Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) hoofdstuk 4 : Oplossen ongelijkheden van 1egr met 1 onb in |R

- 113 -

Naam: ……………………………………….…

Hoofdstuk 4 :

Ongelijkheden

1. Ongelijkheden Vul in met < of > : 0,4 ........ 0,07

we zeggen dat 0,4 ........................... is dan 0,07

-1,1 ......... -1,5

we zeggen dat -1,1 ......................... is dan -1,5

1 1 ............. 7 8

we zeggen dat ................................ is dan ........

2 ............ -11

we zeggen dat ................................. is dan .....

-11 ............. 2

we zeggen dat ................................. is dan .......

Stellen a en b niet hetzelfde getal voor dan is: a ....... b “ a is ......................................................... ... b” We spreken van een ONGELIJKHEID.

Stellen a en b niet hetzelfde getal voor dan is: a ............ b “ a is ................................ ......b”

of of

a ..............b

“ a is ................................ .......b”

We spreken hier ook van een ONGELIJKHEID.

Opmerkingen: a) Een ongelijkheid kan ..................... zijn of .......................... vb. 3 – 5 ≠ 5 - 3 : ................................ 2 + 3 > 0,7 : ................................ 12 > 2 . 6,5 : ................................ 1 1 < 4 5

: ................................

Benamingen

≠ , > , < , ≤ , ≥ zijn ongelijkheidstekens wat links van het ongelijkheidsteken staat noemen we het linkerlid (LL) wat rechts van het ongelijkheidsteken staat noemen we het rechterlid (RL)


- 114 -

Naam: ……………………………………….… b) Voorbeeld : 2 < 3 dan is 3 > 2

Algemeen:

aa

c) De logische of

a≤b ⇔ a =b ∨ ab

Voorbeeld: ...................................................................................... .....................................................................................

Vul aan : ( opgaven zie boek pag 82 nr. 4) a.

j.

a b en b ≠ c ⇒ a ........c k.

a < c en c < d ⇒ a ........d c.

a a ⇒ a ........b l.

a < c en c ≤ d ⇒ a ........d d.

a ≤ b en b ≤ a ⇒ a ........b m.

p < q en s > q ⇒ p ........s e.

a < 2 en b > 3 ⇒ a ........b n.

p < q en p < q ⇒ q ........s f.

a > 2 en b > 3 ⇒ a ........b o.

a ≤ b en a ≠ b ⇒ a ........b g.

a < 7 en a = 7 ⇒ a ........7 p.

a = b en c > a ⇒ b ........c h.

a ≤ 3 en b ≥ 3 ⇒ a ........b q.

a ≥ b en b = c ⇒ a ........c i.

a > 0 of a < 0 ⇒ a ........0 r.

a ≥ b en a = c ⇒ b ........c

a ≥ 0 en a ≤ 0 ⇒ a ........0


- 115 -

Naam: ……………………………………….… 2. Verenigbaarheid van de ongelijkheden met de optelling en de aftrekking in |R Vul aan :

Erwin is jonger dan Ivo Over 5 jaar is Erwin ................................. dan Ivo Drie jaar geleden was Erwin ............................. dan Ivo

De teller van de wagen van Ivo heeft minder kilometers dan de teller van de wagen van Rika. Beiden rijden 100 km. De teller van de wagen van Ivo heeft hierna ................................ kilometers dan de wagen van Rika.

Zijn volgende uitspraken waren uistpraken? 2 + 9 < 12

⇔ 2 + 9 + 6 < 12 + 6 2 + 9 >7

⇔ 2 + 9 + 6 > 7+ 6 2 + 1 >− 5

⇔ 2 + 1 − 3 > −5 − 3

waar .................

waar .................

waar .................

Algemeen:

ab⇔a+c>b+c

Merk op : Deze eigenchap geldt ook voor ≤ , ≥

Voorbeeld: Bepaal x in de volgende uitdrukking x −3 ≥2 ⇔ x ≥ ................


- 116 -

Naam: ……………………………………….… 3. Verenigbaarheid van de ongelijkheden met de vermenigvuldiging en de deling

in |R (boek pag 83) Instap: Bij een steunactie worden stickers van 2 EUR verkocht.

