Het Belang van de Calculus Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen
Calculus – p.1
Overzicht Het belang van de Calculus - Archimedes - Newton - Huygens - Bernoulli en Leibniz - Gauß en Maxwell - Latere ontwikkelingen Email:
[email protected] URL: http://www.math.rug.nl/˜broer
Calculus – p.2
Archimedes en Ptolemæus
Archimedes Claudius Ptolemæus (287-212 v.Chr.) (87-150 AD) Vroeg gebruik van Calculus Calculus – p.3
Exhaustie
Gevolg: 3.1408 < π < 3.1429 π is transcendent (Lindemann, 1882)
Calculus – p.4
Zonnestelsel
Nicolaus Copernicus (1473-1543)
Johannes Kepler (1571-1630)
Het Zonnestelsel in kegelsneden
Calculus – p.5
Kepler’s wetten
1. Planeet volgt ellips met Zon in brandpunt 2. Voerstraal Zon-planeet, beschrijft in gelijke tijdsintervallen gelijke ‘perken’ 3. De verhouding a3 : T 2 is constant Calculus – p.6
Harmonia Mundi Na mislukte Mysterium Cosmographicum was Kepler opgetogen over derde wet. Gepubliceerd in Harmonia Mundi Vond tweede wet ‘karrevracht mest’ A. Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man’s Changing Vision of the Universe, Danube 1980
Calculus – p.7
Newton
Isaac Newton (1642-1727)
Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica 1687
Calculus – p.8
Newton’s wetten 1. Traagheidswet 2. F = m a 3. Actie = - reactie Later: Universele gravitatie Differentiaalvergelijking! R.S. Westfall, Never at Rest, a Biography of Isaac Newton, Cambridge University Press 1980, . . . , 1996
Calculus – p.9
Crash course Calculus I y = F (x)
F (x)
x
F 0 (x) is de richtingsco¨effici¨ent van de raaklijn aan de grafiek van F in het punt (x, F (x)) F (x + h) − F (x) F (x) = lim h→0 h 0
Calculus – p.10
Crash course Calculus II
f (x) y = f (x)
a
F (x) =
xx+h
Rx
f (ξ)dξ dan F (x + h) − F (x) ≈ f (x) · h waaruit volgt dat F 0 (x) = f (x)
a
Calculus – p.11
Bisschop Berkeley What are these fluxions? The velocities of evanescent increments? And what are these same evanescent increments? They are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the ghosts of departed quantities? George Berkeley (1685-1753)
Calculus – p.12
Newton impliceert Kepler I y
F 0
r x
Cirkelbaan in centraal krachtveld F
Calculus – p.13
Newton impliceert Kepler II Neem nu aan: - Puntmassa m in vlak centraal krachtveld km F = − 2 er r
(1)
(de 1/r2 -wet) - Puntmassa volgt cirkelbaan ! x(t) r(t) = =R y(t)
cos 2π T t sin 2π T t
!
Leidt verband straal R en omloopstijd T hieruit af. Calculus – p.14
Newton impliceert Kepler III y
v
0
x
De snelheid v raakt aan de cirkelbaan
Calculus – p.15
Newton impliceert Kepler IV Snelheid cirkelbeweging ! x(t) ˙ v(t) = = R y(t) ˙ 2π = R T
2π sin − 2π T T t 2π 2π cos T T t
− sin 2π T t cos 2π T t
! !
