Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 1 Getallenleer

Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom

Deel 1 Getallenleer Sessie 3

Begeleiding wiskunde Leerplancommissie wiskunde VVKSO Stuurgroep Hilde De Maesschalck, Maggy Van Hoof, Philip Bogaert, Michel Bogaerts, Geert Delaleeuw, Luc Gheysens, Andre Van der Spiegel, Johan Waterschoot Schooljaar 2005-2006

Actualisering leerplan eerste graad

-

Deel getallenleer: vraagstukken

1

Sessie 3: Probleemoplossende vaardigheden Wiskundevorming vandaag 1

Schema basisonderwijs

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02, 3 Wiskundige activiteit in het basisonderwijs Pag. 13 & 14. Wiskunde levert een aantal middelen om verschijnselen uit onze leefwereld te begrijpen, te beschrijven, te verklaren en te beheersen. … Bekijken we even welke activiteiten iemand ontplooit als hij in de realiteit een situatie wiskundig benadert. … Wie een situatie wiskundig benadert, moet ze eerst analyseren. Hij probeert zich de essentiële elementen en relaties uit de situatie voor te stellen. … Daarna wordt een wiskundig model gekozen of ontwikkeld waarin de essentiële elementen en relaties op passende wijze vervat zijn. … Eenmaal iemand het wiskundige model gekozen of ontwikkeld heeft, past hij binnen dat model allerlei wiskundige technieken toe: doortellen, cijferen, meten, construeren. Die technieken leiden tot een of meer resultaten zoals een hoeveelheidaanduiding, een som, een maat, een figuur. … Ten slotte worden de resultaten op verschillende manieren gecontroleerd (bijv. heb ik het juiste model gebruikt, maakte ik geen fout bij de berekeningen?) en geïnterpreteerd (bijv. een betekenis aan het resultaat geven. Is dat resultaat mogelijk in de gegeven situatie). Schematisch

h analyseren

situatie

wiskundig model opbouwen, kiezen

i

j

interpreteren controleren

wiskundige technieken toepassen

g

2


-


Kinderen moeten leren situaties een wiskundige vorm te geven. …. Daarvoor moeten ze wiskundige modellen kennen. Dat betekent onder meer dat ze de situatie moeten leren onderzoeken, analyseren, schematiseren, hypothesen formuleren. Kinderen moeten hun kennis in reële toepassingssituaties leren gebruiken. Omgekeerd moeten ze hun resultaat terug kunnen plaatsen in de oorspronkelijke situatie. Dat houdt onder meer in dat ze hun resultaat controleren en interpreteren. De activiteiten bij die twee bewegingen bevinden zich vooral in de linkerhelft van het schema hiervoor. Ze zijn slechts mogelijk wanneer de wiskundekennis voldoende breed onderbouwd is. Wanneer mensen wiskunde beoefenen, gebruiken ze het wiskundige systeem. Daartoe behoren begrippen, symbolen, afspraken, formules, procedures, wetten, regels en verbanden. In het lager onderwijs moeten kinderen enig zicht krijgen op de samenhang van dat wiskundige systeem en moeten ze er vaardig mee leren omgaan. Daartoe moeten ze ervaringen opdoen met allerlei wiskundige denkactiviteiten binnen dat systeem. Denk maar aan selecteren, ordenen, verbanden leggen, abstraheren, formuleren, berekenen, schatten, kennis organiseren, verklaren, verantwoorden en reflecteren. Die activiteiten bevinden zich vooral in de rechterhelft van het schema hierboven.

2

Schema secundair onderwijs

Uit het leerplan wiskunde eerste graad, pag. 10. Wiskunde Wiskunde biedt middelen tot het begrijpen, het beschrijven, het verklaren en eventueel het beheersen van systemen uit onze omgeving. Het gaat in het bijzonder om natuurverschijnselen (bijv. in de natuurwetenschappen), om technische realisaties (zoals automatiseringsprocessen) en om menselijke relaties (bijv. het gebruik van statistische gegevens in de economie en in de brede informatiestroom in de media). Een kenmerk van wiskunde is het creëren van modellen voor die beschrijving. De mathematisering van een situatie of een probleem betekent dat, na analyse en kwantificering, een wiskundig model (bijv. evenredigheden, vergelijkingen, stelsels, ...) wordt gevonden, waarin de situatie of het probleem kan beschreven worden. De bijbehorende oplossingstechnieken kunnen tot een effectieve oplossing leiden. Een ander kenmerk is het steeds verder ordenen en organiseren van de verworven inzichten in samenhangende schema's en systemen. Van nieuwe vaststellingen wordt geprobeerd ze te verbinden met of te verantwoorden vanuit de bestaande systemen. We kunnen de wiskundeontwikkeling dus als volgt beschrijven. Situatie in de leefwereld leiden tot problemen, vragen …. Voor zo’n probleem wil men een oplossing. Daarbij wordt vaak ook de vraag gesteld naar de realiteitswaarde en de waarschijnlijkheid van die oplossing. Een aantal van deze problemen zijn wiskundig stelbaar. Dat betekent dat er binnen de wiskunde een model kan gevonden of geconstrueerd worden, waarmee de situatie en het probleem kan beschreven worden (bijv. een verband dat met bewerkingen is uit te drukken, een vergelijking, een evenredigheid, een stelsel, een meetkundige situatie, …). Het probleem is nu een wiskundig probleem. Dit is de fase van het mathematiseren. Belangrijk in de wiskundevorming is de wiskundige begrippen te verbinden met betekenisvolle situaties. Zo zal men ze bij een oplossingsproces ook vlot herkennen en kunnen inzetten.


-


3

Het toepassen van technieken die in de wiskunde zijn uitgewerkt, kan leiden tot een wiskundige oplossing (uitvoeren van de bewerking; oplossen van de vergelijking, het stelsel; bepalen van de onderlinge ligging; argumenteren van een gelijkheid, …). De wiskundige oplossing moet nu geïnterpreteerd worden, dat wil zeggen dat ze terug in de context van de situatie moeten bekeken worden. Niet elke wiskundige oplossing is noodzakelijk een oplossing in de realiteit en voldoet dus als antwoord. Dit is de fase van het demathematiseren. Doorheen het hele proces is het belangrijk voortdurend een controlerende houding aan te nemen. Wordt het adequate model gekozen, moet men niet te veel beperkingen invoeren daarbij, past men de rekentechnieken correct toe, heeft men oog voor de beginvoorwaarden, de bestaanvoorwaarden …. Naast deze kring van de “wiskundegebruiker”, die model staat voor een probleemoplossingsproces, groeit geleidelijk de noodzaak aan inzicht in de samenhang van de gebruikte wiskundekennis. Met andere woorden, enerzijds, hoe functioneren de modellen, wanneer zijn ze toepasbaar, welke bestaansvoorwaarden zijn er, verantwoording van de technieken … , anderzijds, hoe kan de wiskundekennis geordend en gestructureerd worden zodat ze gemakkelijk toegankelijk is, kunnen methoden, technieken, regels ... verantwoord worden tegen de achtergrond van een vaste basiskennis, hoe kan verdere wiskundekennis ontwikkeld worden …. Schematisch Werkelijkheidsgebied Leefwereld

Probleem

Model Analyseren Mathematiseren Ordenen Verantwoorden Creëren

?

Wiskunde theorie

Berekenen Interpreteren Controleren

Oplossing

Behandelingstechnieken

Behandelingstechnologie Uit deze beschrijving volgt dat het aanpakken van problemen een essentieel onderdeel is van wiskunde en wiskundevorming. Zowel als doelstelling op zich, met name het verwerven van probleemoplossende vaardigheden die ook transfereerbaar zijn naar andere kennisgebieden, als bij de ontwikkeling van wiskundige begrippen zelf zijn betekenisvolle probleemsituaties belangrijk. Dat betekent evenwel niet dat kennisontwikkeling, technische vaardigheid of theorievorming niet belangrijk meer zijn. Integendeel, wil het mathematiseringproces goed functioneren zijn ze essentieel. Anderzijds, wat ben je met een hele boel kennis of techniek als die in de praktijk niet functioneert.

4


-


Het proces van probleemaanpak In deze tekst willen we het begrip ‘probleem’ zo ruim mogelijk situeren. We houden het uiteraard binnen de context van wiskunde. Het vervangen van een platgelopen autoband zal voor sommigen wellicht een “probleem” zijn, en tot een uitgebreid probleemoplossingsproces leiden, maar dit is niet meteen het onderwerp van wiskunde. We willen ‘probleem’ dus ruimer zien dan het klassieke ‘schoolvraagstuk’. Prof. Lieven Verschaffel (KUL) omschrijft dit laatste als “een kernachtige tekstuele beschrijving van een situatie waarin een aantal kwantiteiten gegeven zijn en waarin de oplosser een onbekende kwantiteit moet identificeren via een of meerdere wiskundige operaties met de gegeven getallen in de tekst.” In deze tekst willen we ook ruimte laten voor meer open gestelde problemen. Het vraagstuk is traditioneel nogal verbonden met gesloten formuleringen en eenduidige oplossingen. Dit is onterecht. We willen dus ook ‘vraagstukken’ aan bod zien komen met te veel gegevens, te weinig gegevens, met gegevens in tabelvorm, in grafische vorm, … We denken ook aan ‘vraagstukken’ waarbij leerlingen zelf een vraag bij de situatie moeten stellen. We willen ‘vraagstukken’ waarbij patronen moeten voortgezet worden, waarbij formules moeten opgesteld worden, waarbij dus niet alleen kwantitatieve grootheden aan bod komen. Ook meetkundige problemen zijn dus mogelijk. Binnen deze derde sessie zal de meetkunde en vooral het metend rekenen eerder als toevallige context aanwezig zijn. In een van de volgende sessies wordt specifiek aandacht besteed aan meer meetkundige problemen. Schoolvraagstukken zijn voor vele leerlingen niet meteen echte realistische ‘problemen’, in de psychologische betekenis van het woord. Toch willen we de verbinding met ‘probleem’ behouden. Het systematisch leren aanpakken en oplossen van wiskundige problemen (vraagstukken) heeft een belangrijke transferwaarde naar andere vak- en leergebieden. Wat dan weer niet betekent dat probleemoplossende vaardigheden uitsluitend via wiskunde zouden kunnen verworven worden. Zo is het zinvol bij de reflectiefase (zie verder) met leerlingen te zoeken naar gelijkenissen of verschillen met en veralgemeningen van elders aangeleerde vaardigheden.

