10.1 Berekeningen met procenten [1] Voorbeeld 1: Hoeveel is 48% van 560? Dit is 0,48 · 560 = 268,8 Voorbeeld 2: Een broek van het merk Replay kost normaal € 129,-. Deze week is het uitverkoop en krijg je 35% korting op alle artikelen. Hoeveel korting krijg je op deze broek? De korting is 0,35 · € 129,- = € 45,15
10.1 Berekeningen met procenten [2] Voorbeeld: Een broek van het merk Replay kost in 2011 € 129,-. Doordat de gestegen loonkosten gaat de prijs in 2012 met 6% omhoog. Hoeveel kost deze broek nu in 2012? Om de prijs in 2012 te berekenen moet je bij het bedrag van € 129,- de prijsstijging optellen. Er moet dus 6% van € 129,- bijgeteld worden.
6% van € 129 = 0,06 · € 129,- = € 7,74 De prijs in 2012 wordt nu: € 129,- + € 7,74 = € 136,74 Dit valt ook in één keer uit te rekenen: 1,06 · € 129,- = € 136,74 Algemeen: Bij een toename van 6% geldt: 1) NIEUW = 1,06 · OUD 2) NIEUW = OUD + 0,06 · OUD
10.1 Berekeningen met procenten [2] Voorbeeld: Een broek van het merk Replay kost in 2011 € 129. In de zomervakantie houdt het bedrijf een grote opruiming. Klanten krijgen 30% korting op broeken van Replay. Bereken hoeveel de broek, die normaal € 129 kost, gedurende de opruiming Kost. Om de opruimingsprijs te berekenen moet je van het bedrag van € 129 de korting van 30% afhalen. 30% van € 129 = 0,30 · € 129 = € 38,70 De opruimingsprijs wordt nu: € 129 - € 38,70 = € 90,30 Dit valt ook in één keer uit te rekenen: 0,70 · € 129 = € 90,30 Algemeen: Bij een afname van 30% houdt je van de 100% nog 100% - 30% = 70% over.
10.2 Procentuele verandering [1] Voorbeeld: De prijs van schoenen is in een jaar tijd gestegen van € 40,- naar € 50,-. De prijs van laarzen is in een jaar tijd gestegen van € 100,- naar € 110,-. Zowel de schoenen als de laarzen zijn €10,- duurder geworden. Doordat de schoenen goedkoper zijn dan de laarzen is de prijsstijging bij de schoenen in verhouding tot de oorspronkelijke prijs veel groter. Schoenen:
NIEUW – OUD = 50 - 40 = 10 Procentuele toename:
Laarzen:
50 40 10 100% 100% 25% 40 40
NIEUW – OUD = 110 – 100 = 10
110 100 10 100 % 100% 10% Procentuele toename: 100 100
10.2 Procentuele verandering [1] Algemeen: NIEUW OUD 100% De toename in procenten =
OUD
Rekenmachine:
50 40 100% 25% bereken je als volgt op je rekenmachine: 40 50
40
40
100
10.2 Procentuele verandering [2] Voorbeeld: De prijs van rokken is in een jaar tijd gedaald van € 65,- naar € 61,-. De prijs van broeken is in een jaar tijd gedaald van € 58,- naar € 54,-. Rokken:
NIEUW – OUD = 61 - 65 = -4 Procentuele verandering:
61 65 4 100% 100% 6 , 3% 65 65
Procentuele afname is 6,3% Broeken:
NIEUW – OUD = 54 – 58 = -4 Procentuele verandering:
54 58 4 100% 100% 6 , 9% 58 58
Procentuele afname is 6,9% Algemeen: Bereken
NIEUW OUD 100% en laat het minteken weg. OUD
10.3 Procentuele verandering [3] Voorbeeld: 22% van de emissie van fijn stof in 2002 wordt veroorzaakt door de industrie. Bereken de hoek die bij de sector “industrie” hoort. Stap 1: Een cirkel is 360°. Stap 2: Sector “Industrie” = 22% van 360° = 0,22 ⋅ 360° = 79,2° Let op: Als je de hoeken hebt berekend, die bij de sectoren horen, kun je het bijbehorende cirkeldiagram tekenen.
Willem-Jan van der Zanden
7
10.3 Omgaan met grafieken [1] In deze grafiek staat: • de tijd langs de horizontale as; • de temperatuur langs de verticale as. De temperatuur is nu uitgezet tegen de tijd. In deze grafiek staat: • de tijd langs de horizontale as; • de waterhoogte langs de verticale as. De waterhoogte is nu uitgezet tegen de tijd.
Willem-Jan van der Zanden
8
10.4 Soorten grafieken [1]
Deze grafiek waarin de temperatuur is uitgezet tegen de tijd is een globale grafiek. Bij de beide assen staan geen getallen. De grafiek loopt eerst omlaag en is dalend; De grafiek loopt dan horizontaal en is constant; De grafiek loopt dan omhoog en is stijgend.
