Vergelijkingen en hun oplossingen x + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter x. Alleen als we voor de variabele x het getal 2 invullen klopt het resultaat: 2 + 3 = 5. Je zou het getal 2 daarom `de waarmaker' van de vergelijking kunnen noemen. In plaats van `de waarmaker' spreken we over de oplossing. Het getal 2 is dus de oplossing van de vergelijking x + 3 = 5. Je kunt ook zeggen: x = 2 is de oplossing van de vergelijking x + 3 = 5. a. 4 is de oplossing van de vergelijking 5 a = 20. Waar of niet waar? b. y = 5 is de oplossing van de vergelijking y + 5 = 15. Waar of niet waar?
Nagaan of een getal een oplossing is van een vergelijking Is x = 5 een oplossing van de vergelijking 2 + 3x = 17? Om dat na te gaan, hoef je het getal 5 alleen maar in te vullen voor de variabele x. Je krijgt dan: ? 2 + 3 • 5 = 17 en dat is waar . Let op de betekenis van 3x: 3x = 3 × x = 3 • x = 3 maal x . Dus x = 5 is een oplossing van de vergelijking 2 + 3x = 17. In plaats van invullen gebruikt men ook wel het woord substitueren. Is x = -2 een oplossing van de vergelijking 4 + x = 2x + 8 ? Om dat na te gaan substitueer je het getal -2 voor de variabele x (op twee plaatsen!). Je krijgt dan: ? 4 + -2 = 2 × -2 + 8. Is dat waar? Nee, want de linker kant geeft 2 als resultaat (want 4 + -2 = 2) en de rechter kant geeft 4 als resultaat (want 2 × -2 + 8 = 4). Dus x = -2 is geen oplossing van de vergelijking. 2. a. Is p = 10 een oplossing van de vergelijking 2p + 50 = 30 + 3p ? b. Is s = -3 een oplossing van de vergelijking 10 - 5s = 28 + s ? c. Is x = 0 een oplossing van 2x +10 = 4x + 10 ?
Eerstegraads vergelijkingen systematisch oplossen Alle vergelijkingen hierboven waren eerstegraads vergelijkingen (er kwamen geen vormen in voor zoals x 2, √x . 5 x ). Ook in het vervolg van dit onderdeel zullen we alleen kijken naar eerstegraads vergelijkingen (en eerstegraads ongelijkheden). Een eerstegraads vergelijking heeft meestal één oplossing. Als je de oplossing van een eerstegraads vergelijking wilt vinden, dan is het verstandig om de vergelijking op een systematische manier op te lossen. We leggen deze methode uit met het zogenaamde ‘weegschaalmodel’.
De balansweegschaal Hiernaast zie je een balansweegschaal waarmee tot in de vijftiger jaren van de vorige eeuw ook in Nederland vaak werd gewogen. Het principe is je vast wel duidelijk. Het oplossen van (eerstegraads-) vergelijkingen leggen we uit met het zogenaamde weegschaalmodel. In het linkerschaaltje van de weegschaal hieronder liggen 3 kogeltjes met alle een gelijk maar nog onbekend gewicht van x gram. Daarnaast liggen er ook nog 3 één-grams kogeltjes. In het rechterschaaltje ligt één zo’n x-grams kogeltje en zeven ééngrams kogeltjes. Als we links en rechts maar hetzelfde doen: hetzelfde weghalen of er bij leggen óf met hetzelfde vermenigvuldigen of door hetzelfde delen, blijft de weegschaal in evenwicht ( dus wiskundig het =-teken gelden). We vinden dat het gewicht x twee gram moet zijn door de volgende stappen: 1
x
1
1
1
x
x
x
1
1
1
1
1
1 Één xgramskogeltje weghalen
Één xgramskogeltje weghalen
1
x
x
1
1
1
1 1
1
1
1
1
Drie 1gramskogeltjes weghalen
Drie 1gramskogeltjes weghalen
x
x
1
1
1
1
Delen door 2
Delen door 2
x
In de veel bondiger wiskundige notatie:
1
1
-x -3
3x + 3 = x + 7 2x + 3 = 7
-x
.
