begrensd wordt door vlakke figuren die uitsluitend door lijnstukken begrensd worden. Bij de omschrijving van een veelhoek, wordt de nodige aandacht besteed aan het feit dat er slechts een veelhoek ontstaat op voorwaarde dat een vlakke figuur door tenminste drie verschillende lijnstukken ingesloten wordt. De begrippen veelhoek en regelmatige veelhoek worden zo correct mogelijk omschreven. De onderlinge ligging van twee rechten wordt in de ruimte gesitueerd. Boetseerklei, een blok piepschuim, een kartonnen doos en enkele breinaalden of houten stokjes kunnen gebruikt worden om de situaties aanschouwelijk te maken. De begrippen snijdende rechten, strikt evenwijdige rechten, kruisende rechten en evenwijdige rechten worden zo correct mogelijk omschreven. ◊ Strikt evenwijdige rechten zijn rechten die in een vlak liggen en geen enkel gemeenschappelijk punt hebben. ◊ Evenwijdige rechten zijn rechten die ofwel strikt evenwijdig zijn ofwel samenvallen.

pagina

22

◊ Kruisende rechten zijn rechten die niet in een zelfde vlak liggen en geen enkel gemeenschappelijk punt hebben. ◊ Snijdende rechten zijn rechten die precies één gemeenschappelijk punt hebben. Leerlingen tekenen in dit stadium evenwijdige rechten met behulp van een geodriehoek. 2.3. 2.3.1.

Hoeken Hoek

2.3.2. Rechte hoek 2.3.3. Rechten die loodrecht op elkaar staan 2.3.4. Afstand - van een punt tot een rechte

- tussen twee strikt evenwijdigen

2.3.5.

Indeling van hoeken

2.3.6. Hoeken meten - grootte van een hoek

W32

2.3.7. Een hoek tekenen die even groot is als een gegeven hoek (zonder meten)

W26

2.3.8. Onderlinge ligging van hoeken overstaande hoeken aanliggende hoeken nevenhoeken

W32 W26

2.4.

Voorstelling van lichamen


Het begrip hoek wordt gedefinieerd als een deel van een vlak begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt. Door middel van plooien kan men viermaal een rechte hoek tonen. Leerlingen begrijpen intuïtief de betekenis van het begrip rechte hoek. Leerlingen gebruiken de geodriehoek als instrument om loodlijnen te tekenen of om de loodrechte stand te controleren. Leerlingen aanvaarden intuïtief dat de afstand van een punt tot een rechte moet gemeten worden op de loodlijn die vanuit dat punt op die rechte neergelaten is. Leerlingen aanvaarden intuïtief dat de afstand tussen twee strikt evenwijdigen moet gemeten worden op een rechte die loodrecht staat op de evenwijdigen. Als toepassing kunnen in een vlak eigenschappen i.v.m. evenwijdigheid en loodrechte stand ontdekt worden zoals: als a ⊥ b en b ⊥c dan a // c als a // b en b ⊥ c dan a ⊥ c De begrippen scherpe hoek, stompe hoek, gestrekte hoek, nulhoek, volle hoek en inspringende hoek kunnen door middel van tekeningen uitgelegd worden. Het begrip hoekgrootte wordt niet gedefinieerd. Net als bij lijnstukken is het ook bij hoeken belangrijk een onderscheid te maken tussen: ◊ de figuur: voorbeeld: de hoek Â of BÂC ◊ de grootte van de hoek: voorbeeld:  Â = 30° of BÂC=30° Leerlingen gebruiken de geodriehoek of graadboog als instrument om hoeken te meten of om hoeken met gegeven grootte te tekenen. De leerkracht moet de aandacht van de leerlingen trekken op het feit dat de constructie met passer en liniaal omwille van de nauwkeurigheid soms te verkiezen is boven het gebruik van de geodriehoek. Als toepassing op b.2.3.7. kunnen opdrachten gegeven worden waaruit aanliggende hoeken of nevenhoeken of overstaande hoeken ontstaan. Daarna kunnen deze begrippen gedefinieerd worden. Na de observatie van lichamen in de ruimte ervaren leerlingen de noodzaak van vlakke voorstellingen van die lichamen. De vlakke voorstelling van ruimtelijke lichamen kan fungeren als een concrete wiskundige situatie voor het inoefenen van technieken zoals: pagina

23

W36

2.4.1. Perspectieftekening

W36

2.4.2. Uitslag

2.4.3. Afstanden bepalen uitgaande van een vlakke voorstelling van een ruimtelijke figuur

3.

◊ de passer gebruiken als hulpmiddel om lijnstukken met dezelfde lengte te tekenen ◊ tekenen van loodlijnen en evenwijdigen en voor het herkennen en toepassen van eigenschappen i.v.m. ◊ evenwijdigheid ◊ loodrechte stand In het eerste leerjaar zal men zich beperken tot vlakke voorstellingen van lichamen die opgebouwd zijn met kubussen en balken. Kubus en balk zijn lichamen die reeds gekend zijn vanuit de basisschool. De perspectieftekening van een lichaam wordt eerst op ware grootte in het schrift afgebeeld. Hierbij worden de principes van kavalierperspectief aangetoond, eerst met een kubus, dan met een balk en daarna met een lichaam gebouwd uit kubussen en balken. Bij kavalierperspectief gelden de volgende afspraken: 1. Houd één vlak van het lichaam evenwijdig met het vlak van de tekening. 2. Evenwijdige rechten in de ruimte worden voorgesteld door evenwijdige rechten in het vlak van de tekening. 3. Lijnstukken evenwijdig aan het vlak van de tekening worden op ware grootte getekend. 4. Lijnstukken die loodrecht staan op het vlak van de tekening worden getekend op halve grootte. 5. Rechten die loodrecht op het vlak van de tekening staan, bepalen een hoek van 45° ten opzichte van rechten die evenwijdig met het vlak van de tekening lopen. Nadat de principes van kavalierperspectief werden toegepast bij het afbeelden van lichamen op ware grootte, kunnen eenvoudige voorbeelden van een tekening op schaal worden gemaakt. Voor het tekenen van de uitslag van een lichaam zal men zich in het eerste jaar beperken tot lichamen opgebouwd met kubussen en balken. Facultatief kan een technische tekening worden gemaakt. Ook voor de technische tekening zal men zich in het eerste jaar beperken tot kubus, balk en eenvoudige lichamen opgebouwd met kubussen en balken. Zoals voor de perspectieftekening zal eerst gewerkt worden met lichamen die op ware grootte in het schrift worden getekend; daarna met grotere lichamen getekend op schaal. Nadat de leerlingen vlakke voorstellingen getekend hebben van lichamen, zal men ook andersom te werk gaan. Uitgaande van de vlakke voorstelling herkennen de leerlingen een lichaam in de ruimte en bepalen zij afstanden op het lichaam in de ruimte, eventueel door gebruik te maken van het begrip schaal.

Symmetrie


pagina

24

3.1.

