Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 1 Getallenleer

Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom Deel 1 Getallenleer

Begeleiding wiskunde Leerplancommissie wiskunde VVKSO Stuurgroep Hilde De Maesschalck, Maggy Van Hoof, Philip Bogaert, Michel Bogaerts, Geert Delaleeuw, Luc Gheysens, Andre Van der Spiegel, Johan Waterschoot Schooljaar 2005-2006

Actualisering leerplan eerste graad

-

Deel getallenleer: inleiding

3

Inleiding Dit document is de syllabus die hoort bij de eerste werken informatiesessie van een reeks van zes, die georganiseerd worden door de begeleiding wiskunde voor de leerkrachten van de eerste graad. Deze sessies sluiten aan bij de actualisering van het leerplan wiskunde van het VVKSO voor de eerste graad, die volgt op de bevraging van de leerkrachten eerste graad gedurende het schooljaar 2004-2005. Deze werken informatiesessies worden gespreid over het schooljaar 2005-2006, voor het onderdeel getallenleer en het realiseren van probleemoplossende vaardigheden, en over het schooljaar 2006-2007, voor het onderdeel meetkunde en andere vaardigheden. Dit document volgt op het algemene actualiseringsdocument dat eerder door de begeleiding verspreid werd. De algemene krachtlijnen van de actualisering zijn daarin terug te vinden. De zes sessies vormen wel een geheel.

1

Opbouw van dit document

Er is voor gekozen dit document nauw te laten aansluiten bij het leerplan zelf. De structuur van dit deel volgt de grote rubrieken van het leerplan. Zo kan de leerkracht de bijkomende informatie gemakkelijk onderbrengen in de interpretatie van het leerplan. Af en toe werden een aantal opmerkingen toch samengebracht tot een geheel (bijv. in verband met rekenvaardigheden) omdat dan een kadering van de aangebrachte ideeën duidelijker is. Een aantal specifieke informatieve gedeelten zijn als bijlagen opgenomen om het verloop van de tekst niet te schaden. Je vindt ze achteraan in de tekst. De doelstellingen in het leerplan zijn onderverdeeld in basis- en uitbreidingsdoelstellingen. Deze indeling blijft uiteraard behouden. Zoals uitgelegd en verantwoord in het document Actualisering leerplan wiskunde eerste graad opteert de begeleiding en de leerplancommissie ervoor om in een eerste fase te werken aan een verduidelijking van het bestaande leerplan, dan wel meteen een nieuwe reeks leerplannen op te starten. De basisleerstof zoals geformuleerd in het leerplan blijft dus het na te streven en te realiseren niveau. Uit de bevraging van de leraren eerste graad blijken echter twee problemen. Enerzijds zijn doelstellingen (en/of eindtermen) vanuit de vage formulering vaak nog ruim interpreteerbaar. Anderzijds lopen in de praktijk de meningen over de te bereiken basiskennis en -vaardigheden nogal uiteen. Daarom wordt voor een aantal doelstellingen een specifiering van de leerplandoelstelling opgenomen naargelang mogelijke beheersingsniveaus. Daarom voeren we bijkomende begrippen in om over de beheersing van dit leerplan na te denken. -

Een eerste beheersingsniveau wordt elementair genoemd en betreft de elementaire kennis die leerlingen eigenlijk perfect zouden moeten beheersen. Het is het absolute minimum. Het elementaire beheersingsniveau komt niet in de plaats van het basisniveau. Het geeft een aanwijzing dat het basisniveau (wellicht met heel wat inzet) mogelijk (nog) wel kan gehaald worden, maar geeft daartoe geen garantie. Daartegenover staat, dat het wel belangrijke informatie geeft over leerlingen die het niet halen. Zonder deze kennis en vaardigheden kunnen leerlingen in het vervolg van het curriculum wiskunde onmogelijk verder. Als leerlingen dit, ondanks goede inzet en desnoods gerichte remediëring, voor alle onderdelen maar net of onvoldoende aankunnen, dan zijn consequenties in de oriëntering onvermijdbaar. De capaciteiten van de leerling liggen dan niet op het vlak van studierichtingen met een sterk wiskundige onderbouw. Dan is een positieve keuze voor andere capaciteiten van de leerling aangewezen.

-

Het normale beheersingsniveau noemen we basis en betreft de normale realisatie van de basisdoelstellingen, dus zonder ingewikkelde oefeningen en toepassingen. Dit is het normaal na te streven niveau voor alle leerlingen. Het bereiken van dit

4


-

Deel getallenleer: inleiding

niveau zal de meeste tijd in beslag nemen. Ook in de evaluatie zal dit onderdeel het grootste deel uitmaken. -

Het derde beheersingsniveau wordt verdieping genoemd. De leerlingen kunnen dus meer aan dan gemiddeld. Ze willen de achtergrond van een aantal wiskundige elementen verdiepen, zijn meer op zoek naar samenhang, kunnen de kennis en vaardigheden vlotter gebruiken in toepassingen. Men kan dit niveau beogen voor alle leerlingen, maar wel vanuit het besef dat dit niet voor iedereen haalbaar is, en misschien niet hoeft. Dat wil zeggen dat men het realiseren van deze doelstellingen kan beperken tot een deelgroep van de leerlingen. De leerlingen die dit niveau niet aankunnen of niet graag opnemen, zullen best georiënteerd worden naar een verdere studieloopbaan met een beperkt pakket wiskunde.

-

Het vierde beheersingsniveau is de uitbreiding. De eerste drie niveaus vertonen zeker een stijgende graad van beheersing. In die zin is deze uitbreiding niet een nog hoger niveau. Op zich kan uitbreiding uitgewerkt worden op verschillende beheersingsniveaus. Zo kan het bijvoorbeeld gaan om een extra leerinhoud, bovenop de normale leerinhouden, maar die niet noodzakelijk is als onderbouw voor het vervolg. Bijvoorbeeld een ander talstelsel of geschiedenis hiervan kan op een basisniveau aangebracht worden bij een deelgroep van de leerlingen, zonder dat voor de andere leerlingen het vervolg van het curriculum geschaad wordt. Het kan uiteraard ook gaan over inhouden, die meer wiskundige diepgang of hogere vaardigheden vragen. Het kan zijn dat een andere werkvorm gehanteerd wordt, waarbij meer van de zelfstandigheid gevraagd wordt. En in die zin zegt het wel iets over het beheersingsniveau waarop die leerlingen met wiskunde omgaan. In het leerplan zijn een aantal suggesties opgenomen (enerzijds geformuleerd als uitbreidingsdoelstellingen, anderzijds opgenomen in de wenken als mogelijke aanvulling). Deze onderdelen kunnen slechts aangeboden worden aan beperkte deelgroepen van leerlingen. Ze kunnen bij leerlingen in geen geval aan bod komen als de andere beheersingsniveaus niet gegarandeerd kunnen worden.

2

Werkwijze

In de sessie wordt concrete en bijkomende informatie aangereikt in verband met het onderwerp. Die moet een betere ondersteuning en realisatie van het leerplan ondersteunen. In elke sessie wordt dus maar een onderdeel van het leerplan besproken. Doorheen het geheel van de sessie moet elk onderwerp zijn juiste plaats krijgen. We gaan er vanuit dat al een groot potentieel bij de leerkrachten zelf aanwezig is, maar verspreid zit. Daarom willen we in de sessies ook uitwisseling tussen de leerkrachten promoten. De eerste sessie zal eerder informatief zijn om een brede start te kunnen nemen. Ze bevat een aantal opdrachten in verband met het thema. Die kunnen op de vakgroep besproken worden. Van daaruit kan dan teruggekoppeld worden naar de volgende sessie zodat vernieuwende ideeën en werkwijze, maar ook materiaal op een brede schaal kan verspreid worden. Het is de bedoeling geschikt en vrijgegeven materiaal samen te brengen en te verspreiden onder de deelnemers.

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen

5

Sessie 1: Getalbegrip, bewerkingen Leerplan eerste leerjaar 1

Uitbreiding getalbegrip

1.1

Doelstellingen uit het leerplan

1

B

Natuurlijke, gehele en rationale getallen associëren met situaties die voorkomen in het dagelijkse leven.

2

B

De relatieve waarde van een cijfer in decimale vorm van een rationaal getal aangeven.

3

B

Een breukvorm van een rationaal getal omzetten in de decimale vorm.

4

B

Rationale getallen met een begrensde decimale vorm in breukvorm schrijven.

5

B

De absolute waarde, het tegengestelde en het omgekeerde van een getal bepalen en de bijbehorende terminologie correct gebruiken.

6

B

Getallen ordenen en voorstellen op een getallenas.

7

B

De symbolen =, ≠ , ≤ , ≥ , < en > gebruiken.

8

B

Begrippen en bewerkingen in verband met verzamelingen en de symbolen ∈, ∉, ⊂, ⊄, ∪, ∩, \ gebruiken.

1.2

Beginsituatie

Vanuit het basisonderwijs zijn de leerlingen in het algemeen goed vertrouwd met de betekenis van natuurlijke getallen, van breuken en van decimale getallen. Gehele getallen zijn slechts aan bod gekomen in verband met realistische situaties zoals het aflezen van de temperatuur of van het nummer van ondergrondse verdiepingen. Precieze informatie vind je in het leerplan basisonderwijs op pag. 39 t.e.m. 43.

@ @ 1.3

Bijlage 1

Betekenis van natuurlijke getallen

Bijlage 2

Betekenis van breuken

Actualisering leerplan

1.3.1 1

Doelstelling 1 B

Natuurlijke, gehele en rationale getallen associëren met situaties die voorkomen in het dagelijkse leven.

Als aanknoping met de basisschool en herkenningssituatie voor de leerlingen is een herhaling van het getalbegrip via allerlei praktische situaties een goede instap. Meteen wordt het gehele gekende getallenapparaat geactiveerd. Het leerplan pleit duidelijk voor het aan bod brengen van alle getalsoorten van in het begin van het schooljaar.

6


@

Bijlage 3

Betekenis van getallen, collage

Bijzondere aandacht moet besteed worden aan de invoering van de negatieve getallen. Negatieve getallen kunnen aangebracht worden met voorbeelden uit het dagelijkse leven zoals het niveau onder de zeespiegel, de lift, het negatieve banksaldo, verlies maken, … Vanuit realistische aanpak is het wellicht zinvol om de negatieve getallen in een eerste beweging te beperken tot gehele getallen. Negatieve breuken en negatieve decimale getallen kunnen best getrapt bij het gebruik in bewerkingen aan bod komen (zie verder bij bewerkingen). Opdracht Verzamel zelf (in een collage) een aantal voorbeelden van realiteitsgebonden materiaal waarmee de betekenisgeving van getallen kan ondersteund worden. Breng het materiaal mee naar de volgende sessie.

De eindtermen voorzien niet in de invoering van de symbolen voor de getallenverzamelingen. Getallen moeten geassocieerd worden aan realistische en betekenisvolle situaties. Het abstract omgaan met de getallenverzamelingen ligt meer dan een abstractieniveau hoger. Zoals aangegeven in het document ‘actualisering leerplan eerste graad’ werden de symbolen ` , ] en _ behouden in het leerplan vanuit een voorzichtige benadering ten aanzien van de toen onbekende toekomst. Nu het gehele curriculum gekend is, kan met gerust gemoed gesteld worden dat een aantal leerlingen deze notaties nauwelijks nog zal gebruiken. Het is daarom evident deze symbolen wel te vermelden om historische reden, maar er verder weinig aandacht aan te besteden. Ze kunnen voor die leerlingen, die ze later nodig hebben, gemakkelijk opgenomen worden in die situaties en op het moment waarop het gebruik zich opdringt. Voor die leerlingen is het overgaan op symbolen dan een klein kunstje met weinig tijdsinvestering. M.a.w. voor het grootste deel van de leerlingen is het leren gebruiken van deze symbolen niet noodzakelijk.

U

Beheersingsniveau Verdieping

Notaties zoals ` 0 of ]

+

De symbolen ` , ] en _ gebruiken als verkorte notatie voor de bedoelde verzamelingen.

hebben in het vervolg van het curriculum hun betekenis verlo-

ren. Ze worden in de praktijk niet gebruikt. De zinvolheid van sommige notaties wordt ook betwist in het hoger onderwijs, omdat ze geen standaardnotaties zijn. Best is dus hieraan geen aandacht meer te besteden. Verzamelingtheoretische oefeningen met deze symbolen worden achterwege gelaten. 1.3.2 2

Doelstelling 2 B

De relatieve waarde van een cijfer in decimale vorm van een rationaal getal aangeven.

Leerlingen zijn in de basisschool vertrouwd geworden met het positiestelsel (zie LP BaO G10 p.41). Ook hier volstaat een goede herhaling om het inzicht in het positiestelsel te toetsen.


7

Voorbeelden Vervang in de volgende getallen het cijfer 5 door een ander cijfer. Wat gebeurt er?

¾

25 724, 16 857, 40 589 Verwissel het cijfer van de duizendtallen met het cijfer van de honderdtallen. Wat gebeurt er?

¾

48 215

39 724

het getal

wordt groter wordt kleiner blijft gelijk

het getal

wordt groter wordt kleiner blijft gelijk

Met de zakrekenmachine cijfers poetsen. Zet het getal 3276 in het venster van je zakrekenmachine. Bij de volgende opgaven mag je alleen getallen optellen of aftrekken. a. Verander de 2 in een 5. b. Verander de 7 in een 0. c. Verander de 3 in een 0. Kun je verklaren wat er gebeurt?

¾

Het leerplan geeft in de wenken een uitbreiding aan, m.n. het onderzoeken van een ander talstelsel. Dit onderdeel kan inderdaad inzichtelijk bijdragen tot het inzicht in het decimale stelsel. Bij deze actualisering pleiten we ervoor deze uitbreiding niet automatisch als studie op te nemen. (Een inleidend verhaal over het ontstaan van ons talstelsel zal in een goede didactische aanpak wel een plaatsje krijgen.) Van een meer doorgedreven onderzoek zullen slechts een beperkt aantal leerlingen de vruchten kunnen plukken en dan nog op lange termijn. Dit onderdeeltje kan beperkt gebruikt worden als differentiatiemateriaal als men werkt in niveaugebonden groepen. Het biedt ook mogelijkheden om wiskunde door de leerlingen te laten ervaren als een component van de cultuur. Een aantal leerboeken geeft hierover achtergrondinformatie.

@

Bijlage 4

1.3.3

Talstelsels in andere culturen.

Doelstellingen 3 en 4

3

B

Een breukvorm van een rationaal getal omzetten in de decimale vorm.

4

B

Rationale getallen met een begrensde decimale vorm in breukvorm schrijven.

Observatie in de lespraktijk toont dat bij de realisatie van deze doelstellingen sterk overdreven wordt en dat de moeilijkheidsgraad onnodig opgedreven wordt. In de dagelijkse praktijk wordt omzetting tussen breukvorm en decimale vorm gebruikt om de grootteorde van een resultaat te bepalen.

8


Voorbeeld 37 45 ligt tussen 2 en 3; ligt tussen 6,4 en 6,5 15 7

Dergelijk inzicht volstaat om aan deze doelstelling te voldoen. Gekunstelde oefeningen met grote of onrealistische noemers worden achterwege gelaten. De evaluatie van deze doelstelling zal er wellicht in bestaan dat de leerling een berekend breukresultaat als vanzelfsprekend kadert tussen twee opeenvolgende natuurlijke getallen of opeenvolgende decimale getallen van eenzelfde orde (aantal decimalen). Bijvoorbeeld: “Tussen welke getallen tot op 0,1 nauwkeurig ligt ….”, “Plaats de volgende breuk op een getallenas, tot op 0,01 nauwkeurig …”. Concreet kan dus vanuit een aantal eenvoudige breukvormen (d.w.z. noemers kleiner dan twintig of noemers die snelle factorisering toelaten met een beperkt aantal factoren) effectief de deling van teller door noemer uitgevoerd worden, eventueel met gebruik van de rekenmachine. Voorbeeld 45 geeft bij deling 6,42857142… (rekenmachine) 7

dus

45 ligt tussen 6 en 7 7 45 ligt tussen 6,4 en 6,5 7

In een aantal eenvoudige gevallen kan de leerling gewezen worden op de herhaling van decimalen in de decimale ontwikkeling. Een aanvaardbaar beheersingsniveau ligt bij een periode met twee cijfers. Het begrijpen van dit repeteren is niet voor alle leerlingen weggelegd. Daarom staat ze ook in de uitbreiding bij doelstelling 3. Ook hier kan deze doelstelling aan bod gebracht worden bij differentiatie of hoekenwerk, waarbij dit in niveaugebonden activiteiten kan opgenomen worden.

U

Beheersingsniveau Elementair

De grootteorde bepalen van eenvoudige breukvormen door de begrenzing ervan te geven tot op twee decimalen. Eenvoudige breuken zijn breuken met tellers en noemers kleiner dan twintig of noemers die een snelle factorisering toelaten met een beperkt aantal factoren.

U

Beheersingsniveau Basis

De periode bepalen van een decimale vorm, als de periode maximaal twee cijfers telt en als de decimale ontwikkeling wordt bepaald met behulp van een rekenmachine.

