1 EEN ZUIVER MEETKUNDIGE TOEPASSING: DOORSNEDEN

Ruimtemeetkunde in de derde graad

-1-

___________________________________________________________________________ Het hoofdstuk ruimtemeetkunde in de derde graad is niet voor alle leerlingen een gemakkelijk hoofdstuk. Om maar niet te zeggen dat de meeste leerlingen er nogal wat moeite mee hebben. Hulp bij het voorstellen van figuren en zelfs hulp bij berekeningen lijkt dan ook welkom. En daar zijn ICT middelen natuurlijk uitermate geschikt voor. Op het internet zijn wel wat mogelijkheden te vinden om figuren in 3D weer te geven. Maar allen zijn ze, voor zover mij bekend, vrij beperkt qua mogelijkheden. Het programma Cavalieri, ontwikkeld door Jan Roelants in opdracht van het VVKSO, biedt hier wel soelaas. Het programma is toe aan versie 2. Het is aan te schaffen via het VVKSO (www.vsko.be/vvkso: volg de link Projecten en Groepsaankoop Software). Een demoversie kun je downloaden op dezelfde website: volg de link Onderwijspraktijk - Vakgericht Wiskunde - Lesmateriaal. De demoversie is een volledig werkende versie, maar laat niet toe om gemaakte figuren op te slaan. Berekeningen kunnen met verschillende pakketten, zoals Derive, MathCad of via het applet Wiris op het internet. In deze sessie proberen we enkele zinvolle voorbeelden te tonen over het gebruik van de computer in de lessen ruimtemeetkunde. Op de website van het Eekhoutcentrum zijn de bestanden (en deze tekst) te downloaden. De bestanden staan er onder de vorm van een exefile. Na dubbelklikken op de file, worden ze uitgepakt in de map C:\DvW03

1

EEN ZUIVER MEETKUNDIGE TOEPASSING: DOORSNEDEN

Dit onderwerp werd vroeger volledig in de derde graad behandeld, maar komt nu vooral in het vierde jaar voor. Ik wil hier toch enkele voorbeelden geven, omdat deze toepassingen een van de krachtigste toepassingen voor ruimtemeetkunde vormen, die met Cavalieri mogelijk zijn. 1.1

Voorbeeld 1

Gegeven is de (ABCD,EFGH)

afgeknotte

piramide

Construeer het snijpunt van de rechte HB met het vlak ACGE.

___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-2-

___________________________________________________________________________ •

Merk op dat de opgave in Cavalieri natuurlijk vooraf gemaakt wordt. De beste manier daarvoor is wellicht de opgave eerst op te slaan als een object-bestand, en vervolgens te openen in een stappenbestand dat dan de opgave wordt. Bij het openen ervan kan de leerling dan niets veranderen aan de opgave: de figuur wordt ingelezen als één geheel, zonder de opbouw van de verschillende stappen die tot de figuur leiden nog te kunnen zien. Het is ook mogelijk om heel wat menu onderdelen en werkbalken te verbergen zodat de leerling niet overrompeld wordt door alle mogelijkheden van het programma.

•

Na het openen van de opgave kan de leerling verschillende wegen uit - ofwel zelf de oplossing proberen te tekenen. De opdrachten in Cavalieri zijn hiervoor beperkt en eenvoudig! - ofwel het gezochte punt al meteen door Cavalieri eens laten tekenen om al een idee te hebben van de ligging van het punt - ofwel, als de leerling er helemaal niet in slaagt een oplossing te vinden, het bestand te openen met de oplossing en via de replay mogelijkheid de constructie te bekijken. Dat laatste is overigens ook zinvol als controle op de oplossing die de leerling hopelijk zelf gevonden heeft.

De figuur van de oplossing:


Paul Decuypere


-3-

___________________________________________________________________________ 1.2

Voorbeeld 2

Zoek de doorsnede van de piramide met het vlak door P, Q en R

Opnieuw kan de leerling dezelfde wegen volgen om tot een oplossing te komen. Om hier de doorsnede al meteen te laten zoeken door Cavalieri met de bedoeling vooraf al een idee te krijgen van de ligging van de snijpunten van de ribben met het vlak, moet wel (via het menu beeld) vooraf de menukeuze hulpvlak geactiveerd worden. Het hulpvlak moet vooraf in het stappenbestand van de opgave natuurlijk wel goed gepositioneerd zijn, d.w.z. samenvallen met het vlak door P, Q en R. De figuur van de oplossing:


Paul Decuypere


-4-

___________________________________________________________________________ 1.3

Voorbeeld 3

Zoek de doorsnede van de kubus met het vlak door de punten P, Q en R.



Paul Decuypere


-5-

___________________________________________________________________________ 1.4

Voorbeeld 4

Zoek de doorsnede van het prisma met het vlak door de punten A, B en C.



