ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY 1. Typy a druhy úročení, budoucí hodnota investice Úrok - odměna za získání úvěru (cena za službu peněz) Roční úroková sazba (míra)(r) – úrok v % z hodnoty kapitálu za časové období Připisování úroků: p.a. – roční p.s. – půlroční
p.q. – čtvrtletní p.m. – měsíční
p.d. – denní
Doba splatnosti (n) – doba, po kterou je peněžní částka zapůjčena Typy úročení - jednoduché: vyplacené úroky se nepřičítají k původnímu kapitálu a dále se neúročí - složené: úroky se přičítají a dále úročí - spojité: počet úročení roste do nekonečna Jednoduché
FV = PV * ( 1 + r * n )
Složené
FV = PV * ( 1 + r )m*n m
r (i) – úroková sazba FV – future value
n (t) – doba splatnosti PV – prezent value
m – frekvence připisování úroků
Závislost úroku na době splatnosti kapitálu
200
Kapitál Úrok r = 20%
175
r = 10% 150
125
úrok Počáteční kapitál
100
čas 1
2
3
4
5
1 Př: Vypočítejte konečnou hodnotu vkladu 100 000 Kč uloženou na dobu 5 let s úrokovou 1 sazbou 5% ( 10%, 20%) při jednoduchém úročení.
Př: Jakou částku obdrží pan Neveselý ze svého šestiměsíčního termínovaného vkladu 2 200.000 Kč úročeného 5 % p.a.? Daň z úroků je 15 %. Př: Jaká je cena peněz půjčených v zastavárně, účtuje-li si zastavárna 2 % za týden? 3 Počítejte: a) jednoduché úročení b) složené úročení Př: Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1.000 Kč po 5 – 10 - 15 –20 letech, bude-li 4 průměrné zhodnocení 3 % - 8 % - 13 %. doba
Zhodnocení 8%
3%
13 %
5 let 10 let 15 let 20 let
Př: Indiáni prodali Holanďanům ostrov Manhattan v roce 1626 za 24 $. Kolik by měli 5 Indiáni dnes, kdyby tuto hotovost neutratili za ohnivou vodu, ale uložili do banky na úrok 5, 7 nebo 9 % p.a.? Uvažujte a) jednoduché úročení b) složené úročení 5%
24 $ od r. 1626 jednoduché složené
7%
9%
Př: Jaké jsou úrokové náklady úvěru ve výši 200 000 Kč jednorázově splatného za 8 6 měsíců ( 30 dnů ) včetně úroku, je-li úroková sazba 9% p.a. ? Př: Jak velkou kupní sílu bude mít 1 mil. Kč za 30 let, očekává-li se inflace 5% ročně? 7 Př: Spočítej a znázorni, jak se mění výše zúročeného kapitálu (FV) s rostoucím počtem 8 úrokových období za rok, na vkladu 10.000,- a roční úrokovou sazbou 10 %. Sestav tabulku a graf.
