Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende

- 145 -

Naam: ……………………………………….…

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de 2egraad met één onbekende 1. Instap (boek pag 107) a. Van een rechthoek is de lengte driemaal zo groot als de breedte. De oppervlakte bedraag 108 m2. Bepaal de beide afmetingen. Geg : lengte : l = x Breedte : b = 3x Oppervlakte : A = …………. Gevr : l = ? b=? Oplossing: Formule : A = ........................................ Vergelijking: ............................................ Oplossing : ................................................................................................ ................................................................................................ b. Bij onderstaande rechthoek en ruit staan de maatgetallen van de afmetingen uitgedrukt in cm. Bepaal x zo dat de rechthoek en de ruit dezelfde oppervlakte hebben.

............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................................................................................................................... ...............................................................................................................................


- 146 -

Naam: ……………………………………….… Besluit: Zowel in het eerste als het tweede voorbeeld vinden we een vergelijking van de ........................................................................................met één onbekende. Een vierkantsvergelijking van de tweede graad met één onbekende noemen we ook een vierkantsvergelijking of kwadratische vergelijking. We kunnen zo een vergelijking steeds herleiden naar de standaardvorm: ax 2 + bx + c = 0

met a ∈ |R0 en b, c ∈ |R

Opmerking: Als b= 0 of c = 0 dan spreken we van een onvolledige vierkantsvergelijking: Stel c = 0 dan krijg je volgende onvolledige vierkantsvergelijking : ax 2 + bx = 0 Stel b = 0

: ax 2 + c = 0

Stel b= 0 en c= 0

: ax 2 = 0

2. Oplossen van een onvolledige vierkantsvergelijkingen ax 2 = 0

met b = c = 0

5x 2 = 0

Voorbeeld:

⇔ ............................. ⇔ .............................

Algemene oplossingsmethode: ax 2 = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x=0

Opl = { 0

}

want a ≠ 0 want x ⋅ x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 0

(boek pag 108)


- 147 -

Naam: ……………………………………….…

ax 2 + c = 0

Voorbeeld:

met b = 0

2 x 2 − 32 = 0 ⇔ ............................. ⇔ ............................. 2 x 2 + 32 = 0 ⇔ ............................. ⇔ .............................

Algemene oplossingsmethode: ax 2 + c = 0 ⇔ ax 2 = − c ⇔ x2

=

−c a

−c >0 : x= a

−c −c ∨ x=− a a

 −c −c Opl =  ,−  a   a −c < 0 : geen oplossingen a

Opl =

{ } = ..............

Los op: 3 x 2 − 75 = 0 ⇔ ..................................... ⇔ .................................... ⇔ .....................................

Opl = .......................

3 x 2 + 75 = 0 ⇔ ..................................... ⇔ .................................... ⇔ .....................................

Opl = .......................


- 148 -

Naam: ……………………………………….… ax 2 + bx = 0

met c = 0

Voorbeeld: 3x 2 − 5 x = 0

⇔ ............................................ ⇔ ............................................. Opl = ………….

⇔ ............................................. 7 x 2 − 14 x = 0

⇔ ............................................ ⇔ ............................................. Opl = ………….

⇔ .............................................

Algemene oplossingsmethode: ax 2 + bx = 0 ⇔ x (ax + b ) = 0 ⇔ x = 0 ∨ ax + b = 0

⇔ x=0∨ x=

− b Opl =  ,  a

−b a

 0 

Samenvatting Oplossen van een onvolledige vierkantsvergelijking: ax 2 = 0

Opl = { 0

⇔ x=0

ax 2 + c = 0 ⇔ x 2

=

 −c −c −c > 0 : Opl =  ,−  a a   a

−c a

−c < 0 : Opl = a ax 2 + bx = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =

}

−b a

{ } = ..............

− b  Opl =  , 0   a 

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende Naam: ……………………………………….…

Opgave pag 109 nr. 1 a.

