WEEK 1: Rekenen met Ongelijkheden bij Foutschattingen 1. Beschouw twee stukken touw met lengten, respectievelijk L1 = 7m en L2 = 6m. Over deze lengten bestaat onzekerheid: L1 kan fluctueren met maximaal ±²1 , met ²1 = 0.3m ²2 = 0.5m, L2 kan fluctueren met maximaal ±²2 , met ²2 = 0.5m . De twee stukken touw worden aan elkaar geknoopt, waardoor een verkorting K = 0.5m optreedt. Echter de verkorting K kan fluctueren met maximaal ±²3 en ²3 = 0.4m. Bereken het interval waarbinnen de totale lengte van de aan elkaar geknoopte touwen kan fluctueren. 2. Een rechthoekig stuk grond is A km lang en B km breed. A en B zijn niet precies bekend: A = 5 ± 0.3 km, B = 3.5 ± 0.4 km. Bereken een zo zuinig mogelijk interval waarbinnen de oppervlakte van het stuk grond ligt. 3. Een metalen cylinder heeft een diameter D = 5 cm, een lengte L = 20 cm, en gewicht G = 4 kg. Helaas bestaat ook over deze gegevens onzekerheid: D kan fluctueren met maximaal ±d, d = 1 cm, L met maximaal ±`, ` = 1 cm, G met maximaal ±γ, γ = 0.5 kg. Bereken het kleinst mogelijke interval waarbinnen het soortelijk gewicht van het metaal ligt. 4. Beantwoord 1. uitsluitend met de letters L1 , L2 , K, ²1 , ²2 , ²3 . 5. Beantwoord 2. uitsluitend met de letters A, B, a, b. Geef zelf aan wat a en b zijn. 6. Beantwoord 3. uitsluitend met de letters D, L, G, d, `, γ.
WEEK 2: Toepassingen op 17e eeuwse geometrische optica 1. Reflectie aan een vlakke spiegel De x-as van het xy-vlak beschouwen we als een ideale spiegel. Voorts beschouwen we de rechte lijn beschreven door y = αx + β, met vast gekozen α > 0 en β. Het deel van deze rechte dat in het bovenhalfvlak ligt wensen we te zien als een op de spiegel invallende lichtstraal. Bereken de vergelijking van de gereflecteerde lichtstraal via het principe ”hoek van inval = hoek van terugkaatsing”. 2. Net als bij 1. Nu ligt de ideale spiegel langs de rechte y = Ax. Met A vast gekozen. 3. Reflectie aan een parabolische spiegel. We willen nu rekenen aan een ideale parabolische spiegel. Hierbij gaan we uit van het principe dat een lichtstraal die een kromme treft in een punt P wordt teruggekaatst alsof P een punt is van de vlakke spiegel die zich bevindt op de raaklijn in P aan de kromme. 2 2 a) Beschouw de parabool gegeven door y = x4p , met p > 0 vast gekozen. Laat Q = (a, a4p ) 1
een willekeurig punt op de parabool zijn. Bereken de afstand van Q tot het punt (0, p) en ook de afstand van Q tot de rechte y = −p. Wat valt U op? b) Bereken het snijpunt met de x-as van de rechte door de punten (0, p) en (a, −p). c) Bereken de vergelijking van de rechte door Q en het onder b) gevonden punt. Laat vervolgens ¡zien dat deze rechte in Q raakt aan onze parabool. Bijvoorbeeld door te laten ¢ 1 2 2 zien dat 4p x − 2ax − a > 0, als x 6= a. d) Beschouw nu het boven de parabool gelegen deel van de ’verticale’ rechte x = a als een invallende straal en bereken de gereflecteerde straal. Aanwijzing: Maak gebruik van een speciale eigenschap van de driehoek met hoekpunten (0, p), Q, (a, −p) en de speciale positie van het deel van de raaklijn aan Q dat binnen genoemde driehoek ligt. e) Vind het snijpunt van de gereflecteerden van twee willekeurige verticaal invallende stralen. Wat valt U op? 4. Brandgebied van een parabolische spiegel. We willen onderzoeken of er bij een scheef invallende lichtbundel op een parabolische spiegel ook sprake van een √ brandpunt is. De spiegel wordt beschreven door de parabool y = x2 √ op het interval [− 16 3, 16 3]. De lichtstralen vallen schuin van rechtsboven in en maken een hoek π6 met de verticaal (de y-as). Aanwijzing: Bereken de gereflecteerde stralen die √ 1 ) en bepaal hun snijpunt. de spiegel treffen in, respectievelijk, de punten (0, 0) en ( 16 3, 12 Kies nog een geschikte derde straal en kijk waar die de vorige twee snijdt. Is hier ook sprake van een ’brandpunt’ ? Poog een cirkelschijfje aan te geven waarbinnen de gereflecteerde stralen snijden.