S

Beheersingsniveau Uitbreiding

Het begrip periode van een decimale vorm verklaren.


9

Doelstelling 4 voorziet, wat betreft basisleerstof, het omvormen van een decimale ontwikkeling in breukvorm slechts voor decimale getallen. Dat wil zeggen getallen zoals: 12,75; 34,526; 0,4 (dus getallen te schrijven als tiendelige breuken). Omzetting van het decimaal gedeelte is hier in feite beperkt tot de betekenis van het positiestelsel: 0,4 is

4 75 ; in 12,75 wijst 0,75 op ;… 10 100

M.a.w. er wordt gewerkt met noemers die een macht van tien zijn. Voor het elementaire beheersingsniveau kan men zich beperken tot twee decimalen, het basisniveau tot meer decimalen. De omzetting van een repeterende decimale vorm naar zijn breukvorm is geen basisniveau. Het leerplan geeft aan dat het uitbreiding betreft, die dus niet door alle leerlingen moet bereikt worden. In de situatie van gebrekkige rekenvaardigheid en tijdsdruk, zoals door meerdere leerkrachten aangegeven werd in de bevraging, is het niet zinvol hieraan aandacht te besteden en zo de basisdoelstellingen op andere plaatsen te verwaarlozen. U


Een decimaal getal met maximaal twee decimalen omzetten in breukvorm.

U


Een decimaal getal omzetten in breukvorm.

S


De breukvorm bepalen van een repeterende decimale vorm.

1.3.4 7

Doelstelling 7 B

De symbolen =, ≠ , ≤ , ≥ , < en > gebruiken.

De leerlingen hebben tot nu toe slechts gewerkt met welbepaalde getallen. Vandaar dat ze meer vertrouwd zijn met enerzijds het ofwel gelijk ofwel ongelijk zijn van getallen, of anderzijds het ofwel groter zijn dan ofwel kleiner zijn dan. Het heeft weinig betekenis in die situaties te spreken van ‘twee is kleiner dan of gelijk aan drie’. Bij vele leerlingen stoort het vraagje ‘kan twee dan ook gelijk zijn aan drie?’ om een goede begripsvorming over de ordening van getallen te realiseren. Dergelijke uitdrukkingen worden best vermeden. Nochtans zijn de ongelijkheden ≤ en ≥ belangrijk in de wiskunde. Het betreft uitdrukkingen zoals ‘alle natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan 10’, (soms ook vertaald tot ‘getallen tot en met tien’) of zoals bij getalspelletjes: ‘kies een getal kleiner dan of gelijk aan 100’. Bij de natuurlijke getallen zou men het eerste probleem nog kunnen ondervangen door de uitdrukking “kleiner dan 11”. Maar bij rationale en later reële getallen lukt dat uiteraard niet meer. Meteen is duidelijk dat deze ongelijkheden te maken hebben met een veranderlijkheid in een van de leden van de ongelijkheid en met een open invulling ervan door verschillende getallen. Hier komt het begrip plaatshouder, veranderlijke of onbekende te voorschijn (wiskundige vorm x ≤ 10). We denken dat het goed is deze vorm van ongelijkheid dan ook maar aan bod te brengen als het begrip plaatshouder en/of veranderlijke beschikbaar is, dus als een eerste letterbegrip zich gevormd heeft. De uitdrukking kan dan op natuurlijke wijze aangebracht worden als wiskundige vertolking (mathematisering) van zinnetjes als ‘alle getallen kleiner dan of gelijk aan …‘ Het is belangrijk dat de leerlingen wiskundige uitdrukkingen op een zinvolle en betekenisvolle wijze lezen. Uit de basisschool brengen leerlingen allerlei leeswijzen mee, bijv. ‘meer dan’, ‘minder dan’. Dit zijn correcte leeswijzen. Elke afwijzing kan alleen maar onnodige drempels opwerpen. Maar in het kader van een harmonisering kunnen leerlingen

10 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen vertrouwd worden met de meer gebruikelijke leeswijzen. Meteen worden ze geconfronteerd met een belangrijk aspect van de wiskundetaal. Net als elke taal houdt ze een aantal conventies of afspraken in die noodzakelijk zijn om elkaar te begrijpen. 1.3.5 8

Doelstelling 8 B

Begrippen en bewerkingen in verband met verzamelingen en de symbolen ∈, ∉, ⊂, ⊄, ∪, ∩, \ gebruiken.

De praktijk in de lessen heeft getoond dat de verzamelingentaal zeer moeilijk verteerd werd door vele leerlingen. Vaak werd het een betekenisloos en gememoriseerd gebruiken van de taal, soms ook nog foutief. Zoals in het document ‘actualisering leerplan eerste graad’ al aangegeven werd, is dit onderdeel behouden uit voorzichtigheid voor de toekomst, wegens gebrek aan een zicht op het hele curriculum. Nu dat verhelderd is, kan gesteld worden dat dit taalgebruik in het vervolgonderwijs op niveau secundair beperkt is. Deze formele verzamelingentaal hoeft dus niet aan alle leerlingen te worden meegegeven. Daar waar het verderop in het curriculum nog nodig is (cf. deeltje kansrekenen) kan de noodzakelijke terminologie en symboliek vrij snel worden aangebracht. Collega’s van de derde graad geven aan dat er weinig is blijven hangen van wat hierover eerder gezien werd (wat overigens eerder ook al het geval was). Het heeft dus weinig zin er hier in artificiële situaties veel aandacht aan te besteden. Nog meer dan al in het leerplan aangegeven pleiten we voor een zeer beperkt behandelen van deze doelstelling, zeker als blijkt dat er voor andere doelstellingen een tijdnood bestaat. Andere doelstellingen hebben absolute voorrang op deze. Concreet lijkt het gebruik van ‘behoort tot’ (of ‘is element van’) bij getallenverzamelingen een verdiepingsniveau (cf. verzamelingennotaties zijn verdieping) te zijn dat vele leerlingen wel aankunnen. Belangrijk is dan wel aandacht te besteden aan een zinvolle leeswijze. De uitdrukking n ∈ ` wordt dus best gelezen als ‘n is een natuurlijk getal’ en niet als ‘n is een element van de verzameling van de natuurlijke getallen’ en zeker niet ‘n is element van n’. Bij getallenleer is doorsnede het meest ondersteunend bij het bepalen van de grootste gemeenschappelijke deler en kleinste gemeenschappelijk veelvoud van getallen. Deelverzameling en unie worden behandeld als verdieping voor de leerlingen die meer aankunnen. Verschil wordt beschouwd als uitbreiding.

U


S


In verband met verzamelingen het begrip ‘behoren tot‘ en het symbool ∈ gebruiken. In verband met verzamelingen de begrippen deelverzameling en unie of doorsnede van twee verzamelingen en de symbolen ⊂, ∪, ∩ gebruiken. In verband met verzamelingen het begrip verschil van verzamelingen en het symbool \ gebruiken.

Veeleer dan een behandeling van een afzonderlijk hoofdstuk verzamelingenleer, wat stilaan een uitzondering begint te worden, is het inpassen van symbolen en terminologie zinvol in betekenisvolle contexten, waar leerlingen al kunnen inzien dat een verkorte schrijfwijze met symbolen een meerwaarde inhoudt. Wat symbolentaal betreft, zal men zich beter concentreren op een goed gebruik van de bewerkingstekens tussen getallen, o.m ook machten, en later ook in formules, bijvoorbeeld bij het formuleren van eigenschappen. Hierbij is het gebruik van kwantoren nog voorbarig. Het gebruik van de universele kwantor kan slechts als uitbreiding aan bod komen. Halfslachtige alternatieven,

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 11 zoals de vermelding (met a, b ∈ ` ), worden beter niet gebruikt. Wellicht is de woordelijke uitdrukking nog het meest voor de hand liggend en het duidelijkst voor leerlingen. In het verdere curriculum, zal de beperkte groep leerlingen die het nodig hebben, geen probleem hebben met het overnemen van de formele schrijfwijze. Het invoeren kan dus uitgesteld worden tot dan.

S


De betekenis van de uitdrukking ‘voor alle’ uitleggen en het symbool ∀ gebruiken als verkorte schrijfwijze.

Voorbeeld Als formele uitdrukking voor de commutativiteit van de optelling kan de modale leerling gemakshalve a + b = b + a gebruiken. Een stapje verder is: Voor twee willekeurige natuurlijke getallen a en b geldt dat a + b = b + a. Als uitbreiding kan dan de gehele symbolische schrijfwijze gegeven worden.

2 2.1

Bewerkingen Doelstellingen uit het leerplan

15

B

Natuurlijke, gehele en rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

16

B

De tekenregels bij gehele en rationale getallen toepassen.

17

B

Terminologie in verband met bewerkingen met getallen gebruiken: optelling, som, term, aftrekking, verschil, vermenigvuldiging, product, factor, deling, quotiënt, deeltal, deler, rest.

18

U

De formule van de niet-opgaande deling in ` uitleggen.

19

B

Afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen toepassen.

20

B

Het verband tussen aftrekken en optellen en tussen delen en vermenigvuldigen verwoorden.

21

B

De rol van 0 en 1 bij de bewerkingen verwoorden.

22

B

De betekenis van de commutativiteit en de associativiteit van de optelling en de vermenigvuldiging verwoorden.

23

B

De betekenis van de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling verwoorden.

24

B

Machten met een natuurlijke exponent van een getal berekenen.

25

B

Terminologie in verband met machtsverheffing gebruiken: macht, grondtal, exponent, kwadraat, vierkantswortel.

12 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 2.2

Beginsituatie

Uit de bevraging van de eerste graad blijkt een grote verscheidenheid in beginsituatie wat betreft rekenen en rekenvaardigheid. Een belangrijke opdracht van de eerste graad SO is zeker de violen gelijk te stemmen. Bij de aangehaalde problemen vinden we: -

Rekenen met de tafels

-

Rekenen met breuken

-

Indrillen van automatismen

-

Schakelfouten (gebruik gelijkteken)

In wat volgt proberen we de rekenproblematiek beter te situeren en een aantal denkpistes aan te reiken om die te verbeteren. 2.3

Schakelfouten

Een veel gesignaleerde rekenfout bij leerlingen betreft het onoordeelkundige gebruik van het gelijkteken (het zogenaamd breien). Leerlingen hanteren het gelijkteken eerder als overgang naar een volgende stap in hun berekening, dan wel om de gelijkheid uit te drukken. Zo verbinden ze bij 35 + 17 de uitdrukkingen 35 + 5 + 12 40 (als tussenresultaat) 40 +12 met gelijktekens. Uiteraard moet dit soort fouten verbeterd worden. Vooral als leerlingen later met letters rekenen leidt dit tot nefaste gevolgen. Best is de aaneengeschakelde gelijkheden te vermijden. Het netjes onder elkaar rekenen biedt een alternatief. Bij gebruik van invulmateriaal moet hiervoor ruimte voorzien worden! Wat betreft evaluatie, is het belangrijk de opgegeven rekensom op de juiste uitvoering te controleren. Het zou jammer zijn leerlingen te demotiveren door een te zware sanctie als ze toch een exact resultaat bekomen. Het probleem zal dus gesignaleerd worden aan leerlingen waarbij het zich voordoet. De fout wordt wel aangestreept, maar in een eerste fase wordt ze niet gesanctioneerd. Men kan dan een moment afspreken waarop de ‘slechte gewoonte’ moet afgeleerd zijn en waarna wel gesanctioneerd kan worden. 2.4

Rekenvaardigheid

De rekenvaardigheid is een van de meest voorkomende problemen bij leerlingen en niet alleen in de eerste graad. Het is daarom zinvol een samenhangend overzicht te geven van een aantal problemen en de mogelijke aanpak daarvan in de eerste graad. Het isoleren van een probleem en focussen op de oplossing daarvan lijkt weinig efficiënt. Vaak wekt dit alleen maar meer tegenzin op bij de leerlingen. De rekenvaardigheid zal in de praktijk maar verbeteren als er een geïntegreerde aanpak is van de verschillende problemen. Daarbij is het aangewezen niet tegen windmolens te strijden. De minder goede vaardigheid is niet alleen een rekenprobleem, maar vaak ook een effect van een aantal maatschappelijke fenomenen, waarbij dit rekenen minder belangrijk geacht wordt. In wat volgt wil de begeleiding een globale visie weergeven, waarbij getracht is een realistisch en realiseerbaar standpunt in te nemen. Globaal komt ze hierop neer. Een goede en vlotte rekenvaardigheid is belangrijk in die situaties waarin ze voordelig is. De nodige training is daarvoor noodzakelijk. Anderzijds kan alleen maar vastgesteld worden dat hoe langer hoe meer de rekenmachine gebruikt wordt om ‘moeilijke’ berekeningen uit te voeren, ook in de dagelijkse praktijk. In plaats van te investeren in automatismen die toch niet nuttig meer zijn, kan beter gewerkt worden aan zinvolle controlemechanismen,

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 13 waarbij het handig rekenen wel degelijk een rol speelt. In situaties waar een gemiddelde volwassene de rekenmachine zal gebruiken, zullen we dat ook doen bij de leerlingen. In het bijzonder als andere dan rekendoelstellingen en dus vaak hogere doelstellingen nagestreefd worden, zouden geen rekendrempels mogen ingebouwd zijn. In de didactische vakliteratuur wordt de term scaffolding wel eens gebruikt. In feite betekent die dat stellingen omheen het probleem worden gebouwd, waardoor de leerlingen andere wegen kunnen bewandelen om toch tot de oplossing te komen. Het gebruik van de rekenmachine bij het nastreven van probleemoplossende vaardigheden (bijv. bij vraagstukken) is hiervan een voorbeeld. Achtereenvolgens wordt aandacht besteed aan: -

de tafels,

-

het hoofdrekenen,

-

het cijferrekenen,

-

het machinerekenen,

-

het schatten van resultaten,

-

het rekenen met breuken,

-

het rekenen met negatieve getallen,

-

en de didactische aanpak van rekenvaardigheden.

2.4.1

Tafels

De verwachting vanuit de eerste graad ten aanzien van het kennen van de tafels is terecht. Het aanleren ervan start in het tweede leerjaar van de lagere school. In de verdere leerjaren is herhaling en inoefening voorzien door voortdurend gebruik.

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02, pag. 51 en 52: 2.2.3 Hoofdrekenen Vermenigvuldigen 1 B16

Weten dat de vermenigvuldiger links wordt geschreven.

B17

De vermenigvuldigingstafels tot en met 10 paraat kennen.

B18

Bij vermenigvuldigingen naar analogie met de vermenigvuldigingtafels (bijv. 2 x 30; 20 x 30; 6 x 5 000; 9 x 4 000) en buiten de vermenigvuldigingstafels (bijv. 4 x 25; 9 x 15; 4 x 125; 2 x 2 500; 11 x 8 000) flexibel een doelmatige oplossingsmethode kiezen op basis van inzicht in de structuur van de getallen en in de eigenschappen van de vermenigvuldiging; die vermenigvuldigingen correct uitvoeren, verwoorden en noteren.

2

3

4

5

6

14 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen

B19

Vermenigvuldigen met a 10; 100 b 5; 50 c 1 000; 10 000

Voor de concrete aanpak van het rekenen in de basisschool: zie Brochure Bewerkingen, D/2002/0938/01, p. 39 en 40. Redelijkerwijze mag (na vijf jaar gebruik) een voldoende verwerving verwacht worden. Toch ontbreekt het een aantal leerlingen nog aan automatisme. De aanpak waarbij in de aanleerfase het inzicht in de bewerking voorop staat, in tegenstelling tot het inhoudsloos rekenen, staat uiteraard niet ter discussie. Wel mag verwacht worden dat in de derde graad BaO de leerlingen die systematisch problemen hebben met de eenvoudige rekenoefeningen extra aandacht krijgen. Een communicatie met het basisonderwijs over een groeiend tekort aan tafelkennis dringt zich op en zal op niveau leerplancommissies opgenomen worden. Het probleem werd ondertussen al doorgegeven aan de verantwoordelijken basisonderwijs. Het inoefenen van de tafels blijft een fundamentele doelstelling (en eindterm) BaO, en kan als dusdanig niet worden opgenomen in het leerplan eerste graad. Wel is het evident dat door alle leraren alle inspanning moet geleverd worden opdat leerlingen een eventueel tekort ophalen. In die zin is SO medeverantwoordelijk op lange termijn. Opvang in de eerste graad SO Het is belangrijk precies te omschrijven wat verwacht wordt. M.a.w. waartoe moeten leerlingen de tafels kennen? Een goedfunctionerende rekenvaardigheid is van belang bijvoorbeeld bij schattingsoefeningen of bij eenvoudige bewerkingen, waarbij het gebruik van de rekenmachine een overbodige en vaak tijdrovende en kritiekloze stap betekent. Vlotheid van rekenen blijft een na te streven doelstelling. Precies de vlotheid van het hoofdrekenen met eenvoudige getallen, in het bijzonder het rekenen met tafelproducten, moet borg staan voor een oordeelkundig omgaan met de rekenmachine, zeg maar controle van de resultaten door schatting van grootteorde, … Het is belangrijk te zoeken naar de juiste oorzaak van het probleem, zoniet is de aanpak niet effectief. Zo is het evident dat alle leerlingen de tafels in het BaO meegekregen hebben. Het is dus eerder een kwestie van mentaliteit, van concentratie dan van niet geleerd hebben of niet kennen of kunnen. En mentaliteit, attituden zijn waarschijnlijk hardnekkiger kwalen dan niet meer weten. Je verandert dat niet zomaar door nog maar eens honderd oefeningen meer te maken, ook niet als sanctie. In de eerste graad kan gewerkt worden aan een gezonde automatisering van de tafelproducten. -

Er moet een onderscheid gemaakt worden tussen - eens een product missen; wie geen fouten maakt, werpe de eerste steen, - altijd opnieuw eenzelfde product missen; voorbeelden van bekende fouten: 9x6 wordt 56, 7x8 wordt 58, waarbij het vermenigvuldigtal blijft doorfunctioneren in de geest, het is zinvol te onderzoeken of dergelijk product niet fout geautomatiseerd is; een zeer gerichte bijsturing helpt dan wellicht,

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 15 - geregeld eens een product missen; een aantal trainingsoefeningen op de moeilijke producten dringt zich op, - de hele tijd producten niet kennen; een doorgedreven remediëring is aangewezen, met eventueel het herbekijken van het inzicht in de tafels. -

Men kan beter geregeld enkele oefeningen maken als onderhoud, dan een week training. Elke week (bijv. in het eerste trimester) een paar minuten oefenen brengt veel op.

