Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen Voorkennis

er sb v

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Bedrijf A rekent 27 × 8 + 45 = 261 euro en bedrijf B rekent 22, 5 × 8 + 60 = 240 euro. Hij is goedkoper uit bij bedrijf B. Dat kan met de vergelijking 27a + 45 = 22, 5a + 60 waarbij a het aantal m3 zand is. 4, 5a + 45 = 60 4, 5a = 15 a = 3 13 Bij 1 m3 zand, 2 m3 zand of 3 m3 zand ben je bij bedrijf A goedkoper uit.

V-2a

3(2 x − 7) + 4 = 5 x − 12 6 x − 21 + 4 = 5 x − 12 6 x − 17 = 5 x − 12 x − 17 = −12 x=5 Controle 3 × (2 × 5 − 7) + 4 = 3 × (10 − 7) + 4 = 3 × 3 + 4 = 9 + 4 = 13 en 5 × 5 − 12 = 25 − 12 = 13 en dat klopt. 18 − 4(3 − x) = 6(2 x − 1) + 28 18 − 12 + 4 x = 12 x − 6 + 28 6 + 4 x = 12 x + 22 6 = 8 x + 22 8 x = −16 x = −2 Controle 18 − 4 × (3 − −2) = 18 − 4 × 5 = 18 − 20 = −2 en 6 × (2 × −2 − 1) + 28 = 6 × (−4 − 1) + 28 = 6 × −5 + 28 = −30 + 28 = −2 en dat klopt. 4 x − 21 = 3(2 x − 2) − 8 x 4 x − 21 = 6 x − 6 − 8 x 4 x − 21 = −2 x − 6 6 x − 21 = −6 6 x = 15 x = 2 12 Controle 4 × 2 12 − 21 = 10 − 21 = −11 en 3 × (2 × 2 12 − 2) − 8 × 2 12 = 3 × (5 − 2) − 20 = 3 × 3 − 20 = 9 − 20 = −11 en dat klopt. 7(8 − 3 x) − 2 12 = 10 x + 12 (5 x + 6 12 ) 56 − 21 x − 2 12 = 10 x + 2 12 x + 3 14 53 12 − 21 x = 12 12 x + 3 14 53 12 = 33 12 x + 3 14 33 12 x = 50 14 x = 1 12 Controle 7 × (8 − 3 × 1 12 ) − 2 12 = 7 × (8 − 4 12 ) − 2 12 = 7 × 3 12 − 2 12 = 24 12 − 2 12 = 22 en 10 × 1 12 + 12 × (5 × 1 12 + 6 12 ) = 15 + 12 × ( 7 12 + 6 12 ) = 15 + 12 × 14 = 15 + 7 = 22 en dat klopt.

Ui tg

off

dh

©

d

or

c

No

b

ev

V-1a b c d

© Noordhoff Uitgevers bv

0pm_MW9_HAVO_3A-Uitw.indd 131

⁄ 131 08-05-09 11:20

er sb v


V-4a b c d e f

4(2 x − 10) = 28 2 x − 10 = 7 2 x = 17 x = 8 12 Controle 4 × (2 × 8 12 − 10) = 4 × (17 − 10) = 4 × 7 = 28 en dat klopt. −5(9 a + 12) = 75 9 a + 12 = −15 9 a = −27 a = −3 Controle −5 × (9 × −3 + 12) = −5 × (−27 + 12) = −5 × −15 = 75 en dat klopt. 14(34 − 3 p) = 1400 34 − 3 p = 100 3 p = −66 p = −22 Controle 14 × (34 − 3 × −22) = 14 × (34 + 66) = 14 × 100 = 1400 en dat klopt. 1 (−6d − 15) = 12 2 −6d − 15 = 24 −6d = 39 d = −6 12 Controle 12 × (−6 × −6 12 − 15) = 12 × (39 − 15) = 12 × 24 = 12 en dat klopt. 13 + 6( x − 4) = 19 6( x − 4) = 6 x−4 =1 x=5 Controle 13 + 6 × (5 − 4) = 13 + 6 × 1 = 13 + 6 = 19 en dat klopt. 25 − 2(3m + 2) = 1 2(3m + 2) = 24 3m + 2 = 12 3m = 10 m = 3 13 Controle 25 − 2 × (3 × 3 13 + 2) = 25 − 2 × (10 + 2) = 25 − 2 × 12 = 25 − 24 = 1 en dat klopt.

©

No

or

dh

off

Ui tg

ev

b c

3(5 x − 8) = 96 15 x − 24 = 96 15 x = 120 x=8 Hij komt aan het getal 32 omdat 96 : 3 = 32 . 5 x − 8 = 32 5 x = 40 x=8

V-3a

⁄ 132



08-05-09 11:20

V-5a

De oplossing is x = 7 of x = −7 .

