Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

er sb v

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden Voorkennis

V-2a x 2 − 3 x − 4 = 0 ( x − 4)( x + 1) = 0 x − 4 = 0 of x + 1 = 0 x = 4 of x = −1 b x 2 − 3 x − 4 = 6 x 2 − 3 x − 10 = 0 ( x − 5)( x + 2) = 0 x − 5 = 0 of x + 2 = 0 x = 5 of x = −2

16 14 12

f

ev

10

y

8 6 4 2

–5

–4

–3

–2

–1 O –2

1

Ui tg

Zie de grafiek hiernaast. 2 12 x + 3 = 8 2 12 x = 5 x=2 − 12 x − 6 = 8 − 12 x = 14 x = −28 2 12 x + 3 = − 12 x − 6 3 x = −9 x = −3 f (−3) = 2 12 ⋅ −3 + 3 = −4 12 ; g(−3) = −4 12 Het snijpunt is (−3, − 4 12 ) .

5

x

–8

–10

Parabool p1 is een dalparabool, daar hoort functie f bij. Immers het getal voor x2 is positief. Parabool p1 snijdt de xas in (–1, 0) en (3, 0). f(–1) = (–1)2 – 2 × –1 – 3 = 1 + 2 – 3 = 0, klopt f(3) = 32 – 2 × 3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0, klopt –x2 – x + 1 = 0 a = –1, b = –1 en c = 1 geeft D = (–1)2 – 4 × –1 × 1 = 1 + 4 = 5

( x + 7)2 = 5 x + 7 = 5 of x + 7 = − 5 x = −7 + 5 of x = −7 − 5

No

or

dh

V-4a

−(−1) + 5 −(−1) − 5 ≈ −1, 62 of x = ≈ 0, 62 2 ⋅ −1 2 ⋅ −1 De snijpunten met de x-as zijn (–1,62; 0) en (0,62; 0). x=

©

4

–6

( x + 7)2 = 0 x+7=0 x = –7 ( x + 7)2 = 16 x + 7 = 4 of x + 7 = –4 x = –3 of x = –11

3

–4

V-3a b

b c

2

off

V-1a b c d e

© Noordhoff Uitgevers bv

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 69

⁄ 69 01-04-2009 16:38:14

x2 –2x – 3 = 12 x2 – 2x – 15 = 0 (x – 5)(x + 3) = 0 x – 5 = 0 of x + 3 = 0 x = 5 of x = –3

V-5a b c

x 2– 11x – 26 = 0 d (x – 13)(x + 2) = 0 x – 13 = 0 of x + 2 = 0 x = 13 of x = –2 3(x – 1) = 6x e 3x – 3 = 6x –3 = 3x x = –1 7x + 1 = –x2 x2 + 7x + 1 = 0 f a = 1, b = 7, c = 1 geeft D = 72 – 4 × 1 × 1 = 45

3x + 2 = –2(x + 3) 3x + 2 = –2x – 6 5x = –8 x = –1,6 x2 + x = 12 x2 + x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 x + 4 = 0 of x – 3 = 0 x = –4 of x = 3 3x2 = 2x(x – 1) 3x2 = 2x2 – 2x x2 + 2x = 0

x = −7 + 45 ≈ −0, 15 of 2 ⋅1

x(x + 2) = 0

x = −7 − 45 ≈ −6, 85 2 ⋅1

x = 0 of x + 2 = 0 x = 0 of x = –2

off

ev

–x2 – x + 1 = 1 –x2 –x = 0 –x(x + 1) = 0 –x = 0 of x + 1 = 0 x = 0 of x = –1

Ui tg

d

er sb v


x – 2 = –x2 + 10 x2 + x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 x + 4 = 0 of x – 3 = 0 x = –4 of x = 3 f(–4) = –4 – 2 = –6, g(–4) = –(–4)2 + 10 = –16 + 10 = –6 dus y = –6 f(3) = 3 – 2 = 1, g(3) = –32 + 10 = –9 + 10 = 1 dus y = 1

V-7a b

3 12 x + 3 = − 12 x + 6 4x = 3 x = 0,75; f (0, 75) = 5, 625 ; g(0, 75) = 5, 625 Het snijpunt is (0,75; 5,625). − 12 x + 6 = 2( x + 2)

3 12 x + 3 = 2( x + 2)

− 12 x + 6 = 2 x + 4

3 12 x + 3 = 2 x + 4

−2 12 x = −2

1 12 x = 1

x = 0,8; g(0, 8) = 5, 6 ; h(0, 8) = 5, 6

x = 23 ; f ( 23 ) = 5 13 ; h( 23 ) = 5 13

Het snijpunt is (0,8; 5,6).

Het snijpunt is ( 13 , 5 13 ) .

or

©

No

dh

V-6a b

⁄ 70



01-04-2009 16:38:17

V-8 A

←, 3]

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

B

−3, →

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

C [ −1 , 4 ]

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

D

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

V-9a

3 x + 2 > 11 d 3x + 2 = 11 3x = 9 x = 3 f

f

=

g

g

1

2

3

4

5

3x – 16 > 5 3x – 16 = 5 3x = 21 x=7 f

f

=

g

g

Ui tg

b

−1, 4

ev

er sb v


5

6

7

8

9

oplossing: x > 3 of 3, → 5x – 23 < 2 e 5x – 23 = 2 5x = 25 x = 5

oplossing: x > 7 of 7, → − 12 x + 4 > −7 12 − 12 x + 4 = −7 12 − 12 x = −11 12 x = 23

g

g

=

f

f

g

g

=

f

f

3

4

5

6

7

21

22

23

24

25

oplossing: x < 23 of ←, 23 –2(x – 6) < 15 –2(x – 6) = 15 –2x + 12 = 15 –2x = 3 x = –1,5

6

7

8

dh

off

oplossing: x < 5 of ←, 5 c 3x < x + 16 f 3x = x + 16 2x = 16 x = 8 g = f f g 9

10

oplossing: x < 8 of ←, 8

f

=

g

g

–3

–2

–1,5

–1

0

oplossing: x > –1,5 of −1, 5; →

or

f

10-1 Kwadratische ongelijkheden 1a b c d

Bij x = –2 en x = 2 is de uitkomst gelijk aan 1. Voor –2 < x < 2 is de uitkomst groter dan 1. 5 – x2 = 4 x2 = 1 x = –1 of x = 1 Voor –1 < x < 1 is f(x) > 4.