Spiegelen t.o.v. een rechte in een vlak 3.1.1. Een punt spiegelen t.o.v. een rechte in een vlak

W35

3.1.2. Een figuur spiegelen t.o.v. een rechte in een vlak

W26 W35

3.1.3. Middelloodlijn van een lijnstuk in een vlak

W35

3.1.4. Symmetrie-as van een vlakke figuur

W26

3.1.5. Bissectrice van een hoek


Vermits leerlingen gewoon zijn om te zien en te denken in de ruimte, moet hier enige aandacht besteed worden aan correcte verwoording. Het is niet de bedoeling om leerlingen te laten spiegelen in de ruimte. Via een intuïtieve instap kunnen de nodige vaststellingen gedaan worden die de correcte constructie van het beeld van een punt door spiegeling t.o.v. een rechte toelaten. Voorbeelden: ◊ Teken een figuur op een blad papier. Plooi het papier en prik met een speld gaatjes op de punten van de figuur. Als we daarna het blad openvouwen dan zien we de gegeven figuur en haar spiegelbeeld t.o.v. de “vouwlijn”. ◊ Plaats een doorschijnende plaat (in glas of plastiek) loodrecht op het vlak van de tekening. Kijk door de doorschijnende plaat en bepaal de plaats van het beeld van een gegeven punt. Nadat de leerlingen enkele figuren, begrensd door lijnstukken, gespiegeld hebben t.o.v. een rechte in een vlak, kunnen ze vaststellen dat de gelijkstandige zijden even lang en de gelijkstandige hoeken even groot zijn. Ze kunnen eveneens vaststellen dat de gegeven figuur en het beeld congruente figuren zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben. Het begrip “congruente figuren” is gekend uit de basisschool en kan in het eerste jaar omschreven worden als figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken. Zonder de leerlingen overdreven te belasten, moet hier de nodige aandacht besteed worden aan de verwoording. Na de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk, kunnen leerlingen de kenmerkende eigenschap ontdekken van punten die op de middelloodlijn van een lijnstuk liggen. Dit kenmerk zal gebruikt worden bij de verklaring van de constructie van de middelloodlijn van een lijnstuk met passer en liniaal. De leerkracht zal de noodzaak van een dergelijke constructie aantonen. Het begrip symmetrie-as van een figuur kan intuïtief begrepen worden als vouwlijn die de figuur in twee delen verdeelt die elkaar volkomen bedekken. De leerlingen definiëren daarna het begrip symmetrie-as van een vlakke figuur. De leerlingen definiëren het begrip bissectrice van een hoek als de rechte die de hoek verdeelt in twee hoeken met dezelfde grootte. Daarna ontdekken ze de eigenschappen: ◊ als een punt op de bissectrice van een hoek ligt, dan ligt dat punt even ver van de dragers van de benen van de hoek (geen kenmerkende eigenschap); ◊ de bissectrice van een hoek is een symmetrie-as van die hoek. De bissectrice van een hoek wordt geconstrueerd met passer en liniaal. Ook hier wordt de noodzaak

pagina

25

W35

3.1.6. Spiegelen in een geijkt vlak t.o.v. de assen van een cartesisch assenstelsel ( x,y )

W35

3.1.7. Spiegelen in een geijkt vlak t.o.v. het snijpunt van de assen in een cartesisch assenstelsel ( x,y )

W35

3.2.

W35

Spiegelen t.o.v. een punt in een vlak 3.2.1. Beeld van een punt door spiegeling t.o.v. een punt in een vlak

3.2.2. Symmetriemiddelpunt van een vlakke figuur

4.

Eigenschappen van driehoeken

W37

4.1.

Indeling van de driehoeken volgens grootte van de hoeken

W31

4.2.

Som van de (grootten van de) hoeken van een driehoek


van de constructie aangetoond. De constructie van de bissectrice van een hoek kan verklaard worden met behulp van de symmetrie-assen van een ruit. Nadat in vorige lessen, in de getallenleer bijvoorbeeld, enige aandacht werd besteed aan het feit dat de assen van het assenstelsel niet noodzakelijk loodrecht op elkaar moeten staan, kan hier gewerkt worden in een loodrecht assenstelsel en kan gebruik gemaakt worden van de vierkantjes in het schrift van de leerlingen. De bedoeling is een verband aan te tonen tussen meetkunde en getallenleer en concreet het verband te ontdekken tussen: ◊ spiegelen t.o.v. de x-as en het tegengestelde nemen van elke ordinaat; ◊ spiegelen t.o.v. de y-as en het tegengestelde nemen van elke abscis. Door het tegengestelde te nemen van elke abscis en van elke ordinaat kunnen leerlingen spiegelen t.o.v. het snijpunt van de assen x en y en de nodige vaststellingen doen om te kunnen spiegelen t.o.v. een punt in een vlak. Zoals bij de loodrechte spiegeling wordt het beeld bepaald van figuren door lijnstukken begrensd. Zo kunnen leerlingen vaststellen dat gelijkstandige zijden even lang en gelijkstandige hoeken even groot zijn. Ze kunnen eveneens vaststellen dat de gegeven figuur en haar beeld congruent zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben. De leerlingen definiëren het begrip symmetriemiddelpunt van een vlakke figuur. In volgende lessen zal bij elke figuur gezocht worden naar symmetrieassen en symmetriemiddelpunten, zodat het leren herkennen van symmetrieassen en symmetriemiddelpunten geen eenmalige gebeurtenis is. Het is niet de bedoeling om in het eerste jaar de loodrechte spiegeling, noch de puntspiegeling als transformatie te behandelen.

Er wordt gestart met het construeren van een aantal driehoeken, wat de tekenvaardigheid van de leerlingen ten goede komt. De verschillende gevallen van lengten van zijden en grootten van hoeken moeten voorhanden zijn. De leerkracht voorziet een uitgebreide verzameling van duidelijke en nauwkeurig uitgevoerde tekeningen van driehoeken. Door de hoeken van elke driehoek te vergelijken met een rechte hoek wordt de rubricering in scherphoekige, stomphoekige en rechthoekige driehoeken opgefrist. De correcte verwoording en notatie van deze eigenschap kan visueel ondersteund worden door van een uitgeknipte driehoek, door scheuren en

pagina

26

plakken, de som van de (grootten van de) hoeken van een driehoek voor te stellen als (de grootte van) een gestrekte hoek. W31

4.3.

Eigenschappen in driehoeken 4.3.1. Eigenschappen m.b.t. zijden en hoeken in een driehoek

4.3.2. Driehoeksongelijkheid

W31

W34

4.4. Bijzondere driehoeken 4.4.1. Gelijkbenige driehoek 4.4.2. Gelijkzijdige driehoek

4.5.

Omtrek van een driehoek


Met behulp van een verzameling driehoeken wordt door vergelijken (afpassen of meten) afgeleid dat tegenover de grootste hoek de grootste zijde ligt, dat tegenover de kleinste hoek de kleinste zijde ligt, en tegenover even grote hoeken even grote zijden liggen. Satéstokjes of stukjes metaaldraad van verschillende lengte, vormen een handig hulpmiddel om de driehoeksongelijkheid vast te stellen: in een driehoek is de lengte van elke zijde kleiner dan de som van de lengten van de twee andere zijden. Let op het belang van het woordje elke. Met behulp van een verzameling tekeningen van driehoeken wordt de rubricering in ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken opgefrist. Een ongelijkbenige driehoek wordt gedefinieerd als een driehoek waarvan de drie zijden een verschillende lengte hebben. Een gelijkbenige driehoek wordt gedefinieerd als een driehoek met ten minste twee even lange zijden en een gelijkzijdige driehoek als een driehoek waarvan alle zijden even lang zijn. Aan de hand van tekeningen worden, via zinvol gebruik van kleuren, de benamingen duidelijk gemaakt: tophoek, basis, basishoeken, opstaande zijden. Als een eigenschap en haar omgekeerde geldt, dan noemt men dit een kenmerkende eigenschap of kenmerk. Hier doet zich de gelegenheid voor het begrip kenmerk te illustreren. Door constructies worden de eigenschappen afgeleid: ◊ als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot; ◊ als in een driehoek twee hoeken even groot zijn, dan is die driehoek gelijkbenig. Kenmerk: Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met twee even grote hoeken. Door constructies worden de eigenschappen afgeleid: ◊ als een driehoek gelijkzijdig is, dan zijn alle hoeken even groot; ◊ als van een driehoek de drie hoeken even groot zijn, dan is die driehoek gelijkzijdig. Kenmerk: Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie even grote hoeken. Opmerking Een gelijkzijdige driehoek is een regelmatige veelhoek. Van een aantal goed gekozen congruente en nietcongruente driehoeken met dezelfde en met verschillende omtrek, kan door afpassen op een

pagina

27

rechte de omtrek als de som van de lengten van de zijden visueel worden voorgesteld. Deze eigenschap is geen kenmerk: ◊ als driehoeken congruent zijn dan hebben ze dezelfde omtrek; ◊ als driehoeken dezelfde omtrek hebben dan zijn het niet noodzakelijk congruente driehoeken. Satéstokjes, houten latjes of stukjes metaaldraad vormen een handig middel om met de klas niet congruente driehoeken met gelijke omtrek te vormen. Met een dichtgeknoopt touwtje kan eveneens aanschouwelijk worden gemaakt dat nietcongruente driehoeken toch dezelfde omtrek kunnen hebben. W26

5.