1
2
4
12
52
360
8640
2. Přepočet ročních úrokových sazeb při různé periodě připisování úroků. Př: Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1 000 Kč po 5, 10, 15 20 letech, bude-li 9 průměrné zhodnocení 3%. Porovnejte jednoduché a složené úrokování. Graf. Př: Zjistěte, jakou hodnotu bude mít vklad 1 000 Kč po 5 letech, bude-li průměrné 10 zhodnocení 5% a úroky budou připisovány p.a., p.s., p.q., p.m., p.d.. Graf. Používané kódy: - ACT - započítává se skutečný počet dní smluvního vztahu. Obvykle se nepočítá 1. den - 30E – celé měsíce se započítávají bez ohledu na skutečný počet dní jako 30 dnů 30A – liší se od 30E maximálně o jeden den, který je započten pouze v případě, že konec smluvního vztahu připadne na poslední den v měsíci a současně začátek není poslední den v měsíci Délka roku je 365 nebo 360 dní - ACT/365 – anglická metoda - ACT/360 – francouzská, či mezinárodní - 30E/360 – německá, či obchodní Př: Rozhodněte, která varianta termínovaného účtu je výhodnější 11 a) 12% roční úroková sazba s p.d. b) 12,5% roční úroková sazba s p.s. Efektivní úroková sazba (re ) - roční úroková sazba, která dává za rok při p.a. stejnou budoucí hodnotu jako roční úroková sazba při častějším připisování úroků. Snaha o dosažení stejného finančního efektu při úročení p.a. ( nominální úr. sazba při ročním úrokovacím období je vyšší než při úrokovacím období kratším než rok) Umožňuje porovnat různé úrokové sazby srovnávané za stejné časové období, avšak s různou četností připisování úroků. 1 + re = (1 + r )m m Př: Najděte r , která odpovídá úrokové sazbě 10% p.a., jsou-li úroky připisovány 12 a) p.s. b) p.q. c) p.m. Spojité připisování úroků ie - nazývá se úroková intenzita FV = PV * ( 1 + r )m*n m
lim (1 +
m
FV = PV * ( e r*n )
r )m = er m
re = e r - 1
Př: Na kolik vzroste kapitál 10 000 Kč za 5 let při spojitém úročení a sazbě 5,5%? 13
3. Budoucí hodnota anuity, anuita Budoucí hodnota anuity - pravidelné vklady jistiny (stejné částky) během celého období spoření - úroky z úroků - spoření na vkladní knížku, otevřeného podílového fondu, stavební spoření 1 FV
m n
r
1
m
A
r
Anuita - výše pravidelné (stále stejné) splátky úvěru během celého období splácení - úroky z úroků - splátka hypotéky, úvěru stavebního spoření, spotřebitelského úvěru, pravidelné čerpání naspořené částky po určitou dobu ( důchod, renta) PV
A
r m n
1
1 1
r m
Př: Kolik naspoří pan Trpělivý za 30 let, spoří-li pravidelně měsíčně 1.000 Kč: a) na termínovaný vklad (Ø roční úrok 3%) b) do fondu peněžního trhu (Ø roční zhodnocení 6%) c) do akciového fondu (Ø roční zhodnocení 15%) Př: Kolik bude muset pravidelně měsíčně splácet paní Důvěřivá, vezme-li si úvěr 1.000.000 Kč na 5 let za předpokladu, že úrok činí 12% p.a. a jde o anuitní splácení? Peněžní tok: Pohyb peněžních prostředků v čase (platby) a to jak příjmy (znaménko +) tak výdaje (znaménko - ). Př: Uvažujme peněžní toky dané tabulkou a úrokovou mírou 4% při a) ročním připisování úroků, b) spojitém připisování. Roky Peněžní toky
1 0
2 100
3 200
4 300
Př: Účastník stavebního spoření s naspořenou částkou 9.000 Kč za rok získal od státu příspěvek 25% z naspořené částky (2.250 Kč). Banka mu nabídla úročení 3% ročně. Vypočtěte: a) cílovou částku spoření b) výnos z této investice
4.Diskont a různé druhy diskontování (D)
Je odměna ode dne výplaty do dne splatnosti pohledávky (předlhůtní úročení) - rozdíl mezi FV a PV - D = FV*d*n
d = diskontní míra (%)
- Používá se nejčastěji pro eskont směnek, část náhrady předem - Krátkodobé cenné papíry s jmenovitou hodnotou jako hodnotou budoucí. - státní pokladní poukázky (zisk je rozdíl mezi kupní a nominální hodnotou) - krátkodobá splatnost Diskontování: Výpočet současné hodnoty z hodnoty budoucí
Př Osoba A vystavila osobě B směnku na částku 10.000 Kč s dobou splatnosti 14 1 rok, s diskontní mírou 8% . Kolik osoba A ve skutečnosti obdrží?
Př Vypočítejte, kolik dostane vyplaceno klient, jemuž banka eskontuje směnku 15 o nominální hodnotě 10.000 Kč 35 dní před dobou splatnosti při diskontní sazbě 9% p.a.