De oplossing is x = 13 of x = − 13 .

b

er sb v


A 5 x 2 + 1 = 21 C −3 x 2 + 108 = 0 2 5 x = 20 3 x 2 = 108 x 2 = 4 x 2 = 36 x = 2 of x = −2 x = 6 of x = −6 B 120 − 4 x 2 = 20 D 4 x 2 + 5 = 30 2 4 x = 100 4 x 2 = 25 x 2 = 25 x 2 = 6 14 x = 5 of x = −5 x = 2 12 of x = −2 12

V-6a

b c

In de vergelijking ( x + 6)2 = 16 komt de variabele x op één plaats voor en dan kun je de vergelijking met bordjes oplossen. In de vergelijking x 2 + 6 x = 16 komt de variabele x op meer plaatsen voor en dan kun je de vergelijking niet met bordjes oplossen. ( x + 6)2 = 16 x + 6 = 4 of x + 6 = −4 x = −2 of x = −10 x 2 + 6 x = 16 x 2 + 6 x − 16 = 0 ( x − 2)( x + 8) = 0 x − 2 = 0 of x + 8 = 0 x = 2 of x = −8

V-7a

(2 x − 8)2 = 100 2 x − 8 = 10 of 2 x − 8 = −10 2 x = 18 of 2 x = −2 x = 9 of x = −1

b

x 2 + 16 x + 60 = 0 ( x + 6)( x + 10) = 0 x + 6 = 0 of x + 10 = 0 x = −6 of x = −10

c d

p2 − 7 p = −12 p2 − 7 p + 12 = 0 ( p − 3)( p − 4) = 0 p − 3 = 0 of p − 4 = 0 p = 3 of p = 4 45 − 2 a 2 = 27 2 a 2 = 18 a2 = 9 a = 3 of a = −3

Ui tg

off

dh

or

No

©

ev

c



e f g h

4q + q 2 = −4 q 2 + 4q + 4 = 0 (q + 2)(q + 2) = 0 q + 2 = 0 of q + 2 = 0 q = −2 12 x 2 + 8 x = 0 4 x(3 x + 2) = 0 4 x = 0 of 3 x + 2 = 0 x = 0 of 3 x = −2 x = 0 of x = − 23 m2 = 14 m m2 − 14 m = 0 m( m − 14) = 0 m = 0 of m − 14 = 0 m = 0 of m = 14 b2 + 15b = 34 b2 + 15b − 34 = 0 (b − 2)(b + 17) = 0 b − 2 = 0 of b + 17 = 0 b = 2 of b = −17

⁄ 133 08-05-09 11:20

6-1 Lineaire en gebroken vergelijkingen

2a

ev

Ui tg

De vergelijkingen A en D kun je met bordjes oplossen. A 9( x + 16) = 72 x + 16 = 8 x = −8 D 36 = −2(3b + 1) 3b + 1 = −18 3b = −19 b = −6 13 B 5a − 43 = 8 a + 14 −43 = 3a + 14 3a = −57 a = −19 C 102 − 10 p = 42 10 p = 60 p=6 E 18 − 4w = w + 2 18 = 5w + 2 5w = 16 w = 3 15 F −6(2t − 8) − 2 = 4 + 3(4 − 9t ) −12t + 48 − 2 = 4 + 12 − 27t −12t + 46 = 16 − 27t 15t + 46 = 16 15t = −30 t = −2

©

b

off

d

dh

b c

3(5 − 2 x) = 12 5 − 2x = 4 2x = 1 x = 12 3(5 − 2 x) = 12 15 − 6 x = 12 −6 x = −3 x = 12 Je kunt deze vergelijking niet met een bordje oplossen omdat de variabele x op meer plaatsen voorkomt. 3(5 − 2 x) = 2 x + 39 15 − 6 x = 2 x + 39 15 = 8 x + 39 8 x = −24 x = −3

or

1a

No

er sb v


⁄ 134



08-05-09 11:21

4a

b

c

d

5a

b

6a

b

c

ev

Bij waarden van x ver van 0 nadert de uitkomst van de formule naar de waarde y=0. 12 = 3 x x=4 Als x vanaf de positieve kant naar de 0 nadert, dan blijft de grafiek stijgen. Er zal dus een waarde van x bestaan waarbij de uitkomst van de formule gelijk is aan 12 000. 12 = 12 000 x x = 0, 001 120 = 6 x−5 x − 5 = 20 x = 25

120 = 10 x−5 x − 5 = 12 x = 17

120 = 100 x−5 x − 5 = 1, 2 x = 6, 2

Op het bordje moet het getal 7 12 staan omdat 451 = 6 . 72 Bij deze stap is gebruik gemaakt van een bordje of van de balansmethode. 36 − 7 = 5 (gebruik een bordje of de balansmethode) 3 − 4a

36 = 12 (gebruik een bordje) 3 − 4a 3 − 4 a = 3 (gebruik een bordje) 4 a = 0 (gebruik een bordje) a=0

