W4
Rekenen met procenten
Doelstellingen Na het doorlopen van deze module kan de student rekenen met procenten, zoals: de btw en de brutoprijs berekenen bij een gegeven nettoprijs; bepalen hoeveel procent een bedrag is van een ander bedrag; de procentuele toe- of afname berekenen bij een verhoging of verlaging van de prijs; bepaalde eenvoudig te berekenen percentages van ronde bedragen uit het hoofd berekenen. Voorkennis W1 Versiedatum 21 juni 2007
Inhoud 1.
Procenten................................................................................................................................ 3
2.
Toename en afname in percentages ....................................................................................... 3
3.
Hoeveel procent is dat? .......................................................................................................... 6
4.
Het vergelijken van percentages; procentpunten ................................................................... 7
5.
Percentages uit het hoofd berekenen ...................................................................................... 8
W4 Rekenen met procenten
1.
Procenten
Onder een procent (%) of een percent verstaan we het honderste gedeelte van iets. Als je bijvoorbeeld 20% van een bedrag neemt, spreken we van een percentage van 20 van dat bedrag. Een procent op zichzelf bestaat niet; je moet wel weten waarván iets een percentage is. Voorbeeld 1 Hoeveel is 20% van €6000? 20% van €6000 is als volgt te berekenen: 20% van €6000 =
20
20
van €6000 =
100
× €6000 = €1200.
100
Een andere manier is om eerst 1% te berekenen en dat met 20 te vermenigvuldigen. 1% van €6000 =
1
van €6000 =
100
1
× €6000 = €60 dus
100
20% van €6000 = 20 × €60 = €1200.
Opgave 1 Bereken in centen nauwkeurig: a. 15% van €1200 b. 18,5% van €2325,36 c. 120% van €15,00
Opgave 2 De inkoopprijs van een artikel is € 25,85. De winkelier stelt de verkoopprijs vast door de inkoopprijs met 30% te vermeerderen (dat is de theoretische verkoopprijs) en de zo gevonden waarde naar boven af te ronden naar de eerstvolgende 95 cent (dus € 25,23 wordt € 25,95). Alle bedragen zijn inclusief btw. a. Bereken de theoretische verkoopprijs. b. Wat is de werkelijke verkoopprijs die op het prijskaartje staat?
2.
Toename en afname in percentages
Als je 25% bij € 80 optelt, betekent dat dat je 25% van € 80 bij € 80 optelt. Nu is 25% van € 80 gelijk aan € 20, dus: € 80 + 25% van € 80 = € 80 + € 20 = € 100. Een andere manier om tot hetzelfde antwoord te komen, is: € 80 + 25% van € 80 = € 80 +
25 100
× € 80 = (1 +
25
) × € 80 = 1,25 × € 80 = € 100.
100
Dus een toename met 25% komt neer op een vermenigvuldiging met 1,25.
W4 – blad 3
W4 Rekenen met procenten
Opgave 3 a. b. c. d. e. f.
Een toename met 5% komt neer op een vermenigvuldiging met................... Een toename met 50% komt neer op een vermenigvuldiging met................... Een toename met 100% komt neer op een vermenigvuldiging met................... Een vermenigvuldiging met 1,03 komt neer op een toename met ...................% Een vermenigvuldiging met 1,1 komt neer op een toename met ...................% Een vermenigvuldiging met 2,5 komt neer op een toename met ...................%
Als je 10% van € 80 aftrekt, betekent dat dat je 10% van € 80 van € 80 aftrekt. Nu is 10% van € 80 gelijk aan € 8, dus: € 80 – 10% van € 80 = € 80 – € 8 = € 72. Een andere manier om tot hetzelfde antwoord te komen, is: € 80 – 10% van € 80 = € 80 –
10
10
× € 80 = (1 –
100
) × € 80 = 0,9 × € 80 = € 72.
100
Dus een afname met 10% komt neer op een vermenigvuldiging met 0,9.
Opgave 4 a. b. c. d. e. f.