Vztah mezi polhůtní úrokovou sazbou a diskontní sazbou. Při použití diskontu je: současná hodnota
PV = FV *(1 - d*n)
budoucí hodnota
Při použití jednoduchého polhůtního úročení je:
současná hodnota budoucí hodnota
FV = PV * (1 + r*n)
Nominální výše kapitálu 1000 diskont 900 800 700
d = 10% vyplacený kapitál
d = 20% čas
0,25
0,5
0,75
1
Př Porovnejte diskontní sazbu a polhůtní úrokovou sazbu. 16
1. Eskontována směnka splatná za půl roku o nominální hodnotě 100 000 Kč s roční diskontní sazbou 12%. 2. Jednoduché úročení s roční úrokovou sazbou 12%, přičemž za půl roku se musí splatit 100 000 Kč. Shodné výnosy:
r
d 1
d
n
Diskontní faktor (v) udává současnou hodnotu jednotkového vkladu, který je splatný za 1 rok při úrokové sazbě r. Složené: v = ( 1 + r ) -1
Jednoduché: v = ( 1 + r n ) -1
Spojité: v = e-r
PV = FV * v n Smíšené úročení: Doba úročení není v celých letech, n0 je počet celých let, l je zbytek doby úročení lomený počtem příslušných jednotek za rok. FV = Pv * ( 1 + r )n0 * ( 1 + l * r )
Př Kolik musíme uložit, abychom za 5 let a 3 měsíce měli obnos 100 000 Kč 17 při úrokové sazbě 9,6% p.a.? Úroky jsou připisovány jednou za rok, ponechávány na účtu a dále úročeny.
Př V oznámení o aukci 91 denních SPP s nominální hodnotou 1 mil. Kč je jako max. 18 akceptovatelná (roční) úroková míra uvedeno 5,65%. Jaká cena SPP odpovídala této úrokové míře? Jakou (roční) míru zisku realizoval investor, který SPP koupil za tuto cenu a prodal ji za 58 dní (tj. 33 dny před splatností) za cenu 996 300 Kč? Př Směnka na $20 000 je splatná za dva roky a 5 měsíců. Jaký je její základ 19 při spojitém úrokování s roční nominální úrokovou mírou 15%?
VZTAH MEZI BUDOUCÍ A SOUČASNOU HODNOTOU – VÝNOS INVESTICE, VÝNOSOVÁ KŘIVKA 1. Výnos do splatnosti pro pokladniční poukázku či bezkuponovou obligaci Obligace (Dluhopisy) - je dlouhodobý cenný papír, který vyjadřuje dlužnický závazek emitenta vůči oprávněnému majiteli dluhopisu Doba splatnosti – kdy dochází ke splacení nominální hodnoty dluhopisu - může být upravena – emitent si vyhradí právo na předčasné splacení dluhopisů - (call opce), toto právo může být dáno majiteli dluhopisu (put opce) - dluhopisy s pevnou kuponovou úrokovou sazbou - dluhopisy s pohyblivou kuponovou úrokovou sazbou (PRIBOR, LIBOR) - dluhopisy s nulovým kuponem Cena dluhopisu (P) – tržní, teoretická P=
C
+
1+y
C (1 + y)
C
+ …. +
2
F
+
(1 + y)
n
(1 + y)
n
=
C – roční kuponová úroková platba F – nominální hodnota dluhopisu Počáteční - P =
C (1 + y)n - C + F * y y * (1 + y)n
=
Konečná - P = C ( 1 + y )n – 1 + F y
Př: Vypočítej teoretickou cenu dluhopisu s pevnou kuponovou sazbou 10% p.a., 20 nominální hodnotou 1000 Kč, se splatností 3 roky a při tržní úrokové míře 11%. - je – li kupon nulový
Př: Vypočítejte teoretickou cenu dluhopisu s nulovým kuponem se splatností 3 roky, 21 nominální hodnota dluhopisu činí 1000 Kč, při tržní úrokové míře 11% p.a. Výnos z dluhopisu (y) - kuponový úrokový výnos - rozdíl mezi cenou kupní a prodejní (F) Dluhopis s nulovým kuponem (y) y NK
FV PV
1
Př: Jaký je výnos dluhopisu s dobou splatnosti 5 let, jestliže kupní cena byla 10 000 Kč a 22 prodejní cena 21 000 Kč? Úroky byly připisovány p.a., p.s., p.q. a p.m.