©

Ui tg

off

dh

Bij de vergelijking −3( x + 4) = 27 gebruik je bordjes. x + 4 = −9 x = −13 De coördinaten van het snijpunt zijn (–13, 27). Bij de vergelijking −3( x + 4) = 7 x − 7 gebruik je de balansmethode. −3 x − 12 = 7 x − 7 −12 = 10 x − 7 10 x = −5 x = − 12 Invullen van x = − 12 geeft y = −3 × (− 12 + 4) = −3 × 3 12 = −10 12 en y = 7 × − 12 − 7 = −3 12 − 7 = −10 12 . De coördinaten van het snijpunt zijn (− 12 , − 10 12 ) . Bij de vergelijking 7 x − 7 = 27 gebruik je de balansmethode of bordjes. 7 x = 20 x = 2 67 De coördinaten van het snijpunt zijn (2 67 , 27) .

or

3

No

er sb v




⁄ 135 08-05-09 11:21

b

18 = 2 2x + 1 2x + 1 = 9 2x = 8 x=4 −16 = 8 6 a − 10 6 a − 10 = −2 6a = 8 a = 1 13

c

d

100 = 4 −7 + 2 p −7 + 2 p = 25 2 p = 32 p = 16

45 + 7 = 12 11 − 4 x 45 = 5 11 − 4 x 11 − 4 x = 9 4x = 2 x = 12

6-2 Kwadratische vergelijkingen

9a

f

1 − 20 = 5 4a 20 = −4 4a 4 a = −5 a = −1 14

In de formule y = x 2 − 6 x staat een positief getal voor de x2, dus de bijbehorende parabool is een dalparabool. x2 − 6 x = 0 x( x − 6) = 0 x = 0 of x − 6 = 0 x = 0 of x = 6 Voor x = 0 en voor x = 6 snijdt de parabool de x-as. De vergelijking x 2 − 6 x = −8 kun je niet met bordjes oplossen, want de variabele x komt op meer plaatsen voor. De vergelijking −2( x − 5)2 = −8 kun je met bordjes oplossen, want de variabele x komt op één plaats voor. x 2 − 6 x = −8 −2( x − 5)2 = −8 x 2 − 6 x + 8 = 0 ( x − 5)2 = 4 ( x − 2)( x − 4) = 0 x − 5 = 2 of x − 5 = −2 x − 2 = 0 of x − 4 = 0 x = 7 of x = 3 x = 2 of x = 4 250 + 6 x 2 = 400 6 x 2 = 150 x 2 = 25 x = 5 of x = −5 ( 2 a − 6 )2 = 9 2 a − 6 = 3 of 2 a − 6 = −3 2 a = 9 of 2 a = 3 a = 4 12 of a = 1 12 75 − (b − 8)2 = 39 (b − 8)2 = 36 b − 8 = 6 of b − 8 = −6 b = 14 of b = 2

©

b c

off

d

dh

b c

70 = 4 3m + 1 70 = −14 3m + 1 3m + 1 = −5 3m = −6 m = −2

18 +

or

8a

e

No

ev

7a

Ui tg

er sb v


⁄ 136



08-05-09 11:21

er sb v


100 − 2 p2 = 86 2 p2 = 14 p2 = 7

p = 7 of p = − 7

e f

15 = ( 7 − 2 m)2 − 1 ( 7 − 2 m)2 = 16 7 − 2 m = 4 of 7 − 2 m = −4 2 m = 3 of 2 m = 11 m = 1 12 of m = 5 12 (9 x + 36)2 = 0 9 x + 36 = 0 9 x = −36 x = −4

De vergelijkingen A, C, D en F kun je met bordjes oplossen. A (2 x + 16)2 = 144 2 x + 16 = 12 of 2 x + 16 = −12 2 x = −4 of 2 x = −28 x = −2 of x = −14 C 145 − 10 p2 = 75 10 p2 = 70 p2 = 7

p = 7 of p = − 7

b

D 36 = (3b + 1)2 3b + 1 = 6 of 3b + 1 = −6 3b = 5 of 3b = −7 b = 1 23 of b = −2 13 F (5a − 12)(9 + 6 a) = 0 5a − 12 = 0 of 9 + 6 a = 0 5a = 12 of 6 a = −9 a = 2 25 of a = −1 12 B a 2 − 5a = 6 a 2 − 5a − 6 = 0 (a − 6)(a + 1) = 0 a − 6 = 0 of a + 1 = 0 a = 6 of a = −1 E x 2 + 18 = 9 x x 2 − 9 x + 18 = 0 ( x − 3)( x − 6) = 0 x − 3 = 0 of x − 6 = 0 x = 3 of x = 6