-3
2x = 4
÷2
x = 2
÷2
Door de gevonden oplossing in de oorspronkelijke vergelijking in te vullen, controleer je of de gevonden oplossing correct is: ? 3•2+3 =2+7 En jawel: 9 = 9 De essentie bij het oplossen.is dus dat je bij elke stap aan twee kanten van het = teken het zelfde doet: je telt aan de linker kant een getal op en aan de rechter kant tel je hetzelfde getal op. Of je vermenigvuldigt aan de linker kant met een getal en aan de rechter kant vermenigvuldig je met het zelfde getal. In plaats van optellen kan je ook aftrekken, in plaats van vermenigvuldigen kan je ook delen1. Nog een voorbeeld zal het verduidelijken: Los op: 3 + 5x = 3x - 5 Oplossing ( bedenk en schrijf er eventueel zelf de ondernomen acties bij): 3 + 5x = 3x - 5 3 + 5x - 3 = 3x - 5 - 3 5x = 3x - 8 5x - 3x = 3x - 8 - 3x 2x = -8 x = -4 Overigens worden de tweede en vierde regel vaak niet opgeschreven. Ook valt het je hopelijk op dat de ondernomen acties worden ingegeven door de gedachte: “ Hoe kom ik zo snel mogelijk in de situatie van: een getal × x = een getal ? ” Ook hier weer: om na te gaan of x = -4 inderdaad de oplossing is van de vergelijking 3 + 5x = 3x - 5, kan je weer substitueren. Je krijgt dan: 3 + 5 × -4 = 3 × -4 - 5. Klopt dit? Ja, want de linker kant is gelijk aan -17 en de rechter kant óók. Dus x = -4 is de oplossing van de vergelijking. 3. Kan je de oplossing ook vinden als je begint met aan beide kanten 3x af te trekken? 4. a. b. c. d. 1
Los op: 3 – x = 2x + 1 5p = 2 - 3p 6t + 4 =3t – 2 5 + 3a = -7
Let op: bij delen kan je (natuurlijk) niet delen door 0
5. a. b. c. d.
Los op: 3x – 5 = 10 -3q – 5 = 1 x+3=3–x ௫ + x + 1 =4 ଶ
Eerst haakjes wegwerken Bij vergelijkingen met haakjes is het meestal handig om eerst de haakjes weg te werken. Je gebruikt: a (b + c ) = ab + ac
Een voorbeeld: Los op: 3 ( x + 2 ) = 24 - x Oplossing: 3 ( x + 2 ) = 24 - x 3x + 6 = 24 – x 3x + 6 – 6 =24 – x - 6 3x = 18 - x 3x + x = 18 – x + x 4x = 18 x = 4½ 6. a. b. c. d.
Los op: 2 ( x - 1 ) = -x + 2 4(y–1)=y–1 -3 ( 2x – 1 ) = 3 – x 2(p–1)=2(p+l)
7. a. b. c. d.
Los op: 5(k + l ) + 2k = 5k – 4 8( x + 2 ) = 3x + 1 4(t + 3 ) - 2(t + 4) = 5t – 26 2(x - 1) + 1 = 2x – 1
Ongelijkheden In een wiskundige ongelijkheid komt er geen gelijkheids-teken maar een ongelijkheidsteken voor. Daar zijn vier vormen van: > : betekent “groter dan” < : “kleiner dan” ( eventuele hint: je kunt er een |< (k) van maken) ≤ : “kleiner dan of gelijk aan” ≥ : “groter dan of gelijk aan” Het oplossen van eerstegraads ongelijkheden kan je op twee manieren uitvoeren:
Methode 1 Deze methode is dezelfde als de oplossingsmethode van vergelijkingen zoals hierboven uitgevoerd; we doen het aan de hand van hetzelfde voorbeeld maar nu is het een ongelijkheid.