Een afname met 1% komt neer op een vermenigvuldiging met................... Een afname met 5% komt neer op een vermenigvuldiging met................... Een afname met 50% komt neer op een vermenigvuldiging met................... Een vermenigvuldiging met 0,85 komt neer op een afname met ...................% Een vermenigvuldiging met 0,4 komt neer op een afname met ...................% Een vermenigvuldiging met 0,01 komt neer op een afname met ...................%
Voorbeeld 2 Een artikel kostte eerst € 150, is 10% duurder geworden en daarna nog eens 15%. Wat is de huidige prijs? Na de eerste verhoging: € 150 + 10% van € 150 = 1,10 × € 150 = € 165 Na de tweede verhoging: € 165 + 15% van €165 = 1,15 × € 165 = € 189,75 Let wel: de verhoging van 15% wordt van het bedrag na de eerste verhoging genomen, dus van € 165. De berekening kan natuurlijk ook ineens worden gedaan: 1,10 × 1,15 × € 150 = € 189,75.
W4 – blad 4
W4 Rekenen met procenten
Voorbeeld 3 Een artikel kostte eerst € 2000, is 10% goedkoper geworden en daarna nog eens 15%. Wat is de huidige prijs? Na de eerste verlaging: € 2000 – 10% van € 2000 = 0,9 × € 2000 = € 1800 Na de tweede verlaging: € 1800 – 15% van € 1800 = 0,85 × € 1800 = € 1530 De berekening ineens wordt: 0,9 × 0,85 × € 2000 = € 1530
Opgave 5 Artikel A kostte eerst € 600. De prijs wordt eerst met 20% en daarna nog eens met 5% verhoogd. a. Bereken de uiteindelijke prijs. Artikel B kostte ook eerst € 600. De prijs wordt eerst met 5% en daarna nog eens met 20% verhoogd. b. Bereken de uiteindelijke prijs.
Opgave 6 Artikel X kostte eerst € 1600. De prijs wordt eerst met 15% en daarna nog eens met 10% verlaagd. a. Bereken de uiteindelijke prijs. Artikel Y kostte ook eerst € 1600. De prijs wordt eerst met 10% en daarna nog eens met 15% verlaagd. b. Bereken de uiteindelijke prijs.
Opgave 7 Artikel S kostte eerst € 2400. De prijs wordt eerst met 15% verhoogd en daarna met 10% verlaagd. a. Bereken de uiteindelijke prijs. Artikel T kostte ook eerst € 2400. De prijs wordt eerst met 10% verlaagd en daarna met 15% verhoogd. b. Bereken de uiteindelijke prijs.
W4 – blad 5
W4 Rekenen met procenten
Opgave 8 Ondersteun het antwoord met een berekening. a. Als je eerst een verhoging van de prijs van 10% en vervolgens van 5% hebt, is dat dan hetzelfde als wanneer je eerst een verhoging van 5% en dan van 10% hebt? b. Als je eerst een verhoging van 10% en vervolgens een verlaging van 10% hebt, krijg je dan de oorspronkelijke prijs weer terug?
Voorbeeld 4 De verkoopprijs van een product is € 29,95. Hoeveel bedraagt de btw (18,5%)? En de netto-verkoopprijs? De btw is 18,5% van de netto-verkoopprijs. Als de netto-verkoopprijs x is dan geldt: 1,185x = 29,95. Dus is x =
29,95
= 25,27. De netto-verkoopprijs is dus € 25,27.
1,185
De btw bedraagt derhalve € 29,95 – € 25,27= € 4,68.
Opgave 9 De verkoopprijs inclusief 18,5% btw van een product is € 95. a. Bereken de netto-verkoopprijs. b. Bereken de btw.
Opgave 10 “Eenderde van de ruim 900 duizend WAO’ers is afgekeurd wegens psychische klachten. Mensen die zich nu met psychische klachten ziek melden, krijgen in 77 procent van de gevallen een WAO-uitkering. 87 Procent van hen wordt volledig afgekeurd.” Bron: De Volkskrant van donderdag 12 oktober 2000
De genoemde getallen en percentages zijn natuurlijk afgerond, misschien wel tamelijk grof. Maar als de getallen wel exact kloppen, hoeveel mensen met psychische klachten zijn er dan die in de WAO zitten en volledig worden afgekeurd?