Merkwaardige lijnen in een driehoek

5.1.

Hoogtelijnen in een driehoek

5.1.1. Hoogtelijn

5.1.2. Hoogtelijnstuk

5.1.3. Hoogte

W26 W35

5.2.

Middelloodlijnen in een driehoek

5.2.1. Omcirkel


Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte die door een hoekpunt van de driehoek gaat en loodrecht op de drager van de overstaande zijde staat. Dat hoogtelijnen rechten zijn, moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de hoogtelijnen worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoeken. Hoogtelijnen moeten worden geconstrueerd in scherphoekige, rechthoekige en stomphoekige driehoeken. Duidelijk onderscheid tussen hoogtelijn en hoogtelijnstuk komt tot stand door het gebruik van een kleur om de hoogtelijnstukken aan te brengen op de hoogtelijnen: een hoogtelijnstuk is begrensd door een hoekpunt en het voetpunt van de hoogtelijn die door dat hoekpunt gaat. Onder hoogte verstaan we de lengte van het hoogtelijnstuk. In congruente driehoeken wordt telkens een ander hoogtelijnstuk gekleurd en de hoogte gemeten, alsook de lengte van de zijde die behoort bij dit hoogtelijnstuk. Eigenschap: als in een driehoek de lengte van een zijde met de daarbij horende hoogte wordt vermenigvuldigd, dan bekomen we telkens hetzelfde product: het dubbel van de oppervlakte van de driehoek. Opmerking: de loodrechte stand van een lijnstuk t.o.v. een recht en de loodrechte stand van twee lijnstukken onderling worden intuïtief aangebracht. Middelloodlijnen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de middelloodlijnen worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek. Het snijpunt van de middelloodlijnen van een driehoek is het middelpunt van de cirkel die door elk hoekpunt gaat: de omcirkel. Steunend op het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk kan worden verklaard dat het snijpunt van de middelloodlijnen het middelpunt

pagina

28

W26 W35

5.3.

Bissectrices in een driehoek

5.3.1. Incirkel

W35

5.4. Symmetrie in een driehoek 5.4.1. Symmetrie-assen

5.4.2. Symmetriemiddelpunt

moet zijn van de omcirkel. Bissectrices zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de bissectrices worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek. Het snijpunt van de bissectrices van de hoeken van een driehoek is het middelpunt van de cirkel die aan elke zijde raakt: de incirkel. Het is belangrijk te laten vaststellen in de incirkel dat de middellijnen van de cirkel die door de raakpunten gaan, telkens loodrecht staan op een zijde van de driehoek. Hier kan eventueel het begrip raaklijn worden ingevoerd. Steunend op de eigenschappen van de bissectrice van een hoek kan worden verklaard dat het snijpunt van de bissectrices het middelpunt moet zijn van de incirkel Symmetrie-assen zijn rechten. Dit moet duidelijk te zien zijn bij constructies: de symmetrie-assen worden doorgetrokken buiten de zijden van de driehoek. Met behulp van in papier uitgeknipte driehoeken wordt door plooien gezocht naar mogelijke symmetrie-assen in ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken. Hier worden de eigenschappen vastgesteld: ◊ als een driehoek gelijkbenig is, dan heeft deze driehoek ten minste één symmetrie-as; ◊ als een driehoek een symmetrie-as heeft, dan is deze driehoek gelijkbenig. Kenmerk: Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met ten minste één symmetrie-as. Gevolg: ◊ de symmetrie-as in een gelijkbenige driehoek is de bissectrice van de tophoek en de middelloodlijn van de basis; ◊ een gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetrie-assen: de bissectrices die samenvallen met de middelloodlijnen en de hoogtelijnen. In een verzameling van ongelijkbenige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken wordt gezocht naar een symmetriemiddelpunt en vastgesteld dat er geen bestaat.

6. Eigenschappen i. v. m. zijden en hoeken van een vierhoek W31

6.1.

W31 W37

6.2.

Som van de (grootten van de) hoeken in vierhoeken

Bijzondere vierhoeken


Met behulp van uitgeknipte vierhoeken, kan door scheuren en plakken de som van (de grootte van) de hoeken visueel worden voorgesteld als (de grootte van) een volle hoek. Deze eigenschap kan eventueel bewezen worden door de vierhoeken te verdelen in twee driehoeken. Met behulp van geodriehoek en passer ontdekken de leerlingen, op zelf getekende figuren, de

pagina

29

6.2.1. Trapezium

6.2.2. Parallellogram

6.2.3. Ruit

6.2.4. Rechthoek

6.2.5. Vierkant


kenmerken van bijzondere vierhoeken. Aandacht gaat naar: ◊ lengten van zijden; ◊ grootten van hoeken; ◊ onderlinge stand van zijden. De leerlingen herkennen en definiëren een trapezium als een vierhoek met ten minste één paar evenwijdige zijden. Via zinvol gebruik van kleuren worden hier de specifieke benamingen voor de zijden duidelijk gemaakt: ◊ basissen: de evenwijdige zijden; ◊ opstaande zijden: overige zijden. De bijzondere trapeziums worden gedefinieerd: ◊ rechthoekig trapezium: trapezium met ten minste twee rechte hoeken; ◊ gelijkbenig trapezium: trapezium met precies één paar evenwijdige zijden en waarvan de opstaande zijden even lang zijn. Eigenschappen i. v. m. de hoeken van een trapezium worden onderzocht: ◊ hoeken gelegen aan een zelfde opstaande zijde; ◊ hoeken gelegen aan een zelfde basis van een gelijkbenig trapezium. Van deze eigenschappen wordt nagegaan of ze een kenmerk zijn. De leerlingen herkennen en definiëren een parallellogram als een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. Ze onderzoeken de eigenschappen i.v.m. ◊ de lengte van zijden; ◊ de grootte van hoeken. Zij ontdekken: ◊ elk parallellogram is een trapezium. Als toepassing volgt: ◊ de constructie van een parallellogram als twee opeenvolgende zijden reeds getekend zijn; ◊ de constructie van een rechte evenwijdig met een gegeven rechte. De leerlingen herkennen en definiëren een ruit als een vierhoek met vier even lange zijden. Ze ontdekken: ◊ elke ruit is een parallellogram en dus ook een trapezium. De leerlingen herkennen en definiëren rechthoek als een vierhoek met vier even grote hoeken. Ze ontdekken: ◊ de vier hoeken zijn recht; ◊ elke rechthoek is een parallellogram en dus ook een trapezium. De leerlingen herkennen en definiëren een vierkant als een vierhoek met vier even lange zijden en vier even grote hoeken. Ze ontdekken: ◊ elk vierkant is een ruit, een rechthoek, een parallellogram en dus ook een trapezium. Interessant is hier de leerlingen een classificatie van de vierhoeken te laten maken onder de vorm van een schema of een venndiagram.

pagina

30

W26

7.

Merkwaardige lijnen in een vierhoek

7.1.

Diagonalen in een vierhoek

7.1.1. Eigenschappen van de diagonalen

W35

7.2. Symmetrie in vierhoeken 7.2.1. Symmetrie-assen 7.2.2. Symmetriemiddelpunt

8.

Omtrek en oppervlakte van driehoek en vierhoek Lengte van een cirkel en omtrek en oppervlakte van een schijf

W32

8.1.

Eenheden

W34

8.2.

Omtrek van driehoek en vierhoek

W34

8.3.