3x 2 − 5 x = 0

Proef :

⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = ………………… b.

y 2 − 0,25 = 0

Proef :

⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = ………………… c.

z 2 + 49 = 0

Proef :

⇔ ............................................. Opl = ………………… d.

7x 2 = 0

Proef :

⇔ ............................................. Opl = ………………… e.

81a 2 − 121 = 0 ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = …………………

Proef :

- 149 -

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende f.

Naam: ……………………………………….… Proef : x 5 = x 4 36 2

⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = ………………… g.

(3x + 1 ) ( x + 7 ) = 7

Proef :

⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = ………………… h.

(b + 5 ) ( b + 3 ) = 8b + 6

Proef :

⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = ………………… i.

(y − 1 ) (y

+ 5)+ 5 = 0

⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = …………………

Proef :

- 150 -

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende j.

Naam: ……………………………………….… Proef : ( x + 2 )2 = x + 4 ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = …………………

k.

(1 − x ) ( 1 + x ) = (1 − 2 x ) (1 + 2 x )

Proef :

⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = ………………… l.

(2 x − 3)2

= 25 − 12 x

⇔ ............................................. ⇔ ............................................. ⇔ ............................................. Opl = …………………

Proef :

- 151 -


- 152 -

Naam: ……………………………………….… 3. Oplossen van een volledige vierkantsvergelijking (boek pag 110):

Voorbeeld: x 2 − 4 x − 21 = 0 We vullen de eerste 2 termen aan zodat we een volkomen kwadraat krijgen

(

)

⇔ x 2 − 2 ⋅ 2. x + ........ − ......... − 21 = 0 ⇔ ( x − ........)

2

− 4 − 21 = 0

2

⇔ ( x − ..........) = 25

⇔ ( x − .......) = 5

∨

(

x−2

) = −5

⇔ x = ................. ∨ x = ................. Opl =

{

}

Algemene methode: ax 2 + bx + c = 0

Omdat a ≠ 0 krijgen we een gelijkwaardige vgl als we beide leden vermenigvuldigen met 4a 4a 2 x 2 + 4 abx + 4ac = 0 We vullen de eerste 2 termen aan zodat we een volkomen kwadraat krijgen

(

⇔ 4a 2 x 2 + 2 ⋅ 2abx + b 2 2

(

)−

b 2 + 4ac = 0

)

⇔ (2ax + b ) − b 2 − 4ac = 0 2

⇔ ( 2ax + b ) = b 2 − 4ac De uitdrukking b 2 − 4ac noemen we de discriminant van de vierkantsvergelijking en stellen we voor door een D 2

⇔ (2ax + b ) = D


- 153 -

Naam: ……………………………………….… Geval 1: D < 0

(2ax + b )2

Geen oplossingen in |R

= D<0

Geval 2: D = 0

(2ax + b )2

= D=0 2

⇔ (2ax + b ) = 0 ⇔ 2ax + b = 0 ⇔ 2ax = − b ⇔ x=

−b 2a

Één dubbele oplossing ( twee gelijke oplossingen) in |R

Geval 3: D > 0

(2ax + b )2

= D>0

⇔ 2ax + b = + D ∨ 2ax + b = − D ⇔ 2ax = − b +

⇔ x=

−b + D 2a

D ∨ 2ax = − b −

∨ x=

D

−b − D 2a

Twee oplossingen in |R

Uitgewerkt voorbeeld: x 2 − 4 x − 21 = 0

D =

b 2 − 4ac = .................................

= .................................

⇔ x1 =

∨ x2 =

⇔ x1 = ............

∨ x 2 = ...............

⇔ x1 = ............

∨ x 2 = ...............

⇔ x1 = ............

∨ x 2 = ...............

Opl =

{

}


- 154 -

Naam: ……………………………………….…

Opgave: boek pag 113 nr.2 : Los op in |R a.

x 2 − 9 x + 20 = 0

D = b 2 − 4ac

= ..................... = ..................... ⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. ⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. OPL = {................}

Proef:

b.

x 2 − 2x − 8 = 0

D = b 2 − 4ac

= ..................... = ..................... ⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................