©

2a b c d

De grootste hoogte is 20 meter. De kogel komt na 4 seconden weer op de grond. Na 1 seconde en na 3 seconden is de hoogte gelijk aan 15 meter. Tussen 1 en 3 seconden is de hoogte meer dan 15 meter.

No



⁄ 71 01-04-2009 16:54:23

Voor x < –1 of x > 1 is f(x) < 4. De grootste uitkomst van de functie is 5. Voor geen enkele waarde van x is f(x) > 5.

3a b/c

x 2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 of x – 2 = 0 x = 0 of x = 2

d

e 4a b c/d

e

=

f

=

g

–2

–1

0

1

2

3

x = 1,5 ligt tussen x = 0 en x = 2 en is dus, net als x = 1, geen oplossing van de ongelijkheid. Net zo is x = 1,9 ook geen oplossing. x = –7 ligt links van x = 0 en is, net als x = –1, wel een oplossing van de ongelijkheid. De oplossing is alle waarden van x kleiner dan 0 of groter dan 2. Dus x < 0 of x > 2. De bijpassende vergelijking is x2 – 4x – 5 = 0. (x – 5)(x + 1) = 0 x – 5 = 0 of x + 1 = 0 x = 5 of x = –1 f

=

g

g

g

g

g

–2

–1

0

1

2

3

4

=

f

5

6

De oplossing is –1 < x < 5.

off

g

Ui tg

g

ev

e f

er sb v


–5

–4

–3

dh

5a n2 + 6n + 8 < 0 d n2 + 6n + 8 = 0 (n + 2)(n + 4) = 0 n + 2 = 0 of n + 4 = 0 n = –2 of n = –4 f = g = f f –2

–1

0

No

or

oplossing: −4, 2 b q2 + 2q > 3 e 2 q + 2q = 3 q2 + 2q – 3 = 0 (q + 3)(q – 1) = 0 q + 3 = 0 of q – 1 = 0 q = –3 of q = 1 g f = f f f = –4

–2

–1

0

oplossing: ←, −3 en 1, →

©

–3

⁄ 72


1

2

–x2 + 2x + 3 < 4 –x2 + 2x + 3 = 4 –x2 + 2x – 1 = 0 x2 – 2x + 1 = 0 (x – 1)(x – 1) = 0 x –1 = 0 dus x = 1 g

g

=

g

g

–1

0

1

2

3

oplossing: alle waarden x ≠ 1 1 2 b − 4b > 10 2 1 2 b − 4b = 10 2 b2 – 8b – 20 = 0 (b – 10)b + 2) = 0 b – 10 = 0 of b + 2 = 0 b = 10 of b = –2 g

=

f

f

f

=

g

–4

–2

0

…

8

10

12



01-04-2009 16:54:25

2 r (r + 3) > 4 f 12 w + 3w < 0 r(r + 3) = 4 12 w 2 + 3w = 0 r2 + 3r – 4 = 0 w2 + 6w = 0 (r + 4)(r – 1) = 0 w(w + 6) = 0 r + 4 = 0 of r – 1 = 0 w = 0 of w = –6 r = –4 of r = 1 g = f f f f = g f = g

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2


–2

– 2

–1

0

oplossing: − 2 ,

1

2

2

2

–6

...

dh

–3

0

...

3

4

oplossing: −3, 3

x 2 > 64 f x2 = 64 x = –8 of x = 8 g = f g f f = c

No

or

–9

–8

…

0

…

8

9

©




f

–2

0

2

oplossing: −6, 0

x2 – 5x + 3 < 17 x2 – 5x + 3 = 17 x2 – 5x – 14 = 0 (x – 7)(x + 2) = 0 x – 7 = 0 of x + 2 = 0 x = 7 of x = –2 f

=

g

=

f

–3

–2

0

7

8

oplossing: −2, 7

x2 – x – 1 < 1 x2 – x – 1 = 1 x2 – x – 2 = 0 x2 – x – 2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0 x – 2 = 0 of x + 1 = 0 x = 2 of x = –1

off

b 2x2 + 1 < 19 e 2 2x + 1 = 19 2x2 = 18 x2 = 9 x = –3 of x = 3 f = f = g g g –4

–4

=

Ui tg

6a x2 – 1 < 1 d 2 x – 1 = 1 x2 = 2 x = − 2 of x = 2 f = g g g = f

–8

g

ev

c

er sb v


f

=

g

g

=

f

–2

–1

0

1

2

3

oplossing: −1, 2 2x2 < 50 2x2 = 50 x2 = 25 x = –5 of x = 5 f

=

g

=

f

–6

–5

0

5

6

oplossing: −5, 5

⁄ 73 01-04-2009 16:54:28

x 2 > 9 d 2 x = 9 geeft x = –3 of x = 3 oplossing: x < –3 of x > 3 x2 < 9 e zie opdracht a oplossing: –3 < x < 3 x2 < 36 x2 = 36 geeft x = –6 of x = 6 oplossing: –6 < x < 6

–6

–5

–4

–3

6(d + 2) – 8 < 3 6(d + 2) – 8 = 3 6d + 12 – 8 = 3 6d = –1 d = − 16

Ui tg

8a 3a + 10 < –2 d 3a + 10 = –2 3a = –12 a = –4 g g = f f

x2 > 49 x2 = 49 geeft x = –7 of x = 7 oplossing: x < –7 of x > 7 x2 < –4 x2 = –4 kan niet oplossing: geen f x2 > –4 zie opdracht e oplossing: elke waarde van x

ev

7a b c

er sb v


–2

g

g

=

f

f

–2

–1

– 16

0

1

oplossing: ←, −4

oplossing: ←, − 16

b

2 – 4b – 12 > 0 b e 2 b – 4b – 12 = 0 (b + 2)(b – 6) = 0 b + 2 = 0 of b – 6 = 0 b = –2 of b = 6 g = f = g