Oppervlakte van driehoek en vierhoek

W34

8.4.

Lengte van een cirkel Omtrek en oppervlakte van een schijf


Een diagonaal wordt gedefinieerd als een lijnstuk, dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten verbindt. Aan de hand van concreet materiaal worden de eigenschappen van de diagonalen opgespoord en op hun omkeerbaarheid getoetst: kenmerk of geen kenmerk. Er wordt gezocht naar mogelijke symmetrie-assen en een mogelijk symmetriemiddelpunt in een verzameling uitgeknipte vierhoeken waaronder zeker: ◊ een parallellogram, noch ruit noch rechthoek; ◊ een gelijkbenig trapezium; ◊ een rechthoek; ◊ een ruit; ◊ een vierkant.

Al van in de basisschool zijn de leerlingen vertrouwd met het gepaste gebruik van eenheden bij het berekenen van omtrek en oppervlakte. We blijven de nodige aandacht besteden aan het kiezen van geschikte eenheden. De leerlingen berekenen de omtrek van driehoeken en vierhoeken als de som van de lengten van de zijden. De vastgestelde regelmaat bij de bijzondere vierhoeken kan leiden tot formules. Deze formules kunnen worden genoteerd op een speciaal daartoe bestemde fiche, die eventueel kan dienen als geheugensteun bij de berekeningen. De formules voor het berekenen van de oppervlakte kunnen op een creatieve wijze worden gevisualiseerd. De leerlingen moeten tevens inzicht verwerven in het verband tussen de gangbare oppervlakteformules en de basisformule b(asis) maal h(oogte). Zij gebruiken de gepaste formule voor de berekening van de oppervlakte van een vierkant, een rechthoek, een parallellogram, een ruit, een trapezium en een driehoek. De leerlingen kunnen de gepaste formule gebruiken voor het berekenen van de lengte van een cirkel of de omtrek van een schijf en voor de oppervlakte van een schijf. Ook deze formules kunnen genoteerd worden op de fiche. Hier wordt nogmaals de aandacht gevestigd op het onderscheid tussen een cirkel en een schijf. Het getal π kan in een historische context worden geplaatst. Experimenteel kunnen de leerlingen een grove benadering van π berekenen als de

pagina

31

verhouding van de omtrek tot de diameter.


pagina

32

c. Aanbevolen spreiding voor behandeling van de leerstof Uit de eindtermen kan onmogelijk worden afgeleid hoeveel lestijden moeten besteed worden aan het bereiken deze doelstellingen. De voorgestelde timing voor behandeling van de leerstof is enkel indicatief en houdt zeker geen verplichting in. In het eerste leerjaar A wordt wiskunde onderwezen a rato van 5 lestijden per week. Het is aangewezen deze 5 wekelijkse lestijden op te splitsen in 3 lestijden voor getallenleer en 2 lestijden voor meetkunde. In het eerste leerjaar A kan de leerstof als volgt worden verdeeld: Getallen

Meetkunde richtlijn voor het aantal lestijden

1.

De natuurlijke getallen

1.1. Basisbegrippen 1.2. De vier hoofdbewerkingen

richtlijn voor het aantal lestijden 1. De ruimte - een vlak

6 24

2. Lichamen in de ruimte -vlakke figuren

5 13

3. Symmetrie

6

1.3. Machten

4

4. Eigenschappen van driehoeken

5

1.4. Volgorde van de bewerkingen

3

5. Merkwaardige lijnen in een driehoek

4

6. Eigenschappen i.v.m. zijden en hoeken van een vierhoek

7

7. Merkwaardige lijnen in een vierhoek

4

8. Omtrek en oppervlakte van een driehoek en een vierhoek Lengte van een cirkel en oppervlakte van een schijf

6

2.

De rationale getallen

2.1. Basisbegrippen 2.2. De vier hoofdbewerkingen

9 15

2.3. Machten

3

2.4. Volgorde van de bewerkingen

2

3.

9

Vergelijkingen

Deze planning voor de behandeling van de leerstof maakt geen gebruik van alle beschikbare lestijden voor wiskunde. Van de vrije tijdruimte kan de leerkracht nuttig gebruikt maken om enerzijds eigen accenten te leggen of eigen accenten toe te voegen en om anderzijds grondiger aandacht te besteden aan de vakoverschrijdende eindtermen.


pagina

33

B. TWEEDE LEERJAAR VAN DE EERSTE GRAAD a. Getallenleer Eindterm

Vooraf 1. De begrippen en technieken aangeleerd in het eerste leerjaar, worden opgefrist, uitgediept en aangevuld. Dit gebeurt bij voorkeur aan de hand van concrete voorbeelden.

W9

2. Telkens de gelegenheid zich voordoet, leren de leerlingen een zakrekenmachine zinvol en functioneel gebruiken. Zij leren eveneens de geheugentoetsen gebruiken.

W12

3. De gewoonte om het resultaat vooraf te schatten en terug te blikken op de gevonden oplossing wordt volgehouden. Leerinhouden 1.

Pedagogisch-didactische wenken en didactische middelen

Verhoudingen en evenredigheden

1.1. Evenredigheid 1.1.1. Begrip

1.1.2. Hoofdeigenschap

W33

1.2. Toepassingen op het gebruik van schalen

W16 W24 W39

1.3. Recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden


a In het eerste leerjaar hebben wij b , met a ∈ ' en b ∈ *, niet alleen geïnterpreteerd als een breuk of een quotiënt, maar ook als een verhouding. Wij kunnen hierbij verwijzen naar de betekenis van de stam “ratio” in rationale getallen. In het tweede jaar gebruiken wij ook eenvoudige (niet-gehele), decimale getallen. Hierbij moeten leerlingen inzien dat a -1 (b≠0) b=a: b=a.b Een evenredigheid wordt gedefinieerd als de gelijkheid van twee verhoudingen. Aan de hand van voorbeelden wordt de hoofdeigenschap geïllustreerd. a c (b ≠ 0 , d ≠ 0) b = d ⇔ a.d = b.c De hoofdeigenschap kan vrij eenvoudig worden aangetoond door gebruik te maken van de eigenschappen van gelijkheden en van de vermenigvuldiging. Leerlingen zien in dat werken met schalen eigenlijk neerkomt op rekenen met evenredigheden. De leerlingen herkennen het recht evenredig-zijn en het omgekeerd evenredig-zijn van twee grootheden in tabellen en in het dagelijks leven. Zij kunnen vanuit tabellen recht evenredige verbanden uitdrukken met formules. Zij stellen recht evenredige verbanden tussen grootheden grafisch voor. De toepassingen sluiten aan ◊ bij het dagelijkse leven ( illustraties in dag-, week- en vakbladen, ... ) ◊ bij andere vakken: biologie, aardrijkskunde, technologische opvoeding, ... . Besteed de nodige aandacht aan de realiteit: twee grootheden zijn niet steeds recht of omgekeerd evenredig. In het dagelijkse leven wordt de pagina

34

W17

W25 AW46

W5 W8

1.4

Eenvoudige vraagstukken i.v.m. evenredigheden oplossen

2.

Initiatie in beschrijvende statistiek

2.1. Vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde en de mediaan (voor nietgegroepeerde gegevens) berekenen en hieruit relevante informatie afleiden 2.2. Functioneel gebruik maken van eenvoudige schema's,figuren, tabellen en diagrammen

3.

Machtsverheffingenvierkantswortels

3.1.

Machten met rationale grondtallen en gehele exponenten; rekenregels


evenredigheid dikwijls verbroken: % korting bij grote hoeveelheden, 3 kopen en 1 gratis, posttarieven, ... Vraagstukken oplossen met de "regel van drieën" betekent het zoeken van één term van een evenredigheid als de drie andere gekend zijn.