Los op: 3x + 3 ≤ x + 7 We zoeken nu dus waarden voor x waarbij “3x + 3” kleiner dan of gelijk is aan “x + 7”
Oplossing:
-x -3
3x + 3 ≤ x + 7 2x + 3 ≤ 7
.
2x ≤ 4
÷2
x ≤ 2
-x -3 ÷2
Ga maar na: een x kleiner dan 2 is bijvoorbeeld 0 en als je 0 invult voor x krijg je: ? 3· 0 + 3 ≤ 0 + 7 en inderdaad is: 0 ≤ 7
Je ziet dat de oplossingsmethode gelijk is aan die van eerstegraads vergelijkingen. Let op: Er in één addertje onder het gras: bij vermenigvuldigen met of delen door een negatief getal klapt het teken om. Kijk maar naar het volgende: Vanzelfsprekend geldt bijvoorbeeld:
÷3
9 ≤ 12 3 ≤ 4
maar:
÷ -3 ÷3
9 ≤ 12 ? -3 ≤ -4
÷ -3
Nee, dat klopt niet, wel geldt:
÷ -3
9 ≤ 12 -3 ≥ -4
÷ -3
Het teken klapt om! Voorbeeld: Los op: 12 x 2 2 x 6 Oplossing: 1 2
x 2 2x 4 x 4 4x 8 x 4x 4 3x 4 x 43 x 1 13
We hebben de actie-pijlen nu weggelaten. 8. Wat is er in de handige eerste stap gedaan?
Methode 2 ( Als je nog niet bekend bent met de grafische rekenmachine (GR) moet je eerst dat onderdeel bestuderen!) Methode 2 ga je in de toekomst bij het oplossen van alle andere ongelijkheden ook gebruiken. Ze bestaat uit twee stappen en maakt bij de tweede stap gebruik van de GR.
Nogmaals ons eerste voorbeeld: Los op: 3x + 3 ≤ x + 7 Oplossing: Stap 1: Los eerst de bijbehorende vergelijking op; hier dus: 3x + 3 = x + 7 Dat leverde op: x =2 Stap 2: Voor het oplossen van de ongelijkheid: 3x + 3 ≤ x + 7 gebruiken we de GR:
Voer het linkerlid van de ongelijkheid (dat wil zeggen de vorm links van het ongelijkheidsteken) als Y1 en het rechterlid als Y2 op je GR in. Kies bij WINDOW voor Xmin en Xmax waarden rond de oplossing van de vergelijking ( in ons voorbeeld bijvoorbeeld -5 resp. 5; handig is vaak om ook x = 0 in beeld te hebben; dan zie je namelijk ook de y-as ) en kies vervolgens in het ZOOM-menu voor ZoomFit. Nu krijg je het volgende plaatje:
Hierin kan je wat je weet erbij schrijven:
y2=x+7 2 y1=3x+3
We willen weten voor welke x de grafiek van y1 = 3x+3 gelijk valt met of onder de grafiek van y1 = x+7 ligt; dat lees je makkelijk af uit de figuur:
y2=x+7 2 y1=3x+3
De oplossing is dus: x ≤ 2
9. a. b. c. d. e. f.
Los op: 2x + 6 < 14 2x – 5 > x –x < 0 6 - 8x > 3 -2x ଵ x - 5 < -x + 4 ଶ 3(a+1) +1 > 5(a+2)
Antwoorden: 1. a. b. c. 2. a. b. c. 3. a. 4. a. b. c. d. 5. a. b. c. d. e.
p=6 waar niet waar Nee Ja Ja Ja x=
ଶ ଷ ଵ
p= ସ t = -2 a = -4 x=5 q = -2 x=0 x=2 a < -3
6. a. b. c. d. 7. a. b. c. d. 8. 9. a. b. c. d. e.
ଵ
x=1 ଷ y=1 x=0 geen oplossing ଵ
k = -4 ଶ x = -3 t = 10 elk getal is oplossing links en rechts met twee vermenigvuldigd x< 4 x>5 x>0 ଵ x< ଶ x<6