3e2 + 2 > 2 3e2 > 0 e2 > 0 e2 = 0 geeft e = 0


c

c (c + 2) > 1 c(c + 2) = 1 c2 + 2c – 1 = 0 a = 1, b = 2, c = –1 D = 22 – 4 × 1 × –1 = 8

–2

0

6

7

oplossing: alle waarden e ≠ 0

dh

–3

off

x = −2 − 8 ≈ −2, 41 of x = −2 + 8 ≈ 0, 41 2 2 g = f = g –2,41 0 0,41 3 –1 oplossing: ←, −2, 41 en 0, 41, →

©

No

or

⁄ 74



01-04-2009 16:54:30

10-2 Parabool en lijn y=0 In het snijpunt zijn de waarden van de functies aan elkaar gelijk. x 2 + 12 x − 3 = 0 2 D = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ −3 = 12 14

x=

− 12 + 12 14

− 12 − 12 14

10a b

12 x 2 − 2 x + 1 = 2 x − 5 1 2 x − 4x + 6 = 0 2 2 x − 8 x + 12 = 0 (x – 2)(x – 6) = 0 x – 2 = 0 of x – 6 = 0 x = 2 of x = 6 g(2) = –1 en g(6) = 7 controle: f(2) = –1 en f(6) = 7, klopt De snijpunten zijn (2, –1) en (6, 7). − 13 x 2 = 2 x − 13 x 2 − 2 x = 0 x2 + 6 x = 0 x(x + 6) = 0 x = 0 of x + 6 = 0 x = 0 of x = –6 g(0)= 0 en g(–6) = –12 controle: f(0) = 0 en f(–6) = –12 De snijpunten zijn (0, 0) en (–6, –12).

11a b

x 2 + 3x = x + 15 c x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0 x + 5 = 0 of x – 3 = 0 x = –5 of x = 3 f(–5) = 10 en f(3) = 18 controle: g(–5) = 10 en g(3) = 18, klopt De snijpunten zijn (–5, 10) en (3, 18). x(x + 2) = 2x + 9 x2 + 2x = 2x + 9 x2 = 9 geeft x = –3 of x = 3 f(–3) = 3 en f(3) = 15 controle: g(–3) = 3 en g(3) = 15, klopt De snijpunten zijn (–3, 3) en (3, 15).

Ui tg

d

= −2 2 2 k(1 12 ) = 5 14 en l(1 12 ) = 5 14 ; k(−2) = 0 en l(−2) = 0 De snijpunten zijn ( 1 12 , 5 14 ) en (–2, 0).

2 x2 –2x + 1 = x + 3 2x2 – 3x – 2 = 0 x2 – 1,5x – 1 = 0 (x – 2)(x + 0,5) = 0 x – 2 = 0 of x + 0,5 = 0 dus x = 2 of x = –0,5 f(2) = 5 en f(–0,5) = 2,5 controle: g(2) = 5 en g(–0,5) = 2,5, klopt De snijpunten zijn (2, 5) en (–0,5; 2,5).

©

No

or

dh

off

= 1 12 of x =

ev

9a b c

er sb v




⁄ 75 01-04-2009 16:54:32

d e

b c d e

14a b/c

Voor x = –1 en x = 4 geldt f(x) = g(x). Voor x = –2 is f(x) < g(x). Voor x = 0 is f(x) > g(x). Voor x = 5 is f(x) < g(x). Voor –1 < x < 4 is f(x) > g(x). x 2 – 3x = x – 3 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x – 1 = 0 of x – 3 = 0 x = 1 of x = 3 = f = g 0

d

15a

1

2

3

ev

13a

c

Ui tg

b

Bij x = –3 ligt de grafiek van f boven die van g. Bij x = 0 ligt de grafiek van f onder die van g. Bij x = 4 ligt de grafiek van f boven die van g. Voor x = –2 en x = 3 geldt f(x) = g(x). Voor –2 < x < 3 geldt f(x) < g(x).

g 4

De oplossing is x < 1 of x > 3 ofwel ←, 1 en 3, → . –b2 + 35 < 2b b –b2 + 35 = 2b –b2 – 2b + 35 =0 b2 + 2b – 35 = 0 (b + 7)(b – 5) = 0 b + 7 = 0 of b – 5 = 0 b = – 7 of b = 5 g = f = g

2x2 > 4x + 6 2x2 = 4x + 6 2x2 – 4x – 6 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x – 3 = 0 of x + 1 = 0 x = 3 of x = –1 g

=

f

=

g

–8

–2

–1

0

3

4

–7

0

5

6

off

12a

dh

er sb v




c

( p + 2)(p – 1) < 2p d (p + 2)(p – 1) = 2p p2 –p + 2p – 2 = 2p p2 – p – 2 = 0 (p + 1)(p – 2) = 0 p + 1 = 0 of p – 2 = 0 p = –1 of p = 2 f = g = f

t2 – 7t + 8 > t + 1 t2 – 7t + 8 = t + 1 t2 – 8t + 7 = 0 (t – 1)(t – 7) = 0 t – 1 = 0 of t – 7 = 0 t = 1 of t = 7 g

=

f

=

g

–2

0

1

4

7

8

No

–1

0

2

oplossing: −1, 2

©

or

⁄ 76


3

oplossing: ←, 1 en 7, →


01-04-2009 16:54:34

er sb v


10-3 Snijden, raken of missen 16a b

2 : x < –3 en x > 1 3 : geen oplossingen 4: alle waarden van x behalve voor x = 2 5

y

4

2

g

1 –3

–2

ev

3

–1 O –1

1

2

3

4

x

–3

f

–4

− x 2 + 4 x = 3 x + 5 − x2 + x − 5 = 0 D = 12 − 4 ⋅ −1 ⋅ −5 = −19; D < 0 ; geen snijpunten. De grafiek van f is een bergparabool. De grafiek van f is een bergparabool die geen snijpunten met de lineaire grafiek van g heeft. De bergparabool ligt dan geheel onder de rechte lijn (vergelijkbaar met de grafieken bij opdracht 16b).

