Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.7
H. 7 Twee vergelijkingen met twee onbekenden In § 6.1 hebben we ons beziggehouden met vraagstukken van de vorm: 2 x + 8 = 14 In de wiskunde noemen we dit een (lineaire) vergelijking met 1 onbekende x. Het oplossen van deze vergelijking levert ons een waarde van x op. Hier: x = 3 . Daarnaast kennen we ook 2 vergelijkingen met 2 onbekenden. Een voorbeeld daarvan is: ⎧ 2 x + 3 y = 10 """"""""""""""" (1) ⎨ ⎩ 5x−2 y = 7 (1) noemen we ook wel een stelsel vergelijkingen. Hierin zijn x en y de onbekenden. Het oplossen van dit stelsel levert ons waarden van x en y op. Een ander voorbeeld van zo’n stelsel vergelijkingen is: 2 ⎪⎧ x + y = 4 """"""""""""""" ( 2 ) ⎨ 2 ⎪⎩ 3 x + 4 y = 1
In dit hoofdstuk beperken we ons tot stelsels met 2 lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden x en y. Dit betekent, dat de beide onbekenden x en y de exponent 1 hebben. Stelsel (1) is dus een voorbeeld van zo’n stelsel !!
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.7
7.1 Twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden Voorbeeld 1:
Los op:
⎧⎪ x + 2 y = 3 """"""""""""""" ( 3) ⎨ ⎪⎩ 2 x + 3 y = 1 """"""""""""""" ( 4 ) Voor het oplossen van dit stelsel kennen we 2 oplossingsmethoden. Methode 1:
De ‘substitutiemethode’
Bij deze methode maken we x (of y) vrij uit vergelijking (3), en vullen dan deze oplossing x (of y) in vergelijking (4) in: Uit (3) volgt:
x = 3 − 2 y """"""""""""""" ( 5 )
Invullen ( = substitueren) van (5) in (4) geeft: 2 ( 3 − 2 y ) + 3 y = 1 """""""""""""""""" ( 6 )
(6) is nu een lineaire vergelijking met 1 onbekende y. Verder oplossen van (6) levert dan (zie ook § 6.1): 2 (3 − 2 y ) + 3 y = 1 ⇒ 6−4 y + 3y = 1 ⇒ −y = −5 ⇒ y= 5
Invullen van y = 5 in (3) levert de oplossing voor x:
x +2y= 3 ⇒ x + 2⋅5 = 3 ⇒ x = −7 De oplossing van het stelsel is dus:
⎧ x = −7 ⎨ ⎩ y= 5
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering Methode 2:
WISKUNDE
H.7
De ‘eliminatiemethode’
Bij deze methode proberen we y (of x) op de volgende wijze uit het stelsel te verdrijven ( = elimineren): We vermenigvuldigen vergelijking (3) met het getal 3, en vergelijking (4) met het getal 2:
⎧⎪ x + 2 y = 3 | × 3 | ⇒ 3 x + 6 y = 9 """"""""""" ( 7 ) ⎨ ⎪⎩ 2 x + 3 y = 1 | × 2 | ⇒ 4 x + 6 y = 2 """"""""""" ( 8 ) Als we nu de vergelijkingen (7) en (8) van elkaar aftrekken, wordt de variabele y geëlimineerd:
3x + 6 y = 9 4x + 6y = 2 _ −x = 7 ⇒ x = −7 Invullen van x = − 7 in (3) levert de oplossing voor y:
x +2y= 3 ⇒ −7 + 2 y = 3 ⇒ 2 y = 10 ⇒ y= 5 ⎧ x = −7 ⎨ ⎩ y= 5
De oplossing van het stelsel is dus:
Opmerking: In § 6.2 hebben we gezien, dat we vergelijkingen (3) en (4) kunnen herschrijven:
x +2y= 3 ⇒ 2y=−x+3 ⇒ 2x + 3 y = 1 ⇒ 3 y = −2x +1 ⇒
y = − 12 x +
y = − 23 x +
(9) en (10) zijn geschreven in de vorm: lineaire functies voor.