- 155 -

Naam: ……………………………………….… ⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = ..............................

⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. OPL = {................}

Proef:

c.

x2 − x − 1 = 0

D = b 2 − 4ac

= ..................... = ..................... ⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

OPL = {................}

Proef:

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende Naam: ……………………………………….… d.

x 2 + 3 x − 28 = 0

D = b 2 − 4ac

= ..................... = ..................... = .....................

⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. ⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. OPL = {................}

Proef:

t.

x = x 2 − 12

⇔ .......................................

D = .......................

= ..................... = ..................... ⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = ..............................

- 156 -


⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. OPL = {................}

Proef:

u.

x 2 = 19 x − 48

⇔ .......................................

D = .......................

= ..................... = ..................... ⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. ⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. OPL = {................}

Proef:

- 157 -


- 158 -

Naam: ……………………………………….…

Opgave: boek pag 113 nr. 3 : Los op in |R . Gebruik hiervoor een ZRM en rond de eventuele wortels af op 0,001 a.

x 2 + 2,17 x − 4,18 = 0

D = .......................

= ..................... = ..................... ⇔ x1 =

....................................... ...................................... ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 =

..................................... ................................... ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 = ................................. ∨ x 2 = ................................... ⇔ x1 = ............................ ∨ x 2 = ..................................... OPL = {.............................}

Proef:

b.

5a 2 − 0,84a − 0,22 = 0

D = .......................

= ..................... = ..................... ⇔ x1 =

....................................... ...................................... ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 =

..................................... ................................... ∨ x2 = ........................ ............................


- 159 -

Naam: ……………………………………….… ⇔ x1 = ................................. ∨ x 2 = ...................................

⇔ x1 = ............................ ∨ x 2 = ..................................... OPL = {..................................}

Proef:

Opgave: boek pag 116 nr. 18 : Los op in |R a.

(

)

2 2x 2 + 1 = 9x ⇔ .................................................. ⇔ ..................................................

D = .......................

= ..................... = ..................... ⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. ⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. OPL = {................} Proef:

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende b.

- 160 -

Naam: ……………………………………….… x ( x + 10 ) = 21 ( x + 2 ) ⇔ .................................................. ⇔ ..................................................

D = .......................

= ..................... = ..................... ........................ ............................ ⇔ x1 = ∨ x2 = ........................ ............................ ⇔ x1 =

........................ ............................ ∨ x2 = ........................ ............................

⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. ⇔ x1 = ................ ∨ x 2 = .............................. OPL = {................} Proef:

c.

5 y ( y − 4) = 6 y − 5 ⇔ .................................................. ⇔ ..................................................

D = .......................

= ..................... = ..................... ⇔ y1 =

........................ ............................ ∨ y2 = ........................ ............................

⇔ y1 =

........................ ............................ ∨ y2 = ........................ ............................

⇔ y1 = ................ ∨ y 2 = ..............................


⇔ y1 = ................ ∨ y 2 = .............................. OPL = {................} Proef:


( x + 5 )2

2

= (2 x + 1) + 24

⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ ..................................................

OPL = {................} Proef:

- 161 -

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende Naam: ……………………………………….… b.

(1 − y )2

= (− 1 − 2 y )(− 1 + 2 y )

⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ ..................................................

OPL = {................} Proef:


2

(3x − 5 )

=5

⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ ..................................................

OPL = {................} Proef:

- 162 -


- 163 -

Naam: ……………………………………….… b.

2

y − 2 3 y +3 = 0 ⇔ .................................................. ⇔ .................................................. ⇔ ..................................................

OPL = {................} Proef:

Samenvatting Oplossen van een onvolledige vierkantsvergelijking: ax 2 = 0

Opl = { .............

⇔ x=0

ax 2 + c = 0 ⇔ x 2

=

−c a

−c > 0 : Opl = {........................} a −c < 0 : Opl = a

ax 2 + bx = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =

}

−b a

{ } = ..............