Calculus – p.16
Newton impliceert Kepler V y
a 0
x
De versnelling a wijst naar het centrum
Calculus – p.17
Newton impliceert Kepler VI Versnelling cirkelbeweging (= middelpuntzoekend) ! ! 2 2π x¨(t) − 2π t cos T T a(t) = =R 2 2π y¨(t) − T sin 2π T t ! 2 cos 2π 2π t T = −R T sin 2π T t 2 2π er = −R T
(2)
Met tweede wet Newton F = m a volgt 2 4π T2 = R3 (inderdaad Kepler III) k Calculus – p.18
Scholium I - Kennelijk is de cirkelbaan mogelijk - We maken geen gebruik van Kepler’s wetten, maar zien dat de eerste en tweede wet hier opgaan - Derde wet Kepler equivalent met 1/r2 -wet - Flamsteed checkt derde wet Kepler op satellieten Jupiter -
postulaat: Universele gravitiatie met 1/r2 -wet Gedenk cruciaal experiment Eddington 1919
- ⇒ ellipsbanen verstoord
- Jacques Laskar (Observatoire de Paris): planetenstelsel chaotisch . . . merkbaar over circa 100 000 000 jaar Calculus – p.19
Huygens I
“Horologium Oscillatorium” 1673
Calculus – p.20
Huygens II
Slingertouw wikkelt af langs cycloïdale “wangen” → massa volgt cycloïdale baan geeft isochronie (motivatie: lengtebepaling op Zee) Calculus – p.21
Huygens III 2%
η
%
0 −π
2%
η
0
π
ξ
ϕ=π
ϕ = −π ϕ = −π/2
%
ϕ = π/2
0 −π
0
π
ξ
Calculus – p.22
Huygens IV 2%
η
%ϕ
% ϕ
ϕ
0 −π
0
π
ξ
Rol wiel (straal %) langs plafond −→ ξ(ϕ) = %(ϕ + sin ϕ), η(ϕ) = %(1 − cos ϕ)
Parameter ϕ heet rolhoek
Calculus – p.23
Huygens V Booglengte x = x(ϕ) (met Pythagoras): q dx = (dξ/dϕ)2 + (dη/dϕ)2 dϕ = √ p ϕ = % 2 1 + cos ϕ dϕ = 2% cos dϕ 2 rectificatie:
ϕ
ψ cos dψ x(ϕ) = 2% 2 0 ϕ = 4% sin 2 Z
Calculus – p.24
Huygens V 4 E(ϕ) 3
η 2 K(ϕ)
1
C(ϕ) 0 −π
0
π
ξ
Booglengte berekening afwikkelen touw
Calculus – p.25
Huygens VI 4 E(ϕ) 3
η 2
1
C(ϕ) 0 −π
0
π
ξ
Bovenste cycloïde ook omhullende normalen-bundel
Calculus – p.26
Huygens VII (voor liefhebbers) 2% θ η
r
%
θ
0 −π
0
π
ξ
Versnelling a = g sin θ, dus da = g cos θdθ Verder dx = rdθ = 2% cos θdθ Dus g g da = dx ⇒ a = x 2% 2% (harmonische oscillator – denk aan Hooke’s wet) H.W. Broer: Huygens’ isochrone slinger, Euclides, 70(4) (1995), 110–117. Calculus – p.27
Descartes
René Descartes (1596-1650) actio in distans?
Calculus – p.28
Bernoulli en Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz Johann Bernoulli (1646-1716) (1667-1748) Opkomst van de Calculus Calculus – p.29
Fermat impliceert Snellius I Het principe van Fermat zegt dat lichtstralen de paden van korste tijd volgen. Beschouw de breking van een lichtstraal tussen twee media 1 en 2, waarin licht de voortplantingssnelheden v1 en v2 heeft. Definieer de brekingsindices nj = 1/vj , j = 1, 2, dan luidt de Wet van Snellius: n1 sin φ1 = n2 sin φ2
Leibniz 1684: Nova Methodus . . . , in Acta Eruditorum
Calculus – p.30
Fermat impliceert Snellius II a
c
n1 = 1/v1
T1 (x)
c
φ1 a−x
x
φ2
b
T2 (x)
b n2 = 1/v2
a
Wet van Snellius Principe van Fermat: T (x) = T1 (x) + T2 (x) extremaal
Calculus – p.31
Fermat impliceert Snellius III Berekening levert voor T (x) = T1 (x) + T2 (x) : q p T (x) = n1 x2 + c2 + n2 (a − x)2 + b2 , en dus
T 0 (x) = T10 (x) + T20 (x) n1 x n2 (a − x) = √ −p . 2 2 2 2 x +c (a − x) + b
Dus
x (a − x) T (x) = 0 ⇔ n1 √ = n2 p x 2 + c2 (a − x)2 + b2 0
⇔ n2 sin φ1 = n2 sin φ2
QED
Calculus – p.32
Fermat impliceert Snellius IV 4
T (x) 3.5
3 0
1 x
2
Grafiek van T als functie van x extremum is minimum Calculus – p.33
Bernoulli’s brachystochroon I Brachystochroon probleem (Groningen 1695): GEGEVEN: Twee punten P en Q in verticaal vlak onderhevig aan zwaartekracht GEVRAAGD: Draadprofiel waarlangs wrijvingsloze kraal in kortst mogelijke tijd van P naar Q glijdt Optische metafoor: kraal volgt lichtstraal door optisch medium met geschikte voortplantingssnelheid v = v(h) Lichtstraal volgens Principe Fermat & Voortplantingsnelheid v(h) volgens Energiebehoud: 1 2 1 2 (v(h)) − gh = V 2 2