Ui tg

off

dh

or

No

©

10a

ev

d



⁄ 137 08-05-09 11:21

12a

b c d

13a

b

8(5 − 3 x)2 = 32 ( 5 − 3 x )2 = 4 5 − 3 x = 2 of 5 − 3 x = −2 3 x = 3 of 3 x = 7 x = 1 of x = 2 13 −2(5 p + 10)2 = −200 (5 p + 10)2 = 100 5 p + 10 = 10 of 5 p + 10 = −10 5 p = 0 of 5 p = −20 p = 0 of p = −4 1 (12 − 4 a)2 = 8 2 (12 − 4 a)2 = 16 12 − 4 a = 4 of 12 − 4 a = −4 4 a = 8 of 4 a = 16 a = 2 of a = 4 15 + (4 m − 1)2 = 96 (4 m − 1)2 = 81 4 m − 1 = 9 of 4 m − 1 = −9 4 m = 10 of 4 m = −8 m = 2 12 of m = −2

De lengte van het groene gebied is 10 − x cm en de breedte is 6 − x cm. De oppervlakte is lengte keer breedte, dus A = (10 − x)(6 − x) . A = (10 − x)(6 − x)

No

A = x 2 − 16 x + 60 Je moet dan de vergelijking (10 − x)(6 − x) = 12 oplossen. Nee, je kunt de vergelijking van opdracht c niet oplossen met een bordje omdat de variabele x op meer plaatsen voorkomt. (10 − x)(6 − x) = 12 x 2 − 16 x + 60 = 12 x 2 − 16 x + 48 = 0 ( x − 4)( x − 12) = 0 x − 4 = 0 of x − 12 = 0 x = 4 of x = 12 De oplossing x = 12 is in dit geval niet bruikbaar omdat de breedte van de twee stroken die er van afgehaald worden hoogstens 6 cm kan zijn.

©

e f

6 –x 60 –10x –6x +x2

or

× 10 –x

c d

ev

Ui tg

b

Roos legt een bordje op (2 x − 9)2 en dat moet dan 25 zijn, want 13 × 25 = 325 . 13(2 x − 9)2 = 325 (gebruik een bordje) (2 x − 9)2 = 25 (gebruik een bordje) 2 x − 9 = 5 of 2 x − 9 = −5 (gebruik de balansmethode of een bordje) 2 x = 14 of 2 x = 4 (gebruik een bordje) x = 7 of x = 2

off

11a

dh

er sb v


⁄ 138



08-05-09 11:21

b c d

Invullen van a = 0 geeft h = 0, 01 × 0 2 − 0, 55 × 0 + 10 = 0 − 0 + 10 = 10 . De boog is 10 meter boven punt P vastgemaakt. 0, 01 x 2 − 0, 55 x + 10 = 10 0, 01 x 2 − 0, 55 x = 0 0, 01 x( x − 55) = 0 0, 01 x = 0 of x − 55 = 0 x = 0 of x = 55 De afstand tussen de punten P en Q is 55 meter. De symmetrieas ligt bij x = 27, 5 . Invullen van x = 27, 5 geeft h = 0, 01 × 27, 52 − 0, 55 × 27, 5 + 10 = 7, 5625 − 15, 125 + 10 = 2, 4375 . Het laagste punt van de boog hangt ongeveer 2,44 meter boven het wegdek.

6-3 Exponentiële vergelijkingen

c

d

16a

b

17a

b

18a

b

c

c

off

Na ongeveer 5 dagen is het aantal algen per m2 gegroeid tot 250 000. Invullen van t = 5 geeft N = 8000 ⋅ 2 5 = 256 000 en dat klopt redelijk. Na tien dagen zijn er 8000 ⋅ 210 ≈ 8 000 000 algen per m2 water.

dh

b

In 1996 kostte een gemiddelde koopwoning in de stad Groningen 2 × e 46.000,- = e 92.000,-. En in 2006 was dat 2 × e 92.000,- = e 184.000,-. Tussen 1986 en 2046 zit 60 jaar. In die periode zal de prijs 2 6 = 64 keer zo veel geworden zijn. In 2046 zal de prijs dan 64 × e 46.000,- = e 2.944.000,- zijn. De laatste halve eeuw zijn de huizenprijzen in Nederland elke tien jaar verdubbeld, maar het is niet zeker of dat zo door blijft gaan. Door bijvoorbeeld een crisis kunnen de huizenprijzen minder snel stijgen, maar als er bijvoorbeeld een tekort aan huizen ontstaat, dan kunnen de huizenprijzen sneller gaan stijgen. In 1976 was de prijs e 46.000,- : 2 = e 23.000,- en in 1966 was de prijs e 23.000,- : 2 = e 11.500,-. In 1966 was de prijs (omgerekend) ongeveer e 11.500,-.

Links en rechts delen door 8000 geeft links 2 t en rechts 64 000 : 8000 = 8 . 23 = 8 Na drie dagen is het aantal algen gegroeid tot 64 000. Links en rechts delen door 20 geeft links 3x en rechts 1620 : 20 = 81 . macht uitkomst

or

15a

31 3

32 9

33 27

34 81

35 243

36 729

Hugh krijgt de oplossing x = 4 .