-

Tafelfouten worden zo snel mogelijk teruggekoppeld, zoals dat in het algemeen voor vaardigheden best altijd gebeurt. Een snelle overhoring (mondeling, met kaarten, snel antwoorden noteren, …) verdient de voorkeur. Ook de omgekeerde vraagstelling (splitsingsoefeningen) kunnen daarbij aan bod komen. Ook bij het gebruik van software is het aangewezen materiaal te gebruiken dat snel terugkoppelt naar de leerling.

-

Het onderdeel kan opgenomen in een deel parate kennis. Parate kennis is kennis die altijd beschikbaar moet zijn, en die dus ook op elk moment kan opgevraagd worden. Uiteraard zijn duidelijke afspraken met de leerlingen over inhoud en werkwijze van belang.

-

Training via ICT. (bijv. oefenpakket op computer, thuis te verwerken, of tijdens inhaallessen). www.onlineklas.nl kies rekenen, tafelkampioen of sommenkampioen www.aplusmath.com/games/matho/MultMatho.html www.lantaarn.demon.nl kies medemens, leren rekenen, tafels, tafelkaart voor het gebruik van de tafelkaart http://users.telenet.be/kraeye kies overzicht, freeware met excel, module 4, 9 of 25 (kies ‘extra’ onderaan en dan vind je het volgend voorbeeld) Voorbeeld

door elkaar: reeks 2

5x4=

4x1=

1x10=

2x9=

10x3=

8x4=

3x8=

10x7=

9x1=

3x5=

5x9=

5x6=

8x7=

7x2=

7x5=

5x10=

16 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 3x2=

5x8=

2x6=

3x3=

ben je klaar?

druk dan op deze knop

Om te trainen kan je ook kaartjes maken waarop producten genoteerd staan zodat de leerlingen bij het trekken van een kaartje moeten zeggen hoe het product tot stand is gekomen. Bijv. 12 is 3x4 of 4x3, 12 is 2x6 of 6x2, … -

Bij differentiatie in de klas (bijv. via hoekenwerk) kunnen rekenzwakke leerlingen meer gerichte opdrachten krijgen, terwijl anderen meer vrije oefeningen krijgen.

-

Het heeft geen zin steeds opnieuw geïsoleerd te oefenen en op te vragen als het om een mentaliteitsprobleem gaat. Men kan dan beter vanuit motiverende oefeningen werken, bijv. oefeningen gekoppeld aan vragen en problemen. Hieruit moet blijken dat men voordeel kan halen uit een vlotte rekenvaardigheid, bijv. bij het controleren van antwoorden, het schatten van grootteorde, en het rekenen met afgeronde getallen.

Opdracht Hoe werk je nu gericht aan het wegwerken van tafelproblemen? Breng het materiaal mee naar de volgende sessie. Zoek zelf goede voorbeelden om maaltafels op een efficiënte manier te oefenen.

2.4.2

Hoofdrekenen

Uit de bevraging in de eerste graad blijkt dat er nogal wat klachten zijn over het rekenen van leerlingen. “Ze grijpen veel te vlug naar hun rekenmachine.” Het is zinvol te omschrijven wat we precies bedoelen als we zeggen dat leerlingen niet meer uit het hoofd kunnen rekenen. Vraag is misschien beter te omschrijven wat men nog terecht kan verwachten van leerlingen. We kijken weer eerst naar wat en hoe dit in de basisschool is aangezet en dan naar hoe we er in de eerste graad mee kunnen omgaan. 2.4.2.A

Hoofdrekenen in de basisschool

Hoofdrekenen in de basisschool. Naar de brochure “Bewerkingen - toelichtingen”, BaO D/2002/0938/01, pag. 32. e.v.: 2.2.3 Hoofdrekenen 2.2.3.1. Natuurlijke getallen Het leerplan maakt een onderscheid tussen paraat kennen, standaardprocedures en flexibel rekenen.

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 17

A. Paraat kennen -

Dat betekent concreet: onmiddellijk vanuit het geheugen het resultaat kunnen geven. Leerplandoelstellingen - optellen en aftrekken tot 20 (Lp BaO B9, B12); - vermenigvuldigtafels en deeltafels (Lp BaO B17, B21).

B. Het rekenen volgens standaardprocedures -

Dat betekent: werkwijzen gebruiken die toelaten op een efficiënte manier een bewerking uit te voeren. Leerplandoelstellingen - optellen en aftrekken (som ≤ 100) Lp BaO B10, B13; Pedagogisch-didactische commentaar Een goede standaardprocedure gebeurt automatisch: je denkt er niet veel bij na; ervaar je als veilig: als je de stappen rigoureus volgt, kom je er; is efficiënt: de kans dat het resultaat fout is, is klein; is kort: het aantal denkstappen is beperkt; laat ruimte voor variatie: binnen de procedure zelf zijn verschillende denksporen mogelijk. - Om standaardprocedures vlot te kunnen uitvoeren, is paraat kennen onontbeerlijk. - Het inzichtelijk leerproces verloopt niet bij iedereen in hetzelfde tempo; rekenzwakke leerlingen moeten meer tijd krijgen om de verschillende stappen naar de oplossing te kunnen zetten.

C. Flexibel hoofdrekenen -

-

Dat betekent concreet: Leerlingen hebben een zekere flexibiliteit in de keuze van de oplossingsweg bij het uitvoeren van bewerkingen. Leerplandoelstellingen - Optellen LP BaO B10, - Aftrekken Lp BaO B14, - Vermenigvuldigen Lp BaO B18, - Delen Lp BaO B22. Pedagogisch-didactische commentaar - Om flexibel te kunnen rekenen moet de leerling: - een zeker niveau van parate kennis bereikt hebben; - een zeker niveau bereikt hebben in het toepassen van standaardprocedures; - inzicht hebben in de structuur van getallen; - inzicht hebben in bepaalde eigenschappen van de bewerking. - Flexibiliteit wordt gestimuleerd: - in korte momenten van hoofdrekenen; - door het vinden en vergelijken (voor- en nadelen) van verschillende oplossingswijzen.


2.4.2.B

Hoofdrekenen in de eerste graad

Aan het hoofdrekenen moet ook in het secundair nog voldoende belang gehecht worden o.a. omdat het belangrijk is in functie van het schattend rekenen en het verantwoorde gebruik van de rekenmachine. Een misvatting is dat hoofdrekenen niet met pen en papier zou mogen gebeuren. Tussenresultaten kunnen zo nodig dus tijdelijk genoteerd worden. Hoofdrekenen heeft, zoals beschreven in het deeltje basisonderwijs hiervoor, veeleer te maken met het gebruik van rekenvoordelen, waardoor het resultaat snel kan berekend worden. Het staat tegenover het cijferen, waarbij een vast algoritme gebruikt wordt. Bijvoorbeeld 23 x 9

= 23 (10 - 1)

(eventuele tussenstap als motivatie)

= 230 – 23 = 207. dus een getal maal 9 is -

dat getal maal 10

-

en van dat resultaat het getal eenmaal aftrekken.

Niet elke opgave leent zich dus tot hoofdrekenen. Het heeft ook geen zin bepaalde oefeningen per se met hoofdrekenen te willen maken. Dat wekt wellicht alleen maar meer weerstand. Het is belangrijker te investeren in oefeningen die door de leerlingen wel vlot kunnen gemaakt worden. Consequentie is dat een training in hoofdrekenen met relatief eenvoudige oefeningen zal gebeuren. Naarmate de leerlingen terug meer getallengevoeligheid verwerven (cf. inzicht hebben in de structuur van getallen) en het rekenen vlotter gaat, kan men dan een graad hoger gaan. Zoals al zo vaak gezegd ‘voorbeelden trekken’. Leerlingen moeten de rekengewoonte en de daarbij horende gevoeligheden overnemen van hun leraren. Zo zal de leraar in de lessen geregeld luidop rekenen, zodat de leerlingen de werkwijze telkens geëxpliciteerd zien (horen). Op dezelfde wijze zal de leraar ook aanzetten tot schattend rekenen door dat zelf altijd opnieuw in zijn rekenwerk te betrekken, bijv. bij opgaven met cijferen, opgaven met rekenmachine …. En dus niets slechts bij foutenverbetering: ‘je had dit kunnen vermijden door te schatten.’ Als leerlingen ervaren dat hiermee fouten kunnen vermeden worden, dan stijgt wellicht de motivatie op die werkwijze zelf te hanteren. Bij dit hoofdrekenen horen o.a. -

een grondige kennis van de tafels van vermenigvuldiging, zie hiervoor.

-

het splitsen van getallen in een som of verschil (in functie van nabij liggende tientallen, honderdtallen) Bijvoorbeeld 37 = 30 + 7 = 40 – 3 en de verwante puntoefeningen 40 = 37 + · 37 = 5 + ·

-

optellen en aftrekken van getallen kleiner dan 1000

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 19 Bijvoorbeeld 15 + 37=

, (bijv. 15 + 5 + 32 of 15 + 35 + 2 of 15 + 30 + 7)

125 + 18 =

,

815 – 25 =

,

337 + 8= De leerlingen gebruiken in de basisschool vaak het zogenaamde rijgen: 15 + 37 = 15 + 30 + 7 Als leerlingen niet flexibel genoeg omspringen met verschillende oplossingswijzen, biedt het vast afspreken van een ‘regel’ (standaardprocedure) die aansluit bij hun rekengewoonten uit de basisschool misschien meer ondersteuning. -

het splitsen van getallen in een product (beperkt tot drie verschillende factoren kleiner dan 10) Bijvoorbeeld 28 = 4 . 7 =2.2.7 72 = 8 . 9 = 2 . 36 = 4 . 18 = 6 . 12 = 3 . 24 =2.2.2.3.3 Of bijvoorbeeld de vraag: Splits 90 in een product van twee getallen op twee (drie, …) verschillende manieren. 90 = 2 . 45 = 3 . 30 = 6 . 15 = 5 . 18 en de daarbij horende puntoefeningen 28 = 2 . · . 7 90 = · . 30 =6.· Het splitsen van getallen in producten (het ontbinden van getallen) is van belang bij het zoeken naar gemeenschappelijke factoren van getallen, bijvoorbeeld bij het vereenvoudigen van breuken,

20 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen Bijvoorbeeld 84 2.2.3.7 = =6 14 2.7

en verderop in de tweede graad bij het vereenvoudigen van wortelvormen. 128

=

2.64

=8 -

2

een getal van twee cijfers vermenigvuldigen met of delen door een getal van één cijfer Bijvoorbeeld 8 . 32 =

,

84 : 7 =

,

-

de kwadraten van de eerste twintig natuurlijke getallen,

-

het rekenen met eenvoudige breuken Bijvoorbeeld 3 2 + = 4 5 2 6 ⋅ = 3 5

-

eenvoudige oefeningen op de volgorde van de bewerkingen Bijvoorbeeld (7 – 4) + (3 – 8) = 2.(-5) + (-3)3 =

-

percentrekenen Bijvoorbeeld 3 % van 250, 5 % van 1200,

Het hoofdrekenen kan ook gekoppeld worden aan het letterrekenen (zie later) en aan het oplossen van eenvoudige vraagstukjes. Bijvoorbeeld Het vijfvoud van een getal verminderd met drie is 27. Wat is dit getal? Verminder je de helft van een getal met 6, dan krijg je 8. Bepaal dit getal. 2.4.2.C

Hoger beheersingsniveau

Meer complexe opgaven kunnen door de betere leerlingen uit het hoofd berekend worden. Bijvoorbeeld −3 5 1 3 7 + + − − +2 = … 4 8 4 12 8

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 21 Indien de grootteorde van de gegeven getallen niet te groot is, kan elke stap als een vorm van hoofdrekenen beschouwd worden. De leerlingen kunnen daarbij de tussenstappen ook schriftelijk noteren. Bijvoorbeeld Bereken 2(-4) –3(-3 – 5 + 9)². Zoals enkele voorbeelden hier voor aangeven beperkt hoofdrekenen zich niet tot het rekenen met natuurlijke getallen. Dat rekenen is wel de basis voor het rekenen met breuken en kommagetallen. Naarmate het niveau van rekenvaardigheid toeneemt, zal men dus in het onderhouden van de rekenvaardigheid ook oefeningen met breuken en decimale getallen inbrengen. Interessante informatie over mogelijkheden waarmee leerlingen vertrouwd zijn kan je vinden in het leerplan BaO: p. 53 e.v. 2.4.2.D

ICT-ondersteuning

Er is heel wat software ter beschikking om de leerlingen trainingssessies op computer aan te reiken (bijv. als onderdeel van hoekenwerk). In de handel zijn verschillende oefenprogramma’s verkrijgbaar op cd-rom. Belangrijk is wel leerlingen op remediëring gericht materiaal aan te bieden dat geschikt is voor hun leeftijd. Voorbeelden ter inspiratie zijn terug te vinden op de volgende websites. -

www.wisweb.nl kies applets, alle onderwerpen, vijf op een rij of kies applets, getalbegrip, flippo of kies applets, rekenen en schatten, kapotte rekenmachine

-

http://users.telenet.be/kraeye kies overzicht, freeware met excel, hoofdrekenen gemengd Voorbeeld

Snelrekenen blok 1

3x8

=

Vul in

0

6 x 30

=

Vul in

0

302 - 8

=

Vul in

0

40 x 40

=

Vul in

0

156 + 34

=

Vul in

0

28 : 4

=

Vul in

0

1000 - 9

=

Vul in

0

7 x 50

=

Vul in

0

418 - 60

=

Vul in

0

0

50 x 300

=

Vul in

0

op 10


-

www.sommenmaker.nl Voorbeeld Klik onderaan de pagina voor de antwoorden.

Opgavenblad Groep ...........

PAGINA PRINTEN

van

..........................................

Datum: 13-1-2006 14:40:30

18 x 32 =.....

10 x

9 =.....

20 x 30 =.....

12 x 39 =.....

15 x

7 =.....

14 x 24 =.....

16 x 24 =.....

9 x

28 =.....

19 x 35 =.....

18 x

3 =.....

7 x

27 =.....

7 x

15 x 30 =.....

8 x

19 =.....

5 x

5 x

11 x 33 =..... 5 x

11 =.....

30 =.....

9 x

25 =.....

13 =.....

10 x

2 =.....

Antw oorden

2.4.2.E

Evaluatie van hoofdrekenen

Voor de evaluatie van hoofdrekenen is het aangewezen dat de leerling geregeld beoordeeld wordt, al of niet op basis van enkele getoetste oefeningen. Daarbij spelen dan niet alleen het aantal oefeningen waarop correct werd geantwoord een rol, maar ook de vlotheid waarmee dit gebeurt (bijv. tijd). Anderzijds steekt in de beoordeling ook de evaluatie van de rekengedragingen: nemen leerlingen vlot de hoofdrekenweg of grijpen ze te pas en te onpas naar hun machine. Door de feedback vooral te concentreren op deze evaluatie kan men misschien bereiken dat leerlingen ook effectief meer gaan hoofdrekenen. Wellicht kan dat ook door hen af en toe bij een taak te confronteren met een beperkte reflectieopdracht over hun eigen aanpak: heb ik deze opgave met hoofdrekenen opgelost, was dat zinvol, en eventueel waarom niet? Bijvoorbeeld Je kunt de leerlingen een blad met sommen geven, zonder kladpapier, dat ze binnen een bepaalde tijd moeten oplossen. Je houdt de vorderingen van de leerlingen bij. Bijkomende commentaar over mogelijke aanpak via gespreide of permanente evaluatie zie ook in het hoofdstuk evaluatie. Opdracht

Hoe werk je gericht aan hoofdrekenen? Maak een blad om hoofdrekenen te oefenen. Experimenteer in je klas met oefeningen op hoofdrekenen.