(3)
Calculus – p.34
Bernoulli’s brachystochroon II P
x 1 2 nj
φj φj+1
nj+1
j j+1 N Q
h
Discretiseer in laagjes en gebruik Snellius → cycloïde als limiet Calculus – p.35
Bernoulli’s brachystochroon III Snellius sin ϕj sin ϕj+1 = , vj vj+1 j = 1, 2, . . . , N nadert voor N → ∞ tot sin ϕ =C v
(4)
Calculus – p.36
Bernoulli’s brachystochroon IV Uit "behoudswetten" (3) en (4) volgt de gezochte geparametriseerde kromme (x(ϕ), h(ϕ))
via Lemma v
0
g = v
dh , cos ϕ = Cv dϕ 0
waarbij v 0 = dv/dh Bewijs: Differentieer (3) ⇔ v 2 = V 2 + 2gh naar h en (4) ⇔ sin ϕ = Cv naar ϕ QED
Calculus – p.37
Bernoulli’s brachystochroon V En zo: dh dϕ
lemma
=
(4)
=
1 v cos ϕ Cg 1 sin 2ϕ 2 2C g
(5)
terwijl: dx dϕ
dh = tan ϕ dϕ (3)
= v sin ϕ 1 (4) = (1 − cos 2ϕ) 2 2C g Calculus – p.38
Bernoulli’s brachystochroon VI Integratie geeft dan: 1 h(ϕ) = h0 − cos 2ϕ 2 4C g 1 x(ϕ) = x0 + (2ϕ − sin 2ϕ) : 2 4C g
een cycloïde met rolhoek 2ϕ en straal 1/(4C 2 g)
QED
Calculus – p.39
Scholium II - Prijsvraag in Acta Eruditorum - Newton’s oplossing anoniem: ex ungue leonem . . . - Begin van vakgebied variatie-rekening (variational calculus) - Fermat’s principe bekende spiegelings- (en brekings-) wet extremum globaal niet altijd minimum (denk aan ellips met lichtbron in een brandpunt)
Calculus – p.40
Maxwell en Lorentz
James Clerk Maxwell (1831-1879)
Hendrik Antoon Lorentz (1853-1927)
Wetenschap ∞ Technologie Calculus – p.41
Wetenswaardigheden - Samenwerking Lorentz - Einstein - Lorentz werd directeur Teylers museum Haarlem en deed ingenierswerk aan Afsluitdijk (zonder computer . . .) - Maxwell heeft overwogen Nederlands te leren . . . - Achtergrond in i. D. van Delft, Heike Kamerlingh Onnes, een biografie, Bert Bakker 2005 ii. S.I. Rispens, Einstein in Nederland, Ambo 2006 - Nobelprijzen: Jacobus Henricus van ’t Hoff (1901) Hendrik Antoon Lorentz en Pieter Zeeman (1902) Johannes Diderik van der Waals (1910) Heike Kamerlingh Onnes (1913) Calculus – p.42
Archimedes in Maxwell style Beschouw volume V in z < 0 kracht F(x, y, z) = (0, 0, cz) waarin c = −%g (Newton II) met % dichtheid vloeistof. Opwaartse kracht is dan ZZ − hF, ni dS = %g vol V ∂V
Bewijs: Gebruik de Stelling van Gauß ZZ ZZZ hF, ni dS = div F dV ∂V
V
Voor F(x, y, z) = (0, 0, cz) geldt div F = c en dus ZZ hF, ni dS = c vol V QED ∂V
Calculus – p.43
Hilbert en Von Neumann
David Hilbert John von Neumann (1862-1943) (1903-1957) Wiskunde achter de Quantum-Mechanica calculus van operatoren Calculus – p.44
Dirac en Schwarz
Paul Dirac Laurent Schwarz (1902-1984) (1915-2002) Gegeneraliseerde functies calculus van distributies Calculus – p.45
Scholium III - De speciale en algemene relativiteitstheorie en de . quantum-mechanica. - Het allergrootste (het heelal) en het allerkleinste (snaren, bramen, etc.). - Dioden, halfgeleiders, etc. mobieltjes, pacemakers en de hele medische technologie, pinpassen (inclusief security), etc. - Telecommunicatie (inclusief satellieten), vliegverkeer, betalingsverkeer - Probleem: veel calculus is geautomatiseerd en onzichtbaar. Leidt tot demathematisering in presentatie (nieuws) en onderwijs.
Calculus – p.46
Scholium III, ctd. - Dynamische systemen: first principles modelleren versus behaviouristisch modelleren - Systems and control, optimalisatie, etc. - Modelling in levenswetenschappen, economie, etc., dynamica plus diffusie plus toeval, etc. - ...
Calculus – p.47
