CALCULUS SCHAKEL Ongelijkheden, absolute waarde, oplossen van ongelijkheden. Vergelijkingen van rechte lijnen. Definitie functie, polynoomfuncties, rationale functies. Grafiek van een functie. Nulpunten kwadratische vergelijking (ontbinden in factoren; abc-formule) Nulpunten derdegraadsvergelijking indien een factor uitgedeeld kan worden. Snijpunten van een lijn en een parabool. De inverse functie van een functie. De functies sinus, cosinus en tangens. Periodiciteit. Verband tussen sin x en cos x, cos 2 x sin 2 x 1 (Pythagoras) Somformules, herschrijven van sommen van sinussen en cosinussen.
De inverse van de sin, cos en tan. Vereenvoudigen van uitdrukkingen met arcsin, arccos en arctan. Rekenregels voor exponenten, de exponentiële functie, het getal e Grafieken van e-machten, de logaritmische functies, natuurlijke logaritme ln x. Vergelijkingen met logaritmen, grafiek van logaritmische functies Rekenregels voor logaritmen. De hyperbolische functies sinh, cosh en tanh. Vergelijkingen met hyperbolische functies oplossen.
sin x 1 x 0 x
Het begrip limiet, eenzijdige limiet, lim
Het berekenen van limieten, rekenregels, insluitstelling. Continuïteit in een punt en op een interval, discontinuïteiten, continuïteit van sommen, producten en quotiënten van continue functies, de tussenwaardestelling. Oneindige limieten en limieten in oneindig, limieten van rationale functies, verticale (VA) en horizontale (HA) asymptoten. Differentiequotiënt, raaklijn, richtingscoëfficiënt. Snijlijn vs raaklijn. De afgeleide van een functie in een punt, differentiëren van functies, differentieerbaarheid impliceert continuïteit. Berekenen afgeleiden, rekenregels voor som, verschil en constante factor.
2DB03 Productregel, quotiëntregel en kettingregel. Een tweetal standaardlimieten voor sin en cos. De afgeleide van sin, cos en tan. De afgeleiden van sommen, producten, quotiënten en samengestelde functies waarin goniometrische functies voorkomen. Afgeleiden van exponentiële- en logaritmische functies. Afgeleide van inverse functies, bijv arcsin, arccos en arctan
Functieonderzoek en het schetsen van grafieken van functies. Domein en Bereik. Globaal/lokaal maximum, globaal/lokaal minimum, (lokale) extreme waarde, extremewaardestelling, definitie kritiek punt, extreme waarden worden aangenomen in kritieke punten. Stijgende en dalende functies, tekenschema’s en extreme waarden. Buigpunten en tweede afgeleide test voor extreme waarden. Primitieve functie. Oppervlakteberekening dmv integreren. Bepaalde en onbepaalde integraal. Riemann som. Gemiddelde waarde van een functie. Hoofdstelling van de integraalrekening. Substitutiemethode.
Standaard integralen. Kwadraat afsplitsen. Partieel integreren.
Omgekeerde (o.a. goniometrische) substituties. Integralen van rationale functies: drie varianten (criterium is aantal nulpunten van de noemer: breuksplitsen, basisfunctie en arctan). Zwaartepunt.
Lineaire functie (lijn)
y ax b a=rc=∆y/∆x
Kwadratisch (parabool)
y ax 2 bx c (a 0) a( x xtop ) ytop xtop b
2a
Opstellen: mbv 2pten invullen a en b bepalen mbv eliminatie/substitutie
1 c xb
(a 0)
dalparabool als a>0; top=minimum bergparabool als a<0; top=maximum x-as: y=0 mbv abc formule
(D>0: 2 opl; D=0: 1 opl; D<0 geen opl) y-as: x=0 en y=b symmetrie-as: x=xtop domein alle x bereik vanaf ytop; resp. t/m ytop Opstellen mbv top of nulpunten of punten op de grafiek (kies beste methode)
Goniometrisch
y sin x cos x tan x (evt. trafo's)
Wortel (halve parabool)
HBO1
y ax b of y a x b (a 0) Zowel wortel zelf als argument zijn ≥0.