Voor de verkoper is dit een inkomen Bij een stijgend aantal verkochte stickers hoort een ........................... van het bezit:

a < b

2a ............... 2b

⇔

aantal verkochte stickers

wijziging van het bezit

Voor de koper is dit een uitgave: Bij een stijgend aantal gekochte stickers hoort een .......................... van het bezit:

a 4 ⋅

(+ 3 )

want

(− 3)

want − 6 > − 12

6 < 12

Algemeen: a
met c is een strikt positief getal

a >b⇔ a.c < b⋅c

met c is een strikt negatief getal

Merk op : Deze eigenschap geldt ook ≤ , ≥

Toepassing: Bepaal x in de volgende uitrdukkingen 5 x < 15 ⇔ .................................................... − 12 x ≥ 24 ⇔ ............................................... − 3 x ≤ − 18 ⇔ ...................................................

7 x > − 49 ⇔ ........................................................


- 117 -

Naam: ……………………………………….… 4. Oplossen van een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende

a.

Uitgewerkt voorbeeld: x+3 <7

Stap 1: ...........................................

⇔ x+3 −3<7−3

Stap 2: ............................................

⇔x < 4

Opl =

{ x ∈ |R |

Proef: ..............................................

x<4

}

.........................................................

Voorstelling van de oplossingsverzameling op de getallenas

|R

Voorstelling van de oplossingsverzameling door een interval:

]−∞, 4 [ ......................................................................

b.

4 x > 24

⇔

Stap 1: ...........................................

4x 24 > 4 4

Stap 2: ............................................

Proef: ..............................................

⇔x > 6 Opl =

{ x ∈ |R |

x >6

} .........................................................


- 118 -

Naam: ……………………………………….… Voorstelling van de oplossingsverzameling op de getallenas

|R

Voorstelling van de oplossingsverzameling door een interval: .........................

c.

− 3 x > 12

⇔

Stap 1: ...........................................

− 3x 12 < −3 −3

Stap 2: ............................................

Proef: ..............................................

⇔x < −4 Opl =

{ x ∈ |R |

x < −4

} .........................................................


|R


d.

y >5 −5 ⇔ (− 5)

Stap 1: ........................................... y −5

Stap 2: ............................................

< 5 (− 5)

Proef: ..............................................

⇔ y < − 25 Opl =

{ y ∈ |R |

y < − 25

} .........................................................


|R



- 119 -

Naam: ……………………………………….…

e.

b >0 −6

Stap 1: ...........................................

⇔ ............. < ..............

Stap 2: ............................................

⇔ ..................

Opl =

{ b ∈ |R |

Proef: ..............................................

..............

}

.........................................................


|R


f.

Stap 1: ...........................................

−6 + z > 0 ⇔ .............

..............

Stap 2: ............................................

⇔ ..................

Opl =

{ z ∈ |R |

Proef: ..............................................

..............

}

.........................................................


|R



- 120 -

Naam: ……………………………………….… Samenvatting:

Ongelijkheden

a ........

De logische of a ≤ b ⇔ a = b ∨ ............... a ≥ b ⇔ a = b ∨ .................

Verenigbaarheid van de ongelijkheden met de optelling en de aftrekking in |R a b ⇔ a + c > ......................

Verenigbaarheid van de ongelijkheden met de vermenigvuldiging en de deling in |R a b ⇔ a . c < ..........

met c is een strikt .................. getal

Studiehulp: •

Maak de oefeningen die we in de klas gemaakt hebben opnieuw en controleer jezelf door de oplossingen te vergelijken met de oplossingen in je werkschrift.

•

Werk steeds met

Voldoende structuur en orde. Plaats de gelijkwaardige ongelijkheden onder elkaar met een gelijkwaardigheidsteken ( ⇔ ). Werk stap per stap ( door teveel stappen in één overgang maak je snel fouten). •

Maak steeds een proef. Let erop dat de proef bij een ongelijkheid niet waterdicht is maar wel een goede aanwijzing.