Opl = {...............}

Oplossen van een volledige vierkantsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 (1)

D = .............................

D < 0:

(1) ........................

Opl = ................

D = 0:

(1) ⇔ ...................................

Opl = ....................

D > 0 : (1) ⇔ .................................

Opl = ....................


- 164 -

Naam: ……………………………………….…

4. Som en Product van de wortels van een vierkantsvergelijking ax 2 + bx + c = 0

⇔ x1 =

−b− D 2a

met a ∈ |R0 en b, c∈ |R

∨ x2 =

−b+ D 2a

met D = b 2 − 4ac

Som van de wortels −b − D −b + D S = x1 + x 2 = + 2a 2a

=

(

−b − D + −b+ D 2a

Product van de wortels  −b− D   −b+ D   .  P = x1 .x 2 =    2a  2 a   

)

(− b − D )⋅ (− b + D )

=

(2a ) ⋅ (2a )

=

− b− D −b+ D 2a

b2 − D = 4a 2

=

− 2b 2a

=

b 2 − (b 2 − 4ac ) 4a 2

b a

=

b 2 − b 2 + 4ac 4a 2

=

4ac 4a 2

= −

=

c a

Besluit: Voor de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 met a ∈ |R0 en b, c∈ |R en met wortels x1 en x 2 geldt: S = x1 + x 2 = −

b a

en

P = x1 ⋅ x 2 =

c a


- 165 -

Naam: ……………………………………….… Oplossen van een tweedegraadsvergelijking met som en product van de wortels

Voorbeeld 1 : x 2 − 5x + 6 = 0 b ................  S = x1 + x 2 = − = − = .............. a ................   x1 = ........en x 2 = .............  c ................ Product : P = x1 ⋅ x 2 = = = ...............  a ................ 

Som :

⇔ x1 = ........................... en x 2 = .................................. Opl = {..........................}

Voorbeeld 2 : x 2 − 8 x + 15 = 0 b .......... ......  S = x1 + x 2 = − = − = .......... .... a .......... ......   x1 = ........en x 2 = .......... ...  c .......... ...... Product : P = x1 ⋅ x 2 = = = .......... .....  a .......... ...... 

Som :

⇔ x1 = .................... ....... en x 2 = .......... .......... .............. Opl = {.......... ................}

Voorbeeld 3: x 2 + 9x + 8 = 0 b ................  =− = .......... .... a ................   x1 = ........en x 2 = .......... ...  c .......... ...... Product : P = x1 ⋅ x 2 = = = .......... .....  a .......... ...... 

Som :

S = x1 + x 2 = −

⇔ x1 = .................... ....... en x 2 = .......... .......... .......... .... Opl = {.......... ................}


- 166 -

Naam: ……………………………………….… Toepassing: Bepaal de som en het product van de wortels zonder de wortels zelf te berekenen: 1.

7 x 2 −14 x − 49 = 0 b .......... = .............. S = x1 + x 2 = − = − a ...........

Som :

Product : P = x1 ⋅ x 2 =

2.

x2 − x 2 − 3 = 0 b ........... S = x1 + x 2 = − = − = .......... .... a ...........

Som :


3.

c ......... = = .......... ..... a .........

c .......... .. = = .......... ..... a .......... ..

4 x 2 = 0,75 x + 3,5 ⇔ .......... .................... .......... .......... ......

Som :

b .......... S = x1 + x 2 = − = − = .......... .... a ..........


4.

(

)

2 −1 x 2 +

Som :

c ............ = = .......... ..... a .......... .

2 − 1 = 2 x ⇔ .................... .......... .......... .................... ....

S = x1 + x 2 = −


b .......... ...... = = .......... .... a .......... ......

c .......... ...... = = .......... ..... a .......... ......