19 =.....

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 23 2.4.3

Cijferrekenen

2.4.3.A

Cijferrekenen in de basisschool

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02, pag. 55 en 56: 2.2.5 Cijferen Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: zie brochure. Delen 1

B42

Een natuurlijk getal delen (het quotiënt bevat maximum 3 cijfers na de komma) door: a) een natuurlijk getal kleiner dan 10 tot op 1 nauwkeurig b) een natuurlijk getal kleiner dan 10 tot op 1 of 0,1 of 0,01 of 0,001 nauwkeurig c) een natuurlijk getal kleiner dan 100 tot op 1 of 0,01 of 0,01 of 0,001 nauwkeurig d) een kommagetal met hoogstens drie cijfers na de komma

B43

Een kommagetal delen (het quotiënt bevat maximum 3 cijfers na de komma) door a) een natuurlijk getal kleiner dan 10 tot op 1 of 0,1 of 0,01 of 0,001 nauwkeurig b) een natuurlijk getal kleiner dan 1000 tot op 1 of 0,01 of 0,01 of 0,001 nauwkeurig c) een kommagetal met hoogstens drie cijfers (bijv. 87,5; 8,75; 0,87) tot op 1 of 0,1 of 0,01 of 0,001 nauwkeurig.

B44

Bij een niet-opgaande staartdeling ( de deler is een natuurlijk getal) de juiste waarde van de rest bepalen

Algemeen B45

De procedures om te cijferen (cijferalgoritmes) begrijpen mede op basis van inzicht in de tientalligheid en het plaatswaardesysteem van het talstelsel

B46

De uitgevoerde bewerkingen controleren: a) door de uitkomsten van de bewerkingen te vergelijken met de schatting b) door bij de optelling en de aftrekking de omgekeerde bewerking uit te voeren c) door de zakrekenmachine te gebruiken

2

3

4

5

6


Zie ook de brochure “Bewerkingen”, BaO D/2002/0938/01, pag. 73 en volgende: 2.2.5 Cijferen in het bijzonder p. 74 Kenmerken van cijferen p.75 en 76 Progressieve complicering en eigenschappen van progressieve complicering p.79 Eigenschappen van progressieve schematisering

Uit het leerplan en het uittreksel hiervoor blijkt dat, binnen de begrenzingen die aangegeven zijn in het leerplan, voldoende aandacht besteed wordt aan het verwerven van de cijferalgoritmes. Ook het onderhouden van de verworven vaardigheden komen ruim aan bod. De leerlingen zouden dus over een voldoende vaardigheid moeten beschikken. De begrenzingen die zijn aangegeven in het leerplan kunnen onverkort overgenomen worden in het secundair onderwijs. Het is niet zinvol te investeren in een uitbreiding hiervan. 2.4.3.B

Cijferrekenen in de eerste graad

Het belang van het cijferrekenen moet sterk gerelativeerd worden. Oefeningen zoals: Werk uit volgens de praktische schikking: 50 076 + 68 243 + 4873 = , 2758 . 324 = , 3145 : 37 = worden beter en sneller met de rekenmachine uitgevoerd. Het cijferen zelf kan dus beperkt worden. Aan de hand van voorbeelden kan het inzicht in het algoritme van het cijferen verdiept worden. Voorbeeld

-

Liever dan de traditionele cijferoefeningen kan men andere oefeningen aanbieden gericht op het inzicht in het cijferen. -62 394+ -8-7 -3312

-

-87 3-1 + 56-3-0

4-4- 15-2 -149

Een oefening met een grotere uitdaging: Maak met de cijfers 1 tot en met 6 twee getallen waarvan de aftrekking de kleinst mogelijke uitkomst oplevert. Je moet elk cijfer één keer gebruiken en de uitkomst dient positief te zijn. Zijn er meerdere mogelijkheden? Waarom wel, waarom niet? Probeer een verklaring te vinden. Is je verklaring generaliseerbaar? Hoe toets je dat? Produceer zelf verwante probleemstellingen.

(Zie Nationale Rekendagen 2004, Freudenthal Instituut, website: www.rekenweb.nl,

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 25 ga naar ‘leraar’ en ‘practica’)

Het voordeel van het decimale stelsel is precies dat dergelijke algoritmen eenvoudig zijn. Niemand met onze wiskundevorming zal het nog leuk vinden twee getallen in Romeinse notatie met elkaar te moeten vermenigvuldigen. We zullen daar wellicht niet aan beginnen, ofwel snel de omzetting maken naar het decimaal systeem. Dit inzicht in de algoritmische kracht van ons systeem van cijferen behoort wellicht niet tot het minimale beheersingsniveau. Het uitwerken van enkele voorbeelden met relatief kleine getallen zal dus volstaan. Als leerlingen hierin gemakkelijk meegaan en meer aankunnen, is dat een element dat in de verdere oriëntatie van de leerling naar sterkere wiskundestudierichtingen kan meespelen. Voor het praktische gebruik van het cijferen is het zinvol met de leerlingen afspraken te maken over wat nog verwacht wordt. We houden hier dus een pleidooi om het gebruik in de praktijk dus sterk te relativeren. In de praktijk gebruiken we zelf ook relatief snel de rekenmachine als de getallen meer dan twee cijfers hebben, of als er wat decimalen aan te pas komen. Laten we leerlingen ook die aanpak gunnen als het niet gaat over de doelstelling van de rekenprocedure zelf, dus bijv. bij louter kale berekeningen, bij vraagstukken, ….. Zoals al eerder gezegd kan men beter investeren in een oordeelkundig gebruik van het schatten van de resultaten. Dit ondersteunt leerlingen in het vermijden van fouten. Bewerkingen met breuken kunnen in sommige gevallen gedeeltelijk als cijferrekenen beschouwd worden. Bijvoorbeeld 7 2 6 31 − − − 9 5 12 36 Alle breuken naar noemer 180 herleiden, vraagt in de teller heel wat ‘cijfer’werk waarover een aantal leerlingen zullen struikelen. 29 17 3 − ( ): . 15 35 7

2.4.4 2.4.4.A

Machinerekenen De zakrekenmachine in de basisschool

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02, pag. 57: 2.2.6 De zakrekenmachine gebruiken 1

B47

De zakrekenmachine efficiënt en met inzicht gebruiken om op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen en procenten te berekenen

B48

De zakrekenmachine gebruiken om meer inzicht te verwerven in de structuur van de getallen en in de eigenschappen van bewerkingen en in de relaties

2

3

4

5

6


tussen procenten, kommagetallen en breuken

2.4.4.B

De zakrekenmachine in de eerste graad

Voor het inoefenen van het machinerekenen moet voldoende tijd worden uitgetrokken. De leerlingen die het eerste leerjaar beëindigen moeten vlot kunnen rekenen met een rekenmachine. De rekenmachine kan gebruikt worden voor het berekenen van sommen, producten en quotiënten, het bepalen van quotiënt en rest deling op de eenheid nauwkeurig, oefeningen op de volgorde van bewerkingen en het bepalen van getalwaarden, bij percentrekenen, bij het oplossen van vraagstukken. Hierbij moeten de leerlingen de grens leren leggen tussen oefeningen waarbij het hoofdrekenen een belangrijke rol speelt en andere waar het hoofdrekenen niet tot een snelle oplossing leidt. Zo kunnen we ons vragen stellen bij opgaven zoals Bereken [(6 - 4).33 - 15] - 144: 3.[43: (16.2 : 4) - 7] . Men kan zich de vraag stellen of een dergelijke berekening wel zinvol is als we leren in realistische situaties. Vraag is dus of we leerlingen niet een aantal dingen leren die ze buiten de artificiële situaties van de wiskundelessen nooit zullen tegenkomen. En zelfs als een dergelijke situatie nog vertaalbaar zou zijn, dan wordt ze in de praktijk meestal in deelresultaten berekend. Inoefening, laat staan automatisering van dergelijke technieken worden dus best achterwege gelaten. Aanvaardbare oefeningen van dit type zijn: Voorbeelden -243 + 167 (probleem: invoer teken) −2 2 5 + − 5 17 7

( −2)

4

+ (−24 )

−23 + 32 + ( −2 )

3

2.33 + 4.32 − 7.3 + 5

3 3 ⎞ 5 ⎛4 + 2. ⎜ + ⎟: 5 ⎝ 5 10 ⎠ 2 3 + 53 53 − 3

Het inbrengen van dergelijke opgaven in een rekenmachine vraagt heel wat oplettendheid en nadenken. Het is dus zeker een drogreden dat het gebruik van een rekenmachine alleen maar leidt tot denkluiheid. Ook al zijn de hedendaagse rekenmachines zeer gebruiksvriendelijk wat inbreng betreft, toch blijft het telkens een oefening in het goed vertalen van de opgave vanuit de dagelijkse rekenwijze naar de specifieke taal van de machine. Ook hier geldt de opmerking dat vlotheid niet zal bereikt worden door telkens met complexere oefeningen te trainen, maar wel met goede haalbare opgaven. Reflectie over dit vertaalwerk leert de leerlingen hiermee kritisch omgaan. Bijvoorbeeld over de functie van haakjes (die in de praktijk soms de vertaling zijn van een breuk-

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 27 streep). Dat moet het aanleren van andere ‘talen’ bij het gebruik van software vereenvoudigen. De zakrekenmachine kan zinvol gebruikt worden bij het controleren van resultaten bij cijferoefeningen bijv. uit betekenisvolle realiteitsgebonden situaties. 2.4.4.C

Evaluatie

Het is evident dat voor de situaties waarvoor tijdens het jaarwerk een rekenmachine kan gebruikt worden, ook bij de evaluatiemomenten (toetsen zowel als examens) de rekenmachine zal gebruikt worden. Het is belangrijk van hierover duidelijke afspraken te maken met de leerlingen. Dit is geen pleidooi om de rekenmachine onbeperkt toe te laten. De verwachting van leraren naar een zekere parate kennis en voldoende rekenvaardigheid bij de leerlingen is even redelijk als die van de argumentatie voor een zinvol gebruik van de rekenmachine. Een oplossing daarvoor biedt enerzijds het permanent evalueren op wel overwogen evaluatiemomenten van bijvoorbeeld het hoofdrekenen (zie daar). Zo kan men het gebruik van de rekenmachine bewust uitsluiten. Anderzijds kan men ook op toetsmomenten en examenmomenten een deel van de evaluatietijd besteden aan opgaven waarbij de rekenmachine niet mag ingeschakeld worden of aan het opvragen van parate kennis (zo wordt het zogenaamd opslaan van formules in het toestel ondervangen). Men toetst dan ook veel duidelijker wat men wil toetsen: rekenvaardigheid en parate kennis. Wiskundig sterke leerlingen zullen uiteraard dat arsenaal ook vlot kunnen gebruiken. Wiskundig zwakkere leerlingen zullen dan weer gebaat zijn met de ondersteuning van de rekenmachine en een formularium, als de toetsing over andere doelstellingen gaat. Bijvoorbeeld het kunnen oplossen van een vraagstuk of een deelaspect ervan, het kunnen mathematiseren van de opgave, kan dan ook duidelijker getoetst worden. Dat de leerling daarbij dan eens een hulpmiddel gebruikt, kan geen probleem zijn. Integendeel, het oordeelkundige gebruik van hulpbronnen behoort tot goede leervaardigheden (zie vakoverschrijdende eindtermen). 2.4.5

Het schattend rekenen

Zie ook de brochure “Bewerkingen”, BaO D/2002/0938/01, pag. 66 en 67: 2.2.4 Schattend rekenen in het bijzonder - Wat moeten leerlingen kennen en kunnen om schattend te kunnen rekenen? 1 Inzicht hebben in het plaatswaardesyteem. … 2 De basisbewerkingen tot 20 en tot 100 beheersen. 3 Vermenigvuldigings- en delingstafels kennen. 4 Vlot kunnen rekenen met ‘ronde’ getallen. … 5 Schatfouten en onnauwkeurigheden relativeren en inzien. 925 x 9543 Mogelijke benaderingen 900 x 10000; 925 x 10000; 1000 x 9500; 1000 x 10000 Voor welke schatting je kiest, hangt af van de situatie waaraan de bewerking 925 x 9543 verbonden is. - Hoe motiveer je leerlingen om te schatten? Stel eerst de vraag of een globale dan wel een precieze oplossing nodig is in de


gegeven situatie. … Kies passende afrondingen en bereken met eenvoudige rekenhandelingen een ‘ongeveer-oplossing’. … Plaats de ongeveer-oplossing terug in de oorspronkelijke situatie en bespreek. Stimuleer hierbij leerlingen om tevreden te zijn met een globale of ongeveerberekening.

Schattend rekenen bewijst vooral zijn waarde in het dagelijkse leven. Een schatting is meer dan een gok. Op zijn minst kan je het een goede gok noemen die ergens op gebaseerd is. Bij schattend rekenen horen specifieke strategieën die vaak een combinatie zijn van handig rekenen en heuristiek. Enkele schattingsstrategieën: -

afronden op ronde of bekende getallen (ronde staat hier voor eindigend op tientallen, honderdtallen ….) 5072 : 31

-

5100 : 30

naar boven én naar beneden afronden (geeft ook boven- en ondergrenzen voor het resultaat) 76 . 87

-

is af te ronden op

ligt tussen

70 . 80 en 80 . 90

één naar boven en één naar beneden afronden 48 . 32

benaderen door

50 . 30

24 . 43

benaderen door

25 . 40

Merk op dat één naar boven en één naar beneden gemakkelijk is als de getallen dicht bij de tientallen liggen. In andere gevallen kan een keuze voor afronding van een van de getallen op het nabij liggende vijfvoud de schatting beter maken dan afronden op tientallen. -

schatten via ‘verdubbelen en halveren’ of andere uit het hoofdrekenen bekende eigenschappen 24 . 43 kan benaderd worden met 25 . 40 maar ook door verdubbelen en halveren via 12 . 86 = 6 . 172 = 3 . 344 dat op ongeveer 1000 uitkomt.

In een lessituatie kiest elke leerling zijn eigen aanpak om zo op zijn niveau tot een schatting te komen. In een klassengesprek kunnen de verschillende strategieën vergeleken worden, zodat leerlingen het schattend rekenen verder ontwikkelen. Door steeds op eigen en andermans aanpak te reflecteren kan je de schatvaardigheid verhogen. Het schattend rekenen leent zich uitstekend voor differentiatie. Zoals al bij hoofdrekenen aangegeven is het belangrijk dat de leraar hier het voortouw neemt en de leerlingen voortdurend laat inkijken in zijn werkwijze door luidop te rekenen en dus ook te schatten. We stellen vast dat in bepaalde leerboeken nauwelijks expliciete oefeningen over schattend rekenen voorkomen. Als het gebruikte leerboek geen of weinig oefeningen op schattend rekenen aanbiedt, moet de leerkracht zelf geregeld initiatief nemen door de leerlin-

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 29 gen bij sommige oefeningen eerst te laten schatten vooraleer de berekening te maken. Verder zijn aanvullende opdrachten noodzakelijk. Enkele voorbeelden: -

Door middel van meerkeuzevragen: o

Bepaal door schatten bij welk geheel getal de uitkomst het dichtst in de buurt ligt? 1,24 . 3,28

met keuze uit

A

3

B

4

C

6

19 . 36,1

met keuze uit

A

700

B

900

C

800

369 + 693

met keuze uit

A

950

B

1000

C

1050

8953 – 3476

met keuze uit

A

5500

B

5000

C

6000

Verfijning: is het goede antwoord kleiner of groter dan de schatting? o

Welk resultaat is goed? 325 . 497 = met keuze uit

o

A

162 500

B

161 525

C

16 155

D

16525

Erik, Bieke en Johan krijgen elk een stel skeelers van hun ouders. Erik kiest het type ‘Buffalo’ van € 38,16, Bieke neemt de ‘Super Junior’ van € 69,39 en Johan zou graag ‘Blake Walker’ van € 76,34 hebben. Schat wat moeder moet betalen. Duid je antwoord aan: A het bedrag ligt tussen € 160 en € 170 B het bedrag ligt tussen € 170 en € 180 C het bedrag ligt tussen € 180 en € 190

o

Schat telkens de uitkomst. Vul dan in met: meer of minder 60,25 . 5,01 is ………………… dan 300 286,6 : 31,5 is …………… …. dan 9

-

Als voorafgaande stap bij het uitvoeren van berekeningen met de rekenmachine: o

Aan de hand van een (gegeven) reclamefolder maakt An volgend boodschappenlijstje op: 12 bruine eieren, 5 blikken hondenvoer, 2 pakken wattenschijfjes, 3 doosjes margarine. Schat hoeveel geld An ongeveer moet meenemen.

Interessante website ter inspiratie voor voorbeelden: www.wisweb.nl kies applets, rekenen en schatten, vallende sommen Een aantal suggesties bij schattend rekenen uit het basisonderwijs zijn ook in de eerste graad nog interessant.