Het begrip rekenkundig gemiddelde kennen de leerlingen uit het eerste jaar (cf. A.a.2.1.5.) en ook uit het dagelijks leven (gemiddelde temperatuur, klasgemiddelde, ... ). Met goedgekozen voorbeelden wordt aangetoond dat het gemiddelde sterk beïnvloed wordt door de uitersten, zodat een ander vergelijkingspunt zich opdringt: de mediaan. Leerlingen moeten informatie kunnen terugvinden. Hier is het vakoverschrijdend aspect van groot belang. De leerlingen maken in andere vakken (aardrijkskunde, fysica, biologie, wetenschappelijk werk, handel, voeding, ... ) reeds gebruik van ◊ schema’s ◊ figuren ◊ grafieken ◊ diagrammen Bij de leerlingen wordt een kritische houding ontwikkeld tegenover het gebruik van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen en grafische voorstellingen. De leerkrachten laten niet na aan te tonen dat bepaalde gegevens misleidend kunnen worden voorgesteld b.v. door het wijzigen van de ijk op één van de assen van een grafiek.

Er dient ondermeer aandacht besteed te worden aan de rekenregels voor ◊ het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal; ◊ het verheffen van een macht tot een macht; ◊ het delen van machten met hetzelfde grondtal; ◊ het verheffen van een product tot een macht 3 3 3 (denk ook aan het omgekeerde: b.v. 2 . 5 = 10 ); ◊ het verheffen van een quotiënt tot een macht (denk ook aan het omgekeerde: b.v. 1253 : 253 = 53 ). Om de leerlingen toe te laten op een zakrekenmachine getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze af te lezen of in te voeren, dient deze schrijfwijze hier aan bod te komen. Onder wetenschappelijke schrijfwijze van een getal wordt verstaan: ◊ het product van een decimaal getal en een macht van 10; ◊ het geheel gedeelte van het decimaal getal is verschillend van nul en bevat slechts één cijfer.

pagina

35

W5

W3 AW41 AW42

3.2.

Vierkantswortels

4.

Onderzoek naar eigenschappen van bewerkingen (+ , - , x , :) in !, ', -

4.1.

het "overal gedefinieerd"zijn het commutatief-zijn het associatief-zijn het bestaan van een neutraal element het bestaan van symmetrische elementen het bestaan van een opslorpend element

4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

W21

4.7.

het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling en de aftrekking

5.

Vergelijkingen

5.1.

Vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende.


Trek zeker de aandacht op het onderscheid tussen de opdrachten: “bepaal de rationale getallen x die voldoen aan x² = 0,49” en “bereken 49 ”. Eventueel is hier een uitbreiding mogelijk naar de derdemachtswortels of in het algemeen naar de ndemachtswortels. Hier kan tevens het bestaan van irrationale getallen ingeleid worden.

Zie ook de methodologische wenken voor het eerste leerjaar (cf. A.a.1.2.3.). Voor zover dit nog niet gebeurd is in het eerste jaar, worden de eigenschappen genoteerd met gebruik van de kwantoren en correct verwoord Enige aandacht dient besteed aan het onderling verband tussen een element, zijn symmetrisch element en het neutraal element bij een bewerking in een verzameling. Wij schenken ook aandacht aan het onderscheid tussen het tegengestelde en het omgekeerde van een element. De afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen en gebruik van de haakjes worden herhaald. Bij het behandelen van het distributief-zijn moet ook het “andersom aspect” benadrukt worden: dit zal zijn nut bewijzen bij het ontbinden in factoren. Facultatief kunnen we hier onderzoeken of de deling distributief is t.o.v. de optelling en de aftrekking. Maak een onderscheid tussen linksdistributief en rechtsdistributief.

Zie ook A.a.3.2. In het tweede leerjaar lossen we vergelijkingen op in -, met breuken in de vergelijking. Ook hier behouden wij onze voorkeur voor de “balansmethode“. De frequent voorkomende uitspraak: “veranderen van lid is veranderen van teken” moet in de klas bestreden worden. De leerlingen moeten inzien dat we van de gegeven vergelijking overgaan naar een vergelijking met dezelfde oplossing(en). Het gebruik van het gelijkwaardigheidsteken (⇔) is hier nog niet essentieel. Om de noemers te verdrijven, vermenigvuldigen we beide leden met een zelfde geschikt getal. De methode van het gelijknamig maken van de breuken is vaak de oorzaak van fouten in de hogere jaren: leerlingen interpreteren deze methode nogal eens als “gelijke noemers mogen we weglaten”. Bij vergelijkingen met een tweeterm in de teller (lange breukstreep) vestigen we de aandacht op de “niet-geschreven haakjes” en de rol van het teken voor de breukstreep. Het maken van de proef op de vergelijking mag niet uit het oog verloren worden. Het is een gelegenheid

pagina

36

W22 AW43 AW47

W18

5.2.

Oplossen van eenvoudige vraagstukken die leiden tot vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende

6.

Veeltermen in één onbepaalde met numerieke coëfficiënten

6.1.

Het begrip veelterm

6.2.

De getalwaarde van een veelterm berekenen

6.3.

Herleiden van veeltermen

6.4

Eenvoudige veeltermen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen Machten van eentermen t t lijk

W19

6.5.


om de rekentechnieken nog eens te oefenen. De zakrekenmachine kan hier een welgekomen hulp bieden. Zie ook A.a.3.3. De letters in een basisformule worden best vervangen door de gegevens van het vraagstuk. Dit levert een zeer eenvoudig vergelijking met één onbekende op. Leerlingen ondervinden moeilijkheden bij vraagstukken omdat ze de gelijkheid niet ontdekken en/of omdat ze een gebrek aan vaardigheid hebben in het vertalen naar wiskundetaal. Een goede analyse, met symbolische voorstelling van de gegevens, is een handig hulpmiddel om een vergelijking te vinden. Soms kan een vergelijking bekomen worden door het op twee verschillende manieren uitdrukken van een zelfde grootheid. Dit is een geschikt moment om probleemoplossende vaardigheden te ontwikkelen zoals: ◊ het herformuleren van de opgave; ◊ het maken van een goede schets of een aangepast schema; ◊ het invoeren van geschikte notaties; ◊ het kiezen van de onbekende (de leerkracht vestigt de aandacht van de leerlingen op de reductie van de mogelijke onbekenden tot de gekozen onbekende); ◊ het analyseren van eenvoudige voorbeelden. Door het maken van de proef op het vraagstuk ontwikkelen zij de gewoonte om terug te blikken op hun redenering en resultaat.

Instappen kan o.m. via de formules ontstaan uit getalpatronen (cf. eerste jaar A.a.1.4.2.) en via de omtreks-, oppervlakte- en inhoudsformules. De lettervormen die zo ontstaan zijn voorbeelden van veeltermen. Volgende benamingen worden ingevoerd: ◊ eenterm, tweeterm, drieterm, ... ; ◊ coëfficiënt; ◊ lettergedeelte; ◊ onbepaalde (in een veelterm heeft de onbepaalde enkel natuurlijke exponenten); ◊ graad. De coëfficiënten van de veeltermen behoren tot ! of ' en eventueel tot -, maar worden zo gekozen dat de leerlingen niet verdrinken in het rekenwerk! Leerlingen herleiden veeltermen: de eentermen met hetzelfde lettergedeelte worden opgeteld. Zij rangschikken een veelterm en bepalen de graad ervan. De nulveelterm heeft geen graad. Het begrip hoogstegraadsterm kan hier worden gehanteerd. De technieken om te rekenen met veeltermen moeten steeds primeren op cijferwerk. Een proef op de bewerkingen met veeltermen kan gebeuren door over te stappen op de getalwaarde. pagina

37

W20 6.6.

