ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY 1. Typy a druhy úročení, budoucí hodnota investice Úrok - odměna za získání úvěru (cena za službu peněz)
Roční úroková sazba (míra)(i) – úrok v % z hodnoty kapitálu za časové období
Připisování úroků: p.a. – roční p.s. – půlroční
p.q. – čtvrtletní p.m. – měsíční
p.d. – denní
Doba splatnosti (n) – doba, po kterou je peněžní částka zapůjčena
Typy úročení - jednoduché: vyplacené úroky se nepřičítají k původnímu kapitálu a dále se neúročí - složené: úroky se přičítají a dále úročí - spojité: počet úročení roste do nekonečna
Jednoduché
FV = PV * ( 1 + i * n )
i (r) – úroková sazba FV – future value
Složené
n (t) – doba splatnosti PV – prezent value
FV = PV * ( 1 + i )m*n m
m – frekvence připisování úroků
Závislost úroku na době splatnosti kapitálu 200
Kapitál Úrok i = 20%
175
i = 10%
150
125
úrok
Počáteční kapitál
100
čas 1
2
3
4
5
Př: Vypočítejte konečnou hodnotu vkladu 100 000 Kč uloženou na dobu 5 let s úrokovou 1 sazbou 5% ( 10%, 20%) při jednoduchém úročení.
Př: Jakou částku obdrží pan Neveselý ze svého šestiměsíčního termínovaného vkladu 2 200.000 Kč úročeného 5 % p.a.? Daň z úroků je 15 %. Př: Jaká je cena peněz půjčených v zastavárně, účtuje-li si zastavárna 2 % za týden? 3 Počítejte: a) jednoduché úročení b) složené úročení
Př: Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1.000 Kč po 5 – 10 - 15 –20 letech, bude-li 4 průměrné zhodnocení 3 % - 8 % - 13 %. doba
Zhodnocení 8%
3%
5 let
13 %
10 let 15 let 20 let
Př: Indiáni prodali Holanďanům ostrov Manhattan v roce 1626 za 24 $. Kolik by měli 5 Indiáni dnes, kdyby tuto hotovost neutratili za ohnivou vodu, ale uložili do banky na úrok 5, 7 nebo 9 % p.a.? Uvažujte a) jednoduché úročení b) složené úročení 5%
24 $ od r. 1626 jednoduché složené
7%
9%
Př: Jaké jsou úrokové náklady úvěru ve výši 200 000 Kč jednorázově splatného za 8 6 měsíců ( 30 dnů ) včetně úroku, je-li úroková sazba 9% p.a. ?
Př: Jak velkou kupní sílu bude mít 1 mil. Kč za 30 let, očekává-li se ∅ inflace 5% ročně? 7 Př: Spočítej a znázorni, jak se mění výše zúročeného kapitálu (FV) s rostoucím počtem 8 úrokových období za rok, na vkladu 10.000,- a roční úrokovou sazbou 10 %. Sestav tabulku a graf. 1
2
4
12
52
360
8640
2. Přepočet ročních úrokových sazeb při různé periodě připisování úroků.
Př: Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1 000 Kč po 5, 10, 15 20 letech, bude-li 9 průměrné zhodnocení 3%. Porovnejte jednoduché a složené úrokování. Graf.
Př: Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1 000 Kč po 5 letech, bude-li průměrné 10 zhodnocení 5% a úroky budou připisovány p.a., p.s., p.q., p.m., p.d.. Graf.
Používané kódy: - ACT - započítává se skutečný počet dní smluvního vztahu. Obvykle se nepočítá 1. den - 30E – celé měsíce se započítávají bez ohledu na skutečný počet dní jako 30 dnů 30A – liší se od 30E maximálně o jeden den, který je započten pouze v případě, že konec smluvního vztahu připadne na poslední den v měsíci a současně začátek není poslední den v měsíci
Délka roku je 365 nebo 360 dní - ACT/365 – anglická metoda - ACT/360 – francouzská, či mezinárodní - 30E/360 – německá, či obchodní
Př: Rozhodněte, která varianta termínovaného účtu je výhodnější 11 a) 12% roční úroková sazba s p.d. b) 12,5% roční úroková sazba s p.s. Efektivní úroková sazba ( ie )
- roční úroková sazba, která dává za rok při p.a. stejnou budoucí hodnotu jako roční úroková sazba při častějším připisování úroků.
