Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen

! " "

# $ "

! ' )'

#

*

# #

# #

+' ' '

+

!

%'

.=−

. =− /+ 0

# $ "

! 1 = ! #

! %3

*"

*"

& %

& %

&

%

'

-&

/+ !

"

!#

'

,

"

"

&

'

+

0 0 2

!% %' !

#

(

*

#

! ! &

*"

1 =' + $ * # ' 2 =' +

1 =# 2 =3

"

!

$

& !

%+ &

%

&

vwo A2 — Discrete modellen_1 — Recursie en differenties

*

#

#

# #

#

# #

#

# #

#

!

% & . =''/+

%

% & . = − -' / +

&

*"

!

' /+ . = ' #

%- & *"

!

/ + -. = '- #

. = -' / −

*"

%

&

% +& . = −' ' / + +

-. = − / + '-

. = −-/+

*"

. = −' / + '

'

. = − / +'

'


4 7 8 0

*

$ *" 5' 6 )' 5 # 6$ ' 6$ / 5$ ! % * & " 9 2 :9 $ ! / ' .

(

!

# . * ; (

#

!

#

/ * ; # $

#

,

$ ! ' -

#

. = − ⋅' ' + ' 0 $

'

/=

'

/ =' - !=-

/−

'

−' ! + '

'

0 $ " !

'

=

'

(

!

= −/ + +

!

' 4

'

%

#

!

#

- !+

#

=+

(

''/ ='

" =

&

!

%'

&

'

!

"

/=

!

"

.=−

*" . = − +/ + ' - 0 $

%'& − / +' / + 4

$ ! = − /+ ( # . = − ⋅+ +

%'+ & % & − /+ ' /=

'

'

%'

&

!

+&

. = − /+

% &− / +' / =' +

%' '

'

/='

''

!

( =

'

#

''/−

⋅' +

<

/−- =+ 0

!

"

#

= !+

#

= − / +'

/ "

# . = −' + + = −

( !

'

'

/ ='' 2

= −+ + '

!

0 $

−-/+

!

(

*

/) ' 5$ /

= − +/ + ' - ( / '+ 4 # = − +/ + ' - ( / 4 #

$

# ' +/ + ' = =3 ( ! # .=−

/ +'

' +/ = '- -

%+ 3 &

/ +' = '⋅ '+ + ' = (

# ' /+ ' -= .=− ⋅ + = '3 (

!

!

%

'3 &

*


Uitwerkingen bij 1_2 Lineaire ongelijkheden ⋅ + ⋅ =

≥

!

"

!

' " *

#

⋅) − ⋅) = ) <

(

! !

+ ## .

%+ &=

$

$

)

, ,

) -

$

!

vwo A2 — Lineair programmeren_1 — Twee variabelen

"

)

/

)

) ) #

)−

"

- ) /

) )

!

#

!

" "

+

/

))

+

) =-

)

≤-

)

/ #

−

' ) )

0 ) ) /

≥ )) "

) ) #


'

!

#

'

!

#

!

%1, "

#

!

" &1

!

&1

"

( #(

%1, (

% + +& = ,

"

#

!

% − & = −, " #


+ ≥) ≥

!

≤ ≥)

≥

− ≤

/

− ≤

$

#

2

!

!

3

3

$ 4 =3 "

5 +4 = )

'

6

5 +4 = ) ) ) )3 3

5 1 )

/ /

3

5 =3

4 1)

5 =,

)−5 = 3 ' )− 5 =) '

)

&= %−

&1- %1) &1)

/

&1 %7 !

&0

)

# 4 = )−, =

2

3

'

3

)−5 = )− 5

,

'

,

&1

&1 7%

51

4 13

7% &1-

%0


Uitwerkingen bij 1_3 Variabelen en voorwaarden

!

+

#

$ %

$ "

(

)

$ +

,

$ %

$ 2 $

(! *

+

+ +

& ≤

*

≥

% !

!

' ! $ $

" !

*&

$ + $ " & $ + *. + % ! + $ % "1 ! $ + + $

(+ "4

, $

% !

$ $

&

3

& $

/. * 0 %+ ! + %

" &

#

$

% * ⋅ + " = <

# !

"

≥

$ + !

!

$ "

*

$ &

& 5 + + # 5 ≤/! & $ % % $ + 5 ≤ ", & ! & * ≥ 5 *5 ≥ * +5 ≤

!

%& &

' 6" % $0 &

!


) 8 ! 5 ::. ! $ 5 :) 5: & < : * ) :. . "

8 % ) + % , /-. * 0"

+

3:

- −

#

+

: * 3 : * : -. * = . 3 : -* = 3 : = . 3 : -" / * 0* / * 0* 1 / *> 0* 7 /- * 0* ) /-. * 0 1 ! .3 − - = − 3 ") ! $

3:> -

=

< ! $ 3: " $ $ % )

/ * 0* /. * - 0* 1 /. * - 0* 7 / * 0 ) / * 0" 9 5 : 5 ") ! $ 5 : * "8 ! 1 − 5 = −5 " 7 ! 95 : " = − - = . "; : " $ ! $ % $ = +- 5 : * 1 : . * 7 : ") & $ $ % + 1* % ! . + & - + 6 ! & "

%

.

= . ⋅> − - =

− . ")

! $

( 3 : "; : -. $ &

) ! +

"

−. = -

7 !

−-

: = . 3 : -*

+ $

/-. * 0" $ ! + =?"

$

/ * 0* / * 0* /> * 0* / * - 0* / * -. 0

:- " .3 : #+

/ *-. 0


$ $ )

$ ?

!

& +

#+ . : ?≥

!

#

+ % ( *

@

! % :

+

0 ≥ *1 ≥

$

:

?=

* % !

$" 0

&

+ 8 8 !

: ?= : ."

$/ $/

!

$ ! !

& $ *

& +1 ≥ - *

$ * = 1 :. ! $ % $ 1 = . −1 1 : - ") $

$

$ ") +1 ≤ .

$ : 1 " ?

1 % ≤ 1

+

# A %

" "


Uitwerkingen bij 1_4 Doelfunctie en isolijnen

+

≤ !"

# + $ ≤% "

&

' '

*

(% "

)

+ # % - . 0 1 = ,# +% $ 01 = , ⋅ +% ⋅ % = 2 -

*

, % $ -

$ ≥"

( !"

) - . -

/

# ≥"

,#

-

/

$

" . " " / ." 2! /

.%

3/ " -

+ ,# +% $ = 4 -

4

*

"

-

5

%

! −% !$ = ," − $

5 # ( " + *

-

"

# + $ = !" . !" − $/ = ," − $

# ' $ (% " % %!

# + $ =% "

" !$ = , !

- $ ( %!

# ( 3"

-


&

'

(

'

(%

(3

(

*

*

*

* -

-

.