y af ( x) b met f ( x) sin x, cos x of tan x
en ytop via invullen
b D x 2a 2 met D b 4ac domein alle x bereik alle y
y a
2
a( x nulpt1 )( x nulpt2 )
stijgend als a>0 en dalend als a<0 x-as: (-b/a,0) y-as: (0,b)
Gebroken lineair (hyperbool)
stijgend als a<0 en dalend als a>0 VA: x=-b (nulpt noemer) HA: y=c (vrije constante) Puntsymmetrie tov (-b,c) het snijpt van de asymptoten x-as (y=0): x= via invullen y-as (x=0): y=a/b +c domein alle x, muv -b bereik alle y muv c Opstellen mbv punten op de grafiek, asymptoten, punt van symmetrie (kies beste methode)
Grafiek: lijn door 2 pten.
Grafiek: mbv waardentabel
Grafiek: mbv waardentabel
Vergelijking oplossen/snijpt - gelijkstellen en - oplossen
Vergelijking oplossen/snijpt - gelijkstellen en - oplossen
Vergelijking oplossen/snijpt - gelijkstellen - oplossen Controle: noemers ≠0
a= amplitude = (max-min)/2 bij sin en cos Let op ± ! b=evenwichtsstand = (max+min)/2 bij sin en cos sinx , cosx zijn golfpatronen tussen -1 en 1. tanx loopt van –oneindig naar +oneindig sinx maximaal 1 in π/2 en minimaal -1 in -π/2 (toppen) cosx maximaal 1 in 0, 2π en minimaal -1 in π (toppen) periode (herhaling): 2π tanx onbegrensd asymptoten (VA) x= π/2 en x= -π/2 periode (herhaling): π sin en cos domein: alle x tenzij kleiner gebied aangegeven bereik: -1≤y≤1 tan: domein alle x muv x= π/2 + πk; bereik alle y
overstaande zijde schuine zijde aanliggende zijde cos( ) schuine zijde overstaande zijde sin( ) tan( ) aanliggende zijde cos( )
sin( )
Eenheidscirkel Rechthoekige driehoek Pythagoras: a 2 b 2 c 2 en sin 2 ( ) cos 2 ( ) 12 1 met a en b rechthoekszijden en c de schuine zijde Grafiek: mbv waardentabel Bereken eerst amplitude en evenwichtstoestand. Vergelijking oplossen/snijpt bepalen (plaatjes!)
sin x c sin( ) dan x 2 k of x 2 k cos x c cos( ) dan x 2 k of x 2 k tan x c tan( ) dan x k met k geheel
Controle: op gegeven domein
Halve liggende parabool
y ax b dus y 0 en ax b 0
y a x b dus x b 0 top=meest linkse of rechtse pt (onder wortel staat 0), eindpt van de grafiek
xtop b / a , resp. b en ytop 0 y ax b stijgend vanuit de top naar links of rechts y a x b stijgend naar rechts indien a>0 en dalend indien a<0 domein en bereik volgen uit bestaanscriteria
Opstellen mbv top of punten op de grafiek (kies beste methode)
y x 2 en y x kunnen via spiegeling in de lijn y=x gemaakt worden. Vb. y
x
,
y x
,
y x en
y x met plaatjes.
Grafiek: mbv waardentabel Vergelijking oplossen/snijpt - gelijkstellen, evt kwadrateren - oplossen Controle: invullen in startvergelijking op geldigheid.
Transformaties:
basisfunctie y f ( x) Vermenigvuldigen met factor 1/q tov de y-as: y=f(x) y=f(qx) (voor 0
1 in elkaar gedrukt) Handige tip: vervang eerst x door (x) en dan binnen de haakjes x door qx. Indien q=-1 wordt de grafiek gespiegeld in de y-as. Verschuiven in horizontale richting over h: y=f(x) y=f(x-h) (naar rechts als h>0 en naar links als h<0) Handige tip: vervang eerst x door (x) en dan binnen de haakjes x door x-h. Vermenigvuldigen met factor p tov de xas: y=f(x) y=pf(x) (rechterlid wordt in zijn geheel met p vermenigvuldigd) Indien p=-1 wordt de grafiek gespiegeld in de x-as.
