14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen:

1: AB = 0 => A = 0 of B = 0 (x - 5)(x + 7) = 0 x - 5 = 0 of x + 7 = 0 x = 5 of x = -7 2: A2 = B2 geeft A = B of A = - B (2x – 1)2 = 25 (2x – 1)2 = 52 2x – 1 = 5 of 2x – 1 = -5 2x = 6 of 2x = -4 x = 3 of x = -2

Willem-Jan van der Zanden

1

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen:

3: AB = AC geeft A = 0 of B = C (x – 4)(x + 5) = (x – 4) (2x+7) x – 4 = 0 of x + 5 = 2x + 7 x = 4 of –x = 2 x = 4 of x = -2 4: AB = A geeft A = 0 of B = 1 1 1 x 2 sin(2x  )  sin(2x  ) 3 3 1 sin(2x  )  0  x 2  1 3 1 2x    k    x  1  x   1 3 1 2 x    k    x  1  x  1 3 1 1 x  k  6 2


2

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [2] Voor het oplossen van gebroken vergelijkingen gelden de volgende regels:

A C   AD  BC B D A  C  A  BC B A  0  A  0 B A A   A  0  B  C met B  0, C  0 B C A C   A  C  B  0 B B


3

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [2] Voorbeeld 1:

50  2  12 x 1 50  10 x 1 50  10( x  1) 50  10x  10 10x  60 x 6

Voorbeeld 2: ln( x  1) ln( x  1)  2x x 1 ln( x  1)  0  2x  x  1 x 1  1 x  1 x  0 x  1

De oplossing x = 0 voldoet niet.


4

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [3] Merkwaardige producten: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (A + B)(A – B) = A2 – B2 Voorbeeld 1: Herleid

( x 3  2)3  ( x 3  2)( x 3  2)2  ( x 3  2)( x 6  2x 3  4)  x 9  2x 6  4 x 3  2x 6  4 x 3  8  x 9  4x 6  8x 3  8


5

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [3] Voorbeeld 2: Herleid

x 5  9x  2 x 3 x( x 4  9)  2 x 3 x( x 2  3)( x 2  3)  2 x 3 x( x 2  3)  x 2  3  0


6

14.2 Breuken en wortels [1] Er zijn verschillende soorten breuken, die je tot één breuk kunt herleiden 1)

A C A D C B AD  BC       B D B D D B BC

2) A  B  A  C  B  AC  B  AC  B C C C 3) A  C  AC B D BD 4) A  B  AB C C 5) A  A  C  AC B B B C   

C

C

C

Want delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde.

 A  A 6)  B   B   B A   C C B BC


7

14.2 Breuken en wortels [1] Voorbeeld 1: Vereenvoudig

3 5  6 15 6x 15 6 x  15 2    2 2 2   x x x x x x x2 Voorbeeld 2: Schrijf zonder breuk in de noemer

y

4x x  1 4 x( x  1)  4x   x 1 x 1 x 1  x 1  x 1   


8

14.2 Breuken en wortels [2] Voorbeeld : Schrijf zonder breuk in de noemer

T

600a 600a  3b 1800ab 1800ab    a2  a2 15b  a2 a2  2 5b  5b    3b 15b   3b  3b  3b 3b 


en b ≠ 0

9

14.2 Breuken en wortels [3] Bij breuken geldt de volgende regel: A A C A  C    A  BC   B B B 1 C Je mag B en C dus verwisselen. Voorbeeld 1: Schrijf als functie van A 500 B 5 500 A6  B 5 500 B 5 A6 500 B 5 A6 A6


10

14.2 Breuken en wortels [3] Voorbeeld 2: Schrijf als functie van A B 6 B 5 B  6  A( B  5) B  6  AB  5 A A

Kruislings vermenigvuldigen

B  AB  6  5 A B(1  A)  6  5 A 6  5 A B 1 A


11

14.2 Breuken en wortels [4] Bij het herleiden van wortels gelden de volgende regels: A  B  A  B 2 met B  0 A  B  AB met A  0  B  0 A A  met A  0  B  0 B B