Snaha o dosažení stejného finančního efektu při úročení p.a. ( nominální úr. sazba při ročním úrokovacím období je vyšší než při úrokovacím období kratším než rok) Umožňuje porovnat různé úrokové sazby srovnávané za stejné časové období, avšak s různou četností připisování úroků. 1 + ie = (1 + i )m m
Př: Najděte r , která odpovídá úrokové sazbě 10% p.a., jsou-li úroky připisovány 12 a) p.s. b) p.q. c) p.m. Spojité připisování úroků
ie - nazývá se úroková intenzita FV = PV * ( 1 + i )m*n m → ∞ m
FV = PV * ( e i*n )
lim (1 +
re = e i - 1
i )m = ei m
Př: Na kolik vzroste kapitál 10 000 Kč za 5 let při spojitém úročení a sazbě 5,5%? 13
3.DISKONT A RŮZNÉ DRUHY DISKONTOVÁNÍ (D) Je odměna ode dne výplaty do dne splatnosti pohledávky (předlhůtní úročení) - rozdíl mezi FV a PV
- D = FV*d*n
d = diskontní míra (%)
- Používá se nejčastěji pro eskont směnek, část náhrady předem - Krátkodobé cenné papíry s jmenovitou hodnotou jako hodnotou budoucí. - státní pokladní poukázky (zisk je rozdíl mezi kupní a nominální hodnotou) - krátkodobá splatnost Diskontování: Výpočet současné hodnoty z hodnoty budoucí
Př Osoba A vystavila osobě B směnku na částku 10.000 Kč s dobou splatnosti
14 1 rok, s diskontní mírou 8% . Kolik osoba A ve skutečnosti obdrží?
Př Vypočítejte, kolik dostane vyplaceno klient, jemuž banka eskontuje směnku
15 o nominální hodnotě 10.000 Kč 35 dní před dobou splatnosti při diskontní sazbě 9% p.a. Vztah mezi polhůtní úrokovou sazbou a diskontní sazbou. Při použití diskontu je:
současná hodnota
PV = FV *(1 - d*n)
budoucí hodnota
Při použití jednoduchého polhůtního úročení je:
současná hodnota budoucí hodnota
FV = PV * (1 + i*n)
1000 900
Nominální výše kapitálu diskont
800 700
d = 10% vyplacený kapitál
d = 20% čas
0,25
0,5
0,75
1
Př Porovnejte diskontní sazbu a polhůtní úrokovou sazbu.
1. Eskontována směnka splatná za půl roku o nominální hodnotě 100 000 Kč s roční diskontní sazbou 12%. 2. Jednoduché úročení s roční úrokovou sazbou 12%, přičemž za půl roku se musí splatit 100 000 Kč. 16
Shodné výnosy:
r=
d 1− d • n
Diskontní faktor (v) udává současnou hodnotu jednotkového vkladu, který je splatný za 1 rok při úrokové sazbě r. Složené: v = ( 1 + r ) -1
Jednoduché: v = ( 1 + r n ) -1
Spojité: v = e-r
PV = FV * v n Smíšené úročení: Doba úročení není v celých letech, n0 je počet celých let, l je zbytek doby úročení lomený počtem příslušných jednotek za rok. FV = Pv * ( 1 + i )n0 * ( 1 + l * i )
Př Kolik musíme uložit, abychom za 5 let a 3 měsíce měli obnos 100 000 Kč 17 při úrokové sazbě 9,6% p.a.? Úroky jsou připisovány jednou za rok, ponechávány na účtu a dále úročeny.