•

Vergeet de oplossingsverzameling niet te noteren (oplossingsverzameling, voorstelling op de getallenas en door een interval)

•

Maak de toets jezelf oefeningen uit je map op de volgende pagina (map pag 96 )


- 121 -

Naam: ……………………………………….…

Toets jezelf !!!!!

Opgave ( zie boek pag 91 nr. 11) Oplossing a.

x−7<7

x < 14

b.

2 y < − 12

y < −6

c.

5 + y > −5

y > − 10

d.

5y > − 5

y > −1

e.

−2 + a < 4

a<6

f.

a > −2 − 2a < 4

g. h.

i.

a 1 > 6 2

2a >

1 3

a>3

a>

1 6

b >0 −6

b<0

−b < −2

b>2

x 1 < 4 2

x<2

j.

k. l.

−

x < 0,5 4

x > −2

m.

y − 2 < −2

y<0

n.

a < −3 3

a < −9

o. − p.

1 x >2 5

5x < − 2

x < − 10 x<

−2 5

Evaluatie


- 122 -

Naam: ……………………………………….… 4. Oplossingsmethode voor een ongelijkheid van de eerste graad met één

onbekende ( boek pag 92) a.

Uitgewerkt voorbeeld:

(boek pag 94 nr. 14)

3x − 1 < 8

Stap 1: .............................................

⇔ 3x − 1 + 1 < 8 + 1

Stap 2 : .............................................

⇔ 3x < 9

Stap3 : .............................................

3x 9 < 3 3

Stap 4 : ............................................

⇔

Proef : ..............................................

⇔ x<3 Opl =

{ x ∈ |R |

..............

}

.........................................................


|R

Voorstelling van de oplossingsverzameling door een interval: ......................... b. − 2y + 1 ≥ − 5

Stap 1: .............................................

⇔ ...................................

Stap 2 : .............................................

⇔ ....................................

Stap3 : .............................................

⇔ .....................................

Proef : ..............................................

Opl =

{

y ∈ |R | ..............

}

.........................................................


|R



- 123 -

Naam: ……………………………………….…

c. 1 − 3z > 2 z + 4

Stap 1: .............................................

⇔ ..........................................

Stap 2 : .............................................

⇔ ..........................................

Stap3 : .............................................

⇔ ..........................................

Stap 4: .............................................

⇔ ......................................... ⇔ .........................................

{ z ∈ |R |

..............

Stap 6 : .............................................

Proef : ..............................................

⇔ ........................................

Opl =

Stap 5 : .............................................

}

.........................................................


|R


Studiehulp: •


•

Maak steeds een proef. Let erop dat de proef bij een ongelijkheid niet waterdicht is maar wel een goede aanwijzing.

•

Vergeet de oplossingsverzameling niet te noteren (oplossingsverzameling, voorstelling op de getallenas en door een interval)

•

Maak de toets jezelf oefeningen uit je map op de volgende pagina. Hier neem ik afscheid van jullie, maar vergeet niet dat als je beide leden vermenigvulgdigt of deelt met een neg getal dat je het ongelijkheidsteken moet omkeren


- 124 -

Naam: ……………………………………….…

Toets jezelf !!!!!

a.

Opgave ( zie boek pag 94 nr. 14) x + 6 < 4x

Oplossing x>2

b.

3y + 7 ≤ 4

y ≤ −1

c.

4z + 5 < 2z − 1

z < −3

d.

8 + a > 2a − 3

a < 11

e.

12 − a < 9 − 5a

f.

4b + 1 ≤ 6b + 3

b ≥ −1

g.

5b + 7 ≥ 3b − 5

b ≥ −6

a<−

Evaluatie

3 4

5. Olossingsmethode voor ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende en haakjes in de uitdrukking.

a.

Uitgewerkt voorbeeld: (pag 95 nr. 15)

5 (x + 2 ) < 2 + 4 x

Stap 1: .............................................

⇔ 5 x + 10 < 2 + 4 x

Stap 2 : .............................................

⇔ 5 x + 10 − 4 x < 2 + 4 x − 4 x

Stap3 : .............................................

⇔ x + 10 < 2

Stap 4: ............................................. Stap 5 : .............................................

⇔ x + 10 − 10 < 2 − 10

Proef : ..............................................