W20 6.7.

met natuurlijke exponenten berekenen De merkwaardige producten (A + B)² en (A + B)(A - B) formuleren verantwoorden toepassen (A en B stellen eentermen voor) Eenvoudige veeltermen ontbinden in factoren ◊ door het distributief-zijn van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling toe te passen ◊ door het toepassen van merkwaardige producten


Let wel: zoals de negenproef voor een bewerking geeft ook deze techniek geen absolute garantie. Het kan verhelderend werken als de merkwaardige producten visueel ondersteund worden.

pagina

38

b. Meetkunde Eindterm

Vooraf

W32

1. De in het eerste leerjaar aangeleerde begrippen en technieken worden opgefrist en soms aangevuld. De leerstof meetkunde zal niet door middel van een axiomatische opbouw aangeboden worden. De begrippen worden via een intuïtieve benadering omschreven. Meetkunde biedt hier nog meer mogelijkheden tot ontwikkelen van tekenvaardigheid, zin voor precisie en correct gebruik van tekeninstrumenten (motoriek).

W40 W40

2. Eigenschappen worden geformuleerd na gericht waarnemen. Bij het verwoorden van eigenschappen zal de voorkeur uitgaan naar de “als ... dan ...” vorm. Lijnstukken met dezelfde lengte en hoeken met dezelfde grootte worden aangeduid. De vastgestelde eigenschappen worden eventueel met symbolen genoteerd. Oefeningen en eigenschappen zullen opgesplitst worden in: gegeven, gevraagd, tekening en eventueel een verklaring / bewijs. Leerlingen zullen een uitspraak zoveel mogelijk door middel van tekeningen toetsen op het “waar” of “niet waar” zijn. De leerkracht zal telkens de aandacht vestigen op het feit dat dit toetsen geen bewijskracht heeft bij het “waar” zijn, maar wel een bewijs is bij het “niet waar” zijn (bewijskracht van een tegenvoorbeeld). Bij het noteren wordt een onderscheid gemaakt tussen een vaststelling en een verklaring (bewijs). 3. Net zoals in Wallonië en in het buitenland zal de naam van een punt geschreven worden met een hoofdletter en de naam van een rechte met een kleine letter.

Leerinhouden 1.

Lichamen in de

Pedagogisch-didactische wenken en didactische middelen ruimte

W29 W30 W36

1.1. Herkennen van lichamen: ◊ recht prisma ◊ piramide ◊ cilinder ◊ kegel ◊ bol

W32 W39

1.2. Berekenen van oppervlakte en volume van ◊ kubus ◊ balk


Aan kubus en balk werd in het eerste jaar de nodige aandacht besteed (cf. A.b.2.4.) Aan de hand van voorwerpen, van verpakkingen van allerlei producten, van gebouwen, eventueel foto’s hiervan, kan een tabel worden opgesteld. De nodige aandacht wordt besteed aan het opsporen van gemeenschappelijke herkenningselementen. De leerlingen komen zo tot het herkennen (zonder een strikte definitie te geven), tot indelen en tot gebruiken van de juiste benamingen van ruimtelichamen. Leerlingen leren zich oriënteren in de ruimte door het interpreteren van driedimensionale situaties aan de hand van tweedimensionale afbeeldingen. Zij weten ook dat in deze voorstelling informatie is verloren gegaan. Voor het oefenen van deze vaardigheid kan eventueel een zinvol gebruik gemaakt worden van bestaande computerprogramma’ s. Coördineren met vakken als plastische opvoeding en technologische opvoeding is hier aangewezen. Bij het opstellen van de oppervlakteformule kan zinvol gebruik worden gemaakt van de uitslag van een ruimtelichaam.

pagina

39

◊ recht prisma ◊ cilinder

W28 W35

2.

Transformaties van een vlak: - herkennen van het beeld - constructie van het beeld

2.1.

Spiegeling en puntspiegeling


De leerlingen kunnen de gepaste formules gebruiken voor het berekenen van de oppervlakte en het volume van ruimtelichamen. Deze formules kunnen worden genoteerd op een speciaal daartoe bestemde fiche, samen met formules van omtrek en oppervlakte van vlakke figuren ( cf. eerste jaar A.b.8. ). Ook hier besteden wij de nodige aandacht aan het kiezen van geschikte eenheden. Het komt het inzicht zeker ten goede als bij vraagstukken i.v.m. omtrek en oppervlakte een realistische (ruimtelijke) situatie aanschouwelijk wordt voorgesteld. Een vraagstuk, aangeboden met een ludieke tekening, wekt vaak de interesse op en motiveert om de oplossing te vinden. Hier doet zich de gelegenheid voor om leerstof uit de getallenleer praktisch te gebruiken. Enkele voorbeelden: ◊ Vergelijkingen oplossen: als het volume en twee afmetingen van een balk gekend zijn, dan de derde afmeting berekenen. V=l.b.h ◊ Vierkantswortels berekenen: als de oppervlakte van een kubus gegeven is, dan de ribbe berekenen. 2 S = 6.z als het volume van een cilinder en de hoogte gekend zijn, dan de straal van het grondvlak berekenen. 2 V=π.r .h ◊ Derdemachtswortel berekenen (facultatief): als het volume van een kubus gekend is, dan de ribbe berekenen. 3 V=z ◊ Zinvol gebruik van een zakrekenmachine. ◊ Technieken van schatten en afronden (π) krijgen hier een concrete invulling. Vakoverschrijdend kan worden gecoördineerd met fysica o.m. voor het berekenen van het volume van een onregelmatig voorwerp. Bij het berekenen van oppervlakte en inhoud moet aandacht besteed worden aan het uitdrukken van de grootheden in corresponderende eenheden.

In het eerste jaar hebben de leerlingen, via manipuleren en construeren, kennis gemaakt met spiegelen en puntspiegelen. Leerlingen herkennen dus figuren die bekomen zijn door spiegelen of puntspiegelen van een gegeven figuur en kunnen het beeld bepalen van een eenvoudige meetkundige figuur door spiegelen en puntspiegelen. De spiegeling en puntspiegeling zijn echter nog niet behandeld als transformatie van een vlak.

pagina

40

Herhaling van kennis en vaardigheden uit het eerste jaar laten toe om uit concrete voorbeelden het begrip “transformatie van een vlak” te beschrijven.

W28 W35

2.2.

Verschuiving

W28 W35

2.3.

Draaiing


Dit kan als volgt: ◊ de leerlingen ontdekken op concrete voorbeelden dat een spiegeling (puntspiegeling) volledig bepaald is door een koppel waarvan begin- en eindpunt niet samenvallen. ◊ de leerlingen ontdekken op concrete voorbeelden dat elk punt van het vlak precies één beeld heeft door spiegelen (puntspiegelen). ◊ de leerlingen onthouden dat bij een transformatie van een vlak elk punt precies één beeldpunt heeft. De spiegeling en de puntspiegeling zijn voorbeelden van transformaties van een vlak. Op een fries of op behangpapier zijn vaak verschuivingen te herkennen. De verschuiving kan ook benaderd worden vanuit coördinatenmeetkunde. De verschuiving bepaald door het punt T in een geijkt vlak kan gevonden worden door bij de coördinaat van elk punt van dat geijkte vlak, de coördinaat van T op te tellen. Na het trekken van de pijlen tussen corresponderende punten kunnen de leerlingen zien dat: ◊ de dragers van de pijlen evenwijdig zijn; ◊ de pijlen dezelfde zin hebben; ◊ alle lijnstukken bepaald door de grenspunten van de pijlen even lang zijn. Deze vaststellingen laten de leerlingen toe om: ◊ te ontdekken dat een verschuiving in een vlak volledig bepaald is als één koppel van de verschuiving gekend is; ◊ het beeld te bepalen van een punt door een verschuiving in een vlak dat niet geijkt is. De leerlingen moeten een verschuiving in een vlak kunnen herkennen en hun werkwijze bij de constructie kunnen toelichten. Via het construeren van het beeld van eenvoudige vlakke figuren en/of via concrete voorbeelden onderzoeken en ontdekken de leerlingen dat elke verschuiving de lengte van lijnstukken, de grootte van hoeken en de evenwijdigheid van rechten behoudt. Zij kunnen vaststellen dat: ◊ het beeld van een rechte een rechte is die evenwijdig is met de gegeven rechte; ◊ de gegeven figuur en het beeld congruente figuren zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben. De verschuiving is een voorbeeld van een transformatie van een vlak. Via een kermismolen of de wijzers van een uurwerk kunnen de leerlingen intuïtief begrijpen wat een georiënteerde hoek is (+ of tegenwijzerzin, - of wijzerzin). pagina