Př V oznámení o aukci 91 denních SPP s nominální hodnotou 1 mil. Kč je jako max.
18 akceptovatelná (roční) úroková míra uvedeno 5,65%. Jaká cena SPP odpovídala této úrokové míře? Jakou (roční) míru zisku realizoval investor, který SPP koupil za tuto cenu a prodal ji za 58 dní (tj. 33 dny před splatností) za cenu 996 300 Kč? Př Směnka na $20 000 je splatná za dva roky a 5 měsíců. Jaký je její základ 19 při spojitém úrokování s roční nominální úrokovou mírou 15%?
VZTAH MEZI BUDOUCÍ A SOUČASNOU HODNOTOU – VÝNOS INVESTICE, VÝNOSOVÁ KŘIVKA 1. Výnos do splatnosti pro pokladniční poukázku či bezkuponovou obligaci Obligace (Dluhopisy) - je dlouhodobý cenný papír, který vyjadřuje dlužnický závazek emitenta vůči oprávněnému majiteli dluhopisu
Doba splatnosti – kdy dochází ke splacení nominální hodnoty dluhopisu - může být upravena – emitent si vyhradí právo na předčasné splacení dluhopisů - (call opce), toto právo může být dáno majiteli dluhopisu (put opce) - dluhopisy s pevnou kuponovou úrokovou sazbou - dluhopisy s pohyblivou kuponovou úrokovou sazbou (PRIBOR, LIBOR) - dluhopisy s nulovým kuponem Cena dluhopisu (P) – tržní, teoretická C C F P= C + + …. + + 1+i (1 + i)2 (1 + i)n (1 + i)n
C – roční kuponová úroková platba F – nominální hodnota dluhopisu Počáteční -
P=
C (1 + i)n - C + F * i i * (1 + i)n
=
=
Konečná - P = C ( 1 + i )n – 1 + F i
Př: Vypočítej teoretickou cenu dluhopisu s pevnou kuponovou sazbou 10% p.a.,
20 nominální hodnotou 1000 Kč, se splatností 3 roky a při tržní úrokové míře 11%. - je – li kupon nulový
Př: Vypočítejte teoretickou cenu dluhopisu s nulovým kuponem se splatností 3 roky, 21 nominální hodnota dluhopisu činí 1000 Kč, při tržní úrokové míře 11% p.a. Výnos z dluhopisu (r)
- kuponový úrokový výnos - rozdíl mezi cenou kupní a prodejní (F)
rNK =
FV −1 PV
Dluhopis s nulovým kuponem ( rNK )
Př: Jaký je výnos dluhopisu s dobou splatnosti 5 let, jestliže kupní cena byla 10 000 Kč a
22 prodejní cena 21 000 Kč? Úroky byly připisovány p.a., p.s., p.q. a p.m.