@

Bijlage 5

Voorbeelden schattend rekenen uit de diocesane proeven basisonderwijs

Evaluatie

Zoals hierboven aangegeven voorbeelden illustreren kan men via oefeningen ook een zicht verwerven op de wijze waarop geschat wordt. Dit kan dus onderwerp zijn van ‘inhoudelijke’ toetsing.

30 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen Belangrijker nog dan de inhoudelijke toetsing is de evaluatie van de schattingsattituden. Dit is weer onderwerp van een alternatieve evaluatie via observatieschema’s gedurende een werkles wiskunde. Men ziet vrij vlug of de leerling spontaan naar de schatting grijpt of niet. Zoals met attituden meestal het geval zal dit vooral resulteren in een woordelijke feedback over de attituden. 2.4.6

Rekenen met breuken

2.4.6.A

Breuken in het basisonderwijs

Algemeen wordt aangenomen dat leerlingen die in de A-stroom terecht komen vertrouwd zijn met breuken en het rekenen met breuken. Die verwachting is niet correct. Al sinds de leerplanverandering van de tachtiger jaren in BaO wordt hieraan heel wat minder aandacht besteed. Bij de laatste leerplanwijziging met de invoering van de eindtermen, werd dit onderdeel nog verder teruggeschroefd. Het valt niet te verwachten dat hierin verandering zal komen.

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02 1.2.5 Breuken (pag. 42) beperkt deel van de doelstellingen

G16

Breuken vergelijken, ordenen en onder meer aanduiden op een getallenas: A Stambreuken B Breuken met dezelfde noemer en breuken met dezelfde teller C Eenvoudige breuken (na vereenvoudiging) D En gebruik maken van de term gelijkwaardige breuken.

G17

A B

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

Eenvoudige breuken gelijknamig maken om ze te vergelijken en te ordenen of om ze op te tellen of af te trekken. En gebruik maken van de term gelijknamige breuken.

2.2.3.2 Breuken (pag. 53) beperkt deel van de doelstellingen

B26

In praktische gevallen met inzicht optellen van eenvoudige 3 5 A Gelijknamige breuken (bijv. + ) 4 4 1 3 B Ongelijknamige breuken (bijv. + ) 2 4

B27

In praktische gevallen met inzicht aftrekken van eenvoudige 3 1 A Gelijknamige breuken (bijv. − ) 4 4


B

Ongelijknamige breuken (bijv.

3 1 − ) 4 2

B28

In praktische gevallen eenvoudige breuken met inzicht vermenigvuldigen met 1 10 5 A Een natuurlijk getal (bijv. 10 x = = ; 12 12 6 2 10 3 3 ; 2x = ) 5x = 3 3 8 4 1 4 4 3 1 3 B Een breuk (bijv. x = ; x = ) 3 5 15 4 2 8

B29

In praktische gevallen met inzicht: A Een eenvoudige breuk delen door een natuur8 2 3 3 :2 = ) lijk getal (bijv. : 4 = ; 9 9 4 8 B Een natuurlijk getal delen door een stambreuk 1 (bijv. 4 : = 8 2

Zoals blijkt uit dit overzicht is de kennis van breuken beperkt. Dat wil zeggen, beperkte noemers, het rekenen hoofdzakelijk beperkt tot optellen en aftrekken. Vermenigvuldiging in een aantal beperkte gevallen (d.w.z. bij eenvoudige breuken, dus vooral met een beperking op de soort noemers), deling nauwelijks. Ook hier werd geen aandacht besteed aan een algemene automatisering van de rekentechnieken. Wel wordt vooral aan begripsmatige invulling van breuken gewerkt waarbij het rekenen ermee daaraan ondergeschikt. Dus weer maar eens het gebruik ervan in zinvolle contextsituaties.

@

Bijlage 6

Voorbeelden bewerkingen met breuken uit de diocesane proeven basisonderwijs

In de praktijk zal ook sneller overgegaan worden naar het gebruik van procenten (bijv. niet een vierde als resultaat, maar 25 %), en van decimale getallen. 2.4.6.B

Breuken in de eerste graad

Het basisonderwijs heeft vanuit de eindtermen gekozen om breuken minder uitvoerig te behandelen. Hierin zal geen verandering komen. Het SO moet hier zijn verantwoordelijkheid opnemen en het breukbegrip en het rekenen met breuken op een behoorlijk niveau trekken. Het is belangrijk precies te omschrijven wat verwacht wordt. M.a.w. wat moeten leerlingen van breuken kennen, en welke vaardigheden moeten ze beheersen? -

Belangrijk inzicht is het juist vereenvoudigen. Tegen deze rekenregels worden nogal wat fouten gemaakt. Vereenvoudigen is belangrijk omdat op deze wijze meestal met eenvoudigere uitdrukkingen kan gewerkt worden. Bij een product en bij het bepalen van het eindresultaat blijft vereenvoudigen belangrijk. Leerlingen moeten leren hun rekenwerk, vooral bij het rekenen met breuken, met zeer veel zorg uit te voeren. Dat is wellicht een overbodige opmerking, omdat het ook de frustratie is van vele leraren. Een te snelle overstap naar zogenaamde kortsluitingen hierbij leidt tot meer fouten.

32 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 4 3 16 3 16 wordt te snel . . 4 9 4 93

Voor vele leerlingen is de lange weg op termijn het meest rendabel: 3 16 . 4 9

=

3 . 16 4.9

=

3.4.4 4.3.3

= =

3 . 4 .4 4 . 3 .3 4 3

Mogelijk helpt het ook deze operatie (telkens opnieuw) te (laten) verwoorden als “het wegdelen (het schrappen) van de gemeenschappelijke factoren (van teller en noemer van eenzelfde breuk)”. -

Inzicht in de rekentechnieken voor optelling (en aftrekking) en vermenigvuldiging (en deling) is van belang. (Ook later belangrijk voor algebraïsch rekenen. Binnen de nieuwe leerplannen geldt dit slechts voor een beperkt aantal leerlingen.)

-

Vermenigvuldigen en delen van breuken wordt in de eerste graad best als nieuwe leerinhoud uitgewerkt. Teveel leerlingen hebben hier tekorten.

-

Vaardigheid in de rekentechniek in haalbare situaties (m.a.w. beperking van de rekenproblematiek, gebruik van beperkte noemers en haalbare ontbindingen). Voorbeelden -

Eenvoudige noemers, d.w.z. noemers tot 100 en gemakkelijk ontbindbare getallen.

-

Eerst voldoende lang oefenen met gelijknamige breuken bij optellen en aftrekken.

-

Voldoende lang oefenen op het vermenigvuldigen en delen van teller en noemer van een breuk met een zelfde getal.

-

Optellen en aftrekken beperken tot breuken met ‘eenvoudige noemers’.

-

Vermenigvuldigingen beperken tot breuken met eenvoudige noemers en tellers.

-

Uitstellen van het gebruik van negatieve noemers, d.w.z. het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen in een eerste fase beperken tot breuken waarbij het minteken slechts voorkomt in de teller.

-

-

2 2 4 De deling bij breuken blijkt makkelijker in de vorm : , dan in de vorm 3 4 3 7 7

Verdieping van de rekenvaardigheid zit dan in de complexiteit van de oefeningen, bijvoorbeeld de combinatie van rekenregels (later ook tekenregels) of in het gebruik van niet zo eenvoudige tellers en noemers. 70 28 63 1 −( − ). = 126 63 42 4

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 33 10 4 15 11 = : − . 21 7 18 25

-

Te vermijden soort oefeningen: opstapeling van breuken 6 10 9 . − 7 21 8 3 18 7 − 17 27 12 19

=

-

De kennis over breuken kan weer best nagestreefd worden in praktische situaties. Dat maakt de oefeningen wellicht haalbaarder en beperkter.

-

In de praktijk zal men vaak met ‘benaderingen’ werken (ook later in wetenschappen is dat zo, eventueel zelfs met een foutenbespreking over de graad van benadering). 3 51 of Wat zegt over het resultaat? Meestal zal men dan decimale getallen ge56 471 bruiken. Het is dus zinvol in die situaties ook meteen (dus ook bij het aanleren in de eerste graad) over te gaan op decimale getallen.

-

Het rekenen met breuken (vooral het optellen en aftrekken) kan dus beperkt worden tot situaties waar de rekentechniek voldoende vlot kan functioneren.

-

Zoals het leerplan al aanbeveelt zal men zo snel mogelijk met herhaling van breuken en het rekenen met breuken beginnen. Men zal dus niet wachten tot het tweede of het derde trimester om daar mee te beginnen.

-

Het verwerken van dit onderdeel zal men best spreiden doorheen het gehele jaar. Bijvoorbeeld eerst het breukbegrip herhalen met positieve breuken (men hoeft dus geen half jaar te wachten tot gehele getallen en bewerkingen met gehele getallen zijn verworven vooraleer men oefeningen met breuken aanbiedt), vereenvoudigen, dan optellen en aftrekken, dan vermenigvuldigen en delen, daarna pas ook negatieve getallen in teller en noemer, (zij het dat de betekenis van een negatief getal in de noemer niet meteen met een realistische situatie zal verbonden worden).

-

Interessante websites: -

http://users.telenet.be/wiskundehoekje

-

http://www.wageningse-methode.nl/ kies bij de ‘software” basisvorming 1

-

Later bij het letterrekenen is vooral het inzicht in de rekenregels en de bedrevenheid in de rekentechniek van belang, niet de ingewikkeldheid van de vorm. Vandaar dat ook hier bij rekenen met breuken van getallen vooral zal gestreefd worden naar rekenvlotheid en veel minder naar hoge complexiteit van de oefeningen.

2.4.7

Rekenen met negatieve getallen

De meest fundamentele vernieuwing bij het rekenen in de eerste graad is het gebruik van negatieve getallen. Inderdaad het rekenen met natuurlijke getallen en decimale getallen wordt verworven in de basisschool. Daar heeft de eerste graad een belangrijke onderhoudsfunctie. Eerder werd al gepleit voor en spreiding van het rekenen met getallen over het hele jaar. Toch betekent dit niet dat het invoeren van gehele getallen en het rekenen hiermee zou moeten uitgesteld worden tot het tweede trimester.

34 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen Relatief snel kan men het getalbegrip al invoeren en de getallen laten functioneren als getal. M.a.w. het getalbegrip vormen zonder er meteen al moeilijke oefeningen mee te maken. Bij het rekenen met gehele getallen komen de tekenregels naar boven. Geleidelijk aan kan men dan de moeilijkheidsgraad opvoeren. Hierna volgt een mogelijke progressie die wiskundig zwakkere leerlingen zou kunnen ondersteunen (wiskundig sterke leerlingen zullen hier veel vlugger mee omgaan, maar we proberen te denken vanuit de lagere beheersingsniveaus). -

Louter sommen met gehele getallen, er is dus nog geen tekenprobleem, de getallen functioneren al wel in bewerkingen. Men kan overwegen eerst met twee termen, daarna met meer termen te werken. 3 + (-2) = -14 + 12 = 5 + (-4) + (-7) =

-

Verschil van gehele getallen (twee termen), beperkt gebruik van de tekenregel. In eerste instantie zal men de definitie van verschil toepassen: een geheel getal aftrekken is het tegengestelde ervan optellen. 5 – (-2) = 5 + 2 -7 – (-12) = -7 + 12 -16 – 14 = -16 + (-14) De eerste twee oefeningen kunnen leiden tot de gekende tekenregel.

-

Sommen met gehele getallen en meerdere termen. Dit houden we een hele tijd vol. Dus zonder de vermenigvuldiging in te brengen.

-

Producten van twee gehele getallen. o

Eerst wellicht een natuurlijk getal maal een negatief geheel getal, waarbij de definitie van de vermenigvuldiging nog kan spelen. 4 . (-3)

= -3 + (-3) + (-3) + (-3) = -12

-

o

Daarna pas een negatief geheel maal een negatief geheel met de tekenregel.

o

En dat houden we weer een hele tijd zo.

Pas als deze enkelvoudige regels vlot beheerst worden, zal men uitbreiden naar combinaties van allerlei regels. 2 . (-3) + (-7) -4 . 5 – (-12) -3 . (-7) + (-17) – (-9)

-

Quotiënten van twee gehele getallen. o

Eerst uitsluitend het negatieve getal in het deeltal of in de teller -36 : 9 −18 6 −56 14

o

Met uiteraard de tekenregel

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 35 18 18 = − −6 6 −56 56 = −14 14

-

Quotiënten van meerdere gehele getallen o

Eerst geen tekens in de noemer (vergelijk dan met de regel van de producten). −3 . 14 6

5 . (−24) 8 −42 7.3

o

Alleszins met een beperking van het aantal mintekens bij de vermenigvuldigingen en de delingen. −5 . (24) − (−36) 8 5 . (24) −4

−3 . (−16) −6 -

Quotiënten van gehele getallen in combinatie met andere bewerkingen o

Pas op dit moment worden leerlingen geconfronteerd met het combineren van −4 −4 drie mintekens: − De leerlingen hebben hiervoor al afzonderlijk leren −7 −7 bewerken. −3 . 24 7 − 15 − − 12 8

Door de moeilijkheden in de tijd te spreiden worden ze wellicht verteerbaar voor meer leerlingen. Het gevaar op het door elkaar klutsen van de regel is minder groot. Door deze gespreide aanpak is er wellicht niet meer lestijd nodig om de aanbreng van de regels te verzorgen. De oefentijd wordt wel over een grotere tijdsspanne gespreid. Vandaar dat men er ook vroeg genoeg moet mee starten. Mogelijk is er verderop een positief effect te verwachten als de leerlingen de onderliggende regels beter beheersen. ICT-ondersteuning: -

Mathelp, ga naar de module “I.exe“ (met de I van “integer”) op de website http://www.ircc.edu/portal/layout_web1.aspx?AdminEdit=False&PortalPageID=324$

-

Cd-rom rekenen in ] (mag gratis gekopieerd worden) op de website http://www.regentaat.be/mns/wis/rekenen.asp

2.4.8

Didactische aanpak van rekenvaardigheden

Zoals uit het voorgaande blijkt, kan heel wat inspanning geleverd worden om de rekenvaardigheid van de leerlingen op peil te brengen. Daarbij gaat het dus niet zozeer over

36 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen de complexiteit van de oefeningen maar wel over de vlotheid waarmee de oefeningen aangepakt worden. Het is zinvol bij het begin van de eerste graad via een diagnostische toets na te gaan waar de leerlingen precies staan in verband met rekenvaardigheid. Zo heeft men een klare kijk op het ‘residu’ van de rekenvorming in de basisschool. De vorming van de eerste graad moet hier alleszins op aansluiten, zonder evenwel de hele lagere school over te doen. Een gerichte aanpak op basis van de tekorten die fundamentele problemen kunnen opleveren is belangrijk. Via ICT kan men dan bijvoorbeeld leerlingen zelf laten remediëren als ze een bepaald vooropgesteld percentage niet behalen. Het is evenwel niet zo zinvol de leerlingen van bij hun eerste lessen in de eerste graad al meteen te overdonderen met een zeer uitgebreide toets. In een eerste algemene en orienterende verkenning zal men op basis van de grote en meestal veel voorkomende problemen onderzoeken waar de leerlingen nog ondersteuning nodig hebben. Op basis daarvan wordt een meer systematische aanpak gepland, waarbij eventueel meer specifiek naar de kennis van onderdelen gepeild wordt. Dat kan bijvoorbeeld op het moment dat de noodzakelijke vaardigheden aan bod zullen komen in de lessen. Dat kan ook als men gerichter wil werken om zo de (remediërings)taken beter af te stemmen op de feitelijke situatie. Opdracht

De term remediëring wordt in de praktijk op vele wijzen ingevuld. Je kan dit beschouwen als het bijwerken van leerlingen die eens iets gemist hebben, maar je kan die term ook een veel systematischere invulling geven. Daarbij wordt eerst via een diagnose geprobeerd het probleem van de leerling beter te bepalen. Leerlingen die een echt rekenprobleem hebben, zullen maar hulp hebben aan een degelijk uitgewerkt remediëringsschema, dat de fout op de juiste plaats aanpakt. Hoe ga je in de school om met remediëring van leerlingen met ernstige rekentekorten? Komen deze problemen ter sprake op de begeleidende klassenraad? Heb je daar materiaal voor? Breng het zo mogelijk mee ter uitwisseling.