18a 5

f

off

17a b c

Ui tg

–2

y

4

g

h

2 1

–4

–3

–2

–1 O –1 –2

2

3

x

k

or

–3

1

dh

3

–4

No

x 2 + 2 x = x + 2 x2 + x − 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 x + 2 = 0 of x – 1= 0 x = –2 of x = 1 g(–2) = 0 en g(1) = 3 De snijpunten zijn (–2, 0) en (1, 3). x 2 + 2 x = −2 x − 4 x2 + 4 x + 4 = 0 ( x + 2 )2 = 0 x+2=0 x = –2 dus slechts één oplossing

©

b c



⁄ 77 01-04-2009 16:38:32

d e

Zie de grafieken bij opdracht a. x 2 + 2 x = 12 x − 2 x 2 + 1 12 x + 2 = 0 D = (1 12 )2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = −5 43 < 0 ; dus geen snijpunten.

er sb v


B: 2 x 2 + 3 = −6 x − 1 12 19a A: − x 2 + x = x + 1 2 − x − 1 = 0 2 x 2 + 6 x + 4 12 = 0 x 2 + 1 = 0 D = 6 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 4 12 = 0 ; één oplossing

x = −6 + 0 = −1 12 4 D: x 2 + 3 x + 1 = 3 x + 3

x 2 = −1; geen oplossingen

C: − 12 x 2 + 4 x − 8 = x − 3

ev

Ui tg

− 12 x 2 + 3 x − 5 = 0 x 2 = 2 D = 32 − 4 ⋅ − 12 ⋅ −5 = −1; D < 0 x = − 2 of x = 2 geen oplossingen b De vergelijking heeft geen oplossingen, dus de grafieken hebben geen punten gemeenschappelijk. c B: bordje 2 want de vergelijking heeft één oplossing C: bordje 3 want de vergelijking heeft geen oplossingen D: bordje 1 want de vergelijking heeft twee oplossingen Als D > 0 dan snijdt de grafiek de x-as. D = 36 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = −4; D < 0 De grafiek snijdt de x-as niet. 2 x 2 − 6 x + 5 = x + 2 2 x2 − 7x + 3 = 0 D = (−7)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 25 D > 0; de grafieken snijden elkaar.

21a b c d

x 2 + 3 x + 2 = 2 x − 5 x2 + x + 7 = 0 D = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 7 = −27; D < 0 De grafieken hebben geen punten gemeenschappelijk. x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 6 x2 + x − 4 = 0 D = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ −4 = 17 ; D > 0 De grafieken snijden elkaar. − x 2 − 6, 5 x − 10 = 1, 5 x + 6 − x 2 − 8 x − 16 = 0 D = (−8)2 − 4 ⋅ −1 ⋅ −16 = 0 De grafieken raken elkaar. − x 2 − 6, 5 x − 10 = 1, 5 x + 10 − x 2 − 8 x − 20 = 0 D = (−8)2 − 4 ⋅ −1 ⋅ −20 = −16; D < 0 De grafieken hebben geen punten gemeenschappelijk.

©

No

or

dh

off

20a b c d

⁄ 78



01-04-2009 16:38:37

10-4 Bundels lijnen

er sb v


23a b c

e lijn die door (5, 0) gaat lijkt de parabool te raken. D x = 5 en y = 0 invullen bij y = –2x + p geeft 0 = –2 × 5 + p 0 = –10 + p dus p = 10 − x 2 + 4 x + 1 = −2 x + 10 − x2 + 6 x − 9 = 0 D = 6 2 − 4 ⋅ −1 ⋅ −9 = 0 ; dus één oplossing. De grafieken raken elkaar voor p = 10. Voor p < 10 snijdt de lijn de parabool in twee punten.

24a

x 2 – 4x = 2x – 7 x2 – 6x + 7 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 7 = 8 D > 0 dus er zijn twee snijpunten. In de figuur is y = 2x – 7 de lijn die door (0, –7) loopt en die snijdt de parabool inderdaad twee keer. x2 – 4x = 2x – 10 x2 – 6x + 10 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 10 = –4 D < 0 dus er zijn geen snijpunten. In de figuur is y = 2x – 10 de lijn die door (0, –10) loopt en die snijdt de parabool inderdaad niet. y Zie de grafiek hiernaast. 4 De lijn gaat door (0, –9), dus 2 daar hoort p = –9 bij. –0,5 O 0,5 1 1,5 2 x2 – 4x = 2x – 9 –2 x2 – 6x + 9 = 0 –4 D = (–6)2 – 4 × 1 × 9 = 0 –6 D = 0 dus er is één gemeenschappelijk punt. –8 Voor p > –9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. –10 Voor p < –9 hebben de lijn en de parabool –12 geen punt gemeenschappelijk.

Ui tg

off

dh

©

c d e f

or

b

No

22a

ev

b c d

x 2 − 3 x + 5 = 5 x 2 − 3x = 0 x(x – 3) = 0 x = 0 of x – 3 = 0 x = 0 of x = 3 De x coördinaat van de top is 1,5. f(1,5) = 2,75; De top is (1,5; 2,75). x 2 − 3 x + 3 = 0 D = (−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = −3; D < 0 De vergelijking heeft geen oplossingen. De y coördinaat van de top is 2,75. Dus voor p = 2,75 is er één gemeenschappelijk punt. Voor p > 2,75 snijdt de lijn y = p de parabool in twee punten.



C 2,5

3

3,5

4

4,5

5

x

⁄ 79 01-04-2009 16:38:38

y

p = 3

5

p = 2

4

p = 1

3

25a b c d

Zie de grafiek hiernaast. Voor p = 4 raakt de lijn de parabool. Immers: –x2 + 3x = –x + 4 –x2 + 4x – 4 = 0 D = 42 – 4 × –1 × –4 = 0, klopt. Voor p < 4 snijdt de lijn de parabool. Voor p > 4 hebben de parabool en de lijn geen punt gemeenschappelijk.