Př: Kolik bude stát obligace s nominální hodnotou 1 000 Kč, splatná za 3 (5 let) roky, 23 jestliže její výnos je 8% (9%)? Běžná výnosnost y = C . 100
Kuponová výnosnost yk = C . 100 F
B
Výnosnost do doby splatnosti ( yDS ) C P = C + + …. + TR
1 + yDS
(1 + yDS)
2
Výnosnost za dobu držby ( yDD ) C + + …. + P0 = C 1 + yDD (1 + yDD)2
C
(1 + yDS) C
+
n
+ (1 + yDD)n
P
F
(1 + yDS) F
n
P – tržní cena
=
= (1 + yDD)n
P0 – aktuální tržní cena
Alikvotní úrokový výnos (AUV) - část kuponového úrokového výnosu, odpovídající době od výplaty posledního kuponu do dne, ke kterému jej počítáme
AUV% = pk * tv 360
pk – kuponová úroková sazba dluhopisu tv – délka výnosového období
Výnosové období
AUV
Jiný ukazatel výnosnosti- rendita – zjednodušení výnosnosti do doby splatnosti Výnosnost za dobu držby:
r=
C P − P0 + P0 k • P0
Aproximace – zjednodušení výpočtů výnosnosti do doby splatnosti Hawawiny – rDS
Obchodní metoda –
( F − P) n ≈ 0,6 P + 0,4 F
rDS ≈
C+
C+
(F − P) n P
Př: Uvažujte dva pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, 24 přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 6% a tržní cenu 9 560 Kč a dluhopis 2 má kuponovou sazbu 14% a tržní cenu 10 670 Kč. Spočtěte a) běžný výnos b) výnos do splatnosti c) aproximativní výnosy. Př: Uvažujte tři pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, 25 přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 9,8% a tržní cenu 10 000 Kč, dluhopis 2 má kup. Sazbu 6% a tržní cenu 8 840 Kč a dluhopis 3 má kup. Sazbu 14% a tržní cenu 11 280 Kč. Spočtěte pro tyto dluhopisy a) hrubý výnos do splatnosti, b) čistý výnos do splatnosti s daňovou sazbou 15 %. Př: Jaké čisté výnosnosti dosáhne klient, jestliže uložil na počátku roku 100 000 Kč na 26 šestiměsíční termínovaný vklad při 10% úrokové sazbě p.a. a v polovině roku kapitál včetně vyplacených úroků znovu okamžitě uložil na šestiměsíční term. Vklad při 12% úrokové sazbě p.a.?Úroky z vkladů podléhají dani z příjmů ve výši 15%. Př: Dluhopis s pevnou kuponovou úrokovou platbou má kup. Sazbu 10% p.a. , nominální 27 hodnotu 1 000 Kč a kupní cenu 950 Kč. Po jednom roce se dluhopis prodal za cenu 1 150 Kč. Jaká byla hrubá a čistá výnosnost, jestliže úroky podléhají dani z příjmu 25%.
VÝNOSOVÉ KŘIVKY
- vztah mezi výnosem do splatnosti a dobou do splatnosti dluhopisů (státní)
- konkrétní dluhopisy lišící se pouze dobou do splatnosti (shodné další vlastnosti)
- s delší dobou do splatnosti větší výnos (rostoucí) Výnosová křivka: bezkuponových dluhopisů kuponových dluhopisů Forwardová
Klesající
Výnos do splatnosti
Výnos do splatnosti
Rostoucí
Doba splatnosti
Doba splatnosti
Bezkup. dluh. Kup. dluh. Forward. výnosy Bootstrapping – odhad výnosové křivky bezkuponových dluhopisů pomocí kuponových dluhopisů Př: Máme tři kuponové dluhopisy v nom. hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony. 28 1 - jednoletý s kup. sazbou 5,8% a tržní cenou 9 980 Kč 2 - dvouletý s kup. sazbou 7,2% a tržní cenou 9 960 Kč 3 - tříletý s kup. sazbou 8,9% a tržní cenou 9 920 Kč. Odhadněte odpovídající hodnoty výnosové křivky bezkuponových dluhopisů.
FORWARDOVÁ KŘIVKA (očekávání) - znázorňuje závislost mezi forwardovými výnosy do splatnosti a dobou do splatnosti bezkuponových či kuponových dluhopisů - křivky rostoucí: forwardová leží vždy nad výnosovými křivkami - je z roku na rok, z roku na dva, z roku na tři …………
- křivky klesající: forwardová leží vždy pod výnosovými křivkami - je-li rostoucí: trh očekává zvýšení úrokových sazeb - je-li klesající, očekává snížení úrokových sazeb
Př: Zjistěte body forwardové výnosové křivky, jestliže znáte body výnosové křivky: 29 y1* = 8%, y2* = 9%, y3* = 10% při spojitém připisování úroků.