(

-

(3 + ⋅

* ' (

- % + ⋅% = 2

-* -

6 " " !""" % 6 .

!

(%

-

≥"

/ . 6 ≤ !"""

≤ ,!"" 1

." " / .%! " " 2" " " / 1 .%! " " 2, ! " / & -

= " !6

6 ' ! 6

=%

.% %/

% " %! " " ! 6 ≥"

6 +

'

/ +

&

7 8 9

-

)

( ,!""

-

≤ %! " "

/ ≤ " !6

.%" " " ! " " " /

*


*

7 ="

- * 9

6 +%

*

5 6 ' 2, ! " ( , ! " " - 6 ( 2, ! " & .%! " " 2, ! " / 7 " ⋅ 2, ! " + % ⋅ %! " " = 22" " * *

( %! " " -

6 +

!

) !

* .%! " " 2, ! " / )

1

( ,!"" -

7 = " !6 + % !

- *

-

6 ' ! -

7 2, ! " = ,!""

+ ." !

2

+

= 2

)

-

/ = !

)

5 5

-

." %

%

/:

%% ! −

& 9

-

(

! −" !

- . !:2 !/ - *

-

%! =! * - 2⋅

* -

!

(2!

! + ⋅2 ! = " !

*

-

-

("

' &

("

'

( 2

( ! -

-

-

&

-

-

*

-

*

*

*

.!

/

-

%;


Uitwerkingen bij 1_5 Randenwandelmethode

!

"

!

# # &

&

$

'

!

* " −

(= )

−

= )!(

+ + *

,

/

=

+

/

=

−

=

"

%

(

( -'

− =$ )

' -'

−

= )

" − ⋅$ ) − ) = $

+ & & * !( / (/ &

/ −

"! ( "1 " 2

!3

" '

/ (

( '

= !0

!0

(

-' *

!( =$ )−

' !( + ="

"# %

!

(

/

&

=

/

/

+

! −

0

=−

(

0

+

)

" - . /

( −

=−

(

+ -

!%

+

'

(

" " #, #

"

"

' "


#

− "

!0

(

=

+ −

" "

!(

5

)

&

0 ) 8

'

' − " $! 7

# =

=" +) 4 ) "

6 −

− #

=

#

'

4 )

(

−" '

$

( '

+

2

" 8

$

& % 4 . ( * -

-

) "!

8

! #

&

-

,

# −, =

0

( %

/

6,

8 0 ( - . - . ' (

,

$

*

-

'

*

*

4

/

, "! 2

8

6 &

- . 6 *

' $

, &

, +

;

$

' ,"

$ *

'

+ "⋅ 28 )

'

-

(

(

/

/

"

/

& ," "⋅

-

-

8 * : 8' *

" 8 /

2

* ( ' 6 &! ( & , "! ( % & " ) ( & & * ( & 8+; ≤ ,

!

, "! 6 "& !

/

' !

!% * ""! (

* :

6 !2 , !( - .

'

$ #,

2

+

6, 2

6, −

8 :

,

!

+ '

2

( )

)"

* * -

#

-

4 $

"

2

%

8 "

9 ' * 9 8' * (

&

2

2 =

,"

/

"! *

8

'

! / !7 &

+

<8≤) 8≥

; ≤ " ; ≥ !

; ≤8

; +8 ≤ $


(

&

% %

% ; 9 9 :

*

/ ; 8 $ 8 ; , ; 8

*

-

8+ $

: ,

; " ,

8 ) 8 ; , ' ; 8 $ 8 ; , $ − ; =, −; ! ( ; 8 ' 4" ! ; 8 ; 8 $ ; $ ; 8 ' ' 2 8 4 (& / : 2 : 8 : 4 : !( :

8) "

! '

( : ! 4 4!


Uitwerkingen bij 1_6 Lineair programmeren

!"

$

%

% '"

"

≥"+ ≥" $ ( ,. $ -. 3

+%

)$ * %

(

$

≤ & """ +

# & """ % " """ " + '" ≤ % """" +

% % , & """ $ -. /! 0 " " +" 1 /" + ! 0 " " 1 $ ( $ " '" % """" /2 " " " + " 1 ,. /" + ! " " " 1 $ %" " " " " ) $ *

( /" + ! " " " 1 $ ( " '" % """" $ /& " " " − % 1 /% " " " " − ' " 1 = % " "+ % "" !"" 6 !"" 3 $ 4 % 2""" %2 " " " " !""" (

$

%

) $ 4 /" " 1+ 5 /! 0 " " + " 1+ % , & """ $

(

!0"" −

= 2 " " " − %+

+

% & """ 7 '2""" '2"""+ 8/ !""+ !""1 "+ 5 % """"+ 8 , " ( ,


' % -%" 9

+

)

-

(

(

: ≤ "+ 4 4 3

'&&

≥! + $ %" $ '

(

; / ' % > %" ⋅ ≥"

( + ' ≤ '<" # ( /" + " 1 / ""+ "1 /' < " + " 1 /" + %' " 1 *

≤ %" '<"

= "1 ≥"

= %" + $

." +! = $

$

(

) ( $

( $

%" $ '"

# $ =

%+

' (

'<"

$ (

( (

+ +

'"" '& "

( ≤ %! ! + "+&

%" '"" 3 '"

)$ + ≤ ! " + %+0

' $

≥" ( + %+% ≤ < '

'<"

%' /' " " +' " 1 -

$ ( '<"

) ≥"* %+ + ≤ 0"


+! +

'

=

(

$

(

$ ( %+0 %+% <' %+ /< ' − %+0 1 /%! ! − %+ = %+% +

≈

%+" !

-

+

%! !

3

(

+

(

( +

≈

& +2 7 " +2

≈ /%! ! − %+ ⋅ 21> + ≈ !

2

( - % 2 +0 $

@

( $

( %! ! - %+

( ≤ %0 "

$

0 ! +2 7 %+2 !

2 %& !" 7 !

- " +&

$

+

≈ & +% (

' - %&

: $

<' -.

A

%" +2

%0 "

1(

!" $ %+0 %+% ! " * "+& ≈ & +% /< ' − %+0 1 ! " = %+% "+&

3 4

$

2

/)

" +& @ (

-

$ (

0 ! + 7 %+2 !

(

0 " 7 2 - %+ 7 !

=

1

≈

?

%+ 3

$

≈

2 +< -

( ( $

(

( $

%+2 ! ≈ & + - ≈ %2 +0 )$ $ ( /%& + & 1 ! + - & <22+ " ( %' B

$ (

$

-


Uitwerkingen bij 1_7 Verwerken en toepassen

'

≥ !" # $ # ≤ ' ./

(

-

) &"# &"#

/

≤ %## $ + ≥ &"# $ &"# + ## < ##### ( ) * +" # # , # # # * " # # " , % .