Voorbeeld 1: y  2x  3

1 x 2

y  2x  3

2x 4

y  2x  3

2x 4

y  2x  3

2x 2

y  2x 

3 1 2x  2 2x 2 2


12

14.2 Breuken en wortels [4] Voorbeeld 2: y  x x 1  2

y

x2  1

2

x2  1

x( x 2  1)

x 1 x2

y  x x 1  y

x2



x 1 x3  x  x2 2

2



x2 x2  1

x2  1

x2  1


13

14.2 Breuken en wortels [5] De volgende regel geldt: Uit √A = B volgt A = B2 met B ≥ 0 Voorbeeld:

y 2 x 6 2 x 6  y 4( x  6)  y 2

Gebruik: uit √A = B volgt A = B2

4 x  24  y 2 4 x  y 2  24 x

1 2 y 6 4


14

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [1] Herhaling van rekenregels voor machten: a a  a p

  ap

q

q

q

a  a 1 2

ap [1] q  a pq a

[2]

 a pq [3] (ab)p  a pbp [4]

a0  1 1 q

p q

a  a

als a  0[5] a  p  p q

1 [6] ap

q

[7] a  a p [8] [9]


15

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [1]

a a  a p

q

  ap

q

q

a  a 1 2

ap [1] q  a pq a

[2]

 a pq [3] (ab)p  a pbp [4]

a0  1 1 q

p q

a  a

als a  0[5] a  p  p q

1 [6] ap

Voorbeeld 1: Herleid de formule tot de vorm T = axp T  (2x 0,6 )4  3x 1,7  T  16 x

2,4

T  48 x 0,7

 3x

1,7



Rekenregel [4] Rekenregel [1]

q

[7] a  a p [8] [9]


16

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [1] Voorbeeld 2: x  7  x  3 7  7 3

1 3

x  19  x  19  19 5

x

5

3,4

 10  x 

3,4

1 5

10  10

1 3,4

In zijn algemeenheid geldt nu dus: x  a  x  n a  a n

1 n

Voorbeeld 3: x  8  x  82  64 5

x  3  x  35  243

In zijn algemeenheid geldt nu dus:

n

x  a  x  an


17

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [1] Voorbeeld 4: Schrijf y = 3x2,3 in de vorm x = ayn. 3x 2,3  y x 2,3 

Delen door het getal voor x.

1 y 3

1  x  y 3  1 x   3

1 2,3

1 2,3

 y

1 2,3

Gebruik:

x  a  x  n a  a

Gebruik:

 ab

n

p

1 n

 apbp [4]

x  0,62 y 0,43


18

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [1] Voorbeeld 5: Schrijf y = 0,5 · 3 x - 7 in de vorm x = …. 0,5  3 x  7  y 0,5  x  y  7 3

3

x  2 y  14

x  (2 y  14)3

Losse getallen naar rechts

Delen door het getal voor de wortel Links en rechts tot de macht 3 nemen.


19

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [2] We hebben de functie f(x) = 2x De oplossing van de vergelijking f(x) = 8 is 3. Bestaat er nu een functie g(x) zodat geldt: g(8) = 3? Ja, en dit is de functie: g(x) = 2log(x). De oplossing van de vergelijking g(8) = 2log(8) = 3. Of in woorden: Tot welke macht moet je 2 verheffen om 8 te krijgen. Er geldt dus: Uit 2x = 8 volgt 2log(8) = x 2log(8) = 2log(2x ) = x Hieruit valt af te leiden: De macht en de logaritme “vallen als het ware tegen elkaar weg”. In het algemeen geldt: Hieruit valt af te leiden:

Uit glog(y) = x volgt y = gx glog(y) = glog(gx ) = x


20

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [2] Voorbeeld: Herleid de formule 2 ∙ log(N) = 9 – 3k tot de vorm N = b ∙ gk 2  log( N )  9  3k log( N )  4,5  1,5k

Zorg dat de logaritme links staat en de rest rechts Voor de logaritme mag geen getal staan

N  104,51,5k

Maak van de logaritme een machtsfunctie

N  104,5  101,5k

Gebruik de rekenregels voor machten.

N  104,5  (101,5 )k N  32.000  0,032k


21

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [3] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: (1)

g

(2)

g

(3)

g

g

log(a) 

p

log(a) p log( g)

log(ab)  log(a)  log(b)

(4)

a log    g log(a)  g log(b) b

(5)

a  g log( ga )

log(an )  n  g log(a)

(6)

glog(x)

g

g

= y volgt x = gy

Voorbeeld 1:

2x  12 log(2x )  log(12) x  log(2)  log(12) x

Neem links en rechts de logaritme (3)

g


log(12)  3,58 log(2) Willem-Jan van der Zanden

22

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [3] Voorbeeld 2: Herleid de formule y = 2 ∙ 3x tot de vorm log(y) = ax + b y  2  3x

Neem links en rechts de logaritme log( y )  log(2  3x ) log( y )  log(2)  log(3x )

Gebruik de rekenregels voor logaritmen.

log( y )  log(2)  x  log(3) log( y )  0,48 x  0,30


23

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [3] Voorbeeld 3: Herleid de formule N = 2,18 ∙ (1,15)2t-3 tot de vorm t = a ∙ log(N) + b 2,18  (1,15)2t 3  N (1,15)2t 3 

N 2,18

Neem links en rechts de logaritme.