Paul Decuypere


-6-

___________________________________________________________________________

2

NOG EEN ZUIVER MEETKUNDIGE TOEPASSING

In de sessie bewijzen zonder woorden van Luc Gheysens op de dag van de wiskunde 2002, stond een mooie opgave die hier overgenomen is voor een regelmatig viervlak (de vraag was toen gesteld voor een gelijkzijdige driehoek). Opgave:

Als P een willekeurig punt is binnen een regelmatig viervlak ABCD, dan is de som van de afstanden van P tot de vier zijvlakken constant.

We controleren de eigenschap eerst met Cavalieri. Er is een tetraëder getekend met een ribbe van 15 cm. Een punt P is binnen het viervlak getekend door de coördinaten van dat punt vast te leggen met dynamische variabelen voor zowel de x-, de y- als de z-coördinaat. Op die manier kan het punt P verschoven worden binnen de tetraëder. Door metingen van de afstand van P tot aan de zijvlakken, de som van die resultaten te maken, en de waarde van de som af te beelden op het tafereel, kan alvast geverifieerd worden dat die som constant is.

Als het punt P buiten het viervlak valt, is de waarde niet meer constant; ook dat kan nagegaan worden. Het is voor de leerling niet zo eenvoudig om te zien wat die constante waarde precies is, en ook het bewijs er van is door de leerling wellicht niet zo gemakkelijk te vinden. Als het bewijs gekend is, dan is overigens ook de waarde van die constante gekend. Het bewijs zelf geven we op de volgende bladzijde: een pareltje van kracht en eenvoud. Om de leerling eventueel op weg te zetten, kan als tip gegeven worden de inhoud van de tetraëder te berekenen op twee manieren. Eerst rechtstreeks, daarna door het viervlak op te splitsen in 4 piramides: PABC, PADC, PABD en PBCD. ___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-7-

___________________________________________________________________________ Dat laatste kan geïllustreerd worden in Cavalieri: door een dynamische variabele te gebruiken, en die vier kleinere piramides in 4 andere puntenverzamelingen onder te brengen, kunnen die piramides uit elkaar verschoven worden:

Het bewijs zelf: noem s de oppervlakte van een zijvlak van de tetraëder; noem p1 de afstand van P tot het zijvlak ABC, p2 de afstand van P tot het zijvlak BCD, p3 de afstand van P tot het zijvlak ADC en p4 de afstand van P tot het zijvlak ABD; noem tenslotte h de hoogte van de tetraëder. De inhoud van de tetraëder schrijven we nu op de twee vermelde manieren:

s ⋅ h s ⋅ p1 s ⋅ p2 s ⋅ p3 s ⋅ p4 = + + + 3 3 3 3 3 Hieruit volgt in één stap h = p1 + p2 + p3 + p4 De som van de afstanden van P tot aan de zijvlakken van de piramide, is dus gelijk aan de hoogte van de tetraëder, en is dus een constante. Dat die constante gelijk is aan de hoogte van het viervlak, kan in Cavalieri overigens nagemeten worden.


Paul Decuypere


-8-

___________________________________________________________________________

3

ONDERLINGE LIGGING VAN RECHTEN EN VLAKKEN

Een voorbeeld: de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten

Met Cavalieri construeren we een gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten, en meten nadien de afstand tussen die twee kruisende rechten.

De constructie zelf is niet ingewikkeld, maar het is wel even zoeken hoe de rechten en vlakken zo goed mogelijk kunnen voorgesteld worden (de grootte en het verschuiven van de voorstelling van vlakken en rechten, de rotaties ervan). Het kan nuttig zijn voor de leerlingen om Replay te gebruiken om zo de constructie te tonen van de gemeenschappelijke loodlijn. De twee rechten zijn in de figuur a en b genoemd. Door a wordt eerst een vlak alfa aangebracht dat evenwijdig is met b, en door b wordt een vlak beta aangebracht dat evenwijdig is met a. Uit een willekeurig punt P van a (punt t.o.v. object gebruiken) wordt een loodlijn neergelaten op het vlak beta. Het snijpunt van die loodlijn met beta wordt L genoemd. In L wordt een rechte a1 getekend evenwijdig met a. Het snijpunt B van a1 met b wordt getekend, en in B wordt een loodlijn (de gemeenschappelijke loodlijn) op alfa getekend. Het voetpunt van die loodlijn op alfa is A. De rechte AB is dus de gemeenschappelijke loodlijn en de lengte van het lijnstuk AB is de afstand tussen de twee kruisende rechten. Die afstand kan in Cavalieri natuurlijk ook gemeten worden (gebruik Opdracht - meten - Afst. tussen punten). ___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-9-

___________________________________________________________________________

4

EXTREMUMVRAAGSTUKKEN

Verschillende extremumvraagstukken uit de derde graad hebben te maken met ruimtemeetkunde. Door hier weer dynamische variabelen te gebruiken, is een mooie visuele voorstelling te maken van de extreme waarde uit het vraagstuk. We geven enkele voorbeelden. 4.1

Het beroemde vraagstuk van de spin

Een spin kruipt over een kubus met ribbe 6 cm. M is het midden van [EH]. Langs welk punt S van [EF] moet de spin passeren om het kortste traject te volgen van B naar M, over het oppervlak van de kubus. Bereken die kortste afstand.