/ 0/ , ## * ##### 1 * +% # # # # = !& ! !2 3 /

/ 0/

* %## * %##$ $

!& !$ % # # (

/

/ (

!& !

%##

4 ' ' 2" 4 / (

1

5

2" +# '

( /

+# 5 /

( 7# #

( " # # + 2# # # ≤ ! " # # 9

/

6 7# # 2+# #

+# !# 1

/

/ (

' 1 / 2" , +# 2" + +# ≤ 7# # 2" + +# ≤ 7# # $ +# + !# ≤ 2+# # $ $ 8 5 /


! + -

≤ 2% # $ + + ! ≤ 2+#

9

++ ≤ 7

/

. ! , * 2% # ! * 2% # $ * # 3 + , ! * 2+# ,+ * 7 . # $ + * 7$ * ! +2

9 # $# #$!

2 +

$

1

,+ * 7 7 − + = # − 2 +2

/

+ , ! * 2+# 2 =7$ +

,+ * 7 * !! ( :

' # $#

) * & +# # $

2 +

#$!

) * &" # / 0/ &" # ' ( ) = 2+# + 2% # & +# # $ #$! +2 !!$ 2% / / +# , !# *2+# # − +! /

& +# #

# $#

'

+2#

' /

> − +2 < /

!!$ 2%

& +# #

/ − +2

" # # , 2# # # * ! " # #

4 −

/

!!$ 2%

/

/ (

2% #

2 +

) * 7# #

/ 0/

'

−

# $# $ # $ !

!!$ 2%

.

.

1

,! * 7

!!$ 2% # $# $

;

'

$

$ * 2% 1

= 7#

$ 2% #

/ / (

4

7#


#0 + # ≤ %# ⋅ # = %## $ //

+

+#

>

/ 2$+

!

(

.

0. 7& 0 + " %$"

( 2& 0 + 2& 2+ #

⋅ !# 0 +

? " #

/

/

2+ /

" / ⋅ !# = +0 + !+$"

) = 7& 0 + " %$"

− 2& 0 + 2&

? −

) +0 + !+$" −

3/ +$" 0 * 2+# 27+ , *+ # / 0/ 2+7 * 2! !2

/ 0* % ; * %

2% 7

= 2%0 + 7

= −+

/ 0/

!0 , + * + # 0, *+ # 2+# @ 2$" 0 * + # @ 0 0 , *+ #

'

%$ % ! 2 % 0 , " * " !!

$/ 2 !

=%

2

$/ -

! /


Uitwerkingen bij Testbeeld

! " # , & * - +' . & * +' / % " / ( " #

+ 3 50 #

0 # 4

$

%& # 0

#

1

2

&

)

'

# +

+

+

− =− "

' ) & * +' % /

4

,

,

' (&

=++

#

4 $

+ +6 ≤ -

−

≤

++ ≤ +

≥-


0

0 0 7

"

+ +6 = -

#

++ = + 7

=

"

+−

=

+ 6

−

+

=

-

% &

0

' &

' &

7

0

2

$

; + + ≤ - +9 -

&"

# + − ⋅ 6- ≈ + 6

9

0

≥-

& " ; ≤

7 7 ≤ 6- ≤ 9-5# 0 5# 0 & - 9 -' 5# 66-

< 3

0

7 &

2

+

-' '

9- 9--

" ;-

≥ - ': - +

≤

--

&"

:+

≤ 66+ 9 + #

&- 66- '

9-

9- 0 +; - -

2

= = 9- + ;-

2

" "

; + + = - +9 -

# #

≤

9

+9 + -

- ⋅ + - + ⋅ +- > ; 9-- 8

$

+9 -

+ ≤

# #

&; + - ' &- - '

+ &-

9-'

&66- - '

:

≤ 6-

7

≤

≤

9-

#

" "

≤;

9 + 9 ≤ + 6- 8

--

"

7

0

≈

0

0 &+ - ' " #

0

"

0

8

' "

=

6-

0 '

' &

7 $

−+ =

# # 0

= + − +6

"

−

"

0 - +

=

7

=;

-

#


-− = 9

&; +

2 7

-

(

'

& - +9 - − + ' ; ; -

=

9

0 #

2

; 0 7

−

; +9 -

" # 7

9 6- 7 #

" "

"

#

7

0

0

7

7 0

# - +

7 #

7 ≤ - - 6-

7

; + + = - +9 -

0

66#

&

-

"

00 #

7

+ + ≤ 9-- (

>.

" #

#

#

$

"

= ;

660

0 07

00 +

≥-

≥ --

+

-

7 0

-.

≥ +- -

≥-

" 7 # # & - -' &0 # &+- - - ' &- +- '' & -- -' &- '' " # " 0 # + + = 9-+ - &0

7

"

" $

$

0 7 0

99---

-'

" 2

9 + 9 = + 6-

& - +9 - − + ' &+ 6- − 9 ' * = ; 9 − = 66- − $

" 2

7

7 " 7

"

−

$ 7

-& - +9 - '

$

=

+

&-

- ''

+- -

+

9 - - &0

= --

! #

# "


& -- − '

=

# -- - +

-- 4

& 9-- − + '

+ --

-+

*

$

-

+

" --

--

99

7 - 0

0 - 0

+? 0

" 0

0 7 0

- 0 0 ?

# "

-

0 - 0

0

?

7 0 --

-

99

- 0 --

9- 0 : - 0 9-? - -

99

0 >.

0 0

- 0 0

9-? 9

- +?

(

" 0

9- 0 " "

# " # #

7

- - "+- # ≤

7 " $

;

7 :#≥

+* - ≤" ≤

"

* " +# ≤ -

"

" + -# ≤ ;2

" )& 6 -- − # 1 1 % =

#

=

- -9"

- - 6#

# " $ %& ' & - -' ,& ; -' / -" = ; - − " # 8 " - 7 " # $ " # 7 = 0 ( = ; 0 +0 , = 0 2 " 2 0 0 7 " $ - 0 " # " 0

+* - ' ( & 2 ) #

"

'

-

= 0 - 0

+*

9 0 "

-

#

-


Uitwerkingen bij 2_1 Drie variabelen 1

a

b

8 banken, 28 stoelen en 17 tafels nemen evenveel plaats in als 8 × 2 + 28 + 17 × 2 = 16 + 28 + 34 = 78 stoelen. Dat is meer dan de maximale opslagcapaciteit van 70 stoelen, dus het is niet mogelijk. De aantallen geproduceerde banken, stoelen en tafels zijn natuurlijk niet negatief, dus b ≥ 0, s ≥ 0 en t ≥ 0 De maximale aantallen per dag zijn respectievelijk 10, 30 en 20, dus b ≤ 10, s ≤ 30 en t ≤ 20 Druk de benodigde opslagruimte uit in aantal stoelen: één tafel of één bank nemen evenveel ruimte in als twee stoelen, dus b banken en t tafels nemen evenveel ruimte in als 2b + 2t stoelen. Er is plaats voor 70 stoelen dus 2b + s + 2t ≤ 70