⇔ x < −8

.........................................................

Opl =

{ x ∈ |R |

..............

}

.........................................................


- 125 -

Naam: ……………………………………….… Voorstelling van de oplossingsverzameling op de getallenas

|R


b.

3

(

6− x

) ≤ 2 (8 − x )

Stap 1: .............................................

⇔ ..........................................

Stap 2 : .............................................

⇔ ...........................................

Stap3 : .............................................

⇔ ...........................................

Stap 4: .............................................

⇔ ........................................... ⇔ ........................................... ⇔ ...........................................

Stap 5 : ............................................. Stap 6 : .............................................

Proef : ..............................................

.........................................................

......................................................... Opl =

{ x ∈ |R |

..............

} .........................................................


|R



- 126 -

Naam: ……………………………………….…

c.

8x + 1 < 3

(

x + 2)

Stap 1: .............................................

⇔ ..........................................

Stap 2 : .............................................

⇔ ............................................

Stap3 : .............................................

⇔ ............................................

Stap 4: .............................................

⇔ ............................................

Proef : ..............................................

.........................................................

Opl =

{ x ∈ |R |

..............

}

.........................................................

......................................................... Voorstelling van de oplossingsverzameling op de getallenas

|R


d.

(3 x

−5

)−(

x − 9)> x

Stap 1: .............................................

⇔ ..........................................

Stap 2 : .............................................

⇔ ............................................

Stap3 : .............................................

⇔ ............................................

Stap 4: .............................................

⇔ ............................................

Stap 5: .............................................

⇔ ............................................


- 127 -

Naam: ……………………………………….… Proef : .............................................. Opl =

{ x ∈ |R |

..............

} .........................................................

.........................................................

.........................................................


|R


Studiehulp: •


•

Maak steeds een proef. Dit is ook een vorm van zelfcontrole.

•

Maak de toets jezelf oefeningen op de volgende pagina ( pag 102)

•

Herhaal de eigenschappen die we gebruikt hebben in de oefeningen. Je kan hiervoor teruggrijpen naar de leerfiches! Vul dan aan: regel van de haakjes :

...........................................

...........................................

distributiviteit :

............................................


- 128 -

Naam: ……………………………………….…

Toets jezelf !!!!! Opgave ( boek pag 95 nr. 15 – nr 16)

Oplossing

a.

26 − 4 x > 6 ( 4 − x )

x > −1

b.

7 (x − 5 ) ≤ 3 ( x + 1

c.

5 − (x + 7

d.

4( x − 3

e.

11 ≤ − 2 ( − x + 3 ) − 5

x ≥ 11

f.

6 − ( 3 + 2x ) ≤ 1 − 2 ( 5 + 2x)

x ≤ −6

g.

(2 x + 5 ) − ( 5 x + 2 ) < 2 (5 − x ) − 3

x > −4

h.

3 (y − 1 ) − 4 ( 2 y + 3 ) > 1

i.

2 − y < 4 − ( 5 + 2y )

j.

3( y − 9 ) > − 2 ( y − 3 )

k.

(4 y − 5 ) − 3 ( 2 y + 5 ) ≤ 4

l.

5 − ( 3y + 1 ) > 5 ( 3y + 1 )

m.

3 ( y + 2 ) ≥ 2 ( 4y + 3 )

n.

(2 y

)

x≤

19 2

) > 8 − 3x

x>5

) + (1 − x ) < 4

x <5

+ 5 ) − ( y + 4 ) < 3 ( 9 − y)

y<−

16 5

y < −3 y>

33 5

y ≥ − 12 y<−

1 18

y≤0 y<

13 2

Evaluatie


- 129 -

Naam: ……………………………………….… 6. Oplossingsmethode voor ongelijkheden van de eerste graad met

één onbekende en breukvormen in de uitdrukking. (boek pag 95) a.

Uitgewerkt voorbeeld : (pag 95 nr. 17 a) x x +2 < +1 3 4

Stap 1: .............................................

x  x  ⇔ 12 ⋅  + 2  < 12 ⋅  + 1 3  4 

Stap 2 : .............................................

⇔ 12 ⋅

x x + 12 ⋅ 2 < 12 ⋅ + 12 ⋅ 1 3 4

Stap3 : .............................................