1

Vijf houdingen of fasen bij het aanpakken van een probleem

Het oplossingsproces van een probleem is vaak een complex proces. We gaan ervan uit dat het om een echt probleem gaat. We beschouwen hier dus even niet de oefenprocessen die aan leerlingen worden aangeboden om een bepaalde methodiek of standaardwerkwijze te verwerven. Die zijn uiteraard belangrijk in het leerproces om inzicht in de methodiek zelf te verwerven, maar verlopen meestal volgens een standaardprocedure: zoek de elementen van de methode (van het modelvraagstuk) in de situatie of de opgave. Leerlingen verwerven hierdoor een zekere vaardigheid in de methodiek, die belangrijk is als herkenningsbasis binnen het exploratieproces (zie verder). Bij een oplossingsproces wordt over het algemeen een onderscheid gemaakt tussen vijf belangrijke houdingen (of fasen). Daarbij gaat het niet meteen om afgescheiden of opeenvolgende fasen. Veeleer zal geregeld gewisseld worden tussen de verschillende houdingen of fasen en zal men geregeld terugkomen naar een vorige fase van het proces (bijv. om een bepaald aspect te verduidelijken, te verhelderen, terug te koppelen). -

Een eerste houding is die van het exploreren van de situatie. Dit kan zowel in een concrete of praktische probleemsituatie die men wil onderzoeken, als in de situatie van een opgegeven opdracht. Doel is de situatie en het probleem goed te begrijpen. Probleemoplossing begint dus met een goede probleemstelling. In een praktische situatie zal men zoveel mogelijk relevante informatie proberen te verzamelen. En zal men het probleem inzichtelijk trachten te vatten. Daarbij gaat het om het begrijpen van de opdracht, het verstaan van alle (wiskundige) begrippen, het begrijpen van de feitelijke samenhang (die bijvoorbeeld kan ontleend zijn aan andere


-


5

vakken), het openleggen van verborgen informatie (bijv. de achterliggende kennis van de context waarbinnen het probleem gesteld wordt). In de eerste graad zal hier voor een aantal leer- en /of taalzwakke leerlingen specifiek aandacht moeten besteed worden aan het toelichten van de “taal”. Belangrijk hierbij is aan te sluiten bij een globale aanpak van deze problematiek, dus in overleg met taalleraren en/of leraren van zaakvakken. Voor bijkomende informatie over een taalgerichte vakaanpak en inzicht in het talige proces: http://www.fi.uu.nl/wisbaak/docent/welcome.html Begrijpen betekent ook dat de mogelijk nuttige informatie wordt onderscheiden van overbodige informatie (cf. vraagstukken met teveel gegevens). Hiervoor kan men een overzicht maken van wat allemaal als gegeven in aanmerking komt. Daarbij kan men al oog hebben voor de vorm van input van de gegevens, bijvoorbeeld af te lezen uit een tabel, een grafiek, een diagram …. Vaak zal men hier al een eerste tekening of een schematische voorstelling maken, bijvoorbeeld om de samenhang tussen gegevens en gegevens en vraag te analyseren. Men zal ook de vraag zo duidelijk mogelijk omschrijven, desnoods al begrenzen (d.w.z. dat men ook op zoek gaat naar beperkende voorwaarden). Soms wordt bij de vraag ook al een vorm van output voorop gesteld: bijv. als men naar een tabel, een grafiek of een diagram vraagt. Een zinvolle werkwijze om het inzicht te testen is het vertalen, vertolken in eigen woorden van de probleemstelling. -

In een tweede fase volgt de mathematisering. Dat betekent dat de situatie onder wiskunde gebracht wordt (vergelijk met ‘onder woorden brengen’). De situatie wordt wiskundig vertolkt. Dit loopt vaak echter niet van een leien dakje. Dit proces verloopt vaak in een wisselwerking tussen exploratie en mathematisering. Hier komt de beschikbare heuristiek aan bod, bijvoorbeeld: -

het maken van een tekening om de situatie en de samenhang te verduidelijken; het formuleren van een (werk)hypothese of vermoeden, al enigszins rekening houdend met de vastgestelde wiskundige relaties; het onderzoeken van bijzondere of extreme gevallen (bijv. randvoorwaarden); een vermoeden een eerste maal toetsen op getallenvoorbeelden; het zoeken van een patroon in de situatie (bijv. bij bewerkingen, bij reeksen gegevens, bij figuren); het gebruik van symmetrie in de situatie (cf. meetkundeproblemen); het systematisch oplijsten van informatie (gebruik van een tabel van gegevens); de omgekeerde redenering opzetten (bijv. van achter naar voor werken); het herformuleren van het (wiskundig) probleem; het eerst oplossen van een gemakkelijker (equivalent) probleem; het formuleren van deelproblemen; bijvoorbeeld door het constant houden van bepaalde veranderlijken; ….

Bijlage 4

Heuristiek

Bijkomende Problem solving informatie in Uitwiskeling, jaargang 22, nummer 1 (december 2005). Leerlingen zullen deze heuristiek maar opbouwen doorheen de aanpak van vele problemen, en in een geleidelijk proces, waarbij de succeservaring bij de aanpak hen vertrouwen geeft in die aanpak. Studies tonen aan dat een beperkte gerichte oefening van veelgebruikte zoekstrategieën leerlingen voordeel biedt.

6


-


In dit proces wordt de vorm van het wiskundige model duidelijker. D.w.z. welke wiskundige kennis kan gebruikt worden om de samenhang te vertolken? Gaat het om een bewerking tussen getallen, een vergelijking, een evenredigheid, een meetkundige situatie …. Deze fase resulteert in het formuleren van het aangegeven probleem als een wiskundig probleem. Het probleem wordt vertolkt in een wiskundige probleemstelling. Bij de fase van het mathematiseren hoort het opstellen van een werkschema of werkplan om op een gecontroleerde wijze de verschillende denkstappen uit te voeren. M.a.w. welke wiskundige bewerkingen, stappen moeten uitgevoerd worden om tot een oplossing te komen. -

In de derde fase volgt dan het effectief uitvoeren van de geplande wiskundige handelingen die nodig zijn om tot een oplossing van het wiskundig gestelde probleem te komen. Belangrijk hierbij is de keuze van de wijze waarop het resultaat berekend (bekomen) wordt. In vele gevallen zal men een rekenmachine of software hanteren om de effectieve berekeningen uit te voeren. Bij een meetkundig probleem kan dit leiden tot het effectief uitvoeren van een constructie, tot het argumenteren van de samenhang of de geformuleerde hypothese of tot het netjes uitschrijven van een bewijs. Deze fase leidt dus tot een wiskundig antwoord op het wiskundige probleem.

-

In de vierde fase zal men de wiskundige oplossing demathematiseren. Dat betekent dat de wiskundige oplossing terug in de probleemcontext wordt gebracht en getoetst op haalbaarheid en realiteitswaarde. Het resultaat wordt dus geïnterpreteerd. - Bijvoorbeeld in het geval van een vraag naar ‘aantallen’ (bussen, paarden, werklieden ….) zal het wiskundige resultaat (bijv. 4,6) moeten afgerond of opgerond worden. - Bij een berekende rentevoet of interest zal het wiskundige resultaat aan de realiteit van wat haalbaar is in de sector getoetst worden. - Als een probleemstelling naar een grootteorde vraagt, zal men een afgerond getal als eindresultaat verkiezen (bijv. een beredeneerde schatting van het aantal betogers dat aan een bepaald punt voorbij komt, moet niet tot op de eenheid worden uitgedrukt). - De snelheid van een auto voor een bepaald traject zal ook getoetst worden aan de ethische verantwoordelijkheid. (Bijv. een snelheid van 150 km per uur voor een traject naar Zuid-Frankrijk is niet aanvaardbaar. Het vraagstuk heeft dan geen oplossing!? Er moet wellicht gesleuteld worden aan de beperkende randvoorwaarden.) De interpretatie van het resultaat houdt meteen al een reflectie op de oplossing van het probleem in: “Is de gevonden oplossing effectief een oplossing voor het gestelde probleem?” Het gaat dus om meer dan een wiskundige proef op de som, die vaak ook maar slechts binnen de wiskundig gestelde situatie wordt uitgevoerd. Dit kan eventueel leiden tot de bijstelling van de probleemstelling, de wijziging van de wiskundige vertolking, het aanscherpen van de randvoorwaarden … en dus tot het heroplossen van het probleem.

-

Vijfde houding, en niet zozeer als afzonderlijke of laatste fase te begrijpen, is die van het gecontroleerde uitvoeren. Vaak wordt deze verbonden met een proef (meestal wiskundige proef op het einde van het proces). Die is zeker zinvol. Maar de controlerende houding in het uitvoeren moet al veel eerder aan bod komen in het proces. Die controlerende houding moet aanwezig zijn in alle fasen van het proces: - bij het analyseren,


-

-


7

hebben we geen informatie over het hoofd gezien, hebben we de juiste informatie opgezocht, beschikken we over voldoende gegevens; bij het mathematiseren, is de relatie duidelijk vertaald, vergeet men niet dat men bijkomende condities heeft opgelegd om het probleem haalbaar te maken…; bij het berekenen, werden de wiskundige procedures juist uitgevoerd, werd een foutencontrole en proef uitgevoerd …; bij de demathematisering, zijn de voorwaarden terug ingebracht ….

Schematisch overzicht van een wiskundig oplossingsproces met de belangrijkste karakteristieken van de verschillende fasen. -

De fase van het exploreren van de opdracht. -

-

De fase van de mathematisering. -

-

-

Het opstellen van het juiste wiskundeverband. Het stapsgewijze wiskundig oplossen. Het respecteren van rekenregels. Het opvangen van rekenproblemen. Het gebruik van rekenproeven. Het adequaat aanwenden van rekenhulpmiddelen (zoals rekenmachine, software). Het gecontroleerd terugkijken op de werkwijze (zowel de probleemstelling, als de uitvoering en de berekeningen). Het onderzoeken van de waarschijnlijkheid van een resultaat . De interpretatie van de wiskundige oplossing in de context (demathematiseren). Het duidelijk formuleren van een antwoord.

De fase van het reflecterend terugkijken. -

2

vastleggen van gegevens, vraag. vastleggen van de relaties tussen gegeven en vraag. opzoeken van bijkomende informatie (bijv. ontbrekende gegevens). gebruik van wiskundige kennisschema’s (bijv. formularium, vademecum). gebruik van wiskundige simulatie (ICT) om een vermoeden te verifiëren.

De fase van het formuleren van een oplossing. -

-

Het Het Het Het Het

De fase van de wiskundige verwerking. -

-

Het zich eigen maken van de opdracht. Het uitzoeken van de context. Het gebruik van taalvaardigheid bij analyse van de tekst. Het representeren van het probleem (bijv. bij meetkunde). Het transformeren van het probleem (als zinvol, bijv. deelprobleem, analoog probleem, beperking probleemstelling). Het uitzetten van een plan (als zinvol).