In Cavalieri kan alvast een tekening gemaakt worden. Het punt S wordt op de ribbe [EF] gelegd via een dynamische variabele. Zo kan het punt S verschoven worden van E tot F.

Via metingen van MS en SB , het berekenen van de som van die resultaten en het weergeven ervan op het tafereel, kan experimenteel vastgesteld worden dat het punt S gelegen is op een afstand 2 van het punt E op het ogenblik dat de afstand MS + SB minimaal is.

Er is natuurlijk een eenvoudig wiskundig bewijs door de zijvlakken ABEF en EFGH te ontvouwen tot een rechthoek in één vlak. De minimale afstand MB wordt bereikt als MB één lijnstuk vormt in deze ontvouwing. Via gelijkvormigheid van de driehoeken MAB en MES kan gemakkelijk geverifieerd worden dat op dat moment ES = 2 cm


Paul Decuypere


-10-

___________________________________________________________________________

Maar dit is vermoedelijk niet de oplossing die de leerlingen meteen zullen vinden. Zeker als dit een toepassing is op extremumvraagstukken in de analyse, zullen de leerlingen geneigd zijn om een functie op te stellen en via afgeleiden tot een oplossing te komen. De oplossing die ze op die manier vinden, zou nadien wel tot nadenken moeten stemmen, om eventueel toch de korte meetkundige verklaring te vinden. We geven hier ook de berekeningen uit de analyse. Ik denk dat hier zinvol een algebra pakket zoals Derive kan gebruikt worden. Op het ogenblik dat de leerlingen aan extremumvraagstukken toe zijn, worden ze verondersteld vertrouwd te zijn met berekeningen van afgeleiden en nulpunten. Door de berekeningen te laten maken door een PC, kan de aandacht volledig gaan naar het inhoudelijke van het vraagstuk en hoeven de leerlingen zich niet te verdrinken in de berekeningen. Noemen we x = ES , dan is de functie die de af te leggen weg MS + SB weergeeft A(x) = 9 + x 2 +

(6 − x )

2

+ 36

Met Derive vinden we verder

4.2

Blikken doos

We bekijken de volgende bekende oefening: Een cilindervormige blikken doos moet een inhoud van 1 liter hebben. Hoe moeten de afmetingen van die cilinder gekozen worden opdat de totale oppervlakte van de doos zo klein mogelijk zou zijn?

In Cavalieri is weer een figuur gemaakt om het vraagstuk vooraf al te verkennen. Via een dynamische variabele r (straal grondvlak) kunnen de afmetingen van de cilinder gewijzigd worden. Hoewel het aantal cijfers na de komma beperkt is, kan toch ongeveer de situatie vastgelegd worden waarbij de oppervlakte van de cilinder minimaal is. Er kan dan hier al vastgesteld worden dat bij een minimale totale oppervlakte de hoogte van de cilinder en de diameter ervan gelijk zijn.


Paul Decuypere


-11-

___________________________________________________________________________

Een afdruk van de figuur in Cavalieri:

De berekeningen maken we weer met Derive:

De functie die de oppervlakte van de blikken doos weergeeft is dus S(r) = 2 ⋅ π ⋅ r 2 +

2000 2 ⋅ π ⋅ r 3 + 2000 = r r

Deze functie kan nu ook in Derive getekend worden, zodat ook hier al benaderend kan gevonden worden wanneer de oppervlakte minimaal is.


Paul Decuypere


-12-

___________________________________________________________________________

De verdere berekeningen:

4.3

Een kegel rond een bol

Een kegel is beschreven om een bol met straal r. Bereken de verhouding van het volume van de kegel tot het volume van de bol als het volume van de kegel minimaal is.


Paul Decuypere


-13-

___________________________________________________________________________

Met een figuur in Cavalieri is weer vooraf te verkennen voor welke waarde van de straal r die verhouding minimaal is. Er is daartoe een dynamische variabele hoogte gemaakt waarmee het mogelijk is de hoogte van de kegel te wijzigen. Er kan op het scherm dan gemakkelijk afgelezen worden wanneer de inhoud van de kegel minimaal is; op dat ogenblik kan het antwoord van het vraagstuk afgelezen worden: de verhouding van de inhoud van de kegel tot de inhoud van bol is dan gelijk aan 2.

