Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Trainingsweek Juni 2009 1

Introductie

We werken hier met ongeori¨enteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY . Verder zullen we de volgende notatie handhaven, tenzij anders vermeld. We hebben een driehoek, 4ABC, met de zijden BC = a, CA = b en AB = c, en de hoeken ∠CAB = α, ∠ABC = β en ∠BCA = γ. Bovendien heeft de driehoek een ingeschreven cirkel met straal r en middelpunt I en een omgeschreven cirkel met straal R en middelpunt O. En we defini¨eren s = 21 (a + b + c). We zullen de notatie [XY Z] gebruiken voor de oppervlakte van 4XY Z. En voor een gegeven punt P noteren we de afstanden tot A, B en C gewoon met resp. P A, P B en P C en de afstanden tot de zijden BC, CA en AB met resp. Pa , Pb en Pc . En natuurlijk kennen we alle ongelijkheden die niet noodzakelijk meetkundig zijn, zoals de rekenkundig-meetkundig-gemiddelde ongelijkheid, de herschikkingsongelijkheid, de stelling van Muirhead, Jensen’s ongelijkheid en de Cauchy-Schwarz-ongelijkheid.

2

Oppervlakteformules

De formule van Heron p Voor de oppervlakte [ABC] geldt [ABC] = s(s − a)(s − b)(s − c). Andere oppervlakteformules Ook kunnen we de oppervlakte [ABC] uitdrukken als 1 1 1 [ABC] = da a = db b = dc c, 2 2 2 met da , db en dc de lengtes van hoogtelijnen zijn vanuit resp. A, B en C, of als [ABC] = rs, [ABC] =

1

abc . 4R

De sinus regel en de cosinus regel Deze regels worden gegeven door a b c = = = 2R, sin α sin β sin γ a2 = b2 + c2 − 2bc cos α, en natuurlijk ook alle permutaties van de laatste.

Opgave 2.1. Omdat een driehoek altijd binnen zijn omgeschreven cirkel ligt weten we dat [ABC] ≤ πR2 . Bewijs nu dat [ABC] ≤ 2R2 . Wanneer geldt gelijkheid? Opgave 2.2. Bewijs dat van alle driehoeken met een gegeven omtrek de gelijkzijdige driehoek de grootste oppervlakte heeft. (Hint: we willen een ongelijkheid met aan de ene kant de oppervlakte en aan de andere kant een functie van de omtrek.) Opgave 2.3. Bewijs dat 9r ≤ (da + db + dc ). Opgave 2.4. Zij ABCD een raaklijnenvierhoek. Bewijs dat 4r ≤ s, waarin r de straal van de ingeschreven cirkel en s de halve omtrek is. Opfrissing: Een vierhoek met zijden a, b, c en d is een raaklijnenvierhoek dan en slechts dan als a + c = b + d. Opgave 2.5. Bewijs dat da db dc + + ≥ 9. P a Pb Pc Hieruit volgt bijvoorbeeld ook da + db + dc ≥ 9r. Opgave 2.6. Bewijs dat a2 b2 c2 R + + ≤6 . (s − b)(s − c) (s − c)(s − a) (s − a)(s − b) r Hint: gebruik de ongelijkheid van Schur.

2

3

Driehoeksongelijkheid

De driehoeksongelijkheid Voor de lengtes van de zijden a, b en c van een driehoek, geldt dat a + b > c, b + c > a en c + a > b. De ongelijkheid van Ptolemaeus Zij een vierhoek gegeven met zijden a, b, c en d en met diagonalen e en f . Dan zegt de stelling van Ptolemaeus dat ac + bd ≥ ef. Gelijkheid treedt op dan en slechts dan als de vierhoek een koordenvierhoek is.

Opgave 3.1. Bekijk de convexe vierhoek ABCD met M en N de middens van respectievelijk AD en BC. Bewijs dat M N = 21 (AB + CD) dan en slechts dan als AB k CD. Opgave 3.2. Zij a, b en c de zijden van een driehoek. Bewijs dat ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). Opgave 3.3. We hebben een vierkant met zijden van lengte 1. Bovendien ligt op elke zijde een punt, zeg A, B, C en D respectievelijk. Bewijs, met de notatie AB = a, BC = b, CD = c en DA = d, dat a). b).

2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 ≤ 4 √ 2 2 ≤ a + b + c + d ≤ 4.