Exponentieel
y b gx Grafiek stijgend als g>1 en dalend als 00 (als b>0) en y<0 (als b<0) (dus geen snijpunten x-as). Startwaarde x=0: y=b: x-as (y=0) is HA (horizontale asymptoot). g x a x g log a
g-logaritme van a is de macht waartoe ik het grondtal moet verheffen opdat ik a krijg Functievoorschrift: Opstellen mbv punten op de grafiek en/of asymptoot.
Logaritmisch
HBO1
Rekenmethoden Haakjes: verdrijven of maken:
Gonio
y a g log( x b) Grafiek stijgend als g>1 en dalend als 00. Domein: x>0 (dus geen snijpten y-as). Bereik alle y De lijn x=0 is VA (verticale asymptoot).
Wegwerken/verdrijven: Boogjes / tabel
(a b)(a b) a b 2
log a g log b g log(a b) a g log a g log b g log( ) b p g log a g log(a p )
log a
10
60
π/3
(a b) (a b)(a b) a 2ab b
90
π/2
180 270 360
π 3π/2 2π
2
2
Ontbinden in factoren: som-productmethode
x 2 pq q ( x s )( x t )met s t p en st q
g
log(1/ g ) 1
g
log g 1/ 2
g
log g 1 g g
log g 2 2
g p gq p q
g
log p g log q p q
dan p=q oplossen
dan p=q oplossen
Evt. controle
Controle op het bestaan van de logaritmen
1
4 1
1 2
1 2
1 2
3
1 2
2
tan 0 1 3
3 1
1 2
2
1 2
3
1 2
1
4 1
1 2
0 0
1 2
sin( ) sin( )
1 0 1 sin( ) sin( )
cos( ) cos( )
cos( ) cos( )
3 -
0 0
tan( ) tan( ) mbv eenheidscirkel
Breuken:
Machten: a m a n a m n
a / b ad (delen van breuken) c / d bc a c ad bc (kruislings product) b d
(ab) n a n b n 1 an n a a0 1
log g k k
Vgl oplossen/ snijpten →
1 2
0 1 0
Vereenvoudigen van breuken (elimineren gemeenschappelijke delen formule) Optellen/aftrekken van breuken: gelijknamig (gelijknoemerig) maken Vermenigvuldigen van breuken (teller * teller; noemer * noemer, vereenvoudigen) Oplossen van gebroken vergelijkingen (gelijknamig maken; kruislings product en dan oplossen)
(a) n (1) n a n (a1/ 2 a ) q
Wortels:
( a )n a n
ab a b
p
a / b a/b
p
p
p
p
p
p
a
p
a p a q (a1/ q ) p (a p )1/ q
a a a 2 a als a≥0; a als a≤0;
p
a
( a m ) n a mn
( a / b) n a n / b n 1 am / an amn nm a
q
Vgl oplossen/ snijpten →
0 0
1 2
a1/ q a Verschuiven in verticale richting over v: y=f(x) y=f(x)+v (omhoog als v>0 en omlaag als v<0)
cos
1 2
sin( / 2 ) cos( ) cos( / 2 ) sin( ) mbv eenheidscirkel
log a b log a g log b
log1 0
π/6 π/4
log a
g
30
sin
45
g
Functievoorschrift: Opstellen mbv punten op de grafiek en/of asymptoot.
rad 0
(a b) 2 (a b)(a b) a 2 2ab b 2 2
g
2
(º) 0
p
a en
1 a
1 a
a q a s a r als q ps r p
a a
1 a a
Werkmodel 1. Informatie (structureren) 2. Modelbouw (doelfunctie) 3. Oplossen (berekenen) 4. Toepassen (haalbaarheid)
Snijlijn gaat door twee punten (van de grafiek) Raaklijn raakt de grafiek in een punt. Lijnen te bepalen met twee punten op die lijn danwel de rc en een punt.