We pleiten voor het geregeld oefenen van elementaire rekenvaardigheden in het normale curriculum. Dit kan als een rode draad doorheen het schooljaar. Naargelang de samenstelling van de klas en de studierichting kan hier gedifferentieerd gewerkt worden. Leerlingen die nog op het laagste beheersingsniveau nog onvoldoende scoren, krijgen best oefeningen op dat niveau en niet hoger. Geleidelijk aan zal men het niveau trachten op te trekken. Leerlingen die een bepaald niveau bereikt hebben kunnen na een aantal onderhoudsoefeningen via differentiatie andere onderdelen aanpakken. Zo komt er ruimte voor de aanpak van hogere beheersingsniveaus en uitbreidingsonderdelen. Uiteraard zal het blijven sluimeren op een laag beheersingsniveau zijn repercussies hebben op de orientatie van de leerlingen. Door dergelijke getrapte aanpak heeft men ook materiaal in handen om enerzijds het slagen van een leerling (of juist het niet slagen) wel te verantwoorden, maar ook om een studieoriëntatie te onderbouwen. Men kan per lesweek een 10 à 15-tal minuten besteden aan hoofdrekenen en schattend rekenen, bij voorkeur vanuit een creatieve aanpak. Voorbeelden: -

de leerlingen moeten een gegeven getal, bijv. 457, zo dicht mogelijk benaderen door naar eigen keuze berekeningen uit te voeren met andere gegeven getallen, bijv. 1, 3, 8, 10, 10 en 100 variatie mogelijk door


-

o

al dan niet te verplichten alle getallen te gebruiken;

o

door bepaalde bewerkingen al dan niet toe te laten;

o

door de bedenktijd aan te passen.

de leerlingen moeten in één minuut vijf vermenigvuldigingen noteren waarvan de uitkomst in de buurt van 1000 ligt (niet precies 1000), en dan laten controleren door de opgaven uit te wisselen met een medeleerling.

-

de leerlingen moeten de volgorde zoeken waarin de toetsen 2, 3, 9, x en = (resp. de toetsen 1, 2, 3, 4, 5, 6, - en =) werden gebruikt als op het scherm van een rekenmachine het getal 207 (resp. 64) staat.

-

de leerlingen zoeken welke fouten werden gemaakt bij het intoetsen van een opgave op een rekenmachine, als men voor 45 + 2,9 als uitkomst 54,2 bekomt; als men voor 1,7 . 5,78

als uitkomst 98,26 bekomt;

als men voor 11,4 + 0,95 -

als uitkomst

10,83 bekomt.

de leerlingen in gegeven uitdrukkingen haakjes laten plaatsen zodat er een gelijkheid ontstaat, bijv. zet de haakjes zo, dat opgave en uitkomst kloppen in 35 : 7 . 27 – 2 + 8 = 85.

Zoals al eerder gesuggereerd is het zinvol de aanpak van de rekenvaardigheid niet los te koppelen van de reële context waarin leerlingen hun rekenvaardigheid nodig hebben. Louter kale oefeningen blijken weinig motiverend te werken. Daartegenover blijkt het plaatsen van rekenvaardigheidoefeningen in de context van vraagstukken en probleemaanpak te renderen. Overigens blijkt dan de complexiteit van de noodzakelijke rekenvaardigheid nogal mee te vallen. M.a.w. ook hier zal de rekenvlotheid spelen en veel minder de ingewikkeldheid van de vormen. 2.5


2.5.1

15

Doelstelling 15

B

Natuurlijke, gehele en rationale getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Het minimale beheersingsniveau van deze doelstelling is uiteraard dat leerlingen deze bewerkingen kunnen uitvoeren met twee getallen. Zeker met negatieve getallen kan hierin een beperking gebracht worden. Ook het aantal mintekens in een te berekenen uitdrukking kan in verband gebracht worden met het beheersingsniveau. Bewerkingen uitvoeren met twee gehele getallen.

U


In een breuk teller en noemer met eenzelfde getal vermenigvuldigen of door eenzelfde getal delen (vereenvoudigen). Bewerkingen uitvoeren met twee rationale getallen in breukvorm met eenvoudige noemers. Bewerkingen uitvoeren met twee rationale getallen waarbij ten hoogste twee mintekens voorkomen.

38 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen Anderzijds moet ook ingezien worden dat de realistische situaties die tot dergelijke beperkte opgaven zullen leiden relatief beperkt in aantal en wiskundige omvang zijn. Op het basisniveau mag toch verwacht worden dat leerlingen vlot om kunnen gaan met een beperkte ingewikkeldheid in de berekeningen! Het manuele cijferen wordt echter beperkt. De rekenmachine biedt hier een volwaardig alternatief. Rekenen met negatieve gehele getallen, maximum vijf termen en/of factoren.

U


Rekenen met rationale getallen in decimale vorm met gebruik van de rekenmachine. Rekenen met rationale getallen in breukvorm met gebruik van de rekenmachine. Rekenen met breuken met eenvoudige noemers, maximum vijf termen en/of factoren

Meer ingewikkelde oefeningen behoren tot de uitbreiding en moeten niet voor alle leerlingen worden nagestreefd. We hebben al meermaals aangegeven dat rekenvaardigheid met vlotheid te maken heeft en niet met complexiteit. Dit houdt in dat we de leerlingen de ruimte moeten bieden die vlotheid te verwerven. Enerzijds betekent dat voldoende oefeningen en voldoende spreiding van de oefenkansen. Anderzijds betekent het dat oefeningen aangeboden worden waarin die vlotheid ook kan verworven worden. De grote verscheidenheid in de rekenvaardigheid van de leerlingen betekent wellicht ook een grote verscheidenheid in de aanpak. Enkele suggesties. -

Om een zicht te krijgen op de rekenvorderingen en de rekenproblematiek zal men best een diagnostisch toets afnemen. Die moet leiden tot twee diagnoses: de situatie van de klas en de situatie van elke leerling. De leraar kan op basis hiervan uitmaken welke problemen klassikaal aangepakt worden en voor welke problemen een individuele remediëring kan volstaan.

-

Dan volgt een fase van gerichte herhaling, met individuele taken en klastaken, op basis van de genoemde diagnose. Dit wordt verwerkt in een normaal lestempo. Zoals elders al aangegeven kan men er voor opteren de inoefening over een ruime tijd te spreiden, bijv. elke week twee of drie korte oefenmomenten in het begin of op het einde van een les. Om goede en gerichte feedback te kunnen geven aan leerlingen verdient het aanbeveling dit ook af te wisselen met enkele lessen waarin de leraar vooral de rol van observator opneemt, waardoor de leraar gerichte werkinformatie kan geven aan de leerlingen. Kleine opdrachten voor persoonlijke verwerking kunnen als taak gegeven worden. Het gebruik van ICT-hulpmiddelen is hier aangewezen.

-

Niet alleen de inoefening kan gespreid worden, ook de evaluatie wordt best gespreid. Zo kan men met de leerlingen afspreken dat bepaalde kennis of vaardigheden op willekeurige momenten kan geëvalueerd worden (bijv. parate kennis, bepaalde rekenvaardigheid, gebruik rekenmachine). Dit werkt wellicht het blijvend beheersen van de vaardigheden in de hand. Een voorwaarde is uiteraard dat leerlingen beschikken over voldoende gericht oefenmateriaal en zelfcontrolemiddelen om voor zichzelf de vaardigheid te onderhouden en zichzelf ook te evalueren.

Opdracht

Bij de collage (bijlage 3) een aantal opgaven maken waarbij de bewerkingen met getallen ruim ingeoefend worden.


Opdracht

Diagnostische toetsen kan men gebruiken om de fundamentele rekenproblematiek van (meestal individuele) leerlingen vast te stellen. Ook voor een diagnose na een ‘in de klas afgewerkt’ leerproces kan men ‘diagnostisch’ toetsen gebruiken. Ze hebben twee doelen, enerzijds de effectieve problemen detecteren die de leerlingen nog hebben (en de omvang ervan), anderzijds het oefentraject van leerlingen differentiëren. Hoe gebruik je dit soort toetsen in de evaluatie van het leerproces van de leerlingen? Heb je voorbeelden?

2.5.2

Doelstelling 17 en 18

17

B

Terminologie in verband met bewerkingen met getallen gebruiken: optelling, som, term, aftrekking, verschil, vermenigvuldiging, product, factor, deling, quotiënt, deeltal, deler, rest.

18

U

De formule van de niet-opgaande deling in ` uitleggen.

Bij het uitvoeren van delingen worden de leerlingen spontaan geconfronteerd met de termen quotiënt en rest. Dat beheersingsniveau behoort bij de doelstelling 17. De doelstelling 18 gaat verder in op het inzichtelijke verband tussen deeltal, deler, quotiënt en rest en de meer abstracte vorm, dat er precies één quotiënt en één rest is. Omdat dit inzicht niet voor elk leerling bereikbaar en noodzakelijk is, is deze doelstelling ook opgenomen bij de uitbreiding. Het gebruik van de rekenmachine leidt tot twee inzichtelijke problemen. Enerzijds geeft die voor elke ingetoetste berekening in principe ook een resultaat. Leerlingen hebben dus problemen met een term als ‘niet-opgaande deling’. De leerlingen die een doorgedreven wiskundevorming zullen volgen, worden geconfronteerd met de Euclidische deling bij veeltermen. Voor hen mag hier al aan het inzicht in termen zoals quotient en rest gewerkt worden. Anderzijds moeten de resultaten, die de rekenmachine geeft, afgerond worden. Dit stelt het probleem van de nauwkeurigheid (tot op 1, op 0,1, op 0,01, …) waarmee de leerlingen vanuit de lagere scholen voldoende vertrouwd moeten zijn. Het stelt ook het probleem van de afronding naar boven of naar onder van het laatst beduidende cijfer. Het lijkt zinvol de term quotiënt maar te gebruiken voor het resultaat afgerond naar onder. Voorbeeld 138 : 11 = 12,4545… Het quotiënt ligt tussen 12 en 13. 138 = 11 . 12 + 6 Het quotiënt ligt tussen 12,4 en 12,5. 138 = 11 . 12,4 + 1,6 Het quotiënt ligt tussen 12,454 en 12,455. 138 = 11 . 12,454 + 1,006 De rest kan met de zakrekenmachine berekend worden door middel van r = D – d.q. De voorbeelden geven aan dat de rest tot op de rangorde van het laatste cijfer van het quotiënt moet uitgedrukt worden. In de basisschool werd dit uitgewerkt tot op de eenheid (LP BaO doelstelling 44). Deze aanvulling waarbij de betekenis van quotiënt en rest

40 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen maar ook van positiestelsel duidelijk gebruikt worden is uitbreiding. Bij dit inzicht zal wellicht het uitvoeren van enkele staartdelingen ondersteunend werken. Let wel. Een bijkomend probleem bij het gebruik van de rekenmachine is de (soms verborgen) instelling, waarbij berekeningen naar boven of naar onder afgerond worden. Het ongebreidelde vertrouwen in de rekenmachine kan hier tot fouten leiden. Alleszins moet dus het verifiëren van de instellingen van de machine aan bod komen. 2.5.3

19

Doelstelling 19

B

Afspraken in verband met de volgorde van de bewerkingen toepassen.

Als minimaal beheersingsniveau kan het aantal bewerkingen dat voorkomt in de berekening beperkt worden tot twee. Voorbeelden 2 . (3 + 5) = …, -2 . (12 – 3) =

2.3+5=… ,

-2 . 12 – 3 = ...

18 : (6 – 3) = …,

18 : 6 – 3 = …

42 : (-14 + 8) = …,

42 : (-14) + 8 = …

8 + 5 . (-12) = …,

(8 + 5) . (-12) = …

-4 . (-5 + 3 + (-7)) = …

-4 . (-5) + 3 + (-7)

U


De volgorde van bewerkingen toepassen bij het berekenen van een uitdrukking met maximaal twee bewerkingen (en vier getallen).

Toch blijft de combinatie van meer dan twee bewerkingen het na te streven basisniveau. Maar ook hier wordt zeer vaak de moeilijkheidsgraad van oefeningen overdreven. Als de maatstaf voor basis gelegd wordt op oefeningen die kunnen ontstaan vanuit een realistische situatie, dan vallen heel wat gezochte en gekunstelde oefeningen, waarin een opeenstapeling ligt van rekendrempels weg.

U


De volgorde van bewerkingen toepassen bij het berekenen van een uitdrukking met gehele en rationale getallen met maximaal vier bewerkingen.

De rekenmachine kan een volwaardig alternatief bieden. De leerlingen moeten dan wel voldoende vaardigheid verwerven bij het invoeren van de wiskundige uitdrukkingen. Een ingewikkeldere vorm kan dan eens voorkomen om eventueel een verder onderscheid te maken in beheersingsniveau van leerlingen. Maar dat kan nooit de maatstaf worden. 2.5.4

Doelstellingen 21, 22 en 23

21

B

De rol van 0 en 1 bij de bewerkingen verwoorden.

22

B

De betekenis van de commutativiteit en de associativiteit van de optelling en de vermenigvuldiging verwoorden.


23

B

De betekenis van de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling verwoorden.

De doelstellingen worden geformuleerd in termen van het verwoorden van de betekenis van de eigenschappen. Dat betekent concreet bijvoorbeeld dat ze bij een begrip als commutativiteit moeten weten dat je bij een som van getallen geen belang moet hechten aan de volgorde waarin je de getallen neerschrijft in de som (en de bewerking uitvoert). Daartegenover moeten ze wel beseffen dat bij het neerschrijven van een verschil van getallen de volgorde wel degelijk belangrijk is. Het is dus zinvol bij het gebruik van de eigenschap de bewerking te vermelden. De leerlingen zijn al vertrouwd met het toepassen van deze eigenschappen onder de namen ‘van plaats verwisselen’ voor commutativiteit, ‘schakelen’ voor associativiteit en ‘splitsen en verdelen’ voor distributiviteit. Vermits de leerlingen al de rekengewoonten hebben met de eigenschappen, is het zinvol hiermee een tijdlang op die wijze verder te gaan. De formalisering van de eigenschappen kan dan aangepakt worden als de getallenverzamelingen en de bewerkingen voldoende ingeoefend zijn. Dan kan er ruimte gemaakt worden voor de specifieke doelstelling van het formaliseren. Concreet betekent dit dat gewacht wordt tot de leerlingen vlot kunnen rekenen met rationale getallen. Het herhalen van dezelfde eigenschap achtereenvolgens in `, ] en _ wordt daardoor vermeden. Hierin zit ook enige tijdwinst. Voor de symbolische schrijfwijze wordt in eerste instantie gewerkt met de kale uitdrukkingen: Commutativiteit, bijvoorbeeld:

a+b=b+a

Associativiteit, bijvoorbeeld:

(a + b) + c = a + (b + c)

Distributiviteit, bijvoorbeeld

a . (b + c) = a . b + a . c

Deze uitdrukkingen zal men voldoende concretiseren met getallenvoorbeelden. De letters a, b en c functioneren dan als plaatshouders. Dat maakt de betekenis van de eigenschappen duidelijker. Dat leidt uiteindelijk tot de vraag welke getallen ingevuld mogen worden bij de plaatshouders. Daaruit volgt de vaststelling dat a, b en c mogen vervangen worden door een willekeurig rationaal getal (en daardoor dus ook geheel getal of natuurlijk getal). Voor de meeste leerlingen volstaat wellicht dit inzicht. Voor een aantal leerlingen kan dit genoteerd worden met een kwantor. De vlotheid waarmee leerlingen daarmee omgaan is één van de elementen die bij de oriëntatie kan meespelen.

U


De eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen verwoorden als ‘van plaats wisselen’, ‘schakelen’, ‘splitsen en verdelen’.

U


De eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen formeel verwoorden met behulp van de letterformules.

U


De eigenschappen van bewerkingen met rationale getallen formeel verwoorden met behulp van de letterformules en de universele kwantor.

3 3.1

9

Deelbaarheid in ` Doelstellingen uit het leerplan

B

Delers en veelvouden van een natuurlijk getal bepalen.


10

U

De eigenschappen van de deelbaarheid in verband met som en veelvoud verwoorden en toepassen.

11

U

De kenmerken van deelbaarheid door 2, 4, 5, 25, 3, 9 door voorbeelden verklaren.

12

B

De definitie van priemgetal formuleren

13

B

Natuurlijke getallen ontbinden in priemfactoren.

14

B

De grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee of meer natuurlijke getallen berekenen.

3.2

Beginsituatie

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02 1.2.9 Delers en veelvouden (pag. 43) beperkt deel van de doelstellingen 1

G30

De delers van een natuurlijk getal (≤ 100), de gemeenschappelijke deler(s) van natuurlijke getallen (≤ 100), en de grootste gemeenschappelijke deler van twee natuurlijke getallen (≤ 100) vinden, en daarbij de termen gemeenschappelijke deler(s) en grootste gemeenschappelijke deler gebruiken.

G31

De kenmerken van deelbaarheid door a) 2, 4, 5, 10, 25, 100, 1000 b) 3 en 9 gebruiken (bijv. om de rest te bepalen)

G32

Enkele veelvouden (verschillend van nul) van een natuurlijk getal (≤ 100), enkele gemeenschappelijke veelvouden van twee natuurlijke getallen (≤ 100), en de kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee natuurlijke getallen (≤ 100) vinden, en daarbij de termen veelvoud, gemeenschappelijk(e) veelvoud(en) en kleinste gemeenschappelijke veelvoud gebruiken.

3.3

2

3

4

5

6


Door vergelijking van doelstellingen en beginsituatie wordt duidelijk dat in de eerste graad slechts het werken met priemgetallen wordt toegevoegd. Dit past in het kader van flexibel rekenen met getallen, met name het gemakkelijk kunnen splitsen van getallen in producten.

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 43 3.3.1

9

Doelstelling 9

B

Delers en veelvouden van een natuurlijk getal bepalen.