Het startgetal van de formule y = qx – 7 is –7. Zie de grafiek hiernaast. x2 + 2x – 3 = 7x – 7 x2 − 5x + 4 = 0 (x – 1)(x – 4) = 0 –4 –3 x – 1 = 0 of x – 4 = 0 q = –2 x = 1 of x = 4 Er zijn twee snijpunten. Zie de grafiek bij opdracht b. Het hellingsgetal is 6. x2 + 2 x − 3 = 6 x − 7 x2 − 4 x + 4 = 0 D = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 0, klopt Zie de grafiek bij opdracht b; het hellingsgetal is –2. x 2 + 2 x − 3 = −2 x − 7 x2 + 4 x + 4 = 0 D = 4 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 0 , klopt

2 1 –2

–1 O –1

1

2

4

5

x

p = 4

ev

–2

3

8

y

6 4

q =6

q =7

2

Ui tg

b c d e f

p = 5

–2

–1

O –2

1

2

3

x

–4 –6 –8

off

26a

er sb v


x = 4 + 8 ≈ 3, 41 of x = 4 − 8 ≈ 0, 59 2 2 De snijpunten met de x-as zijn (3,41; 0) en (0,59; 0). De grafiek verschuift omhoog of omlaag. 6

y

No

b c

x 2 − 4 x + 2 = 0 D = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 8

or

27a

dh

10-5 Werken met parameters

4 2

–1

O

1

2

3

4

5

x

©

–2 –4

⁄ 80



01-04-2009 16:38:40

er sb v


ee, je moet de parabool nog 1 hokje omhoog schuiven. N Voor p = 4 raakt de parabool de x-as. Schuif de parabool van opdracht c twee hokjes omhoog. Dan is p = 5. x2 – 4x + 5 = 2x – 4 x2 – 6x + 9 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 9 = 0, klopt. Dus voor p = 5 raakt de parabool de lijn.

x = 6 + 0 = 3 en y = f(3) = 2 2 Het raakpunt is (3, 2).

12 x 2 + p = −3 x

28a

1 2

x 2 + 3x + p = 0

= 32 – 4 · 12 · p D D = 9 – 2p Voor D = 0 is er één oplossing. 9 – 2p = 0 p = 4 12

29a

x 2 − 4 x = − x + p x 2 − 3x − p = 0 D = (−3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ − p = 9 + 4p 9 + 4p = 0 4p = –9 p = – 2,25

off

b c d

Ui tg

f

ev

d e

No

Voor p = 0 is f(x) = –1. De grafiek is dan een horizontale lijn. Voor p < 0 is de grafiek een bergparabool met top (0, –1) die dus de x-as niet snijdt. px 2 − 1 = 2 x − 3 px 2 − 2 x + 2 = 0 D = (−2)2 − 4 ⋅ p ⋅ 2 = 4 – 8p 4 – 8p = 0 –8p = –4 p = –4 : –8 dus p = 12

©

30a b c

or

dh

x = 3 + 0 = 1, 5 en y = f (1,5) = –3,75 2 Het raakpunt is (1,5; –3,75). b − x 2 − x = − x + p − x 2 − p = 0 D = 0 – 4 · –1 · –p = –4p – 4p = 0 p = 0 De vergelijking is dan − x 2 = 0 . x = 0 en y = f (0) = 0 Het raakpunt is (0, 0).



⁄ 81 01-04-2009 16:38:43

d

er sb v


px 2 − 1 = 2 x px 2 − 2 x − 1 = 0 D = (−2)2 − 4 ⋅ p ⋅ −1 = 4 + 4p 4 + 4p > 0 4 + 4p = 0 geeft p = –1 f

=

g

g

–2

–1

0

2

oplossing: p > –1

31a b c d

Voor elke waarde van p is f (0) = 14 ⋅ 0 2 + p ⋅ 0 + 6 14 = 6 14 . Met f(x) = 0 bereken je de x-coördinaat van een snijpunt met de x-as. Als de grafiek de x-as raakt is er maar één oplossing dus is D = 0. 1 2 x + px + 6 14 = 0 4 D = p2 − 4 ⋅ 14 ⋅ 6 14 = p2 − 6 14 p2 − 6 14 = 0 p2 = 6 14 dus p = 2 12 of p = −2 12 Voor D < 0 heeft de grafiek geen punten gemeenschappelijk met de x-as. D < 0 als p2 < 6 14 oplossing: −2 12 < p < 2 12

or

dh

− 12 a 2 + 5a = 0 a(− 12 a + 5) = 0 a = 0 of − 12 a + 5 = 0 a = 0 of a =10 De afstand is dus 10 × 15 = 150 meter. De top ligt bij a = 5 H(5) = − 12 ⋅ 25 + 25 = 12 12 De hoogte is 12 12 × 15 = 187 12 meter. 120 meter hoog betekent dat H(a) = 120 : 15 = 8. − 12 a 2 + 5a − 8 = 0 geeft a 2 − 10 a + 16 = 0 (a – 2)(a – 8) = 0 a – 2 = 0 of a – 8 = 0 dus a = 2 of a = 8 Voor 2 < a < 8 is de boog hoger dan 120 meter.