Differentiëren Gemiddelde verandering van f ( x ) : f ( x) f (eind ) f (begin) f ( x x) f ( x) eind begin x x
differentiequotiënt Het differentiequotiënt is de rc van de snijlijn door (x,f(x)) en (x+∆x,f(x+∆x)) aan de grafiek. Momentane/marginale verandering van f ( x) : f ( x ) y f ( x x ) f ( x ) f '( x ) lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x
differentiaalquotiënt
y ax b rc a y x
Daarna b uitrekenen door het punt in te vullen.
Vb. Mechanica: v=s’(t) en a=v’(t) met s=plaats(weg), v=snelheid en a= versnelling
Som SR Verschil VR
s ( x) f ( x) g ( x)
s '( x) f '( x) g '( x)
v( x) f ( x) g ( x)
v '( x) f '( x) g '( x)
Product PR
p( x) f ( x) g ( x)
p '( x) f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)
Quotiënt QR
q( x)
q '( x)
f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) ( g ( x)) 2
f ( x) v(u ( x)) f '( x) v '(u ( x)) u '( x) (KR: functie in stapjes opdelen; daarna afgeleiden van de stapjes vermenigvuldigen) f ( x) x 2 4 x x 4 ||
Standaardfunctie f ( x) c
f ( x) x
f ( x) g log x
x 0
Differentieerbaarheid → continuïteit, andersom niet altijd.
2 u
x2 4
Afgeleide f '( x) x 1 f '( x) sin x
Raaklijn van rechts bestaat:
Differentieerbaar: raaklijn van links = raaklijn van rechts dus lim
2 u
x
1
f ( x) cos x
f ( x) ln | x |
f ( x x) f ( x) x
u 1/ 2
f '( x) cos x
Raaklijn van links bestaat:
f ( x x) f ( x) x
2 u
2
f ( x) sin x f ( x) tan x
x 0
1
2x
1
Bij toepassing van deze regels kan het nuttig zijn eerst het functievoorschrift uit te werken en/of te vereenvoudigen.
f '( x) 0
Differentieerbaarheid: (let op domein)
lim
2x
u u u1/ 2 f '( x) 2 x
Synoniemen: afgeleide f ’(x) =df(x)/dx rc van de raaklijn tangens van de hellingshoek helling,
afgeleide
2
Vb. KR
x 0
f ( x) g ( x)
Ketting KR
Het differentiaalquotiënt is de rc van de raaklijn in (x,f(x)) aan de grafiek van f(x).
lim
HBO2
afgeleide g '( x) c f '( x)
Gebruik desgewenst haakjes om de stappen te bepalen.
Voor de rc geldt: rc=∆y/∆x= verandering van y gedeeld door de verandering van x. Lijn:
Regels en standaardformules Regel functie Constante factor g ( x) c f ( x) CR
f ( x) e x
1 1 tan 2 x cos 2 x 1 f '( x) x 1 g 1 1 f '( x) log e x x ln g f '( x)
f '( x) e x
f ( x) a x f '( x) a x ln a Bij toepassing van deze regels kan het nuttig zijn eerst het functievoorschrift uit te werken en/of te vereenvoudigen. Hulpmiddel: goniowieltje, formulekaart.
Tekenen van grafieken van functies HBO2 1. Bepaal Domein D(efinitiegebied) (en B(erei)k B) van de functie. 2. Maak een waardentabel voor enkele eenvoudig te tekenen punten op de grafiek, vb. x= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 of bij gonio 2 , 32 , , 12 , 0, 12 , , 32 , 2
Functieonderzoek
Functie f(x) daalt als rc raaklijn <0 dus als f’(x)<0 dus f(x)
Functie f(x) stijgt als rc raaklijn >0 dus als f’(x)>0 dus f(x)
Als f’(x)=0 dan rc raaklijn=0 (horizontaal) mogelijke situaties: f ’(x) f(x) x f ’(x)
++++++ 0 ++++++
buigpunt
- - - - - - 0 ++++++
f ’(x) f(x) x f ’(x)
++++++ 0 - - - - - - - -
3. 4.