WEEK 3: Toepassingen van goniometrische formules 1. Behandel opgave 2 van WEEK 2 onder gebruikmaking van een formule voor tan(x + y). Veronderstel dat de spiegel langs de rechte y = Ax ligt en dat de invallende lichtstraal beschreven wordt door (de helft van) de rechte y = Bx + b. 2. Amplitudemodulatie Een amplitudegemoduleerd signaal wordt wiskundig beschreven door een functie t 7→ A(t) sin(Ωt). Hierin is de cirkelfrequentie Ω een groot getal, 100 Mhz, bijvoorbeeld. Voorts is A(t) een langzaam vari¨erende amplitude, een audiosignaal bijvoorbeeld. Voor dit audiosignaal neem wij een ’fluittoon’.¡ ¢ We komen dan uit op de functie t 7→ B + b sin(ωt) sin(Ωt), met B en b constante getallen. Splits de laatstgenoemde functie in 3 termen: De ’draaggolf’ + twee ’nevenfrequenties’. 3. Het 3-phasen energienet. We rekenen wat aan het wisselstroom energienet.
2
a) Vind getallen A en B zodat bij vast gekozen a en voor alle x geldt sin(x + a) − sin(x) = A cos(x + B). b) Electrische energie wordt aan huis afgeleverd via een drie-phasen net: Een ’nuldraad’ (0) en drie ’phasedraden’ (1, 2, en 3). De wisselspanning tussen de nuldraad en de drie phasedraden wordt respectievelijk gegeven door V01 (t) = A sin(ωt), V02 (t) = A sin(ωt + 2π ), 3 4π V03 (t) = A sin(ωt + 3 ). Hierin is de amplitude A = 220Volt, ω = 2π50 Hz. De ’phaseverschuiving’ is dus telkens 120◦ . Bereken de amplitude B en de phase φ van de wisselspanning tussen de 1e en de 2e phasedraad: V12 (t) = V02 (t) − V01 (t) = B sin(ωt + φ). c) Bereken de amplitude B ook numeriek. Komt dit getal U bekend voor? 4. Niet-lineaire Versterkers. Een eenvoudig model voor een (niet-lineaire) versterker. De werking van een versterker beschrijven we, eenvoudigweg, met behulp van een vast gekozen functie F (·) : IR → IR. Als het ’ingangssignaal’ beschreven wordt door de functie ¡ ¢ t 7→ x(t), dan is het ’uitgangssignaal’ t 7→ y(t) = F x(t) . Wij nemen, als speciaal geval, een sinusvormig ingangssignaal x(t) = a + b sin(ωt). Hier is a het instelpunt, ω is een vast gekozen cirkelfrequentie en b is de amplitude. a) Neem F (x) = Ax + B, een ’lineaire versterker’. Bereken het uitgangssignaal en de ’versterkingsfactor’ van de amplitude. b) Neem vervolgens F (x) = Cx2 , een ’niet-lineaire versterker’. Bereken het uitgangssignaal. Bereken de versterking van de grondtoon (frequentie ω) en merk op dat het instelpunt nu een grote rol speelt. Door het niet-lineair zijn van F wordt er een boventoon geproduceerd met een frequentie groter dan ω (niet-lineaire vervorming). Bereken de amplitude en de frequentie van deze boventoon. c) Verzin zelf een functie F zodat meerdere boventonen geproduceerd worden.
