OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN

OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN Het bestaan van reële oplossingen of wortels van een tweedegraadsvergelijking van de vorm ax²+bx+c = 0 waarbij x de onbekende is en a, b, c reële parameters zijn, wordt bepaald door de waarde ∆ = b²- 4a -b + ∆ -b − ∆ • Als ∆ > 0 dan heeft de vergelijking twee reële oplossingen x1 = en x2 = 2a 2a -b • Als ∆ = 0 dan heeft de vergelijking één reële oplossing x1 = x2 = 2a • Als ∆ < 0 dan heeft de vergelijking geen reële oplossingen (maar wel twee toegevoegd complexe oplossingen). Met de Graph35+USB kunnen de oplossingen van een tweedegraadsvergelijking onmiddellijk berekend worden.

WERKWIJZE VOOR HET OPLOSSEN VAN EEN TWEEDEGRAADSVERGELIJKING 1.

SELECTEREN VAN EEN TWEEDEGRAADSVERGELIJKING

2.

INVOEREN VAN DE COËFFICIËNTEN EN DE CONSTANTE TERM

3.

OPLOSSEN VAN DE TWEEDEGRAADSVERGELIJKING

4.

BEREKENEN VAN DE OPLOSSINGEN

VOORBEELDEN 1.

TWEEDEGRAADSVERGELIJKING MET 1 OPLOSSING

2.

TWEEDEGRAADSVERGELIJKING ZONDER REËLE OPLOSSINGEN

3.

DE

COMPLEXE OPLOSSINGEN VAN EEN TWEEDEGRAADSVERGELIJKING

OPMERKING VRAAGSTUK 1.

OPGAVE

2.

SCHEMATISCHE VOORSTELLING

3.

OPLOSSING

OplossOp1

WERKWIJZE VOOR HET OPLOSSEN VAN EEN TWEEDEGRAADSVERGELIJKING 1. SELECTEREN VAN EEN TWEEDEGRAADSVERGELIJKING • Selecteer EQUA in het p om een vergelijking op te lossen  p8.

• Op het scherm verschijnt een lijst met drie opties SIML, POLY en SOLV Selecteer POLY w. Nu kunnen veeltermfuncties van de tweede tot en met de zesde graad opgelost worden. • Omdat hier de werkwijze voor het oplossen van een kwadratische vergelijking besproken wordt, moet als graad 2 gekozen worden. Selecteer 2 q.

2. INVOEREN VAN DE COËFFICIËNTEN EN DE CONSTANTE TERM • De waarde van de coëfficiënten en de constante term wordt gevraagd. Wanneer vroeger reeds waarden ingevoerd werden voor a, b en c, dan worden die nu getoond. Om a, b en c in te geven, moet elke waarde ingevoerd en bevestigd worden met de toets l. • Voorbeeld : om 4x² + 3x – 2 = 0 op te lossen moet a=4, b=3 en c=-2 ingevoerd worden. 4l3ln2l

3. OPLOSSEN VAN DE TWEEDEGRAADSVERGELIJKING • Onderaan het scherm verschijnen 4 keuzemenu’s : SOLV DEL

qlost de vergelijking op. wwist alle ingevoerde waarden en keert terug naar het

CLR EDIT

vorige venster. ezet a, b en c terug op 0. roverschrijft een ingevoerde waarde .

Selecteer SOLV q om 4x² + 3x – 2 = 0 op te lossen.

OplossOp2

4. BEREKENEN VAN DE OPLOSSINGEN • SOLV toont links bovenaan het scherm de afgeronde waarden van de oplossingen. Rechts onderaan het scherm verschijnt de exacte waarde van de wortel die door de cursor aangeduid wordt.  N

• In het voorbeeld zijn de twee wortels x1 =

- 3 + 41 - 3 − 41 = 0,4253 en x2 = = -1,175 8 8

Dit betekent dat de discriminant strikt positief is.

VOORBEELDEN 1. TWEEDEGRAADSVERGELIJKING MET 1 OPLOSSING • Los de vergelijking x² + 2x + 1 = 0 op. • De in te voeren waarden zijn a = 1, b = 2 en c = 1.

1l2l1l q • Eén enkele oplossing wordt getoond. Daarnaast verschijnt x2 om aan te geven dat de multipliciteit van die oplossing twee is (i.e. dat x1 = x2 ). Dit betekent dat de discriminant nul is.

2. TWEEDEGRAADSVERGELIJKING ZONDER REËLE OPLOSSINGEN • Los de vergelijking 4x² + 3x + 2 = 0 op. • De in te voeren waarden zijn a = 4, b = 3 en c = 2

4l3l2lq • Op het scherm verschijnt « No Real Roots » (« Geen reële wortels») omdat de discriminant negatief is. Deze kwadratische vergelijking heeft geen reële oplossingen.