©

No

32a b c d

off

10-6 Gemengde opdrachten

Ui tg

ev

⁄ 82



01-04-2009 16:38:46

2e2 + 5e + 6 > e + 6 2e2 + 5e + 6 = e + 6 2e2 + 4e = 0 2e(e + 2) = 0 2e = 0 of e + 2 = 0 e = 0 of e = –2

g

=

–17

–3

–2

–16

0

oplossing:

1

−16, 1

2

ev

c

a 2 + 2 < 6 e 2 a < 4 oplossing: −2, 2 2 b + 15b < 16 b2 + 15b = 16 b2 + 15b – 16 = 0 (b + 16)(b – 1) = 0 b + 16 = 0 of b – 1 = 0 b = –16 of b = 1 f = g = f

f

=

g

–1

0

1


Ui tg

33a b

er sb v


2 c2 + c > 1 f 2c2 + c = 1 2c2 + c – 1 = 0 c2 + 0,5c – 0,5 = 0 (c + 1)(c – 0,5) = 0 c + 1 = 0 of c – 0,5 = 0 c = –1 of c = 0,5 g = f = g

(f + 2)(f – 1) < 0 (f + 2)(f – 1) = 0 f + 2 = 0 of f – 1 = 0 f = –2 of f = 1

f

=

g

=

f

–2

–3

–2

0

1

2

–1

0

0,5

1

g2 + 25 < g(g + 5) g2 + 25 = g(g + 5) g2 + 25 = g2 + 5g 25 = 5g dus g = 5

f

=

g

–1

0

5

6

–0,5

0

dh

2 < 0,5(d + 1) d g 2 d = 0,5(d + 1) d2 – 0,5d – 0,5 = 0 (d + 0,5)(d – 1) = 0 d + 0,5 = 0 of d – 1 = 0 d = –0,5 of d = 1 f = g = f 1

2

oplossing −0, 5; 1 oplossing: 5, →

or

d

off

oplossing: ←, −1 en 0, 5; → oplossing: −2, 1

h2 + h – 6 > h(1 – h) h2 + h – 6 > h – h2 2h2 > 6 h2 > 3 oplossing: ←, − 3 en

3, →

x 2 − 6 x + 4 = 0 D = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 20; D > 0 De grafiek van f heeft twee snijpunten met de x-as. − x 2 + 10 x − 26 = 0 D = 10 2 − 4 ⋅ −1 ⋅ −26 < 0 De grafiek van g heeft geen punten gemeenschappelijk met de x-as. De grafiek van functie h is een rechte lijn en heeft dus één snijpunt met de x-as.

©

34a

No

h



⁄ 83 01-04-2009 16:38:48

er sb v


off

Ui tg

ev

y b Zie de grafiek hiernaast. 6 2 c x − 6 x + 4 = − x + 4 4 x 2 − 5 x = 0 f h x(x – 5) = 0 2 x = 0 of x – 5 = 0 x = 0 of x = 5 x –1 O 1 2 3 4 5 6 7 h(0) = 4 en h(5) = –1 –2 De snijpunten zijn (0, 4) en (5, –1). g 2 d − x + 10 x − 26 = − x + 4 –4 − x 2 + 11 x − 30 = 0 D = 112 − 4 ⋅ −1 ⋅ −30 = 1; D > 0 –6 De grafiek van h raakt de grafiek van g niet. e x 2 − 6 x + 4 = − x 2 + 10 x − 26 2 x 2 − 16 x + 30 = 0 x 2 − 8 x + 15 = 0 (x – 3)(x – 5) = 0 x – 3 = 0 of x – 5 = 0 x = 3 of x = 5 f(3) = –5 en f(5) = –1 De snijpunten zijn (3, –5) en (5, –1). f De grafieken snijden elkaar voor x = 0 en x = 5. Voor x < 0 en voor x > 5 ligt de grafiek van f hoger dan die van h, dus de oplossing is x < 0 of x > 5. In intervalnotatie: ←, 0 en 5, → . g De grafieken snijden elkaar voor x = 3 en x = 5. Voor x < 3 en voor x > 5 ligt de grafiek van f hoger dan die van g, dus de oplossing is x < 3 of x > 5. In intervalnotatie: ←, 3 en 5, → .

f

=

g

0

8

9

oplossing: p > 8

©

No

or

dh

35a 12 x 2 + 2 x + 3 = 0 D = 2 2 − 4 ⋅ 12 ⋅ 3 = −2; D < 0 De parabool heeft geen snijpunten met de x-as. b De symmetrie-as is de lijn x = –2. Dus de x-coördinaat van de top is –2. y = f(–2) = 1; top (–2, 1) 2 c 12 x + 2 x + p = 0 D = 2 2 − 4 ⋅ 12 ⋅ p = 4 – 2p 4 –2p = 0 p = 2 2 d 12 x + 2 x + p = −2 x 12 x 2 + 4 x + p = 0 D = 4 2 − 4 ⋅ 12 ⋅ p = 16 – 2p 16 – 2p < 0 16 – 2p = 0 geeft p = 8

⁄ 84



01-04-2009 16:38:51

er sb v


dh

off

Ui tg

ev

36a − 14 x 2 + 2 x + 2 = 2 x + 6 − 14 x 2 − 4 = 0 x 2 + 16 = 0 ; geen oplossingen. 2 b − 14 x + 2 x + 2 = − 12 x + 6 1 2 − 4 x + 2 12 x − 4 = 0 x 2 − 10 x + 16 = 0 (x –2)(x – 8) = 0 x – 2 = 0 of x – 8 = 0 x = 2; y = − 12 ⋅ 2 + 6 = 5 x = 8; y = − 12 ⋅ 8 + 6 = 2 De snijpunten zijn (2, 5) en (8, 2). c De horizontale lijn y = 6 raakt de parabool in de top. 2 d − 14 x + 2 x − px − 4 = 0 − 14 x 2 + (2 − p) x − 4 = 0 D = (2 – p)2 – 4 × − 14 × –4 = (2 – p)2 – 4 D = 0 geeft (2 − p)2 = 4 2 – p = 2 of 2 – p = –2 p = 0 of p = 4 Ja, voor p = 0 is de lijn y = 6. e De lijnen gaan allemaal door (0, 6). De parabool gaat ook door (0, 6). Elke lijn heeft dus minstens één punt gemeenschappelijk met de parabool. Er is één lijn die de parabool raakt in (0, 6). De andere lijnen snijden de parabool dus in nog een punt. 2 f − 14 x + 2 x + 6 = px + 6 − 14 x 2 + 2 x − px = 0 D = (2 − p)2 − 4 ⋅ − 14 ⋅ 0 D = (2 − p)2 D = 0 voor p = 2 De lijn raakt de parabool voor p = 2.