Př: Kolik bude stát obligace s nominální hodnotou 1 000 Kč, splatná za 3 (5 let) roky, 23 jestliže její výnos je 8% (9%)? Kuponová výnosnost yk = C . 100 F
Běžná výnosnost y = C . 100 B
Výnosnost do doby splatnosti ( yDS ) C P = C + + …. + TR
1 + yDS
(1 + yDS)
2
C (1 + yDS)
Výnosnost za dobu držby ( yDD ) C P0 = C + + …. + 1 + yDD (1 + yDD)2
P F
+
n
(1 + yDS)
C
n
=
F
+ (1 + yDD)n
P – tržní cena
= (1 + yDD)n
P0 – aktuální tržní cena
Alikvotní úrokový výnos (AUV) - část kuponového úrokového výnosu, odpovídající době od výplaty posledního kuponu do dne, ke kterému jej počítáme AUV% = pk * tv 360
Výnosové období
pk – kuponová úroková sazba dluhopisu tv – délka výnosového období
C
P
C B
1
y
360
C B
1
y
360
1
kde l je počet let do splatnosti dluhopisu Čistá cena dluhopisu PCL
P
P
CL
AUV
AUV
B
1
y
360
C
..... 2
F B
1
y
360
s
Jiný ukazatel výnosnosti- rendita – zjednodušení výnosnosti do doby splatnosti r
Výnosnost za dobu držby:
C
P
P0
P0
k
P0
Aproximace – zjednodušení výpočtů výnosnosti do doby splatnosti
Hawawiny – C r DS
0 ,6 P
C
Obchodní metoda –
r DS
(F
P) n 0,4 F
(F
P) n
P
Př: Uvažujte dva pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, 24 přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 6% a tržní cenu 9 560 Kč a dluhopis 2 má kuponovou sazbu 14% a tržní cenu 10 670 Kč. Spočtěte a) běžný výnos b) výnos do splatnosti c) aproximativní výnosy. Př: Uvažujte tři pětileté dluhopisy v nominální hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony, 25 přičemž dluhopis 1 má kuponovou sazbu 9,8% a tržní cenu 10 000 Kč, dluhopis 2 má kup. Sazbu 6% a tržní cenu 8 840 Kč a dluhopis 3 má kup. Sazbu 14% a tržní cenu 11 280 Kč. Spočtěte pro tyto dluhopisy a) hrubý výnos do splatnosti, b) čistý výnos do splatnosti s daňovou sazbou 15 %. Př: Jaké čisté výnosnosti dosáhne klient, jestliže uložil na počátku roku 100 000 Kč na 26 šestiměsíční termínovaný vklad při 10% úrokové sazbě p.a. a v polovině roku kapitál včetně vyplacených úroků znovu okamžitě uložil na šestiměsíční term. Vklad při 12% úrokové sazbě p.a.?Úroky z vkladů podléhají dani z příjmů ve výši 15%. Př: Dluhopis s pevnou kuponovou úrokovou platbou má kup. Sazbu 10% p.a. , nominální 27 hodnotu 1 000 Kč a kupní cenu 950 Kč. Po jednom roce se dluhopis prodal za cenu 1 150 Kč. Jaká byla hrubá a čistá výnosnost, jestliže úroky podléhají dani z příjmu 25%.