N ) 2,18 (2t  3)log(1,15)  log( N )  log(2,18) log((1,15)2t 3 )  log(

log( N ) log(2,18)  log(1,15) log(1,15) log( N ) log(2,18) 2t   3 log(1,15) log(1,15) log( N ) log(2,18) 3 t   2 log(1,15) 2 log(1,15) 2 t  8,24log( N )  1,29

Gebruik (3) en (2)

2t  3 


g

g



24

14.3 Machten, exponenten en logaritmen [4] Voorbeeld 1: Maak x vrij bij de formule y = ½ln(3x – 1) + 1

y = ½ ln(3x – 1) + 1 ½ ln(3x – 1) = y – 1 ln(3x – 1) = 2y – 2 3x – 1 = e2y – 2 3x = 1 + e2y – 2 x = 1/3 + 1/3e2y - 2

elog(A)

= ln(A) = B geeft A = eB

Voorbeeld 2: Herleid log(N) = 2,6 + 0,4log(t) tot de vorm N = a ∙ tb log( N )  2,6  0,4log(t ) N  102,60,4log( t ) N  102,6  100,4log( t ) N  102,6  10log( t

0 ,4

)

N  102,6  t 0,4 N  398  t 0,4


25

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [1] Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

2x  y  3 3   3 x  2 y  6   2

Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de “x-en tegen elkaar wegvallen”

6 x  3 y  9   6 x  4 y  12     7 y  21 y 3 Invullen van y = 3 geeft x = 0, dus (0, 3) is het snijpunt.


26

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [1] Voorbeeld 2: Los algebraïsch op: y = x2 + 4 ⋀ 9x + 3y = 6 Er is nu een stelsel van vergelijkingen met een kwadratische vergelijking. Er is nu een oplossing te vinden door de ene vergelijking in de andere vergelijking in te vullen (substitutie). 9x + 3y = 6 9x + 3(x2 + 4) = 6 9x + 3x2 + 12 = 6 3x2 + 9x + 6 =0 x2 + 3x + 2 = 0 (x + 2)(x + 1) = 0 x = -2 ˅ x = -1 Invullen van x = -2 geeft y = 8, dus (-2, 8) is een oplossing; Invullen van x = -1 geeft y =5, dus (-1, 5) is een oplossing. Willem-Jan van der Zanden

27

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [1] Voorbeeld 3: 2x  a De grafiek van y  gaat door de punten (-3, -3) en (0, 1½). x b Bereken a en b algebraïsch. Stap 1: Stel een stelsel van vergelijkingen op door de punten (-3, -3) en (0, 1½) in de gegeven functie in te vullen. 6  a . Hieruit volgt: 6  a  3 3  b (1) 3  b 1 a 1 b 2 1 a Invullen van (0, 1½) geeft: 1  . Hieruit volgt: (2) 9 2 a  b 2 b 4 4 b  a2 9

Invullen van (-3, -3) geeft: 3 


28

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [1] 6  a  3 3  b Stap 2: Vul vergelijking (2) in vergelijking (1) in: 4 6  a  3 3  a2 9

Stap 3: Los deze vergelijking op: 4 6  a  3 3  a2 9 4 36  12a  a2  9( 3  a2 ) 9 36  12a  a2  27  4a2

Links en rechts kwadrateren

3a2  12a  63  0 a2  4a  21  0 (a  3)(a  7)  0 a  3  a  7 Willem-Jan van der Zanden

29

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [1] Stap 4: Geef de oplossing van het stelsel van vergelijkingen. a = 3 invullen in a  1

1 b geeft 2

1 b 2 1 92 b 4 b4

31

a = -7 invullen in a  1

1 1 b geeft 7  1 b 2 2

Deze vergelijking heeft geen oplossing. De uitkomst a = -7 voldoet dus niet.