No

ev

14a

Ui tg

er sb v


3x = 729 c 3x = 36 x = 6 b 12 ⋅ 3x = 108 d x 3 = 9 3x = 32 x = 2 19a

©



5 ⋅ 3x = 1215 3x = 243 3 x = 35 x=5 8 ⋅ 3x = 24 3x = 3 3x = 31 x=1

⁄ 139 08-05-09 11:22

b c

21a

b

c d

22

Ja, 35 = 243 . Op het bordje moet het getal 5 staan. 36 x = 243 36 x = 35 6x = 5 x = 65

Invullen van x = 0 geeft y = 2 4×0+1 = 21 = 2 en invullen van x = 1 geeft y = 2 4×1+1 = 2 5 = 32 . macht uitkomst

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

Ze vindt 4 x + 1 = 3 oftewel 4 x = 2 , dus x = 12 . 2 4 x+1 = 16 2 4 x+1 = 2 4 4 x + 1 = 4 4 x = 3 x = 43 macht uitkomst

41 4

42 16

43 64

44 45 256 1024

27 128

ev

20a

28 256

29 512

2 4 x+1 = 1024 2 4 x+1 = 210 4 x + 1 = 10 4x = 9 x = 2 14

Ui tg

er sb v


4 −2 p+4 = 256 4 −2 p+4 = 4 4 −2 p + 4 = 4 −2 p = 0 p=0 25 ⋅ 4 m = 400 4 m = 16 4m = 42 m=2

or

dh

off

a 4 x−5 = 64 d x−5 3 4 = 4 x − 5 = 3 x = 8 b 4 2−3 x = 4 e 4 2−3 x = 41 2 − 3 x = 1 3 x = 1 x = 13 c 410 a−25 = 1024 f 10 a−25 5 = 4 4 10 a − 25 = 5 10 a = 30 a = 3

64 ⋅ 4 t = 4096 4 t = 64 4t = 4 3 t=3

23a

b

c

d

De zijde van het linker vierkant is

36 = 6 .

Een formule is z = A .

Invullen van A = 144 geeft z = 144 = 12 . Invullen van A = 13 geeft z = 13 ≈ 3, 6 . A = 7

©

No

6-4 Wortel- en machtsvergelijkingen

A = 72 = 49

⁄ 140


A = 15 A = 152 = 225


08-05-09 11:22

24a

Je vindt het randpunt als x − 4 = 0 oftewel x = 4 .

Invullen van x = 4 geeft y = 4 − 4 = 0 = 0 . De coördinaten van het randpunt van de grafiek zijn (4, 0).

Invullen van x = 85 geeft y = 85 − 4 = 81 = 9 .

b

x−4 = 7 x − 4 = 49 x = 53

25

Sharon komt daar aan door rechts en links 125 af te trekken. Ze vindt ook x = 19 , want −4 × 19 = −76 .

5 x + 9 = 13 5 x + 9 = 169 5 x = 160 x = 32

b

4 a − 12 = 2 4 a − 12 = 4 4 a = 16 a=4

c

5t + 14 = 23 5t + 14 = 529 5t = 515 t = 103

d

0, 2q − 100 = 11 0, 2q − 100 = 121 0, 2q = 221 q = 1105

27a

b

3a + 2 = 5

3a + 2 = 25 3a = 23 a = 7 23

42 − 3 x = 24

Ui tg

g

3 x = 18

x =6 x = 36

off

h

13 + 4 p − 3 = 157

4 p − 3 = 144

p − 3 = 36

p − 3 = 1296 p = 1299

100 −

i

1 2

d + 8 = 78

d + 8 = 22 d + 8 = 484 d = 476 d = 952

3 x+9 = 6

125 − 8 3 − 4 m = 5

x+9 = 2 x+9 = 4 x = −5

8 3 − 4 m = 120

3 − 4 m = 15

3 − 4 m = 225 4 m = −222 m = −55 12

j

1 2

1 2 1 2

De inhoud van de vaas met een diameter van 12 cm is 0, 0005 × 12 3 = 0, 864 liter. De inhoud van de vaas met een diameter van 18 cm is 0, 0005 × 18 3 = 2, 916 liter. Bij de vraag van Mary hoort de vergelijking 0, 0005d 3 = 4 .