De begrippen deler en veelvoud behoren tot de kennis vanuit het basisonderwijs. Ze kunnen dus van bij de aanvang gebruikt worden in oefeningen en toepassingen. De notaties del a en a ` blijken in het vervolg van het curriculum hun belang verloren te hebben. Ze kunnen achterwege gelaten worden. Oefeningen met bewerkingen van verzamelingen zijn hier voordien al weggelaten. 3.3.2

Doelstellingen 10 en 11

10

U

De eigenschappen van de deelbaarheid in verband met som en veelvoud verwoorden en toepassen.

11

U

De kenmerken van deelbaarheid door 2, 4, 5, 25, 3, 9 door voorbeelden verklaren.

De kenmerken van deelbaarheid zijn aangebracht en gebruikt in de lagere school. Ze zullen herhaald worden als ze in het normale curriculumverloop voorkomen. Wellicht zal ook nog aandacht moeten besteed worden aan de verwoording ervan. Merk op dat het hier om uitbreidingsdoelstellingen gaat. Vraag is welke meerwaarde ze hebben ten aanzien van wat in de basisschool is nagestreefd. De essentie van wat in deze doelstellingen wordt aangegeven is een eerste voorzichtige stap in het argumenteren van eigenschappen. Omdat leerlingen het werken met letters nog niet beheersen wordt hier gebruik gemaakt van getallenvoorbeelden (zoals in de voorbeelden van het leerplan aangegeven). De redeneringen zijn dus weliswaar geen ‘bewijzen’ in de strikte zin van het woord, wel zijn het verklaringen waar de leerlingen leren spelen met argumenten om een bewering of een inzicht te verantwoorden. Dit soort activiteit moet geregeld deel uitmaken van bijvoorbeeld hoekenwerk. Leerlingen die hier vlot mee overweg kunnen zullen georiënteerd worden naar een wiskundig sterkere studierichting (of basisoptie). 3.3.3

Doelstellingen 12, 13 en 14

12

B

De definitie van priemgetal formuleren

13

B

Natuurlijke getallen ontbinden in priemfactoren.

14

B

De grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee of meer natuurlijke getallen berekenen.

Dit onderdeeltje heeft als thema de introductie van priemgetallen. Het is een nieuw begrip voor de leerlingen. Het is op zich een relatief eenvoudig begrip: een getal met precies twee natuurlijke delers (en dat blijken 1 en het getal zelf te zijn). Dat 1 als een deler wordt aangezien is voor een aantal leerlingen wat artificieel. Daarom is het beter te starten met het getal deelt zichzelf. Dat 1 ook een deler is, volgt daar dan relatief vlot uit. Het is niet de bedoeling een reeks van priemgetallen te gaan opstellen en te memoriseren. Voor het verdere rekenwerk (bijv. bij breuken) volstaat de reeks tot 20. ‘Toepassingen’ worden in functie daarvan gekozen. Het onderzoeken van de eerste priemgetallen levert voldoende inzicht in het zoeksysteem. Verder opzoeken van priemgetallen kan in een differentiatiehoek gebeuren. Er kan

44 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen ook gedacht worden aan een klasprikbord waarop de in de loop van het jaar gevonden priemgetallen worden genoteerd. Het ontbinden in priemfactoren moet louter gezien worden als ondersteuning van het vlot schrijven van getallen in producten. Vermits in het voorgaande geopteerd werd voor rekenvlotheid (en dus bijvoorbeeld voor ‘eenvoudige’ noemers bij breuken) zijn ellenlange ontbindingen van grote getallen overbodig. Het handigste gebruik van het ontbinden in priemfactoren komt aan bod bij het opzoeken van de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen. Let wel, de leerlingen kennen hiervoor al een berekeningswijze vanuit de basisschool, m.n. het opschrijven van delerreeksen of veelvoudreeksen tot men een gemeenschappelijk getal gevonden heeft. Overigens voor de meeste oefeningen met eenvoudige breuken volstaat die werkwijze. Toch biedt de werkwijze met priemfactoren niet alleen een historische waarde of een oplossingswijze voor ‘moeilijke’ getallen. Leerlingen worden hier geconfronteerd met een typisch wiskundige werkwijze, die een bepaalde situatie (het concrete voorbeeld) “mathematiseert”, maar waarbij ook de vraag naar systematisering en veralgemening komt (voor welke gevallen geldt dit) Ze kunnen hier dus bewust een nieuw algoritme tot stand zien komen. Dit draagt uiteindelijk bij tot het inzicht in het wiskundig denken en handelen. Dit onderdeeltje is niet verbonden met eindtermen. Dat betekent dat leraren die in tijdnood komen voor de realisatie van de aan eindtermen gebonden doelstellingen hier minder uitvoerig en bijvoorbeeld exemplarisch kunnen op ingaan. (Het is evident dat in dat geval ook geen uitbreidingsdoelstellingen nagestreefd worden.)

4 4.1

Toepassingen op bewerkingen met getallen Doelstellingen uit het leerplan

26

B

Handig rekenen door gebruik te maken van eigenschappen van de bewerkingen.

27

B

Een rekenmachine doelgericht gebruiken

28

B

Het resultaat van een berekening op een verantwoorde wijze afronden.

29

B

Het hoofdrekenen integreren in het schatten van resultaten.

30

B

Procentberekeningen in zinvolle contexten gebruiken.

Voor de doelstellingen 31 t.e.m. 34 verwijzen we naar de bundel bij de tweede sessie. Voor de doelstellingen 35 t.e.m. 39 verwijzen we naar de bundel bij de derde sessie. 4.2

Beginsituatie

Vergelijking van de leerpannen basisonderwijs en eerste graad maakt duidelijk dat het hier niet gaat om echt nieuwe leerinhouden. De fundamentele principes van handig rekenen, afronden, schattend rekenen brengen de leerlingen dus mee vanuit het basisonderwijs. De verscheidenheid in realisatie is echter groot. Om hierop zicht te verwerven is een diagnostische toets over het residu van de basisschoolvorming in de klas en voor elke leerling aangewezen. (Zie actualisering doelstelling 15.)

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 45 4.3

Actualisering van het leerplan

4.3.1

Doelstellingen 26, 27, 28 en 29

26

B

Handig rekenen door gebruik te maken van eigenschappen van de bewerkingen.

27

B

Een rekenmachine doelgericht gebruiken

28

B

Het resultaat van een berekening op een verantwoorde wijze afronden.

29

B

Het hoofdrekenen integreren in het schatten van resultaten.

We verwijzen naar de uitgebreide commentaar bij het leerplan zelf en bij het onderdeel bewerkingen in dit document. De toegevoegde waarde van het leerplan eerste graad kan erin bestaan dat de situaties, waarin de eerder aangeleerde vaardigheden gehanteerd worden, complexer worden. De situaties hoeven geen onmiddellijke toepassingen te zijn van de rekenregels. Bijv. vraagstukken bieden hier heel wat mogelijkheden toe. Nochtans blijkt dat de verscheidenheid in vorderingen bij de leerlingen zeer groot is. Het is belangrijk de herhaling en uitbreiding gericht, en dus gedifferentieerd, aan te pakken. De ene leerling zal nog moeten investeren in het verwerven of herwinnen van de basisvaardigheid, terwijl een andere leerling al vlot andere opdrachten kan verwerken. 4.3.2

30

Doelstelling 30

B

Procentberekeningen in zinvolle contexten gebruiken.

Uit de brochure “Wiskunde – leerplan”, BaO D/1998/0938/02 1.2.7 Percenten (pag. 43) beperkt deel van de doelstellingen

G27

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

In eenvoudige en zinvolle gevallen de gelijkwaardigheid van breuken, kommagetallen en percenten inzien en verduidelijken door omzettingen.

2.2.3.4 Percenten (pag. 54)

B35

In eenvoudige en praktische gevallen percenten van een grootheid of van een getal nemen.

Zoals in de basisschool geeft de doelstelling uit het leerplan eerste graad aan dat het rekenen met procenten best in contextsituaties gebeurt. In feite gaat het niet om nieuwe leerinhouden. Ervaring leert dat die wel best herhaald wordt. De beste herhaling zal aansluiten bij situaties (vragen en gegevens) uit vraagstukken.


Voorbeeld

618 750 bomen ziek. Naar schatting 25% van de bomen in het Eemsterwoud is ziek.

Een kwart van de 2,5 miljoen bomen in het Eemsterwoud blijkt aangetast door de zure regen. Het Eemsterwoud sterft af.

Volgens deskundigen is 1 op de 4 bomen in het Eemsterwoud ziek. In dit grote recreatiegebied staan 2 475 000 bomen.

Drie krantenberichten. Zeggen ze precies hetzelfde?

Opdracht

Bij de collage (bijlage 3) een aantal opgaven maken waarbij het rekenen met decimale getallen en met procenten ingeoefend wordt.


Leerplan Tweede leerjaar In het tweede leerjaar bevat het onderdeel Getallenleer doelstellingen over het rekenen met getallen, o.a. het rekenen met machten, en doelstellingen over het letterrekenen, het oplossen van vergelijkingen, de aanpak van vraagstukken, het onderzoeken van grafieken en diagrammen, …. In deze sessie beperken we dit tot het onderdeel Rekenen met machten van rationale getallen. De andere onderdelen komen aan bod in de tweede sessie over letterrekenen of in de derde sessie over probleemaanpak en het oplossen van vraagstukken.

1 1.1

Rekenen met machten van rationale getallen Doelstellingen van het leerplan

1.1.1

Leerplan a

1

B

Vaardig rekenen met rationale getallen.

2

B

Machten met een gehele exponent definiëren en berekenen.

3

B

Regels voor het rekenen met machten in symbolen weergeven, verklaren en toepassen.

4

U

De regels voor het rekenen met machten met natuurlijke exponenten bewijzen.

5

B

De decimale vorm van een getal omzetten in de wetenschappelijke schrijfwijze en omgekeerd.

6

U

Rekenen met getallen die geschreven zijn in de wetenschappelijke schrijfwijze.

1.1.2

Leerplan b

1

B


2

B

Machten met een natuurlijke exponent berekenen.

3

B

Machten met grondtal 10 en 2 en met gehele exponent berekenen.

4

B

Regels voor het rekenen met machten toepassen.

5

B


1.2

Actualisering van het leerplan

Vergelijking tussen beide leerplannen leert dat het leerplan b vooral gericht is op het vaardig gebruiken van wiskunde met het oog op allerlei toepassingen. Deze leerlingen krijgen zo het basispakket dat ze nodig hebben om wiskunde goed te laten functioneren in de toepassingen in de andere vakken (bijv. wetenschappen, technische vakken, …). Het leerplan a biedt meer wiskundig funderende elementen, zoals definiëren, verklaren, bewijzen. Dit is een belangrijke aanwijzing voor de oriëntatie in het eerste leerjaar. Zoals hiervoor al aangegeven zullen leerlingen die geen uitdaging zien in de meer funderende elementen beter aansluiten bij het leerplan b.

48 Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen Een analoge opmerking kan gemaakt worden voor de overgang na de eerste graad. Leerlingen die in het tweede jaar problemen blijven hebben met het rekenen, of leerlingen die het bestuderen van wiskundige verdieping, van wiskundige fundamenten (hoe beperkt die hier nog zijn) niet met enig plezier beleven, kunnen best bewust kiezen voor minder lestijden wiskunde in de tweede graad. De tweede graad biedt een waaier aan studierichtingen waar wiskunde op een degelijk basisniveau wordt uitgewerkt. Bij de verwerking van het leerplan a moet zeker voldoende uitdaging aan bod komen, om de leerlingen een goed beeld te geven van hun intrinsieke mogelijkheden voor wiskunde en om die uiteraard al verder te ontwikkelen. Een gedifferentieerde aanpak ligt daarbij voor de hand. Het werken met hoekenwerk is een mogelijkheid. Het is zinvol om met de leerlingen hun mogelijkheden te bespreken, zodat ze hun beeld ook realistisch opbouwen met de gekregen feedback. 1.2.1

Leerplan a

1.2.1.A

1

Doelstelling 1

B


Deze doelstelling is nog steeds de aanleiding tot zeer uitgebreide hoofdstukken rekenen met getallen. In de wenken van het leerplan a wordt gepleit voor een verwerken van deze doelstelling in de normale verwerking van de andere leerplanitems. We kunnen dit hier alleen nog maar eens extra onderschrijven. De onderdelen algebraïsch rekenen (getalwaarde), oplossen van vergelijkingen, evenredigheden, en grafieken en diagrammen, met telkens ook de doelstellingen over het oplossen van vraagstukken, bieden ruim de mogelijkheid om de vaardigheid van het rekenen te onderhouden. De opvatting dat men eerst het rekensysteem volledig moet klaarzetten, vooraleer men aan de andere onderdelen kan beginnen, geeft overigens al jaren blijk van niet te werken. M.a.w. het maken van kale rekenvaardigheidsoefeningen op zich is hier niet meer noodzakelijk en heeft ook niet veel zin. Als men voldoende tijd uittrekt voor een (eventueel getrapte) inoefening in de andere onderdelen, dan komt het rekenen voldoende aan bod en wellicht in meer motiverende situaties. Gekoppeld aan de begrenzing van haalbare rekenvaardigheid zoals geformuleerd voor het eerste jaar, dus waarbij vlot rekenen voorop staat en niet de complexiteit van de te berekenen uitdrukking, volstaan dus de oefeningen die aan bod komen in de andere onderdelen. We durven hopen dat over enkele jaren de hier voorgestelde aanpak voor het eerste jaar haar vruchten zal afwerpen, zodat de negatieve situatie in verband met de rekenvaardigheden in deze leerjaren zal verdwijnen. Ook in het tweede leerjaar is het belangrijk te beseffen dat de vereiste ingewikkeldheid van de rekenvaardigheid heel wat lager ligt, als ze geplaatst wordt in het kader van vraagstukken en toepassingen. En precies daar hoort ze ook thuis. Het heeft geen zin leerlingen een vaardigheid aan te leren, die uiteindelijk niet rendabel is, en de vereiste vlotte rekenvaardigheid bovendien ook nog hypothekeert. Is een systematische herhaling van het gehele rekensysteem binnen het leerplan a niet meer nodig, niets belet de leraar de trainingsscenario’s zoals voorgesteld voor het eerste leerjaar door te trekken voor het tweede jaar. Dat wil zeggen dat bijvoorbeeld in het eerste trimester een kort, intens, maar geregeld oefenmoment, bijv. een per veertien dagen, aan bod kan komen. Dat kan betekenen dat ook bij de taken geregeld een beperkt aantal onderhoudsoefeningen op vlot rekenen, parate kennis, … gegeven wordt. Het is uiteraard niet uitgesloten dat een of andere leerling nog een rekenprobleem heeft. Die kan dan gericht en in een gedifferentieerde aanpak opgevangen worden. Het heeft geen zin een ganse klas doorheen een wekenlange herhaling te slepen voor enkele leerlingen. Vanuit hun keuze voor het leerplan a (zie hiervoor) mag er ook van uit gegaan worden, dat deze leerlingen de verantwoordelijkheid opnemen om desnoods via extra taken te werken aan deze problemen.

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 49 Als gevolg hiervan is het evident dat een uitgebreide reeks kale rekenoefeningen ook binnen de evaluatie zinloos is. Ook hier is het beter de vaardigheid te verwerken in oefeningen op de andere onderdelen, in het bijzonder aan de hand van vraagstukken. 1.2.1.B

Doelstelling 2, 3 en 4

2

B

Machten met een gehele exponent definiëren en berekenen.

3

B

Regels voor het rekenen met machten in symbolen weergeven, verklaren en toepassen.

4

U

De regels voor het rekenen met machten met natuurlijke exponenten bewijzen.

Het machtsbegrip is geen nieuw begrip. Het werd in het eerste jaar al kort aangezet voor natuurlijke exponenten in functie van de notatie in formules bijvoorbeeld. Er werd nog niet gerekend met machten (d.w.z. alleen de definitie is voorhanden, er zijn geen rekenregels). Het machtsbegrip verdient dus alle aandacht. Veeleer dan snel naar de rekenregels door te schuiven zal men een tijd lang machten hanteren vanuit de definitie, in eerste instantie zelfs met natuurlijke machten. Men zal dus voldoende oefeningen maken waarin machten moeten uitgerekend worden, zodat de begrippen grondtal en exponent hun volwaardige betekenis kunnen verwerven.

Voorbeeld

Een legende: De koning van Perzië wilde Sissa Dahir, de uitvinder van het schaakbord belonen. Hij vroeg aan Sissa wat hij wenste. De vorst, een verwoed schaker was zelfs bereid om hem de helft van zijn koninkrijk te schenken. Hij hoorde echter een merkwaardig verzoek aan. “Geef me één graankorrel voor het eerste veld van het schaakbord, het dubbele voor het tweede veld en weer het dubbel voor het derde en ga zo door tot en met het laatste (vierenzestigste) veld van het schaakbord. De koning lachte en stemde toe. Hij liet zijn rekenmeesters het totaal aantal graankorrels berekenen. Het resultaat deed hem bijna achterover vallen. Wel, spelen jullie even voor rekenmeesters? Hoeveel graankorrels liggen er op het 2de, 3de, 4de, 10de, 24ste, 30ste en 64ste veld? Je hoeft dit niet uit te rekenen, maar zoek de formule.

