Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
VI.3. TORPEDÓ A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Tengelyes és középpontos tükrözés, forgatás, eltolás és szimmetriák. Előzmények A tanulók ismerik a tengelyes tükrözést, középpontos tükrözést, 90-os pont körüli forgatást, eltolást. Cél A geometriai transzformációk alapvető tulajdonságai ismeretének elmélyítése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+
+ + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + + + +
Felhasználási útmutató Szerencsés lenne, ha a tanulók először teljesen önállóan próbálnák megoldani a feladványokat, feladatlap, esetleg kivetített feladatlap segítségével. Ezt egy alapos, általánosító tanári magyarázat kövesse, mely túllép az ismertetett játék keretein. A feladatsorban található tengelyes szimmetriák a következő módszerrel is felfedeztethetők: az alakzatokat grafitceruzával erősen kiszínezzük, majd félbehajtjuk a papírt, és az egyik oldalt erősen rásimítjuk a másikra, ekkor a lenyomat ott marad a másik részen. Forgási és eltolási szimmetriák pedig pauszpapír vagy másolópapír segítségével ténylegesen követhetők. (Forgatásnál körzőt szúrhatunk a forgásközéppontba, ezzel rögzíthetjük a pauszpapírt.) A feladatsor megoldása közben érdemes megfigyelni, hogy észreveszik-e tanulók a megadott – egyre nehezedő – mintákat a feladatokban. Figyeljük meg, mely tulajdonságok felismerése egyszerűbb, illetve nehezebb számukra! Az általánosítás problémái gondot okozhatnak, ügyeljünk, hogy a megoldás lépéseit mindenki követhesse. A feladatsor alkalmas egyéni készségek, képességek mérésére, segít megfigyelni, hogy mennyire kreatívak a tanulók a feladatok megoldása során. A feladatsor feldolgozása után elvárható, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a négy ismertetett transzformációt, illetve a hozzájuk kapcsolódó szimmetriákat.
VI. Síkgeometria
VI.3. Torpedó
1.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
TORPEDÓ Feladat sor
Abigél és Bíborka a közismert torpedó játékot játssza. Megállapodtak, hogy a táblán 2 db négyes, 2 db hármas, 4 db kettes és 4 db egyes hajót helyeznek el. REND
A LE L KE M IN D EN N E K
1. a) Abigél elhatározta, hogy a bejelölt vonalhoz képest tükrösen helyezi el hajóit. Segíts neki, pótold a hiányzó hajókat! A B C D E F G H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) Bíborka – nem ismerve ellenfele taktikáját – a következő elrendezést találta ki: a ferde vonalra tükrösen helyezi el saját flottáját. Segíts neki, pótold a hiányzó hajókat! A B C D E F
G
H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c) Mutasd meg, hogy nem lehet úgy elhelyezni a hajókat, hogy a függőleges és az átlós tengelyre is szimmetrikusak legyenek!
VI. Síkgeometria
VI.3. Torpedó
2.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
d) Ha a flotta négy darab egyes, négy darab kettes, négy darab hármas és egy négyes hajóból áll, akkor megvalósítható a függőleges és az átlós tengelyre is szimmetrikus elrendezés. Készíts egy ilyen elrendezést! 180- A S 2.
C SOP OR T
A lányok hamar kiismerték egymás stratégiáját, ezért mindketten új elrendezéssel próbálkoztak. (Flottájuk most az eredeti, tehát négy egyes, négy kettes, két hármas és két négyes hajó.) A B C D E F
G
H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Abigél ábrája a) Keress szimmetriát a rajzon! Milyen szabályszerűséget fedezel fel? b) Teljesül-e ez a szabály az előző feladat d) kérdéséhez készített ábrádra is? c) Kösd össze a hajók következő sarkait: D3 jobb felső – G8 bal alsó; G4 bal alsó – D7 jobb felső; F1 jobb alsó – E10 bal felső! Hol metszik egymást az összekötő vonalak? 3.
Bíborka javasolta, hogy csak 1 db négyes hajó legyen. a) Hogyan kell elhelyeznie Abigélnek legnagyobb hajóját, hogy megfeleljen a 2. feladat szabályának? b) Rajzold le az összes lehetőséget! c) Mi a helyzet, ha a legnagyobb hajó nem négy, hanem öt egység területű?