De evaluatie van de gehanteerde werkwijze. Het formuleren van werkpunten ten aanzien van de verbetering van de voorgaande fasen, bijv. het verbeteren van de gehanteerde kennisschema’s, het remediëren van rekenproblemen.

Didactisch proces van probleemoplossende vaardigheden

Het kunnen oplossen van problemen is een belangrijke troef voor het verdere leven, zowel maatschappelijk als beroepsmatig. De leerlingen kunnen in de wiskundevorming bij het aanpakken van problemen, in het bijzonder het oplossen van vraagstukken, belang-

8


-


rijke probleemoplossende vaardigheden verwerven. Wiskunde leent zich daar uitstekend toe, omdat enerzijds probleemoplossende vaardigheden zichtbaar worden in eenvoudige, heldere situaties. Anderzijds biedt wiskunde de gelegenheid om trapsgewijze de moeilijkheidsgraad in het proces op te voeren. Het biedt de mogelijkheid tot het aanbieden van echte probleemsituaties, zonder dat de complexiteit tot ontmoediging moet leiden. De leerlingen van de eerste graad zijn nog geen doorgedreven probleemoplossers, m.a.w. ze maken nog een leerproces door. Wiskundelessen geven voortdurend de kans om de leerlingen precies in dergelijke didactische leerprocessen te brengen. Het arsenaal aan vraagstukken maakt het mogelijk elke leerling een geschikte uitdaging te bieden. Een gedifferentieerde aanpak is dus aangewezen. Leerlingen leren meer dan hoe concreet de oplossing berekenen bij een probleem. Ze worden vertrouwd met de verschillende denkstappen, het gebruik van heuristiek, werkwijzen en attitudes binnen een proces van probleemaanpak. De klemtoon ligt op het inzicht in hoe men een oplossingproces aanpakt, welke stappen men zet, welke heuristiek men kan hanteren, wat het resultaat is van de reflectie op de oplossingswijze. Een aantal tips bij deze processen. -

Probleemoplosser wordt men niet vanzelfsprekend en niet zonder inspanning. Je leert door ervaring. Leerlingen moeten geregeld problemen te verwerken krijgen. Dat betekent concreet dat ze gedurende het ganse schooljaar problemen en vraagstukken aangeboden krijgen en niet slechts als toepassing op het hoofdstuk vergelijkingen.

-

Men zal in de beginfase de denkstappen niet te groot maken. Een begeleide aanpak met succeservaring is wenselijk om demotivatie tegen te gaan. Het heeft dus geen zin van de leerlingen meteen te confronteren met zeer complexe problemen. Een leerlijn waarbij men uitgaat van beperkte haalbare opdrachten als toepassing binnen de gekende inhouden (en beschikbare modellen) en die uitgroeit naar ruimere en meer open opdrachten is aangewezen. De moeilijkheidsgraad van vraagstukken kan afgewogen worden aan een aantal elementen. -

Complexiteit naar tekstniveau en semantische structuur: van enkelvoudige zinnen naar samengestelde zinnen; het gebruik van (wiskundige) kernwoorden en sleutelwoorden (let wel, samen wijst niet altijd naar de optelling als uit te voeren bewerking, minder verwijst niet altijd naar een aftrekking); van duidelijk gegeven informatie naar meer omschreven of niet geëxpliciteerde informatie.

-

Complexiteit van de organisatie van de gegevens: hoeveelheid gegevens, bijvoorbeeld van alle gegevens zijn voorhanden over gegevens te veel tot gegevens te weinig; aanbiedingsvorm van gegevens, bijvoorbeeld van gegevens in zinsverband tot gegevens verwerkt in tabellen en grafieken.

-

Complexiteit bij de vraagstelling: de plaats van de vraag in de structuur van het vraagstuk (bijv. duidelijk achteraan of verweven in de zinnen met gegevens); van eenduidige vraagstelling tot getrapte meervoudige vragen; van gesloten vragen naar open vragen; en het zelf stellen van vragen bij een situatie.

-

Complexiteit van de wiskundige structuur: De aard en de grootte van de gebruikte getallen en de soort bewerking (bijv. al of niet met breuken), zie ook de beheersingsniveaus bij getallenleer (sessie 1); de aard en de vertrouwdheid van het wiskundige model (een berekening van een oppervlakte, een inhoud, een procent, een schaalberekening zijn voor


-

-

-


9

leerlingen vaak eenvoudiger dan vraagstukken met tabellen en diagrammen; het vinden van een formule of een functievoorschrift als veralgemening van een herkend patroon is moeilijker dan het opstellen van een vergelijking); van ingeklede bewerkingen tot echte problemen.

Complexiteit van de situatie of de context: een duidelijk omschreven situatie binnen de kennis van de leerlingen, en complexiteit van die situatie; een duidelijk omschreven situatie waarbij randkennis noodzakelijk is; meer realistische vragen uit de leefwereld, het beroepenveld of over maatschappelijke problemen (in hoeverre kan de leerling zich de situatie “voorstellen”).

De leerlingen moeten in deze aanpak de leraar kunnen ervaren als probleemoplosser. Dat wil zeggen dat de leraar zijn denkstappen transparant maakt voor de leerlingen, met inbegrip van het gissen en missen, het uitproberen, het zoekend onder woorden brengen … Als de leraar zelf heuristiek hanteert, zal die werkwijze becommentarieerd worden. Vooral leerzwakkere leerlingen zullen baat hebben bij het ‘voordoen’ van de leraar en het ‘meedenken’ (via het leergesprek met vele kleine vraagjes) van de leerling zelf. Toch mag een les vraagstukken niet te herleiden zijn tot het inoefenen van een vooraf uitgelegde typewerkwijze. Leerlingen die echt zwak zijn, zal men alleszins een aantal standaardprocedures leren gebruiken, in de hoop dat ze die achteraf ook flexibel zullen inschakelen.

-

Het is zinvol leerlingen te confronteren met meerdere oplossingen en oplossingswegen van een probleem. Zeker bij open problemen is dat het geval. Als leerlingen aan elkaar hun oplossingsweg uitleggen, leren ze niet alleen de werkwijze van anderen waarderen, (zijn ze eventueel bereid af te stappen van hun oplossingsweg), maar leren ze ook kritisch staan tegenover hun eigen oplossing en die van anderen kritisch bevragen. Dit is een belangrijke vaardigheid die hen later in de beroepspraktijk nog vele voordelen zal opleveren.

-

In dit leerproces komen dus niet alleen inhoudelijke aspecten aan bod, maar ook het gebruik van vaardigheden en het toepassen van attitudes. Doorheen dergelijk proces kunnen ze heel wat aan vertrouwen winnen. Succeservaring wekt vertrouwen in het eigen kunnen. Vat krijgen op hun probleemaanpak en hun vaardigheid daarin, zal hen motiveren om verdere problemen aan te pakken, en wellicht op een meer systematische wijze. Bij leerlingen met leerproblemen en/of leerstoornissen kan overwogen worden hen op aangepaste wijze tegemoet te komen in de exploratiefase (voorlezen van de tekst, lettertype en –grootte). Voor leerlingen met een andere culturele achtergrond kan bijkomende taalhulp voorzien worden, bijv. vertaling, verklaring van begrippen, situaties. Vermits leerlingen hier vaak individueel of in groep kunnen werken kan hier extra aandacht van de leraar geboden worden. Anderzijds bieden vraagstukken een goed moment om een deel van die culturele bagage te verwerven.

-

Een aantal leerlingen heeft vanuit de basisschool een frisse weerzin tegen vraagstukken overgehouden. Wellicht heeft dit te maken met een rekenvaardigheid die tekort schoot bij de uitvoering of met een slecht functioneren van de inhoudelijke kennis. Daardoor kunnen ze wiskundige begrippen niet gemakkelijk verbinden met betekenisvolle situaties of kunnen ze moeilijk verbanden leggen tussen de beschreven probleemsituaties en hun wiskundige kennis. Een geleidelijke opbouw via haalbare en motiverende problemen en duidelijke betekenisgeving van wiskundebegrippen is hierbij belangrijk. Leerlingen die zwak scoren bij vraagstukken krijgen best een aangepaste aanpak via een gedifferentieerde aanpak. Doel blijft het verwerven van probleemoplossende vaardigheden op een zo breed mogelijke basis. Ze hebben een ruime transfer op an-

10


-


dere vakgebieden, het maatschappelijk functioneren, of het toepassen ervan in beroepsgebonden probleemsituaties. Dat betekent dat de in wiskunde geleerde vaardigheden met enige aanpassing renderen in allerlei andere niet wiskundegebonden situaties. Gevolg hiervan is dat er niet zoiets bestaat als een “elementair beheersingsniveau” (zie verder). Ingeklede bewerkingen kunnen als elementair aangezien worden, maar volstaan niet om de doelstellingen over probleemoplossende vaardigheden te realiseren. Een geleidelijke groei is dus wenselijk. Leerlingen die sterk scoren voor probleemaanpak hebben aan deze geleidelijke aanpak geen uitdaging meer. Een gedifferentieerde aanpak die hen hier alle kansen op ontwikkeling biedt, is hier dus meer dan aangewezen. -

Het voorgaande leidt dus tot een reflectie op het oplossingsproces, dat er in deze didactische leersituatie inherent mee verbonden moet zijn. Leerlingen leren stilstaan bij de eigen aanpak van het probleem, en welke elementen hierin op leerniveau kunnen opgenomen worden. In het leerproces ging het er dus niet alleen om dat ze een oplossing voor een probleem zouden vinden, maar ook, en wellicht vooral, dat ze inzicht verwerven in hun manier van aanpakken en van leren. Voorbeelden van reflectieve vraagjes: -

Wat wilde ik precies bereiken? Hoe is het proces concreet verlopen? Hoe kijk ik zelf terug op het proces? Hoe was de reactie van anderen? - Welke problemen deden zich effectief voor en hoe kan ik dit positief omschrijven? - Welke oplossingen, alternatieven zijn er? Welke voordelen en nadelen zie ik al? - Hoe stuur ik mijn kennis, mijn vaardigheden en attitudes, mijn leervaardigheden bij vanuit deze ervaring? Uiteindelijk zullen de leerlingen zich deze vragen zelf moeten stellen, ook in hun latere werksituaties. Ze kunnen daar nu al mee geconfronteerd worden en het geleidelijk aan verwerven. Dergelijke reflectie kan bij leerlingen leiden tot bijvoorbeeld -

het inzicht dat de beschikbare kennis beter of anders moet geordend worden, dat denkschema’s opgesteld worden waardoor die kennis vlotter toegankelijk is, dat werkschema’s worden gemaakt voor het gebruik van de bepaalde werkwijzen (vaardigheden), - dat gemotiveerd gewerkt wordt aan een training van vaardigheden… m.a.w. dat leerlingen zelf meer verantwoordelijkheid voor hun leren opnemen.