De figuur is hier wel niet zo eenvoudig te maken. We geven daarom toch wat uitleg. "001 : Punt met coördinaten x,y,z : M (0;0;5;1) kl=0, z" "002 : Bol in P // met vlak met straal R : bol (M;xy;5;1) kl=9, o" "003 : Rechte door P // aan rechte : m (M;z;25;-5;3) kl=3, o" "004 : Snijpunt vlak met rechte : O (xy;m;1) kl=0, z" "005 : Doorsnijding van bol met vlak : b (bol;zx;1) kl=26, o" "006 : Dynamische variabele (getal) : hoogte (15;0;30;0.1)" "007 : Punt op rechte : T (hoogte;1;m) kl=0, z" "008 : Snijpunten raaklijnen vanuit P aan cirkel : A (T;b;1;1) kl=26, o" "009 : Rechte door twee punten : rkl (T;A;20;0;1) kl=26, o" "010 : Snijpunt vlak met rechte : B (xy;rkl;1) kl=26, o" "011 : Afst. tussen punten : straal (O;B)" "012 : Cilinder of conus in P // met vlak met hoogte H : kegel (O;xy;straal;0;hoogte;1) kl=2, o" "013 : Variabele als getal of formule : inhbol (4/3*pi*5^3)" "014 : Variabele als getal of formule : inhkegel (1/3*pi*straal^2*hoogte)" "015 : Getalwaarde op tafereel .... = GW .... : T1 (3;4;inhoud bol;inhbol;cm³)" "016 : Getalwaarde op tafereel .... = GW .... : T2 (3;3;inhoud kegel;inhkegel;cm³)" "017 : Variabele als getal of formule : verhouding (inhkegel/inhbol)" "018 : Getalwaarde op tafereel .... = GW .... : T3 (3;6;inhoud kegel / inhoud bol;verhouding;-)"

De bol is hier getekend met straal 5 en middelpunt M(0,0,5) op de z-as. De waarde van die straal is overigens ook in de berekeningen van geen belang. De loodlijn m uit M op het xy-vlak heeft als voetpunt O(0,0,0). Dat is het middelpunt van het grondvlak van een variabele kegel die de gegeven bol omvat. De hoogte van die kegel wordt vastgelegd in een dynamische variabele hoogte. De top T van die kegel wordt dan getekend door op de loodlijn m een punt te definiëren op een afstand hoogte van het punt O. Het komt er nu op aan de straal van het grondvlak van de kegel te vinden. Daartoe zoeken we een grote cirkel van de bol, die loodrecht staat op het grondvlak van de kegel. De cirkels die getekend staan bij de bol zelf, zijn niet bruikbaar: ze kunnen niet als cirkel aangesproken worden bij constructies. In stap 5 wordt daarom de doorsnede gezocht van de bol met het xz-vlak via Opdracht Cirkelboog - Doorsnijding van bol met vlak. Die doorsnede wordt verder verborgen gehouden om de aandacht van het probleem niet af te leiden. In stappen 8 en 9 wordt dan een raaklijn getekend uit T aan die doorsnede. Waar die raaklijn het grondvlak snijdt (stap 10), kan de straal van het grondvlak van de kegel gemeten worden (stap 11); het resultaat van die meting komt in de gewone variabele straal. In stap 12 kan dan de kegel getekend worden (hoogte = hoogte, straal grondvlak R1 = straal, straal bovenvlak R2 = 0). In de volgende stappen worden dan de inhouden van kegel en bol berekend en de verhouding ervan; de resultaten worden ook op de figuur weergegeven. De hele constructie is dus zo gemaakt dat de kegel getekend wordt uitgaande van de hoogte als variabele. ___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-14-

___________________________________________________________________________

Hiermee is natuurlijk nog geen berekening of bewijs geleverd, maar de figuur laat alvast heel mooi zien waar het in dit extremumvraagstuk om gaat. Het is nu de uitdaging voor de leerlingen om met de analyse te berekenen dat bij de minimale inhoud van de kegel de gevraagde verhouding gelijk is aan 2. We geven hieronder de berekeningen uit Derive weer, die algebraïsch tot de oplossing van het vraagstuk leiden. Noem x de afstand van het middelpunt M van de bol tot aan de top T van de kegel. De hoogte van de kegel is dan x + r. Noem r’ de straal van het grondvlak van de kegel. We willen een functie V(x) opstellen die het volume van de kegel weergeeft. Uit de gelijkvormigheid van ∆OBT en ∆MPT volgt x2 − r2 r = x+r r'

En dus r'=

r (x + r) x2 − r2

Voor het volume van de kegel vinden we dan 2 π ⋅ r2 ( x + r ) 1 r (x + r) V(r) = π 2 2 ⋅ ( x + r ) = 3 x −r 3( x − r ) 2