WEEK 4: Physische toepassingen van het limietbegrip De physische concepten (momentane) snelheid en (momentane) versnelling worden gedefini¨eerd via het wiskundige begrip afgeleide. Een afgeleide is, op zijn beurt, een bijzonder soort limiet. De opgaven van deze week moeten alle details van dit proced´e zichtbaar maken.
3
We maken, ondermeer, gebruik van het binomium: (x + a)n = xn + nxn−1 a + 21 n(n − 1)xn−2 a2 + 16 n(n − 1)(n − 2)xn−3 a3 + . . . + an , | {z } n+1 termen hierin is n ∈ IN, x ∈ IR en a ∈ IR. 1. Schrijf het binomium uit voor n = 2, 3, 4. 2. Gemiddelde Snelheid. Veronderstel dat de positie ten tijde t op de x-as van een massapunt P beschreven wordt door de functie t 7→ x(t). De gemiddelde snelheid van P op het tijdsinterval [t − h, t + h] wordt gegeven door x(t + h) − x(t − h) vgem, h (t) = 2h a) Neem x(t) = t3 , bereken vgem, h (t) en vereenvoudig de verkregen uitdrukking zoveel als mogelijk is. b) Laat vervolgens in de verkregen uitdrukking h naar 0 naderen. De verkregen functie is de (momentane) snelheid v(t) ten tijde t. Herkent U de verkregen uitdrukking voor limh→0 vgem, h (t)? c) Beantwoord de vragen a) en b) ook voor het geval x(t) = t13 . d) Idem voor x(t) = Atn , met A ∈ IR en n ∈ IN beide vast gekozen. e) Idem voor x(t) = Bt−m , met B ∈ IR en m ∈ IN beide vast gekozen. 3. Gemiddelde Versnelling. We defini¨eren een gemiddelde versnelling van het massapunt P op het interval [t − h, t + h] door x(t+2h)−x(t) − x(t)−x(t−2h) vgem, h (t + h) − vgem, h (t − h) 2h 2h agem, h (t) = = . 2h 2h a) Neem x(t) = t3 , bereken agem, h (t) en vereenvoudig de verkregen uitdrukking zoveel als mogelijk is. b) Laat vervolgens in de verkregen uitdrukking h naar 0 naderen. De verkregen functie is de (momentane) versnelling a(t) ten tijde t. Herkent U de verkregen uitdrukking voor limh→0 agem, h (t)? , met v(t) uit 2b). c) Ga na dat ook a(t) = limh→0 v(t+h)−v(t) h d) Beantwoord de vragen a), b) en c) ook voor het geval x(t) = t13 . e) Idem voor x(t) = Atn , met A ∈ IR en n ∈ IN beide vast gekozen. f ) Idem voor x(t) = Bt−m , met B ∈ IR en m ∈ IN beide vast gekozen.
4
WEEK 5: De regels van Leibniz en de kettingregel in de physica De physische concepten (momentane) snelheid en (momentane) versnelling komen nogmaals ter sprake. Bij onderstaande problemen mag/moet U gebruik maken van de sin(ξ) ’standaardlimiet’ : lim = 1. ξ→0 ξ 1. We beschouwen een massapunt P dat een harmonische trilling uitvoert: De positie x(t) ten tijde t op de x-as wordt beschreven door de functie t 7→ x(t) = 5 sin(7t). a) Schrijf een uitdrukking op voor de gemiddelde snelheid van P op de, respectievelijke, tijdsintervallen [−h, h], [−h, 2h] en [T, T + h]. Hierin zijn h > 0 en T willekeurige getallen (tijdstippen). b) Vereenvoudig de onder a) verkregen uitdrukkingen en neem de limiet voor h → 0. U vindt dan telkens een (momentane) snelheid v(t) op de tijdstippen t = 0, dan wel t = T . Wat zijn uw conclusies? 2. We nemen vervolgens x(t) = 5t cos(7t), een trilling waarvan de amplitude ’aanzwelt’. a) Schrijf een uitdrukking op voor de gemiddelde snelheid op de tijdsintervallen [h, 3h] en [T − h, T ]. b) Vereenvoudig de onder a) verkregen uitdrukkingen en neem, teneinde uitdrukkingen voor momentane snelheden te vinden de limiet voor h → 0. Wat zijn uw conclusies? 