2

a b c d e f

C(0, 30, 0); E(0, 0, 20); B(10, 30, 0) en F(10, 0, 20) De coördinaten van H zijn (0, 30, 20) dus dit punt hoort bij een productie van 0 banken, 30 stoelen en 20 tafels. Van G is bekend: b = 10 en t = 20 Van D is bekend: b = 10 en s = 30 Vlak ABDGF is evenwijdig met de s-as en de t-as. Het punt (10, 0, 0) ligt in dit vlak. Bij alle punten in dit vlak hoort dus een productie van 10 banken. Bij BCHD hoort de vergelijking s = 30

Bij EFGH hoort de vergelijking t = 20 Vul de coördinaten van G, D en H in bij de vergelijking 2b + s + 2t = 70: 2 × 10 + 10 + 2 × 20 = 20 + 10 + 40 = 70 2 × 10 + 30 + 2 × 10 = 20 + 30 + 20 = 70 2 × 0 + 30 + 2 × 20 = 0 + 30 + 40 = 70 Alle drie punten voldoen dus aan de vergelijking 2b + s + 2t = 70 De vergelijking van vlak GDH is dus 2b + s + 2t = 70

vwo A2 — Lineair Programmeren_2 — Meer dan twee variabelen

3

a

b

c

4

a

b

c

De winst per bank is 30 euro, dus op b banken 30 b euro. Op s stoelen is de winst 10s euro en op t tafels 25t euro, dus W = 30b + 10s + 25t Vul de coördinaten van alle hoekpunten in voor de functie W: punt coördinaten waarde van W O (0, 0, 0) 30 × 0 + 10 × 0 + 25 × 0 = 0 A (10, 0, 0) 30 × 10 + 10 × 0 + 25 × 0 = 300 B (10, 30, 0) 30 × 10 + 10 × 30 + 25 × 0 = 600 C (0, 30, 0) 30 × 0 + 10 × 30 + 25 × 0 = 300 D (10, 30, 10) 30 × 10 + 10 × 30 + 25 × 10 = 850 E (0, 0, 20) 30 × 0 + 10 × 0 + 25 × 20 = 500 F (10, 0, 20) 30 × 10 + 10 × 0 + 25 × 20 = 800 G (10, 10, 20) 30 × 10 + 10 × 10 + 25 × 20 = 900 H (0, 30, 20) 30 × 0 + 10 × 30 + 25 × 20 = 800 De hoogste winst is dus 900 euro. Deze winst wordt bereikt bij een productie van 10 banken, 10 stoelen en 20 tafels. De winstfunctie wordt nu: W = 30b + 20s + 25t Bereken de waarde van W opnieuw voor alle hoekpunten: O (0, 0, 0) 30 × 0 + 20 × 0 + 25 × 0 = 0 A (10, 0, 0) 30 × 10 + 20 × 0 + 25 × 0 = 300 B (10, 30, 0) 30 × 10 + 20 × 30 + 25 × 0 = 900 C (0, 30, 0) 30 × 0 + 20 × 30 + 25 × 0 = 600 D (10, 30, 10) 30 × 10 + 20 × 30 + 25 × 10 = 1150 E (0, 0, 20) 30 × 0 + 20 × 0 + 25 × 20 = 500 F (10, 0, 20) 30 × 10 + 20 × 0 + 25 × 20 = 800 G (10, 10, 20) 30 × 10 + 20 × 10 + 25 × 20 = 1000 H (0, 30, 20) 30 × 0 + 20 × 30 + 25 × 20 = 1100 De hoogste winst is nu 1150 euro. Deze winst wordt bereikt bij een productie van 10 banken, 30 stoelen en 10 tafels. x en z hebben een positieve coëfficient en y heeft een negatieve coëfficient in de functie W = 2x – y + 3z Voor een maximale waarde van W moeten x en z dus zo groot mogelijk en y zo klein mogelijk worden gekozen. In de doelfunctie T = 3x + y – 4z moeten x en y zo groot mogelijk en z zo klein mogelijk worden gekozen. De punten B en C komen daarom in aanmerking. In B geldt: T = 3 × 50 + 50 – 4 × 0 = 200 In C geldt: T = 3 × 20 + 80 – 4 × 0 = 140 Het maximum voor T is dus 200 Voor het minimum moet je x en y zo klein mogelijk en z zo groot mogelijk kiezen. Dat is het geval in punt K. Het minimum is T = 0 + 0 – 4 × 60 = –240


5

a

b c

De winstfunctie wordt nu W = 24b + 12s + 24t Bereken de waarde van W opnieuw voor alle hoekpunten: O (0, 0, 0) 24 × 0 + 12 × 0 + 24 × 0 = 0 A (10, 0, 0) 24 × 10 + 12 × 0 + 24 × 0 = 240 B (10, 30, 0) 24 × 10 + 12 × 30 + 24 × 0 = 600 C (0, 30, 0) 24 × 0 + 12 × 30 + 24 × 0 = 360 D (10, 30, 10) 24 × 10 + 12 × 30 + 24 × 10 = 840 E (0, 0, 20) 24 × 0 + 12 × 0 + 24 × 20 = 480 F (10, 0, 20) 24 × 10 + 12 × 0 + 24 × 20 = 720 G (10, 10, 20) 24 × 10 + 12 × 10 + 24 × 20 = 840 H (0, 30, 20) 24 × 0 + 12 × 30 + 24 × 20 = 840 De maximale waarde wordt dus bereikt in de punten D, G en H en in alle andere punten die binnen deze driehoek of op de zijden van deze driehoek liggen. Bijvoorbeeld het punt (7, 20, 18). Dit punt voldoet aan de vergelijking 2b + s + 2t = 70 want 2 × 7 + 20 + 2 × 18 = 14 + 20 + 36 = 70 De bijbehorende waarde van de doelfunctie is gelijk aan W = 24 × 7 + 12 × 20 + 24 × 18 = 168 + 240 + 432 = 840 dus gelijk aan de maximale waarde.


Uitwerkingen bij 2_2 Van drie naar twee variabelen

≤

0

≤

≤

!