2

We gebruiken nu verder Derive


Paul Decuypere


-15-

___________________________________________________________________________

Uit de berekeningen volgt dus dat de functie V(x) een minimum bereikt voor x = 3r 4π ⋅ r 3 en het volume van de kegel is op dat ogenblik V(3r); de 3 verhouding van beide is dan eenvoudig te berekenen (gelijk aan 2): Het volume van de bol is

Er is in Derive natuurlijk ook een grafiek te tekenen van deze functie V(x). Alleen moet dan vooraf een waarde voor r ingevuld worden, anders bevat het functievoorschrift voor Derive twee veranderlijken (x en r), terwijl r eigenlijk een constante is. We nemen bvb r = 5.


Paul Decuypere


-16-

___________________________________________________________________________

5

ANALYTISCHE RUIMTEMEETKUNDE

Met Cavalieri is het in zekere mate mogelijk om een aantal gegevens analytisch in te brengen of analytisch op te vragen. Zo is het bijvoorbeeld mogelijk om een rechte en een vlak te definiëren niet alleen met punten, maar ook met richtingsgetallen of richtingsvectoren. Een vlak kan ook meteen ingegeven worden via de coëfficiënten u,v,w,t van de vergelijking ux + vy + wz + t = 0 , en van elk vlak kan ook die vergelijking opgevraagd worden. Gelijkaardig daarmee kan ook van elke getekende rechte een stel richtingsgetallen opgevraagd worden. Berekeningen zelf zijn uiteraard niet mogelijk. In dat geval kan weer beroep gedaan worden op bijvoorbeeld Derive. 5.1

Opzoeken van de coördinaten van een punt

Willen we vlug de coördinaten van een punt te weten komen, dan kan er gewerkt worden met de objectwerkbalk. Klik daarin eerst op het object Punt en selecteer met de knopjes < en > (links op die balk) het gewenste punt.

In de groene balk juist boven het hoofdtafereel kun je nu de coördinaten van dat punt aflezen (samen met de puntenverzameling waartoe het punt behoort, en de kleur waarmee het punt getekend is).

5.2

Vergelijkingen van vlakken - snijlijn van twee vlakken

Opgave:

zoek de vergelijking van het vlak α dat de snijlijn van de vlakken v1 ↔ x + y + z + 1 = 0 en v2 ↔ 2x − y + 4z + 1 = 0 omvat, en door het punt P(1,1,1) gaat.

We tekenen in Cavalieri de vlakken v1 en v2 rechtstreeks door de coëfficiënten u,v,w,t in te geven (Opdracht - Vlak Vlak ux+vy+wz+t=0). Het tekenen van de snijlijn van twee vlakken gebeurt via Opdracht - Rechte - Snijlijn vlakken. Het tekenen van die snijlijn geeft voorlopig de volgende situatie:


Paul Decuypere


-17-

___________________________________________________________________________

Die tekening is ongetwijfeld juist, maar niet erg duidelijk! We proberen de tekening beter te krijgen, in die zin dat s duidelijk als snijlijn van twee vlakken naar voor komt. Met Opdracht - Vlak - Verplaats vlak naar rechte // met dit vlak is het namelijk mogelijk om de voorstelling van het vlak zó te wijzigen dat het vlak getekend wordt door een rand van het vlak te laten samenvallen met een rechte. We passen dit toe op zowel vlak v1 als vlak v2: beide moeten verplaatst worden naar de rechte s. We krijgen dan:

De rest van de tekening is nu vrij kort: teken P(1,1,1) en kies Opdracht - Vlak - Vlak door P en rechte en pas de voorstelling van het vlak wat aan. Om tenslotte de vergelijking van het vlak α te weten te komen in Cavalieri: kies Analyse Cartesiaanse vgl. vlak. In de groene balk bovenaan verschijnen de coëfficiënten u,v,w,t van het vlak α. Rekening houdend met afrondingsfouten en na vereenvoudiging vinden we α ↔ 0.14x − 0.7y + 0.7z + 0.14 = 0 ⇔ x − 5y + 5z + 1 = 0


Paul Decuypere


-18-

___________________________________________________________________________

Op zich is het maken van de figuur bij deze oefening geen echte noodzaak; leerlingen hebben gewoonlijk niet veel last bij dergelijke oefeningen om zich het gevraagde voor te stellen. Bovendien kan een (onnauwkeurige) schets hier dikwijls volstaan. Maar Cavalieri biedt het voordeel toch onmiddellijk een nauwkeurige tekening te geven, en laat toe de gevonden resultaten te verifiëren.

5.3

Richtingsgetallen van een rechte bepalen Afstand meten tussen punten

x +3 y−2 z+4 ligt = = 2 −1 3 en even ver van de punten A(−3,3, −4) en B(3,1, −2) verwijderd is.