,en

Opgave 3.4. Voor welk punt P binnen een convexe vierhoek ABCD is de som P A+P B + P C + P D minimaal? Opgave 3.5. Zij a, b en c de zijden van een driehoek. Bewijs dat er ook een driehoek bestaat met de zijden 1/(a + b), 1/(b + c) en 1/(c + a). Opgave 3.6. Bewijs dat voor alle positieve re¨ele getallen a, b en c geldt dat √ √ √ a2 − ab + b2 + b2 − bc + c2 ≥ a2 + ac + c2 . Opgave 3.7. Zij 4ABC een driehoek met een punt A0 dat niet samenvalt met een van de hoekpunten. Definieer L en M als de projecties van A op respectievelijk A0 B en A0 C. Voor welke A0 is de lengte LM maximaal? Opgave 3.8. Laat a1 , a2 , a3 en a4 de zijden zijn van een vierhoek met halve omtrek s. Bewijs dat 4 X 2 X 1 1 p ≤ , s + ai 9 1≤i<j≤4 (s − ai )(s − aj ) i=1 en bepaal wanneer gelijkheid geldt. 3

4

Ongelijkheden van Euler en Leibniz

De stelling van Euler Voor R en r geldt R ≥ 2r. Met gelijkheid dan en slechts dan als O = I, oftewel dan en slechts dan als 4ABC gelijkzijdig is. De ongelijkheid van Leibniz Er geldt dat 9R2 ≥ a2 + b2 + c2 . Met gelijkheid dan en slechts dan als O = Z met Z het zwaartepunt, oftewel dan en slechts dan als 4ABC gelijkzijdig is.

Opgave 4.1. Zij gegeven dat R = 1. Bewijs dat a + b + c ≥ abc. Opgave 4.2. Bewijs dat 9R2 ≥ a2 + b2 + c2 ≥ 18rR. Opgave 4.3. Bewijs dat

√ 4 3[ABC] ≤ ab + bc + ca.

Opgave 4.4. Bewijs dat s R r≤ √ ≤ . 2 3 3 Leid hier uit af dat [ABC] ≤

√ 3 3 2 R . 4

Wanneer geldt gelijkheid?

Opgave 4.5. Bewijs dat 3 cos α + cos β + cos γ ≤ . 2 Opgave 4.6. Bewijs dat

√ 4 3[ABC] ≤

4

9abc . a+b+c

5

Extra (moeilijke) opgaven

Na alle mooie ongelijkheden die we vandaag hebben gezien, en die je ook zeker niet moet vergeten, doen we er nog een laatste bij waarvan het ook wel leuk is als je die eens gezien hebt. De ongelijkheid van Erd¨ os-Mordell Voor elk punt P binnen de driehoek 4ABC geldt dat P A + P B + P C ≥ 2(Pa + Pb + Pc ). Met gelijkheid dan en slechts dan als 4ABC gelijkzijdig is en P = O.

Opgave 5.1. De bissectrice van ∠BAC van een scherphoekige 4ABC snijdt de omgeschreven cirkel in A1 . De punten B1 en C1 worden op eenzelfde manier gedefinieerd. A0 is het snijpunt van de lijn AA1 en de buitenbissectrices van de hoeken B en C. De punten B0 en C0 worden op eenzelfde manier gedefinieerd. Bewijs dat 1. [A0 B0 C0 ] = 2[AC1 BA1 CB1 ]; 2. [A0 B0 C0 ] ≥ 4[ABC]. Hier duiden de rechte haken wederom de oppervlakte van een veelhoek aan. IMO 89-2 Opgave 5.2. De bissectrices van de hoeken in A, B en C snijden de overstaande zijden in resp. A0 , B 0 en C 0 . Bewijs dat 1 AI · BI · CI 8 < ≤ . 0 0 0 4 AA · BB · CC 27 IMO 91-1 Opgave 5.3. Zij P een willekeurig punt binnen 4ABC. Bewijs dat ten minste ´e´en van de hoeken ∠P AB, ∠P BC en ∠P CA kleiner dan of gelijk aan 30◦ is. IMO 91-5 Opgave 5.4. Zij P een punt binnen de driehoek 4ABC. Bewijs dat 1 PA PB PC + 2 + 2 ≥ . 2 a b c R Amerikaanse Selectie 00-6

5