- 167 -

Naam: ……………………………………….… Los op met som en product: 1.

x 2 + 5 x − 14 = 0 ⇔ .................... .......... .......... .......... .............. b ....... ....... Som : S = x1 + x 2 = − = − = = .......... ... a ........ ....... Product : P = x1 ⋅ x 2 =

c ....... ....... = = = .......... ... a ........ .......

Opl = {.......... .......... .....}

2.

x 2 − 3 x − 10 = 0 ⇔ .......... .................... .......... .......... .............. b ....... ....... Som : S = x1 + x 2 = − = − = = .......... ... a ........ ....... Product : P = x1 ⋅ x 2 =

c ....... ....... = = = .......... ... a ........ .......

Opl = {.......... ...............}

3.

x 2 − (a − b )x − ab = 0 ⇔ .......... .......... .......... .................... .......... .... ....... ....... Som : S = x1 + x 2 = − = = .......... ... ........ ....... Product : P = x1 ⋅ x 2 =

....... ....... = = .......... ... ........ .......

Opl = {.......... .......... .....}

4.

x 2 + (a + 3)x + 3a = 0 ⇔ .................... .......... .......... .......... .............. ....... ....... Som : S = x1 + x 2 = − = = .......... ... ........ ....... Product : P = x1 ⋅ x 2 =

....... ....... = = .......... ... ........ .......

Opl = {.......... .......... .....}

5.

x 2 − 2ax + a 2 − 4b 2 = 0 ⇔ ................................................................ Som :

S = x1 + x 2 = ........

Product : P = x1 ⋅ x 2 = ............. Opl = {.........................}


- 168 -

Naam: ……………………………………….… Van de volgende gedeeltelijke gegeven vierkantsvergelijkingen is een wortel x1 gegeven. Bepaal x2 : 1.

x 2 + ......... x − 8 = 0

x1 = 4

x 2 = .......... .......... ....


Som :

2.

5 x 2 + ......... x − 6 = 0

S = x1 + x 2 = −

x1 = 2

....... ........

x 2 = .......... .......... ....


Som :

....... ⇒ ....... ⋅ x 2 = .......... ........ ⇒ x2 = .......... .

....... ⇒ ...... ⋅ x 2 = .......... ........ ⇒ x2 = .......... .

S = x1 + x 2 = −

....... ........

Geef een vierkantsvergelijking als de wortels gekend zijn: 1.

x1 = 2 en x 2 =

1 3

S = x1 + x 2 = ...................... = − x 2 + ......... x +

.............. = 0

⇔ x 2 + .........x + 2.

x1 =

b c en P = x1 . x 2 = ................... = a a

................ = 0

3 7 en x 2 = 7 3 S = x1 + x 2 = ...................... = −

x 2 + ......... x +

b c en P = x1 . x 2 = ................... = a a

.............. = 0

⇔ x 2 + .........x +

................ = 0


- 169 -

Naam: ……………………………………….… Samenvatting Voor de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 met a ∈ |R0 en b, c∈ |R en met wortels x1 en x 2 geldt: S = x1 + x 2 = −

b c en P = x1 ⋅ x 2 = a a

Bepaal som en product: Vergewis je er wel van of de vierkantswortel wel reeele wortels heeft: 1. x 2 − (a + 1) x − 2a 2 + 2a = 0 b ................ =− a ................

     = ..... ..............  x1 = .........en x 2 = .............   c ................  Product : P = x1 ⋅ x 2 = = = ............... a ................ 

Som :

2.

S = x1 + x 2 = −

12 x 2 + 13 x + 12 = 0 b .......... ......  =− a .......... ......    x1 = .......... ..en x 2 = .......... ...  c .......... ......  Product : P = x1 ⋅ x 2 = = a .......... ...... 

Som :

3.

S = x1 + x 2 = −

6 x 2 − 11 = 0 b .......... ...... =− a .......... ......

     = .......... ........  x1 = ........en x 2 = .......... ...   c ................  Product : P = x1 ⋅ x 2 = = = .......... ..... a ................ 