VÝNOSOVÉ KŘIVKY - vztah mezi výnosem do splatnosti a dobou do splatnosti dluhopisů (státní) - konkrétní dluhopisy lišící se pouze dobou do splatnosti (shodné další vlastnosti) - s delší dobou do splatnosti větší výnos (rostoucí) Výnosová křivka: bezkuponových dluhopisů kuponových dluhopisů Forwardová
Klesající
Výnos do splatnosti
Výnos do splatnosti
Rostoucí
Doba splatnosti
Doba splatnosti
Bezkup. dluh. Kup. dluh. Forward. výnosy
Bootstrapping – odhad výnosové křivky bezkuponových dluhopisů pomocí kuponových dluhopisů Př: Máme tři kuponové dluhopisy v nom. hodnotě 10 000 Kč s ročními kupony. 28 1 - jednoletý s kup. sazbou 5,8% a tržní cenou 9 980 Kč 2 - dvouletý s kup. sazbou 7,2% a tržní cenou 9 960 Kč 3 - tříletý s kup. sazbou 8,9% a tržní cenou 9 920 Kč. Odhadněte odpovídající hodnoty výnosové křivky bezkuponových dluhopisů.
FORWARDOVÁ KŘIVKA (očekávání) - znázorňuje závislost mezi forwardovými výnosy do splatnosti a dobou do splatnosti bezkuponových či kuponových dluhopisů - křivky rostoucí: forwardová leží vždy nad výnosovými křivkami - je z roku na rok, z roku na dva, z roku na tři ………… - křivky klesající: forwardová leží vždy pod výnosovými křivkami - je-li rostoucí: trh očekává zvýšení úrokových sazeb - je-li klesající, očekává snížení úrokových sazeb Př: Zjistěte body forwardové výnosové křivky, jestliže znáte body výnosové křivky: 29 y1* = 8%, y2* = 9%, y3* = 10% při spojitém připisování úroků.
(k
Fn ,k
n)
yk
k
n
yk
n DURACE
Je to aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise. - průměrná doba do splatnosti - průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem (Macaulayova)
1 D Mac
C1 1
y
1
2
C2 1
y
2
...
n
F
Cn
1
y
n
P
- dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná) Dmod =
DMac__ (1 + y)
durace je tím nižší čím:
D mod
1
P
P
y
vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti dříve platba z daného instrumentu nastává kratší je celková doba do splatnosti
- čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazeb PV
P + 4%
y y
- 1%
Př: Vypočítejte DMac , Dmod dluhopisu s pevnou kuponovou úrokovou sazbou 8%, jestliže 30 nominální hodnota dluhopisu je 1.000 Kč, doba do splatnosti 3 roky, aktuální tržní cena je 950,25 Kč a výnosnost do doby splatnosti tedy 10%. (Kuponové platby jsou vypláceny 1x ročně, první bude následovat za rok). O kolik se změní cena tohoto dluhopisu, jestliže se změní úrokové sazby o 1%. Změny hodnot dluhopisu při změnách tržní úrokové míry. Př: V tabulce jsou uvedeny změny počáteční a koncové hodnoty tříletého dluhopisu 31 v nominální hodnotě 10.000 Kč s ročními kupony a kup. sazbou 10% při tržní úrokové míře 10%, jestliže tržní úroková míra klesne (vzroste) o 5% (tj. i = + 5 %). i -5% 0% 5%
PV 11 361,62 10 000,00 8 858,39
PV 1 361,62 -1 141,61
FV 13 152,50 13 310,00 13 472,50
Zpřesnění aproximací výpočtu durace se nazývá konvexita.(CX) -t -n CX = 1 . ∑ t (t +1) . (1 + r) + n (n+1) FV (1 + r) (1 + r)2 PV
FV -157,5 162,5
DLUHOPISOVÉ PORTFOLIO DURACE Je aritmetický průměr dob do splatnosti jednotlivých plateb (kromě pořizovací ceny), které souvisejí s dluhopisem a jsou váženy velikostmi plateb diskontovaných ke dni emise. - průměrná doba do splatnosti - průměrná doba pro získání příjmů spojených s dluhopisem (Macaulayova) 1 D mac