30

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [2] Voorbeeld: Bereken de primitieven van f ( x ) 

x 8 x 8  x 2  x  2 ( x  1)( x  2)

Stap 1: Merk op dat je deze functie niet kunt primitiveren op de manieren zoals geleerd. Dit is op te lossen door de functie f als volgt te schrijven: f ( x ) 


a b  x 1 x  2

31

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [2] Stap 1: a b   x 1 x  2 a( x  2) b( x  1)   ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) a( x  2)  b( x  1)  ( x  1)( x  2) ax  2a  bx  b  ( x  1)( x  2) (a  b)x  2a  b ( x  1)( x  2) We kiezen a en b nu zodanig dat (a + b)x + 2a – b gelijk is aan x + 8 Er geldt nu: a + b = 1 en 2a – b = 8 Willem-Jan van der Zanden

32

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [2] Stap 2: Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op:  ab 1  2a  b  8   3a  9 a 3 Invullen van a = 3 in a + b = 1 geeft b = -2. De vergelijking f ( x )  f (x) 

x 8 x 8 kan dus geschreven worden als:  2 x  x  2 ( x  1)( x  2)

a b 3 2   met a = 3 en b = -2. Dit geeft: f ( x )  x 1 x  2 x 1 x  2


33

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [2] Stap 3: 3 2 f ( x )   Primitiveer de functie x 1 x  2 F(x) = 3 ln|x-1| - 2ln |x+2| + c


34

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [3] Voorbeeld 1: Bereken de oplossing van: x2 + ln(x – p) = 2x ⋀ 2ln(x – p) = 3 – x2 x2 + ln(x – p) = 2x kan geschreven worden als: ln(x – p) = 2x – x2

De uitdrukking voor ln(x – p) kan nu in de andere vergelijking worden ingevuld. Vervolgens blijft een kwadratische vergelijking over om op te lossen. 2ln(x – p) = 3 – x2 2(2x – x2) = 3 – x2 4x – 2x2 = 3 – x2 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x=1˅x=3


35

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [3] Voorbeeld 1: Bereken de oplossing van: x2 + ln(x – p) = 2x ⋀ 2ln(x – p) = 3 – x2 Invullen van x = 1 in: ln(x – p) = 2x – x2 geeft

ln(1 – p) = 2 ∙ 1 - 12 ln(1 – p) = 1 1 – p = e1 p=1–e

elog(A)

= ln(A) = B geeft A = eB

Invullen van x = 3 in: ln(x – p) = 2x – x2 geeft ln(3 – p) = 2 ∙ 3 - 32 ln(3 – p) = -3 3 – p = e-3 p = 3 – e-3


36

14.4 Stelsels vergelijkingen gebruiken [3] Voorbeeld 2: 2 2 Bereken de oplossing van: axe1x = x2 – 8 ⋀ ae1x = 2 2

2 1 x Invullen van ae = 2 in axe1x = x2 – 8 geeft:

x ∙ 2 = x2 – 8 x2 – 2x – 8 = 0 (x + 2)(x – 4) = 0 x = -2 ˅ x = 4 2

Invullen van x = -2 in ae1x = 2 geeft: 2

ae1( 2)  2 ae 3  2 a  2e3 2

Invullen van x = 4 in ae1x =2 geeft als oplossing: a = 2e15 Willem-Jan van der Zanden

37

14 Samenvatting Bijzondere vergelijkingen: 1: AB = 0 => A = 0 of B = 0 2: A2 = B2 geeft A = B of A = - B 3: AB = AC geeft A = 0 of B = C 4: AB = A geeft A = 0 of B = 1

Merkwaardige producten: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (A + B)(A – B) = A2 – B2

A C   AD  BC B D A  C  A  BC B A  0  A  0 B A A   A  0  B  C met B  0, C  0 B C A C   A  C  B  0 B B


38

14 Samenvatting A  B  A  B 2 met B  0 B  AB met A  0  B  0

A

A A  met A  0  B  0 B B

Uit √A = B volgt A = B2 met B ≥ 0 a p aq  a pq [1]

a  p

q

a

pq

a0  1

p

a pq  a aq

[2]

[3] (ab)  a b [4] p

p p

1 q

als a  0[5] a  p 

q

a  a 1 2

a  a x  a  x  n a  a n

n

p q

1 [6] p a

q

[7] a  a p [8] [9]

1 n

x  a  x  an Willem-Jan van der Zanden

39

14 Samenvatting Uit glog(y) = x volgt y = gx

Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: (1)

g

(2)

g

(3)

g

log(ab)  log(a)  log(b)

(4)


(5)


(6)

g

g

g

log(a) 

p

log(a) p log( g)

a  g log( ga ) glog(x)

= y volgt x = gy

•Als in een gebroken functie de discriminant van de noemer groter is dan 0 kun je deze schrijven in de vorm (x + p)(x + p). Herschrijf de breuk nu naar de vorm: f ( x ) 

a b  x  p x q


40

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

Recommend Documents