"""""""" ( 9 )
3 2 1 3
y = m ⋅ x + n , d.w.z. (9) en (10) stellen
De grafieken van (9) en (10) zijn dus rechte lijnen:
(9) (10 )
⇒ l 1 : y = − 12 x +
3 2
⇒ l 2 : y = − 23 x +
1 3
"""""""" (10 )
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
WISKUNDE
H.7
In onderstaande figuur zijn deze lijnen l 1 en l 2 getekend:
l2 l1 S S
De lijnen l 1 en l 2 snijden elkaar in het punt S. De coördinaten van dat snijpunt zijn:
⎧⎪ x S = − 7 S ( −7 , 5 ) ⇒ ⎨ ⎪⎩ y S = 5 Dit komt overeen met de oplossing van het stelsel vergelijkingen (3) en (4):
⎧ x = −7 ⎨ ⎩ y= 5 Conclusie: Het oplossen van een stelsel van 2 lineaire vergelijkingen met 2 onbekenden komt overeen met het zoeken van het snijpunt van 2 rechte lijnen.
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering Voorbeeld 2:
WISKUNDE
H.7
Los op:
⎧⎪ x + y = 3 """"""""""""""" (11) ⎨ ⎪⎩ 4 x + 4 y = 5 """"""""""""""" (12 ) Oplossing: We passen de substitutiemethode toe: Maak x vrij uit (11): x = 3 − y """""""""""""""""" (13) Substitueer (13) in (12): 4 ( 3 − y ) + 4 y = 5 """"""""""""""" (14 ) y vrijmaken uit (14) geeft: 4 (3 − y ) + 4 y = 5 ⇒
12 − 4 y + 4 y = 5 ⇒ 12 = 5 ??? Dit betekent dat het stelsel (11) en (12) géén oplossing heeft !! We noemen zo’n stelsel dan strijdig. Als we de vergelijkingen (11) en (12) schrijven in de vorm: y = m ⋅ x + n , dan zien we wat er aan de hand is met dit stelsel:
x+ y= 3 ⇒
y=−x+3
"""""""""""""" (15 )
4x + 4y = 5 ⇒ 4y = −4x + 5 ⇒
y= −x+
5 4
"""""" (16 )
De grafieken van (15) en (16) zijn rechte lijnen:
(15) (16 )
⇒ l1 : y = − x + 3 ⇒ l2 : y = − x +
5 4
In onderstaande figuur zijn deze lijnen l 1 en l 2 getekend:
l1 l2
De lijnen l 1 en l 2 zijn evenwijdig aan elkaar. Ze snijden elkaar dus niet, zodat er géén snijpunt is. Daarom heeft het stelsel (11) en (12) ook géén oplossing.
Gemeenschappelijke Propedeuse Engineering
Voorbeeld 3:
WISKUNDE
H.7
Los op:
⎧⎪ 6 x − 4 y = 14 """"""""""""""" (17 ) ⎨ ⎪⎩ 9 x − 6 y = 21 """"""""""""""" (18 ) Oplossing: We passen de eliminatiemethode toe: We gaan x uit het stelsel (17) en (18) elimineren. Daarvoor gaan we (17) vermenigvuldigen met het getal 9, en (18) met het getal 6:
⎧⎪ 6 x − 4 y = 14 | × 9 | ⇒ 54 x − 36 y = 126 """"""""""" (19 ) ⎨ ⎪⎩ 9 x − 6 y = 21 | × 6 | ⇒ 54 x − 36 y = 126 """"""""""" ( 20 ) Als we nu (19) en (20) van elkaar aftrekken, wordt de variabele x geëlimineerd:
54 x − 36 y = 126
""""""""""""""" ( 21)
54 x − 36 y = 126 _ 0 = 0
Evenals in voorbeeld 2 vinden we ook nu geen oplossing van het stelsel (17) en (18). Alleen is hier wat anders aan de hand: In (21) zien we dat beide vergelijkingen van de vorm 54 x − 36 y = 126 zijn. Beide vergelijkingen zijn dus precies aan elkaar gelijk. In dat geval noemen we het stelsel (17) en (18) afhankelijk. Als we ook in dit voorbeeld de vergelijkingen (17) en (18) herschrijven in de vorm y = m ⋅ x + n , dan krijgen we de rechte lijnen:
(17 ) (18)
⇒ l1 : y =
3 2
x−
7 2
⇒ l2 : y =
3 2
x−
7 2
De lijnen l 1 en l 2 vallen dus samen, in feite is er sprake van slechts één rechte lijn. In onderstaande figuur is deze lijn getekend:
l1 = l 2