C 1
y
C
2
1
y
2
P
n
C 1
F y
n
D mac
1 P1
2
P2
n
Pn
P
Př: Vypočítej durace pro dluhopis s tržní úrokovou mírou 10% Doba do Kuponová sazba c: splatnosti 5% 10% 1 1,0000 1,0000 1,0000 3 2,8490 2,7355 2,6472 5 4,1699 10 6,7590 20 9,3649 50 10,9063 100 10,9992
15%
- dále je durace mírou citlivosti dluhopisu na změny tržních sazeb (modifikovaná), o kolik se změní cena dluhopisu opačným směrem při změně výnosů D mod
1
P
P
y
durace je tím nižší čím: vyšší jsou platby plynoucí z dluhopisu do splatnosti dříve platba z daného instrumentu nastává kratší je celková doba do splatnosti čím menší hodnota durace, tím menší jsou změny v jeho tržní ceně vzhledem ke změnám tržních úrokových sazeb - vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem: 1. PV ↑ y↓ 2. PV ↓ y↑ Př: Uvažujme tříletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje výnos 5%. Do tohoto kuponu investujeme a) na 2 roky b) na 5 let. Vypočtěte výnos, ztrátu, jestliže den po nákupu se výnosy sníží, respektive zvýší o 1%. Při změně ve výnosech hrozí: a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se výnosy) b) riziko ztráty z reinvestice (sníží-li se výnosy)
Investiční horizont:
krátký utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů (kapitálová ztráta výnos z reinvestice) dlouhý utrpíme ztrátu při poklesu výnosů (ztráta z reinvestice kapitálový výnos)
Snaha o eliminaci obou uvedených rizik (imunizaci): Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci, potom se výnosy a ztráty navzájem pokrývají, a to při vzestupu i poklesu výnosů. Durace kupónového dluhopisu je vážený průměr durací (dob do splatnosti) jednotlivých peněžních toků reprezentovaných kupóny a nominální hodnotou, kde váhy odpovídají podílu jednotlivých diskontovaných peněžních toků na celkové ceně dluhopisu. Durace kupónového dluhopisu je střední (průměrná) doba života tohoto dluhopisu.
D
D 1 P1
D 2 P2 P1
P2
...... ....
D n Pn Pn
Durace portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr durací jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia. D = w1D1 + w2D2 + …. + wnDn
Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč na dobu 3 let, přičemž k dispozici máme bezkupónové dluhopisy s dobou splatnosti 1, 2, 3, 4, 5 let s jednotným výnosem 5% (uvažujeme plochou výnosovou křivku). Vytvoříme portfolia A, B, C takto: A…n = 3, FV = 1.157.625 Kč B…n = 2, FV = 551.250 Kč n = 4, FV = 607.753 Kč C…n = 1, FV = 525.000 Kč n =5, FV = 638.141 Kč Konvexita portfolia složeného z dluhopisů je vážený průměr konvexit jednotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu cen jednotlivých dluhopisů na celkové ceně portfolia. CX =
CX 1 P1
CX 2 P2 P1
P2
... ...
CX n Pn Pn
P
C
1.000.000
B A 5%
Y (%)
Klesnou-li výnosy o 1%, zhodnotí se portfolio o větší výnos (korunový i procentní) než o kolik klesne jeho hodnota, zvýší-li se výnosy o 1% Př: Chceme investovat částku 1.000.000 Kč, přičemž máme k dispozici dluhopisy A, B s následujícími parametry: A: n = 5, c = 12%, y = 12% B: n = 2, c = 0%, y = 10% Jak budeme investovat na 3 roky?