Tenslotte is het belangrijk dat ze feedback krijgen over het proces. Dat houdt dus ondermeer in de feedback vanuit de bespreking van verschillende oplossingwijzen, het vergelijken van aanpakplannen, de terugkoppeling van anderen op hun oplossing, de eigen reflectiemomenten en ook de terugkoppeling van de leraar die het hele proces heeft geobserveerd.


-

11


Vraagstukken in de basisschool 1

Leerplan van de basisschool

De leerlingen worden in de basisschool al sinds mensenheugenis geconfronteerd met vraagstukken. Ook in de recente leerplanwijziging neemt het onderdeel vraagstukken een ruim deel van de leertijd in. Elk leerdomein (Getallenkennis, Bewerkingen, Meten en metend rekenen, Meetkunde) sluit af met een onderdeel toepassingen, waarin vraagstukken hun plaats krijgen. In het onderdeel “Bewerkingen” wordt ook nog ingegaan op verschillende vormen van vraagstukken: - enkelvoudige vraagstukken (cf. ingeklede bewerkingen), - samengestelde vraagstukken, - vraagstukken op verhoudingen, op percentage, - vraagstukken op gemiddelde, - vraagstukken op ongelijke verdeling, - vraagstukken op bruto, netto, tarra. Daarmee komen een aantal modelaanpakken van traditionele problemen ter sprake. Toch mag de verwerking van dit onderdeel niet traditioneel genoemd worden. Het leerplan basisonderwijs opent zeer ruime perspectieven op het verwerven van probleemoplossende vaardigheden. Het leerplan propageert heel duidelijk een gedurfde didactische aanpak, waarbij het zoeken van de leerlingen zelf centraal staat. Probleemoplossend denken krijgt ook een afzonderlijke rubriek in het leerplan: de domeinoverschrijdende doelen. Meteen is duidelijk dat in het onderdeel vraagstukken veel meer doelstellingen worden gerealiseerd dan het louter toepassen van inhoudelijke kennis. Het maakt van vraagstukken een wezenlijk onderdeel van de wiskundevorming van de basisschool.

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02, 1.2.12 Toepassingen, pag. 44 – 45 2.2.7 Toepassingen, pag. 57 – 58 3.2.4 Toepassingen, pag. 70 – 71 4.2.4 Toepassingen, pag. 79 - 80. 2.2.7 Toepassingen 1 B49

Enkelvoudige vraagstukken oplossen over optellen en aftrekken in verschillende situaties met: A) natuurlijke getallen B) breuken C) kommagetallen

B50

Enkelvoudige vraagstukken oplossen over vermenigvuldigen en delen in verschillende situaties met A) natuurlijke getallen B) breuken C) kommagetallen

B51

Samengestelde vraagstukken oplossen over optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met A) natuurlijke getallen B) breuken C) kommagetallen

2

3

4

5

6

12


-


B52

De meest geschikte rekenwijze kiezen (cijferen, hoofdrekenen, een zakrekenmachine gebruiken, schattend rekenen)

B53

Verhoudingen bepalen: A) zonder bewerkingen uit te voeren

(bijv. bij verhoudingsgetrouwe afbeeldingen in tekeningen, op kaarten …) B) via berekeningen (bijv. bij kopiëren, projecteren, modelbouwen, tekenen, schaalberekenen)

B54

Verhoudingen vergelijken, het ontbrekende verhoudingsgetal berekenen en gelijkwaardige verhoudingen bepalen bij aan elkaar gebonden A) recht evenredige grootheden (bijv. gewicht-prijs, aantal-prijs, afstand-prijs, afstand-tijd)

B) omgekeerd evenredige grootheden

(bijv debiettijd om een zelfde volume te vullen, tijd-snelheid bij gelijke afstand)

B55

In eenvoudige situaties het ontbrekende verhoudingsgetal berekenen om: A) gelijkwaardige verhoudingen in verdeelsituaties te bepalen B) te mengen volgens een gegeven verhouding C) in te wisselen (bijv. bij munten, afstandsmaten)

B56

Het (groei-)percentage berekenen (ook met behulp van de zakrekenmachine) en gebruiken in eenvoudige praktische toepassingssituaties als prijsberekeningen, het vergelijken van aantallen (bijv. bevolkingstoename), eenvoudige intrestvraagstukken…

B57

A) Aan de hand van voorbeelden uitleggen wanneer het begrip gemiddelde gebruikt kan worden en het gemiddelde berekenen B) en de mediaan aanduiden

B58

De ongelijke verdeling uitvoeren als: A) de som en het verschil gegeven zijn B) de som en de verhouding van de delen gegeven zijn

B59

Bruto, netto en tarra benoemen, berekenen en gebruiken

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02, 5 Domeinoverschrijdende doelen Pag. 81 e.v. Voor een volledig overzicht, zie bijlage 1. 5.2.1 Wiskundige problemen leren oplossen DO1

Een algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundige problemen kennen, flexibel aanwenden (dat wil zeggen dat de stappen in de tijd niet noodzakelijk op elkaar volgen) en verwoorden.


-


13

DO2

Zoekstrategieën ontwikkelen.

DO3

Nadenken over zijn eigen oplossingsproces en dat proces sturen.

DO4

Doeltreffende opvattingen over en houdingen tegenover het oplossen van wiskundige problemen, ontwikkelen.

5.2.2 5.2.3 Leren communiceren over wiskunde DO8

In wiskundige situaties samenwerken en communiceren met anderen.

DO9

a) Wiskundige gegevens of resultaten visualiseren, symboliseren, noteren of verwoorden, begrijpen, interpreteren en verwerken.

DO10

b) Bedenkingen formuleren over de positieve en negatieve aspecten van het in groep oplossen van wiskundige problemen.

DO11

c) Kritisch luisteren en een kritische houding ontwikkelen tegenover allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen waarvan bewust of onbewust gebruik (misbruik) gemaakt wordt om mensen te informeren, te overtuigen, te misleiden.

2 2.1

Commentaren Betekenisvolle situaties en opgaven Met dank voor het ter beschikking stellen van deze tekst uit de Syllabus Brugsessie Getallenleer, nascholing Pedic

-

Betekenisvolle situaties en opgaven zijn situaties (spelsituaties, probleemsituaties...) die een wiskundige vorm kunnen krijgen. Dat wil zeggen dat ze aanvankelijk nog niet in wiskundetaal gesteld zijn, maar dat ze binnen wiskunde (in engere zin) gehaald kunnen en moeten worden, vooraleer er wiskundige procedures op toegepast worden. Ze kunnen variëren van uit-het-leven-gegrepen situaties tot min of meer gepolijste, voorbewerkte situaties.

-

Contexten bestaan niet alleen uit wat in de opgave (tekst/tekening) staat, maar ook uit wat de situatie oproept. Er kan ook ruimte zijn om van alles zelf in te vullen of zelf bij te bedenken. Voorbeelden uit ‘Naar een nieuwe reken/wiskundedidactiek voor de basisschool en de basiseducatie’, L. Verschaffel en E. de Corte. Een ijsbeer weegt 500 kg. Hoeveel kinderen wegen samen evenveel als een ijsbeer?

Hoe groot is de vlag op de flat in werkelijkheid?

14


-


of alternatief: Hoe hoog is de schouw op dit flatgebouw ?

-

Meestal werden rekenverhalen alleen gebruikt als ‘kroon op het werk’, om te laten blijken dat men datgene wat men geleerd heeft, ook kan toepassen op de realiteit. Dikwijls werden rekenverhalen of vraagstukken ook per soort geordend, zodat de leerlingen zich niet kunnen oefenen in het kiezen van de juiste en/of meest efficiënte oplossingsstrategieën.

-

Realistische rekenverhalen kunnen we echter gebruiken als uitgangspunt voor het aanbrengen van nieuwe problemen. Dit heeft positieve gevolgen.

-

-

De leerlingen kunnen van het begin af ervaren dat wat geleerd wordt, bruikbaar is in de dagelijkse realiteit. Daardoor stijgt de motivatie om het nieuwe probleem onder de knie te krijgen.

-

De leerlingen krijgen een groter aantal rekenverhalen op te lossen, waarbij het toepassen van de aangeboden wiskundige inzichten en vaardigheden geoefend wordt. Het betekent dus dat in bijna alle rekenlessen aandacht besteed wordt aan het oplossen van rekenverhalen.

Verschil met vraagstukken. -

Een vraagstuk geeft soms een verschraald beeld van de werkelijkheid.

-

Een vraagstuk dringt kinderen zijn taalstructuur op. In een context kunnen kinderen hun eigen alledaagse taal gebruiken.

-

Een vraagstuk schrijft vaak een oplossingsmanier voor, terwijl een context een open structuur heeft. Kinderen mogen hun eigen strategie kiezen en die mag aansluiten op hun alledaagse oplossingsmanieren en -handelingen. Voorbeelden -

Schooluitstap We gaan met twee zesde leerjaren op leeruitstap. We overleggen samen hoe we dit het best zouden organiseren. Zo moeten we bijvoorbeeld beslissen of we met de trein of de bus gaan.


-


15

Mogelijkheden tot wiskundig onderzoek en tot interactie. • Wat is voordeligst, bus of trein? • Hoeveel tijd hebben we nodig voor de verplaatsing? • Welke voordelen zijn er aan reizen met de bus? De trein? • Welke gegevens moeten we bijeenbrengen? Kinderen kunnen hun eigen kennis en ervaring activeren en gebruiken. In het uiteindelijke antwoord kan rekening gehouden worden met andere overwegingen: comfort, persoonlijke voorkeur, ... -

2.3 -

Percenten -

Kale rekensom: 3% van 60 =

-

Ingeklede bewerking: Verkoopprijs is € 60,00 Bij contante betaling – 3%

-

Vraagstuk: In het warenhuis staat een prachtige walkman voor € 60,00. De verkoper vertelt je dat je bij directe betaling 3% minder hoeft te betalen. Hoeveel moet er in je spaarpot zitten als je de walkman direct wil betalen?

-

Rijke context: Stel je voor, je mag van je spaargeld een walkman kopen. Nu heb je er zien staan in de het warenhuis Kruispunt en bij het muziekcentrum Func. Ze zijn allebei hetzelfde, maar in het Kruispunt is de prijs 60,00 euro. Daar mag je bij directe betaling nog 3% in mindering brengen. Bij Func krijg je die korting niet, maar daar staat op het prijskaartje 58.00 euro. Wat zou je doen en waarom?