©

No

or

37a p = 0 2 x 2 + 8 x = −4 x − 5 2 x 2 + 12 x + 5 = 0 D = 12 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = 104; D > 0 ; twee snijpunten p = 10 2 x 2 + 8 x + 10 = −4 x − 5 2 x 2 + 12 x + 15 = 0 D = 12 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 15 = 24; D > 0 ; twee snijpunten p = 20 2 x 2 + 8 x + 20 = −4 x − 5 2 x 2 + 12 x + 25 = 0 D = 12 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 25 = −56; D < 0 ; geen snijpunten 2 b 2 x + 8 x + p = −4 x − 5 2 x 2 + 12 x + p + 5 = 0 D = 12 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( p + 5) = 144 – 8(p + 5) 144 – 8(p + 5) = 0 8(p + 5) = 144 p + 5 =18 p = 13 © Noordhoff Uitgevers bv


⁄ 85 01-04-2009 16:38:55

er sb v


c 2 x 2 + 8 x + 13 = −4 x − 5 2 x 2 + 12 x + 18 = 0 D = 12 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 18 = 0

x = −12 = −3 ; y = g(–3) = 7 4 Het raakpunt is (–3, 7). d Voor p = 13 raakt de dalparabool de grafiek van g. Voor p < 13 verschuift de dalparabool omlaag en snijdt de rechte lijn in twee punten. oplossing: p < 13

ICT Bundels lijnen

I-1a Voor p = 1 raakt de lijn de parabool. b x 2 − 4 x + 5 = 1 x 2 − 4 x + 4 = 0 D = (−4)2 − 4 × 1 × 4 = 0, klopt

Voor p = 12 raakt de lijn de parabool. –x2 + 4x + 3 = –2x + 12 –x2 + 6x – 9 = 0 D = 62 – 4 × –1 × –9 = 0, klopt Voor p < 12 snijdt de lijn de parabool in twee punten.

off

I-2a b c

Ui tg

ﬁ

ev

Met de schuifbutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p = 4. –x2 + 3x = –x + 4 –x2 + 4x – 4 = 0 D = 42 – 4 × –1 × –4 = 0, klopt Voor p < 4 snijdt de lijn de parabool. Voor p > 4 hebben de parabool en de lijn geen punt gemeenschappelijk.

©

I-4a b c d

No

or

dh

I-3a x2 – 4x = 2x – 10 x2 – 6x + 10 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 10 = –4 D < 0 dus geen snijpunten, klopt b x2 – 4x = 2x – 12 x2 – 6x + 12 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 12 = –12 D < 0 dus geen snijpunten, klopt c Met de schuifbutton zie je dat de lijn de parabool raakt voor p = –9. d x2 – 4x = 2x – 9 x2 – 6x + 9 = 0 D = (–6)2 – 4 × 1 × 9 = 0 D = 0 dus een gemeenschappelijk punt, klopt e Voor p > –9 snijdt de lijn de parabool in twee punten. Voor p < –9 zijn er geen snijpunten.

⁄ 86



01-04-2009 16:38:56

I-5a

b c d

Het startgetal van elk van de lijnen uit de bundel is –7. Met de schuifbutton zie je dat de lijn met q = 7 twee snijpunten heeft met de parabool. Voor q = 6 en q = –2 lijken de lijnen de parabool te raken. q = 6 x2 + 2 x − 3 = 6 x − 7 x2 − 4 x + 4 = 0 D = (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 0 , klopt q = –2 x 2 + 2 x − 3 = −2 x − 7 x2 + 4 x + 4 = 0 D = 4 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 0 , klopt

ev

er sb v


Ui tg

Test jezelf

f(x) = 14 als x = 0 of x = 5 In de grafiek zie je dat f(x) < 14 als x < 0 of x > 5. Of in intervalnotatie ←, 0 en 5, →

No

or

dh

off

T-1a –x2 + 5x + 14 = 0 x2 – 5x – 14 =0 (x – 7)(x + 2) = 0 x – 7 = 0 of x + 2 = 0 x = 7 of x = –2 De snijpunten zijn (–2, 0) en (7, 0). b A –x2 + 5x + 14 = 14 C –x2 + 5x = 0 –x(x – 5) = 0 –x = 0 of x – 5 = 0 x = 0 of x = 5 B –x2 + 5x + 14 = –10 D 2 –x + 5x + 24 = 0 x2 – 5x – 24 = 0 (x – 8)(x + 3) = 0 x – 8 = 0 of x + 3 = 0 x = 8 of x = –3 c A x2– x < 2 C 2 x – x = 2 x2 – x – 2 = 0 D (x – 2)(x + 1) = 0 x – 2 = 0 of x + 1 = 0 x = 2 of x = –1 f = g = f –2

–1

0

oplossing: −1, 2

B

3x2 + 5 < 17 3x2 < 12 x2 < 4 oplossing: −2, 2

©



2

3

f(x) = – 10 als x = –3 of x = 8 In de grafiek zie je dat f(x) > –10 als –3 < x < 8. Of in intervalnotatie −3, 8

x2 > 81 oplossing: ←, −9 en 9, → x2 + 3x < 2x + 20 x2 + 3x = 2x + 20 x2 + x – 20 = 0 (x + 5)(x – 4) = 0 x + 5 = 0 of x – 4 = 0 x = –5 of x = 4 f

=

g

=

f

–6

–5

0

4

5

oplossing: −5, 4

⁄ 87 01-04-2009 16:38:58

− x 2 + 5 x + 14 = 4 x − 6 − x 2 + x + 20 = 0 x 2 − x − 20 = 0 ( x + 4)( x − 5) = 0 x + 4 = 0 of x – 5 = 0 x = –4 of x = 5 f (−4) = −(−4)2 + 5 × −4 + 14 = −22 en f (5) = −52 + 5 × 5 + 14 = 14 De snijpunten zijn (–4, –22) en (5, 14). g