AKCIOVÉ PORTFOLIO Investiční strategie, kdy je optimalizován výnos vzhledem k riziku investice. Akcie – A1, A2, A3, … Váhy – a1, a2, a3, … Výnosové procento – rp (průměrná míra zisku) Riziko – σp směrodatná odchylka Korelace – stupeň závislosti mezi dvěma nebo více proměnnými Kovariance – statistický pojem odvozený od běžného rozptylu, který popisuje rozsah, v jakém se dvě proměnné pohybují stejnou měrou n
rp
N
a k rk
rp
k 1
n
2
pk r (k )
pk (r (k )
p
rp )
2
k 1
k 1
N
rik
ij
ri r jk
ij
rj pk
ij
k 1
i
j
Kovarianční koeficient – σij Korelační koeficient – ρij Rozptyl: součet druhých mocnin odchylek jednotlivých hodnot od aritmetického průměru dělený počtem hodnot (σ2). Směrodatná odchylka: druhá odmocnina rozptylu (σ). Př: Je dáno portfolio P s vahami a1 = 0,7 a a2 = 0,3 a jeho tři výnosové varianty s těmito parametry: Varianta
Pravděpodobnost
Výnos A1
Výnos A2
1
0,1
1%
3%
2
0,2
12%
28%
3
0,3
6%
14%
4
0,4
-2%
-5%
a) nalezněte výnos a riziko portfolia P b) nalezněte kovarianční matici
Korelační koeficient: -
ρij = 1
dokonalá pozitivní korelace
-
ρij = - 1
dokonalá negativní korelace
-
ρij = 0
výnosová procenta nekorelují
Př: Zjisti korelaci mezi výnosovými procenty akcií: a) A1
2
4
-2
6
-1
2
8
-1
2
0
A2
0
-2
9
-3
7
-1 -2
9
-1
4
A1
2
4
-2
6
-1
2
8
-1
2
0
A2
3
3
-1
5
0
1
7
-2
3
1
A1
1
3
1
3
1
3
3
1
1
3
A2
3
1
3
1
3
1
1
3
3
1
b)
c)
Riziko portfolia 2 p
a1
2
2 1
p
: Směrodatná odchylka
2 a1 a 2
12
a2
2
2 2
Kovarianční matice: 11
12
21
22
Př: Jsou dány kovariance σ12 = -3, σ21 = 6, σ1 = 5, σ2 = 10. Určete kovarianční matici a riziko portfolia, jestliže a1 = 0,7 a a2 = 0,3. Jak se změní riziko portfolia, jestliže se váhy prohodí?
DERIVÁTY Forvardové kontrakty – forvardy
Opční kontrakty – opce
- termínované kontrakty – plnění v budoucnosti Forvard – „závazek“ koupit či prodat - určitý počet akcií - za určenou cenu - k dohodnutému datu Forvard:
Opce – „právo“ koupit či prodat - určitý počet akcií - za určenou cenu - k dohodnutému datu
- mám závazek koupit – dlouhá pozice ( long position ) - mám závazek prodat – krátká pozice ( short position )
F – cena forvardu S – obchodní cena T – okamžik uzavření kontraktu t - okamžik uzavření obchodu r – spojitá roční úroková míra
Ft = St e r (T-t)
Př: Cena akcie je 20.000 Kč, přičemž roční forwardová cena je rovna Ft = 22.000 Kč při roční úrokové míře 8%. Jakým způsobem tuto situaci využijeme? Futures kontrakty: standardizované – všichni nakupují (prodávají) stejný kontrakt na předem stanovený počet akcií, vypořádaný ke stejnému datu a většinou garantovaný burzou či jinak Riziko ztráty:
dlouhá pozice (koupit)
– musím koupit, i když cena akcií poklesne - ( ST – Ft )
krátká pozice (prodat)
– musím prodat, i když cena akcií stoupne - ( Ft – ST )
Krátká
Dlouhá
Ft
ST
Opce – „právo“ koupit či prodat Call opce (nákupní) – právo koupit
Put opce (prodejní) – právo prodat
- určitý počet akcií - za určenou cenu X - k dohodnutému datu
- určitý počet akcií - za určenou cenu X - k dohodnutému datu
dlouhá pozice – kupuje
krátká pozice – prodává
Evropské – opce může být uplatněna pouze v čase T Americká – opce může být uplatněna i před časem T Call opce uplatněna právě tehdy když ST > X – zisk = max { ST - X ; 0} Put opce uplatněna právě tehdy když ST < X – zisk = max { X - ST; 0} zisk
zisk call
X
put
cena
cena
X
Platba za vstup do dlouhé pozice – „c“ zisk
Call short
zisk Call long
c
X -c
X
cena
cena zisk
zisk
c Put long X
-c
cena
cena
X
Put short