OplossOp3

3. DE COMPLEXE OPLOSSINGEN VAN EEN TWEEDEGRAADSVERGELIJKING • Om de complexe oplossingen van een tweedegraadsvergelijking te tonen, moet in het menu SET UP de berekeningsmodus veranderd worden in “Complex Mode : a+bi”.

Lp

NNNNw

• Bij het oplossen van de vorige kwadratische vergelijking worden nu de twee complexe wortels getoond. Links bovenaan het scherm verschijnen de afgeronde waarden van de oplossingen. Rechts onderaan het scherm verschijnt de exacte waarde van de wortel die door de cursor aangeduid wordt.

q N • In het voorbeeld zijn de twee wortels x1 =

- 3 + 23 i - 3 − 23 i = -0,375 + 0,5994i en x2 = = -0,375 - 0,5994i. 8 8

OPMERKING Als waarden voor a, b en c kunnen enkel reële waarden ingevoerd worden. Wanneer toch een complexe waarde ingevoerd wordt, verschijnt er een foutmelding op het scherm ( “Ma ERROR”).

OplossOp4

d

VRAAGSTUK 1. OPGAVE De lengte van een tennisveld is 23,77 m en het net is 91 cm hoog. Onze nationale kampioen serveert. De tennisbal volgt een parabolische baan met vergelijking y = - 0,00406 x² + 0,00557 x + 2,4 en vertrekt vanaf 2,4 m hoogte en op een afstand van 11 m van het net. a. Zal de bal bij deze opslag de grond binnen of buiten het tennisveld raken? b. Zal de bal het net raken? c. Zo neen, op welke afstand van het net komt de bal neer?

2. SCHEMATISCHE VOORSTELLING Onderstaand schema verduidelijkt het probleem:

- Om te weten waar de bal de grond raakt, zullen de twee wortels van de kwadratische functie berekend en geïnterpreteerd moeten worden. - Om te zien of de bal het net raakt, worden de punten van de parabolische baan op een hoogte van 0,91 m berekend en aangevuld op het schema. - Als de bal het net niet raakt, dan moet de afstand van het net tot de plaats waar de bal neerkomt berekend worden.

OplossOp5

3. OPLOSSING a. Zal de bal bij deze opslag de grond binnen of buiten het tennisveld raken? Om de plaats te vinden waar de bal de grond raakt, moeten de wortels van de functie y = -0,00406x² + 0,00557x + 2,4 berekend worden. Bereken dus f(x) = 0 en los 0,00406x² + 0,00557x + 2,4 = 0 op volgens bovenstaande werkwijze. - Voer

de waarden voor a = -0,0040; b = 0,00557 en c = 2,4 in. SOLV q)

- De

oplossingen zijn x1= 25,009 en x2 = -23,637.

Bespreking van de gevonden oplossingen: De negatieve wortel geeft de plaats aan waar de bal zou neerkomen wanneer de bal de parabolische baan naar links zou volgen. Deze oplossing moet dus uitgesloten worden. De positieve wortel geeft de plaats aan waar de bal zal neerkomen. Antwoord: De bal zal na de opslag 25,009 m verder de grond raken en valt dus buiten het tennisveld.

b. Zal de bal het net raken? Om te zien of de bal het net raakt, moet de abscis van de punten op een hoogte van 0,91 m berekenend worden. Dit kan door de vergelijking f(x) = 0,91 op te lossen. Los dus -0,00406x² + 0,00557x + 2,4 = 0,91 of -0,00406x² + 0,00557x + 2,4- 0,91 = 0 op.

- Voer

de waarden voor a = -0,00406; b = 0,00557 en c = 2,4 – 0,91 in.

SOLV q) - De

oplossingen zijn x1 = 19,885 en x2 = -18,48.

OplossOp6

Bespreking van de gevonden oplossingen: Net zoals in de eerste vraag geeft de negatieve oplossing de plaats aan waar de bal zich op een hoogte van 0,91 m zou bevinden, wanneer de bal de parabolische baan naar links zou volgen. Deze oplossing moet dus uitgesloten worden. De positieve wortel geeft de plaats aan waar de bal zich op een hoogte van 0,91 m bevindt. Antwoord: De bal zal het net niet raken. c. Zo neen, op welke afstand van het net komt de bal neer? Na de opslag raakt de bal 25,009 m verder de grond (zie a) en de afstand van vertrekpositie van de bal tot het net is 11 m. 25,009 - 11 =14,009 Antwoord: De bal komt op 14,009 m afstand van het net neer.

OplossOp7

8