⇔ 4 x + 24 < 3 x + 12

Stap 4: .............................................

⇔ 4 x + 24 − 3 x < 3 x + 12 − 3 x

Stap 5 : .............................................

⇔ x + 24 < 12

Stap 6 : .............................................

⇔ x + 24 − 24 < 12 − 24

Stap 7 : .............................................

⇔ x < − 12

Proef : ..............................................

......................................................... Opl =

{x∈

|R |

x < − 12

} .........................................................

.........................................................

......................................................... Voorstelling van de oplossingsverzameling op de getallenas

|R

Voorstelling van de oplossingsverzameling door een interval: ] − ∞ , − 12

[

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) hoofdstuk 4 : Oplossen ongelijkheden van 1egr met 1 onb in |R b.

- 130 -

Naam: ……………………………………….… y 2 (3 − y ) < +6 2 Stap 1: ............................................. ⇔ .............................................

Stap 2 : .............................................

⇔ .............................................

Stap3 : .............................................

⇔ .............................................

Stap 4: .............................................

⇔ .............................................

Stap 5 : .............................................

⇔ .............................................

Stap 6 : .............................................

⇔ .............................................

Proef : ..............................................

Opl =

{ y ∈ |R |

..............

}

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................


|R


Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) hoofdstuk 4 : Oplossen ongelijkheden van 1egr met 1 onb in |R c.

- 131 -

Naam: ……………………………………….… 2z 3 + < z −1 3 4 Stap 1: ............................................. ⇔ ............................................

Stap 2 : .............................................

⇔ ............................................

Stap3 : .............................................

⇔ ............................................

Stap 4: .............................................

⇔ .............................................

Stap 5 : .............................................

⇔ .............................................

Stap 6 : ............................................. Proef : ..............................................

Opl = { z ∈

|R |

..............

} .........................................................

.........................................................

.........................................................


|R



- 132 -

Naam: ……………………………………….… 7. Oplossingsmethode voor ongelijkheden van de eerste graad met

één onbekende met merkfwaardige producten in de uitdrukking. a.

(x + 1)2

≤ ( x + 3 ) ( x − 5) Stap 1: .............................................

⇔ ............................................ Stap 2 : ............................................. ⇔ ............................................ Stap3 : ............................................. ⇔ ............................................ ⇔ .............................................

Stap 4: ............................................. Stap 5 : .............................................

⇔ .............................................

Opl = { x ∈ |R | ..............

}

Proef : ..............................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................


|R



- 133 -

Naam: ……………………………………….…

Toets jezelf !!!! Los volgende ongelijkheden op in |R Opgave ( boek pag 95 nr. 17) a.

x−

1 x >1− 3 3

Oplossing x >1

b.

2x 3 x −1≥ − 4 7 4

x ≤ −7

c.

x x + > 10 2 8

x > 16

d. e. f.

2−

a 1 a > + 3 4 6

a<

7 2

1<

x x 2 − + 3 5 3

x>

5 2

x<

12 5

x x x − + <1 2 3 4

Los volgende ongelijkheden op in |R a.

5 x − 2 x + 6 ≥ 8 + 3x

Geen oplossingen want 0x ≥ 0

b.

3x + 8 > 4 x − 6 − x

Elk reëel getal is een oplossing want 0 x > − 14

c.

x −1 ≤ 25 4

d.

2x + 7 < 5x − 3 3

e. f.

22 − −

x x ≥ x+ 2 5

x − (3 x + 2 ) > 1 2

x ≤ 101

x>

30 13

x≤

220 17

x<−

6 7

Evaluatie


- 134 -

Naam: ……………………………………….… 7. Vraagstukken die leiden tot een ongelijkheid van de eerste graad met

één onbekende. Voorbeeld 1: (oefening pag 98 nr. 18) Voor welke reële getallen is het tienvoud ten minste 100 meer dan het zesvoud.

Oplossingsmethode :

Oplossing:

Lees de opgave aandachtig en onderlijn

Ongelijkheid:

het gegeven.

..................................................................