maximum
------ 0--------
f(x) f(x) x minimum x buigpunt Extreme/uiterste waarden zijn maxima en minima (lokaal/globaal). Extreme waarden treden dus op als f ‘(x)=0 en een tekenwisseling van f ‘(x) Extreme/uiterste waarden zijn maxima en minima. (bijv. top bij parabool) Extreme waarden treden dus op - als f ‘(x)=0 en een tekenwisseling van f ‘(x) (+0- of -0+) - als f ‘(x)=0 en f “(x)>0 (dan heeft f(x) een minimum) grafiek f(x) is convex (bol) of als f ‘(x)=0 en f “(x)<0 (dan heeft f(x) een maximum) grafiek f(x) is concaaf (hol) Beide methoden mogen gebruikt worden (kies de handigste!). Randextremen zijn eindwaarden van het domein waar mogelijk een uiterste waarde optreedt. Vanaf links (in domein): f’(x) ++++ dan is er een randminimum; evenzo tot rechts (in domein) f’(x) ++++ randmaximum. Vanaf links (in domein) f’(x) ------ dan is er een randmaximum; evenzo tot rechts (in domein) f’(x) ------ randminimum.
Buigpunten: f(x) heeft in x=a een buigpunt als f "(a ) 0 en f "( x ) heeft een tekenwisseling rond x=a :dus =+0- of -0+ (dus f ’(x) maximaal of f ’(x) minimaal) f “(x) ++++++ 0 - - - - - - - f “(x) ---------- 0 +++++++
f ’(x) max f ’(x) min f(x) concaaf (hol) convex(bol) f(x) convex (bol) concaaf (hol) x buigpunt x buigpunt De raaklijn in het buigpunt aan de grafiek van f(x) heet de buigraaklijn. Deze ‘raak’lijn gaat dus eigenlijk dwars door de grafiek heen. Cirkel met straal r: omtrek 2 r en oppervlakte r 2 Cilinder straal r en hoogte h: Inhoud=grondvlak*h= r 2 h ; opp(zijkant)= 2 r h
Bepaal snijpunten met de x-as (oplossen f(x)=0). Bepaal eventuele horizontale en verticale asymptoten: HA en VA. 5. Bepaal f ‘(x), geef een tekenschema en bepaal de extremen van f(x). 6. Bepaal f ”(x) en bereken eventuele buigpunten. 7. Schets de grafiek. Afgeleiden van basisfuncties uit P1WIS Functie Afgeleide f ( x) ax b f '( x) a f ( x) ax 2 bx c f ( x)
a c xb
f ( x) a sin(bx c) d f ( x) a cos(b( x c)) d f ( x) ax b
f ( x) b g
x
f ( x) a g log(bx c )
f '( x) 2ax b f '( x)
a ( x b) 2
f '( x) ab cos(bx c) f '( x) ab sin(b( x c)) f '( x)
a
2 ax b f '( x) b ln g g x
ab ln g (bx c) Let hierbij op het gebruik van haakjes! Voorbeeldmodel: f '( x)
b K (r ) a r 2 c heeft extreme waarden voor r b K '(r ) 2ar 2 0 zodat r b b 2ar 2 r 3 ropt 3 b / 2a 2a r Tekenschema geeft minimum aan ( -0+) voor r=ropt.
Rechthoek met lengte l en breedte b: omtrek=2(b+l) oppervlakte=b*l
Driehoek: oppervlakte=basis*hoogte/2 Gelijkzijdige driehoek, gelijkbenige driehoek.
Werkmodel
Differentiëren
1. Informatie (structureren) 2. Modelbouw (doelfunctie) 3. Oplossen (berekenen) 4. Toepassen (haalbaarheid)
Gemiddelde verandering van f ( x ) : f ( x) f (eind ) f (begin) f ( x x) f ( x) eind begin x x
Regels en standaardformules voor het differentieren Regel functie Constante factor CR g ( x) c f ( x)
differentiequotiënt Het differentiequotiënt is de rc van de snijlijn door (x,f(x)) en (x+∆x,f(x+∆x)) aan de grafiek.