3. We nemen vervolgens x(t) = 5 sin(7t2 ), een trillende beweging waarvan de amplitude gelijk blijft, maar die steeds ’heftiger’ wordt. a) Schrijf een uitdrukking op voor de gemiddelde snelheid op de tijdsintervallen [0, h], [−h, h] en [T, T + h]. b) Vereenvoudig de onder a) verkregen uitdrukkingen en vind momentane snelheden ten tijde t = 0 en t = T door de limiet voor h → 0 te nemen. Wat zijn uw conclusies? 4. We keren terug naar geval 1. Neem dus x(t) = 5 sin(7t). a) bereken de gemiddelde versnelling van het massapunt P op het interval [t − h, t + h] door x(t+2h)−x(t) − x(t)−x(t−2h) vgem, h (t + h) − vgem, h (t − h) 2h 2h agem, h (t) = = . 2h 2h b) Vereenvoudig de verkregen uitdrukking zoveel als mogelijk is en laat vervolgens in de verkregen uitdrukking h naar 0 naderen. De verkregen functie beschrijft de (momentane) versnelling a(t) ten tijde t. Herkent U de verkregen uitdrukking voor limh→0 agem, h (t)? c) Ga na dat ook a(t) = limh→0
v(t+h)−v(t) , h
met v(t) uit 1b).
5
WEEK 6 en 7: Impliciet Different¨ eren en Kinematica 1. Beweging langs een cirkel. Een (massa)punt P beweegt langs de cirkelomtrek x2 + y 2 = R2 in het xy-vlak. De straal R van de cirkel is een gegeven constante. De beweging van P wordt beschreven met functies t 7→ X(t) en t 7→ Y (t). Hier staat t voor de tijd. Er wordt (natuurlijk!) voldaan aan de relatie X 2 (t) + Y 2 (t) = R2 , op alle tijdstippen t. De 1e en 2e afgeleiden van de functies X ˙ Y˙ , X ¨ en Y¨ . Deze grootheen Y noteren we, zoals in de mechanica gebruikelijk is, met X, den betreffen de snelheid, respectievelijk versnelling, in de x-richting en de y-richting. ˙ Y˙ . a) Vind, door differenti¨eren, een verband tussen X, Y, X, ˙ Y˙ , X, ¨ Y¨ . b) Vind, door verder differenti¨eren, een verband tussen X, Y, X, c) Controleer de bij a) en b) gevonden relaties aan de hand van de concrete keuze X(t) = R cos(7t), Y (t) = R sin(7t). Dit is een eenparige cirkelbeweging. q Bereken voorts de grootte van de snelheid: v(t) = X˙ 2 (t) + Y˙ 2 (t), dv(t) dt v 2 (t) en de centripetale versnelling: op ieder tijdstip t. R d) Controleer de bij a) en b) gevonden relaties aan de hand van de concrete keuze X(t) = R cos(5t2 ), Y (t) = R sin(5t2 ). Dit betreft een eenparig versnelde cirkelbeweging. Bereken ook de overige, onder c) genoemde, grootheden. q ¨ 2 (t) + Y¨ 2 (t). Laat e) De grootte van de totale versnelling wordt gegeven door a(t) = X de tangenti¨ele versnelling:
2
zien dat in bovenstaande gevallen geldt: a2 (t) = ( dv(t) )2 +( v R(t) )2 . Waarom volgt hieruit dat dt de tangenti¨ele versnellingsvector en de centripetale versnellingsvector loodrecht op elkaar staan? f ) Het onder e) doorgevoerde programma werkt ook voor de algemene cirkelbeweging. Ga dit na! Dit kan met de boven gevonden relaties. Een mogelijk, en eenvoudiger, alternatief is: Beschrijf de algemene cirkelbeweging via X(t) = R cos(α(t)) en Y (t) = R sin(α(t)), met t 7→ α(t) een willekeurige gladde functie.