©

8 3a + 2 = 40

or

f

No

e

dh

26a

ev

c

er sb v




⁄ 141 08-05-09 11:22

Rechts en links delen door 0,0005 geeft links d3 en rechts 4 : 0, 0005 = 8000 . d 3 = 8000 d = 20 0, 0005d 3 = 0, 5 d 3 = 1000 d = 10

29a

b

c d

30a

b c

Grafiek 1 hoort bij de formule y = x 4 . En grafiek 2 hoort bij de formule y = x 5 . Aan grafiek 1 zie je dat de vergelijking x 4 = 81 twee oplossingen heeft, namelijk één voor een negatieve waarde van x en één voor een positieve waarde van x. De oplossingen zijn x = 3 en x = −3 , want 34 = 81 en (−3)4 = 81 . De vergelijking x 5 = 32 heeft één oplossing, namelijk x = 2 , want 2 5 = 32 . De vergelijking x 6 = 64 heeft twee oplossingen, namelijk x = 2 en x = −2 , want 2 6 = 64 en (−2)6 = 64 .

off

a 3 − 8 = 56 a 3 = 64 a3 = 43 a=4 300 − t 5 = 57 t 5 = 243 t 5 = 35 t=3

Lotte komt daar aan door rechts en links door 5 te delen. ( x − 4 )3 = 8 x−4 =2 x=6 5( x − 4)3 = 5 12 + ( p + 2)4 = 93 ( x − 4)3 = 1 ( p + 2)4 = 81 x − 4 = 1 p + 2 = 3 of p + 2 = −3 x = 5 p = 1 of p = −5

dh

28a

Ui tg

x 3 = 27 c x 3 = 33 x = 3 b p5 = 32 d 5 5 p = 2 p = 2

ev

c d

er sb v


31a

Tussen 1 januari 2002 en 1 januari 2003 zitten vier periodes van drie maanden. Op 1 januari 2003 kostte een brood 0, 60 × 2 4 = 9, 60 dollar. Tussen 1 januari 2000 en 1 januari 2003 zitten 36 maanden. 1 ×36 −8 Invullen van t = 36 geeft P = 0, 60 × 2 3 = 0, 60 × 2 4 = 9, 60 en dat klopt. 1 m− 8 0, 60 × 2 3 = 76, 80 1 m−8 23 = 128 1 m−8 23 = 27 1 m−8 = 7 3 1 m = 15 3 m = 45 Dat was 45 maanden, oftewel 3 jaar en 9 maanden, na 1 januari 2000. Op 1 oktober 2003 was de prijs van een brood 76,80 dollar.

©

No

b c

or

6-5 Gemengde opdrachten

⁄ 142



08-05-09 11:22

32a

b

Na vijf dagen is het ijs 1, 8 ⋅ 5 ≈ 4 cm dik. 1, 8 ⋅ t = 9

t =5 t = 25 Na 25 dagen is het ijs volgens de formule 9 cm dik.

Na vijf dagen is het ijs volgens deze formule

d

9 × 5 + 1 − 1 = 46 − 1 ≈ 5, 8 cm dik.

De formule d = 9t + 1 − 1 geeft de grootste ijsdikte na vijf dagen.

ev

c

er sb v


9t + 1 − 1 = 9

9t + 1 = 10 9t + 1 = 100 9t = 99 t = 11 Na 11 dagen is het ijs volgens de formule die je in opdracht c leerde kennen 9 cm dik.

b

Op het bordje kunnen de getallen 9 en –9 staan. ( x 2 − 5)2 = 81 x 2 − 5 = 9 of x 2 − 5 = −9 x 2 = 14 of x 2 = −4

c

x = 14 of x = − 14 Je vindt twee oplossingen. ( p2 − 1)2 = 225 p2 − 1 = 15 of p2 − 1 = −15 p2 = 16 of p2 = −14 p = 4 of p = −4 Je vindt twee oplossingen.

Invullen van x = 5 geeft y = 0, 5 × (2 × 5 − 3)2 = 0, 5 × (10 − 3)2 = 0, 5 × 72 = 0, 5 × 49 = 24, 5 . Nee, het punt (5, 14) ligt niet op de parabool. 0, 5(2 x − 3)2 = 18 (2 x − 3)2 = 36 2 x − 3 = 6 of 2 x − 3 = −6 2 x = 9 of 2 x = −3 x = 4 12 of x = −1 12 De coördinaten van de snijpunten zijn (4 12 , 18) en (−1 12 , 18) . Invullen van x = 0 geeft y = 0, 5 × (2 × 0 − 3)2 = 0, 5 × (−3)2 = 0, 5 × 9 = 4, 5 . 0, 5(2 x − 3)2 = 4, 5 (2 x − 3)2 = 9 2 x − 3 = 3 of 2 x − 3 = −3 2 x = 6 of 2 x = 0 x = 3 of x = 0 De coördinaten van punt B zijn (3; 4,5).

off

dh

©

b c

or

34a

No

33a

Ui tg



⁄ 143 08-05-09 11:22

er sb v


50 ⋅ (6 − y)3 = 3200 (6 − y)3 = 64 (6 − y)3 = 4 3 6−y=4 y=2

b

18 − 3( p + 1) = 12 (8 p − 2) − 10 p 18 − 3 p − 3 = 4 p − 1 − 10 p 15 − 3 p = −6 p − 1 15 + 3 p = −1 3 p = −16 p = −5 13

c

0, 5 ⋅ 2 m−5 = 4 2 m−5 = 8 2 m−5 = 2 3 m−5= 3 m=8

Als er in totaal 123 bezoekers zijn, inclusief Ashley, Bill en Cay, dan zijn er 123 − 3 = 120 bezoekers uitgezonderd Ashley, Bill en Cay. De prijs van een toegangskaartje is dan 5 + 240 : 120 = 5 + 2 = 7 euro. Als a het totale aantal bezoekers is, dan is a − 3 het aantal bezoekers uitgezonderd Ashley, Bill en Cay.