"

# +$ +# ≤ % " & ' × + $× +(× =$ +) = & * × + $× +(× # =( +# = & + × + $× +(× = +( +# = ' * + % % , &- ' + . % % # +$ +# = , - '* % % / 0 + +2 1 = 1 = × 3 , % + × +2 × = +2 + = 2 3 - % 1 = × + × + 2 ×2 = +2 + = 3 &% 1 = × + × +2 × = + + = 1 = × 3 ' % + × +2 × = +2 + = 2 ! 4 ! , 2 ! 5 6 4

! , ≥

≥

≤

/ 7 ≥ ≤ +

5

%

≤

! %

%

≤

# +$ +# ≤

# +$ +#

# +$ +# +# ≤ 0

2

1 =

+

+8 ≤ +2

+ "≤ + "=

% +

+2 +2 = 2 +


6

%

%

0

:

0

% 0

6

;

,

% =

8 =$

= % # =

&

" 4 =

% +8 =

"

< " +8 = +8 =

%

= $$ $

%

6

9

# +2 =

# +

=

=)$ +8 = % % % 0

5 %

# +2 = %

%

+ ( = +8 = =2

= ( == − 8) =

9 # = , 3 3 3 3 3 3

% % % % % < %

$$

!

; 4 , 5

1 1 1 1 1 1

%

# +2 × (

%

=

= = = = = = =

0 1 2× + × = 2× = 2 2× + × $$ = 8 # 2× + × ( = 2 ×) + × = 8 $# 2× = 2

0

! ,

$$

>≥ % % 0>≥ − > − $ > − " = − > − $> + # = 2 − > ≥ $ − ( > − "= $ − (> + ) = − (> ≥ ) 1 = $ + (> −$ > −

0

≥

−

≥!+ $ +!− ≥#

≥ !≥ % % 0 +!≤ −! ≥ ≥ !+ − −! = − $ ≥ $ +!− − − !" = $ + ! − +

+

! −$

− − !" = ( + ? = ($

0 % @

≥$ 9

" = $ + ( > − $> + # = 8 + >

0 ≥ $$ +! =( + !−

≥#

( + !≥ #

%

< !

4

5

≥ ≥

≥ >− − > −$ ≥ $ −( ≥ )

+? = (

!

%

≤

+

! −$

+$

+$ !

+ ) ! −$

% @ ! ≥$ +!+

@ % ≥$ =$


+!+

.

=$

=$

% ≥

−

$

≤

≤

)! + )! + )

# = + − # −

−!

−

−! ≥

$

−

+! ≤$

0

− !" = #

−

− !

$ + !≤# 0

' = ' =

+ +

A : , %

9

4

$ = ( $ + !=# %

$ , 3 3 3 3 6 6 B

(

6

% , )

$

%

% % !=

=$

%

4 , 5

= ) +! = 2

=#

0 9

− − !" !+ )

# $ ( +

% % $ $ " $ + !=#

! =$

$ + ×$ =# 9 5%

)! + #! =

5 #

+! = 2

" % "

!= (

" '

4 % , % 5% %

' =

( ×$

+

' =

(× )

' =

( ×#

+

' =

( ×$

+

+

×$ ×$

+ )

= 8)

+ )

=

×

+ )

= (#

× (

+ )

= (

%

) ?

8

)

B )

B $

%


Uitwerkingen bij 2_3 Lineair programmeren 11

a

Uit de maximaal beschikbare ruimte volgen de voorwaarden k ≤ 50 en s ≤ 200 Uit de beschikbare oppervlakte aan weiland (in ares) volgt: 20k + 4s ≤ 1400 Uit de beschikbare hoeveelheid arbeid volgt: 150k + 20s ≤ 9000

b

c

De hoekpunten van het toegestane gebied zijn O(0, 0), A(50, 0), E(0, 200) Punt B wordt gevonden uit 150k + 20s = 9000 en k = 50 dus 150 × 50 + 20s = 7500 + 20s = 9000 waaruit volgt 20s = 1500 dus s = 75 De coördinaten van B zijn dus (50, 75) Voor D geldt: s = 200 en 20k + 4s = 1400 dus 20k + 800 = 1400 waaruit volgt 20k = 600 dus k = 30 zodat D(30, 200). Voor punt C geldt: 150k + 20s = 9000 en 20k + 4s = 1400 Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 5 en trek het resultaat van de eerste vergelijking af: 150k + 20s = 9000 100k + 20s = 7000 dus 50k = 2000 en k = 40 door invullen vind je 20 × 40 + 4s = 1400 dus 4s = 1400 - 800 = 600 en daaruit volgt s = 150 . De coördinaten van C zijn (40, 150). Voor maximale winst moeten k en s zo groot mogelijk worden gekozen. In punt C geldt: W = 1000 × 40 + 150 × 180 = 67000 In punt B geldt: W = 1000 × 50 + 150 × 75 = 63500 In punt D geldt: W = 1000 × 30 + 150 × 200 = 66000 Dus maximale winst als er 40 koeien en 150 schapen zijn.

vwo A2 — Lineair Programmeren_2  Meer dan twee variabelen

12

a b

Vlak ABGH hoort bij de vergelijking x = 30 Punt E ligt in de vlakken OAGED, DEF en EGHJF. De vergelijkingen van deze drie vlakken zijn y = 0, z = 85 en 8x + 5y + 4z = 400 Door y en z in te vullen volgt 8x + 0 + 4 × 85 = 400 dus 8x = 400 − 340 = 60 en x = 7 21 De coördinaten van E zijn (7 21 , 0,85)

c

Van enkele punten zijn de coördinaten direct af te lezen: O(0, 0, 0), A(30, 0, 0), C(0, 20, 0) en D(0, 0, 85) Voor punt B geldt: x = 30, y = 20 en z = 0 dis B(30, 20, 0) Voor punt F geldt: x = 0, z = 85 en 8x + 5y + 4z = 400 daaruit volgt 0 + 5y + 4 × 85 = 400 dus 5y = 60 en y = 12 zodat F(0, 12, 85)

Voor punt G geldt: y = 0, x = 30 en 8x + 5y + 4z = 400 daaruit volgt 8 × 30 + 0 + 4z = 400 dus 4z = 160 en z = 40 zodat G(30, 0, 40) Voor punt H geldt: x = 30, y = 20 en 8x + 5y + 4z = 400 daaruit volgt 8 × 30 + 5 × 20 + 4z = 400 dus 4z = 60 en z = 15 zodat H(30, 20, 15) Voor punt I geldt: x = 0, y = 20 en 8x + 5y + 4z = 400 daaruit volgt

d

0 + 5 × 20 + 4z = 400 dus 4z = 300 en z = 75 zodat I(0, 20, 75) Voor een maximum van de functie K = −x + 12y − 3z moet y zo groot

mogelijk en moeten x en z zo klein mogelijk worden gekozen. Het maximum wordt daarom bereikt in punt C. Het maximum is K = 12 × 20 = 240 13