Vraagstukkenonderwijs Vraagstukkenonderwijs overstijgt het werken met ‘rekenverhaaltjes’ of de zogenaamde ‘ingeklede bewerkingen’. De kinderen moeten de opgave (tekening, tekst) begrijpen, wiskundige verbanden zien (de relatie tussen de bekende en onbekende hoeveelheid, het elimineren van overtollige gegevens of het opzoeken van bijkomende gegevens), de bewerking kiezen en uitvoeren, het resultaat inschatten en de juistheid ervan controleren.

Fasen in het vaardig probleemoplossen

Heuristieken

Analyse Zorgen voor een goede mentale voorstelling. Wat is gegeven? Wat wordt er gezocht? Welke relaties zijn er tussen de gegevens ...? “Ik stel me het probleem voor.”

- Ik kijk goed, ik luister goed. - Ik herlees de opgave. - Ik vertel het probleem met eigen woorden. - Ik speel of teken de situatie. - Ik onderstreep de vraag met groen. - Wat ik moet weten onderstreep ik met blauw.

Planning Construeren van een passend wiskun- - Ik probeer het probleem voor te steldig model. len, te tekenen: wat ik weet vul ik in,

16


-


wat ik moet zoeken, daar schrijf ik een “Ik beslis hoe ik het probleem ga aanvraagteken. pakken.” - Ik maak van de tekening een formule (bewerking). Uitvoering De rekenkundige operatie wordt effectief uitgevoerd. “Ik reken uit.”

Ik reken uit. Ik controleer of de uitkomst juist is.

Interpretatie De uitkomst die de leerling vindt, wordt gebruikt om een antwoord te formuleren op de vraag die aanleiding gaf tot al dat rekenwerk. “Ik formuleer mijn antwoord.”

Ik herlees de vraag. Ik schrijf een antwoordzin, daarvoor gebruik ik woorden die ook in de vraagzin staan.

Controle De leerling vraagt zich af of de gevolg- de oplossingsweg efficiënt was. “Ik controleer en evalueer.”

Ik lees alles nog eens opnieuw en denk erover na of alles wel kan.

Een dergelijke oplossingsweg wordt stapsgewijs opgebouwd. Sommige methodes maken gebruik van pictogrammen, werken met een rekenstrip waarin de diverse deelstappen visueel worden weergegeven of maken gebruik van een ‘leerkaart voor vraagstukken’. Voorbeelden -

Het gebruik van de beertjes van Meierbaum (zie bijlage 2). 1 2 3 4

Wat moet ik doen? Hoe ga ik dat doen? Ik doe mijn werk. Ik kijk mijn werk na. Wat vind ik ervan?

Zie ook http://www.vanin.be/nl/html/files/Beer-01.pdf http://www.klasse.be/archieven/extra/pdf/2001-09-01/beren.pdf -

Uit Eurobasis, wiskundereeks voor het basisonderwijs, Uitgeverij Die Keure (handleiding, werkboek 6 b). Bij het leren oplossen van problemen gebruikt men letters die verwijzen naar de opeenvolgende stappen bij het oplossen. Bij bepaalde opgaven moeten leerlingen ook zelf de letters aanvullen. Stap 1 Het probleem situeren en vatten Stap 2 Een plan opstellen om het probleem op te lossen Stap 3 Het plan uitvoeren Stap 4 Is het antwoord mogelijk?

Eerste graad

Tweede graad

Derde graad

V vraag

V vraag

V vraag

T tekening

G gegeven T tekening, tabel S schema

G gegeven T tekening, tabel S schema

B bewerking

B bewerking

B Bewerking F formule

A antwoord

A antwoord

A antwoord

Actualisering leerplan eerste graad Stap 5 Toch nog even alles nakijken

-

OK controle


OK controle

17

OK controle

G betekent dat de kinderen gegevens opzoeken om het probleem op te lossen. Soms is het voldoende deze gegevens te onderstrepen of te noteren. Met die gegevens kan ook een schema, tabel of tekening worden opgebouwd.

18


-


Welke zoekstrategieën kunnen leerlingen hanteren om volgende contextproblemen op te lossen? 1

In een leesboek begint een verhaal bovenaan bladzijde 76. Het eindigt onderaan bladzijde 104. Hoeveel bladzijden telt dit verhaal?

2

Een groep van 150 toeristen wil met een kabellift naar de top van een berg. Elke keer kunnen er maximum 9 toeristen met de bestuurder van de kabellift mee naar boven. Hoeveel keer zal de kabellift naar boven moeten om alle toeristen naar de top van de berg te brengen?

3

Voor het paasfeest wil An een paasmobile maken. Ze heeft rode, gele, blauwe en groene eieren en 3 soorten strikken. Hoeveel verschillende eieren kan ze in haar paasmobile hangen?

4

Mia en Lieve gaan te voet van de school naar het dorpsplein in ongeveer 15 minuten. Hoe lang zullen ze op weg zijn als Lieselot en Saartje meegaan?

5

Omcirkel bij het volgende vraagstuk de getallen die je nodig hebt om het vraagstuk op te lossen. Stel daarna een andere vraag waarvoor je wel gebruik moet maken van een of meer van de hiervoor overbodige gegevens. In de Kruipton betaalt moeder voor een doos waspoeder € 40,45. Dat is 1,05 euro minder dan bij de Wassi. Dezelfde doos waspoeder verkopen ze bij de drogisterij Bellekens aan € 43,95. Hoeveel kosten vijf zulke dozen waspoeder bij de Wassi?

6

Bram giet eerst een emmer water van 90 graden in een kuip en voegt er nadien een emmer water van 45 graden aan toe. Hoeveel graden is het water dan in deze kuip? Iemand antwoordt dat het water in de kuip 135 graden is. Kan dat?

7

Ina komt Tom tegen en vraagt hem hoe het met hem is. “Oh, ik heb het tegenwoordig erg druk. Vorige week heb ik wel 200 uur gewerkt!” Ina vindt Tom een leugenaar. Waarom denkt ze dat?

8

Bij de opening van zijn nieuwe garage zorgde mijnheer Hofman voor een kleurige verlichting. Langs de uitstalramen hing hij slingers met gekleurde lampjes. De rode lampjes floepen om de 20 seconden aan, de groene om de 60 seconden en de gele om de 80 seconden. Om de hoeveel tijd branden alle lampjes tegelijk?

Actualisering leerplan eerste graad 9

-


19

Tijdens de appelactie die 7 dagen duurde, kregen alle leerlingen in de school van Tom elke dag 1 appel. Er zijn 279 lagereschoolkinderen en 168 kleuters in zijn school. Hoeveel appels moeten aangekocht worden?

Commentaar uit de Interdiocesane proeven van 2002 en 2003. Zie ook bijlage 2. Vanaf het eerste leerjaar (van het lager onderwijs).

Maak tijd om vraagstukken grondig aan te pakken. Voer krachtige onderwijsleergesprekken waarbij je als leerkracht duidelijk de leiding neemt. Door middel van een logische en gestructureerde vraag- en antwoordtechniek behandel je een bepaalde leerinhoud en laat je de leerlingen stapsgewijs bepaalde inzichten verwerven. Tijdens het gesprek kan je o.a. oplossingsmethoden doorgeven, verhelderen of verbeteren. Dit kan je als leerkracht o.a. doen door te demonstreren. Je denkt hardop en verwoordt welke kennis en vaardigheden je aanwendt en waarom. Je reflecteert ook hardop over de gevonden uitkomst. Een heel mooi voorbeeld lijkt me het ‘busprobleem’: tijdens een bepaalde periode bezochten precies 299 985 mensen het domein van Bokrijk. Hoeveel bussen met 50 plaatsen waren er zeker nodig om al die mensen te vervoeren? Je maakt al puffend de ‘moeilijke’ deling op het bord. (Of je rekent uit je hoofd de deling uit). Je rondt je uitkomst af en je zegt ook waarom. Je controleert en dan ‘ontdek’ je dat je eigenlijk al vooraf kon weten dat je moest afronden. En dat 300 000 : 50 heel wat makkelijker is én minder werk vraagt. Bovendien kan je hier reflecteren door van jezelf te zeggen dat je vaak meteen begint te rekenen terwijl het misschien helemaal niet hoeft.

Je kunt ook coachen. Je stelt gerichte vragen, je geeft concrete hulpmiddelen of suggesties. - Welke gegevens hebben we nodig? - Welke bewerkingen moeten we maken? Waarom? Hoe weet je dat je hier moet optellen, aftrekken, …? - Hoe kunnen we onze uitkomst controleren? - Ga na of het antwoord dat je vond het antwoord is op de gestelde vraag. Begin met de vraag zelf om je antwoord te formuleren. Bijv. dat is voor elk van de vier andere Vlaamse provincies … - Stel het vraagstuk eens voor met breukstroken. - Maak bij dit vraagstuk een tekening. Welke gegevens duid je op de tekening aan?

Bij een leergesprek laat je leerlingen stilstaan bij het eigen leren en werken. Je geeft volop kansen om te reflecteren. Je sluit aan bij het leren zelf, het uitvoeren van de opdracht. Daarbij komen specifieke vragen aan bod: Hoe heb je het probleem aangepakt? Welke moeilijkheden heb je daarbij ondervonden? Je gaat gezamenlijk na wat goede en minder goede manieren van werken zijn. Welk ‘wiskundig model’, welke oplossingsmethode ze gebruikten. Welke wiskundige technieken ze kozen, welke bewerkingen ze maakten.

Wissel klassikale lesmomenten af met groeps- en individueel werk. Onderschat de effecten van groepswerk vooral niet. Sterke leerlingen zullen spontaan hun werkwijze verduidelijken en zwakkere leerlingen krijgen zicht op hoe een ‘deskundige’ het vraagstuk aanpakt. Bovendien ervaren ze succes. Ze (de groep) hebben het toch maar gevonden! Bij individuele opdrachten zitten zwakkere leerlingen soms gewoon te wachten tot het antwoord komt. En versterkt dit vaak hun overtuiging dat ze ‘toch geen vraagstukken kunnen’.

20


-


Analyseer samen met je leerlingen de situatie(of laat je leerlingen in groepjes de situatie analyseren). Leg steeds de nadruk op het kritisch lezen van de opgave. Laat je leerlingen het vraagstuk in eigen woorden uitleggen of dramatiseren. Een tekening maken helpt ook vaak om de situatie te verduidelijken.

Controleer ook telkens het gegeven antwoord en de afgelegde weg om tot de uitkomst te komen. Leerlingen controleren vaak uitsluitend of ze geen rekenfout gemaakt hebben. Ze zouden echter ook andere essentiële controlevragen moeten stellen: is mijn antwoord een antwoord op de gestelde vraag? Kan mijn antwoord goed zijn? (Hier kan je eventueel vergelijken met de schatting die je vooraf maakte). Heb ik de juiste bewerkingen uitgevoerd? Kan het sneller, eenvoudiger? (Zie ook leergesprek hierboven).

