Vergelijkingen met wortelvormen © WISNET-HBO NHL update sept. 2010 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier.
1 Voorkennis Voor deze les moet je bekendheid hebben met het oplossen van vergelijkingen met breuken en verder met het werken met wortelvormen. Hierover zijn aparte lessen beschikbaar. Ga ook eens oefenen met grafieken met wortelvormen en interpreteer de voorbeelden en oefeningen die hieronder staan.
TIP 1 Berekeningen in de Reële getallen Zorg er in ieder geval voor dat als je in de Reële getallen rekent, dat je dan controleert of hetgeen onder het wortelteken staat wel groter is dan 0!
TIP 2 Met grafieken werken Ga ook bij de grafieken kijken (Standaardfuncties) hoe de grafieken van wortelfuncties lopen. Grafieken met wortels hebben veelal een beperkt domein (vaak zijn niet alle waarden van de variabele mogelijk). Gebruik van de grafische rekenmachine is hierbij ook aan te bevelen.
TIP 3 Numeriek rekenen Bij het rekenen met wortels op de rekenmachine kun je alleen numeriek rekenen. Bij het reken met de computer kun je, behalve met echte wortels, ook met de numerieke benadering rekenen. Voer dan decimale getallen in en het programma rekent dan verder ook numeriek.
2 Voorbeelden voorbeeld 1 Los de volgende vergelijking op:
x
1 =3
tip Ga na dat
9 =3
antwoord Links en rechts van het =-teken kwadrateren levert
x
1 =9
Dus x = 10 is de oplossing.
controle Controleer de uitkomst in de oorspronkelijke vergelijking om te kijken of onder het wortelteken dan een positief getal komt.
met de computer r est ar t ; ver g: =sqr t ( x- 1) =3; verg :=
x
1 =3
sol ve( ver g, x) ; 10
voorbeeld 2 Los de volgende vergelijking op
3x
4 =x
tip Links en rechts van het =-teken kwadrateren. (Later niet vergeten te controleren dat de wortel altijd positief is.)
antwoord 3x
4 =x
links en rechts kwadrateren: 2
2
3x
4
=x
3x
4 =x
2
Alles naar één kant brengen (op 0 herleiden). 2
x
3x
4 =0
Ontbinden in factoren (of met de a,b,c-formule):
x
4
x
1 =0
Oplossing x = 4 of x = 1 LET OP!! Er is maar één antwoord geldig als je de waarden invult in de
oorspronkelijke vergelijking: Het antwoord is alléén x = 4 (controleer maar als je x = 1 invult, dan ontstaat er géén gelijkheid!)
met de computer r est ar t ; ver g: =sqr t ( 3* x+4) =x; verg := 3 x
4 =x
sol ve( ver g, x) ; 4
voorbeeld 3 Los de volgende vergelijking op 2
x
2 x =2 x
4
tip Links en rechts kwadrateren
antwoord Links en rechts kwadrateren 2 2
x 2
2x
= 2x 2
x
2 x =4 x
4
16 x
2
16
Alles naar één kant brengen (op 0 herleiden). 2
3x
14 x
16 = 0
Met de a,b,c-formule (ontbinden is hier vrij moeilijk). abc-formule Kijk eventueel in het lesje over de abc-formule.
x=
14
196 6
x=
De oplossing is x =
192
14
2 6
of x =
of x =
14
196 6
14
192
2 6
8 en x = 2. 3
controle Beide antwoorden kunnen na invullen in de oorspronkelijke vergelijking. Er ontstaan
beide keren ware beweringen.
met de computer r est ar t ; ver g: =sqr t ( x^2- 2* x) =2* x- 4; x2
verg :=
2 x =2 x
4
sol ve( ver g, x) ; 8 3
2,
3 Oefeningen oefening 1 Los de volgende vergelijking op:
x
4 =2
antwoord r est ar t ; ver g: =sqr t ( x- 4) = 2; verg := x
4 =2
sol ve( ver g, x) ; 8
oefening 2 Los de volgende vergelijking op:
x
4 = 2
Tip Links en rechts kwadrateren en niet vergeten het antwoord te controleren.
antwoord r est ar t ; ver g: =sqr t ( x- 4) =- 2; verg := x
4 = 2
sol ve( ver g, x) ; Als er geen antwoord komt dan is dat natuurlijk te verklaren! Immers de uitkomst van een berekening met een wortel is altijd een positief getal.
oefening 3
Los de volgende vergelijking op: 2
x
4 =2
antwoord r est ar t ; ver g: =sqr t ( x^2- 4) = 2; x2
verg :=
4 =2
sol ve( ver g, x) ; 2
2, 2
2
oefening 4 Los de volgende vergelijking op:
x
4 =
3
x
antwoord r est ar t ; ver g: =sqr t ( x- 4) = sqr t ( 3- x) ; verg := x 4 = 3 x sol ve( ver g, x) ; 7 2
oefening 5 Los de volgende vergelijking op:
4
x =2
antwoord r est ar t ; ver g: =sqr t ( 4- x) = 2; verg := 4
x =2
sol ve( ver g, x) ; 0
oefening 6 Los de volgende vergelijking op:
5
x =2
antwoord
oefening 7 Los de volgende vergelijking op:
x
4 =
4
2x
antwoord
4 Voorbeeld met grafieken Los de volgende vergelijking op:
x
1 =3
3.0 y 2.0 1.0 4
2
0
In de figuur zijn de grafieken van dat ze gelijk zijn voor x = 10 .
2
x
4 x
6
8
10
10 en de horizontale lijn 3 getekend. Er is te zien
script van de figuur tip 1 Ga na dat
12
9 =3
tip 2 Kwadrateer links en rechts van het =-teken en controleer de uitkomst.
uitwerking x
1 =3
x
1 =9 x = 10
antwoord Links en rechts van het =-teken kwadrateren levert
x 1 =3 x 1 =9 x = 10 Dus x = 10 is de oplossing.
controle Controleer de uitkomst in de oorspronkelijke vergelijking om te kijken of onder het wortelteken dan een positief getal komt. Kijk ook in de grafiek!!
met de computer