2. De perkenwet van Kepler. x2 − a. Hierin Een massapunt (’komeet’) Q beschrijft een paraboolbaan, gegeven door y = 4a is a > 0 een constante. Merk op dat de beschrijving van de paraboolbaan zodanig gekozen is dat het brandpunt van de parabool in de oorsprong ligt. De beweging van Q wordt beschreven met functies t 7→ X(t) en t 7→ Y (t). Hier staat t voor de tijd. Voor elk tijdstip t is (X(t), Y (t)) een punt op de parabool. ˙ Y˙ , X, ¨ Y¨ . a) Geef op elk tijdstip t twee verbanden tussen X, Y, X, b) We gaan ervan uit dat tijdens de beweging het impulsmoment behouden blijft. Meetkundig betekent dit dat het lijnsegment dat de oorsprong met Q verbindt (= de voerstraal) 6
gedurende gelijke tijdsintervallen gelijke oppervlakken ’veegt’. In wiskundige notatie : X Y˙ − Y X˙ = L = Constant. Geef een uitdrukking voor de snelheden X˙ en Y˙ als functie van X en Y . In de te vinden uitdrukking zullen ook de constanten a en L figureren. c) Veronderstel X(0) = 0. Vind t als functie van x gedurende de beweging. Y¨ Y d) Laat met (impliciet) differenti¨eren zien dat = . Overtuig U ervan dat dit betekent ¨ X X dat, op elk punt van de baankromme, de versnellingsvector naar de oorsprong toe, of juist van de oorsprong af, wijst. ¨ en Y¨ , elk afzonderlijk, als functies van X en Y . e) Bereken X p ¨ 2 + Y¨ 2 als functie van X en Y f ) Bereken de grootte van de versnelling X op elk tijdstip t. Blijkbaar geldt p
¨ 2 + Y¨ 2 = c X
X2
1 . +Y2
Bereken c. Die hangt blijkbaar alleen af van a en L. Blijkbaar is de grootte van de ’uitgeoefende kracht’ omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tot het brandpunt. Aanwijzing: Het is comfortabel eerst een eenvoudige uitdrukking te vinden voor de afstand tussen de oorsprong en een punt op onze parabool. Opm 1: De constante c is, practisch, vaak het product van twee massa’s en de gravitatieconstante. Dus op voorhand gegeven. Dit betekent dat je L en a niet los van elkaar kunt kiezen. Opm 2: Bovenstaande beschouwingen kunnen ook gehouden worden met parabolen en hyperbolen. De Perkenwet van Kepler, modern gezegd het constant zijn van L, was ten tijde van Newton bekend uit astronomische waarnemingen. Newton leidde daar, als eerste, zijn gravitatiewet uit af.
3. Gedwongen trilling van een vrij deeltje De positie (als functie van de tijd) op de x-as van een massapunt met massa m, onder invloed van een voorgeschreven kracht F , wordt beschreven door m
d2 x(t) = F (t). d t2
a) Neem F (t) = sin(ωt) met ω een constante. Neem voor de beginpositie x(0) = x0 en voor de beginsnelheid x(0) ˙ = v0 . Bereken de positie x(t) voor alle tijdstippen t door F twee maal te primitiveren en geschikte integratieconstanten te kiezen. b) Voer dezelfde opdracht uit voor F (t) = e−at , met a > 0 een constante. Bereken ook de limietsnelheid van het deeltje als t → ∞.