Som :

S = x1 + x 2 = −

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende Naam: ……………………………………….… Los op in |R met som en product : 1.

x 2 + 12 x + 20 = 0

Som :

S = x1 + x 2 = −


b .......... =− = .......... .... a .......... .

c ......... = = .......... ..... a .........

⇔ x1 = .......... .......... .... en x 2 = .......... .......... .......... ..

2.

123x 2 − 122 x − 1 = 0

Som :

b .......... S = x1 + x 2 = − = − a .......... .


c ......... = = .......... ..... a .........

⇔ x1 = .......... .............. en x 2 = .......... .......... ............ Opl = {.......... .......... ....}

Geef een vierkantsvergelijking als de wortels gekend zijn: 1.

x1 = 5 + 3 en x 2 = 5 − 3 b a c P = x1 . x 2 = ......................................... = ............................. = a S = x1 + x 2 = ....................................... = ............................. = −

x 2 + ......... x +

.............. = 0

⇔ x 2 .... .........x +

................ = 0

- 170 -


- 171 -

Naam: ……………………………………….…

Toets jezelf !!!

e. f. g.

h.

i. j.

k. l.

m .

n. o.

p. q.

Opgave (boek pag 113 nr. 2)

Oplossing

x 2 + 9 x − 22 = 0

Opl = {− 11 , 2 }

x2 + x + 1 = 0

Opl =

6x 2 − 5x + 1 = 0

1 1  Opl =  ,  3 2 

x 2 + 5x − 4 = 0

 − 5 − 41 − 5 + 41  Opl =  ,  2 2  

8x 2 + 2x − 1 = 0

Opl = { − 0,5 ; 0.25}

2x 2 − x − 2 = 0

1 − 17 1 + 17  Opl =  ,  4  4 

x 2 − 3 x − 28 = 0

Opl = { − 4 , 7

49 x 2 − 42 x + 5 = 0

1 5  Opl =  ,  7 7 

15 x 2 + 14 x + 3 = 0

 3 1  Opl = − , −  3  5

− x 2 − 12 x − 35 = 0

Opl = {− 7 , − 5 }

3 x 2 − 13 x + 14 = 0

 7 Opl = 2 ,   3

7 x 2 − 3x + 4 = 0

Opl =

1 − x − x2 = 0

 − 1 − 5 − 1 + 5  Opl =  ,  2 2  

Evaluatie

{}

}

{}


- 172 -

Naam: ……………………………………….… r.

s.

c.

5x 2 + x = 1

 − 1 − 21 − 1 + 21  Opl =  ,  10 10  

x 2 + 8 x = 65

Opl = {− 13 , 5


Oplossing

0,5 x 2 + 2,7 x + 0,042 = 0

Opl = { − 5,384 ; − 0,016 }

d.

− 2,3 y 2 + 4,78 y + 0,82 = 0

e.

3 x 2 − 5,222 x − 4,082 = 0

f. g. h.

d.

} Evaluatie

Opl = { − 0,159 ; 2,238 } Opl = { − 0,585 ; 2,326

}

{}

5b 2 + 2,778b + 0,928 = 0

Opl =

512,7 x 2 − 218 x − 6024 = 0

Opl = {− 3,222 ; 6,647 }

− 6,91z 2 − 10,54 z − 1,072 = 0 Opl = {− 1,416 ; − 0,110 }


Oplossing

14 y − 3 = 7 y (7 y − 2 )

⇔ − 49 y 2 + 28 y − 3 = 0

1 3  Opl =  ,  7 7  e.

z + 1 = 2z ( 1 − z )

⇔ 2z 2 − z + 1 = 0

Opl = f.

z 2 − 27 = 3 z (4 − z )

{}

⇔ 4 z 2 − 12 z − 27 = 0

Opl = {− 1,5 ; 4,5 } g.

3a − 7 = 8a ( a + 1 )

⇔ − 8a 2 − 5a − 7 = 0

Opl = { } h.

