5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p·x+q=r met p≠0. Maxima biedt daartoe in principe twee mogelijkheden : 1) oplossen via eenvoudige herleidingen door middel van de operaties +, -, * en / . 2) oplossen via de opdracht solve ad 1) oplossen via eenvoudige herleidingen
ad 2) oplossen via de solve-opdracht De SOLVE-opdracht “vraagt naar” de op te lossen vergelijking en naar de variabele waarin de oplossing moet worden uitgedrukt. De oplossingen worden gegeven in de vorm van een lijst.
1
Opgave 5.1 Bereken de variabele k uit de vergelijking s = m −
k ⋅a via herleiden en via de SOLVEk+a
opdracht. 5.1.2. Solve en algsys-opdrachten Het eerste argument van SOLVE is de vergelijking (of ongelijkheid) die moet worden opgelost. Het tweede argument is de variabele waarnaar de vergelijking wordt opgelost. • solve(verg, x) – retourneert als resultaat een lijst, waarvan de afzonderlijke elementen
vergelijkingen zijn.
• algsys ([verg], [x]) – retourneert een lijst van oplossingen, waarbij elke oplossing wordt
weergegeven als een lijst van vergelijkingen in de variabele x ; verg dient hierbij een veeltermvergelijking te zijn. In een volgende paragraf zullen we zien dat deze opdracht vooral handig werkt bij het oplossen van stelsels met meer dan één onbekende.
Opmerking:
De opdracht solve is ook te gebruiken via het menu “Equations → Solve” en eveneens via de knop Solve in de buttonlijst voor opdrachten met een dialoogvenster.
Via het menu “Equations → Solve” krijgen we het volgende dialoogvenster:
Opgave 5.2 Bepaal de oplossingen van de vergelijking 2 x 4 +
167 x 3 73x 2 59 x 1 + − + =0. 15 15 15 3
Controleer de antwoorden door substitutie ervan in de oorspronkelijke vergelijking. 2
Opgave 5.3 Bepaal de oplossingen van de vergelijking x3 − 3 x 2 + 19 x − 17 = 0 . 5.1.3. Numeriek oplossen van vergelijkingen Niet elke vergelijking kan exact worden opgelost. Veeltermvergelijkingen van hogere orde (bijv. x5 − 1 = 0 ) , trigonometrische vergelijkingen (bijv. cos( x) = 0.25 ) , exponentiële vergelijkingen (bijv. 2 x = 3 ) kunnen slechts numeriek worden opgelost. Dat betekent dat we slechts benaderingen voor de exacte oplossingen kunnen geven. Maxima geeft hiertoe de volgende mogelijkheden : •
• •
Via het menu “Equations → Solve numerically” wordt middels de opdracht find_root een nulpunt van een functie numeriek bepaald; hierbij dient een interval te worden vermeld waarbinnen het gezocht nulpunt ligt allroots resp. realroots voor veeltermen of wel de meer krachtige opdracht algsys (welke ook voor het oplossen van stelsels vergelijkingen wordt gebruikt).
We bepalen nu de numeriek de reële oplossing van deze vergelijking in 8 decimalen nauwkeurig:
We zien hieruit dat er 3 reële oplossingen zijn.
De vergelijking heeft dus 3 reële en 2 complexe oplossingen. We bepalen vervolgens een nulpunt van de functie f ( x) = x − cos( x) op het interval [0, π ]:
3
5.1.4. Numeriek oplossen via een recurrente formule Vergelijkingen van de vorm y = F ( y ) kunnen we soms numeriek oplossen door gebruik te maken van de recurrente betrekking y n +1 = F ( y n ) waarbij y 0 een geschikte startwaarde is. Bij de wiskunde van het VO heeft u hiermee kennis gemaakt bij de onderwerpen differentievergelijkingen of dynamische systemen. Laten we ter illustratie het volgende voorbeeld nemen: met als startwaarde y 0 = 1 .
y n +1 = cos( y n ) voor n = 0, 1, 2, …..