a

Uit 2x − y − z = 0 volgt z = 2x − y De voorwaarden x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 30 en y ≤ 20 blijven onveranderd. z ≥ 0 wordt 2x − y ≥ 0 z ≤ 85 wordt 2x − y ≤ 85 8x + 5y + 4z ≤ 400 wordt 8x+5y+4(2x-y) ≤ 400 hieruit volgt 8x + 5y + 8x − 4y ≤ 400 dus 16x + y ≤ 400 De doelfunctie wordt W = −x + 12y − 3(2x − y) = −x + 12y − 6x + 3y = −7x + 15y

b


c

Eén van de hoekpunten is O(0, 0) Voor het punt A geldt: y = 0 en 16x + y = 400 dus 16x = 400 en x = 25 dus A(25, 0) Voor B geldt: y = 20 en 16x + y = 400 dus 16x = 400 − 20 = 380 en x = 23,75 zodat B(23,75; 20) Voor C geldt: 2x = y en y = 20 dus x = 10 zodat C(10, 20) De waarde van de doelfunctie in de vier hoekpunten is: In O: W = 0 In A: W = −175 In B: W = 133, 75 In C: W = 230 De maximale waarde van W wordt bereikt in punt (10, 20).

14

a b

c

De winst in dat geval is gelijk aan 5 × 60 × 70 + 5 × 0 × 5 + 12 × 50 × 90 = 90000 dus € 90000 gewas benodigde arbeid beschikbare arbeid aardappelen 5 × 12 = 60 2 × 8 × 5 = 80 erwten 5 × 15 = 75 2 × 8 × 5 = 80 graan 12 × 10 = 120 3 × 8 × 5 = 120 Bij deze verdeling kan er dus op tijd worden geoogst. De voorwaarden zijn: a ≥ 0, e ≥ 0, g ≥ 0 en a + e + g ≤ 22 De doelfunctie is W = 60 × 70 × a + 40 × 75 × e + 50 × 90 × g dus W = 4200a + 3000e + 4500g

d

De beperkende voorwaarden zijn: 12a ≤ 80, 15e ≤ 80 en 10g ≤ 20

e

Op de helft van de beschikbare grond wordt graan verbouwd dus g = 11 De voorwaarden worden nu: a ≥ 0, e ≥ 0, a + e ≤ 11, 12a ≤ 80 en 15e ≤ 80 10g ≤ 120 wordt nu 10 × 11 ≤ 120 ; aan deze voorwaarde is voldaan.

f

De voorwaarden leveren het onderstaande toegestane gebied op:


De doelfunctie wordt W = 4200a + 3000e + 4500 × 11 = 4200a + 3000e + 49500 In hoekpunt O(0, 0) geldt: W = 49500 In hoekpunt A(6 23 , 0) geldt: W = 4200 × 6 23 + 49500 = 77500 Hoekpunt B voldoet aan a = 6 23 en a + e = 11 dus e = 4 31 In dit punt geldt: W = 4200 × 6 23 + 3000 × 4 31 + 49500 = 90500 Hoekpunt C voldoet aan e = 5 31 en a + e = 11 dus a = 5 23 In dit punt geldt: W = 4200 × 5 23 + 3000 × 5 31 + 49500 = 89300 De winst is dus het grootst als er 6 23 ha aardappelen, 4 31 ha erwten en g

11 ha graan wordt verbouwd. Tijdens de aardappeloogst is 12 × 6 23 = 80 uur arbeid nodig. Tijdens de erwtenoogst is 15 × 4 31 = 65 uur arbeid nodig. Tijdens de graanoogst is 10 × 1 = 110 uur arbeid nodig. Tijdens de erwtenoogst is nog 15 uur en tijdens de graanoogst is nog 10 uur beschikbaar voor ander werk.

15

a

b

Er moeten zes getallen worden gekozen: De aantallen auto’s van Amsterdam naar Assen, naar Utrecht en naar Eindhoven en de aantallen auto’s van Rotterdam naar Assen, naar Utrecht en naar Eindhoven. Er zijn dus zes beslissingsvariabelen. Noem deze variabelen respectievelijk a1, a2, a3, r1, r2 en r3. De voorwaarden zijn: a1 + a2 + a3 + r1 + r2 + r3 = 1800 a2 + r2 = 2(a1 + r1 ) a3 + r3 = 21 (a1 + r1 + a2 + r2 ) = 21 (a1 + r1 + 2a1 + 2r1 ) = 1 21 (a1 + r1 )

c

De doelfunctie is TK = 70a1 + 40a2 + 65a3 + 85r1 + 50r2 + 65r3 + 25(a1 + a2 + a3 ) + 20(r1 + r2 + r3 ) = 95a1 + 65a2 + 90a3 + 105r1 + 70r2 + 85r3

d

De minimale transportkosten zijn 95 × 400 + 65 × 800 + 85 × 600 = 141000 euro.


Uitwerkingen bij 2_4 Transport en verscheping

− −! $ − " #

" #

% ! % !

&' &'

#

+!+

" )

$ −

"

/0 =

& , −, −

( −

+ ! −,

−

+ ,, − 1

*

+ ! −,

− !+ + * + ! − , + = !+

+ ! −&

=

. +!≤( ≤ !≤

≥

+!≥,

" 3 !=

+! =,

!=

=

=

− ++ 1

+!=

!

−!≥

− ≥ −!≥

−!

− !+ = $ − ( +

. − !+ + *

− ! +2

3 !≥

≥

=( −

= $ − *( −

+ ! + *( −

+ !+ 1 − "

# =(

3 *,

+!=(

+

# /0 / 0 = & , − , ×,

# = ('

4*

+

/0 = & , −, ×

=(

5*

2 +

/0 = & , −, ×

−

#

×2

.

= '(


!=

+!=(

!=

=

=

"*1

+!=,

7 " 8

/ 0 = & , −, ×1 −

+

×

*

+

/0 =& , −

×

=&

6*

, +

/0 =& , −

×,

=& &

= (,

'( #

. 2 ,

" #

" #

$

% !

3

!

"

#

9 , −

2

: −!

;

21 −

53 ) " 3 +1 "

)

3 =(

, + 2 + 21 = ( )3 +!+ = =

" 3 # 3 )3 #

# # . 21 − = 21 − *

" ) / 0 = 1, +

!+

1, +

! +2

.

−

* −

−

# # −

)3

3

3

3

−!

# . ! # 53 ) : ; − − !+ = 2 1 − + + ! = + ! −&

− !+ + 2 *, − + + 1 $ *2 − !+ + &* + ! − & + = ! + $, − 2

+ & (, − 1 $ ! + & + &! − ' & =

1 ( −2 − ! "

3 !≥

≥ −

.