1 = 3a (1 − 3a )

⇔ 9a 2 − 3a + 1 = 0

Opl =

{}

Evaluatie


- 173 -

Naam: ……………………………………….… i.

18 ( b + 4 ) = b (36 − b )

⇔ b 2 − 18b + 72 = 0

Opl = {6 , 12} j.

20b (b + 1 ) = 3b 2 + 7b + 2

⇔ 17b 2 + 13b − 2 = 0  − 13 − 305 − 13 + 305  Opl =  ,  34 34  

k.

1 + p (1 − p ) = 0

⇔ − p2 + p + 1 = 0

1 − 5 1 + 5  Opl =  ,  2   2 l.

c.

− 2517814 + p − p 2 = 0

⇔ − p 2 + p − 2517814 = 0


Opl = { } Oplossing

(2 x + 3)2

⇔ 4 x 2 − 16 = 0

= 12 x + 25

Opl = {− 2, 2 d.

(a − 3)2

2

+ (a + 1) = a 2 − 2a + 9

Evaluatie

}

⇔ a 2 − 2a + 1 = 0

Opl = {1 } e.

2 + 1 = ( x − 2 ) (x 2 + 2 x + 4 ) ⇔ − 3x + 3x + 18 = 0

( x − 1 )3

Opl = {− 2 , 3 } f.

(z

3

+ 3 ) = z 3 + (z − 2 )

2

⇔ 8 z 2 + 31z + 23 = 0

 − 23  Opl =  , −1  8  g.

(x

2

+3

2

)

(

= x2 + 1

2

)

+ 20

⇔ 4 x 2 − 12 = 0

{

Opl = − 3 , h.

(b + 2 )3

3

}

3 2 2 − (b − 1 ) = (b + 4 ) ⇔ 8b + b − 7 = 0

7  Opl = − 1 ,  8 


- 174 -

Naam: ……………………………………….…

5. Vraagstukken die leiden tot een vierkantsvergelijking Voorbeeld 1 ( boek pag 113 ) Het product van twee opeenvolgende getallen is 56. Bepaal die twee getallen.

Oplossingsmethode :

Oplossing:

Lees de opgave aandachtig en onderlijn

Gelijkheid:

het gegeven.

..................................................................

Noteer de gelijkheid. ................................................................. Kies de onbekende en noteer dit in de

Onbekende

2e kolom

........................................................

Onderlijn het gevraagde en stel de

Vierkantsvergelijking:

vierkantsvergelijking op.

..........................................................

Noteer deze vierkantsvgl in de 2e kolom. Los de vierkantsvergelijking op :

Oplossen van de vierkantsvergelijking: .................................................................. .................................................................. .................................................................. ..................................................................

Formuleer het antwoord in de 2e kolom .................................................................. Maak de proef (controleer steeds jezelf) ..................................................................


- 175 -

Naam: ……………………………………….…

Opgave : boek pag 115 nr. 4 De som van een reëel getal en zijn kwadraat is 20. Bepaal dit getal.

Oplossingsmethode :

Oplossing:

Lees de opgave aandachtig en onderlijn

Gelijkheid:

het gegeven.

..................................................................

Noteer de gelijkheid. ................................................................. Kies de onbekende en noteer dit in de e

Onbekende

2 kolom

........................................................

Onderlijn het gevraagde en stel de

Vierkantsvergelijking:

vierkantsvergelijking op.

..........................................................

Noteer deze vierkantsvgl in de 2e kolom. Los de vierkantsvergelijking op :

Oplossen van de vierkantsvergelijking: .................................................................. .................................................................. .................................................................. ..................................................................

Formuleer het antwoord in de 2e kolom .................................................................. Maak de proef (controleer steeds jezelf) ..................................................................


- 176 -

Naam: ……………………………………….…

Toets jezelf !!!!! :

5.