Noteer de ongelijkheid. ................................................................. Kies de onbekende en noteer dit in de

Onbekende

2e kolom

........................................................

Onderlijn het gevraagde en stel de

Ongelijkheid:

ongelijkheid op.

..........................................................

Noteer deze ongelijkheid in de 2e kolom. Los de ongelijkheid op :

Oplossen van de ongelijkheid:

..................................................................

..................................................................

..................................................................

.................................................................. Formuleer het antwoord in de 2e kolom ..................................................................

Maak de proef (controleer steeds jezelf) ..................................................................


- 135 -

Naam: ……………………………………….… Voorbeeld 2: (oefening pag 98 nr. 19) Hotel Zeezicht vraagt per dag 30 EUR voor een volwassene en 17,50 EUR voor een kind. De familie Genietgraag, bestaande uit vader, moeder en twee kinderen, brengt er een vakantie door. Hoeveel dagen kunnen zij er ten hoogste verblijven als het budget van 750 EUR niet overschreden mag worden.

Oplossingsmethode :

Oplossing:


Ongelijkheid:

het gegeven.

..................................................................


Onbekende

2e kolom

........................................................


Ongelijkheid:

ongelijkheid op.

.......................................................... e

Noteer deze ongelijkheid in de 2 kolom. Los de ongelijkheid op :


..................................................................

..................................................................

..................................................................




- 136 -

Naam: ……………………………………….… Voorbeeld 3 : (oefening pag 98 nr. 20) De productiekosten van een boek bestaan uit 35000 EUR vaste kosten plus 3000 EUR per 1000 exemplaren. De verkoopprijs bedraagt 10,5 EUR. Hoeveel duizenden exemplaren moet men ten minste verkopen om de kosten te delgen?

Oplossingsmethode :

Oplossing:


Ongelijkheid:

het gegeven.

..................................................................


Onbekende

2e kolom

........................................................


Ongelijkheid:

ongelijkheid op.

..........................................................

Noteer deze ongelijkheid in de 2e kolom. Los de ongelijkheid op :


..................................................................

..................................................................

..................................................................




- 137 -

Naam: ……………………………………….…

Toets jezelf !!!! Opgave zie boek pag 98 of 102 21. Op een toets worden 10 vragen gesteld. Voor elk correct

Oplossing x : aantal correcte antwoorden

2 x − (10 − x ) > 10

antwoord krijgt men twee punten; voor elk fout antwoord -

⇔ x>7

1 punt. Hoeveel vragen moeten ten minste correct beantwoord worden om voor de toets meer dan 10 punten te behalen? 22. Hoeveel zijden moet een veelhoek ten minste tellen om

x : aantal zijden

(x − 2 ) ⋅ 180 > 3000

een som van de hoekgrootten groter dan 3000o te hebben. 23. Hoe breed mag een stoel ten

⇔ x > 19

x : aantal cm van de breedte van

hoogste zijn om op een rij van

een stoel

7,7 m ten minste 15 stoelen met

15 x + 14 ⋅ 10 ≤ 770

een tussenafstand van 10 cm te kunnen plaatsen. 52. De som van drie opeenvolgende natuurlijke getallen is kleiner dan 70. Welke zijn de mogelijke

⇔ x ≤ 42 x : het kleinste natuurlijk getal x + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) < 70 ⇔ x < 23

waarden voor het kleinste getal? 53. Welke natuurlijke getallen worden groter dan hun dubbel

x : het natuurlijk getal x + 10 > 2 x ⇔ x < 10

als je ze vermeerdert met 10? 54. Voor welke reële getallen is het verschil van de helft van het getal en een derde van het getal minder dan 20?

x : het reëel getal x x − < 20 ⇔ x < 120 2 3

Evaluatie


- 138 -

Naam: ……………………………………….…

Toets jezelf !!!! : Oplossen van ongelijkheden

a. b. c

Opgave ( boek pag 95 nr. 17)

Oplossing

x x + 2< +1 3 4

x < − 12

3− y< x−

y +6 2

1 x >1− 3 3

y > −2 x >1

d.