VI. Síkgeometria
VI.3. Torpedó
3.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
NE 4.
T OL D E L ,
V I KT OR !
Mivel Bíborka hamar eltalálta a középen terpeszkedő nagy hajót, gyorsan eldőlt a csata. A játékosok ismét 2 db négyes hajót rajzoltak. Abigél továbbra is bízott a szabályos elrendezésekben, s az alábbi ötlettel állt elő: hajóit két egyforma flottába sorolta úgy, hogy az egyes flottákban a hajók egymáshoz viszonyított helyzete megegyezzék. A B C D E F G H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) Egészítsd ki a rajzot, ha tudjuk, hogy a B1-E1 hajó párja a G3-J3! b) Kösd össze a megfelelő hajók azonos csúcsait! Mit tapasztalsz? c) Megvalósítható-e a fenti szabálynak megfelelő elrendezés 1 db négyes hajóval? K EZ D ŐD JÖN 5.
A F OR GAT Á S !
Az előző csatát is Bíborka nyerte. Az utolsó ütközet előtt Abigélnek eszébe jutott még egy érdekes lehetőség. Miután a flotta felét (fekete hajók) már fölrajzolta, mindegyik hajót elforgatta 90°-kal a tábla középpontja körül (szürke hajók). A B C D E F
G
H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) Jelöld be a forgatás középpontját! b) Fejezd be az ábrát! c) Kösd össze az egyik hajó és elforgatottja megfelelő csúcsait a középponttal! Mekkora szöget zár be egymással a két szakasz? d) Megvalósítható-e a fenti szabálynak megfelelő elrendezés egyetlen négyes hajóval? VI. Síkgeometria
VI.3. Torpedó
4.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1. a) Eltérő színnel jelölve a megoldás: A B C D E F G
H I
J
A B C D E F
H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) A helyes ábra: G
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c) Az ábrának ekkor négy szimmetriatengelye is van: egy függőleges, egy vízszintes és két átlós. A két hármas és a két négyes hajót közül mindössze egy négyes hajó helyezhető el úgy, hogy négy tengelyre szimmetrikus legyen, az E5-F5-E6-F6 mezőkre. Hármas hajókból 8 darabot lehetne a kívánt szimmetriának megfelelően elhelyezni, négyes hajókból egyet, négyet vagy nyolcat. d)
VI. Síkgeometria
VI.3. Torpedó
5.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
2. a) A hajók elrendezése középpontosan szimmetrikus a tábla középpontjára. b) Igen. Két különböző, egymásra merőleges tengelyre szimmetrikus alakzatok középpontosan is szimmetrikusak. (Ha nem merőlegesek a tengelyek, akkor az állítás nem teljesül, például a szabályos ötszögnek van két különböző szimmetriatengelye, de középpontosan nem szimmetrikus.) c) A tábla középpontjában. A B C D E F
G
H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3. a) A négyes hajónak a tábla közepén kell lennie, mégpedig úgy, hogy ő maga is középpontosan szimmetrikus legyen erre a pontra. b) Ha ragaszkodunk ahhoz, hogy a tábla középpontja legyen a szimmetria-középpont, akkor ez az egyetlen lehetőség:
A B C D E F G H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c) Öt egység területű középpontosan szimmetrikus alakzat nem rajzolható a rácsvonalakra.
VI. Síkgeometria
VI.3. Torpedó
6.oldal/7
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
4. a) A kiegészített rajz: A B C D E F G H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) Egyenlő hosszúságú, párhuzamos szakaszok láthatók. c) Nem. A pozitív hosszúságú vektorral való eltolásnak nincs helyben maradó pontja, a négyes hajó és a képe nem eshet egybe. 5. a) A forgatás középpontja a tábla középpontja. b) A B C D E F
G
H I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c) 90º-ot. d) Igen, amennyiben ez a hajó forgásszimmetrikus ugyanezen pontra (pl. a 3.b) feladatban látott alakzat megfelel).
VI. Síkgeometria
VI.3. Torpedó
7.oldal/7