Fn ,k
( k + n) • y − k • y = n ∗ k +n
∗ k
DURACE Je to aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise. - průměrná doba do splatnosti
- průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem (Macaulayova)
DMac
F + Cn C1 C2 n + 2 • + ... + • 1• n 1 2 ( ( ( 1 + y) 1 + y) 1 + y) = P
- dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná)
Dmod =
DMac__
(1 + y)
durace je tím nižší čím: Dmod = −
1 • ∆P P • ∆y
vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti dříve platba z daného instrumentu nastává kratší je celková doba do splatnosti
- čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazeb
PV
P + 4%
y
y
- 1%
Př: Vypočítejte DMac , Dmod dluhopisu s pevnou kuponovou úrokovou sazbou 8%, jestliže 30 nominální hodnota dluhopisu je 1.000 Kč, doba do splatnosti 3 roky, aktuální tržní cena je 950,25 Kč a výnosnost do doby splatnosti tedy 10%. (Kuponové platby jsou vypláceny 1x ročně, první bude následovat za rok). O kolik se změní cena tohoto dluhopisu, jestliže se změní úrokové sazby o 1%. Změny hodnot dluhopisu při změnách tržní úrokové míry.
Př: V tabulce jsou uvedeny změny počáteční a koncové hodnoty tříletého dluhopisu 31 v nominální hodnotě 10.000 Kč s ročními kupony a kup. sazbou 10% při tržní úrokové míře 10%, jestliže tržní úroková míra klesne (vzroste) o 5% (tj. ∆i = + 5 %). ∆i -5% 0% 5%
PV 11 361,62 10 000,00 8 858,39
∆PV 1 361,62 -1 141,61
FV 13 152,50 13 310,00 13 472,50
Zpřesnění aproximací výpočtu durace se nazývá konvexita.(CX) CX =
1 . ∑ t (t +1) . (1 + i)-t + n (n+1) FV (1 + i)-n
∆FV -157,5 162,5
(1 + i)2
PV
DLUHOPISOVÉ PORTFOLIO
DURACE Je aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise. - průměrná doba do splatnosti
- průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem (Macaulayova) Dmac =
1•
C+F C C + 2• + ⋅⋅⋅ + n • 2 1+ y (1 + y ) (1 + y )n P
Dmac =
1 • P1 + 2 • P2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n • Pn P
Př: Vypočítej durace pro dluhopis s tržní úrokovou mírou 10% Kuponová sazba c: Doba do splatnosti 5% 10% 1 1,0000 1,0000 1,0000 3 2,8490 2,7355 2,6472 5 4,1699 10 6,7590 20 9,3649 50 10,9063 100 10,9992
15%
- dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná), o kolik se změní cena dluhopisu opačným směrem při změně výnosů Dmod = −
1 ∆P • P ∆y
durace je tím nižší čím: vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti dříve platba z daného instrumentu nastává kratší je celková doba do splatnosti čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazeb - vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem: 1. PV ↑ ⇔ y↓ 2. PV ↓ ⇔ y↑ Př: Uvažujme tříletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje výnos 5%. Do tohoto kuponu investujeme a) na 2 roky b) na 5 let. Vypočtěte výnos, ztrátu, jestliže den po nákupu se výnosy sníží, respektive zvýší o 1%.