2z 3 + < z −1 3 4

e.

x 2x 3 −1≥ − 4 7 4

x ≤ −7

f.

x x + > 10 2 8

x > 16

g. h. i. j.

z >

21 4

2−

a 1 a > + 3 4 6

a<

7 2

1<

x x 2 − + 3 5 3

x>

5 2

x<

12 5

a>

6 5

x x x − + <1 2 3 4 2−

7 a 2a 1 < + 6 9 3

k.

2b b 3 1 − 3 + ≥ + 2b + 5 2 5 4

b≤−

l.

5x x − 4 > 0,2 + 3 2

x>

m. n. o.

0,7 y −

y 1 + 1,3 < − 0, 2 + 0,25 y 3 3

7 2

18 5

y < − 10

x−

3π π x ≤ + 2 2 3

x ≤ 3π

x−

x x x − − ≥ 10 2 3 4

x < − 120

Evaluatie

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) hoofdstuk 4 : Oplossen ongelijkheden van 1egr met 1 onb in |R p.

Naam: ……………………………………….… z ≥ − 10 2 1 5 z + ≥ z −1 3 9 9

Opgave (pag 101 nr.46) a.

2x − 5 <

Oplossing

y y − >1 3 2

y < −6

c.

a + 2 4a − 3 − ≤ a −1 4 8

a ≥ 1,5

b − 1,3 +

b−2 b−3 + ≥0 2 3

b ≥ 1,8

e.

2 − 3p 3 − 4p 8 − 7p − >2− 5 6 30

p < − 11

f.

0,25 + 0,125 ( z − 4) ≤ 0,875

z≤9

Opgave (pag 101 nr. 47)

Oplossing

a.

x +1 3

−

2x + 1 4

+

5 ( x + 2) 6

≥0

x ≥−

( ) 2 ( y − 1 ) + 3 ( y + 1) − 3 (3 y − 1) ≤ 2 y + 2 3 2 4 3

y≥

7 9

c.

( ) 1 (4a − 1) + 2 (4 − a ) − 3 (3a − 2 ) < 5 5 − 2a 4 3 2 6

a>

1 2

d.

2 (b + 1 ) − 3 ( b − 1 ) > 3 (b + 2) − 4 (b − 2) 3 2 4 3

b < −8


Oplossing

a.

5 (x − 2) < x 6 2

x<5

b.

3  x  5 < 5 −  −  + 1  2  4 

x < − 10

c.

 3x   2x  3 − 1 − 2  + 3 < 1  5   5 

x < 10

1−

y y 1 2 1 −  < 2 − 1 −  2 3 3 2

Evaluatie

21 8

b.

d.

Evaluatie

x < 2,5

2x − 5 3

b.

d.

- 139 -

y > −5

Evaluatie

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) hoofdstuk 4 : Oplossen ongelijkheden van 1egr met 1 onb in |R e.

Naam: ……………………………………….… y≤6 y  y   y  −  + 1 ≥ 2  − 3 3  2   3 

f.

2  4z 1  −1  < 4 − ( z + 1 )  3 3 2 

g.

1 (a − 1) ≥ 2 ( a − 2 ) 2

h.

- 140 -

2b −

z<3

a≤

1 1  3   2 − b  > b + 2  b − 1 2 2  4 

5 2

b<4

Opgave (pag 101 nr.49)

Oplossing

a.

( x +1 ) 2

x<−4

b.

(

c.

(y

d.

(b − 2 )( b + 2 ) > ( b + 3 )2

e.

z( z − 4 ) − ( z+ 2 ) > 0

f.

2 + r ( r + 3 )> ( 2 + r

g.

( a + 1 )2

h.

( 3 x − 1 )2

i.

b (b + 1) >(b − 1)

j.

x − (x − 2)

k.

(y

l.

1 + p ( p + 2 ) < ( 1 + p ) ( p + 2)

p > −1


Oplossing

< (x + 3)(x − 5)

2

a + 1 ) ≤ (a + 3)

a ≥ −2

2

2

2

− 4 ) + ( y + 4 ) ≥ 2 y ( y + 1)

y ≤ 16 b<−

13 6

z<−

1 2

2

)( r

+ 3)

r < −2

+ a ( a − 1 ) ≤ ( a + 1 ) ( 2a + 1)

(

+

2

2

4x − 1 ) > ( 5x − 2 )

+ 5) > (y − 2)

(

b.

x3 + 6 ( x + 2 ) ≤ ( x + 2 )

x + 1 ) 3 > 2 x3 + 9 2

x>

1 3

b>

1 3

x ≤1 y>−

( x − 1 )3

(

2

2

a.