Denk niet dat leerlingen ‘zoekstrategieën’ zomaar uit zichzelf ontwikkelen. Bij de meeste leerlingen moet je als leerkracht wijzen op de meerwaarde van sommige aanpakken. Doe dit echter niet vooraf in de zin van: Maak een tekening bij het tweede vraagstuk, anders vind je de oplossing niet. Lees goed want bij één opgave moet je eigenlijk niet rekenen. Wijs meer na het oplossen, tijdens de klassikale bespreking, op het voordeel van bepaalde zoekstrategieën. Heb je gemerkt dat Klaas door een tekening te gebruiken de oplossing beter zag? Een goed gekozen vraagstuk leidt leerlingen als het ware ‘als vanzelf’ naar de goede zoekstrategie. Leer je leerlingen een tekening maken. Is een vlugge schets voldoende, moet de tekening nauwkeurig zijn, moeten de afmetingen erbij…?

Werk ook procesgericht (hoe gevonden?) en niet enkel productgericht (is de uitkomst juist?). Ook in de vragen komt dit tot uiting. Zo beginnen in het IDP van juni 2002 vier vragen vanuit de volgende opdracht. Voor de volgende vraagstukken hoef je niet meteen de oplossing te zoeken. Je moet wel kritisch kijken naar de manier waarop jij of iemand anders dit vraagstuk aanpakt. Een voorbeeld: Mijn tuin is een rechthoek van 16 m lang en 8 m breed. De tuin begint vlak achter het huis. Ik wil een nieuwe omheining plaatsen. Daarom moet ik berekenen hoeveel meter draad ik zal kopen en hoeveel palen er nodig zijn om die draad aan te bevestigen. “De palen moeten toch wel om de 2 meter geplaatst worden,” zegt de verkoper, “anders is er te weinig stevigheid.”


-


Hoeveel palen en hoeveel meter draad koop ik best? Wat kan je hier zeker helpen om veilig tot een oplossing te komen? A Ik duid overbodige gegevens aan. B Ik begin meteen te rekenen. C Ik gebruik een pijlenschema. D Ik vervang de getallen door andere getallen. E Ik maak een tekening. Bij andere opgaven komen vragen aan bod zoals: Waar loopt het mis bij het oplossen van dit probleem? Wat vind je een goede aanpak om dit probleem aan te pakken?

Voorbeeldopgaven Basisonderwijs Uit ‘Zo gezegd, zo gerekend voor het zesde leerjaar

21

22


-



-


23

24


-



-


25

26


-



Voor meer voorbeelden: zie bijlage 3.

-


27

28


-


Vraagstukken in de eerste graad In het leerplan wiskunde voor de eerste graad wordt ruim aandacht besteed aan het verwerven van probleemoplossende vaardigheden. Een aantal inhoudelijke doelstellingen maken er rechtstreeks verwijzingen naar (zie verder). In het onderdeel 5.1 Vaardigheden en attitudes krijgen ze een algemenere invulling (zie leerplan pag. 16 e.v.). Wat in het onderdeel “Het proces van probleemaanpak” van deze tekst wordt toegelicht, is in de doelstellingen al uitgeschreven. Het ontwikkelen van heuristiek en van attitudes die bij het oplossen van problemen belangrijk zijn, wordt in het leerplan al als belangrijk aangegeven. We hernemen hier de belangrijkste verwijzingen van het onderdeel 5.1. De leerlingen ontwikkelen (binnen het gekende wiskundig instrumentarium) probleemoplossende vaardigheden, zoals - een opgave herformuleren, - een goede schets of een aangepast schema maken, - notaties invoeren, - onbekenden kiezen, - eenvoudige voorbeelden analyseren. Ook in de algemene doelstellingen over taalvaardigheden en denken redeneervaardigheden en over attitudes komen aspecten aan bod die bijdragen tot een goede verwerving van probleemoplossende vaardigheden. De leerlingen ontwikkelen (binnen het gekende wiskundig instrumentarium) wiskundige taalvaardigheid, o.m. - het begrijpen van wiskundige uitdrukkingen in eenvoudige situaties (zowel mondeling als schriftelijk); - het lezen van tekeningen, grafieken en diagrammen; - het uitdrukken van hun gedachten en hun inzicht in eenvoudige situaties (zowel mondeling als schriftelijk). denken redeneervaardigheden, o.m. - het onderscheid maken tussen hoofd- en bijzaken, gegeven en gevraagde, gegeven en te bewijzen; - het begrijpen van een gegeven eenvoudige redenering of argumentatie bij een eigenschap.

De leerlingen ontwikkelen -

zin voor nauwkeurigheid en orde;

-

zin voor helderheid, bondigheid, eenvoud van taalgebruik;

-

kritische zin, o.m. - een kritische houding tegenover het gebruik van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen en grafische voorstellingen; - een kritische houding tegenover de eigen berekeningen, beweringen, handelingen, ...; - het besef dat in wiskunde niet enkel het eindresultaat, maar ook het inzicht in de werkwijze waarmee het antwoord bekomen wordt, belangrijk is;

-

zelfvertrouwen, zelfstandigheid en doorzettingsvermogen bij het aanpakken van proble-


-


29

men; -

zelfregulatie, o.m. oriëntatie, planning, bewaking, zelftoetsing en reflectie;

-

zin voor samenwerking en overleg.

Zie ook de commentaren van de pedagogisch-didactische wenken hierbij.

1 1.1

Leerplan eerste leerjaar Doelstellingen uit het leerplan

26

B

Handig rekenen door gebruik te maken van eigenschappen van de bewerkingen.

27

B

Een rekenmachine doelgericht gebruiken.

28

B

Het resultaat van een berekening op een verantwoorde wijze afronden.

29

B

Het hoofdrekenen integreren in het schatten van resultaten.

30

B

Procentberekeningen in zinvolle contexten gebruiken.

31

B

Letters gebruiken als middel om te veralgemenen.

32

B

In eenvoudige patronen en schema's regelmaat ontdekken en met formules beschrijven.

33

B

Letters gebruiken als onbekenden.

34

B

Vergelijkingen van de vorm x + a = b en a.x = b met a ∈ _ \ {0} en b ∈ _ oplossen.

35

B

Het rekenen in _ toepassen in vraagstukken.

36

B

Punten in het vlak door middel van coördinaten bepalen.

37

B

Eenvoudige vragen in verband met gegeven tabellen, schema's en diagrammen beantwoorden.

38

B

Cijfergegevens aanschouwelijk voorstellen onder andere door middel van diagrammen en grafieken.

39

B

Van een reeks getallen het rekenkundige gemiddelde en de mediaan bepalen.

1.2 1.2.1

Actualisering leerplan Doelstelling 26 t.e.m. 34

In de voorgaande sessies werd uitgebreid ingegaan op de begrenzing van deze doelstellingen. Het kan hier volstaan aan te geven dat al deze doelstellingen kunnen gerealiseerd worden doorheen een aanpak vanuit problemen en vraagstukken. Deze aanpak verdient de voorkeur op het louter kaal inoefenen van bewerkingen. Als gerekend wordt in een betekenisvolle situatie heeft de leerling een bijkomende toetsing van het resultaat aan de haalbaarheid ervan in de realiteit.

30


-


De commentaren en de bijlagen bij sessie 1 en vooral sessie 2 geven al heel wat mogelijkheden aan om deze inbedding in vraagstukken en probleemaanpak te realiseren. In het bijzonder verwijzen we naar de bijlage ‘collage’ van de eerste sessie en de vele voorbeelden van het lettergebruik bij schema’s en patronen, bij formulegebruik en bij het opstellen van vergelijkingen. Deze voorbeelden vullen de tekst van deze sessie verder aan. Dit materiaal wordt hier niet hernomen. 1.2.2 35

Doelstelling 35 B

Het rekenen in _ toepassen in vraagstukken.

In de praktijk wordt deze doelstelling vaak herleid tot het maken van vraagstukken als toepassing op vergelijkingen. Dit is een te enge interpretatie van deze doelstelling, die ‘het toepassen van het hele rekensysteem’ als doel heeft. Het uitstellen van vraagstukken tot men het hoofdstuk vergelijkingen heeft behandeld is dan ook een verkeerde invulling van het leerplan. Men behandelt op deze wijze slechts een fractie van wat mogelijk is. Met andere woorden: men zal vraagstukken over het hele jaar gespreid aan bod laten komen, zoals nu al in de wenken is aangegeven. Veel meer dan in een sporadische les zal men geregeld, en dus daar waar de kansen zich voordoen, vraagstukken aanbieden. Dat kan als men begrippen ontwikkeld in betekenisvolle contexten. Dat kan als men die begrippen verwerkt tot op een stabiel kennisniveau. Het is maar als een begrip goed functioneert in ruime context, dat het echt verwerkt is en ‘gekend’ is. Vraagstukken en problemen bieden de mogelijkheid om, in een soms onverwachte context, begrippen en verbanden terug op te nemen en dus te onderhouden. Rekenvaardigheid, schattend reken, verhoudingsrekenen (met inbegrip van de regel van drieën), procentrekenen, herkennen van patronen, werken met formules, gebruik rekenmachine, aflezen van grafieken, diagrammen en tabellen, schaalbegrip, metend rekenen… kunnen allemaal op ongedwongen wijze aan bod komen in motiverende situaties. Zoals in het deel ‘probleemaanpak’ aangegeven, zal men bij het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden twee belangrijke aspecten bewaken. Enerzijds kan men geleidelijkheid inbouwen en haalbaarheid voor leerlingen (individuele leerlingen zelfs als men voldoende differentiatie inbouwt). Dat is precies het voordeel van de wiskundige situatie: je verwerft een hele reeks vaardigheden doorheen kleine, geleidelijk opgebouwde, haalbare stappen. Dit vraagt heel veel van de professionaliteit van de wiskundeleraar, die een adequate keuze moet maken in functie van wat leerlingen feitelijk, maar ook intrinsiek aankunnen. Uit onderzoek is gebleken dat het mogelijk is om strategieën voor het oplossen van problemen zo te onderwijzen dat leerlingen ze vaker gaan toepassen. Laat leerlingen dus eens bijkomende (analoge) oefeningen maken bij bepaalde heuristische methoden. Anderzijds zal men de leerlingen ook voldoende uitdaging bieden waarbij echte zoekactiviteit noodzakelijk is. Het trainen van modeloplossingen is hier niet de aangewezen weg. Leerlingen moeten, zoals bij hoofdrekenen, weliswaar beschikken over een aantal ‘standaardprocedures’, en dat kunnen dan ‘modeloplossingen’ zijn, maar die moeten flexibel kunnen ingeschakeld worden en desnoods uitgebreid, getransformeerd... Als leerlingen nooit met een echte zoekopdracht geconfronteerd worden, zullen ze nauwelijks probleemoplossende vaardigheden ontwikkelen. Bij de keuze van opgaven is het van belang leerlingen met opgaven te confronteren waarmee alle aspecten van het probleemoplossend denken kunnen geoefend worden. Niet alle opgaven zijn meteen geschikt om echte probleemoplossende processen op gang te brengen. Een opgave geschikt maken betekent soms dat je iets moet weglaten. Bij veel opgaven in de leerboeken is een opbouw in deelvragen gegeven. Eerst dit, dan dat en uiteindelijk komt de vraag waar het eigenlijk om gaat. Door deze aanpaksuggesties