3.
Hoeveel procent is dat?
Voorbeeld 5 Een artikel kostte eerst € 80 en nu € 75. Met hoeveel procent is de prijs gedaald? e
5 5 De daling bedraagt € 5 en dat is het deel van € 80 (want × € 80 = € 5). 80 80
En
5
= 0,0625 = 6,25%. De daling is dus 6,25%.
80
W4 – blad 6
W4 Rekenen met procenten Een andere manier om dit te vinden is om te berekenen hoeveel procent € 75 van € 80 is. Dat is: 75
van € 80 =
80
75
× € 80 = 0,9375 × € 80 = 93,75% van € 80.
80
De vermindering is dus 100% - 93,75% = 6,25%.
Opgave 11 a. b. c. d.
4.
De oude prijs was € 100, de nieuwe prijs is € 75. Wat is de procentuele prijsdaling? De oude prijs was € 150, de nieuwe prijs is € 175. Wat is de procentuele prijsstijging? De oude prijs was € 200, de nieuwe prijs is € 175. Wat is de procentuele prijsdaling? De oude prijs was € 1500, de nieuwe prijs is € 1900. Wat is de procentuele prijsstijging?
Het vergelijken van percentages; procentpunten
Voorbeeld 6 Bij een verkiezing van de voorzitter van een vereniging gaat van de 160 stemmen 20% naar kandidaat A en 25% naar kandidaat B. a. b.
Hoeveel procent heeft B meer dan A? En hoeveel procent heeft A minder dan B?
Het antwoord is niet tweemaal 5%! Nee, we zeggen dat B 5 procentpunt meer heeft dan A en dat A 5 procentpunt minder heeft dan B. Daarmee geven we aan dat die 5% over hetzelfde aantal (namelijk alle 160 stemmers) is genomen. A heeft 20% van 160 = 32 stemmen. B heeft 25% van 160 = 40 stemmen. e
a.
8 8 Het verschil is 8 stemmen en dat is het deel van 32 = × 32 = 0,25 × 32 = 25% 32 32 van 32. B heeft dus 25% meer stemmen dan A (25% van A gerekend). e
b.
8 8 8 stemmen is het deel van 40 = × 40 = 0,20 × 40 = 20% van 40. 40 40 A heeft dus 20% minder stemmen dan B (20% van B gerekend).
Een andere manier om dit te berekenen is de volgende, waarbij je alleen van de percentages uitgaat. A heeft 20% van de stemmen en B 25%, een verschil van 5 procentpunt. e
a.
25 20 25 20 Het verschil is het × 32 = 0,25 × 32 = 25% van 32. deel van 32 = 20 20 B heeft dus 25% meer stemmen dan A. e
b.
20 25 20 25 Het verschil is het × 40 = –0,20 × 40 = –20% van 40. deel van 40 = 25 25 A heeft dus 20% minder stemmen dan B.
W4 – blad 7
W4 Rekenen met procenten
Opgave 12 Product A kost € 50 en product B kost € 60. a. Hoeveel procent kost B meer dan A? b. Hoeveel procent kost A minder dan B?
Opgave 13 Product A kost € 50 inclusief 18,5% btw. a. Hoeveel procent bedraagt de btw van de bruto-verkoopprijs? b. Is het antwoord van a. afhankelijk van de prijs van A?
5.
Percentages uit het hoofd berekenen
Soms kun je percentages heel gemakkelijk uit je hoofd berekenen. Zoals 50% van € 400. Je moet dan even beseffen dat 50% =
50
=½
100
zodat 50% van € 400 = ½ × € 400 = € 200. Alleen met „mooie‟ getallen is het gemakkelijk rekenen.
Opgave 14 Bereken uit het hoofd: a. 50% van € 1200 b. 25% van € 1200 c. 75% van € 1800 d. 25% van € 400.000 e. 75% van € 400.000
f. g. h. i. j.
20% van € 1500 80% van € 1500 10% van € 50.000 90% van € 30.000 40% van € 20.000
W4 – blad 8
k. 60% van € 10.000 l. 12,3% van € 10.000 m. 1,37% van € 100.000