41

Uit deze concrete voorbeelden kunnen de leerlingen begrijpen hoe het beeld van een punt in een vlak door een draaiing bepaald wordt. De leerlingen ontdekken op concrete voorbeelden dat een draaiing niet volledig bepaald is als één koppel van de draaiing gekend is. De leerlingen moeten een draaiing kunnen herkennen. De leerlingen moeten op voorbeelden uit hun leefwereld het centrum en de draaiingshoek (grootte en zin) van een draaiing kunnen bepalen. De leerlingen kunnen op concrete voorbeelden ontdekken dat een puntspiegeling ook een draaiing is. Via het construeren van het beeld van eenvoudige vlakke figuren door een draaiing en op concrete voorbeelden onderzoeken en ontdekken de leerlingen dat elke draaiing de lengte van lijnstukken, de grootte van hoeken en de evenwijdigheid van rechten behoudt. Ze kunnen eveneens vaststellen dat de gegeven figuur en het beeld congruente figuren zijn en dus dezelfde oppervlakte hebben. De draaiing is een voorbeeld van een transformatie van een vlak.

W27

3.

Congruentie

3.1.

Congruente figuren

3.2

Congruente driehoeken


In het eerste jaar hebben de leerlingen congruente figuren beschreven als figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken. Via construeren en manipuleren van vlakke figuren kunnen de leerlingen ontdekken dat, door het na elkaar uitvoeren van transformaties die de lengte van lijnstukken behouden, figuren ontstaan die congruent zijn met de gegeven figuur. Om te onderzoeken of twee figuren congruent zijn, kan één van de figuren worden overgetekend en uitgeknipt. Manipuleren (verschuiven, draaien, spiegelen) helpt de leerlingen een gepaste (samenstelling van) transformatie(s) te vinden die de ene figuur op de andere afbeeldt. Wij noteren “is congruent met” als “≅“. Nadat vastgesteld is dat bij congruente driehoeken zes gelijkheden gelden (drie met betrekking tot de lengte van zijden en drie met betrekking tot de grootte van hoeken) wordt volgend probleem opgelost: “Hoe kunnen we met een minimum aantal gegevens toch besluiten dat twee driehoeken congruent zijn?” De leerkracht kan als opdracht verschillende paren driehoeken laten tekenen en uitknippen om de drie congruentiekenmerken van driehoeken te laten ontdekken. De leerlingen onthouden dat: ◊ om te kunnen besluiten dat twee driehoeken congruent zijn, het voldoende is dat drie goed gekozen elementen van de ene driehoek even groot zijn als de gelijkstandige elementen van de andere driehoek;

pagina

42

◊ het opsporen van congruente driehoeken een middel is om aan te tonen dat lijnstukken even lang en hoeken even groot zijn.

4.

Gelijkvormige figuren

W27

4.1.

Herkennen van gelijkvormige figuren

W33

4.2.

Het begrip schaal gebruiken om afstanden in meetkundige figuren te berekenen


Mogelijke uitgangspunten zijn: diaprojector, camera obscura, tekening op schaal, vergroting, een landkaart, ... . De leerlingen stellen aan de hand van concrete voorbeelden vast dat: ◊ evenwijdige stand van rechten behouden blijft; ◊ grootte van de hoeken behouden blijft; ◊ de lengten van de gelijkstandige lijnstukken een vaste verhouding hebben: de gelijkvormigheidsfactor. (cf. B.a.1.) ◊ er een verband bestaat tussen de gelijkvormigheidsfactor en de verhouding van de oppervlakte van de gelijkvormige figuren. Wij noteren “is gelijkvormig met” als “∼“. Gelijkvormige figuren kunnen ook benaderd worden vanuit de coördinatenmeetkunde (facultatief). In een geijkt vlak met oorsprong O kan het beeld van een punt gevonden worden door de coördinaat van elk punt P van dat geijkte vlak met r (r ∈ -) te vermenigvuldigen. De leerlingen kunnen op deze voorbeelden vaststellen dat oorsprong, punt en beeld op één rechte liggen (collineair). Door een gepaste keuze van de ijk op de rechte OP wordt het verband ontdekt tussen de abscis van P’ en de gelijkvormigheidsfactor. In de lessen biologie, fysica en aardrijkskunde kunnen we talrijke voorbeelden vinden om: ◊ uit een vergroting of een verkleining de werkelijke grootte te bepalen als de schaal gegeven is; ◊ uit een vergroting of een verkleining en de werkelijke grootte, de schaal van de tekening te bepalen. Bij een vergroting is het voor de leerlingen verrassend dat bij de notatie van de schaal de teller groter is dan de noemer!

pagina

43

c. Aanbevolen spreiding voor behandeling van de leerstof In het tweede leerjaar van de eerste graad is, zoals in het eerste leerjaar A, de aanbevolen timing enkel indicatief en houdt geen verplichting in. In het tweede leerjaar van de eerste graad beschikt de leerkracht wiskunde over 4 lestijden per week. Het is aan te bevelen deze 4 wekelijkse lestijden te verdelen over 2 lestijden getallenleer en 2 lestijden meetkunde. In het tweede leerjaar van de eerste graad kan de leerstof als volgt worden gespreid: Getallen

Meetkunde richtlijn voor het aantal lestijden

1.

Verhoudingen en evenredigheden

8

2.

Initiatie in de beschrijvende statistiek

8

Machtsverheffingen en vierkantswortels

7

Onderzoek naar de eigenschappen van de bewerkingen

6

5.

Vergelijkingen

9

6.

Veeltermen in één onbekende met numerieke coëfficiënten

3. 4.

richtlijn voor het aantal lestijden 1.

Lichamen in de ruimte

10

2.

Transformaties van een vlak

20

3.

Congruentie

10

4.

Gelijkvormigheid

10

12

Zoals in het eerste leerjaar A worden in de planning niet alle lestijden gebruikt. De vrije tijdruimte wordt ook hier door de leerkracht zelf ingevuld. De leerkracht gebruikt deze tijdruimte nuttig om aandacht te besteden aan eigen accenten en aan vakoverschrijdende eindtermen.


pagina

44

VI. MINIMALE MATERIËLE VEREISTEN Het is aangewezen dat de leerkracht en de leerlingen kunnen beschikken over een minimaal instrumentarium om de opdrachten van dit leerplan te realiseren. Liniaal, geodriehoek, passer (of een vervanghulpmiddel) en zakrekenmachine behoren tot de minimale materiële vereisten om het bereiken van de leerplandoelstellingen te ondersteunen.