Při změně ve výnosech hrozí: a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se výnosy) b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li se výnosy) Investiční horizont:
krátký ⇒ utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů (kapitálová ztráta > výnos z reinvestice) dlouhý ⇒ utrpíme ztrátu při poklesu výnosů (ztráta z reinvestice > kapitálový výnos)
Snaha o eliminaci obou uvedených rizik (imunizaci): Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci, potom se výnosy a ztráty navzájem pokrývají, a to při vzestupu i poklesu výnosů. Durace kupónového dluhopisu je vážený průměr durací (dob do splatnosti) jednotlivých peněžních toků reprezentovaných kupóny a nominální hodnotou, kde váhy odpovídají podílu jednotlivých diskontovaných peněžních toků na celkové ceně dluhopisu. Durace kupónového dluhopisu je střední (průměrná) doba života tohoto dluhopisu. D=
D1 P1 + D2 P2 + ...... + Dn Pn P1 + P2 + .... + Pn
Durace portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr durací jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia. D = w1D1 + w2D2 + …. + wnDn
Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč na dobu 3 let, přičemž k dispozici máme bezkupónové dluhopisy s dobou splatnosti 1, 2, 3, 4, 5 let s jednotným výnosem 5% (uvažujeme plochou výnosovou křivku). Vytvoříme portfolia A, B, C takto: A…n = 3, FV = 1.157.625 Kč B…n = 2, FV = 551.250 Kč n = 4, FV = 607.753 Kč C…n = 1, FV = 525.000 Kč n =5, FV = 638.141 Kč Konvexita portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr konvexit jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia. CX =
CX 1 P1 + CX 2 P2 + ... + CX n Pn P1 + P2 + ... + Pn
P C
1.000.000
B A 5%
Y (%)
Klesnou-li výnosy o 1%, zhodnotí se portfolio o větší výnos (korunový i procentní) než o kolik klesne jeho hodnota, zvýší-li se výnosy o 1% Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč, přičemž máme k dispozici dluhopisy A, B s následujícími parametry: A: n = 5, c = 12%, y = 12% B: n = 2, c = 0%, y = 10% Jak budeme investovat na 3 roky?
AKCIOVÉ PORTFOLIO Investiční strategie, kdy je optimalizován výnos vzhledem k riziku investice. Akcie – A1, A2, A3, … Váhy – a1, a2, a3, … Výnosové procento – rp (průměrná míra zisku) Riziko – σp směrodatná odchylka Korelace – stupeň závislosti mezi dvěma nebo více proměnnými Kovariance – statistický pojem odvozený od běžného rozptylu, který popisuje rozsah, v jakém se dvě proměnné pohybují stejnou měrou
rp = ∑ a k rk n
k =1
rp = ∑ pk r (k )
σ p = ∑ pk (r (k ) − rp ) 2
N
2
k =1
σ ij = ∑ (rik − ri )(rjk − rj )pk N
k =1
n
k =1
ρ ij =
σ ij σ iσ j
Kovarianční koeficient – σij Korelační koeficient – ρij Rozptyl: součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru dělený počtem hodnot (σ2). Směrodatná odchylka: druhá odmocnina rozptylu (σ). Př: Je dáno portfolio P s vahami a1 = 0,7 a a2 = 0,3 a jeho tři výnosové varianty s těmito parametry: Varianta
Pravděpodobnost
Výnos A1
Výnos A2
2
0,2
12%
28%
0,4
-2%
-5%
1 3 4
0,1 0,3
a) nalezněte výnos a riziko portfolia P b) nalezněte kovarianční matici
1% 6%
3%
14%
Korelační koeficient: -
ρij = 1 ⇒ dokonalá pozitivní korelace
-
ρij = - 1 ⇒ dokonalá negativní korelace
-
ρij = 0 ⇒ výnosová procenta nekorelují
Př: Zjisti korelaci mezi výnosovými procenty akcií: a)
b)
c)
A1
2
4
-2
6
-1
2
8
-1
2
0
A2
0
-2
9
-3
7
-1 -2
9
-1
4
A1
2
4
-2
6
-1
2
8
-1
2
0
A2
3
3
-1
5
0
1
7
-2
3
1
A1
1
3
1
3
1
3
3
1
1
3
A2
3
1
3
1
3
1
1
3
3
1
Riziko portfolia (σ p ) : Směrodatná odchylka
σ p = a1 σ 1 + 2a1a 2σ 12 + a 2 σ 2 2
2
2
2
2
Kovarianční matice:
σ 11 σ 12 σ σ 22 21
Př: Jsou dány kovariance σ12 = -3, σ21 = 6, σ1 = 5, σ2 = 10. Určete kovarianční matici a
riziko portfolia, jestliže a1 = 0,7 a a2 = 0,3. Jak se změní riziko portfolia, jestliže se váhy prohodí?