-


31

weg te laten ontstaat vaak een boeiende opgave en meer ruimte voor een eigen aanpak van de leerlingen. Er zullen leerlingen zijn die niet meteen weten hoe ze moeten beginnen. Je kan dit niet altijd van elke leerling verwachten. Voor deze leerlingen kan de leerkracht zorgen voor suggesties bij een klassikale toelichting of bij de individuele begeleiding tijdens het oplossen. De leerkracht kan zo ook een beter inzicht krijgen in het denken en doen van leerlingen. Er zijn hier mogelijkheden voor differentiatie in de opgaven (met of zonder aanpaksuggestie of aanpaksuggestie pas geven nadat leerlingen eerst zelf hebben gezocht). Sommige leerlingen zijn gericht op het gebruiken van vaste algoritmen. Eén of andere herkenning van de vraag leidt dan meteen tot een algoritmische actie. Voor een optimaal leerproces is het echter belangrijk dat een leerling eerst nadenkt over de essentie van een opgave of een probleem om zo tot een strategie te komen voor het oplossen. Als de opdrachten altijd onmiddellijk aansluiten bij de geziene leerstof komen leerlingen vaak tot juiste resultaten zonder een degelijke analyse- en planningsfase. Ze falen dan echter als ze een opdracht krijgen die niet wordt aangeboden binnen een bepaalde context. Het loont dan ook de moeite om leerlingen geregeld te confronteren met opgaven waarvan de oplossing of aanpak niet direct voor de hand ligt. Naast het maken van vraagstukken als toepassing op net ontwikkelde wiskundige inhouden, zal men vraagstukken en problemen dus ook flexibel aanbieden. De praktijk wijst dat vier ‘systemen’ succesvol zijn. Uiteraard zijn er vele varianten mogelijk die dezelfde doelstellingen bereiken. Een eerste aanpak is die van het geregeld aanbieden van een probleem aan de leerlingen, bijv. een “probleem van de week”, geregeld bij een huistaak…. Er zijn een aantal websites, die hiervoor materiaal aanreiken (zoekfunctie: “problem of the week”, let wel dat een aantal niet steeds gericht is op de eerste graad). Voorbeeld website: http://www.wits.ac.za/ssproule/pow.htm (kies elementary school). Niets belet dat leerlingen hier in groepen samenwerken. De mogelijkheid kan geboden worden van binnen een bepaalde tijd oplossingen te laten aanbrengen op een klasprikbord. Deze ‘problem of’-aanpak biedt het voordeel, dat men kan inspelen op de realiteit, de omgeving, de maatschappelijke context (bijv. een grafiek, een diagram uit een krant; een of andere gebeurtenis die aanleiding geeft tot vragen). Men kan zo ver gaan dat leerlingen zelf ‘problemen’ kunnen aanreiken. Uiteraard speelt hier ook weer de professionaliteit van de leraar om bij soms te ingewikkelde problemen toch mogelijkheden te vinden binnen de context van de leerinhouden waarover leerlingen beschikken. Een andere aanpak is die waarbij, in een meer structurele differentiatie in de aanpak (bijv. met hoekenwerk), ruimte gemaakt wordt voor een vraagstukkenhoek, een problemsolverhoek. Daarbij kan men al of niet groepswerk inschakelen, waarbij leerlingen met elkaar problemen aanpakken en aan elkaar uitleggen. Men kan ook opteren voor meer homogene groepen waarbij men gepaste problemen en vraagstukken aanbiedt. Een ander voorbeeld is dat van drie hoeken (met een doorschuifsysteem), waarbij leerlingen aan eenzelfde probleem werken, maar met andere middelen (bijv. een groep alleen manueel hoofdrekenen en cijferen, een andere met gebruik van een rekenmachine en/of een andere met gebruik van handige software, bijv. voor diagrammen). Ook deze aanpak vraagt een hoge professionaliteit van de leraren. De ondersteuning van zulke processen neemt wellicht andere vormen aan dan het “traditionele voordoen”. De leraar zal snel en adequaat moeten ingrijpen als leerlingen en/of leerlingengroepen zich vast gereden hebben in een situatie. Deze aanpak vraagt ook heel wat aan materiaalontwikkeling. Het is zinvol van dergelijke aanpak geleidelijk te ontwikkelen. Dergelijk materiaal kan, jammer genoeg, niet verwacht worden bij het leerboek. Leraren zullen zelf een hele reeks ‘leuke’ situaties moeten verzamelen. Belangrijk is hiermee alleszins te starten, en een tijd lang een reserve aan te leggen, en tenslotte van materiaal uit te wisselen in de vakgroep. Een derde aanpakwijze is die waarbij de leerlingen gevraagd wordt een (mini)project uit te werken. Bekende voorbeelden zijn: het ontwerpen van de schooltuin, het (her)inrichten of verfraaien van een ruimte, het ontwikkelen van een maquette (bijv.

32


-


voor een veiligere schoolomgeving), een beeld … Leerlingen zijn dan mede verantwoordelijk voor een deel van de ontwikkeling van het probleem. Dit werkt de motivatie in de hand. Een vierde aanpak is die in de vorm van “contractwerk”, waarbij leerlingen in een bepaalde vooropgezette tijd een aantal vraagstukken, problemen aanpakken. Een presentatie via een portfolio kan dit ondersteunen. De kwaliteit van de portfolio en de wijze waarop er in de praktijk mee kan omgegaan worden (bijv. bij vraagstelling erover) kan een aanwijzing zijn voor oriëntatie van de leerling. 1.2.3

Tabellen, grafieken en diagrammen

36

B

Punten in het vlak door middel van coördinaten bepalen.

37

B

Eenvoudige vragen in verband met gegeven tabellen, schema's en diagrammen beantwoorden.

38

B

Cijfergegevens aanschouwelijk voorstellen onder andere door middel van diagrammen en grafieken.

39

B

Van een reeks getallen het rekenkundige gemiddelde en de mediaan bepalen.

Uit het leerplan van de basisschool blijkt dat leerlingen in de lagere school al ruim kennis maken met tabellen, grafieken en diagrammen. Zelfs soms ruimer dan voorzien is in sommige leerboeken eerste graad. Ook uit de bevraging van de leraren tijdens het schooljaar 2004-2005 blijkt dat dit onderdeel relatief behoorlijk functioneert. Een aantal leraren voert daarom dit onderwerp af van hun planning. Belangrijk is te beseffen dat het hier om de concretisering gaat van eindtermen, die dus tot het verplichte curriculum behoren. Het onderscheid met de basisschool zal wellicht te vinden zijn in de complexiteit van de situatie, in de moeilijkheidsgraad van de vragen bij die situaties, in de berekeningswijze met meer mogelijkheden voor de getallen (bijv. ook gehele getallen, eventueel zelfs negatieve breuken), in meer wiskundige kennis en mogelijkheden om vragen op te lossen (bijv. vergelijkingen). Eindterm 25 is als volgt geformuleerd: “Leerlingen kunnen functioneel gebruik maken van eenvoudige schema’s, figuren, tabellen en diagrammen.” Daarbij kan men aan twee belangrijke aspecten denken. Enerzijds moeten leerlingen informatie die gepresenteerd wordt in tabellen, grafieken… kunnen aflezen en interpreteren. Anderzijds moeten ze, als de probleemsituatie dat vereist, hun resultaten kunnen presenteren in een tabel, een grafiek, een diagram. Men zal dus vermijden deze onderdelen op een artificiële wijze te behandelen. De praktijk, de maatschappelijke context biedt voldoende materiaal en situaties aan om het geheel daartoe te beperken. Meteen wordt duidelijk dat de aangewezen vorm om dit onderdeel te behandelen, die is waarbij tabellen, grafiek, diagrammen als informatiebronnen worden gehanteerd in situaties van vraagstukken en problemen. Een behandeling in een afzonderlijk hoofdstuk hoeft dus niet en is zelfs niet aangewezen. Een geïntegreerde behandeling in het kader van problemen volstaat. Een uitgebreide theorie over hoe tabellen aflezen, hoe grafieken aflezen, hoe diagrammen interpreteren… brengt weinig bij. Uiteraard moeten leerlingen dit wel kunnen (om de problemen te kunnen oplossen), maar een veelvuldig en vlot gebruik van de vaardigheid op zich zal meer renderen dan een uitgebreide theorie hierover. Het effect van een spreiding doorheen het jaar, en dus een voortdurend paraat gebruik ervan, is wellicht groter dan die van een eenmalig hoofdstukje. Als uit de klassituatie blijkt dat leerlingen niet meer beschikken over de basisvaardigheden, die ze in de lagere school moeten verwerven, dan kan een korte herhaling van de technieken ingeschoven worden. Het gebruik van werkschema’s (werkkaarten) of een vademecum kan een (geregelde) klassikale herneming vervangen. Het confronteert leerlingen telkens weer en terecht met hun ‘verworven’ kennis.