−! ≥

, − ≥ 2 −!≥ + ! −& ≥

+!≤ ≤, !≤2 +! ≥&


" 3 !=

+! =&

!=

=,

3 *&

+

# /0 # / 0 = 1 ( − 2 ×& = 1 1'

4 *,

+

/ 0 = 1 ( − 2 ×,

2 +

=,

+!=

5 *,

!=2

+!=

"*&1 2 +

!=2

=

= 7 " 8

+! =&

#

.

=1 2

/ 0 = 1 ( − 2 ×, − 2

=1

/ 0 = 1 ( − 2 × &1 − 2 = 1 &'

*

2 +

/ 0 = 1 ( −2 = 1

6*

& +

/ 0 = 1 ( −& = 1 '

1 #

. 3 ,

"

53 )

#

9

"

2

. " # −!

# − " # ≥

+!≥

−!≤1

2 +

−! ≥

− ! ≥ −2

+ *

+,

− !+ + *1 −

− ! + ,1 −

−, +

&

% ! ( −

−*

( −*

!

− !+ = 1 −

+!

− +− ! = 2 +

−!

≤ !≤

1 − /0 =

9 ;

.

!≥

− ≥ −!≥

:

21

. + !+ + *

+ ! +2

−

− ++ 1 +1

! + *2 +

! +&

+

− !+ =

− !=

!

7

.

" 3 = != −! = 1

3 *

!= −! =1 =

*1 4*

# /0 /0 =&

+

#

+

/0 =&

−, ×1

=(

, +

/0 =&

−, ×

+

#

×,

.

= '(


=

!=

!=

− ! = −2

!=

5*

+

/0 =&

−, ×

+

×

=(

"*,

+

/0 =&

−, ×, +

×

= ('

/0 =&

+

− ! = −2

7 " 8

*

2 +

×2

=& &

'( #

. 2

, ) # + ! + *( −

/0 =

+ !+ 1 − & , −

−

" # )3 & # − !+ + * − + + 1

− ! +2

−

" # $ 3

*

+ ,, − 1

% !

#<< − !+ + * + ! − , + =

!+

+ ! −&

.

=

!

4 *, 4* 5*

+ + 2 +

"*1

+

# /0 / 0 = & , − ×, = & /0 =& , − =( /0 =& , − − ×2

3

=(

/0 =& , −1 −

×

=(

*

+

/0 =& , −

×

=&

6*

, +

/0 =& , −

×,

=& &

.

7 = ( > 7 ,' ,,

4 : "

# 7

" 3

:

#

4 1, 1,

: @9 3 ! #

" )

: 2 2'

3

3 4

?

# # :

: !

&,

?

3

#

3

4 #

7 4 :

4

−

,' + 2 ! + 1, + ,$

?

# #

! .

4 −!

" ) . / 0 = , ' + 2 ! + 1 , + , ,*&,

4

$

− + + 2 '*

− , , + &(

− − !+ + 1 ,*$

− 2'! + 2&

− +=

− 1, =

− ,! + $' " # ≥ !≥ − ≥ −!≥

≤ &, !≤

− ≥ + ! + ≤ &&$

≤$

&, $

≥

.


&,

−

+

−!+$

" / 0 = ×,' + $$ : # " + ! + = &&$

− ≤ &'

+!+

# . × 2 + $ × 1 , + , , × &, # #

+ 2' × + $ × 1, = $$ +

&, ? :

4 −!

= &&$ −

≥$

+ &, ,

= , ($

# " " # 1 2 )3

3

#

3 A = &' = &,

., .,

. 7 2$

/ # )3

%!

:

# )

#

3

#

A

3 # 1 , & C, 1 D 1 7

%!

!

7

%!

= ,1 −

! &' −

9 B )3

&' −

≥

,1 −

−!≥

&, −

& −!

−!

= &, − *, 1 −

− !+ =

+ ! − &,

.

!≥ ≤ &'

& −!≥

! ≤&

+ ! ≤ ,1

+ ! − &, ≥ " /0 ='

#

9 B )3 #

A

" # ≥

)

=&

.,

+ ! ≥ &,

) . + ' & ! + &, *, 1 −

− !+ +

' 2 *&' − + + ' $ *& − !+ + & & * + ! − &,+ = '

+ '& ! + 2

@ &,

&2 &, − ' $ ! + & & )

1 (1 @, & 7

@2

@ &,

+ & & ! − &, &,

! + &1 (1 @ ' 2

+

=

! .


" 3 !=

+ ! = &,

!=

= &'

3 *&,

# /0 # +E / 0 = 1 (1 − , & × &, = 1 2 1 ,

4 *&'

+E / 0 = 1 (1 − , & × &' = 1 , &

+ ! = ,1

5 *&'

+E / 0 = 1 (1 − , & × &' − 2

! =&

+ ! = ,1

"*( & +E / 0 = 1 (1 − , & × ( − 2

! =&

=

= &'

= " 7

+ ! = &, #

#

& +E / 0 = 1 (1 − 2

× & = 1 &2 $

6*

&, +E / 0 = 1 (1 − 2

× &, = 1 , , '

# # )3

.

= 1 22

× & = 2 (1 '

*

= 2 (1 ' .

A %! 9 B )3

×

#

7 ( (

& &,


Uitwerkingen bij 2_5 VU-Grafiek

≥

≥ +

≥

+ + "

≥

+ ≥ ≥ ! ≥

+ +

≥

#$ % & = '$ ( " ) * # * + %+ . # ## ,

0 )

$##

"

, * #

$

'$ 2

1 %+

##

$##

, $

0 +

$

%

# & = -

−

=

* #

$

+

,

$

+ ,

−

*

#

−

=

≈

= −

−

×

+

+

= !

=−

$

,

!

× !=

& =

×

=

× $

= (4

5

& = +

1

$

$

,

5* #

#+

= ! ,/

×

5 4 $

+ ,

, × +

# & =

34

+

+ = , *

-

"

. # 0 )

+

$

× +

* #

,

*

66

×

≈

*

*

## * "

%

7

* #

* 4 % 2 $ $" × + × != × + × != × + × != 1

* −

#

"#

$ ,

" +

%+ #

$

4

85 %

9 !5

#

$#


"

) ) 7

" $ $

7 *

# * ( < * # >

$

#*

% $ : $ : =

$ *

:

<

!

$

:

;

%+

+ <

*

$

$ ( 7 +

( $#

(


&

#

" #

"

"4

#+

+ ≤ "+ "≤ + "≤ + "≤ + ≤ "+ "≤ #$ %

#

"

& ""$ & ""$ & ""$ * " $

* ( 1 1

4 "

$

1 =

$ " $ " $ #

+

#+

$

"

" (5 " 15

"+

+

"

+ + #"

""$

+ " + 1 # %+

$ "# +

" −

"

−

=

+

$ "#


2 * * " $

* "

1

#" 1 * " $

+

# * "? "

$ #" (

# #

( $ *

+ #

?