Integralen: Momentane/marginale verandering van f ( x) : - bepaald (grenzen) vs. f ( x ) y f ( x x ) f ( x ) onbepaald (functie) f '( x) lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x - oneigenlijk: grenzen en/of functie zijn differentiaalquotiënt=afgeleide f ’(x) =df(x)/dx onbegrensd (±∞) Het differentiaalquotiënt is de rc van de raaklijn in Integralen kunnen (x,f(x)) aan de grafiek van f(x). Ook: tangens van positief, nul of negatief de hellingshoek, helling van de raaklijn. zijn, oppervlakten zijn altijd niet-negatief. Zwaartepunt Z=(xZ,yZ) Oppervlakte tussen f(x)=boven en g(x)=onder:
HBO3
afgeleide g '( x) c f '( x)
Som +R Verschil -R
s ( x) f ( x) g ( x) v( x) f ( x) g ( x)
s '( x) f '( x) g '( x) v '( x) f '( x) g '( x)
Product PR
p( x) f ( x) g ( x)
p '( x) f '( x ) g ( x) f ( x) g '( x)
Quotiënt QR
q( x)
f ( x) g ( x)
q '( x)
f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) ( g ( x)) 2
f ( x) v(u ( x)) f '( x) v '(u ( x)) u '( x) (KR: functie in stapjes opdelen; daarna afgeleiden van de stapjes vermenigvuldigen)
Ketting KR
Gebruik desgewenst haakjes om de stappen te bepalen.
Standaardfunctie f(x) f ( x) c
b
Afgeleide f’(x) f '( x) 0
A f ( x) g ( x) dx (evt g(x)=0 dan onder grafiek f(x))
f ( x) x
Statische momenten (afleiden mbv Δx-methode) en coördinaten Moment M=?·arm met ?=massa, kracht, oppervlakte etc.
f ( x) sin x
f '( x) cos x
f ( x) cos x
f '( x) sin x
a
b
tov y-as:
S y x( f ( x) g ( x)) dx → xz a
Sy A
bijv
f ( x) tan x
b
1 x( f ( x) g ( x))dx A a
f ( x) ln | x |
Sx 1 d y y ( xrechts xlinks )dy S x y ( xrechts xlinks )dy → z A Ac c d
tov x-as:
f ( x) g log x
b
1 ( f ( x) 2 g ( x) 2 )dx Eenvoudiger: y z 2A a met a, b op de x-as en c, d grenzen op de y-as.
Eventueel g(x)=0 dan onder grafiek f(x)). Symmetrie Zwaartepunt ligt op alle symmetrie-assen. (Tov symmetrie-as is statisch moment 0) Snijpunt van symmetrie-assen is het zwaartepunt. Toepassing mechnica: zwaartepunt is het aangrijpingspunt van een kracht, Bijv. gravitatie F=mg.
f ( x) e x
f '( x) x 1
1 1 tan 2 x cos 2 x 1 f '( x) x 1 1 1 f '( x) g log e x x ln g f '( x)
f '( x) e x
f ( x) a x f '( x) a x ln a Bij toepassing van deze regels kan het nuttig zijn eerst het functievoorschrift uit te werken en/of te vereenvoudigen. Hulpmiddel: goniowieltje, formulekaart.
Differentiëren en integreren zijn omgekeerde/tegengestelde bewerkingen: Deze tabel : → lezen is differentiëren en ← lezen is integreren. Tabel andere kant A4tje: → lezen is integreren en ← lezen is differentiëren
Cirkel met straal r: omtrek 2 r en opp r 2 Bol: opp 4 r 2 en volume 4 r 3 / 3 Cilinder straal r en hoogte h: volume=grondvlak*h= r 2 h ; opp(zijkant)= 2 r h Kegel met grondvlak G (evt. cirkel) en (loodrechte)hoogte h: volume =Gh /3.
Rechthoek met lengte l en breedte b: omtrek=2(b+l) oppervlakte=b*l
Driehoek: oppervlakte=basis*hoogte/2 Gelijkzijdige driehoek, gelijkbenige driehoek. Zwaartelijnen: verhouding 1:2
Werkmodel 1. Informatie (structureren) 2. Modelbouw (doelfunctie) 3. Oplossen (berekenen) 4. Toepassen (haalbaarheid) Primitieve F(x):
F ( x) f ( x)dx met integrand f ( x ) . F’(x)=f(x) dus ook
f ( x) f '( x)dx Indien nodig constante c toevoegen (dus F(x) is niet uniek)
Vb. Mechanica: v=s’(t) en a=v’(t) met s = plaats(weg), v = snelheid en a = versnelling.