-


33

Deze eindtermen, en deze doelstelling, heeft een achterliggende maatschappelijke bedoeling. Nogal wat informatie in onze westerse leefwereld, in de beroepswereld, in kranten en tijdschriften, op televisie… wordt visueel gepresenteerd onder de vorm van grafieken en diagrammen. Leerlingen moeten daarmee leren omgaan. In onze mediatieke wereld is de momentane beeldvorming diegene die overblijft. Leerlingen moeten dus ook geconfronteerd worden met misleidende vormen van presentatie van informatie. We verwijzen in dit verband naar de peiling die door de overheid is gehouden over deze aspecten in de eindtermen, zie http://www.ond.vlaanderen.be/dvo/peilingen/secundair/persmapIVV.pdf

In de marge van de opmerking over de maatschappelijke context, maar ook met het oog op een correcte wiskundige vorming en dus correcte interpretatie van grafieken, willen we wijzen op de stilaan ingeburgerde werkwijze van roosterpunten zonder meer met lijnstukken en rechten te verbinden. Dit poneert meteen de lineariteit van het verband. Dit is wiskundig niet altijd correct. Tussen roosterpunten kunnen verbanden soms rare sprongen maken of dus een ander dan lineair verloop kennen. Uiteraard is dit wel zo als men (fysische) aanwijzingen heeft op die lineariteit, bijv. bij recht evenredige verbanden. Men zal er leerlingen opmerkzaam op maken dat men in bepaalde gevallen “aanneemt”, het zo voorstelt, dat het verband lineair is. Als er geen argumentatie voor bestaat, zal men daar bewust omzichtig mee omspringen. Dat is onder meer het geval bij vraagstukken, waarbij vragen gesteld worden naar interpolatie of extrapolatie bij gegevens. Een zinswending zoals “gesteld dat het verband zo wordt voortgezet” is daarbij een belangrijk element in een opgave, dat extra onder de aandacht mag gebracht worden. Het onderdeel over grafieken en diagrammen biedt de kans op het inbrengen van ICThulpmiddelen, bijv. om de resultaten te verwerken, om ze voor te stellen. De wiskundevorming kan hier een deeltje van de ICT-vorming opnemen, voorzien in het ICTraamplan voor de eerste graad. Voorbeelden Voor voorbeelden verwijzen we naar de uitgebreide bijlagen bij de teksten van sessie 2 en sessie 3.

34

2


-


Leerplan Tweede leerjaar

2.1 2.1.1

Doelstellingen van het leerplan Leerplan a

1

B

Vaardig rekenen met rationale getallen.

15

B

Vraagstukken die te herleiden zijn tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende oplossen.

16

B

Het recht evenredig en omgekeerd evenredig zijn van twee grootheden herkennen in het dagelijkse leven en in tabellen.

17

B

Een recht evenredig verband uitgedrukt in een tabel met een formule uitdrukken.

18

B

Recht evenredige verbanden tussen grootheden grafisch voorstellen.

21

B

Vraagstukken oplossen waarbij recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden aan bod komen.

22

B

Eenvoudige vragen in verband met gegeven strook- en schijfdiagrammen beantwoorden.

23

B

In eenvoudige situaties numerieke gegevens in een strook- en schijfdiagram weergeven.

2.1.2

Leerplan b

1

B


11

B


12

B


13

B


14

B


16

B


17

B


18

B


Actualisering leerplan eerste graad 2.2

-


35

Actualisering van het leerplan

We opteren hier voor een gemeenschappelijk uitwerken van de commentaar bij de twee leerplannen. Enerzijds zijn er de leerlingen die in het tweede jaar volgens het leerplan b werken en kunnen doorstromen in TSO-studierichtingen met een sterk wiskundige uitbouw. Dit geldt voor leerlingen van de basisopties Biotechnische wetenschappen, Elektromechanica, Elektriciteit-elektronica, Grafische wetenschappen, Hout-bouwkunde. Het ligt voor de hand dat voor deze leerlingen een minimale invulling van het leerplan niet volstaat. Anderzijds is het onderdeel probleemoplossende vaardigheden zo fundamenteel belangrijk voor de ontwikkeling, dat hier voor alle leerlingen getracht moet worden een zo hoog mogelijk beheersingsniveau te realiseren. Uiteraard zal men rekening houden met de intrinsieke mogelijkheden van de leerlingen. Al eerder werd hier differentiatie als middel aangereikt. Om te differentiëren tussen de beheersingsniveaus kan men zich inspireren aan de indeling in complexiteit van vraagstukken, zoals beschreven in deze tekst (zie pag. 10). Probleemoplossende vaardigheden verwerft men vooral door ook effectief problemen aan te pakken. In die zin is het wellicht beter dat leerlingen voortdurend relatief eenvoudige problemen zelf oplossen, dan dat ze niet zelf verwerkte modeloplossingen van complexe problemen aangereikt krijgen. Ervaring in problemen aanpakken brengt leerlingen verder dan ze zelf kunnen vermoeden. Vaak moet de initiële drempel van ‘ik kan dat toch niet’ weggewerkt worden door een periode van succeservaring bij de aanpak. Dat lukt beter met vlotte eenvoudige opgaven, dan met (te) complexe modelsituaties. Zoals in de vorige sessies al aangegeven zal men door beperking van bepaalde onderdelen, in het bijzonder het wegwerken van te complexe elementen en onnodige rekentechnische automatisering, tijd winnen om meer aandacht te besteden aan probleemoplossende vaardigheden. Het inbedden van begrippen, verbanden en eigenschappen in betekenisvolle situaties en probleemaanpak zal de toepasbaarheid van de wiskundekennis bevorderen. 2.2.1 1/1

Doelstelling vaardig rekenen B


Zoals in de pedagogisch-didactische wenken aangegeven wordt, is het niet de bedoeling in het tweede leerjaar nog eens het hele rekensysteem aan te pakken. Wel is het doel de getallen, de bewerkingen … geregeld te gebruiken. Dat kan het best door het getallenapparaat te laten functioneren in toepassingen, en dus in problemen en vraagstukken. De leerinhouden bieden ruim de kans om allerlei toepassingen aan de orde te brengen (het rekenen met machten, de wetenschappelijke schrijfwijze van getallen, rekenen met verhoudingen en evenredigheden, het oplossen van vergelijkingen, het aflezen en interpreteren van grafieken en diagrammen, meetkundige toepassingen…). In die zin kan het volstaan hier te verwijzen naar de commentaren bij het eerste leerjaar, zowel wat betreft inhoudelijke inbreng als didactische aanpak (bijv. werkvormen). Wezenlijk belangrijk is, dat ook in het tweede leerjaar vraagstukken en problemen aanpakken niet exclusief verbonden wordt met enkele specifieke onderwerpen zoals vergelijkingen en evenredigheden, maar dat leerlingen dus geregeld en gespreid doorheen het gehele jaar met allerlei zinvolle opdrachten worden geconfronteerd, waarbij hun gehele wiskundearsenaal aan bod kan komen. 2.2.2 15/11

Doelstelling vraagstukken vergelijkingen B


36


-


Hier worden twee belangrijke wiskundige onderwerpen geïntegreerd. Een vergelijking (hier van de eerste graad) is een standaardvorm van mathematisering. Een te zoeken grootheid… wordt voorgesteld door een letter en de gekende verbanden tussen gegeven en onbekende worden wiskundig vertolkt. Anderzijds worden leerlingen geconfronteerd met het vertalen van meestal niet wiskundig gegeven informatie in wiskundige begrippen en verbanden. Veelal ligt hierin voor leerlingen de grootste moeilijkheid. Ervaring speelt hierin een belangrijke rol. Nog maar eens een argument om de aanpak via vraagstukken geregeld en gespreid aan bod te laten komen. Na een eerste oefenfase waarin de ‘methodiek met vergelijkingen’ ingeoefend wordt, zal men de situaties afwisselen met andere vraagstukken en methodes. 2.2.3

Doelstellingen evenredigheden

16/12

B


17/13

B


18/14

B


21/16

B


Bij het werken met realistische situaties (zoals in wetenschappen, economie…) zijn recht evenredigheid en omgekeerd evenredigheid fundamentele begrippen. De vier doelstellingen geven vier verschillende aspecten aan die tot de algemene kennis moeten behoren: de dingen herkennen in situaties, ze uitdrukken in een wiskundig verband, ze grafisch voorstellen en met deze begrippen problemen aanpakken. Meteen wordt duidelijk dat een aanpak met behulp van concrete situaties en dus via probleemaanpak en vraagstukken, de meest aangewezen didactische weg is. Een integratie in de leerlijn vraagstukken ligt dus voor hand. Beide begrippen komen al aan bod in de lagere school in het kader van het verhoudingsrekenen. Het verbinden met een formule (en daardoor ook verder met het oplossen van vergelijkingen) en met een grafische voorstelling (en daardoor met een coördinatensysteem) zal voor vele leerlingen een verbreding van kennis betekenen. Dit onderdeel laat dus toe verschillende onderwerpen uit de kennisschema’s van de leerlingen met elkaar te verbinden. Bij een vastgestelde evenredigheid kan als toepassing ook interpolatie en extrapolatie aan bod komen. Op die wijze kunnen leerlingen bijvoorbeeld vertrouwd worden met het oordeelkundig maken van voorspellingen. Het leerplan a voorziet hier, als uitbreiding de doelstelling van het onderzoeken en argumenteren van afgeleide eigenschappen van evenredigheden. Het gebruik van deze eigenschappen is wat in onbruik geraakt. Ze zijn zeker geen leerinhoud voor alle leerlingen. Anderzijds bieden ze leerlingen een kans om in te zien hoe men in wiskunde wat abstracter en theoretischer kan werken. Dat leerlingen hier vlot mee overweg kunnen, kan een element zijn bij de oriëntering van die leerlingen naar studierichtingen met een sterkere wiskundige opbouw. 2.2.4

Doelstellingen grafieken en diagrammen

22/17

B


23/18

B



-


37

Hier gelden dezelfde opmerkingen als bij de analoge doelstellingen uit het eerste leerjaar. De eindtermen voorzien ‘het functioneel gebruik maken’ van grafieken en diagrammen. Er moet dus geen abstracte theorie over opgebouwd worden. Men zal de leerlingen confronteren met een aantal situaties waarin diagrammen en grafieken voorkomen, enerzijds als input van gegevens, anderzijds als output bij de antwoorden. Merk op dat de doelstellingen beide situaties voorzien. Vraagstukken en problemen bieden daartoe een aangewezen en betekenisvolle leeromgeving. Een integratie van dit onderdeeltje in een leerlijn ‘problemen aanpakken’ ligt voor de hand. Merk op dat het onderscheid met het eerste leerjaar slaat op het inbrengen van het procentueel rekenen en denken bij deze informatieverwerking. De leerplanmakers hebben dit onderdeeltje in het tweede leerjaar geplaatst. De noodzakelijke voorkennis in verband met procenten en met de cirkel zou voldoende verwerkt moeten zijn in het eerste leerjaar, zodat het hier meer gaat om een integreren van al aanwezige kennis, dan wel over echt nieuwe inhouden. Hier kan de opmerking, bij het eerste leerjaar, over de inbreng van ICT-hulpmiddelen en de bijdrage van wiskunde in het verwerven van de vaardigheden uit het ICT-raamplan, herhaald worden. Ook de verwijzing naar de peilingen door de overheid over het gebruik van grafieken en diagrammen blijft hier van kracht. Voorbeelden Voor voorbeelden verwijzen we naar de uitgebreide bijlagen bij de teksten van sessie 2 en sessie 3.

Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 1 Getallenleer

Recommend Documents