Dan pas is de tijd rijp om met deze nieuwe dingen ook nog eens te gaan rekenen. Het feit, dat dit ondergebracht is in een hoofdstuk van het leerboek, heeft vaak tot gevolg dat leerlingen te snel met machten gaan rekenen, zonder dat de betekenis, zoals hiervoor aangegeven, al duidelijk is. Bepaalde begrippen functioneren dan niet correct, en dat leidt dan tot verkeerd rekengebruik, dat later nog heel moeilijk uit te roeien valt. Een getrapte geleidelijke aanpak met voldoende eenvoudige oefeningen is te verkiezen.


Voorbeeld

Bij het voorbeeld van de legende van Sissa Dahir. 1

Er gaan 224 graankorrels in 1 m³. Hoeveel m³ graan horen er bij het 25ste, 30ste en 64ste veld? (Gebruik de eigenschappen van machten).

2

Het aardoppervlak is 150 .

1012 m².

Eén graankorrel heeft een grondoppervlakte van 2

−16

m².

Hoeveel maal kan Sissa het aardoppervlak bedekken met zijn graankorrels of hoeveel % van het aardoppervlak kan Sissa bedekken met zijn graankorrels?

Oefeningen met negatieve exponenten in de noemer zijn extra moeilijk, en verdienen alle aandacht. Binnen het basisniveau zal men zeker niet overdrijven met dergelijke oefeningen. Overigens zullen leerlingen in de praktijkvoorbeelden zelden geconfronteerd worden met negatieve machten in de noemer. Bij formules uit wetenschappen en techniek wordt hoofdzakelijk gewerkt met natuurlijke exponenten. Het gebruik van de wetenschappelijke schrijfwijze vormt daarop een uitzondering. M.a.w. het ‘elementaire niveau’ zou zich wat betreft het rekenen met machten met negatieve exponenten kunnen beperken tot het rekenen met machten van 10. Voor de rekenregels van machten geven de pedagogisch-didactische wenken een duidelijk en aanvaard werkkader. Het volstaat aan te geven dat men waarschijnlijk best het oefenen van de rekenregels ook getrapt aanpakt, dat wil zeggen dat men ook voldoende eenvoudige oefeningen laat maken, waar weer de rekenvlotheid voorrang krijgt op de ingewikkeldheid van de uitdrukkingen. Zo kan men ook eerst bijvoorbeeld met natuurlijke exponenten rekenen, zodat nog relatief gemakkelijk de zichzelf corrigerende verbinding kan gemaakt worden met producten. Zo zal men een onderscheid maken tussen het rekenen met machten met eenzelfde grondtal (som exponenten, verschil exponenten, product exponenten) en pas in een later stadium aandacht besteden aan de regels over een macht van een product en een macht van een quotiënt. Machten van breuken kunnen eventueel ondertussen met de definitie uitgewerkt worden. Hierbij kan nog opgemerkt worden dat voor de latere praktijk van het rekenen met functies (die in het SO beperkt zijn tot functies in één veranderlijke) precies de rekenregels van het rekenen met machten met eenzelfde grondtal belangrijk zijn. Dit zal overigens verder aan bod komen in de sessie over het letterrekenen. Bij oefeningen op de rekenregels zal men er zorg voor dragen dat de rekenregel zelf voldoende geëxpliciteerd wordt en ook verbonden wordt met de berekende uitdrukking. Bijvoorbeeld a5 . a7 = a12 ,

want het is een product van twee machten met eenzelfde grondtal (namelijk a), het resultaat is een macht met het zelfde grondtal a, waarbij de exponent de som is van de exponenten van de factoren uit het product (namelijk 5 en 7). Een inzichtelijke verwoording is te verkiezen boven een opdreunen van een gememoriseerd regeltje. Zij het dat sommige minder verbaal sterke leerlingen daar mogelijk een steun kunnen aan hebben. Kortsluitingen in de formuleringen zoals “machten vermenigvuldigen is exponenten optellen” kunnen alleen maar tot latere effectieve kortsluitingen leiden in de berekeningen, als het arsenaal rekenregels uitgebreider is.

Actualisering leerplan eerste graad - Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen 51 ICT-ondersteuning ¾

Bij het oefenen op de rekenregels voor machten kan Mathelp gebruikt worden: http://www.ircc.edu/portal/layout_web1.aspx?AdminEdit=False&PortalPageID=324$ en ga naar de module POWER.EXE

¾

http://users.telenet.be/wiskundehoekje/wiskoef/2machten.htm

¾

http://www.gricha.bewoner.antwerpen.be

Voorbeeld

23.43 is gelijk aan

1010 55 is gelijk aan

1.2.1.C

A.

29

B.

243

C.

63

D.

66

E.

86

A.

205

B.

2 . 55

Een vierde van 88 is gelijk aan

2n + 2n is gelijk aan

A.

26

B.

28

C.

222

D. E.

A.

4

B.

8

C.

36

44

D.

40

82

E.

56

43 - 23 is gelijk aan

A.

2 n+1

A.

212

B.

2 2n

B.

222

C.

2 n2

C.

225

88 + 88 is gelijk aan

C.

32

D.

4

D.

4n

D.

227

E.

55

E.

4 2n

E.

248

Als we de zakrekenmachine aanzetten en vervolgens op 8 x2 x2 x2 drukken, dan hebben we in feite berekend

A.

29

B.

211

C.

218

D.

224

E.

232

Doelstelling 5 en 6

5

B


6

U

Rekenen met getallen die geschreven zijn in de wetenschappelijke schrijfwijze.


-

Deel getallenleer: getalbegrip & bewerkingen

52

De wetenschappelijke schrijfwijze functioneert in de eerste graad vooral als aanduiding voor grootteorde. Het rekenen met de wetenschappelijke schrijfwijze blijft uitbreiding. Het kan ook beperkt worden tot eenvoudige oefeningen. Het gebruik binnen wiskunde zelf is zeer beperkt. Ook binnen de wetenschappen is het rekenen ermee beperkt. Het heeft dus geen zin vergezochte oefeningen aan te bieden die weinig met de realiteit te maken hebben. In de praktijk zal men het effectief rekenen met dergelijke uitdrukkingen uitvoeren met de rekenmachine. Wel is het zinvol de grootteorde van een som of een product te bekijken door de rekenregels voor machten te hanteren voor de optredende machten van tien. Zo krijgen de leerlingen een bijkomend controlemiddel op het resultaat.

Voorbeeld

De afstand aarde-zon is gemiddeld 1,5 . 108 km. De afstand aarde-maan is gemiddeld 3, 8 . 105 km. Hoeveel maal verder staat de zon van de aarde dan de maan?.

Berekening geeft

1,5 . 108 3, 8 . 105

Grootteorde op basis van de rekenregels van machten:

108 = 103 . 105

Of “de zon staat zo’n 1000 maal verder dan de maan”. Leerlingen moeten wel beseffen dat dit een grootteorde resultaat is (ook de coëfficiënten hebben hun invloed). Uitwerking met de rekenmachine geeft: 3, 9 . 102 , m.a.w. zo’n 400 keer verder.

1.2.2

Leerplan b

Algemeen wordt ervan uitgegaan dat de leerlingen, die een basisoptie volgen waarvoor het leerplan b is aangegeven, voor wiskunde zwakker presteren. Het beheersingsniveau van de doelstellingen zal meestal het basisniveau niet overstijgen. Enige voorzichtigheid is geboden voor basisopties die uitlopen op een studierichting van de tweede graad TSO waar voor wiskunde het leerplan a of het leerplan b gevolgd wordt. Deze studierichtingen vragen toch nog een degelijk beheersen van de wiskundige basiskennis. Men zal hieraan de nodige aandacht besteden in de eerste graad, zowel bij de verwerking van de leerinhouden, als bij de oriëntatie van de leerlingen. De leerlingen die vanuit basisopties met leerplan b willen doorstromen in dergelijke studierichtingen, moeten in de eerste graad door middel van differentiatie de nodige vorming en uitdaging krijgen. 1.2.2.A

1

Doelstelling 1

B


Deze doelstelling biedt de mogelijkheid om de rekenvaardigheid van de leerlingen te onderhouden. Nog meer dan in het eerste leerjaar zal de moeilijkheidsgraad van de oefe-


-


53

ningen beperkt worden en zal men zich vooral richten op rekenvlotheid en niet op complexiteit. Om een inzicht te krijgen op wat aan rekenvaardigheid uit het eerste jaar is overgebleven en dus waaraan eventueel nog bijkomend kan geoefend worden (al of niet klassikaal of individueel, eventueel gedifferentieerd) kan men relatief beperkte en gerichte instaptoetsen houden. Voorbeeld

Geen rekentoestel gebruiken. Invullen op het blad. Noteer tussenstappen (enkel een antwoord volstaat niet) Onderwerp: rekenen met rationale getallen

Bereken: a)

6 − 15 =

b)

−11 + 7 =

c)

8 ⋅ (−9) =

d)

−42 : (−7) =

e)

4 ⋅ (−2) ⋅ 3 ⋅ (−5) =

3 15 ⋅ = 5 4

f)

−

g)

8 2 − = 9 3

h)

25 + 2= 8

i)

−3 ⋅

4 = 27

Onderwerp: wegwerken van haakjes

Werk de haakjes weg en bereken: a)

8 + (−5) =

c)

−14 − (15 − 2) =

b)

−23 − (−32) =

d)

2 − (15.(−3) − 7) =

Onderwerp: volgorde van de bewerkingen

Pas de volgorde van de bewerkingen toe om uit te rekenen: a)

45 − 5 ⋅ 8 =

c)

2 ⋅ (7 + 13) : 15 =

b)

125 : 5 ⋅ 5 =

d)

(−2 + 4) ⋅ 3 − 24 : 2 =

Onderwerp: machten en vierkantswortels

Bereken: a)

52 =

e)

16 =

b)

(−3)3 =

f)

−23 =

c)

(−2)2 =

g)

d)

−32 =

144 =


-


54

Onderwerp: percentberekening

Bereken: a)

25% van 240 liter

b)

150% van 80 gram

c)

Hoeveel percent is 10 van 50?

d)

Hoeveel percent is 12 van 16?

e)

5% van een oppervlakte is 100 m². Bereken de oppervlakte.

Het heeft geen zin de aanpak van eventuele rekenproblemen van nul af opnieuw te beginnen. Het is niet zinvol om de rekenproblematiek nog klassikaal aan te pakken. In het eerste leerjaar zijn daarvoor al een hele reeks ondersteuningsoefeningen aan bod gekomen. Instaptoetsen geven een stand van zaken aan. Die zal men toetsen aan de evaluatie van de leerling van het voorgaande schooljaar. In overleg met de leraar van het eerste leerjaar en de daar geëvalueerde situatie kan men precieze informatie verwerven over de feitelijke situatie in verband met rekenvaardigheden, zowel wat het klasniveau betreft, als dat van individuele leerlingen. Dit vakoverleg is bij het begin van het schooljaar een belangrijke bron van informatie wat betreft de planning en de aanpak van eventuele training- en remediëringsoefeningen. Dit kan leiden tot een gedifferentieerd pakket voor verschillende leerlingen. Als men zeer gericht nog remediëring wil aanbieden, blijven de diagnostische toetsen zinvol om de precieze problematiek bij de leerling te achterhalen. Voor de leerlingen die over onvoldoende rekenvaardigheid beschikken kan men zich inspireren aan de commentaren bij het leerplan van het eerste leerjaar om eventueel geleidelijk de rekenvaardigheid op te voeren. Binnen leerplan b is het evident de rekenproblematiek ook te situeren binnen eenvoudige vraagstukjes. Ze kunnen de motivatie voor het rekenen versterken, alleszins meer dan ingewikkelde kale rekenoefeningen. 1.2.2.B

Doelstelling 2, 3 en 4

2

B

Machten met een natuurlijke exponent berekenen.

3

B

Machten met grondtal 10 en 2 en met gehele exponent berekenen.

4

B

Regels voor het rekenen met machten toepassen.

Het machtsbegrip wordt hier zeer beperkt ingevoerd. Vermits de exponenten natuurlijke getallen zijn, gaat het om een kortere notatie voor de vermenigvuldiging van een getal met zichzelf (een aantal keer). Men kan dus steeds teruggrijpen naar de definitie. In feite valt dit samen met het elementaire niveau dat men voor het kennen van machten kan vastleggen. Men zal wel de exponent beperken om bij de begripsvorming het rekenwerk te beperken. Bij hogere exponenten in het effectieve rekenwerk zal men de rekenmachine gebruiken. Voor de rekenregels is het werkwoord in de doelstelling duidelijk ‘toepassen’, d.w.z. gebruiken in oefeningen. Zoals bij leerplan a volstaat het aan te geven dat men best het oefenen van de rekenregels getrapt aanpakt, dat wil zeggen dat men ook voldoende eenvoudige oefeningen laat maken, waar weer de rekenvlotheid (het flexibel rekenen) voorrang krijgt op de ingewikkeldheid van de uitdrukkingen.


-


55

Om de oefening van de rekenregels in de tijd te spreiden kan men een onderscheid maken tussen het rekenen met machten met eenzelfde grondtal (som exponenten, verschil exponenten, product exponenten) en de regels over een macht van een product en een macht van een quotiënt, die pas later nuttig worden. Machten van breuken kunnen eventueel ondertussen met de definitie uitgewerkt worden. Hierbij kan nog opgemerkt worden dat voor de latere praktijk van het rekenen met functies (die in het SO beperkt zijn tot functies in één veranderlijke) precies de rekenregels van het rekenen met machten met eenzelfde grondtal belangrijk zijn. Dit zal overigens verder aan bod komen in de sessie over het letterrekenen, waar ook het omrekenen van formules (waarin meestal meer dan een letter voorkomt) aan bod zal komen. Bij oefeningen op de rekenregels zal men er zorg voor dragen dat de rekenregel zelf voldoende geëxpliciteerd wordt en ook verbonden wordt met de berekende uitdrukking. De abstrahering van de eigenschappen in een formule met letters zal maar aan bod komen, als men voldoende oefeningen met getallen heeft uitgewerkt. Bij de overgang moeten, zoals bij andere formele schrijfwijzen, de letters gaan functioneren als plaatshouders voor getallen die ingevuld kunnen worden. 1.2.2.C

5

U

Doelstelling 5


Binnen het leerplan b is vooral de omgang met dit soort notatie van belang (het kunnen lezen en interpreteren, grootteorde, …). Het rekenen met de wetenschappelijke schrijfwijze zal maar aan bod komen als optievakken daartoe de toepassingen kunnen aanreiken.


-


56

Bibliografie Zie bibliografie bij het leerplan Boeken en tijdschriften Getallen, een begin zonder einde, Uitwiskeling, Jaargang 18, nummer 2, Leuven, 2002

VAN DER ROEST, A. & M. KINDT, M., Babylonische wiskunde, Zebra reeks deel 20, Utrecht, Epsilon Uitgaven, 2005 Het Cijfer, de sleutel tot de wereld van het getal, Artiscoop deel 13,

KRABBENDAM, H., Rekenen voor de lerarenopleiding. Studiecentrum, 1994.

Utrecht, Algemeen Pedagogisch

VAN DER BLIJ, F., Wiskunde met verve. Groningen, Wolters-Noordhoff, 2000 Documenten basisonderwijs

Wiskunde Leerplan, VVKBaO D/1998/0938/02 Getallenkennis, toelichtingen, VVKBaO D2001/0938/02 Bewerkingen, toelichtingen, VVKBaO D2002/0938/01 Meten en Metend rekenen, toelichtingen, VVKBaO D2002/0938/01 Meetkunde, toelichtingen, VVKBaO D2002/0938/04 Wiskunde in het lager onderwijs: oude en nieuwe doelen vergeleken, VVKBaO D/2000/0938/02 Websites uit dit document

http://www.aplusmath.com/games/matho/MultMatho.html http://www.gricha.bewoner.antwerpen.be http://www.ircc.edu/portal/layout_web1.aspx?AdminEdit=False&PortalPageID=324$ http://www.lantaarn.demon.nl http://www.onlineklas.nl http://www.regentaat.be/mns/wis/rekenen.asp http://www.rekenweb.nl, http://www.sommenmaker.nl http://www.wageningse-methode.nl http://www.wisweb.nl http://users.telenet.be/kraeye Andere websites

Uitwiskeling:

http://www.uitwiskeling.be

Nederlandse vereniging voor wiskundeleraren:

http://www.nvvw.nl/

Tijdschrift Pythagoras:

http://www.science.uva.nl/misc/pythagoras/

Freudenthalinstituut:

http://www.fi.uu.nl/

Wiskunde starttips (eerste jaar):

http://wiskunde1.starttips.com

(tweede jaar):

http://wiskunde2.starttips.com

zie ook de sites van de diocesane begeleiding, o.m.: http://www.vsko/kogent/secundair/wiskunde/website

Actualisering leerplan wiskunde Eerste graad A-stroom. Deel 1 Getallenleer

Recommend Documents