Opgave: zoek de coördinaten van het punt T dat op de rechte r ↔

Het tonen van de opgave en de oplossing kan hier met Cavalieri wel heel zinvol zijn. Door een dynamische variabele in te voeren, wordt er gezorgd voor een variabel punt T op de rechte a; door het verplaatsen van dat punt T, wordt op die manier de oplossing gevisualiseerd.

De gegeven rechte r wordt gedefinieerd via Opdracht - Rechte - Rechte met x,y,z en richtgetallen, dus als rechte door een punt (-3,2-4), met een stel richtingsgetallen (2,-1,3). De coördinaten van het punt T worden op de figuur aangebracht, via Opdracht - Tekst - Tekst = coördinaten van punt. De dynamische variabele is een afstand: de afstand tot het variabel punt T op de rechte r, gemeten vanaf het basispunt van die rechte r. Die variabele verandert van waarde met sprongetjes van 0.1. Maar eigenlijk ondervind je dat die 0.1 niet klein genoeg is om exact die oplossing te zien. Door stap 4 van de stappenlijst te editeren en de instelling van de dynamische variabele afstand zelf te wijzigen, kan de oplossing toch exact getekend worden. ___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-19-

___________________________________________________________________________

Er kan eerst gekeken worden welke ligging het punt T ongeveer moet hebben om de oplossing van het probleem te vormen. Er zal vlug vastgesteld worden dat de dynamische variabele afstand tussen de waarde 11.7 en 11.8 moet liggen. In stap 4 kan bijvoorbeeld de beginwaarde op 11.7 en de eindwaarde op 11.8 geplaatst worden, met sprongen van 0.01. Daardoor valt te zien dat de juiste oplossing een waarde tussen 11.74 en 11.75 vereist; stel dan de dynamische variabele afstand in tussen 11.74 en 11.75, met sprongen van 0.0001. Op die manier ontstaat de precieze oplossing:

Er kan op die manier alvast getoond worden dat er een oplossing bestaat, en dat er bovendien blijkbaar maar één oplossing te vinden is. Is de oplossing eenmaal getoond, dan moeten nu natuurlijk nog de oplossingsmethode en de berekeningen gemaakt worden. Hier kan bijvoorbeeld weer van Derive gebruik gemaakt worden. Een variabel punt T van de gegeven rechte heeft coördinaten ( −3 + 2k, 2 − k, −4 + 3k ) met k een parameter in \ . 2 2 We drukken uit dat de afstand AT = BT en laten Derive de waarde van de parameter k

zoeken die daarmee overeenkomt:

We vinden dus (k = 1) voor het punt T(-1,1,-1) wat natuurlijk overeenstemt met het resultaat dat we ook al in Cavalieri gevonden hadden.


Paul Decuypere


-20-

___________________________________________________________________________ 5.4

De vergelijking van de raakvlakken aan een bol bepalen

Opgave a

Zoek het middelpunt, de straal en vervolgens de vergelijking van het boloppervlak waarvan A(3,2,2) en B(-1,-2,4) tegenpunten zijn.

b

 x  2 1     Zoek de snijpunten van die bol met de rechte s ↔  y  =  0  + k ⋅  2   z   3   −1

c

Zoek de vergelijking van de raakvlakken aan de bol in die punten

Cavalieri geeft niet zelf de vergelijking van het boloppervlak. Maar met Cavalieri zoeken we de straal van die bol; samen met de coördinaten van het middelpunt kan dan die vergelijking heel vlug opgesteld worden. De constructie is overigens niet moeilijk: we tekenen de punten A en B, en construeren het midden M ervan. De coördinaten van M tonen we op de figuur. Vervolgens laten we Cavalieri de afstand meten van M tot A (in de variabele straal, waarvan we ook de waarde afdrukken op de figuur). De bol met middelpunt M en straal gelijk aan de waarde van de variabele straal, kan nu getekend worden. Er wordt daarbij gevraagd met welk vlak een grote cirkel van de bol evenwijdig moet zijn; in principe is elk vlak hiervoor goed. Maar door vooraf een vlak te definiëren waarin de punten A en B liggen, zal de grote cirkel door de punten A en B gaan. Dat verbetert de visuele voorstelling: we zochten immers een bol die door A en B gaat. De vergelijking van de bol (middelpunt M(1,0,3) en straal 3, beide op de figuur af te lezen) is dus: (x − 1) 2 + (y − 0) 2 + (z − 3) 2 = 9 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 6z + 1 = 0 De rechte s (door (2,0,3) met richtingsgetallen (1,2,-1) wordt nu getekend. Door de figuur wat te roteren is onmiddellijk duidelijk dat het gegeven punt A één van de snijpunten van s met de bol zal zijn. Via Opdracht - Snijpunt - Snijpunten van omw.lichaam met rechte wordt dat overigens bevestigd. Ook het tweede snijpunt (S genoemd) kan op die manier gevonden worden. De raakvlakken in A en S aan de bol worden dan getekend als loodvlakken in die punten op de stralen MA en MS van de bol. De vergelijkingen van die raakvlakken zijn te vinden via Analyse - Cartesiaanse vgl. vlak. Omzetting van de decimale getallen die we hierbij vinden naar breuken, en wat vereenvoudiging geven de gevraagde vergelijkingen van de raakvlakken: 1 8 4 38 het vlak met u = − v = − w = t = − of x + 8y − 4z + 38 = 0 9 9 9 9 2 2 1 8 v = w = − t = − of 2x + 2y − z − 8 = 0 3 3 3 3 ___________________________________________________________________________