7
WEEK 8: Toepassingen van Cyclometrische en Hyperbolische Functies 1. De kettinglijn (Cateno¨ıde). We beschouwen een vrij hangende homogene ketting die slechts onder invloed van zijn eigen gewicht verkeert. We pogen de vorm die de ketting aanneemt te beschrijven met behulp van de grafiek van een gladde functie F : I → IR : x 7→ F (x), hier is I = [a, b] een geschikt gekozen interval op de x-as. De y-as wordt verticaal verondersteld. Het gewicht per lengte-eenheid van de ketting noteren we met σ. De trekkracht ter plekke (x, F (x)) in de ketting, dus loodrecht boven het punt x, noteren we met S(x). De hoek die de raaklijn aan de ketting ter plekke (x, F (x)) maakt met de horizontaal noteren we met α(x). Behalve de functie F hebben we dus ook nog de functies S : I → IR en α : I → IR. a) Maak een schets en geef, per x, het verband tussen F (x) en α(x). Schrijf α als ’iets’ met F . b) Beschouw een ’piepklein’ stukje van de ketting boven het interval [x, x + h]. Dit stukje ketting verkeert in evenwicht. Ontbind de respectievelijke krachten S(x) en S(x + h) op de eindpunten in horizontale en verticale componenten. In de te vinden uitdrukkingen speelt de waarde van α ter plekke van de eindpunten een rol. c) Het beschouwde stukje ketting verkeert in evenwicht. Deel de som van de horizontaal werkende¡ krachten door h en neem de limiet h → 0. Waarom komt U tot de conclusie dat ¢ S(x) cos α(x) = C, met C een, vooralsnog, onbekende constante? d) Bereken het gewicht van het beschouwde stukje ketting onder de aanname dat h zo klein is dat de grafiek van F , nabij (x, F (x)), ’best wel’ beschreven mag worden door de raaklijn ter plekke. Druk dit gewicht uit in σ, h en α. e) Ook de som van de verticaal werkende krachten is 0. Dit betreft de krachten die op de eindpunten werken + het gewicht van het stukje ketting. Deel ook deze som door h en neem de limh→0 . f ) Laat zien dat c), d) en e) te combineren zijn tot ¡ ¢ d σ arcsinh{tan α(x) } = , dx C met als gevolg
σ C cosh{ x + D} + E. σ C Hierin zijn C, D en E onbekende constanten, vooralsnog. F (x) =
(1)
Genoemde drie constanten worden vast gelegd door de positie van de ophangpunten (a, F (a)) en (b, F (b)) en door de totale lengte L van de ketting. Ook daar gaan we wat aan rekenen. g) Kies a = −A en b = A, met A > 0 en F (−A) = F (A) = 0. Beredeneer dat D = 0 en druk de constante E uit in de constanten A en C. (Het soortelijk gewicht σ van de ketting is van te voren gegeven!) h) Poog tenslotte de waarde van C uit de gegeven lengte L van de ketting te vinden. 8
Daartoe hebt U de volgende formule nodig ter bepaling van de lengte van een kromme: Z Ar dF 2 L= 1+{ } dx. (2) dx −A Deze vergelijking is niet expliciet op te lossen. Ga wel na voor welke gegeven L er een C gevonden kan worden die voldoet. Aanwijzing: Maak een ruwe schets van de functie sinh x x 7→ . x i) Bereken bij gegeven C de trekspanning S(x) in elk punt van de ketting. j) Kies de ophangpunten willekeurig en schrijf de vergelijkingen op voor de drie constanten C, D en E.
WEEK 9: Toepassingen van Lineaire 2e orde GDV met constante co¨ effici¨ enten. 1. Vrij vallend massapunt met visceuze wrijving Kies een positieve x-as die naar het middelpunt van de aarde wijst. Een vrij vallend voorwerp onder invloed van visceuze wrijving (denk aan ’man aan parachute’ of ’regendruppel’) wordt beschreven door de gewone differentiaalvergelijking m¨ x = −κx˙ + mg. Hierin is m de massa, κ de visceuze wrijvingsco¨effici¨ent en g de versnelling van de zwaartekracht. a) Vind de algemene oplossing van de homogene vergelijking. b) Vind ´e´en particuliere oplossing. c) Vind de beweging t 7→ x(t) als de beginpositie x(0) = 0 en de beginsnelheid x(0) ˙ = v0 gegeven zijn. d) Bereken de limietsnelheid limt→∞ x(t). ˙ e) Bereken het hoogste punt van het deeltje als v0 < 0 genomen wordt. 3. Gedwongen trilling van een vrij deeltje De positie (als functie van de tijd) op de x-as van een massapunt met massa m, onder invloed van een voorgeschreven kracht F , wordt beschreven door d2 x(t) = F (t). d t2 a) Neem F (t) = sin(ωt) met ω een constante. Neem voor de beginpositie x(0) = x0 en voor de beginsnelheid x(0) ˙ = v0 . Bereken de positie x(t) voor alle tijdstippen t door F twee maal te primitiveren en geschikte integratieconstanten te kiezen. b) Voer dezelfde opdracht uit voor F (t) = e−at , met a > 0 een constante. Bereken ook de limietsnelheid van het deeltje als t → ∞. m
9