c

d

e

4z − 1 = 5 4 z − 1 = 25 4 z = 26 z = 6 12 x( x − 1) = 5 x + 7 x2 − x = 5x + 7 x2 − 6 x − 7 = 0 ( x − 7)( x + 1) = 0 x − 7 = 0 of x + 1 = 0 x = 7 of x = −1

100 = 4 2a + 6 2 a + 6 = 25 2 a = 19 a = 9 12

f

Ui tg

ev

e

De totale kosten gedeeld door het aantal bezoekers is dan 240 euro. a−3 240 euro, dus p = 5 + 240 . De prijs van een toegangskaartje is vijf euro plus a−3 a−3 240 240 Invullen van a = 123 geeft p = 5 + = 5+ = 5 + 2 = 7 en dat klopt. 123 − 3 120 Invullen van a = 100 geeft p = 5 + 240 = 5 + 240 ≈ 7, 47 en invullen van a = 200 100 − 3 97 geeft p = 5 + 240 = 5 + 240 ≈ 6, 22 . 200 − 3 197 Als het aantal bezoekers toeneemt van 100 naar 200, dan neemt de prijs met ongeveer 7, 47 − 6, 22 = 1, 25 euro af. 5 + 240 = 6, 60 a−3

240 = 1, 60 a−3 a − 3 = 150 a = 153 Er waren 153 bezoekers van het feest. Er waren 153 − 3 = 150 betalende bezoekers van het feest. Ashley, Bill en Cay hebben 150 × e 6,60 = e 990,- voor het goede doel ingezameld.

©

f

3 4 z − 1 = 15

off

b

d

dh

36a

or

35a

No

⁄ 144



08-05-09 11:23

b

c

1 ×0+1

Aan het begin zijn er 50 + 45 × 2 2 1 t +1

50 + 45 ⋅ 2 2

= 50 + 45 × 21 = 50 + 45 × 2 = 50 + 90 = 140 ratten.

= 2930 (gebruik de balansmethode of een bordje)

1 t +1

45 ⋅ 2 2 = 2880 (gebruik een bordje) 1 t+1 2 2 = 64 1 t+1 2 2 = 26 1 t + 1 = 6 (gebruik de balansmethode of een bordje) 2 1 t = 5 (gebruik een bordje) 2 t = 10 1 t +1 1 t +1 50 + 45 ⋅ 2 2 = 5810 50 + 45 ⋅ 2 2 = 23 090 1 t +1 1 t +1 45 ⋅ 2 2 = 5760 45 ⋅ 2 2 = 23 040 1 t+1 1 t+1 2 2 = 128 2 2 = 512 1 t+1 1 t+1 2 2 = 2 7 2 2 = 2 9 1 t + 1 = 7 12 t + 1 = 9 2 1 t = 6 12 t = 8 2 t = 12 t = 16 In 16 − 12 = 4 weken tijd neemt het geschatte aantal ratten toe van 5810 tot 23 090.

ev

37a

Ui tg

Test jezelf

8(r − 39) = 56 r − 39 = 7 r = 46

24 = 4 5b − 3 5b − 3 = 6 5b = 9 b = 1 45

d

©

1 + 30 = 6 7h 30 = 5 7h 7h = 6 h = 67

No



1 = 5(4 x − 7) − 14 1 = 20 x − 35 − 14 1 = 20 x − 49 20 x = 50 x = 2 12 15 = 3(4 a − 1) 4a − 1 = 5 4a = 6 a = 1 12

10 + 2 1 = 0 2 5y + 1

off

b

e f

dh

8 p − 39 = −2 p + 6 10 p − 39 = 6 10 p = 45 p = 4 12

or

T-1a

c

er sb v


g

h

10 = −2 1 2 5y + 1 5 y + 1 = −4 5 y = −5 y = −1 18 =9 4( m − 3) 4( m − 3) = 2 m − 3 = 12 m = 3 12

⁄ 145 08-05-09 11:23

De vergelijkingen A, B, D en F kun je met bordjes oplossen. A 10 + 4b2 = 46 4b2 = 36 b2 = 9 b = 3 of b = −3 B (12 − 4 p)(4 p + 8) = 0 12 − 4 p = 0 of 4 p + 8 = 0 4 p = 12 of 4 p = −8 p = 3 of p = −2 D 100 − (2 a − 8)2 = 0 (2 a − 8)2 = 100 2 a − 8 = 10 of 2 a − 8 = −10 2 a = 18 of 2 a = −2 a = 9 of a = −1 F (12 − 5 p)2 = 169 12 − 5 p = 13 of 12 − 5 p = −13 5 p = −1 of 5 p = 25 p = − 15 of p = 5 C x 2 = 17 x + 38 x 2 − 17 x − 38 = 0 ( x + 2)( x − 19) = 0 x + 2 = 0 of x − 19 = 0 x = −2 of x = 19 E m2 + 5 = 6 m m2 − 6 m + 5 = 0 ( m − 1)( m − 5) = 0 m − 1 = 0 of m − 5 = 0 m = 1 of m = 5