en het vlak met u =

Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-21-

___________________________________________________________________________

We maken nu ook de berekeningen in Derive. De vergelijking van de bol (middelpunt M(1;0;3) en straal 3) is onmiddellijk gekend:

( x − 1)

2

+ y 2 + ( z − 3) = 9 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 6z + 1 = 0 2

We zoeken eerst de coördinaten van de snijpunten van de bol met de rechte s:

 2 8 13  Dat zijn dus de punten A(3; 2; 2) en P  ; − ;  3 3 3  De raakvlakken in die punten aan de bol zijn de loodvlakken op de middellijnen door A en P. Zij hebben als richtingsgetallen ___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-22-

___________________________________________________________________________

voor MA: (2; 2;1) 8 13   1 8 4  2 voor MP:  − 1; − ; − 3  =  − ; − ;  ~ (1;8; −4 ) 3 3 3   3 3 3 De raakvlakken in A en P aan de bol:

5.5

Evenwijdige vlakken

Opgave: zoek de vergelijking van een vlak π dat evenwijdig is met α ↔ 2x − 3y + 6z + 3 = 0 en op een afstand 1 van de oorsprong O gelegen is. Met de figuur uit Cavalieri kan eerst uitgemaakt worden hoeveel oplossingen het vraagstuk zal hebben en waarom.

Eventueel kan wat ingezoomd worden en kan de figuur geroteerd worden om het geheel wat beter te bekijken. De vergelijkingen van de vlakken pi1 en pi2 kun je opvragen via Analyse - Cartesiaanse vgl. vlak. Je krijgt weer niet echt de vergelijkingen, maar de coëfficiënten u,v,w,t uit de vergelijking ux + vy + wz + t = 0 . De berekeningen zijn hier ook zonder Derive heel eenvoudig. ___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-23-

___________________________________________________________________________ 5.7

Nog een laatste voorbeeld

Opgave:

Gegeven zijn de punten A(2,3, 4) en B(9, 0,10) , en de x −1 y −1 z −1 r↔ = = 3 5 7 Zoek de punten P van r waarvoor de driehoek ∆PAB rechthoekig is in P.

rechte

In Cavalieri is weer de figuur gemaakt. Het punt P kun je verplaatsen door de dynamische variabele puntP te wijzigen. De sprongetjes die puntP daarbij telkens maakt bedragen 0.5. De juiste oplossing kun je maar vinden door dit bedrag veel kleiner te nemen. Maar zelfs zonder de precieze oplossingen af te lezen, kan gemakkelijk ontdekt worden dat het vraagstuk ook hier twee oplossingen heeft.

Wil je toch de precieze oplossingen vinden, doe dan het volgende. Zoek eerst welke waarde puntP ongeveer heeft (neem een waarde te klein) om een hoek ˆ = 90° te krijgen. Kies dan voor Stappenlijst en klik dubbel op stap 4. APB Bij Def vul je de nieuwe startwaarde in (de waarde van puntP die daarnet gevonden was als ruwe oplossing); bij stap neem je een veel kleinere waarde, bijvoorbeeld 0.01 of zelfs nog kleiner. Als de hoek 90° aanwijst, kun je de coördinaten van het punt P aflezen en verifiëren met de resultaten van de berekeningen. Precies 90° is moeilijk te realiseren, maar de afwijking is zo klein dat je wel degelijk de coördinaten van P kunt vinden. Geven we tenslotte de berekeningen in Derive. ___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-24-

___________________________________________________________________________

De gevraagde punten hebben dus coördinaten

( 4;6;8) en 

182 248 314  ; ;  ≈ ( 2.1928; 2.9880;3.7831)  83 83 83 

6

MEETKUNDIGE PLAATS

Dit is een opgave uit het nieuwe handboek Delta 5/6 Ruimtemeetkunde. Zoek de meetkundige plaats van de punten die even ver gelegen zijn van twee kruisende rechten l en m met vergelijking x = r x = s   l ↔ y = r en m ↔  y = −s z = −1 z = 1   JJG JJG Richtingsvectoren van l en m zijn dus d1 (1,1, 0 ) respectievelijk d 2 (1, −1, 0 )

