Eerste- en tweedegraadsvergelijkingen Stelsels eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden Opgave: Twee verschillende winkels verkopen beide een artikel A aan 2 800 €. Door een tijdelijke promotie verlaagt de eerste winkel de verkoopprijs tot 2 576 €. De tweede winkel geeft op dat artikel twee opeenvolgende kortingen van telkens x % en verkoopt het artikel uiteindelijk aan 2 500 €. 1) Hoeveel procent korting geeft de eerste winkel ? 2) Hoeveel procent korting wordt twee opeenvolgende keren gegeven in de tweede winkel ? 3) Een klant beslist om in de tweede winkel een aantal stuks van artikel A aan 2500€ te kopen. Hij koopt ook een aantal artikels B waarvan de verkoopprijs na korting 1 500 € per stuk bedraagt. In totaal koopt de klant 20 stuks voor een totale kost van 35 000 €. Hoeveel stuks koopt hij van artikel A en hoeveel van artikel B ? Antwoordschema met de Graph 25 + Pro Deze 3 vragen worden opgelost in het menu EQUA (Equation) van het grafisch rekentoestel Graph 25 + Pro.
Druk op
, selecteer aan de hand van de pijltjestoets
het menu EQUA en druk op
.
1
1) De korting bedraagt x%. De vergelijking is 2800(1-x/100) =2576
We gebruiken de « solver » om x te berekenen.
Druk op
Selecteer
(SOLV) om het «solver »-scherm op te roepen en voer de vergelijking in:
(SOLV) om de vergelijking op te losssen.
De oplossing van de vergelijking is x = 8. Dit betekent dat de korting 8 % bedraagt. De eerste winkel geeft 8 % korting.
Druk nu twee keer op
om terug te keren naar het algemene menu van « Equation ».
De vergelijking 2800(1-x/100)=2576 kan ook algebraïsch opgelost worden: 2800 – 28x = 2576 28 x = 2800 – 2576 = 224 en dus is x = 224/28 = 8.
2
2) Men krijgt eerst een korting van x/100, en daarna krijgt men nog eens dezelfde korting. Om de uiteindelijke verkoopprijs te bekomen moet de oorspronkelijke prijs 2 800 € vermenigvuldigd worden met (1-x/100)(1-x/100) = (1-x/100)² De berekening met de twee opeenvolgende kortingen van x% kan uitgedrukt worden door de volgende vergelijking: 2800(1-x/100)² = 2500 (1-x/100)² is een merkwaardig product: (1-x/100)² = 1 -2x/100 + x²/(100)² De vergelijking wordt dan 0,28 x² - 56 x + 2800 = 2500. Men bekomt dus de volgende vergelijking van de tweede graad: 0,28 x² - 56x + 300 = 0.
Gebruik de toets
Kies
(POLY) om een vergelijking van de tweede graad op te lossen.
(2) om een tweedegraadsvergelijking op te lossen en voer daarna de coëfficienten
a = 0.28, dan b= - 56 en tenslotte c = 300 in. Druk op
na elke invoer.
3
Druk op de toets
(SOLV) om de tweedegraadsvergelijking op te lossen.
De vergelijking heeft twee oplossingen x1 = 194,49 en x2 = 5,51.
Gebruik de pijltjestoets
om van elke oplossing meer beduidende cijfers na de komma af te lezen.
Omdat x < 100, is alleen de tweede oplossing x2 = 5,51 mogelijk. De tweede winkel geeft twee opeenvolgende kortingen van 5,51 %.
Druk drie keer op
om terug te keren naar het hoofdmenu van « Equation ».
De oplossingen van de tweedegraadsvergelijking kunnen ook bekomen worden door gebruik te maken van de klassieke algebraische oplossingswijze met de discriminant van de tweedegraadsvergelijking. Δ = b 2 − 4ac = (−56)² − 4(0,28)(300) = 2800
Omdat ∆ > 0, zijn er twee reële oplossingen : x1 =
− b + ∆ − (−56) + 2800 = 194,49 = 2(0,28) 2a
en x2 =
− b − ∆ − (−56) − 2800 = = 5,51 2a 2(0,28)
Opmerking: als de discriminant negatief is, dan verschijnt op het scherm de boodschap dat er geen reële oplossingen zijn.
4
3) Om deze opgave op te lossen leiden we uit de gegevens twee vergelijkingen af. Noem x het aantal stuks dat de klant van artikel A koopt. Noem y het aantal stuks dat van artikel B gekocht wordt. Het totaal aantal gekochte artikels is 20, dus x + y = 20. We weten eveneens dat 35 000€ de totale prijs van die 20 artikels is. Omdat artikel A 2 500 € kost en artikel B 1 500 € kost, is 2 500 x + 1 500 y = 35 000. We moeten dus een stelsel oplossen met twee vergelijkingen en twee onbekenden : x + y = 20 2 500 x + 1500 y = 35 000 Kies
(Simultaneous) om het stelsel op te lossen.
Kies
(2) om een stelsel met twee vergelijkingen en twee onbekenden op te lossen.
Voer nu de coëfficiënten van elke vergelijking in en druk na elke invoer op : a1 = 1 ; b1=1 en c1 = 20 zijn de coëfficiënten van de eerste vergelijking. a2 = 2 500 ; b2=1 500 en c2 = 35 000 zijn de coëfficiënten van de tweede vergelijking.
5
Druk op de toets
(SOLV) om het stelsel op te lossen.
De oplossing is x = 5 en y = 15. De klant koopt 5 stuks van artikel A en 15 stuks van artikel B.
Druk drie keer op
om terug te keren naar het hoofdmenu van « Equation ».
De oplossing kan ook gevonden worden door gebruik te maken van een klassieke algebraische oplossingswijze, zoals bijvoorbeeld de substitutiemethode. Vul y = 20 – x in de tweede vergelijking 2 500 x + 1500 y = 35 000 in: 2500 x + 1500 (20-x) = 35000 De tweede vergelijking wordt dan 1000x + 30 000 = 35 000, zodat 1000x = 35 000 – 30 000 = 5 000 Bijgevolg is x = 5000/1000 = 5 en y = 20 – 5 = 15
6
7