Opgave ( boek pag 115)

Oplossing

Bepaal twee reële getallen met som 2,5

x : 1ste reëel getal

en product 1,5.

y: 2de reëel getal

Evaluatie

x + y = 2,5 -> y = 2,5 - x x . y = 1,5 x . (2,5 - x) = 1,5

⇔

- x² + 2,5x - 1,5 = 0 ⇔ x = 1 en y = 1,5 6.

De som van twee reële getallen is 10;

x : 1ste reëel getal

de som van hun kwadraten is 68.

y: 2de reëel getal

Bepaal die getallen.

x + y = 10 x² + y² = 68 x² + (10 - x)² - 68 = 0 2x² - 20x + 32 =0 ⇔ x = 2 en y = 8

7.

Bepaal de afmetingen van een

x : lengte rechthoek

rechthoek met een omtrek van 14 cm

y: breedte rechthoek

en een oppervlakte van 10 cm² .

x + y = 14 : 2 x . y = 10 x . (7 - x) = 10 ⇔ -x² + 7x - 10 = 0 ⇔ x = 2 en y = 5

8.

Een balk met een vierkant als

x : zijde grondvlak

grondvlak heeft een inhoud van 1014 cm³ en is 24 cm hoog. Bereken de

24x² = 1014 ⇔

lengte van een zijde van het grondvlak.

x = 6,5

⇔

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende 9.

Naam: ……………………………………….… x : lengte

Van een rechthoek is de lengte

driemaal zo groot als de breedte. We

y: breedte

verminderen de lengte met 3m en we

x=3y

verdubbelen de breedte. Nu is de oppervlakte 10,23m² groter geworden.

(3y - 3) . (2y) = y . 3y + 10,23 ⇔

Bepaal de oorspronkelijke afmetingen.

3y² - 6y - 10,23 = 0 ⇔ y = 3,1

10.

Op onderstaande figuur zijn de

en

x = 9,3

x : zie tekening

maatgetallen gegeven van de lengten

11.

van de zijden uitgedrukt in cm. De

(x+2)² - 4 =128,25 ⇔

oppervlakte van de figuur bedraagt

x² + 4x - 128,25 = 0 ⇔

128, 25 cm². Bereken x ?

x = 9,5

In een rechthoekige driehoek is de

x : lengte schuine zijde

schuine zijde 1 cm langer dan de ene rechthoekzijde en 18 cm langer dan de

x² = (x - 1)² + (x - 18)²

andere. Bepaal de lengten van de

x² - 38x + 325 = 0 ⇔

zijden.

x = 25 Antw: 25, 24, 7

13.

Geef twee opeenvolgende gehele

x: eerste getal

getallen waarvoor de som van de

y: tweede getal

kwadraten gelijk is aan de vierdemacht van 13.

x² + (x + 1)² = 134 ⇔ 2x² + 2x - 28560 = 0 ⇔ x = 119 en y = 120

⇔

- 177 -

Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen van de 2e graad met één onbekende 14.

Naam: ……………………………………….… x : eerste getal

De som van de kwadraten van drie

opeenvolgende getallen natuurlijke getallen is 2189. Bepaal deze getallen.

x² + (x+1)² + (x+2)² = 2189 ⇔ 3x² + 6x -2184 = 0 ⇔ x = 26 Antw: 26, 27, 28

15.

Voor vier opeenvolgende gehele

x : eerste getal

getallen is het product van de laatste drie 126 meer dan het product van de

x . (x+1) . (x+2)+126=(x+1) . (x+2)

eerste drie. Bepaal die getallen.

. (x+3) ⇔ 3x² + 9x -120 = 0 ⇔ x = 5 en x = -8 Antw: -8, -7, -6, -5 of 5, 6, 7, 8

17.

Michiel is 3 jaar ouder dan Rubben.

x : leeftijd Rubben

Het verschil van de derdemachten van hun leeftijden is 1647. Bepaal die

(x+3)³ - x³ = 1647

leeftijden.

x² + 3x -180 = 0 x = 12 Antw: 12, 15

⇔

- 178 -

Hoofdstuk 5: Vergelijkingen van de

Recommend Documents