"

#

%

& ""$ & ""$ (# * # *

@ & & = & & 2

*

$ " $ " $

( 1 #

*

# #*

""$ ""$

( 1

"

+ + # 0 ×

+ + *

$

$ %+

" " " +

#$ % =

*

+

##

*

*

+

""$ ""$

( 1 $

× ×

×

? + × × 1

×

?

,

? ? *

≈!

× "

×≈! , #$

## ## " ## ##

*

+


Uitwerkingen bij 2_6 Verwerken en toepassen

×

+

×

! ! $

×

+

×

"

+

× +

= ×

=

"

#

%

$ −

−$ &

− −$ ≥ $ ⋅ + ⋅ +

$−

≥

$ ! ( +$ ≤ − −$

+

−

$≥

'

'

⋅

≤

−

$≤

+

$≤

−

$≤−

)

+ $≤ ⋅

$

+ +

+

⋅ $+

− −$

+ −

−

≤

$≤

)

+$ !

" +$

= $

(

)

+ $=

"

)

$

" " ! + $=

!

"

$

$ $ ! !

&

(! " "

$

=

) $=

+

−

$≥ " &

=

⋅

−

×

*

≈

$≈ *

*


, $ $ $

$

$ &

$ ≥

-

& & $ ≥

≥

$ +

.

≤

$ -

$ (!

' '

$

&

.

≥

$ +

≤

-$ + . + * -$ +

.≤

-$ + . + * -$ +

.≤

-

) 0.

-$ + . + * -$ +

.≤

-

) 1.

-

) /.

$ +$ ≥ + ≥ )

=

(

-$ + . + *-$ +

2

$ =

& !

$

$ '

$ ≥

.

"

$ = ⋅

$

$

'

≥

≤

≤

≤

≤

⋅

+*⋅

≤

⋅

+*⋅

≤

⋅

+*⋅

≤

)

⋅

+*⋅

≤

⋅

+ ⋅

≤

)

+ ⋅ +

3* ⋅

≤*

)* 3 +

≤

*

≤ *

3

≥ =

( $

" "

≤

≥ )

2

" "

" 0

- + . + *- ⋅

+

.=

+

'

" !

(! $ "


+

=

+

= =

= ×

4 6 6 " 7

× × &

"

(! $ $ $

(!

/ %

"

$

&

& & &

(

≥

&

$

&

$

& $

$≥

≤

'

$≤ +*$≤

+ $≤*

)

+ *$≤

)* + $≤

+ *$≤

)

+ $≤

+ $≥

)

+ $≥

+ $≥

)

+ $≥

) "

=

(

& &

7

*

+ *$ 8

"

' $ $

' '

(! (!

/9 ! :

7 /

0

×

"

' = /9 ! " + .=

×) + =-

+

=+ =

" 9+

=

=

+ =

=+

=+

9+

9+ −

"

(!

"

"

"

"

=

' (

=

=

3 ; $ (! $ (! /9 ! " ×+ .=

)

)

×

"

(!

(

" " $=

=

0 0

< 2

'

' $

< /

=

=* = *

$ $

$

×

5

= =

.' .'

+

) .= + -

+

=

.9 + -

+

. +-

+

.

# =

# 9 =+

− =. + −

9=

− 9. = #

=#

9


/ /

== 9=

& &

$ 0 &

!

!

/9 !

"

"

'

=≤ 9≤ > ="

(

(

+ ≤*

' ≤ -= + 9.

> ="

$

=+9+

=+9+ + ≤ − 9≤

-= + 9. ≤

$

+ + + +

. . & =

= = = = "

(

=+9≤

! − − − −

× − × − × − × − ==

" − ×

=

$

× × × × 9= =

" (! (!

)

'

) .

− 9≤*

=+9≥

(! $ − =+

6 /6 06 16 -

− =+

= = = = − ×

=

' /9 !

0


Uitwerkingen bij Testbeeld ≥

≥

≥

≤

≤

! #

$

+ +

≤

"

% ! (

& ' $ %

" + + ) =

+

(

$

* ) =

× + ×

+

(

#

* ) =

× + ×

+

(

'

* ) =

× + × +

(

%

* ) =

× + ×

=

+ ×+ = , ×

= -

×+ =

+

×- =

! + /

.

"

* 0 0 0

1 ) #

% 0 % 0 % 0 23 = 4 +

. +

≤

+

≤

+

≤

+

+

+

+

1 ) # +4

+

% % % +

+

*

= =, * 23 = 4× + × +4 + -4 + , = 4 1 ) "# +

( 2 3 = ,+ + (

5

× ++

!

× -+

.

×

+

×

" 6

" * !+6+ ! ≥, ≥,

=,

=, −! −6 *

6 ≥,

, −! −6 ≥, . ! +6 ≤ 7

! + 6 ≥ ×,

!+6≥

!≤ 6


%

*

. -! +

=

-! +

76 + 76 +

4 =

7−

-! +

4! −

46 =

76 +

48, − ! − 69 =

7−

!−

6

* :

! =,

!+6=

:

! =,

!+6= 7

:

!= 6

!+6 = 7

#8 - 49

:

!= 6

!+6=

)

1 8,

9

8,

9 9

; ( 1 8, 4 9*

=

7−

* ×4 =

×, −

9*

=

7−

×

( # 8 - 4 9*

=

7−

× -−

×4 =

(

=

7−

×, −

×

( )8 8,

%

9*

−

×

4 = ,

=

4

!=

!

6=

=

" !

"

!

6 "<

( %

2 = ,"

.

: >$

.

* *


,

! %

" : >$

0+ .

" *

,

,7 "

, %

2

: >$

.

"

*

7

"


/ 6

!

?

3 ? !+6+ = !×

A

@ −! −6

= × +6 ×

×

+6 + ×

5 " ×

-=

! + 7 6 + 4+

,! + 6 +

2

7 ! + 7 6 + -+ = 7! +7 6 + 7

− -+! − -+6 = 7 ; = 7

. !≥

+

!−

− ! − 69 =

+

!−

6

−

!−

6 = ,! − 4 6 +

6

*

6≥ −! −6 ≥

,! + 6 +

7 ! + 7 6 + - +8

!+6≤ − ! − 69 = ,! + 6 +

8

,! − 4 6 ≤ −,

≤ 7

. ,6 − ! ≥

%

*

* !=

!+6=

.

,6 − ! =

!=

,6 − ! =

!+6=

8

.

9 8 ,, , 9

.

607

7 9

8 9* ; = 7 8 ,, , 9* ; = 7 8

8

7 9* ; = 7 ! 5 7

. − − +

× = × ,, , = + 7 ×

−

×7

= -7

?

"

3 -7

"


Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen

Recommend Documents