=

f

=

g

–5

–4

0

5

6

ev

T-2a b

er sb v



T-3a b c d

Zie de grafiek hiernaast. 14 x2 –2x – 2 = 2x + 3 12 x2 – 4x – 5 = 0 10 g (x + 1)(x – 5) = 0 8 x + 1 = 0 of x – 5 = 0 6 x = –1 of x = 5 4 y = f(–1) = 1 of y = f(5) = 13 2 De snijpunten zijn (–1, 1) en (5, 13). –3 –2 –1 O 1 2 3 f(x) = g(x) geldt voor x = –1 of x = 5. –2 In de grafiek zie je dat f(x) < g(x) geldt –4 voor –1 < x < 5 of −1, 5 . –6 Zie de grafiek bij opdracht a. De lijn y = 2x – 6 raakt de parabool. Dan hebben de grafieken van h en m twee snijpunten met de parabool. x2 –2x – 2 = 2x – 2 x2 –2x – 2 = 2x –5,5 x2 – 4x = 0 x2 – 4x + 3,5 = 0 D = (–4)2 – 4 × 1 × 0 = 16 D = (–4)2 – 4 × 1 × 3,5 = 2 D > 0 dus twee snijpunten. D > 0 dus twee snijpunten. De grafiek van l raakt de parabool. x2 –2x – 2 = 2x – 6 x2 – 4x + 4 = 0 (x – 2)(x – 2) = 0 x – 2 = 0 dus x = 2 y = l(2) = –2 Het raakpunt is (2, –2).

Ui tg

f

d 5

6

x

off

4

dh

or

Zie de grafiek hiernaast. Voor a = –8 is y = 2x – 8 1 2 x − 2x = 2x − 8 2 1 2 x − 4x + 8 = 0 2 D = (–4)2 – 4 × 0,5 × 8 = 0, klopt Dus voor a = –8 raakt de lijn de parabool. Zie de grafieken bij opdracht a. Voor a > –8 snijdt de lijn de parabool.

©

T-4a b c

No

e

y

⁄ 88


y 14 12

a

10 8

a

6

a

4

=

= =

1

2

3

4

–3 –6

f

2 –1 O –2

0

5

6

7

8

x

–4


01-04-2009 16:39:00

et startgetal van elke lijn uit de bundel is (0, –7). H Alle lijnen gaan door (0, –7). x2 + 2 = px – 7 x2 – px + 9 = 0 D = (–P)2 – 4 × 1 × 9 = p2 – 36 p2 – 36 = 0 p2 = 36 p = –6 of p = 6

T-6a

x 2 + 2x – 8 < 7 d 2 x + 2x – 8 = 7 x2 + 2x – 15 = 0 (x + 5)(x – 3) = 0

x + 5 = 0 of x – 3 = 0

x = –5 of x = 3 g

=

f

–6

–5

0

3

4

b c

oplossing: −5, 3 x2 > 144 e 2 x = 144 geeft x = –12 of x = 12 oplossing: ←, −12 en 12, → s2 – 4 > 3s f s2 – 4 = 3s 2 s – 3s – 4 = 0 (s + 1)(s – 4) = 0 s + 1 = 0 of s – 4 = 0 s = –1 of s = 4

=

f

=

g


–2

–1

0

g

=

f

=

g

–4

–3,65

0

1,65

2

oplossing: ←; −3, 65 en 1, 65; → v2 + 1 > 0 Omdat v2 ≥ 0 voor elke waarde van v, is de oplossing: elke waarde van v. t2 + t + 11 < 2 – 5t t2 + t + 11 = 2 – 5t t2 + 6t + 9 = 0 (t + 3)(t + 3) = 0 één oplossing: t = –3 f

=

f

–4

–3

0

dh

g

x = −2 + 28 ≈ 1, 65 of 2 x = −2 − 28 ≈ −3, 65 2

Ui tg

=

x2 + 3x > x + 6 x2 + 3x = x + 6 x2 + 2x – 6 = 0 D = 22 – 4 × 1 × –6 = 28

off

f

ev

T-5a b

4

er sb v


5

oplossing: geen enkele waarde van t

©

No

or

T-7a x 2 + 5 x + 8 = 3 x + 11 x 2 + 2 x − 3 = 0 ( x + 3)( x − 1) = 0 x + 3 = 0 of x – 1 = 0 x = –3 of x = 1 y = f(–3) = 2 en y = f(1) = 14 De snijpunten zijn (–3, 2) en (1, 14). 2 b x + 5 x + 8 = 3 x + p x 2 + 2 x + 8 − p = 0 D = 2 2 − 4 × 1 × (8 − p) = –28 + 4p D = −28 + 4 p = 0 4p = 28 p = 7 c Voor p > 7 zijn er twee snijpunten. © Noordhoff Uitgevers bv


⁄ 89 01-04-2009 16:39:03

er sb v


x 2 + 5 x + 8 = r x2 + 5x + 8 − r = 0 D = 52 − 4 × 1 × (8 − r ) = –7 + 4r D = −7 + 4 r = 0 4r = 7 r = 1,75

T-8a b c

Invullen van x = 0 geeft voor elke waarde van p l(0) = p × 0 + 6 = 6 . px + 6 = − 12 x 2 − 2 1 2 x + px + 8 = 0 2 D = p2 − 4 × 12 × 8 D = p2 − 16 Als een lijn de parabool raakt, dan is D = 0. Dat geeft de vergelijking p2 – 16 = 0 oftewel p2 = 16 en deze vergelijkingen heeft twee oplossingen. Bij de getekende grafieken is te zien dat de lijn zowel links als rechts de parabool raakt. p2 – 16 = 0 p2 = 16 p = 4 en p = –4 Voor twee snijpunten moet D > 0 zijn. D = 0 voor p = –4 of p = 4 =

f

=

g

–5

–4

0

4

5

oplossing: p < –4 of p > 4

©

No

or

dh

g

Ui tg

d e

off

ev

d

⁄ 90



01-04-2009 16:39:05

Hoofdstuk 10 - Grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden

Recommend Documents