VII. EVALUATIE Er bestaat een reglementaire dwang tot evaluatie. Het is goed dat leerkrachten onthouden dat een regelmatige rapportering aan ouders en leerlingen niet alleen een informerende, maar ook een aansporende waarde heeft. Zeker de toegewijde leerlingen - de anderen uiteraard ook - hebben een behoefte aan een regelmatige appreciatie van hun inspanningen, van de mondelinge en de schriftelijke uitdrukking van hun inzet en van hun gedrag. Evaluatie staat geenszins in functie van selectie, maar moet de leerling en zijn ouders inzicht bijbrengen over de studiegeest, het studeergedrag, de studie-inzet en de studiemogelijkheden van de leerling. Dit veronderstelt dat de commentaar bij de rapportering een duidelijke omschrijving moet geven van gedragsen vaktekorten van de leerling. Vanuit het remediëringsvoorstel moet de leerling duidelijk beseffen hoe hij zijn tekorten kan wegwerken. Remediëring moet erop gericht zijn dat de leerling en zijn ouders inzien dat de leerkracht de bedoeling heeft de leerling te ondersteunen in het wegwerken van zijn tekorten. Zo kan de leerling de minimumdoelstellingen van het leerplan bereiken op het einde van elk leerjaar en dus ook op het einde van elke graad. De evaluatie kan onder verschillende vormen plaats grijpen: beoordeling van het klaswerk, mondelinge en korte schriftelijke beurten, herhalingsbeurten en examens. Met het oog op een permanente evaluatie van de leerlingen is het aangeraden om, evenwichtig gespreid over het schooljaar en over de leerstof, een vijftien à twintig kortere beurten van maximum 10 minuten te houden. Korte schriftelijke beurten worden doorgaans niet aangekondigd. Herhalingsbeurten worden wel vooraf aangekondigd. Zij laten de leerlingen toe zichzelf te toetsen over de stand van zaken van hun vakkennis en over hun bevattingsvermogen inzake grotere leerstofdelen. Het is niet onwijs om per schooljaar, buiten de examens, een viertal herhalingsbeurten van één lestijd te houden. In de eerste graad worden aan de examens wiskunde per examenreeks vier lestijden besteed. Examens en herhalingsbeurten worden uiteraard door de school bewaard. Vermits ook de schriftelijke beurten invloed hebben op de algemene beoordeling van de leerling, worden deze eveneens bewaard tot na de definitieve eindbeslissing. Houd hierbij rekening met de termijnen van mogelijke beroepsprocedures. Evaluatie staat in nauw verband met de status questionis betreffende het bereiken van de leerplandoelstellingen door de leerling. Daarom moet bij elke evaluatievorm aandacht besteed worden aan de validiteit, aan de betrouwbaarheid en aan de efficiëntie ervan. Er moet dus getoetst worden naar kennis, naar inzicht en naar vaardigheden. Er moet gepeild worden naar relevante doelstellingen waarbij een duidelijk onderscheid gemaakt wordt tussen hoofdzaken en bijzaken. Uit de evaluatie moet ook blijken in welke mate een leerling de aangeleerde leerinhouden productief of alleen maar reproductief kan toepassen. Bij het opstellen van examenvragen moet aandacht besteed worden aan een concept van moeilijkheidsgraad. Er wordt niet verwacht dat alle leerlingen even hoog (of laag) scoren. Van de leerkracht wordt verwacht dat bij elke examenbundel een vragenreeks en een oplossingenschema is gevoegd. Uit dit schema moet duidelijk de puntenverdeling of de toekenning van de puntengewichten blijken.


pagina

45

VII. BIBLIOGRAFIE Onderstaande lijst bevat naast leerboeken ook naslagwerken waarin leerplandoelstellingen worden geïllustreerd. Deze werken kunnen bij het opstellen van de lessen een welgekomen hulp zijn. De list is niet limitatief.

Leerboeken Daems J.P. en Jennekens E. Argument De Sikkel, Malle, 1997 Apers G. en Platteaux P. Integraal (herwerkte uitgave) Novum, Deurne, 1997 Naslagwerken Aarssen C. e.a. Netwerk, Wiskunde stap voor stap, reeks Wolters-Noordhoff, Groningen, 1993 Berwaerts V.J. en Standaerd K. Welkom bij SI-VEC - SI-eenhedenstelsel Standaard Educatieve Uitgeverij, Antwerpen, 1995 Bonnefroid G., Daviaud D., Revranche B. Mathématiques Pythagore, reeks Didier Hatier, Paris, 1990 e.v. Bosteels G. Onze Horizon - Het leven der getallen Uitgeverij De Sikkel, Antwerpen, 1963 Blommaerts L., Tuyls S., Vits H., Willems R. Kwadrant Van In, Lier, 1997 Highland Het hoe en waarom boek van de wiskunde Zuid-Nederlandse Uitgeverij N.V., Antwerpen,1974 Kelfkens A. e.a. Getal en ruimte, reeks Educaboek b.v., Culemborg, 1983 Lowe Ian, Kissane Barry, Willis Sue Access to Algebra Book 1-2 Rhonda Idezak, Curriculum Corporation, Carlton Vic, Australia, 1963 Meeuwissen A., Vancleef R., Van Duffel L. Wisx Van In, Lier, 1997 National Concil of Theachers of Mathematics Standards for School Mathematics NCTM inc. Reston - Virgina 22091 - USA, 1989 Eerste graad - leerplan wiskunde

pagina

46

Polya G. How to solve it Pinguinbooks, London, 1990 Tissot B. Comprendre géometrie, reeks Didier Hatier, Paris, 1990 e.v. Van Bodengraven D. e.a. Wiskundelijn, reeks J. Dijkstra, Groningen Van den Broek Leon e.a. De Wageningse Methode Educaboek b.v., Culemborg, 1985 Van Dieren-Thomas F. et Groupe d’Enseignement Mathématique (GEM) De Question en Question Mathématiques, reeks Uitgeverij Didier Hatier, Brussel, 1993 e.v. Tijdschriften Euclides (tijdschrift) p/a Elly van Bemmel-Hendricks, De Schalm 19, NL 8251 LB Dronten Mathématique et pedagogie, SBPM-Infor et Math-Jeunes (tijdschriften) p/a SBPMef, rue de Trazegnies 87, 6320 Pont-à-Celles Uitwiskeling (tijdschrift) p/a Hilde Eggermont, Celestijnenlaan 220B, 3001 Heverlee Wiskunde en onderwijs (tijdschrift) p/a De Baere A., C. Huysmanslaan 60/4, 2020 Antwerpen 2


pagina

47

Educatieve uitgeverijen De Garve Groene poortdreef 27, 8200 St. Michiels Brugge 050 / 331235 De sikkel Nijverheidsstraat 8, 2390 Malle 03 / 3091330 De Gulden Engel Vrijheidsstraat 33, 2000 Antwerpen 03 / 2380893 Die Keure Oude Gentweg 108, 8000 Brugge 050 / 331235 IMM Laborslei 114, 2100 Deurne 03 / 3258700 Novum Santvoortbeeklaan 21-25, 2500 Deurne 03 / 3600411 Pelckmans Uitgeverij N.V. Kapelsestraat 222, 2950 Kapellen 03 / 6645320 Plantijn Santvoortbeeklaan 21-25, 2500 Deurne 03 / 3600411 Standaard Educatieve Uitgeverij Belgiëlei 147A, 2018 Antwerpen 03 / 2395900 Van In Grote markt 39, 2500 Lier 03 / 4805511 Wolters Santvoortbeeklaan 21-25, 2500 Deurne 03 / 3600411


pagina

48

IX.

INHOUD pagina

I.

Visie op het vak ...............................................................................................................

2

II.

Lessentabellen ...............................................................................................................

3

Eerste graad - eerste leerjaar A .....................................................................................

3

Eerste graad - tweede leerjaar .......................................................................................

4

Beginsituatie ...................................................................................................................

5

IV. Doelstellingen .................................................................................................................

6

1. Algemene doelstellingen ............................................................................................

6

2. Vakoverschrijdende doelstellingen .............................................................................

6

3. Leerplandoelstellingen ...............................................................................................

8

III.

V.

Leerinhouden en pedagogisch-didactische wenken en didactische middelen ................ 12 A. Eerste leerjaar A ........................................................................................................

13

a. Getallenleer ................................................................................................................

13

b. Meetkunde ..................................................................................................................

20

c. Aanbevolen spreiding van de leerstof ........................................................................

33

B. Tweede leerjaar van de eerste graad ........................................................................

34

a. Getallenleer ................................................................................................................

34

b. Meetkunde ..................................................................................................................

39

c. Aanbevolen spreiding van de leerstof ........................................................................

44

VI. Minimale materiële vereisten ..........................................................................................

45

VII. Evaluatie .........................................................................................................................

45

VIII. Bibliografie ......................................................................................................................

46

IX. Inhoud .............................................................................................................................

49


pagina

49

EERSTE GRAAD EERSTE LEERJAAR A

Recommend Documents