T-3a b c d

3x+4 = 81 3x+4 = 34 x+4 = 4 x=0 2 −2+5 a = 2 2 −2+5 a = 21 −2 + 5a = 1 5a = 3 a = 53 56− x = 25 5 6− x = 5 2 6−x=2 x=4 52a = 125 52 a = 53 2a = 3 a = 1 12

off

Ui tg

ev

T-2a b

er sb v


dh

or

No

© ⁄ 146


e f g h

7 ⋅ 2 p = 56 2p = 8 2 p = 23 p=3 0, 2 ⋅ 5 x = 3125 5 x = 15 625 5 x = 56 x=6 256 − 2 ⋅ 2 q = 0 2 ⋅ 2 q = 256 2 q = 128 2q = 2 7 q=7 34 a−1 = 81 34 a−1 = 34 4a − 1 = 4 4a = 5 a = 1 14


08-05-09 11:23

3a + 12 = 9 3a + 12 = 81 3a = 69 a = 23

e

d 3 = 64 d3 = 43 d=4

b

1 − 3p = 2 1 − 3p = 4 3 p = −3 p = −1

f

5d 4 = 405 d 4 = 81 d 4 = 34 d = 3 of d = −3

125 − 5 x = 100

g

3000 − m3 = 2000 m3 = 1000 m3 = 10 3 m = 10

5 x = 25 5 x = 625 x = 125

2 + 3 q − 7 = 17

d

Ui tg

c

ev

T-4a

er sb v


h

16 + 3 x 7 = 400 3 x 7 = 384 x 7 = 128 x7 = 27 x=2

3 q − 7 = 15

q−7 = 5 q − 7 = 25 q = 32

T-5a b c

Bij een lengte van 13 mm hoort een gewicht van 0, 001 × 133 = 2, 197 gram. Bij een lengte van 18 mm hoort een gewicht van 0, 001 × 18 3 = 5, 832 gram. Het gewicht van deze rups neemt dan met 5, 832 − 2, 197 ≈ 3, 6 gram toe. 0, 001l 3 = 8 l 3 = 8000 l 3 = 20 3 l = 20 Deze rups is volgens de formule 20 mm lang. Invullen van l = 25 en g = 12, 5 geeft 12, 5 = a ⋅ 253 oftewel 15 625a = 12, 5 , dus a = 0, 0008 .

T-6a

Bij grafiek 1 hoort de formule y = 3 x + 4 , bij grafiek 2 hoort de formule y = 12 ( x + 9) en bij grafiek 3 hoort de formule y = x − 6 . 1 ( x + 9) = x − 6 2 1 x + 4 12 = x − 6 2 4 12 = 12 x − 6 1 x = 10 12 2 x = 21 Invullen van x = 21 geeft y = 12 × (21 + 9) = 12 × 30 = 15 en y = 21 − 6 = 15 . De coördinaten van het snijpunt van de twee lineaire grafieken is (21, 15).

c d

dh

or

Invullen van x = 21 geeft y = 3 × 21 + 4 = 3 × 25 = 3 × 5 = 15 . Ja, het snijpunt ligt ook op de derde grafiek. Invullen van x = p en y = 39 geeft 39 = 3 p + 4 p + 4 = 13 p + 4 = 169 p = 165

©

No

b

off



⁄ 147 08-05-09 11:24

27 − 3 3t = 0

b

3 3t = 27

c d e

3t = 9 3t = 81 t = 27 (4 x − 8)( 72 − 6 x) = 0 4 x − 8 = 0 of 72 − 6 x = 0 4 x = 8 of 6 x = 72 x = 2 of x = 12 24 − 3(a + 6) = 2(5 − 4 a) + a + 2 24 − 3a − 18 = 10 − 8 a + a + 2 6 − 3a = 12 − 7a 6 + 4 a = 12 4a = 6 a = 1 12 20 + 6 ⋅ 2 m = 68 6 ⋅ 2 m = 48 2m = 8 2m = 23 m=3

150 + 10 = 35 9 − 4b

©

No

or

150 = 25 9 − 4b 9 − 4b = 6 4b = 3 b = 43

dh

f

off

ev

(20q − 15)3 = 125 (20q − 15)3 = 53 20q − 15 = 5 20q = 20 q=1

Ui tg

T-7a

er sb v


⁄ 148



08-05-09 11:24

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Recommend Documents