Willem-Jan van der Zanden
9
10.4 Soorten grafieken [2]
Willem-Jan van der Zanden
10
10.5 Evenredigheden [1] Een grootheid is iets dat je kunt meten: Gewicht, lengte, afstand, tijd, windsnelheid en hoogte zijn grootheden. Een grootheid druk je uit in een eenheid:
• Gewicht druk je uit in kilogram, gram etc.; • Lengte druk je uit in meters, kilometers, centimeters etc.; • Tijd druk je uit in uren, minuten, seconden etc.; • Windsnelheid druk je uit in km/uur, meter/seconde etc.; • Hoogte druk je uit in meters, kilometers, centimeters etc.
Willem-Jan van der Zanden
11
10.5 Evenredigheden [2] Voorbeeld: Bij het telecombedrijf TELBEL betaal je 10 euro voor 100 belminuten. Hierbij hoort de volgende verhoudingstabel: Belminuten
50
100
200
400
bedrag (€)
5
10
20
40
Als je aantal belminuten met 2 vermenigvuldigt, wordt het te betalen bedrag ook twee keer zo groot. Dit zijn evenredige grootheden. De woordformule is: bedrag in euro’s = 0,1 ⋅ belminuten Het getal 0,1 is de evenredigheidsconstante. Wanneer je deze verhoudingstabel in een grafiek tekent, krijg je een rechte lijn door de oorsprong. Willem-Jan van der Zanden
12
10.5 Evenredigheden [2] • Bij evenredige grootheden hoort een verhoudingstabel; • Bij evenredige grootheden hoort als grafiek een rechte lijn door (0,0); • Bij evenredige grootheden hoort een woordformule van de vorm grootheid = a ⋅ andere grootheid; • Als de ene grootheid k keer zo groot wordt, wordt de andere grootheid dat ook.
Willem-Jan van der Zanden
13
10.5 Evenredigheden [2] Voorbeeld: Aan een schip is zoveel drinkwater aanwezig dat 12 mensen hier 10 dagen kunnen doen. Wanneer er nu 24 mensen aan boord zijn, kunnen deze maar 5 dagen met dit drinkwater doen. Hierbij hoort de volgende verhoudingstabel: Personen 12
24
6
120
Dagen
10
5
20
1
Product
120
120
120
120
De hoeveelheid personen en het aantal dagen dat ze kunnen drinken is nu omgekeerd evenredig. Als de ene grootheid 2 keer zo groot wordt, wordt de andere grootheid 2 keer zo klein.
Willem-Jan van der Zanden
14
10.5 Evenredigheden [2] Voorbeeld: Aan een schip is zoveel drinkwater aanwezig dat 12 mensen hier 10 dagen kunnen doen. Personen 12
24
6
120
Dagen
10
5
20
1
Product
120
120
120
120
Let op: • Het product van beide grootheden is steeds hetzelfde getal; • Vermenigvuldig je de ene grootheid met k, dan moet je de andere grootheid door k delen.
Willem-Jan van der Zanden
15
10.6 Periodieke grafieken [1]
De grafiek hierboven herhaalt zich steeds. Op t = 2 is het eb en op t = 14 is het weer eb. De grafiek herhaalt zich dus om de 12 uur. De periode van deze periodieke grafiek is 12 uur.
Willem-Jan van der Zanden
16
10 Samenvatting Procenten: 26% betekent 26 van de 100.
26 26% = = 0,26 100 Algemeen: Bij een toename van 6% geldt:
1) NIEUW = 1,06 · OUD 2) NIEUW = OUD + 0,06 · OUD
NIEUW OUD 100% De toename in procenten = OUD
Willem-Jan van der Zanden
17
10 Samenvatting Een grafiek die omlaag loopt is, dalend; Een grafiek die horizontaal loopt, is constant; Een grafiek die omhoog loopt, is stijgend. Er zijn drie soorten grafieken: 1) Vloeiende kromme; 2) Horizontale lijnstukjes; 3) Losse punten. Bij een tijds-afstandgrafiek staat de tijd langs de horizontale as en de afstand langs de verticale as. Een grootheid is iets dat je kunt meten: Een grootheid druk je uit in een eenheid.
Willem-Jan van der Zanden
18
10 Samenvatting Evenredige grootheden: • Bij evenredige grootheden hoort een verhoudingstabel; • Bij evenredige grootheden hoort als grafiek een rechte lijn door (0,0); • Bij evenredige grootheden hoort een woordformule van de vorm grootheid = a ⋅ andere grootheid; • Als de ene grootheid k keer zo groot wordt, wordt de andere grootheid dat ook. Omgekeerd evenredige grootheden: • Het product van beide grootheden is steeds hetzelfde getal; • Vermenigvuldig je de ene grootheid met k, dan moet je de andere grootheid door k delen. Een periodieke grafiek is een grafiek die zich herhaalt.
Willem-Jan van der Zanden
19