Dus s (t ) v(t )dt
en v(t ) a (t )dt . Maak plaatjes! Vb.
Eenparige beweging: v(t)=constant=v dus a(t)=0
s (t ) s (0) vt Eenparig versnelde beweging: a(t)=constant =a v(t ) v(0) at
Regels en standaardformules voor het integreren functie Oppervlakte onder grafiek van f ( x ) tussen x a en b : Regel b Constante factor CR g ( x ) c f ( x) A f ( x) dx F (b) F (a ) Af Som +R s ( x) f ( x) g ( x) a Verschil -R v( x) f ( x) g ( x) Oppervlakte tussen grafieken van f ( x) en g ( x)
Integreren
van x a tot b:
Substitutie SR
b
A boven( x) onder ( x) dx Aboven Aonder a
Punten a en b eventueel te bepalen als twee opeenvolgende snijpunten. Daartussen in een punt boven en onder bepalen. Riemann-benadering: Δx=(b-a)/n ΔA=lengte(x)·Δx opp. strookje bij x met breedte Δx A=Σ ΔA= Σ lengte(x)·Δx Integraalstap (limiet ) Δx→dx en Σ→∫ b
A lengte( x) dx (oppervlakte)
Evenzo: ΔV=opp(x)·Δx volume strookje bij x met dikte Δx V=Σ ΔV= Σ opp(x)·Δx Integraalstap (limiet ) Δx→dx en Σ→∫
SR: Kies voor u wat tussen binnenste haakjes staat, of wat complex lijkt: u= ; du/dx=u’(x) ; du=u’(x)dx en herkennen/vervangen. Controle mbv de kettingregel + differentiëren a
Eigenschappen:
f ( x)dx F (a) F (a) 0 (lege integraal); a
b
a
a
f ( x)dx ( f ( x) dx) (grenzen verwisselen) en b
c
a
f ( x)
1 cos 2 x
F P ( h) A( h, h h) P ( h) (h)h
F P ( h) (h)dh gh (h)dh
Omwentelingslichaam: (rond de x-as van functie f(x))
V r 2 x f ( x) 2 x V r 2 dx (rond de x-as tussen f(x)=buiten en g(x)=binnen)
Vtussen Vbuiten Vbinnen ( f ( x) g ( x) ) dx 2
2
1
f ( x)dx
n 1
f ( x)dx ln | x | c
f ( x) a x
f ( x)dx ln a a
Volume door een buis: V=v·A (mbv debieten)
V v(t ) A(t )t V v(t ) A(t )dt
Primitieve / integraal
1 x f ( x) e x
f ( x)
Hydrostatische kracht: P(h)=F/A=ρgh met diepte h
b
f ( x)dx n 1 x c f ( x)dx cos x c f ( x)dx sin x c f ( x)dx tan x c
f ( x) cos x
W a ( seind s ) ds
a
f ( x) x n (mits n 1)
a
W m a s ( s ) a ( seind s )
c
f ( x)dx ax c
f ( x) sin x
Bovensom, ondersom, trapeziumregel Toepassingen. Teken plaatjes! Arbeid W=F·s mbv F=ma bijv.
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx (gebiedsplitsing)
f ( x) a
b
V opp( x) dx (volume)
s( x)dx f ( x)dx g ( x)dx v( x)dx f ( x)dx g ( x)dx
f (u( x))u '( x) dx f (u) du F (u) c F (u( x)) c
Standaardfunctie f(x)
a
HBO3
primitieve (integraal) g ( x)dx c f ( x)dx
f ( x)dx e
x
c
1
x
c
Bij toepassing van deze regels kan het nuttig zijn eerst het functievoorschrift uit te werken en/of te vereenvoudigen. Hulpmiddel: goniowieltje, formulekaart. Handig: Vb.
xdx 23 x x c , x xdx 52 x 2 x c ;
x
n
ln xdx
1 n 1
ln x 1 1 1 dx u 2 c (ln x) 2 c ln 2 x c mbv u ln x x 2 2 2
x n 1 ln x ( n 11)2 x n 1 c
(SR)