+

a≥0

2

≤ ( 1 − x )(1 + x )

2

Evaluatie

)

3 2

x>3

3

x ≤−

4 3

Evaluatie


- 141 -

Naam: ……………………………………….… Opgave ( boek pag 98) Oplossing 22. Hoeveel zijden moet een veelhoek ten minste tellen om een som van de

x : aantal zijden

(x − 2 )⋅ 180 > 3000

o

hoekgrootten groter dan 3000 te hebben. 23. Hoe breed mag een stoel ten hoogste zijn

⇔ x > 19 x : aantal cm van de breedte van

om op een rij van 7,7 m ten minste 15

een stoel

stoelen met een tussenafstand van 10 cm

15 x + 14 ⋅ 10 ≤ 770

te kunnen plaatsen. ⇔ x ≤ 42 24.

x : zie tekening

a ) 2 ( 10 − x ) + 2 ⋅ 4 > 2 x + 2 ⋅ 12 ⇔x <1

a) Voor welke waarden van x is de omtrek van rehcthoek 1 groter dan de

b) 4 ( 10 − x ) > 12 x

omtrek van rechthoek 2? b) Voor welke waarden van x is de

⇔ x < 2,5

oppervlakte van rechthoek 1 groter dan de oppervlakte van rechthoek 2 ?

25. Een ladder heeft volgend uitzicht:

x : Aantal sporten

3 x + 25 ⋅ ( x − 1 ) + 15 ⋅ 2 > 500 ⇔ x > 18

Hoeveel sporten moet deze ladder ten minste tellen om langer te zijn dan 5 m ?

Evaluatie


- 142 -

Naam: ……………………………………….… 52. De som van drie opeenvolgende x : het kleinste natuurlijk getal natuurlijke getallen is kleiner dan 70.

x + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) < 70

Welke zijn de mogelijke waarden voor

⇔ x < 22

het kleinste getal?

53. Welke natuurlijke getallen worden groter dan hun dubbel als je ze vermeerdert met

x : het natuurlijk getal x + 10 > 2 x ⇔ x < 10

10?

54. Voor welke reële getallen is het verschil van de helft van het getal en een derde van het getal minder dan 20?

55. Een spuitwaterproducent heeft ‘s morgens 450 bakken met elke 12 lege

x : het reëel getal x x − < 20 ⇔ x < 120 2 3

x : aantal geleverde bakken die dag 12 ⋅ 450 + 12 x ≥ 8000

flessen in voorraad. In de loop van de dag kunnen 8000 flessen gevuld worden.

⇔ x ≥ 217

Hoeveel bakken leeggoed moeten er in dat geval die dag ten minste nog ingeleverd worden?

56. Het lidgeld van een videoclub kost 11 EUR. Leden huren een film voor 2,50

x : aantal gehuurde films 3,75 x − 2,50 x > 11

EUR. Niet leden kunnen ook een film huren, maar zij betalen 3,75 EUR. Vanaf

⇔ x> 9

van het huren van hoeveel films heeft men er voordeel bij lid te worden.

57. Een vader is 40 jaar en zijn dochter 10

x : aantal verlopen jaren

jaar. Na minimum hoeveel jaar is de

40 + x < 2 ⋅ (10 + x )

vader minder dan dubbel zo oud als zijn

⇔ x > 20

dochter?


- 143 -

Naam: ……………………………………….… 58. Voor welke twee opeenvolgende x : het kleinste natuurlijk getal natuurlijke getallen is het verschil van de kwadraten groter dan 1000?

(x

2

+ 1) − x 2 > 1000 ⇔ x > 500

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) hoofdstuk 4 : Oplossen ongelijkheden van 1egr met 1 onb in |R Naam: ……………………………………….…

- 144 -

Hoofdstuk 4 : Ongelijkheden

Recommend Documents