Stellen we een punt P dat even ver gelegen is van l als van m voor door P(x;y;z), dan moet d(P, l) = d(P, m) . We zoeken dus punten Q op l en R op m zodanig dat PQ = PR waarbij PQ ⊥ l en PR ⊥ m . Q ligt op l en heeft dus coördinaten van de vorm

( r, r, −1) ;

R ligt op m en heeft dus

coördinaten van de vorm ( s, −s,1) . Zie ook de figuur in Cavalieri. ___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere


-25-

___________________________________________________________________________

JJJG JJG JJJG JJG We drukken uit dat PQ ⊥ l en PR ⊥ m door te eisen dat PQ ⋅ d1 = 0 en PR ⋅ d 2 = 0 , en we halen daaruit een voorwaarde voor de parameters r en s:

JJJG JJG JJJG JJG x+y x−y en s = Uit PQ ⋅ d1 = 0 en PR ⋅ d 2 = 0 halen we dus dat r = 2 2


Paul Decuypere


-26-

___________________________________________________________________________

We drukken nu uit dat PQ = PR of dat PQ = PR ⇔ PQ − PR = 0 , en we vervangen in die uitdrukking de gevonden waarden van r en s: 2

2

2

2

De gevraagde puntenverzameling bevat dus punten P(x,y,z) die voldoen aan z =

x⋅y 2

Dit is niet de vergelijking van een vlak, maar van een oppervlak in de ruimte. Om dat oppervlak te onderzoeken, gebruiken we verder Derive. We geven de volgende functie in:

en laten de grafiek ervan tekenen in een 3D grafiekvenster.


Paul Decuypere


-27-

___________________________________________________________________________

Een oppervlak met een dergelijke vorm is een zadeloppervlak. De grafiek kan gemakkelijk geroteerd worden in Derive. Ze kan al dan niet in een box getoond worden. Ook de kleuren zijn in te stellen.

In het oppervlak zijn twee bundels rechten en één bundel hyperbolen terug te vinden door het oppervlak te snijden met vlakken evenwijdig met de coördinaatvlakken. •

Snijden we het oppervlak z = xy k   z = z = y 2 ⇔ 2   x = k  x = k

xy met een vlak // met het yz-vlak, dan vinden we 2

dit is een rechte met richtingscoëfficiënt

k // met het yz-vlak 2

We nemen bijvoorbeeld het vlak x = 5

Laten we k variëren dan verkrijgen we een rechtenbundel, waarvan de y-as een rechte is.

•

Snijden we het oppervlak z = xy k   z = z = x 2 ⇔ 2   y = k  y = k

xy met een vlak // met het xz-vlak, dan vinden we 2

dit is een rechte met richtingscoëfficiënt

k // met het xz-vlak 2


Paul Decuypere


-28-

___________________________________________________________________________

We nemen bijvoorbeeld het vlak y = 4

Laten we k variëren dan verkrijgen we een rechtenbundel, waarvan de x-as een rechte is. •

Snijden we het oppervlak z = xy   xy = 2k z = 2 ⇔  z = k  z = k

xy met een vlak // met het xy-vlak, dan vinden we 2

dit is een orthogonale hyperbool // met het xy-vlak

We nemen bijvoorbeeld het vlak z = 6

Laten we k variëren dan krijgen we een bundel hyperbolen // met het xy vlak.


Paul Decuypere


-29-

___________________________________________________________________________

Een keer deze resultaten gevonden, kunnen we in Cavalieri nagaan dat de punten van deze bundels rechten en hyperbolen inderdaad voldoen aan de eis dat de afstand van die punten tot aan de gegeven rechten l en m gelijk is. We nemen bijvoorbeeld een rechte uit de eerste bundel (rechte // yz-vlak). k  z = y Stel in de bundel  2 de waarde k bijvoorbeeld gelijk aan 1.  x = k x = 1 We krijgen dan de rechte  als onderdeel van de meetkundige plaats. Dat is een 2z − y = 0

rechte door bijvoorbeeld (1; 2;1) met richtingsgetallen ( 0; 2;1)

We tekenen die rechte in Cavalieri. We nemen bovendien een willekeurig punt P’ op die rechte; en meten de afstand van dit punt tot de rechten l en m. Er kan gemakkelijk geverifieerd worden dat die afstanden gelijk zijn.

Paul Decuypere, 13 november 2003 [email protected] ___________________________________________________________________________ Dag van de wiskunde 2e en 3e graad - zaterdag 15 november 2003

Paul Decuypere

1 EEN ZUIVER MEETKUNDIGE TOEPASSING: DOORSNEDEN

Recommend Documents