Door successieve substitutie krijgen we dan de volgende rij getallen : y0 = 1 y1 = 0.540302306 y2 = 0.857553216 y3 = 0.654289790 y4 = 0.793480359 y5 = 0.701368774 y6 = 0.763959683 y7 = 0.722102425
Deze rij getallen kan in Maxima ook via een for –opdracht als volgt gegenereerd worden:
4
Als deze rij convergeert naar een bepaalde waarde dan zal die waarde een oplossing zijn van de vergelijking y = cos( y ) . Uit de tabel blijkt dat de oplossing ongeveer 0.74 is. Om de grafiek van de eerste 15 termen te tekenen, gebruiken we de volgende opdrachten:
De grafiek van verkregen uit opdracht (%i9) staat in figuur 4.1
Fig. 4.1
Grafiek van y n +1 = cos( y n ) met y 0 = 1
Dit proces van successieve substitutie kan meetkundig fraai geïllustreerd worden door een webdiagram met behulp van de opdracht staircase (F, y0, n, ……) :
Fig. 4.2
Webgrafiek van y n +1 = cos( y n ) met y 0 = 1
5
Opgave 5.4 Voor het numeriek oplossen van de vergelijking 1
y=
1
2 y + gebruiken we het volgende 2 y
2
iteratieproces yn + 1 = yn + . 2 yn a.
Als het iteratieproces convergeert, naar welke waarde zal het dan convergeren ?
b.
Bepaal via een for-loop de waarden y1 t/m y8 ; neem als startwaarde y0 = 0.5
c.
Plot de grafiek van yn als functie van n voor n = 1,2, ………..,8
d.
Teken de webgrafiek van yn + 1 = yn + ; neem als startwaarde y0 = 0.5 2 yn
1
2
5.2. Stelsels vergelijkingen In deze paragraaf zullen we op verschillende manieren stelsels vergelijkingen leren oplossen. We nemen daarbij steeds het volgende stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden als voorbeeld : I II
: 3x - y = 5 : 2x + 3y = 7
5.2.1. Oplossen via solve/algsys/linsolve De beide vergelijkingen worden tussen vierkante haken en gescheiden door een komma ingevoerd. De namen van de onbekenden worden weer als een lijst ingevoerd ( tussen vierkante haken). Met LINSOLVE (voor lineaire stelsels) , SOLVE of ALGSYS wordt het stelsel opgelost. De uitvoer bestaat uit een lijst van oplossingen in de vorm van Maximavergelijkingen : [[x=1, y=2], … ] Het is handig om de oplossingen in een variabele op te slaan ( bijvoorbeeld als volgt oplos : solve ([ ‘vergelijkingen’], [‘var’]) ), om vervolgens makkelijk met het resultaat te kunnen manipuleren. Opmerking:
Hint:
Directe toegang tot het resultaat gebeurt via het lijstelement en de opdracht RHS. Bijvoorbeeld oplos[1][1] is het eerste element van de tweedimensionale lijst oplos. In dit geval 1 rij en 2 kolommen. Hiermee wordt dus de betreffende oplossingsvergelijking geselecteerd. Met rhs(oplos[1][1]) wordt de oplossing zelf geselecteerd (een getalwaarde). Een andere variant is het gebruik van de opdracht ev (evaluation), bijv. ev (x, oplos) geeft de waarde van x.
6
Deze methode kan natuurlijk ook worden gebruikt bij stelsels vergelijkingen met meer dan 2 variabelen. 5.2.2. Oplossen via gelijkstellen Uit beide vergelijkingen wordt met solve een variabele berekend. Vervolgens worden de rechter zijden van deze vergelijkingen aan elkaar gelijkgesteld.
7
5.2.3. Eliminatiemethode (na vermenigvuldiging) De eerste vergelijking 3x-y=5 wordt met 2 vermenigvuldigd en de tweede vergelijking 2x+3y=7 wordt met 3 vermenigvuldigd. Daarna trekken we de tweede vergelijking van de eerste af, waardoor we alleen een vergelijking in y overhouden (x is geëlimineerd).
5.2.4. Oplossen lineair stelsel via menu Maxima biedt ook de mogelijkheid via een dialoog gestuurd menu een stelsel op te lossen. Wij kiezen hier voor de optie “Equations → Solve linear system” uit het menu . We gebruiken weer onze beide oorspronkelijke vergelijkingen. Na afloop van de dialoog wordt de gebruikte opdracht in het algebravenster zichtbaar.
8
Uiteraard is het verstandig om het antwoord te controleren:
Opgave 5.5 Los het volgende lineaire stelsel met 4 onbekenden op I: II: III: IV:
a -2a a a
+ b -2b - b + b
- 2c + d = + c + d = + c + 2d = - 4c + 5d =
2 2 10 12
9
Opgave 5.6 Bepaal de snijpunten van de rechte r: x − y = 4 met de cirkel c: ( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 = 36 Controleer de gevonden antwoorden. Opgave 5.7 Los het volgende stelsel op en geef een interpretatie van de parameter %r1 3x + 2 y = 5 x + y + z = 3
10
